2020届高考文科数学大二轮复习冲刺经典专题高考仿真模拟二2

2020高考仿真模拟(二)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知i 为虚数单位，则i ＋i 2

＋i 3

＋…＋i 2019

等于( )

A ．i

B ．1

C ．－i

D ．－1

答案 D

解析由于i ＋i 2

＋i 3

＋i 4

＝i －1－i ＋1＝0，且i n (n ∈N *

)的周期为4,2019＝4×504＋3，所以原式＝i ＋i 2

＋i 3

＝i －1－i ＝－1.故选D.

2．集合A ＝{y |y ＝2cos 2

x ＋1}，B ＝{x |log 2(x ＋2)＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2,3] B ．(0,2] C ．[1,2) D ．(2,3]

答案 C

解析因为A ＝{y |y ＝2cos 2x ＋1}＝{y |y ＝cos2x ＋2}＝[1,3]，B ＝{x |log 2(x ＋2)＜2}＝{x |0＜x ＋2＜4}＝(－2，2)，所以A ∩B ＝[1,2)，故选C.

3．“不等式x 2

－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m ＞14

B ．0＜m ＜1

C ．m ＞0

D ．m ＞1

答案 C

解析若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x

－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，推不出m >14，即推不出不等式x 2

－x ＋m >0在R 上

恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0.

4．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是( )

A.23

B.12

C.14

D.16 答案 B

解析从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有{黄，白}，{黄，蓝}，{黄，红}，{白，蓝}，{白，红}，{蓝，红}，共6种，这6种基本事件发生的可能性是相等的．其中包含白色的有3种，所以选中白色的概率为1

，故选B.

5．《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作．其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至后的那个节气(小暑)晷长为( )

A ．五寸

B ．二尺五寸

C ．三尺五寸

D ．四尺五寸

答案 B

解析设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.∴a 2＝15＋10＝25，∴《周髀算经》中所记录的小暑的晷长是25寸，即二尺五寸．故选B.

6．函数f (x )＝?

?21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )

答案 B

解析 ∵f (x )＝?

????21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝? ????21＋e －x －1cos(－x )＝－? ??

?21＋e x －1cos x ＝－f (x )，∴

函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A ，C ；又当x ∈? ????0，π2时，e x ＞e 0

＝1，21＋e x －1＜0，cos x ＞0，∴f (x )＜0，排除D ，故选B.

7．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)·e －|x |

(A >0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则Aω的可能取值

为( )

A.π

2 B ．π

C.3π2

D ．2π

答案 B

解析 ∵f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )为偶函数，∴φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π

2，

∴f (x )＝A cos ωx ·e

－|x |

，∵f (0)＝2，∴A ＝2，∵f (1)＝f (3)＝0，

∴cos ω·1e ＝cos3ω·1e 3＝0，∴cos ω＝cos3ω＝0，取ω＝π

2，则Aω＝π.故选B.

8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )

A ．72

B ．48

C ．24

D ．16 答案 C

9．已知等边△ABC 的边长为2，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，且AE →＝λAB →，AF →＝μAC →，若EB →·FC →＝2

3，

EC →

·FB →

＝－1，则λ＋μ＝( )

A.12

B.2

C.56

D.712

答案 C

解析 ∵等边三角形ABC 的边长为2，∴AB →·AC →＝BA →·BC →＝CA →·CB →＝2，又AE →＝λAB →，AF →＝μAC →

，∴

EC →

＝EB →＋BC →＝BC →＋(1－λ)AB →，FB →＝FC →＋CB →＝(1－μ)AC →－BC →，∴EB →·FC →＝(1－λ)·AB →·(1－μ)AC →

＝(1

－μ)(1－λ)AB →·AC →＝2(1－μ)(1－λ)＝23，EC →·FB →＝[BC →＋(1－λ)AB →]·[(1－μ)AC →－BC →

]＝－4＋2(1

－μ)(1－λ)＋2(1－λ)＋2(1－μ)＝－1，∴2(1－λ)＋2(1－μ)＝3－23＝73，∴λ＋μ＝5

，故选C.

