2.8《对数函数》第二课时
第2课时 对数函数的图象及性质的应用(习题课) 课件(40张)
当0<a<1时,同理可得loga2.7>loga2.8.
(2)log34>log33=1,log65<log66=1,所以log34>log65.
(3)log0.37<log0.31=0,log97>log91=0,
所以log0.37<log97.
方法总结
比较两个对数值大小的方法:
(1)logab与logac型(同底数)
[变式训练2-1] 将本例(1)改为loga(x+1)>loga(1-x),求x的集合.
+ > 0,
解:当 a>1 时, - > , 得解集为(0,1).
+ > 1-
+ > 0,
当 0<a<1 时, - > , 得解集为(-1,0).
+ < 1-
方法总结
递减,
所以 f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,- )上单调递减.
2
当 0<a<1 时,y=logat 为减函数,t=2x -3x-2 在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,- )上单
调递减,
所以 f(x)在(2,+∞)上单调递减,在(-∞,- )上单调递增.
综上可知,当 a>1 时,f(x)的单调增区间为(2,+∞),单调减区间为(-∞,- );
(1)解:由题意得 f(-x)+f(x)=0 对定义域中的 x 都成立,
所以 log2
+
+
2
+log2
高考数学一轮复习 2.8 对数与对数函数教案
2.8 对数与对数函数●知识梳理 1.对数（1）对数的定义：如果a b=N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b=N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N .②log aN M=log a M －log a N . ③log a M n=n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义 函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. （2）对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. ●点击双基1.（2005年春季北京，2）函数f （x ）=|log 2x |的图象是 解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.（2004年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25.答案：［2，25］ 4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足 A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z=7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z.答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.b ＜a ＜c D.c ＜a ＜b 解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1.∴log n （log n m ）＜0. 答案：D ●典例剖析【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4，∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241.答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.评述：研究函数的性质时，利用图象更直观.深化拓展已知y =log 21［a 2x+2（ab ）x －b 2x +1］（a 、b ∈R +），如何求使y 为负值的x 的取值范围?提示：要使y ＜0，必须a 2x +2（ab ）x －b 2x +1＞1，即a 2x +2（ab ）x －b 2x＞0. ∵b 2x＞0，∴（b a ）2x +2（b a ）x－1＞0. ∴（b a ）x ＞2－1或（b a ）x＜－2－1（舍去）.再分b a ＞1，b a =1，ba＜1三种情况进行讨论.答案：a ＞b ＞0时，x ＞log ba （2－1）；a =b ＞0时，x ∈R ；0＜a ＜b 时，x ＜log ba （2－1）.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.特别提示讨论复合函数的单调性要注意定义域.●闯关训练 夯实基础1.（2004年天津，5）若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.42 B.22 C.41 D.21 解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a .∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42.答案：A2.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a 1）|，对称轴为x =a 1，由a 1=－2得a =－21.答案：B评述：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4），可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1.∵a ≠0，∴a =－21.3.（2004年湖南，理3）设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f－1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b=8，∴a +b =3.答案：C4.（2004年春季上海）方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2. ∵x ＞0，∴x =2. 答案：25.已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 6.设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0.综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|.培养能力7.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是 解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C8.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b .由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47. ∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 探究创新9.（2004年苏州市模拟题）已知函数f （x ）=3x+k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点，∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3.∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）.（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +x m +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +x m+2m ）min ≥3. 又x +x m ≥2m （当且仅当x =x m ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm+2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.●思悟小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.●教师下载中心 教学点睛1.本小节的重点是对数函数图象和性质的运用.由于对数函数与指数函数互为反函数，所以它们有许多类似的性质，掌握对数函数的性质时，与掌握指数函数的性质一样，也要结合图象理解和记忆.2.由于在对数式中真数必须大于0，底数必须大于零且不等于1，因此有关对数的问题已成了高考的热点内容.希望在讲解有关的例题时，要强化这方面的意识.拓展题例【例1】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例2】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A。
对数函数教案
§2.8.1 对数函数教学目标:1\理解对数函数的概念；2、掌握对数函数的图象和性质；3、培养学生数形结合的意识教学重点：对数函数的图象和性质教学难点：对数函数与指数函数的关系 教学方法：学导式 教学过程： （I ）复习回顾我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示。
现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数。
根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x x 2log =如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log = 由反函数概念可知， x y 2log =与指数函数xy 2=互为反函数 这一节，我们来研究指数函数的反函数——对数函数（Ⅱ）讲授新课1．对数函数定义：一般地，当0>a 且1≠a 时，函数x y a log =叫做对数函数 这里大家要明确，对数函数x y a log =与指数函数xa y =互为反函数，所以，对数函数的解析式可以由指数函数求反函数得到，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域。
即对数函数的定义域是（0，+∞），值域是R 。
由于对数函数x y a log =与指数函数xa y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x a y =的图象关于直线x y =对称。
因此，我们只要画出和x a y =的图象关于x y =对称的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质。
2、对数函数的图象和性质 图 象说明：图中虚线表示的曲线是指数函数xa y =的图象接下来，我们通过例题来看一下对数函数性质的简单应用。
3、例题讲解：例1． 求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解。
人教版高中数学必修1《对数函数的图像与性质》PPT课件
新知运用
例 3 溶 液 酸 碱 度 是 通 过 pH 计 量 的 .pH 的 计 算 式
pH=− + ，其中 + 表示溶液中氢离子的浓度，单位是
摩尔/升.
