2017-2018学年江西省景德镇市第一中学高二上学期期末考试数学试题(16班)

2017-2018学年高二（16）班期末考试数学试卷
一 .选择题：(本题共12小题，每小题5分) 1. 复数103i
z i
=
+ (i 为虚数单位)的虚部为( ) A .1 B. 3 C. 3- D. 154
2. 已知集合{
}{}
2
2|2
1,230x A x B x x x +=<=-->，则B A C R )(=( )
A .[2,1)-- B. (,2]-∞- C. [2,1)(3,)--+∞ D. (2,1)(3,)--+∞
3. 下列选项中，说法正确的是( ) A .若0a b >>，则112
2
log log a b >
B. 向量(1,),(,21)a m b m m ==- ()m R ∈共线的充要条件是0m =
C. 命题“*1,3(2)2n n n N n -∀∈>+⋅”的否定是“*1,3(2)2n n n N n -∀∈≥+⋅”
D. 已知函数()f x 在区间[,]a b 上的图象是连续不断的，则命题“若
()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间(,)a b 内至少有一个零点”的逆命题为
假命题
4. 考拉兹猜想又名31n +猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i =（ ）
A ．4
B ．5 C.6 D ．7
5. 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和
为偶数，则不同的取法共有( )
A ．60种
B ．63种
C ．65种
D ．66种 6. 已知3
20
x dx λ=
⎰
,数列{}n a 是各项为正数的等比数列,则
42
3
a a a λ+的最小值为( )
A. B. 2
C. D. 6
7. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为(
)
A.
1
6
B. 13
C. 12
D. 43
8. 已知直线()y kx k R =∈与函数213() (0)4
()1 2 (0)2
x x f x x x ⎧
-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象恰有三个不同的公共
点，则实数k 的取值范围是( ) A .3
(,)2
+∞ B . (,2)
(2,)-∞-+∞ C . (,2)-∞- D . (2,)+∞
9. 设关于,x y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪
+<⎨⎪->⎩
表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足
0022x y -=.则m 的取值范围是（ ）
A ．4(,)3-∞
B ．1(,)3-∞
C . 2(,)3-∞-
D ．5(,)3
-∞-
10. 已知F 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，
过,F A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若(21)FA AB =-，则此双曲线的离心率是（
）
A
B
C
D ．
11. 平行四边形ABCD 中，0AB BD =⋅，沿BD 将四边形折起成直二面角A BD C --，且2
2
24AB BD +=，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为( )
A .
2π B . 4π C. 4π D. 2π
12. 定义在R 上的可导函数()f x 满足(1)1f =，且2()1f x '>，当
3[,]22x ππ∈-
时，不等式23(2cos )2sin 22
x f x >-的解集为( )
A .4(,)33ππ B. 4(,)33ππ- C. (0,)3π D.
(,)33ππ
-
二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)
13. 已知向量a ，b 的夹角为3
π
，且()1a a b ⋅-=，||2a =，则||b = . 14. 将函数()=sin (0)f x x ωω>的图象向右平移4π个单位长度，所得图象关于点3(,0)4
π对称，则ω的最小值是 .
15. 已知数列{}n a 满足：*12211,2,()n n n a a a a a n N ++===-∈，函数3()tan f x ax b x =+，若4()9f a =，则12017()()f a f a +的值是 .
16. 若方程2
|21|0x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则
41322()()x x x x -+-的取值范围是 .
三.解答题：(本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)
已知a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，满足sin B ＋sin C
sin A ＝
2－cos B －cos C cos A ，函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间
⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π3，π上单调递减.
(1)证明：b ＋c ＝2a ；
(2)若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π9＝cos A ，试判断△ABC 的形状.
18.(本小题满分12分)
张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家到公司上班的路上有L 1， L 2两条路线(如图所示)，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 1
2 ；
L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
34 ，35
. (1)若走L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯的次数X 的数学期望；
(3)按照“遇到红灯的平均次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.
19.(本小题满分12分)
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11B
B B A AB B
C ===，190B BC ∠=，
D 为AC 的中点，1AB B D ⊥. （1）求证：平面11ABB A ⊥平面ABC ；
（2）在线段1CC （不含端点）上，是否存在点E ，使得二面角1E B D B --
的余弦值为
14
-
？若存在，求出1
CE
CC 的值，若不存在，说明理由。

19题图
20题图
20.(本小题满分12分)
如图，椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭
圆于,A B 两点，
2ABF 的周长为8，且12AF F 面积最大时，12AF F 为正三角形。

（1）求椭圆E 的方程；
（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，试探究：①以P Q 为直径的圆与x 轴的位置关系？
②在坐标平面内是否存在定点M ，使得以P Q 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出
M 的坐标；若不存在，说明理由。

21.(本小题满分12分)
设()ln ()()1
x a x
f x a R x +=
∈+在点(1,(1))f 处的切线与直线210x y ++=垂直。

（1）若对于任意的[1,),()(1)x f x m x ∈+∞≤-恒成立，求实数m 的取值范围； （2）设函数()(1)()(1)g x x f x b x =+--在[1,]e 上有且只有一个零点，求实数b 的取值范围。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．
22. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标标系xoy 中，已知曲线12
1cos :9sin 4
x C y αα=+⎧⎪
⎨=-⎪⎩(α为参数,R α∈），在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线
2:sin()4C πρθ+
=3:2cos C ρθ=.
（1）求曲线1C 与2C 的交点M 的直角坐标；
（2）设,A B 分别为曲线2C ，3C 上的动点，求AB 的最小值.
23. (本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲
设函数()f x x a =-,a R ∈.
（1）当2a =时，解不等式：()625f x x ≥--；
（2）若关于x 的不等式()4f x ≤的解集为[1,7]-，且两正数s 和t 满足2s t a +=，求证： 18
6s t
+≥.。