2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(二十六)专题探究课(二)含解析
2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(五十四)抛物线 Word版含解析
课时跟踪练(五十四)A 组 基础巩固1．(2019·黄山模拟)若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( )A ．(8，8)B ．(8，－8)C ．(8，±8)D ．(－8，±8)解析：设P (x P ，y P )，因为点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝－2的距离，所以x P ＝8，则y P ＝±8，所以点P 的坐标为(8，±8)．故选C.答案：C2．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，P 为C 上2一点，若|PF |＝4，则△POF 的面积为( )2A ．2B ．2C ．2D ．423解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋＝4，得x 0＝3，222代入抛物线方程得，y ＝4×3＝24，所以|y 0|＝2，20226所以S △POF ＝|OF ||y 0|＝××2＝2.1212263答案：C3．(2019·茂名模拟)若动圆的圆心在抛物线y ＝x 2上，且与直112经y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A ．(0，2)B ．(0，－3)C ．(0，3)D ．(0，6)解析：直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0，3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0，3)．答案：C4．(2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝(O 为坐标原点)，则·32OM → ＝( )MF →A ．－B. C. D ．－74749494解析：不妨设M (m ，)(m >0)，易知抛物线C 的焦点F 的坐2pm 标为，因为|MO |＝|MF |＝，所以解得m ＝，p ＝(p 2，0)32{m 2＋2pm ＝94，m＋p 2＝32，)122，所以＝，＝，所以·＝－2＝－.OM → (12，2)MF → (12，－2)OM → MF → 1474故选A.答案：A5．(2019·长沙模拟)已知点P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆C ：(x ＋2)2＋(y －4)2＝1上的一个动点，则x 0＋|PQ |的最小值为( )A ．2－1B ．255C ．3D ．4解析：设抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0)，过点P (x 0，y 0)作准线l ：x ＝－1的垂线，垂足为N ，则x 0＋|PQ |＝|PN |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|CF |－2＝－2＝5－2＝3，当且仅当C ，P ，F 三点共（1＋2）2＋42线且点Q 在线段CF 上时取等号，则x 0＋|PQ |的最小值是3，故选C.答案：C6．(2019·福州模拟)函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点P ，则焦点在x 轴上且过点P 的抛物线的标准方程是________________．解析：设抛物线的方程为y 2＝mx (m ≠0)，由题意知点P 的坐标为(1，1)，代入y 2＝mx ，可得m ＝1，所以焦点在x 轴上且过点P 的抛物线的标准方程是y 2＝x .答案：y 2＝x7．(2019·玉溪模拟)已知F 是抛物线y ＝x 2的焦点，M 、N 是该抛物线上的两点，|MF |＋|NF |＝3，则线段MN 的中点到x 轴的距离为________．解析：抛物线的焦点为，准线为y ＝－，过M ，N 作准线(0，14)14的垂线，垂足分别为M ′，N ′，则|MM ′|＝|MF |，|NN ′|＝|NF |，所以|MM ′|＋|NN ′|＝|MF |＋|NF |＝3，设线段MN 的中点为P ，过P 作准线的垂线，垂足为P ′，则|PP ′|＝＝，|MM ′|＋|NN ′|232所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为|PP ′|－＝－＝.14321454答案：548．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且l 与准线交于点C ，若＝4，CB → BF →则＝________．|AF ||BF |解析：根据题意，设|AF |＝a ，|BF |＝b，过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，则有|BF |＝|BN |＝b ，|AF |＝|AM |＝a ，因为＝4，所以|CB |＝4|BF |，即|CB |＝4|BN |，CB → BF →又BN ∥AM ，所以|CA |＝4|AM |，即4b ＋b ＋a ＝4a ，变形可得＝，a b 53即＝.|AF ||BF |53答案：539．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px的准线为x ＝－，于是4＋＝5，p 2p2所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由(1)知点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)．又因为F (1，0)，所以k FA ＝.43因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－，34所以FA 的方程为y ＝(x －1)，①43MN 的方程为y ＝－x ＋2，②34由①②联立得x ＝，y ＝，8545所以点N 的坐标为.