2012年福建高考理科数学试卷与答案(word版)
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2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数学试题(理工农医类)
第I 卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。 1. 若复数z 满足i zi -=1,则z 等于( )
A .i --1
B .i -1
C .i +-1
D .i +1
2. 等差数列}{n a 中,7,10451==+a a a ,则数列}{n a 的公差为( )
A .1
B .2
C .3
D .4 3. 下列命题中,真命题是( )
A .0,0
0≤∈∃x e
R x B .2
2,x R x x >∈∀
C .0=+b a 的充要条件是
1-=b
a D .1,1>>
b a 是1>ab 的充分条件
4. 一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( )
A .球
B .三棱锥
C .正方体
D .圆柱 5. 下列不等式一定成立的是( )
A .)0(lg )4
1lg(2
>>+
x x x B .),(2sin 1sin Z k k x x
x ∈≠≥+
π
C .)(||212R x x x ∈≥+
D .
)(11
12
R x x ∈>+
6. 如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概
率为( )
A .41
B .51
C .
6
1 D .
7
1
7. 设函数⎩⎨⎧=为无理数
为有理数
x x x D ,0,1)(,则下列结论错误的是( )
A .)(x D 的值域为}1,0{
B .)(x D 是偶函数
C .)(x
D 不是周期函数 D .)(x D 不是单调函数
8. 双曲线
2
22
14
x
y b
-
=的右焦点与抛物线x y 122
=的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐
近线的距离等于( )
A .5
B .24
C .3
D .5
9. 若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则实数m 的最大值为
A .
2
1 B .1 C .
2
3 D .2
10. 函数
)(x f 在],[b a 上有定义,若对任意],[,21b a x x ∈,有
)]()([2
1)2
(
212
1x f x f x x f +≤
+,则称)(x f 在],[b a 上具有性质P 。设)(x f 在[1,3]
上具有性质P ,现给出如下命题:
①)(x f 在]3,1[上的图像时连续不断的;②)(2x f 在]3,1[上具有性质P ;
③若)(x f 在2=x 处取得最大值1,则1)(=x f ,]3,1[∈x ;④对任意
]3,1[,,,4321∈x x x x ,有)]()()()([4
1)2
(
43214
321x f x f x f x f x x x x f +++≤
+++。
其中真命题的序号是( )
A .①②
B .①③
C .②④
D .③④
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题卡的相应位置。 11. 4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8,则实数=a _________。
12. 阅读右图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的s 值等于___________ 13. 已知A B C ∆的三边长成公比为
2的等比数列,则其最大角的余弦值为
_________。
14. 数列}{n a 的通项公式12
cos +=πn n a n ,前n 项和为n S ,
则=2012S ___________。
15. 对于实数b a ,,定义运算“*”:⎩⎨⎧>-≤-=*b
a a
b b b
a a
b a b a ,,2
2,设
)1()12()(-*-=x x x f ,且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的
实数根321,,x x x ,则321x x x 的取值范围是_______________。
三、解答题:本大题共6小题,共84分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分13分)
受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下:
将频率视为概率,解答下列问题:
(I )从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;
(II )若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ,生产一辆
乙品牌轿车的利润为2X ,分别求1X ,2X 的分布列;
(III )该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌
轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由。
17. (本小题满分13分)
某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。
(1)00020217cos 13sin 17cos 13sin -+; (2)0
0020215cos 15sin 15cos 15sin -+; (3)0
0020212cos 18sin 12cos 18sin -+; (4)0
2
2
48cos )18sin(48cos )13(sin --+-; (5)0
2
2
55cos )25sin(55cos )25(sin --+-。 (I )试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(II )根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。