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为 + = − 摩尔/升，
计算纯净水的 pH 值；
【解析】 = −− = ，所以纯净水的 pH 值
反思总结
1.思想方法：
（1）数形结合：由解析式到图象（由数到形，以形读数），
由图象到性质（由形到数，以数观形）；
（2）分类整合：底数的两个范围对单调性的影响.
2.知识联系：指、对不分家！指数函数与对数函数不仅在概念、
图象与性质上有联系，在解决问题的类型上也有联系，所以
要将两者作为一个整体学习与应用.
所以. < − + < . ，即−. < + < −. ，
所以−. < + < −. ，
所以−. < + < −. ，
所以这种饮用水中氢离子的浓度范围是−. < + <
−. （单位：摩尔/升）.
x 0.5 1
log2x −
2
（2）描点画图.
3
1.6
4
5
6
7
2.3 2.6 2.8
8
新知探求
2.画函数 = 的图象.
由换底公式得 = Байду номын сангаас =
= − ，所以
函数 = 的图象与 = 的图象关于
【精品】高一数学 2.8对数函数(备课资料) 大纲人教版必修
●备课资料［例1］（1）函数y =lg(x 2－3x +2)的定义域为F ，y =lg(x －1)+lg(x －2)的定义域为G ，那么A.F ∩G =∅B.F =GC.F GD.G F解：由x 2－3x +2＞0,得(x －1)(x －2)＞0 ∴F =(－∞,1)∪(2,+∞)由⎩⎨⎧>->-0201x x ,得x ＞2∴G =(2,+∞),∴G F 答案：D(2)如果x ＞1,a =21log x ,那么A.a 2＞2a ＞a B.2a ＞a ＞a 2C.a 2＞a ＞2aD.a ＞2a ＞a 2解法一：由y =21log x 的图象知：当x ＞1时，y ＜0,即a ＜0∴有a 2＞a ＞2a .解法二：∵x ＞1，可令x =2，得a =－1,a 2=1,2a =－2∵1＞－1＞－2,∴a 2＞a ＞2a . 答案：C评述：解法二采用了特值代入法，应提醒学生在做选择题注意这种方法的应用.［例2］设log a 32＜1，则实数a 的取值范围是 A.0＜a ＜32B.32＜a ＜1 C.0＜a ＜32或a ＞1D.a ＞32解：由log a 32＜1=log a a 得(1)当0＜a ＜1时，由y =log a x 是减函数，得：0＜a ＜32 (2)当a ＞1时，由y =log a x 是增函数， 得：a ＞32,∴a ＞1 综合（1）(2)得：0＜a ＜32或a ＞1 答案：C［例3］设0＜x ＜1,a ＞0且a ≠1,试比较|log a (1－x )|与|log a (1+x )|的大小 解法一：作差法|log a (1－x )|－|log a (1+x )|=|a x lg )1lg(- |－|ax lg )1lg(+| =|lg |1a (|lg(1－x )|－|lg(1+x )|) ∵0＜x ＜1,∴0＜1－x ＜1＜1+x ∴上式=－|lg |1a [（lg(1－x )+lg(1+x )]=－|lg |1a ·lg(1－x 2) 由0＜x ＜1，得，lg(1－x 2)＜0，∴－|lg |1a ·lg(1－x 2)＞0， ∴|log a (1－x )|＞|log a (1+x )|解法二：作商法|)1(log ||)1(log |x x a a -+=|log (1－x )(1+x )|∵0＜x ＜1,∴0＜1－x ＜1+x∴|log (1－x )(1+x )|=－log (1－x )(1+x )=log (1－x )x+11 由0＜x ＜1,∴1+x ＞1,0＜1－x 2＜1 ∴0＜(1－x )(1+x )＜1, ∴x+11＞1－x ＞0∴0＜log (1－x )x+11＜log (1－x )(1－x )=1 ∴|log a (1－x )|＞|log a (1+x )| 解法三：平方后比较大小∵log a 2（1－x ）－log a 2(1+x )=[log a (1－x )+log a (1+x )][log a （1－x ）－log a (1+x )] =log a (1－x 2)·log axx+-11 =|lg |12a ·lg(1－x 2)·lg x x +-11 ∵0＜x ＜1,∴0＜1－x 2＜1,0＜xx+-11＜1 ∴lg(1－x 2)＜0,lgxx+-11＜0 ∴log a 2(1－x )＞log a 2(1+x ) 即|log a (1－x )|＞|log a (1+x )| 解法四：分类讨论去掉绝对值 当a ＞1时，|log a （1－x ）|－|log a (1+x )| =－log a (1－x )－log a (1+x )=－log a (1－x 2)∵0＜1－x ＜1＜1+x ，∴0＜1－x 2＜1∴log a (1－x 2)＜0,∴－log a (1－x 2)＞0当0＜a ＜1时，由0＜x ＜1,则有log a （1－x ）＞0,log a (1+x )＜0∴|log a (1－x )|－|log a (1+x )|=|log a (1－x )+log a (1+x )|=log a (1－x 2)＞0 ∴当a ＞0且a ≠1时，总有|log a （1－x ）|＞|log a (1+x )|●备课资料 一、参考例题 ［例1］（1995年全国）已知y =log a (2－ax )在区间{0，1}上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：先求函数定义域：由2－ax ＞0,得ax ＜2 又a 是对数的底数，∴a ＞0且a ≠1,∴x ＜a2 由递减区间[0，1]应在定义域内可得a2＞1, ∴a ＜2又2－ax 在x ∈[0，1]是减函数∴y =log a (2－ax )在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a ＞1 ∴1＜a ＜2二、参考练习题1.