(85，45)10．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为2的直线交2抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λOC → OA → OB →的值．解：(1)直线AB 的方程是y ＝2，2(x －p2)与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，5p4所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由(1)知p ＝4，4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，又x 1＜x 2，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－2，y 2＝4，22从而A (1，－2)，B (4，4)．22设＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，OC →2222又y ＝8x 3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0232或λ＝2.B 组 素养提升11．(2019·太原模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝|AB |，则∠AFB 的最大值为( )233A. B. C. D.π33π45π62π3解析：设|AF |＝m ，|BF |＝n ，因为|AF |＋|BF |＝|AB |，233所以|AB |≥2，所以mn ≤|AB |2，233mn 13在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝＝m 2＋n 2－|AB |22mn＝≥－，（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn13|AB |2－2mn 2mn 12所以∠AFB 的最大值为.故选D.2π3答案：D12．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A.B ．2C ．2D ．35233解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝(x －1)．3联立得方程组{y ＝3（x －1），y 2＝4x ，)解得或{x ＝13，y ＝－233，){x ＝3，y ＝23.)因为点M 在x 轴的上方，所以M (3，2)．3因为MN ⊥l ，所以N (－1，2)．3所以|NF |＝＝4，（1＋1）2＋（0－23）2|MF |＝|MN |＝＝4.（3＋1）2＋（23－23）2所以△MNF 是边长为4的等边三角形．所以点M 到直线NF 的距离为2.3故选C.答案：C13．(2019·衡水中学月考)已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是________．解析：因为直线l 与圆相切，所以＝1⇒k 2＝t 2＋2t .再把直|t ＋1|1＋k 2线l 的方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t ＝16t (t ＋3)>0，解得t >0或t <－3.答案：t >0或t <－314．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若＝2，求直线AB 的斜率；AF → FB →(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意知F (1，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.因为＝2，所以y 1＝－2y 2.AF → FB →联立上述三式，消去y 1，y 2，得m ＝±.24所以直线AB 的斜率是±2.2(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×·|OF |·|y 1－y 2|12＝＝4，（y 1＋y 2）2－4y 1y 21＋m 2所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.。
2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练：(三十六)专题探究课(三) 含解析
3．(20xx·天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)，已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.
(1)求Sn和Tn；
(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．
(1)证明：易知an≠0，因为an＋1＝ ，
所以 ＝ ，所以 － ＝ ，
又因为a1＝ ，所以 ＝2，
所以数列 是以2为首项， 为公差的等差数列．
(2)解：由(1)知， ＝2＋ (n－1)＝ ，即an＝ ，
所以bn＝ ＝4 ，
Sn＝4 ＝
4 ＝ .
2．(20xx·长郡中学、衡阳八中、南昌二中联考)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1＝1，b1＝2，b2＝2a2，b3＝2a3＋2.
故an＝n，所以Sn＝ .
(2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝ －n＝2n＋1－n－2.
由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得
＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，
整理得n2－3n－4＝0，
解得n＝－1(舍去)，或n＝4.
所以n的值为4.
4．(20xx·安阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝x2＋Bx＋C－1(B，C∈R)的图象上，且a1＝C.
