四川省达州市2013届高三数学第一次诊断检测试题
四川省广元市2013届高三第一次诊断考试数学(理)试题 Word版含答案
广元市普高2010级第一次高考适应性统考数学试卷（理工类）本试卷分试题卷和答题卷两部分.试题共4页，答卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2. 第I 卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3. 选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.参考公式：参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π= n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C P P -=-第I 卷一、选择题A. -iB. iC. -1D. 1 2. 按右边程序框图运算，若输出k=3，则输入x 的取值范围是A. x>10B.x≤28C.10<x≤2D.x≤10或x>28A. 16B. 70C. 560D. 11205. 已知F 1、F 2为双曲线C: x 2-y 2=l 的左右焦点，点P 在曲线C 上，且01260F PF ∠=，则|PF 1 |.|PF 2|=A. 2B. 4C. 6D. 86.已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体， 其三视图如图，若图中圆的半径为1，等腰三角7. 给出下面四个命题：A. p 1, p 3B. p 1 p 4C. p 2, p 3D p 2, p 49. 函数y=2x-x 2的大致图象应是10. 函数f(x)的定义域为R ，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则A. f(x)是偶函数B. f(x)是奇函数C. f(x) =f (x+2)D. f(x+3)是奇函数第II 卷二、填空题,每小题5分,共25分.请将答案直接填在答题卷上.11.5位同学站成一排准备照相的时候，有两位老师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念，如果5位同学顺序一定，那么两位老师与同学们站成一排照相的站法总数为____.12.已知向量a、b的夹角为120°，且|a|=1, |b|=2,则|2a-b|____.13.有四个自然数从小到大排成一列，前三个数成等差数列，公差为2，后三个数成等比数列，则这四个数的和为______.14.若函数f(x)=x2+2a|x|+4a2-3有且只有一个零点，则实数a=____.15. .非空集合G关于运算㊉满足：①对任意a、b∈G，都有a㊉b∈G：；②存在e∈G，对一切a∈G，都有a㊉e=e㊉a=a，则称G关于运算㊉为“和谐集”，现给出下列集合和运算：①G={非负整数}，㊉为整数的加法；②G={偶数}，㊉为整数的乘法；③G={平面向量}，㊉为平面向量的加法；④G={二次三项式}，㊉为多项式的加法.其中关于运算㊉为“和谐集”的是_______(写出所有“和谐集”的序号).三、解答题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.π-上的解析式.g(x)在[,0]17. (12分）如图所示，AF、DE分别是O和O1的直径，AD与两圆所在平面都垂直，AD=8，BC是O的直径，AB=AC=6,OE//AD.①求二面角B-AD-F 的大小、；②求异面直线BD与EF所成的角的正弦值18. (12分)某班50位学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40，50)，[50,60)， [70，80)，[80，90)，[90，100].①求图中x 的值;②从成绩 不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在 90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望.2OA OB OM +=，求直线l 的方程.20. (13分)已知数列{a n }中，a 1=1，S n 其前n 项和，且2121n n a S n n +=+-+，①设1n n n b a a +=-，求数列{b n }的 前n 项和T n ；②求数列{a n }的通项公式.21. (14分）已知函数f(x)=lnx-ax 2+(2-a)x ①讨论f (x)的单调性；②设a>0，证明：当段AB 中点的横坐标为x 。
2013年乌鲁木齐地区高三第一次诊断性测验参考答案及评分标准理科数学试题参考答案及评分标准
2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.1.选D.【解析】11x x >⇔>或1x <-，由A B R ，得1m >．.【解析】122+=-ii i，其共轭复数为2+i ，即2+=+a bi i ，所以2,1==a b . 3.选A.【解析】0a >⇒20a a +≥；反之20a a +≥⇒0,1a a ≥≤-或，不能推出0a >． 4.选A.【解析】()()f x g x -的定义域为()1,1-记()F x =()()f x g x -21log 1xx+=-，则 ()F x -=21log 1x x -+121log 1x x -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭21log 1x x +=--()F x =-，故()()f x g x -是奇函数. 5.选D.【解析】函数()()g x f x x m =+-的零点就是方程()f x x m +=的根，作出 (),(),0xx x h x f x x e x x ≤⎧=+=⎨+>⎩的图象，观察它与直线y m =的交点，得知当0m ≤时，或1m >时有交点，即函数()()g x f x x m =+-有零点.6.选A.【解析】由11a =，35a =，解得2d =，再由：221k k k k S S a a +++-=+12(21)4436a k d k =++=+=，解得8k =.7.选B.