已知f (x )=log a (a x－1)(a ＞0且a ≠1) (1)求f (x )的定义域；（2）讨论f (x )的增减性；（3）当a 取何值时，图象在y 轴的左侧？ 解：（1）当a ＞1时，定义域为（0，+∞）当0＜a ＜1时，由a x－1＞0可知， 定义域为（－ ∞，0）（2）设f (x )=log a u ,u =a x－1 当a ＞1时，x ∈(0,+∞)， u =a x －1是增函数， y =log a u 也是增函数由复合函数的单调性可知：f (x )在（0，+∞）上为增函数 当0＜a ＜1时，x ∈(－∞，0)， u =a x －1是减函数， y =log a u 也是减函数由复合函数的单调性可知： f (x )在（－∞，0）上为增函数 （3）由图象在y 轴的左侧可得：当x ＜0时，a x－1＞0， 解得0＜a ＜12.已知函数f (x )=lg[（a 2－1）x 2+(a +1)x +1],若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围.解：依题意(a 2－1)x 2+(a +1)x +1＞0对一切x ∈R 恒成立.当a 2－1≠0时，其充要条件是：⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-0)1(4)1(01222a a a 解得a ＜－1或a ＞35又a =－1，f (x )=0满足题意，a =1,不合题意. 所以a 的取值范围是： （－∞,－1]∪（35，+∞） 3.已知函数f (x )=lg[(a 2－1)x 2+(a +1)x +1],若f (x )的值域为R ,求实数a 的取值范围.解：依题意，只要t =(a 2－1)x 2+(a +1)x +1能取到（0，+∞）上的任何值，则f (x )的值域为R .当a 2－1≠0时，其充要条件是：⎩⎨⎧≥∆>-0012a 解得1＜a ≤35又当a 2－1=0时，a =1,t =2x +1符合题意a =－1不合题意， 所以1≤a ≤35 ●备课资料如何比较对数值的大小 1.利用函数的单调性一般可根据这些数的特点，寻求某个函数作为模型，然后将各数统一到这个模型中，利用函数单调性比出大小.［例1］比较下列两数的大小：53215321)(log )3(log --π与解：∵y =53-x 是奇函数，且在（0，+∞）上为减函数∴y =53-x在（－∞,0）上也是减函数又由于03log log 2121<<π∴53215321)(log )3(log --<π2.作差法［例2］已知f (x )=1+log x 3,g(x )=2log x 2，比较f (x )与g(x )的大小 解：易知f (x ),g(x )的定义域均是：（0，1）∪（1，+∞），f (x )－g(x )=1+log x 3－2log x 2=log x (43x ). ①当x ＞1时，若43x ＞1,则x ＞34,这时f (x )＞g(x ). 若43x ＜1,则1＜x ＜34,这时f (x )＜g(x ) ②当0＜x ＜1时，0＜x 43＜1,log x 43x ＞0,这时f (x )＞g(x )故由（1）（2）可知：当x ∈(0,1)∪（34，+∞）时，f (x )＞g(x ) 当x ∈（1，34）时，f (x )＜g(x ) 3.利用“中间量”比较大小［例3］三个数60.7,0.76,log 0.76的大小顺序是A.0.76＜log 0.76＜60.7B.0.76＜60.7＜log 0.76C.log 0.76＜60.7＜0.76D.log 0.76＜0.76＜60.7解：由于60.7＞1,0＜0.76＜1，log 0.76＜0由此分析，可得答案。
高考第一轮复习数学 ：2.8对数与对数函数教案(含习题及答案)
2.8 对数与对数函数●知识梳理 1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log aNM =log a M －log aN .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. （2）对数函数的图象<11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. ●点击双基1.（2005年春季北京，2）函数f （x ）=|log 2x |的图象是A BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.（2004年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域. 由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足 A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z =y ，即y =x 7z .答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.b ＜a ＜c D.c ＜a ＜b 解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D ●典例剖析【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为A.31B.61C.121D.241 剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241.