10．实数x ，y 满足|x ＋1|≤y ≤－1

2x ＋1时，目标函数z ＝mx ＋y 的最大值等于5，则实数m 的值为( )

A ．－1

B ．－1

2 C ．2 D ．5

答案 B

解析实数x ，y 满足|x ＋1|≤y ≤－1

x ＋1时，表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A (－1,0)，

B (0,1)，由?

???

y ＝－x －1，y ＝－1

2x ＋1，得?????

x ＝－4，

y ＝3，

∴C (－4,3)．目标函数z ＝mx ＋y ，∴y ＝－mx ＋z ，当m >1

2时，直线过点B 时，z 取得最大值，此时z

＝1，与z 取得最大值5矛盾，舍去；当0

2时，直线过点C 时，z 取得最大值5，∴－4m ＋3＝5，∴m

＝－12不成立，舍去；当m ＝0或1

2时，易验证z 的最大值不可能等于5；当m <0时，直线过点C 时，z 取

得最大值5，

∴－4m ＋3＝5，∴m ＝－1

2成立．故选B.

11．若x ，y ，z ∈R ＋，且3x

＝4y

＝12z

，x ＋y

∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则n 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

答案 C

解析设3x

＝4y

＝12z

＝t (t >1)，则x ＝log 3t ，y ＝log 4t ，z ＝log 12t ，∴x ＋y

＝ log 3t ＋log 4t log 12t ＝log 3t log 12t ＋log 4t

log 12t

＝log 312＋log 412＝2＋log 34＋log 43.∵

12log 34·log 43＝2，∴2

x ＋y

∈(4,5)．∴n ＝4.故选C. 12．已知函数f (x )＝???

e －x ＋mx ＋m 2，x <0，e x x －1，x ≥0

(e 为自然对数的底数)，若方程f (－x )＋f (x )＝0有

且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是( )

A ．(0，e)

B ．(e ，＋∞)

C ．(0,2e)

D ．(2e ，＋∞)

答案 D

解析因为函数F (x )＝f (－x )＋f (x )是偶函数，F (0)≠0，所以零点成对出现，依题意，方程f (－

x )＋f (x )＝0有两个不同的正根，又当x >0时，f (－x )＝e x －mx ＋m 2

，所以方程可以化为e x －mx ＋m

＋x e x

－e x ＝0，即x e x ＝m ? ????x －12，记g (x )＝x e x (x >0)，则g ′(x )＝e x

(x ＋1)>0，设直线y ＝m ? ????x －12与g (x )图象

相切时的切点为(t ，t e t )，则切线方程为y －t e t ＝e t

(t ＋1)(x －t )，过点? ????12，0，所以－t e t ＝e t (t ＋1)? ??

?12－t ?t ＝1或－1

(舍去)，所以切线的斜率为2e ，由图象可以得m >2e.故选D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f (x )＝

1－ln x

－2

的定义域为________．答案 (0,1)∪(1，e]

解析依题意得????

x ＞0，1－ln x ≥0，

2x －2≠0，

得????

x ＞0，0＜x ≤e，x ≠1，

即函数的定义域为(0,1)∪(1，e]．

14．已知函数f (x )＝???

2－x

－1，x ≤0，

x 1

2 ，x >0

在区间[－1，m ]上的最大值是1，则m

的取值范围是________．

答案 (－1,1]

解析作出函数f (x )的图象，如图所示，可知当－1

15．在△ABC 中，点D 是BC 的中点，若AB ⊥AD ，∠CAD ＝30°，BC ＝27，则△ABC 的面积为________．答案 2 3

解析因为D 是BC 的中点，所以S △ABC ＝2S △ABD ，即12AB ·AC sin120°＝2×12AB ·AD ，所以AD ＝3

4AC ，

于是在△ACD 中，CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD ，即(7)2＝AC 2

＋316AC 2－2AC ·34AC ·32，解得AC ＝

4，所以AD ＝3，于是S △ABC ＝2S △ADC ＝2×12×3×4×1

＝2 3.

