反比例函数和相似三角形综合题(教师版)

反比例函数和相似三角形综合题

1．如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．

（1）求n与k的值；

（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；

（3）观察反比例函数y=的图象，当y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．

2．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A．B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C．D两点，点D（2，﹣3），OA=2．

（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；

（2）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．

（3）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，直接写出P点的坐标．

3．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交雨点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．（1）求一次函数、反比例函数解析式；

（2）直接写出当＞kx+b时x的取值范围；

（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2=0，▱ABCD 的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y=经过C、D两点．（1）求k的值；

（2）点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；

（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M 是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

5．如图1，直线y=﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，交双曲线y=（x ＜0）于点N，S

=10．

△OBN

（1）求双曲线的解析式．

=，求点H的坐标．

（2）已知点H是双曲线上一动点，若S

△HON

（3）如图2，平移直线BC交双曲线于点P，交直线y=﹣6于点Q，连接PC，QB，并延长PC，QB交于第一象限内一点G，若PG=GQ，求平移后的直线PQ的解析式．

6．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．

（1）求证：△APB≌△APD；

（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．

①求y与x的函数关系式；

②当x=6时，求线段FG的长．

7．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．

（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；

（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）

8．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．

（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；

（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．

9．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．

①求证：BD⊥CF；

②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．

一．解答题（共9小题）

1．如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．

（1）求n与k的值；

（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；

（3）观察反比例函数y=的图象，当y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围．

【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n，则可求得A点坐标，代入反比例函数解析式则可求得k的值；

（2）由一次函数解析式可先求得B点坐标，从而可求得AB的长，则可求得C 点坐标，利用平移即可求得D点坐标；

（3）在y=中，当y＞﹣2时可求得对应的x的值，结合图象即可求得x的取值范围．

【解答】解：

（1）把A点坐标代入一次函数解析式可得n=×4﹣3=3，

∴A（4，3），

∵A点在反比例函数图象上，

∴k=3×4=12；

（2）在y=x﹣3中，令y=0可得x=2，

∴B（2，0），

∵A（4，3），

∴AB==，

∵四边形ABCD为菱形，且点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，

∴BC=AB=，

∴点C由点B向右平移个单位得到，

∴点D由点A向右平移个单位得到，

∴D（4+，3）；

（3）由（1）可知反比例函数解析式为y=，

令y=﹣2可得x=﹣6，

结合图象可知当y＞﹣2时，x的取值范围为x＜﹣6或x＞0．

2．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A．B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C．D两点，点D（2，﹣3），OA=2．

（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；

（2）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．

（3）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，直接写出P点的坐标．

【分析】（1）把点D的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；

（2）根据图象即可求得k1x+b﹣≥0时，自变量x的取值范围；

（3）作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，由