【解析】5,4A B AB y y =-=，所以3A B x x -=，即32T =，所以26T πω==， 3πω=由()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭过点()2,2-，即22sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，0ϕπ≤≤， 解得56πϕ=，函数为()52sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由5222362k x k ππππππ-≤+≤+，解得 6461k x k -≤≤-，故函数单调递增区间为[]()64,61k k k --∈Z . 8.选B.【解析】依题意21122221+=++++=-n n S ，有121127+-=n ，故6=n .9.选C.【解析】（略）.10.选B.【解析】双曲线的渐近线为12y x =±，抛物线的准线为2x =，设z x y =+，当直线过点()0,0O 时，min 0=z .11.选D.【解析】易知直线22B A 的方程为0bx ay ab +-=，直线12B F 的方程为0bx cy bc --=，联立可得()2,b a c ac P a c a c -⎛⎫⎪++⎝⎭，又()()21,0,0,A a B b -，∴122,ac ab PB a c a c --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，()()2,a a c b a c PA a c a c ---⎛⎫=⎪++⎝⎭， ∵12B PA ∠为钝角∴210PA PB ⋅<，即()()()()2222220a c a c ab a c a c a c ---+<++，化简得2b ac <，22a c ac -<，故210c c a a⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即210e e +->，e >或e <，而01e <<1<<e . 12.选B.【解析】设ABC ∆中， ,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠所对的边，由()235CA CB AB AB +⋅=得235CA AB CB AB AB ⋅+⋅=即()23cos cos 5bc A ac B c π-+=，∴3cos cos 5a Bb Ac -= ∴2222223225a c b b c a a b c ac bc +-+-⋅-⋅=，即22235a b c -=， ∴22222222222222223tan sin cos 2543tan sin cos 52a c b c c A A B a a c bac b c a B B A b b c a c c bc+-++-=⋅=⋅===+-+--+.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分. 13.填68．【解析】设遮住部分的数据为m ，10+20+30+40+50305=x =，由ˆ0.67+54.9y=x 过()x,y 得0.6730+54.9=75⨯y = ∴62++75+81+89=755m ，故68=m .16．【解析】平面11A BC ∥平面1ACD ，∴P 到平面1ACD 的距离等于平面11A BC 与平面1ACD 间的距离，等于1133B D =，而1111sin 6022ACD S AD CD ∆=⋅︒=，∴三棱锥1P ACD-的体积为1136=. sin 63y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【解析】03xOA π∠=，点A 每秒旋转2126ππ=，所以t 秒旋转6t π，06A OA t π∠=，63xOA t ππ∠=+，则sin y xOA =∠sin 63t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.2222a b b a -．【解析】设直线OA 的方程为y kx =，则直线OB 的方程为1y x k=-，则点()11,A x y 满足22221y kx x y ab =⎧⎪⎨-=⎪⎩故222222211222222,a b a b k x y b a k b a k ==--， ∴()222222112221k a b OA x y b a k +=+=-，同理()22222221k a b OBk b a +=-，故()()2222222222222211k a b k a bOA OBb a kk b a++⋅=⋅--()()44222222221a b ka b a bk =-++⋅+∵()22222111412k kk k=≤+++（当且仅当1k =±时，取等号）∴()44222224a b OA OB ba⋅≥-，又0b a >>，故12AOBS OA OB ∆=⋅的最小值为2222a b b a -.三、解答题：共6小题，共70分.17.（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，依题意()2422226d qd q +=⨯⎧⎪⎨+⋅=⎪⎩解得212d q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或538d q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍） ∴212n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2n b n =； …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得22212n n b n a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为2210.0010.0012n n b a -⎛⎫<⇔< ⎪⎝⎭2221000n -⇔>，所以2210n -≥，即6n ≥，∴最小的n 值为6. …12分18.（Ⅰ）依据条件，ξ服从超几何分布：其中15,5,3N M n ===，ξ的可能值为0,1,2,3，其分布列为：()()35103150,1,2,3k kC C P k k C ξ-⋅===.