则Tn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－1)·2n，
2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，
两式相减得
Tn＝(2n－1)·2n＋1－2(22＋23＋…＋2n)－2
＝(2n－1)·2n＋1－ －2
2020高考数学(文科)专题复习课标通用版(跟踪检测)：不等式、函数与导数专题1第2讲含答案
1．函数f(x)＝ ＋ 的定义域为( )
A．(－∞，－1)B．(－∞，－1]
C．(－1，＋∞)D．[－1，＋∞)
C解析由题意得 解得x>－1.故选C项．
2．(20xx·陕西汉中联考)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上递减的函数是( )
A．y＝tanxB．y＝x－3
5．(2020·河南名师联盟调研)设函数f(x)＝ (a∈R，a≠0)，若f(－2 019)＝2，f(2 019)＝( )
A．2B．－2
C．2 019D．－2 019
B解析因为f(x)＝ ，
所以f(－x)＝ ＝－ ＝－f(x)，因此函数f(x)为奇函数，又f(－2 019)＝2，
所以f(2 019)＝－f(－2 019)＝－2.故选B项．
15．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF上的动点(不与E，F重合)，FM＝x，过点M、直线AB的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V(x)，则函数V(x)的大致图象是( )
C解析当x∈ 时，V(x)增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x∈ 时，V(x)增长的速度越来专题复习课标通用版（跟踪检测）：不等式、函数与导数专题1第2讲含答案
编 辑：__________________
时 间：__________________
一部分专题一 第2讲
题型
对应题号
1.函数的图象
3,7,9,15
2.函数的性质
1,2,4,5,6,8,10,11,12,13,14
3．(2020·河南南阳一中开学考试)函数f(x)＝ex－e－x－ 的部分图象大致为( )
2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练：(六十三)专题探究课(五) 含解析
编 辑：__________________
时 间：__________________
(六十三)
A组 基础巩固
1．设F1，F2分别是椭圆C： ＋ ＝1(a＞点为N.
6．(20xx·陕西质检)已知F1，F2为椭圆E： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF1|＋|PF2|＝4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得 ，λ， 成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，
故 ＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则
即
代入C的方程，得 ＋ ＝1.②
将①及c＝ 代入②得 ＋ ＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2 .
2．(20xx·郑州模拟)已知动圆E经过点F(1，0)，且和直线l：x＝－1相切．
所以△ABC面积的最大值为 .
3．(20xx·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C： ＋ ＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．
(1)证明：k<－ ；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且 ＋ ＋ ＝0.证明：| |，| |，| |成等差数列，并求该数列的公差．
证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.
又点P在C上，所以m＝ ，从而P(1，－ )，| |＝ ，
2020高考数学(文科)专题复习课标通用版(跟踪检测)：解答题分类特训解答题分类特训4含答案
解析(1)证明：取AB中点O、连接EO、DO.由等腰直角三角形ABE可得EB＝EA、EA⊥EB、所以EO⊥AB．
因为四边形ABCD为直角梯形、AB＝2CD＝2BC、AB⊥BC、
所以四边形OBCD为正方形、所以AB⊥OD．又因为OD∩OE＝O、OD⊂平面EOD、OE⊂平面EOD、
所以AB⊥平面EOD．又因为ED⊂平面EOD、所以AB⊥ED．
(2)证明：因为平面ABE⊥平面ABCD、平面ABE∩平面ABCD＝AB、且AB⊥BC、所以BC⊥平面ABE.
又因为EA⊂平面ABE、所以BC⊥EA．
因为EA⊥EB、BC∩EB＝B、BC⊂平面BCE、EB⊂平面BCE、所以EA⊥平面BCE.又EA⊂平面AED、
(1)求证：PC1⊥AB；
(2)求三棱锥P－A1B1C的体积．
解析(1)证明：如图、取A1B1的中点为D、连接PD、DC1.
因为PA1＝PB1、所以PD⊥A1B1.因为C1A1＝C1B1、所以C1D⊥A1B1.
又PD∩C1D＝D、PD⊂平面PDC1、C1D⊂平面PDC1、
所以A1B1⊥平面PDC1、又PC1⊂平面PDC1、
2020高考数学（文科）专题复习课标通用版（跟踪检测）：解答题分类特训解答题分类特训4含答案
编 辑：__________________
时 间：__________________
(建议用时：30分钟)
1．(20xx·湖北八校联考)如图、在正三棱柱ABC－A1B1C1中、BC＝CC1＝2、点P在平面ABB1A1上、且PA1＝PB1＝ .
