高中数学精讲教案-双曲线及其性质

•••AF i | = 4a ，|AF 2|= 2a ， |F i F 2|= 2c = 4a ，

• cos / AF 2F 1 |AF 『 +|FlF2|2—|AF 『

近线方程为

设与双曲线L — x 2 = 1 4

=入解得X=— 3.

2

a = 1,

解得2

b 2 = 3,

2 •双曲线的标准方程为x 2—y- = 1.

3

7•已知双曲线的渐近线方程为

2x ±3y = 0,且焦距是2皿，则双曲线方程为 ______________

x 2 y 2 卡 y 2 x 2

答案?-七=1或香一19= 1

2 2

解析设双曲线方程为x_-汽*。）.

若?>0，贝U a 2 = 9 入 b 2= 4 入 C= a 2+ b 2= 13 入

答案 解析 X 2

—社=1 y =^x 3 12 ' 2

双曲线乞—x 2

= 1的渐近线方程为 y = 4 ±x. 2 2 2 y_— x 2=— 3,即 x-—

y_ 4

3

12 所求双曲线的渐近线方程为

y = £x.

6•如图所示，已知双曲线以长方形 两顶点•若

故所求双曲线方程为 1.

ABCD 的顶点A , B 为左、右焦点，且双曲线过

AB = 4 , BC = 3,则此双曲线的标准方程为 ___________ .

答案

解析 设双曲线的标准方程为

2 2

x y_ 2 — . 2 a b 1（a>0，b>0）.由题意得

B(2,0)，C(2,3)，

2|AF 2||F 1F 2|

4a 2 + 16a 2— 16a 2 4a 2

1 斗

2= 7，选 A.

4 2 x 2a x 4a 16a‘ 5.设双曲线 C 经过点（2,2），且与才—x 2= 1 具有相同渐近线，则

C 的方程为 ;渐

有共同渐近线的方程为

—x 2= X" 0）,又（2,2）在双曲线上，故 4

范闻

xa 或 J ■忑—a ,5

F WK ・$；：：：£』 或

—触

对称轴：樂标轴;

对称中心；慷点

顶点

新近线

頂点出标： A t ( —a

, C 口川) b y=±~r

頂点弋标：

A (U ■ — u) • A (□ .a )

¥ = ± 丁•厂

- b

离心冷

卍=£・屮€€1・}亠》*35中亡=\/a + /J :

R ------------

毂段儿A 叫做収川|线的型•它的长比儿1一 线段H 比叫做心曲线的輕*它的杭H 兄| = '曲叫做煤曲线的实半柚怏/闻谢＜Z 曲线前 崖半轴氏

则双曲线的标准方程为： x 2-汀 1.

其渐近线为y = 士. 3x.

解题法

［考法综述］高考对于双曲线的几何性

双曲线独有的渐近线是高频考点， 常与其他圆锥曲线综合考查， 难

D. y =±$

［解析］（1）如图所示，过点F 2（C ,0）且与渐近线y = b

x 平行的直线为y = b （x — c ）,与另一条渐 a a

b

b

y

=a x -C

， 近线y =— -x 联立得

a

b y

=—

a x ，

质的考查以理解和运用为主， 度较大.

命题法双曲线的几何性质

x 2 y 2

典例 ⑴已知F l 、F 2分别是双曲线 -—2= 1（a>0，b>0）的左、右焦点，过点 F 2与双曲线

a b

的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点

则双曲线离心率的取值范围是 （ ）

A • （1，2） C . （ .3，2）

x 2 y 2

M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外, B • (2

.3)

D . (2，+%)

（2）过双曲线 -—2= 1（a>0，b>0）的左焦点F 作圆O : x 2 + y 2 = a 2的两条切线，切点为 A ，B ， a

b

双曲线左顶点为 C ,若/ ACB = 120°则双曲线的渐近线方程为 （ ）

C . y = ±.2x B •

y

2 2

2若双曲线E : 9 — ；6— 1 的左、右焦点分别为 F 1, F 2，点P 在双曲线 E 上，且 |PF 1|— 3，则

|PF 2|等于(

)

A . 11

B . 9

C . 5

D . 3

答案 B

解析 解法一：依题意知， 点P 在双曲线的左支上， 根据双曲线的定义， 得 |PF 2|— |PF 1|— 2X 3 =6,所以 |PF 2|= 6 + 3= 9,故选 B.

解法二：根据双曲线的定义，得 ||PF 2|—|PF 1|| = 2X 3 = 6,所以||PF 2|— 3| = 6,所以|PF 2= 9或

|PF 2=— 3(舍去)，故选B.

3.将离心率为e i 的双曲线C i 的实半轴长a 和虚半轴长b(a ^ b)同时增加m(m>0)个单位长度， 得到离心率为 e 2的双曲线C 2,贝y (

)

A .对任意的 a , b , e i >e 2

B. 当 a>b 时，e i >e 2；当 a

C. 对任意的 a , b , e i

D. 当 a>b 时，e i e 2 答案 D

所以e i 1,而b >b +m ,所以 a a + m a a + m

e i e 2，故选 D.

x 7 — ； = 1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于

3

点，贝U AB|=(

7

,所以e i >e 2.所以当a>b 时,

解析 依题意, a 2 + b 2 e

1 = ^ = a -M + b 2弋="2

丘 + *= V a

a + m

b + m

a + m

b + m ab + bm — ab — am m b — a a a + m a a + m

a + m '由于m >0 'a >°'

b >0 '且a " b '所以当a >b 时，。号仆出 b b + m b 2 b + m 2 <1，孑石，a 2<育2,

2 b + m

2> a + m

4.过双曲线