…6分（Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==， 一年中空气质量达到一级的天数为η，则1~360,3B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴13601203E η=⨯=（天） 所以一年中平均有120天的空气质量达到一级. …12分19．设正方形ABCD 的中心为O ，N 为AB 的中点，R 为BC 的中点，分别以ON ，OR ，OV 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，在Rt VOB ∆中，可得30OV =， 则()0,0,30,V ()3,3,0,A-()3,3,0B，()3,3,0,C -()3,3,0,D --3,3,0,3M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭3330,,,222P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3330,,222Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 于是()33330,,,0,23,0,222AP AB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭23,23,0,3AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭33330,,222CQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）∵3333033330,,,,0222222AP CQ ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴CQ AP ⊥，即CQ ⊥AP ； …6分（Ⅱ）设平面BAP 的法向量为()1,,a b c =n ，由00AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n 得31000a b c b ⎧--=⎪⎨=⎪⎩故()110,0,1=n ，同理可得平面APM 的法向量为()23,1,0=n ，设二面角B AP M --的平面角为θ，则311cos 11θ⋅==1212n n n n ． …12分20．（Ⅰ）⊙F 的半径为2241143+=+，⊙F 的方程为()2211x y -+=，由题意动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，分以下情况：（1）动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，但切点不是原点的情况：作MH ⊥y 轴于H ，则1MF MH -=，即1MF MH =+，则MF MN =（N 是过M 作直线1x =-的垂线的垂足），则点M 的轨迹是以F 为焦点，1x =-为准线的抛物线． ∴点M 的轨迹C 的方程为()240y x x =≠；（2）动圆M 与⊙F 及y 轴都相切且仅切于原点的情况：此时点M 的轨迹C 的方程为0(0,1)y x =≠； …6分（Ⅱ）对于（Ⅰ）中（1）的情况：当l 不与x 轴垂直时，直线l 的方程为()1y k x =-，由()214y k x y x=-⎧⎪⎨=⎪⎩得 ()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k++== ∴121111sin sin 11AF BF x x αβ+=+=+++1212121212221111x x x x x x x x x x ++++===++++++， 当l 与x 轴垂直时，也可得sin sin 1αβ+=，对于（Ⅰ）中（2）的情况不符合题意（即作直线l ，交C 于一个点或无数个点，而非两个交点）. 综上，有sin sin 1αβ+=． …12分 21．（Ⅰ）∵()11f x ax'=-， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为()111k f a'==-， 依题意110a -=，故1a =，∴()ln f x x x =-，()11f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞； …6分 （Ⅱ）若0a <，因为此时对一切()0,1x ∈，都有ln 0x a >，10x -<，所以ln 1xx a>-，与题意矛盾，又0a ≠，故0a >，由()11f x ax '=-，令()0f x '=，得1x a=.当10x a <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x a>时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以()f x 在1x a =处取得最大值111ln a a a -，故对x +∀∈R ，()1f x ≤-恒成立，当且仅当对a +∀∈R ，111ln 1a a a-≤-恒成立．令1t a=，()ln g t t t t =-，0t >. 则()ln g t t '=，当01t <<时，()0g t '<，函数()g t 单调递减；当1t >时，()0g t '>，函数()g t 单调递增；所以()g t 在1t =处取得最小值1-，因此，当且仅当11a =，即1a =时，111ln 1a a a-≤-成立．故a 的取值集合为{}1． …12分22．（Ⅰ）连接BC ，∵AB 是O 的直径，∴90∠=︒ACB .∴90∠+∠=︒B CAB∵⊥AD CE ，∴90∠+∠=︒ACD DAC ， ∵AC 是弦，且直线CE 和O 切于点C ，∴∠=∠ACD B∴∠=∠DAC CAB ，即AC 平分∠BAD ； …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知∆∆ABCACD ，∴=AC ADAB AC，由此得2=⋅AC AB AD . ∵4=AB AD ，∴22442=⋅⇒=AC AD AD =AD AC AD ，于是60∠=︒DAC ， 故∠BAD 的大小为120︒． …10分23．