答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜ y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy评述：研究函数的性质时，利用图象更直观.深化拓展已知y =log 21［a 2x +2（ab ）x －b 2x +1］（a 、b ∈R +），如何求使y 为负值的x 的取值范围?提示：要使y ＜0，必须a 2x +2（ab ）x －b 2x +1＞1，即a 2x +2（ab ）x －b 2x ＞0. ∵b 2x ＞0，∴（b a ）2x +2（b a）x －1＞0. ∴（b a ）x ＞2－1或（b a）x ＜－2－1（舍去）.再分b a ＞1，b a =1，ba＜1三种情况进行讨论.答案：a ＞b ＞0时，x ＞log ba （2－1）；a =b ＞0时，x ∈R ；0＜a ＜b 时，x ＜log ba （2－1）.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.特别提示讨论复合函数的单调性要注意定义域.●闯关训练 夯实基础1.（2004年天津，5）若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.42 B.22 C.41 D.21 解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a .∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42.答案：A2.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21B.－21 C.2 D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a 1）|，对称轴为x =a 1，由a1=－2得a =－21.答案：B 评述：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4），可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1. ∴4a +1=1或4a +1=－1.∵a ≠0，∴a =－21.3.（2004年湖南，理3）设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3.答案：C4.（2004年春季上海）方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2. ∵x ＞0，∴x =2. 答案：25.已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.6.设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0.综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜ x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|.培养能力7.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是AB解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C8.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ， ∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ， ∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2. 又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47. ∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1.探究创新9.（2004年苏州市模拟题）已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y =g （x ）的图象，若2 f－1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点. ∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）.（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f－1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +x m +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +x m+2m ）min ≥3. 又x +x m ≥2m （当且仅当x =x m ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.●思悟小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.●教师下载中心 教学点睛1.本小节的重点是对数函数图象和性质的运用.由于对数函数与指数函数互为反函数，所以它们有许多类似的性质，掌握对数函数的性质时，与掌握指数函数的性质一样，也要结合图象理解和记忆.2.由于在对数式中真数必须大于0，底数必须大于零且不等于1，因此有关对数的问题已成了高考的热点内容.希望在讲解有关的例题时，要强化这方面的意识.拓展题例【例1】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例2】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A。