所以A1B1⊥PC1.又AB∥A1B1、所以PC1⊥AB．
2020届高考数学(文)总复习：创新思维课时规范练(含答案)第二章 第十一节 第一课时 函数的导数与单调性
课时规范练A组基础对点练1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析：根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A，B；记导函数f′(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(－∞，x1)上f′(x)＜0，在(x1，x2)上f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递减，排除C，选D.答案：D2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1,1)解析：因为f′(x)＝2x－2x＝2(x＋1)(x－1)x(x＞0)．所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．答案：A3．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是() A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)解析：因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－1x.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x＞1时，f′(x)＝k－1x≥0恒成立，即k≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x＞1，所以0＜1x＜1，所以k≥1.故选D.答案：D4．已知函数f(x)＝2x3－6ax＋1，a≠0，则函数f(x)的单调递减区间为() A．(－∞，＋∞)B．(－a，＋∞)C．(－∞，－a)∪(a，＋∞)D．(－a，a)解析：f′(x)＝6x2－6a＝6(x2－a)，当a＜0时，对x∈R，有f′(x)＞0；当a＞0时，由f′(x)＜0解得－a＜x＜a，所以当a＞0时，f(x)的单调递减区间为(－a，a)．答案：D5．已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是()解析：设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，g′(x)＝2－2cos x≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．答案：A6．设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a ＞1，则f (x )的单调减区间为________．解析：f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )， 由a ＞1知，当x ＜2时，f ′(x )＞0， 故f (x )在区间(－∞，2)上单调递增； 当2＜x ＜2a 时，f ′(x )＜0， 故f (x )在区间(2,2a )上单调递减； 当x ＞2a 时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ＞1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上单调递增， 在区间(2,2a )上单调递减． 答案：(2,2a )7．(2019·荆州质检)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (1)求b ，c 的值；(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间． 解析：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．8．设函数f (x )＝13mx 3＋(4＋m )x 2，g (x )＝a ln(x －1)，其中a ≠0.(1)若函数y ＝g (x )的图象恒过定点P ，且点P 关于直线x ＝32对称的点在y ＝f (x )的图象上，求m 的值．(2)当a ＝8时，设F (x )＝f ′(x )＋g (x ＋1)，讨论F (x )的单调性． 解析：(1)令ln(x －1)＝0，则x ＝2， 即函数y ＝g (x )的图象恒过定点P (2,0)， 所以点P 关于直线x ＝32对称的点为(1,0)， 又点(1,0)在y ＝f (x )的图象上， 所以13m ＋4＋m ＝0，所以m ＝－3.(2)因为F (x )＝mx 2＋2(4＋m )x ＋8ln x ，且定义域为(0，＋∞)． 所以F ′(x )＝2mx ＋(8＋2m )＋8x ＝2mx 2＋(8＋2m )x ＋8x＝(2mx ＋8)(x ＋1)x .因为x ＞0，所以x ＋1＞0.当m ≥0时，F ′(x )＞0，此时F (x )在(0，＋∞)上为增函数． 当m ＜0时，由F ′(x )＞0得0＜x ＜－4m ， 由F ′(x )＜0得x ＞－4m ， 所以F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－4m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m ，＋∞上单调递减． 综上，当m ≥0时，F (x )在(0，＋∞)上为增函数；当m ＜0时，F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－4m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m ，＋∞上单调递减．B 组 能力提升练9．(2019·兰州市高三诊断考试)定义在(0，π2)上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )＜0成立，则有( )A ．f (π6)＞2f (π4) B.3f (π6)＞f (π3)C ．f (π6)＞3f (π3)D ．f (π6)＞3f (π4)解析：∵cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )＜0，∴在(0，π2)上，[f (x )cos x]′＜0，∴函数y＝f (x )cos x 在(0，π2)上是减函数，∴f (π6)cos π6＞f (π3)cos π3，∴f (π6)＞3f (π3)，故选C. 答案：C10．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋1，若存在实数x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1－x 2≥1，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0，ln 23)B ．(0，ln 23]C ．(－∞，ln 23]D ．(－∞，2ln 23]解析：当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋1，若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＝x 2，显然不成立，排除C ，D ；取x 1＝2，x 2＝1，由f (x 1)＝f (x 2)得－a ＋1＝ln 2－4a ＋1，得a ＝ln 23，排除A.选B. 答案：B11．函数f (x )＝ln x －12x 2＋x 的单调增区间为________．解析：因为f (x )＝ln x －12x 2＋x ，所以f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x ，x ＞0，由f ′(x )＞0得x ＞0且x ＜1＋52， 所以增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52 12．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)．