（Ⅰ）设曲线C 上任一点为(),x y ，则(),2x y 在圆224x y +=上，于是()2224x y +=即2214x y +=.直线3280x y --=的极坐标方程为3cos 2sin 80ρθρθ--=，将其记作0l ， 设直线l 上任一点为(),ρθ，则点(),90ρθ-︒在0l 上，于是()()3cos 902sin 9080ρθρθ-︒--︒-=，即：3sin 2cos 80ρθρθ+-= 故直线l 的方程为2380x y +-= …5分（Ⅱ）设曲线C 上任一点为()2cos ,sin M ϕϕ，它到直线l 的距离为d ==，其中0ϕ满足：0043cos ,sin 55ϕϕ==.∴当0ϕϕπ-=时，max d = …10分 24．（Ⅰ）()12(1)(2)1f x x x x x =-+-≥---=． …5分222==≥，2成立，需且只需122x x -+-≥，即1122x x x <⎧⎨-+-≥⎩，或12122x x x ≤<⎧⎨-+-≥⎩，或2122x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩，解得12x ≤，或52x ≥故x的取值范围是15,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. …10分以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．。
眉山市高中2013届第一次诊断性考试理科数学试卷(含答案)
眉山市高中2013届第一次诊断性考试数学试题卷(理科)注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
5. 考试结束,将答题卡上交。
参考公式：如果事件A、B互斥,那么()()()P A B P A P B+=+如果事件A、B相互独立,那么()()()P A B P A P B⋅=⋅如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为P n(k)=C k n p k(1−p)n−k.一．选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．1.若集合M={y|y=2x,x∈R},集合S={x|y=lg(x−1)}, 则下列各式中正确的是A.M∪S=MB.M∪S=SC.M=SD.M∩S=∅2.设i是虚数单位,则复数(1−i)−2i等于A．0 B．2 C．4i D．−4i3.下列四种说法中,错误的个数是①集合A={0,1}的子集有3个；②命题“若x2=1,则x=1”的否命题为：“若x2=1,则x≠1”．③命题“∀x∈R,均有x2−3x−2≥0”的否定是:“∃x∈R,使得x2−3x−2≤0”④“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件.A．0个B．1个C．2个D．3个4.若S n是等差数列{a n}的前n项和,且S8−S3=20,则S11的值为A.44B.22C. 2203D.885. 执行如图的程序框图,如果输入p=8,则输出的S=A．6364B.12764C.127128D.2551286. 已知直线m,l,平面α,β,且m⊥α,l⊂β,给出下列命题:①若α//β,则m⊥l；②若α⊥β,则m//l；③若m⊥l,则α//β；④若m//l,则α⊥β。
四川省资阳市2013届高三第一次诊断性考试 数学文(2013资阳一诊)
22． （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) = a( x − 1)2 + ln x + 1 ． 1 （Ⅰ）当 a = − 时，求函数 f ( x) 的极值； 4 （Ⅱ）若函数 f ( x) 在区间 [2, 4] 上是减函数，求实数 a 的取值范围； ⎧ x ≥ 1, （Ⅲ）当 x ∈ [1, +∞) 时，函数 y = f ( x) 图象上的点都在 ⎨ 所表示的平面区域内，求实数 a ⎩y − x ≤ 0 的取值范围．
21． （本小题满分 12 分） 设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) =
3 2 图象上任意两点，且 − x 2 2 + 2
x1 + x2 = 1． （Ⅰ）求 y1 + y2 的值；
1 2 n （Ⅱ）若 Tn = f (0) + f ( ) + f ( ) + ⋯ + f ( ) （其中 n ∈ N* ） ，求 Tn ； n n n 2 （Ⅲ）在 （Ⅱ）的条件下，设 an = （ n ∈ N* ） ，若不等式 an + an +1 + an + 2 + ⋯ + a2n − 1 ＞ log a (1 − 2a ) Tn 对任意的正整数 n 恒成立，求实数 a 的取值范围．
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供“高中试卷网（） ”
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
注意事项： 1．第Ⅱ卷共 2 页，请用 0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上． 2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分． 把答案直接填在题目中的横线上． 13．若 sin α = 3 ， α 是第二象限的角，则 tan α = _______． 5
四川省眉山市2013届高三第一次诊断性考试数学(理)试题 Word版含答案
10.已知R上的连续函数g(x)满足:①当x>0时,>0恒成立(为函数g(x)的导函数);②对任意的xR都有g(x)=g(−x).又函数f(x)满足：对任意的xR都有f(+x)=f(x−)成立,当x[−,]时,f(x)=x3−3x.若关于x的不等式g[f(x)]g(a2−a+2)对x[−−2,−2]恒成立,则a的取值范围是
③命题“xR,均有x2−3x−2≥0”的否定是:“xR,使得x2−3x−2≤0”
④“命题pq为真”是“命题pq为真”的必要不充分条件.
