微积分基本定理与及应用
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又可求得点A到直线BD的距离为 ， =2a2+4a+2=2(a+1)2．
∴S1= ．
（3）由题意，当a>-1时，
，
当a<-1时， ，
∴S1∶S2=3∶2．即S1∶S2的值为与a无关的常数．
【课内练习】
1．A。
2．A。
3．D。
4．C。
5． 。
6．F(x)-F(0)。
7．4a。
8．（1） ；（2） ；（3） 。
由 得C（1，-1）．同理得D（2，-1）．
∴所求图形的面积
S=
．
[例3]设过原点的直线方程为y=kx，解方程组 ，得x1=0，x2=k+2a．
当k+2a≥0时，
．Leabharlann Baidu
于是(k+2a)3=27a3，解得k=a．
所以，直线l的方程为y=ax．
当k+2a<0时， ．
于是-(k+2a)3=27a3，解得k=-5a．
微积分基本定理与及应用
【知识网络】
1．直观了解微积分基本定理的含义。
2．会求简单的定积分。
3．会用定积分的知识解决一些简单的应用问题。
【典型例题】
[例1]（1）由抛物线 和直线x=1所围成的图形的面积等于（）
A．1B． C． D．
（2）如图，阴影部分的面积是（）
A． B．
C． D．
（3） =（）
A． B．
C． D．
（4） =．
（5）按万有引力定律，两质点间的吸引力 ，k为常数， 为两质点的质量，r为两点间距离，若两质点起始距离为a，质点m1沿直线移动至离m2的距离为b处，试求所作之功（ｂ＞a）．
[例2]如图，求由两条曲线 ， 及直线y=-1所围成图形的面积．
[例3]如图，抛物线C1：y=-x2与抛物线C2：y=x2-2ax(a>0)交于O、A两点．若过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为 ，求直线l的方程．
9．（Ⅰ）如图建立直角坐标系xoy，设抛物线方程为 ．
则由抛物线过点 ，可得 ．
于是抛物线方程为 ．
当y=1时， ，由此知水面宽为 （m）．
（Ⅱ）柱体的底面积
．
∴柱体体积为 ，即水沟中有水 ．
10．（1） ；（2） ．
7． =。
8．计算下列定积分的值
（1） ；（2） ；（3） 。
9．平地上有一条小沟，沟沿是两条长100m的平行线段，沟宽AB为2m，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5m，沟中水深1m．
（Ⅰ）求水面宽；
（Ⅱ）如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，沟中的水有多少立方米？
[例4]已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x2上的点．直线l1过点A，且与抛物线C相切．直线l2：x=a(a≠-1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D．
（1）求直线l1的方程；
（2）设 ABD的面积为S1，求 及S1的值；
（3）设由抛物线C、直线l1、l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1∶S2的值为与a无关的常数．
所以，直线l的方程为y=-5ax．
综上所述，所求直线l的方程为y=ax或y=-5ax．
[例4]（1）由y=2x2，得 ．当x=-1时， ．
∴l1的方程为y-2=-4(x+1)，即4x+y+2=0．
（2）由y=2x2及x=a，解得点B的坐标为（a,2a2）．
由4x+y+2=0及x=a，解得点D的坐标为（a,-4a-2）．
【课内练习】
1． =（）
A．5B。4C。3D。2
2． =（）
A． B。 C。 D。
3．若 ，且a＞1，则a的值为（）
A．6B。4C。3D。2
4．已知自由落体运动的速率v=gt，则落体运动从t=0到t=t0所走的路程为（）
A． B． C． D．
5．曲线 与直线 所围成的图形（阴影部分）的面积等于．
6． 。
10．设 是二次函数，方程 有两个相等的实根，且 ．
（1）求 的表达式．
（2）若直线 把 的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t的值．
参考答案
22．2微积分基本定理与应用
【典型例题】
[例1]（1）B．
（2）C．
（3）C．
（4） 。
（5） 。
