控制系统最优化设计方法资料
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L(k) Q2 GT S(k 1)G 1GT S(k 1)F
S(k) F GL(k) T S(k 1)F GL(k) Q1 LT (k)Q2 L(k)
S(N) Q0
其中 k N 1, N 2, ,0 最优性能指标为
J min xT (0)S(0) x(0) 满足上式的最优控制一定存在且是唯一的。
第8专题 最优化设计方法
主要内容: ➢线性二次型控制 ➢预报和滤波理论 ➢线性二次型高斯控制
针对随机系统按最优化方法设计控制器
假定被控对象是线性的，系统性能指标是状态 和控制的二次型函数，则系统的综合问题就是寻求 允许的控制信号序列，使性能指标函数最小，这类 问题称为线性二次型（Linear Quadratic）控制 问题。如果考虑系统中随机的过程干扰和量测噪声， 且过程干扰和量测噪声均是具有正态分布的白噪声， 这类问题称为线性二次型高斯（Linear Quadratic Gaussian）控制问题。
xT (N )Q0 x(N ) xT (N 1)Q1 x(N 1) uT (N 1)Q2u(N 1)
Fx(N 1) Gu(N 1) T Q0 Fx(N 1) Gu(N 1)
xT (N 1)Q0 x(N 1) uT (N 1)Q0u(N 1)
首先求解u(N-1)，以使 J N 最1 小。求 J N 1对 u (N－1) 的一阶导数并令其等于零：
利用以上公式可以逆向递推计算出S (k)和L (k)。
•无限时间最优调节器设计
设被控对象的状态方程为 x(k 1) Fx(k) Gu(k)
x(0) x0 当N→∞时，其性能指标函数简化为
J x T (k)Q1 x(k) uT (k)Q2 u(k)
k 0
其中 Q是1 非负定对称阵， 是Q2正定对称阵。假定
k i1
Ji1 xT (i)Q1x(i) uT (i)Q2u(i)
其中：i＝N－1、N－2、…、0。
下面从最末一级往前逐级求解最优控制序列。
由上式和连续被控对象的离散化状态方程，有
J N xT (N )Q0 x(N )
J N 1 J N xT (N 1)Q1 x(N 1) uT (N 1)Q2u(N 1)
y(t)
LQG 最优控制器
y(k) T
最优调节器结构图
1 最优控制规律设计 •有限时间最优调节器设计
设连续被控对象的离散化状态方程为
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
初始条件
x(0) x0
给定二次型性能指标函数
N 1
J xT ( N )Q0 x( N ) xT (k )Q1 x(k ) uT (k )Q2u(k )
S(N) Q0
得 J N 1 xT ( N 1)S( N 1)x( N 1)
其中 S( N 1) F GL( N 1)T S( N )F GL( N 1)
Q1 LT ( N 1)Q2 L( N 1)
依次，可得 u(N 、 2) u(、N… 3、) 。 u(0)
计算 u(公k) 式归纳： u(k) L(k)x(k)
L(k)
wenku.baidu.com
S
(k)
Q2 GT S(k
F GL(k)T
1)G S(k
1G T
1)F
S(k 1)F
GL(k)
Q1
LT
(k )Q2
L(k )
S
(
N
)
Q0
或：
S(k)
FT
S(k
1)
S(k
1)G(Q2
GT S(k
1)G1GT S(k
1)
F
Q1
S(N) Q0
的解，那么对于任何非负定对称阵 Q，0 有
dJ N 1 du(N 1) 2GTQ0F T x(N 1) 2GTQ0F T u(N 1) 2Q2u(N 1)
进一步求得最优的控制决策为
u(N 1) Q2 GT Q0G) 1GT Q0Fx(N 1)
L(N 1)x(N 1)
其中 L(N 1) Q2 GT S(N )G 1GT S(N )F
要决策的是控制变量 u(k) （k＝0，1，…， N－1）。