A．0个B．1个C．2个D．3个
4.若Sn是等差数列{an}的前n项和,且S8−S3=20,则S11的值为
A.44B.22C.D.88
5.执行如图的程序框图,如果输入p=8,则输出的S=
A．B.C.D.
6.已知直线m,l,平面,,且m,l,给出下列命题:①若//,则ml；②若,则m//l；③若ml,则//；④若m//l,则。其中正确命题的个数是
A.1B.2C.3D.4
7.函数f(x)=2|x|,g(x)=−x2+2则f(x)·g(x)的图象只可能是
8.函数f(x)=A(x+)的图象如右图所示,为了得到g(x)=−Ax的图像,可以将f(x)的图像
1.若集合M={y|y=2x,xR},集合S={x|y=(x−1)},则下列各式中正确的是
A.M∪S=MB.M∪S=SC.M=SD.M∩S=
2.设i是虚数单位,则复数(1−i)−等于
A．0B．2C．4iD．−4i
3.下列四种说法中,错误的个数是
①集合A={0,1}的子集有3个；
②命题“若x2=1,则x=1”的否命题为：“若x2=1,则x1”．
四川省泸州市2013届高三第一次诊断性考试数学理试题(WORD解析版)
2013年四川省泸州市第一次诊断性考试（一模）数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•泸州一模）复数+i3的值是（）再利用两个复数代数形式的除法法则求出解：复数﹣i=+i2．（5分）（2013•泸州一模）函数f（x）=与g（x）=2﹣x+1在同一坐标系下的图象是（）．．=的图象下移是幂函数，定义==3．（5分）（2012•泸州一模）己知lgx=log2100+25，则x的值是（）．100+35．（5分）（2013•泸州一模）若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，4），6．（5分）（2013•泸州一模）为了得到函数y=sin 2x的图象，可将函数y=sin（2x）的图象（）向左平移个长度单位向左平移个长度单位向右平移个长度单位向右平移个长度单位）））]）的图象向右平移个单位．m8．（5分）（2013•蚌埠二模）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，且，则向量在向量方向上的射影的数量为（）．．在向量方向上的投影．解：由于=2由向量加法的几何意义，，所以=1在向量×9．（5分）（2013•泸州一模）己知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f×10．（5分）（2013•泸州一模）某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，600xx≤y=11．（5分）（2012•泸州一模）在△ABC中，AB=，则AC+BC的最大值为（）﹣ab）﹣12．（5分）（2013•成都一模）定义在（﹣1，1）上的函数；当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞0，若，，则P，Q，R的大，能说明，所以说明，则，所以，得：，，＜二、填空题：本大题共4小题．每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．（4分）（2012•泸州一模）已知向量=（x，3），且=（1，2），且∥，则向量的模长是．的值，然后直接代入求模公式求==，所以，则故答案为，则14．（4分）（2013•泸州一模）函数y=sin（2x+）的减区间是[，]．2x+≤+≤≤+，，][，[，15．（4分）（2013•泸州一模）函数在R上是减函数，则实数a的取值范围是a≤﹣2．，即16．（4分）（2013•泸州一模）设集合s为非空实数集，若数η（ξ）满足：（1）对∀x∈S，有x≤η（x≥ξ），即η（ξ）是S的上界（下界）；（2）对∀a＜η（a＞ξ），∃x o∈S，使得x o＞a（x o＜a），即η（ξ）是S的最小（最大）上界（下界），则称数η（ξ）为数集S的上（下）确界，记作η=supS（ξ=infS）．给出如下命题：①若S={x|x2＜2}，则supS=﹣；②若S={x|x=n|，x∈N}，则infS=l；③若A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z|z=x+y，x∈A，y∈B}，则sup（A+B）=supA+supB．其中正确的命题的序号为③（填上所有正确命题的序号）．supS=，∴，故三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•泸州一模）老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇．（Ⅰ）求抽到他能背诵的课文的数量的分布列；（Ⅱ）求他能及格的概率．=．18．（12分）（2012•泸州一模）在△ABC中，角A、B、c的对边分别为a、b、c，若bcosA﹣acosB=c．（I）求证：tanB=3tanA；（Ⅱ）若，求角A的值．cosC=可求得acosB=sinAcosB=sinAcosB=cosC=，，﹣．19．