极坐标与参数方程经典练习题

第八讲 极坐标系与参数方程

◆ 知识梳理 一、极坐标

1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。

2、极坐标和直角坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 或2

2

2

tan (0)x y y x x

ρθ⎧=+⎪

⎨=

≠⎪⎩

，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.

二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程

（1）圆心在极点，半径为R 的圆的极坐标方程是 ；

（2）圆心在极轴上的点)0,(a 处，且过极点O 的圆的极坐标方程是 ；

（3）圆心在点)2,(π

a 处且过极点的圆O 的极坐标方程是 。

2、直线的极坐标方程

（1）过极点且极角为k 的直线的极坐标方程是 ；

（2）过点)0,(a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ；

（3）过点)0)(0,(>a a ，且与极轴所成的角为α的直线的极坐标方程是 ； （4）过点),(11θρ，且与极轴所成的角为α的直线的极坐标方程是 。 三、常见曲线的参数方程

◆ 随堂练习 第一部分：极坐标系

1、点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）

A ．(2,)3π

B ．(2,)3π-

C ．2(2,)3π

D ．(2,2),()3k k Z π

π+∈

2、极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）

A ．一条射线和一个圆

B ．两条直线

C ．一条直线和一个圆

D ．一个圆

3、在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ .

4、设A （2，

32π），B （3，3

π

）是极坐标系上两点，则|AB|= _. 5、 已知某圆锥曲线C 的极坐标方程是22225

916cos ρθ

=+，则曲线C 的离心率为（ ）

A ．45

B ．53

C ．35

D ．4

5

6、 在极坐标系中，已知曲线)3,1(.cos 4:)3

cos(:21-∈==+m C m C 若和θρπ

θρ，则曲线C 1与C 2

的位置关系是

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．不确定

7、以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴的极坐标系下，有曲线C ：4cos ρθ=，过极点的直线

θϕ=（R ϕ∈且ϕ是参数）交曲线C 于两点0，A ，令OA 的中点为M. （1）求点M 在此极坐标下的轨迹方程（极坐标形式）.（2）当53

π

ϕ=时，求M 点的直角坐标.

8、已知直线l k k C l 若直线和圆),0)(4cos(2:4)4sin(:≠+⋅==-π

θρπθρ上的点到圆C 上的点的最小距离等于2。

（I ）求圆心C 的直角坐标；（II ）数k 的值。 ◆ 高考

1、（2011）在极坐标系中，点θ

ρπ

cos 2)3,2(=到圆的圆心的距离为（ ）

（A ）2 （B ）

942

π+

（C ）

912

π+

（D ）3

2、（2011）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是（ ）

A ．(1,)2π

B ．

(1,)

2π

- C ． (1,0) D ．(1，π)

3、（2011）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=2sin 4cos ,ρθθ+以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 。

4、（2010）极坐标方程)0(0))(1(≥=--ρπθρ表示的图形是（ ）

A 、两个圆

B 、两条直线

C 、一个圆和一条射线

D 、一条直线和一条射线 5、（2010）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系)20)(,(πθθρ<≤中，曲线1cos sin 2-==θρθρ与的交点的极坐标为 。

6、（2010）在极坐标系中，已知圆0sin 4cos 3cos 2=++=a θρθρθρ与直线相切，且实数a 的值。

第二部分：参数方程

1、设直线1l 的参数方程为113x t

y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为

_______。

2、若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,

:12.x s l y s =⎧⎨

=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ． 3、以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已

知直线的极坐标方程为)(4R ∈=ρπ

θ，它与曲线⎩⎨⎧+=+=α

α

sin 22cos 21y x ，（α为参数）相交于两点A 和B ，

则|AB|=________

4、直线,t y t x ⎩⎨⎧--=+-=3142（t 为参数）

，被圆⎩⎨⎧+=+=θθ

sin y cos x 5152，（θ为参数）所截得的弦长为 。 5、设曲线C 的参数方程为1cos sin x y θ

θ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），若以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建

立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为__________________．

6、已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253（t 为参数）。

（1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；