令二次型性能指标函数
N1
Ji xT (N )Q0 x(N ) xT (k)Q1x(k) uT (k)Q2u(k)
k i
xT (N )Q0 x(N ) xT (i)Q1x(i) uT (i)Q2u(i)
N1
xT (k)Q1x(k) uT (k)Q2u(k)
k0
线性二次型最优控制的任务是寻求最优控制序列
u(k)（k＝0，1，…，N－1），在把初始状态x(0) 转移到x(N) 的过程中，使性能指标函数最小。
求解二次型最优控制问题可采用变分法、动态 规划法等方法。这里采用离散动态规划法来进 行求解。
动态规划法的基本思想是：将一个多级决策过 程转变为求解多个单级决策优化问题，这里需
LQG最优控制器也是由两部分组成，一部分是状态最 优估计器；另一部分是最优控制规律。 其设计也可分为两个独立的部分：一是将系统看作确
定性系统；二是考虑随机的过程干扰 v 和量测噪声
w，设计状态最优估计器。
v(t)
(t)
状态最优 xˆ(k) LQ 最优控
估计器
制规律
u(k) 零阶保
T
持器
被控对象
最优装置
③ 稳态控制规律
u(k) Lx(k)
L
(Q2
GT
SG)1GT
SF
是使上面性能指标函数J极小的最优反馈控制
规律，最优性能指标函数为
Jmin xT (0)Sx (0)
S lim S(k, N) lim S(k, N)
N
N
存在，且是与 Q0无关的常数阵。
② S是如下的黎卡堤代数方程
L (Q2 GT SG)1GT SF
S
(F
GL(k )T
S(F
GL)
LT Q2 L
Q1
或：
S F T S SG (Q2 GT SG )1GT S F Q1
的唯一正定对称解 。
［F，G］是能控的，且［F，D］是能观的，其中
D为能使DTD＝Q1成立的任何矩阵。
计算机控制系统的最优设计，最经常碰到 的是离散定常系统终端时间无限的最优调
节器问题。当终端时间N→∞时，矩阵S (k)
将趋于某个常数，因此可得到定常的最优
反馈增益矩阵L，便于工程实现。
可以证明有以下几点结论：
①设S (k)是如下的黎卡堤（Riccati）方程
S(k) F GL(k) T S(k 1)F GL(k) Q1 LT (k)Q2 L(k)
S(N) Q0
其中 k N 1, N 2, ,0 最优性能指标为
J min xT (0)S(0) x(0) 满足上式的最优控制一定存在且是唯一的。
第8专题 最优化设计方法
主要内容: ➢线性二次型控制 ➢预报和滤波理论 ➢线性二次型高斯控制
针对随机系统按最优化方法设计控制器
假定被控对象是线性的，系统性能指标是状态 和控制的二次型函数，则系统的综合问题就是寻求 允许的控制信号序列，使性能指标函数最小，这类 问题称为线性二次型（Linear Quadratic）控制 问题。如果考虑系统中随机的过程干扰和量测噪声， 且过程干扰和量测噪声均是具有正态分布的白噪声， 这类问题称为线性二次型高斯（Linear Quadratic Gaussian）控制问题。
xT (N )Q0 x(N ) xT (N 1)Q1 x(N 1) uT (N 1)Q2u(N 1)
Fx(N 1) Gu(N 1) T Q0 Fx(N 1) Gu(N 1)
xT (N 1)Q0 x(N 1) uT (N 1)Q0u(N 1)
首先求解u(N-1)，以使 J N 最1 小。求 J N 1对 u (N－1) 的一阶导数并令其等于零：
利用以上公式可以逆向递推计算出S (k)和L (k)。
•无限时间最优调节器设计
设被控对象的状态方程为 x(k 1) Fx(k) Gu(k)
x(0) x0 当N→∞时，其性能指标函数简化为
J x T (k)Q1 x(k) uT (k)Q2 u(k)
k 0
其中 Q是1 非负定对称阵， 是Q2正定对称阵。假定
k i1
Ji1 xT (i)Q1x(i) uT (i)Q2u(i)
其中：i＝N－1、N－2、…、0。
下面从最末一级往前逐级求解最优控制序列。
由上式和连续被控对象的离散化状态方程，有