（12分）（2013•泸州一模）已知命题p：夹角为m的单位向量a，b使|a﹣b|＞l，命题q：函数f （x）=msin（mx）的导函数为f′（x），若∃x o∈R，．设符合p∧q为真的实数m的取值的集合为A．（I）求集合A；（Ⅱ）若B={x∈R|x2=πa}，且B∩A=∅，求实数a的取值范围．|﹣|||=|+2•，，≥都为真，此时有＜﹣±}，得，或a，[20．（12分）（2012•泸州一模）如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B、P在单位圆上，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）令∠AOP=θ（0＜θ＜π），，四边形OAQP的面积为S，，求f（θ）的最大值及此时θ的值．（﹣）的值．sin﹣（﹣，=﹣==．，故四边形××==﹣﹣=时，即21．（12分）（2013•泸州一模）定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x）且x∈[0，l]时，f （x）=．（Ⅰ）求函数f（x）在[﹣l，l]上的解析式；（II）当λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在[﹣2，2]上有实数解？．=）时，，（，（﹣，﹣））的值域为（﹣，﹣∪（）（﹣，﹣）∪∪（，22．（14分）（2013•泸州一模）已知函数f（x）=x3+mx，g（x）=nx2+n2，F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数F（x）在x=l处有极值为10，求曲线F（x）在（0，F（0））处的切线方程；（Ⅲ）若n2＜3m，不等式对∀x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．）为增函数，从而不等式可转化为，则，）在（﹣，，﹣，，∴＜对任意，则﹣在（在（，。
四川省眉山市2013届高三第一次诊断性考试数学(理)试题-Word版附答案
眉山市高中2013届第一次诊断性考试数学试题卷(理科)2013.01.15一．选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．1.若集合M={y|y=2x,x∈R},集合S={x|y=lg(x−1)}, 则下列各式中正确的是A.M∪S=MB.M∪S=SC.M=SD.M∩S=∅2.设i是虚数单位,则复数(1−i)−2i等于A．0 B．2 C．4i D．−4i3.下列四种说法中,错误的个数是①集合A={0,1}的子集有3个；②命题“若x2=1,则x=1”的否命题为：“若x2=1,则x≠1”．③命题“∀x∈R,均有x2−3x−2≥0”的否定是:“∃x∈R,使得x2−3x−2≤0”④“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件.A．0个B．1个C．2个D．3个4.若S n是等差数列{a n}的前n项和,且S8−S3=20,则S11的值为A.44B.22C. 2203D.885. 执行如图的程序框图,如果输入p=8,则输出的S=A．6364B.12764C.127128D.2551286. 已知直线m,l,平面α,β,且m⊥α,l⊂β,给出下列命题:①若α//β,则m⊥l；②若α⊥β,则m//l；③若m⊥l,则α//β；④若m//l,则α⊥β。
其中正确命题的个数是A.1B.2C.3D.47. 函数f(x)=log2|x|,g(x)=−x2+2则f(x)·g(x)的图象只可能是8.函数f(x)=A sin(ωx+ϕ)的图象如右图所示,为了得到g(x)=−A cosωx的图像,可以将f(x)的图像A．向右平移π12个单位长度B．向右平移5π12个单位长度C．向左平移π12个单位长度D．向左平移5π12个单位长度9.伦敦奥运会乒球男团比赛规则如下：每队3名队员,两队之间共需进行五场比赛,其中一场双打,四场单打,每名队员都需比赛两场(双打需两名队员同时上场比赛),要求双打比赛必须在第三场进行,若打满五场,则三名队员不同的出赛顺序安排共有A .144B .72C .36D .1810.已知R 上的连续函数g (x )满足:①当x >0时,g '(x )>0恒成立(g '(x )为函数g (x )的导函数);②对任意的x ∈R 都有g (x )=g (−x ).又函数f (x )满足：对任意的x ∈R 都有f (3+x )=f (x −3)成立,当x ∈[−3,3]时,f (x )=x 3−3x .若关于x 的不等式g [f (x )]≤g (a 2−a +2)对x ∈[−32−22,32−23]恒成立,则a 的取值范围是A . a ∈RB .0≤a ≤1C . −12−334≤a ≤−12+334 D . a ≤0或a ≥1二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡相应位置上. 11．已知平面向量a →=(3,1),b →=(x ,−3),a →//b →,则x 等于 ;12．设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x+y ≥3x−y ≥−12x−y ≤3,若目标函数z =x 2+y5的最大值为 ;13. 