高一数学-2.8.1对数函数 精品
§2.8.1 对数函数 教学目标 1． 理解对数函数的概念 2． 掌握对数函数的图象和性质 3． 培养学生数形结合的意识 教学重点 对数函数的图象和性质 教学难点 对数函数与指数函数的关系 教学方法 学导式 教具准备 投影片1张（引入实例） 教学过程 （I）复习回顾 师：我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数
y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=x2表示。
现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数。根据对数的定义，
这个函数可以写成对数的形式就是xx2log
如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是xy2log 由反函数概念可知， xy2log与指数函数xy2互为反函数 这一节，我们来研究指数函数的反函数对数函数 （Ⅱ）讲授新课 1．对数函数定义 一般地，当0a且1a时，
函数xyalog叫做对数函数 师：这里大家要明确，对数函数与指数函数互为反函数，所以，对数函数的解析式可以由指数函数求反函数得到，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域。
即对数函数的定义域是（0，+∞），值域是R。
师：由于对数函数xyalog与指数函数xay互为反函数，所以xyalog的图象与xay的图象关于直线xy对称。因此，我们只要画出和xay的图象关于xy对称
的曲线，就可以得到xyalog的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质。 2． 数函数的图象和性质 图 象
性 质
（1）定义域：（0，+∞） （2）值域：R
（3）过点（1，0），即当1x时，0y （4）在（0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数 说明：图中虚线表示的曲线是指数函数xay的图象 师：接下来，我们通过例题来看一下对数函数性质的简单应用。 3． 例题讲解： 例1． 求下列函数的定义域：
2.8.2对数函数
2.8对数函数(2) 知识点：对数函数的性质 例1、求下列函数的定义域：
（1）2logxya； （2）)4(logxya； （3）)9(log2xya；
（4）xy2log1； （5） 1log3xy； （6）xy311log7。 例2、解关于x的不等式 1、1)1(log21x； 2、0)21ln(x；
3、3log2x； 4、)32(log)5(log2.02.0xx。 针对训练 1．函数xyx3log1的定义域是（ ）
A、（1，3） B、(1,3 C、1,22.3 D、1,22,3 2．函数2lg32fxxx的定义域为F,函数()lg(1)lg(2)gxxx的定义域为G,则F与G的关系为（ ） A、FG B、FG C、FG D、FG
3．函数3lglg22xxy的定义域为 （ ） A．,1000101, B．,1000101,0
C．,1000101, D．,1000101,0 4、函数xy23log21的定义域是
5．设函数,1,log1,,281xxxxfx则满足1()4fx的x的值________ 6．求定义域 （1）32logxy； (2)34log5.0xy； （3）xyalog2，10a。
7．解关于x的不等式 （1）5)32(log22xx （2） 132logx 对数函数作业（2） 一、选择题： 1、函数xy2log1，4x的值域是（ ）
A、2, B、3, C、3, D、,
2、已知12log12xxfa在1,02内恒有0fx，则a的取值范围是（ ） A、1aB、01a C、11aa或 D、2112aa或 3、已知cba212121logloglog，则（ ）
第二课时 对数的运算
第二课时 对数的运算 教学目标： 1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程； 2．能较熟练地运用法则解决问题； 教学重点：对数的运算性质 教学过程： 一、问题情境： 1.指数幂的运算性质； 2.问题:对数运算也有相应的运算性质吗？ 二、学生活动： 1．观察教材P59的表2-3-1，验证对数运算性质. 2．理解对数的运算性质. 3．证明对数性质. 三、建构数学： 1）引导学生验证对数的运算性质. 2）推导和证明对数运算性质. 3）运用对数运算性质解题. 探究： ①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……
②有时逆向运用公式运算：如110log2log5log101010
③真数的取值范围必须是),0(：)5(log)3(log)5)(3(log222 不成立；)10(log2)10(log10210不成立.