若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数， 则f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立， 即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x ，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a ＞0，所以0＜a ≤25或a ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[1，＋∞)13．(2019·兰州模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ∈R )．当0＜a ＜12时，讨论f (x )的单调性．解析：因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)，令f ′(x )＝0，可得两根分别为1，1a －1， 因为0＜a ＜12，所以1a －1＞1＞0，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；当x ∈(1a －1，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．14．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2＋ln x ，g (x )＝f (x )－2ax .(a ∈R )(1)当a ＝0时，求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值；(2)若x ∈(1，＋∞)，g (x )＜0恒成立，求a 的取值范围． 解析：(1)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，当a ＝0时，f (x )＝－12x 2＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋1x ＝－x 2＋1x ＝－(x ＋1)(x －1)x.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，f ′(x )＞0；当x ∈[1，e]时，f ′(x )＜0，∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上是增函数，在区间[1，e]上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－12e 2，f (e)＝1－e 22，∴f (x )min ＝f (e)＝1－e 22.(2)g (x )＝f (x )－2ax ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2－2ax ＋ln x ，则g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝(2a －1)x －2a ＋1x ＝(2a －1)x 2－2ax ＋1x ＝(x －1)[(2a －1)x －1]x，①若a ＞12，则令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝12a －1， 当x 2＞x 1＝1，即12＜a ＜1时，在(0,1)上有g ′(x )＞0，在(1，x 2)上有g ′(x )＜0，在(x 2，＋∞)上有g ′(x )＞0，此时g (x )在区间(x 2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有g (x )∈(g (x 2)，＋∞)，不合题意；当x 2≤x 1＝1，即a ≥1时，同理可知，g (x )在区间(1，＋∞)上有g (x )∈(g (1)，＋∞)，也不合题意；②若a ≤12，则有2a －1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g ′(x )＜0， 从而g (x )在区间(1，＋∞)上是减函数；要使g (x )＜0在此区间上恒成立，只需满足g (1)＝－a －12≤0⇒a ≥－12，由此求得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.综合①②可知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.。
2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练(四十)直接证明与间接证明
课时跟踪练(四十)A 组 基础巩固1．若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：a 2－ab ＝a (a －b )， 因为a ＜b ＜0，所以a －b ＜0， 所以a 2－ab ＞0， 所以a 2＞ab .① 同理，ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2. ★答案★：B2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负 解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0，故选A.★答案★：A3．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是()A．a>b B．a<bC．a＝b D．a，b大小不定解析：因为a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1.而m＋1＋m>m＋m－1>0(m>1)，所以1m＋1＋m<1m＋m－1，即a<b.★答案★：B4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac＜3a”索的因应是()A．a－b＞0 B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0解析：由题意知b2－ac＜3a⇐b2－ac＜3a2⇐(a＋c)2－ac＜3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇐－2a2＋ac＋c2＜0⇐2a2－ac－c2＞0⇐(a－c)(2a ＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.★答案★：C5．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A．②③B．①②③C．③D．③④⑤解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，但不满足a ，b 中至少有一个大于1，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，但a <1，b <1，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，但a <1，b <1，故⑤推不出． 对于③，若a ＋b >2，则“a ，b 中至少有一个大于1”成立． 证明(反证法)：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b >2矛盾． 因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.故选C. ★答案★：C6．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设为________．解析：“x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”． ★答案★：x ≠－1且x ≠17．[一题多解]设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________．