已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +b −1,且a ∈(0,3),则对于任意的b ∈R ,函数F (x )=f (x )−x 总有两个不同的零点的概率是 ;14. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是32,则正视图中x 的值是 ;15. 若对于定义在R 上的函数,其图象是连续不断的,且存在常数λ (λ∈R )使得f (x +λ)+λf (x )=0对任意实数x 都成立,则称f (x ) 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①f (x )=0是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”； ②f (x ) = x 不是“λ—伴随函数”； ③f (x )=x 2是一个“λ—伴随函数”；④“12—伴随函数”至少有一个零点.其中不正确．．．的序号是_ __.(填上所有不正确．．．的结论序号)． 俯视图侧视图三、解答题: 本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．(本小题12分)在锐角∆ABC中,三个内角A,B,C所对的边依次为a,b,c,设m→=(sin(π4−A),1),n→=(2sin(π4+1),−1),a=23,且m→·n→=−32.(1)若b=22,求∆ABC的面积；(2)求b+c的最大值.17．(本小题12分)我校开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响,已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08,选修甲和乙而不选修丙的概率为0.12,至少选修一门的概率为0.88,用ξ表示该学生选修课程门数和没选修门数的乘积.(1)记“ξ=0”为事件A,求事件A的概率；(2)求ξ的分布列与数学期望.18．(本小题12分)三棱锥P−ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,(1)证明:平面PAB⊥平面PBC；(2)若PA=6,PC与侧面APB所成角的余弦值为223,PB与底面ABC成60°角,求二面角B―PC―A的大小.19.(本小题12分)已知函数f (x )=ax 2+1x . (1)求f (x )的单调区间；(2)若a >0,x 1+x 2>0,x 2+x 3>0,x 3+x 1>0,|x i |>1a(i =1,2,3). 求证:f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)>2a .20 (本小题13分)已知函数f (x )=ln x −kx +1. (1)求函数f (x )的单调区间;(2)若f (x )≤0恒成立,试确定实数k 的取值范围;(3)证明:∑i =2nln i i +1<n (n −1)4(n ∈N *,N >1).21(本小题14分)已知数列{a n }中,a 1=6,a n +1=a n +1,数列{b n },点(n ,b n )在过点A (0,1)的直线l 上,若l 上有两点B 、C ,向量BC→=(1,2).(1)求数列{a n },{b n }的通项公式；(2)设c n =2b n,在a k 与a k +1之间插入k 个c k ,依次构成新数列,试求该数列的前2013项之和;(3)对任意正整数n ,不等式(1+1b 1)(1+1b 2)·…·(1+1b n)−a n −2+a n ≥0≥0恒成立,求正数a 的范围.眉山市高中2013届第一次诊断性考试理科答案−9 ， 3 ， 13 ， 32， ①③16.解:m →·n →=2sin(π4−A )sin(π4+A )−1=2sin(π4−A )cos(π4−A )−1=sin(π2−2A )−1=cos2A −1=−32, ∴cos2A =−12, ………3分∵0<A <π2,∴0<2A <π,∴2A =2π3,A =π3 ………4分设△ABC 的外接圆半径为R ,由a =2R sin A 得23=2R ⨯32,∴R =2 由b =2R sin B 得sin B =22,又b <a ,∴B =π4, ………5分∴sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =32·22+12·22=6+24, ………6分 ∴∆ABC 的面积为S =12ab sin C =12·23·22·6+24=3+ 3.………7分 (2)解法1：由a 2=b 2+c 2−2bc cos A ,得b 2+c 2−bc =12, ……9分 ∴(b +c )2=3bc +12≤3(b+c2)2+12, ……11分 ∴(b +c )2≤48,即b +c ≤43,(当且仅当b =c 时取等号) 从而b +c 的最大值为4 3. ……12分解法2：由正弦定理得:b sin B =c sin C =a sin A =23sin π3=4,又B +C =π−A =2π3, ……(8分)∴b +c =4(sin B +sin C )=4[sin B +sin(2π3−B )]=6sin B +23cos B =43sin(B +π6),……10分 ∴当B +π6=π2,即B =π3时,b +c 取得最大值4 3. ……12分17．