J N xT (N )Q0 x(N )
J N 1 J N xT (N 1)Q1 x(N 1) uT (N 1)Q2u(N 1)
y(t)
LQG 最优控制器
y(k) T
最优调节器结构图
1 最优控制规律设计 •有限时间最优调节器设计
设连续被控对象的离散化状态方程为
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
初始条件
x(0) x0
给定二次型性能指标函数
N 1
J xT ( N )Q0 x( N ) xT (k )Q1 x(k ) uT (k )Q2u(k )
S(N) Q0
得 J N 1 xT ( N 1)S( N 1)x( N 1)
其中 S( N 1) F GL( N 1)T S( N )F GL( N 1)
Q1 LT ( N 1)Q2 L( N 1)
依次，可得 u(N 、 2) u(、N… 3、) 。 u(0)
计算 u(公k) 式归纳： u(k) L(k)x(k)
L(k)
wenku.baidu.com
S
(k)
Q2 GT S(k
F GL(k)T
1)G S(k
1G T
1)F
S(k 1)F
GL(k)
Q1
LT
(k )Q2
L(k )
S
(
N
)
Q0
或：
S(k)
FT
S(k
1)
S(k
1)G(Q2
GT S(k
1)G1GT S(k
1)
F
Q1
S(N) Q0
的解，那么对于任何非负定对称阵 Q，0 有
dJ N 1 du(N 1) 2GTQ0F T x(N 1) 2GTQ0F T u(N 1) 2Q2u(N 1)
进一步求得最优的控制决策为
u(N 1) Q2 GT Q0G) 1GT Q0Fx(N 1)
L(N 1)x(N 1)
其中 L(N 1) Q2 GT S(N )G 1GT S(N )F
要决策的是控制变量 u(k) （k＝0，1，…， N－1）。
令二次型性能指标函数
N1
Ji xT (N )Q0 x(N ) xT (k)Q1x(k) uT (k)Q2u(k)
k i
xT (N )Q0 x(N ) xT (i)Q1x(i) uT (i)Q2u(i)
N1
xT (k)Q1x(k) uT (k)Q2u(k)
k0
线性二次型最优控制的任务是寻求最优控制序列
u(k)（k＝0，1，…，N－1），在把初始状态x(0) 转移到x(N) 的过程中，使性能指标函数最小。
求解二次型最优控制问题可采用变分法、动态 规划法等方法。这里采用离散动态规划法来进 行求解。
动态规划法的基本思想是：将一个多级决策过 程转变为求解多个单级决策优化问题，这里需
LQG最优控制器也是由两部分组成，一部分是状态最 优估计器；另一部分是最优控制规律。 其设计也可分为两个独立的部分：一是将系统看作确
定性系统；二是考虑随机的过程干扰 v 和量测噪声
w，设计状态最优估计器。
v(t)
(t)
状态最优 xˆ(k) LQ 最优控
估计器
制规律
u(k) 零阶保
T
持器
被控对象
最优装置
③ 稳态控制规律
u(k) Lx(k)
L
(Q2
GT
SG)1GT
SF
是使上面性能指标函数J极小的最优反馈控制
规律，最优性能指标函数为
Jmin xT (0)Sx (0)
S lim S(k, N) lim S(k, N)
N
N
存在，且是与 Q0无关的常数阵。
② S是如下的黎卡堤代数方程
L (Q2 GT SG)1GT SF
S
(F
GL(k )T
S(F
GL)
LT Q2 L
Q1
或：
S F T S SG (Q2 GT SG )1GT S F Q1
的唯一正定对称解 。
［F，G］是能控的，且［F，D］是能观的，其中
D为能使DTD＝Q1成立的任何矩阵。
计算机控制系统的最优设计，最经常碰到 的是离散定常系统终端时间无限的最优调
节器问题。当终端时间N→∞时，矩阵S (k)
将趋于某个常数，因此可得到定常的最优
反馈增益矩阵L，便于工程实现。
可以证明有以下几点结论：
①设S (k)是如下的黎卡堤（Riccati）方程