解析：法一(取特殊值法) 取a ＝2，b ＝1，得m <n . 法二(分析法)a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．★答案★：m <n8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，所以c n随n 的增大而减小，所以c n ＋1＜c n .★答案★：c n ＋1＜c n9．[一题多解]在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且直线bx ＋y cos A ＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，求证：△ABC 是直角三角形．证明：法一 由两直线平行可知b cos B －a cos A ＝0，由正弦定理可知sin B cos B －sin A cos A ＝0，即12sin 2B －12sin 2A ＝0，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.若A ＝B ，则a ＝b ，cos A ＝cos B ，两直线重合，不符合题意，故A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形．法二 由两直线平行可知b cos B －a cos A ＝0， 由余弦定理，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac ，所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 所以c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)，所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，所以a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2， 若a ＝b ，则两直线重合，不符合题意，故a 2＋b 2＝c 2，即△ABC 是直角三角形．10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是证c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立． 于是原等式成立．B 组 素养提升11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：因为a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C .★答案★：A12．(2019·武汉模拟)已知a ，b ，c ∈R ，若b a ·c a >1且b a ＋c a ≥－2，则下列结论成立的是( )A ．a ，b ，c 同号B ．b ，c 同号，a 与它们异号C ．a ，c 同号，b 与它们异号D ．b ，c 同号，a 与b ，c 的符号关系不确定解析：由b a ·c a >1知b a 与c a 同号，若b a >0且c a >0，不等式b a ＋ca≥－2显然成立，若b a <0且c a <0，则－b a >0，－ca >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a >2，即b a ＋c a <－2，这与b a ＋c a ≥－2矛盾，故b a >0且ca >0，即a ，b ，c 同号．故选A.★答案★：A13．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是________．解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ，即(a －b )2(a ＋b )＞0，需满足a ≥0，b ≥0且a ≠b .★答案★：a ≥0，b ≥0且a ≠b14．若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a ＜b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b的值；(2)是否存在常数a ，b (a ＞－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在．求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题设得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b ＞1，所以b ＝3. (2)假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a ＞－2)上是“四维光军”函数，因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有⎩⎨⎧h （a ）＝b ，h （b ）＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(二十)同角三角函数的基本关系式与诱导公式 Word版含解析
课时跟踪练(二十) A组 基础巩固 1．sin 600°的值为( )
A．－12 B．－32 C.12 D.32 解析：sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 答案：B 2．已知sinα－π12＝13，则cosα＋17π12的值等于( )
A.13 B.223 C．－13 D．－223 解析：cosα＋17π12＝cosα＋3π2－π12＝sinα－π12＝13. 答案：A 3．(2019·安徽江南十校联考)已知tan α＝－34，则sin α·(sin α－cos α)等于( ) A.2125 B.2521 C.45 D.54 解析：sin α·(sin α－cos α)＝sin2 α－sin α·cos α ＝sin2 α－sin α·cos αsin2 α＋cos2 α＝tan2 α－tan αtan2 α＋1，将tan α＝－34代入，得原
式＝－342－－34－342＋1＝2125. 答案：A 4．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|A．－π6 B．－π3 C.π6 D.π3 解析：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，
所以tan θ＝3，又|θ|答案：D 5．(2019·衡水金卷信息卷(一))已知直线2x－y－1＝0的倾斜角为α，则sin 2α－2cos2 α＝( )
A.25 B．－65 C．－45 D．－125 解析：由题意知tan α＝2， 所以sin 2α－2cos2 α＝2sin αcos α－2cos2 αsin2 α＋cos2 α＝2tan α－2tan2 α＋1＝25. 答案：A 6．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin2 α＋2sin α1－cos2 α的值为( ) A．3 B．－3 C．1 D．－1 解析：由角α的终边落在第三象限， 得sin α<0，cos α<0，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 / 6
2020届高考数学（文科）总复习课时跟踪练：（二十六）
专题探究课（二）含解析
编 辑：__________________
时 间：__________________
教学资料范本
2 / 6
(二十六)
1．已知函数f(x)＝sin x－23sin2x2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间0，2π3上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin x－23sin2 x2＝sin x＋3cos x－3＝
2sinx＋π3－3，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x≤2π3，所以π3≤x＋π3≤π.