16．已知三棱锥P －ABC ，△ABC 为等边三角形，△PAC 为直角三角形，∠PAC ＝90°，∠PCA ＝45°，平面PAC ⊥平面ABC ，若AB ＝3，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为________．

答案 21π

解析由∠PAC ＝90°，平面PAC ⊥平面ABC ，可知PA ⊥平面ABC ，球心在经过△ABC 的中心且垂直面ABC 的垂线上，也在线段PA 的中垂面上，故二者交点即球心，因为∠PCA ＝45°，所以PA ＝3，所以三棱锥P －ABC 外接球的半径R 满足R 2＝? ??

??322＋(3)2＝214，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2

＝21π.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n

2n ＝n 2

＋n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝

－1

a n

，求数列{b n }的前n 项和S n .

解 (1)a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n

n ＝n 2

＋n ，①

∴当n ≥2时，a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n －1

2n －1＝(n －1)2

＋n －1，②

①－②，得a n

n ＝2n (n ≥2)，∴a n ＝n ·2n ＋1

(n ≥2)．

当n ＝1时，a 1

2＝1＋1，a 1＝4也适合，∴a n ＝n ·2

n ＋1

(2)由(1)得，b n ＝

－1

a n

＝n (－2)n

，

∴S n ＝1×(－2)1

＋2×(－2)2

＋3×(－2)3

＋…＋n ×(－2)n

，③

－2S n ＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n －1)×(－2)n ＋n ×(－2)n ＋1

，④

③－④得，3S n ＝(－2)＋(－2)2

＋(－2)3

＋…＋(－2)n －n ×(－2)

n ＋1

＝

－2[1－－2n

－n ×(－2)

n ＋1

， ∴S n ＝－

3n ＋1

－2n ＋1

＋29

18．(本小题满分12分)新个税法于2019年1月1日进行实施．为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在A 地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a ＝4b .

(1)求a ，b 的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数；(计算结果保留两位小数)

(2)若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50,60)的概率．

解 (1)依题意，(a ＋0.008＋0.035＋0.027＋b )×10＝1，所以a ＋b ＝0.03. 又a ＝4b ，所以a ＝0.024，b ＝0.006.

因为0.08＋0.24<0.5,0.08＋0.24＋0.35>0.5，所以中位数在第三组，所以中位数为70＋0.5－0.08－0.24

0.035

≈75.14.

(2)依题意，知分数在[50,60)的员工抽取了2人，记为a ，b ，分数在[60,70)的员工抽取了6人，记为1,2,3,4,5,6，所以从这8人中随机抽取2人，所有的情况为(a ，b )，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共28种，这28种情况发生的可能性是相等的．

其中满足条件的为(a ，b )，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，共13种，

设“至少有1人的分数在[50,60)”的事件为A ，则P (A )＝13

19．(本小题满分12分)如图所示，三棱锥P －ABC 放置在以AC 为直径的半圆面O 上，O 为圆心，B

为圆弧AC ︵

上的一点，D 为线段PC 上的一点，且AB ＝BC ＝PA ＝3，PB ＝32，PA ⊥BC .

(1)求证：平面BOD ⊥平面PAC ；

(2)当PC →＝2PD →

时，求三棱锥C －BOD 的体积．解 (1)证明：由AB ＝PA ＝3，PB ＝32， ∴PA 2

＋AB 2

＝PB 2

，

∴PA ⊥AB ，又PA ⊥BC 且AB ∩BC ＝B ，AB ?平面ABC ，BC ?平面ABC ， ∴PA ⊥平面ABC . ∵BO ?平面ABC ，