④注意：NMMNaaaloglog)(log，NMNMaaaloglog)(log. 四、数学运用： 1．例题： 例1．(教材P60例4)求下列各式的值:
（1）)42(log532； （2）5log125； （3）（补充）lg5100.
例2.(教材P60例4)已知3010.02lg，4771.03lg，求下列各式的值（结果保留4位小数） （1）12lg； （2）1627lg. 例3．用xalog，yalog，zalog表示下列各式： 32log)2(;(1)logz
yx
zxy
aa
例4．计算： (1) 18lg7lg37lg214lg； (2)9lg243lg； (3)2.1lg10lg38lg27lg
2．练习: P60（练习）1，2， 4,5. 五、回顾小结： 本节课学习了以下内容：对数的运算法则，公式的逆向使用. 六、课外作业： P63习题 5 补充： 1.求下列各式的值：
（１）2log６－2log３； （２）lg５＋lg２； （３）5log３＋5log31. 2.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：
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2.8对数函数
第二课时
一、教学目标
：
1．进一步熟悉对数函数的图象和性质；
2．会求复合函数的定义域；
3．会利用对数函数的性质（单调性）比较两个对数值的大小。
二、教学重难点
：
重点：对数函数的性质及运用 难点：复合函数的性质及运用
三、教学过程
：
（一）复习引入：
1．对数函数的概念；
2．根据对数函数的图象，叙述对数函数的性质。
（二）新课讲解：
例1．求下列函数的定义域：
（1）121log41xyx； （2）3123()log1xxyx ；
（3）222(2)lg5xfxx； （4）3242(4)lg()xyxx
解：（1）由121412041010log0xxxxxx 定义域为
111
(0,)(,]
442
；
（2）由322301101310331123xxxxxxxx1x 定义域为(1,)；
（3）2()lg(2)3xfxxx 定义域为(3,)；
（4）3242(4)lg()xyxx22240220101152xxxxorxxxxx
定义域为15151515[2,)(,0)(1,)(,2]2222
例2．若函数221[(1)]log4yaaxx的定义域为R，求实数a的取值范围。
分析：21(1)04aaxx恒成立，3535(,)22a。
例3．（P83例2） 比较下列各组数中两个值的大小：
（1）2log3.4，2log8.5； （2）0.3log1.8，0.3log2.7； （3）log5.1a，log5.9a
说明：本例是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的，底数与1的大小关系不明确时，要分情况对
底数进行讨论来比较两个对数的大小。
例4．（P84例3）比较下列比较下列各组数中两个值的大小：
（1）6log7，7log6； （2）3log，2log0.8；
（3）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8； （4）5log3，6log3，7log3。
解： （1）∵66log7log61， 77log6log71， ∴6log77log6
（2）∵33loglog10， 22log0.8log10， ∴3log2log0.8
（3）∵0.901.11.11， 1.11.1log0.9log10，
0.70.70.7
0log1log0.8log0.71
，
∴0.91.10.7log0.81.1log0.9
（4）∵3330log5log6log7， ∴5log36log37log3
说明：本例是利用对数函数的增减性比较两个数的大小，当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入
一个已知数（如1或0等），间接比较上述两个对数的大小。
例5．已知log4log4mn，比较m，n的大小。
解：∵log4log4mn， ∴4411loglogmn
（1）当1m，1n时，得44110loglogmn，∴44loglognm， ∴1mn
（2）当01m，01n时，得44110loglogmn
∴44loglognm， ∴01nm
（3）当01m，1n时，得4log0m，40logn，
∴01m，1n， ∴01mn
综上所述，m，n的大小关系为1mn或01nm或01mn。
（三）练习：P84练习3
（四）小结：1．求复合函数的定义域； 2．利用函数的单调性比较大小的方法。
四、作业
：
1．P85 2、3
2．比较下列各组值的大小： （1）0.6log0.5，0.50.6； （2）43log5，22log3；
（3）23log2，23log2，33log(log2)； （4）2log0.4，3log0.4，4log0.4
3．如函数()yfx的定义域是1(,3]2，求函数3(log)fx的定义域。