当x＋π3＝π，即x＝2π3时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间0，2π3上的最小值为f2π3＝－3.
2．(20xx·山东
卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝3，AB→·
AC→＝－6，S△ABC＝3，求A和a.
解：因为AB→·AC→＝－6，所以bccos A＝－6.
又S△ABC＝3，所以bcsin A＝6.
因此tan A＝－1.
又0
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bcos A，
3 / 6
得a2＝9＋8－2×3×22×－22＝29，
所以a＝29.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝
3π
4
，且sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)．
(1)求证：a，b，2a成等比数列；
(2)若△ABC的面积是1，求c.
(1)证明：因为A＋B＋C＝π，sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)，
所以sin B＝－2sin Acos C，
结合正弦定理得b＝－2acos C，
因为C＝3π4，所以b＝2a，则b2＝a·2a，
所以a，b，2a成等比数列．
(2)解：S△ABC＝12absin C＝24ab＝1，
则ab＝22，①
由(1)知b＝2a，②
联立①②得a＝2，b＝2.
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝2＋4－
2×2×2×－22＝10.
所以c＝10.
4．(20xx·濮阳三
模)△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是内角A，B，C的对边
，且2R(sin2 B－sin2 A)＝(b－c)sin C，c＝3.
(1)求角A的大小；
4 / 6
(2)若AD是BC边上的中线，AD＝192，求△ABC的面积．
解：(1)因为2R(sin2 B－sin2 A)＝(b－c)sin C，
所以2Rsin B·sin B－2Rsin A·sin A＝(b－c)sin C，
所以bsin B－asin A＝bsin C－csin C，
即b2－a2＝bc－c2，即b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，又0°
在△ABE中，∠ABE＝120°，AE＝19，
由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos 120°，
即19＝9＋BE2－2×3×BE×－12，解得BE＝2(舍负)，所以
AC＝2.
故S△ABC＝12AB·ACsin ∠BAC＝12×3×2×32＝332.
5．(20xx·天津
卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin
A＝4bsin B，ac＝5(a2－b2－c2)．
(1)求cos A的值；
(2)求sin(2B－A)的值．
解：(1)由asin A＝4bsin B及asin A＝bsin B，得a＝2b.
由ac＝5(a2－b2－c2)及余弦定理，得
cos A＝b2＋c2－a22bc＝－55acac＝－55.
5 / 6
(2)由(1)，可得sin A＝255，代入asin A＝4bsin B，得sin B＝
asin A4b＝5
5
.
由(1)知，A为钝角，所以cos B＝1－sin2B＝255.
于是sin 2B＝2sin Bcos B＝45，cos 2B＝1－2sin2B＝35，
故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A＝45×－55－35×
25
5
＝－255.
6．已知函数f(x)＝cos x(cos x＋3sin x)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(C)＝1
，S△ABC＝334，c＝7，求△ABC的周长．
解：(1)f(x)＝cos x(cos x＋3sin x)＝cos2 x＋3sin xcos x＝
1＋cos 2x
2＋32sin 2x＝12
＋sin2x＋π6.
当sin2x＋π6＝－1时，f(x)取得最小值－12.
(2)f(C)＝12＋sin2C＋π6＝1，所以sin2C＋π6＝12，
因为C∈(0，π)，2C＋π6∈π6，13π6，
所以2C＋π6＝5π6，因此C＝π3.
因为S△ABC＝12absin C＝334，所以ab＝3.
6 / 6
又(a＋b)2－2abcos π3＝7＋2ab，
所以(a＋b)2＝16，即a＋b＝4，所以a＋b＋c＝4＋7，
故△ABC的周长为4＋7.