[例2]由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍．
∴S1= ．
（3）由题意，当a>-1时，
，
当a<-1时， ，
∴S1∶S2=3∶2．即S1∶S2的值为与a无关的常数．
【课内练习】
1．A。
2．A。
3．D。
4．C。
5． 。
6．F(x)-F(0)。
7．4a。
8．（1） ；（2） ；（3） 。
由 得C（1，-1）．同理得D（2，-1）．
∴所求图形的面积
S=
．
[例3]设过原点的直线方程为y=kx，解方程组 ，得x1=0，x2=k+2a．
当k+2a≥0时，
．Leabharlann Baidu
于是(k+2a)3=27a3，解得k=a．
所以，直线l的方程为y=ax．
当k+2a<0时， ．
于是-(k+2a)3=27a3，解得k=-5a．
微积分基本定理与及应用
【知识网络】
1．直观了解微积分基本定理的含义。
2．会求简单的定积分。
3．会用定积分的知识解决一些简单的应用问题。
【典型例题】
[例1]（1）由抛物线 和直线x=1所围成的图形的面积等于（）
A．1B． C． D．
（2）如图，阴影部分的面积是（）
A． B．
C． D．
（3） =（）
A． B．
C． D．
（4） =．
（5）按万有引力定律，两质点间的吸引力 ，k为常数， 为两质点的质量，r为两点间距离，若两质点起始距离为a，质点m1沿直线移动至离m2的距离为b处，试求所作之功（ｂ＞a）．
[例2]如图，求由两条曲线 ， 及直线y=-1所围成图形的面积．
[例3]如图，抛物线C1：y=-x2与抛物线C2：y=x2-2ax(a>0)交于O、A两点．若过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为 ，求直线l的方程．
9．（Ⅰ）如图建立直角坐标系xoy，设抛物线方程为 ．
则由抛物线过点 ，可得 ．
于是抛物线方程为 ．
当y=1时， ，由此知水面宽为 （m）．
（Ⅱ）柱体的底面积
．
∴柱体体积为 ，即水沟中有水 ．
10．（1） ；（2） ．
7． =。
8．计算下列定积分的值
（1） ；（2） ；（3） 。
9．平地上有一条小沟，沟沿是两条长100m的平行线段，沟宽AB为2m，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5m，沟中水深1m．
（Ⅰ）求水面宽；
（Ⅱ）如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，沟中的水有多少立方米？
[例4]已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x2上的点．直线l1过点A，且与抛物线C相切．直线l2：x=a(a≠-1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D．
（1）求直线l1的方程；
（2）设 ABD的面积为S1，求 及S1的值；
（3）设由抛物线C、直线l1、l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1∶S2的值为与a无关的常数．
所以，直线l的方程为y=-5ax．
综上所述，所求直线l的方程为y=ax或y=-5ax．
[例4]（1）由y=2x2，得 ．当x=-1时， ．
∴l1的方程为y-2=-4(x+1)，即4x+y+2=0．
（2）由y=2x2及x=a，解得点B的坐标为（a,2a2）．
由4x+y+2=0及x=a，解得点D的坐标为（a,-4a-2）．
【课内练习】
1． =（）
A．5B。4C。3D。2
2． =（）
A． B。 C。 D。
3．若 ，且a＞1，则a的值为（）
A．6B。4C。3D。2
4．已知自由落体运动的速率v=gt，则落体运动从t=0到t=t0所走的路程为（）
A． B． C． D．
5．曲线 与直线 所围成的图形（阴影部分）的面积等于．
6． 。
10．设 是二次函数，方程 有两个相等的实根，且 ．
（1）求 的表达式．
（2）若直线 把 的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t的值．
参考答案
22．2微积分基本定理与应用
【典型例题】
[例1]（1）B．
（2）C．
（3）C．
（4） 。
（5） 。
[例2]由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍．