立体几何题型总结

立体几何题型总结

一、高考考查的公理、性质、判定等：

立几中的向量公式：1.

二、题目归类与练习：

（一） 三视图

1. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A ．

283π-

B ．83π

-

C ．82π-

D ．23π

【答案】A

2. 右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱， 其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命 题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】A

3. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为

A ．63

B ．93

C ．123

D ．183

【答案】B

（二） 点、线、面的位置判断：

1. 命题①空间直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c 则a∥c ②非零向量c 、b 、

a ，若a ∥

b ，b ∥

c 则a ∥c

③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ④空间直线a 、b 、c 若有a⊥b，b⊥c，则a∥c

⑤直线a 、b 与平面β，若a⊥β，c⊥β，则a∥c 其中所有真命题的序号是（ C ） A ．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤ 2. 下列命题中错误的是

A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面

D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D

3. 已知

1

a ，

2

a ，

3

a 是三个相互平行的平面．平面

1

a ，

2

a 之间的距离为

1

d ，平面

2

a ，

3

a 之间的距离为

2

d ．直线l 与

1a ，2a ，3

a 分别相交于

1p ，

2

p ，3p

，那么“

12

P P =

23P P ”是“

12

d d =”

的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】C

4. 如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是

（A ）AC ⊥SB

（B ）AB ∥平面SCD

（C ）SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 （D ）AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角

【答案】D

5. 不共面的三条定直线l 1,l 2,l 3互相平行，点A 在l 1上，点B 在l 2

上，C 、D 两点在l 3上，若CD =a (定值），则三棱锥A —BCD 的体积 （ ） A.由A 点的变化而变化 B.由B 点的变化而变化 C.有最大值，无最小值 D.为定值

讲解：D 。如图，把△BCD 当作三棱锥的底面，AO ⊥面BCD 于 O ，∵l 2∥l 3,∴无论B 点在l 2上什么位置，△BCD 的面积总 不变.又∵l 2∥l 3,∴l 2、l 3确定一个平面α,∵l 1∥l 2,且A 不在l 2、 l 3确定的平面α上，∴l 1平行于l 2、l 3确定的平面α,从而不论 A 在l 1的什么位置，高AO 的长总不变.

又V =3

1

×高×底面积，故无论A 、B 在什么位置时，其体积

不变.

（三） 基本计算：

1. P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，P 到B ，C ，D 三点的距离分别是

5，17，13，则P 到A 点的距离是

（ A ）

（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）3 （Ｄ）４

2. 将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_____________ (37).

3. 已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于

A

．3 B

． C

． D ．1

【答案】C

（四） 球的内切与外接问题：

1. 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那

么这个球的半径是( B ) A.4 B.3

C.2

D.5

2. 棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面

积为（ A ） A ．

45π B．87π C．π D．4

7π 3. 已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成0

60二面角的平面β截该球面得圆N ．若

该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为

A ．7π

B ．9π

C ．11π

D ．13π 【答案】D

4. 已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=3，

30=∠=∠BSC ASC ，则

棱锥S —ABC 的体积为 （A ）33 （B ）32 （C ）3

（D ）1

【答案】C

（五） 立体几何中的轨迹问题：

1. 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为

1，点M 在A 上，且AM=3

1

AB ，点P 在平面ABCD

上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动 点P 的轨迹方程是 . 9

1

322

-=x y

2. 如图，直角坐标系

xOy 所在的平面为α，直角坐标系'

'x Oy （其中'y 轴一与y 轴重合）

B A x

M