解：(1) 设该生选修甲,乙,丙课程的概率依次为P 1,P 2,P 3, 则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧P 1(1−P 2)(1−P 3)=0.08P 1P 2(1−P 3)=0.121−(1−P 1)(1−P 2)(1−P 3)=0.88,解得⎩⎪⎨⎪⎧P 1=0.4P 2=0.6P 3=0.5, ………4分 由题意可设ξ可能取的值为0,2,ξ=0的意义为选三门或一门都不选。
四川省达州市高三数学第一次诊断性测试试题 理(含解析)
2015年四川省达州市高考数学一模试卷（理科）一.选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•达州一模）若U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，N={2，3，6}，则∁U （M∪N）=（）A． {1，2，3} B． {5} C． {1，3，4} D． {2}【考点】：并集及其运算．【专题】：计算题．【分析】：由M与N求出两集合的并集，根据全集U求出并集的补集即可．【解析】：解：∵M={1，2，4}，N={2，3，6}，∴M∪N={1，2，3，4，6}，∵U={1，2，3，4，5，6}，∴∁U（M∪N）={5}．故选B【点评】：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2010•陕西）复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：计算题．【分析】：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．【解析】：解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．【点评】：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．3．（5分）（2015•达州一模）以下说法错误的是（）A．“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b充分不必要条件B．∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβC．∃m∈R，使f（x）=m是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】： A．“log3a＞log3b”⇔a＞b＞0⇒“（）a＜（）b，即可判断出；B．∃α，β=0∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ；C．∃m=1∈R，使f（x）=x3在（0，+∞）上单调递增；D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，即可判断出．【解析】：解：A．“log3a＞log3b”⇔a＞b＞0⇒“（）a＜（）b，因此“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b充分不必要条件，正确；B．∃α，β=0∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ，正确C．∃m=1∈R，使f（x）=m是幂函数，且f（x）=x3在（0，+∞）上单调递增，正确；D．命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，因此不正确．故选：D．【点评】：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题．4．（5分）（2015•达州一模）阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A． i＜6？ B． i＜8？ C． i＜5？ D． i＜7？【考点】：程序框图．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．【解析】：解：第一次执行循环体时，S=1，i=3；第二次执行循环时，S=﹣2，i=5；第三次执行循环体时，S=﹣7，i=7，第四次执行循环体时，S=﹣14，i=8，所以判断框内可填写“i＜8？”，故选B．【点评】：本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于基础题．5．（5分）（2015•达州一模）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B． 1 C．﹣2 D． 2【考点】：函数的周期性；函数奇偶性的性质．【专题】：计算题．【分析】：因为f（x）是R上周期为5的奇函数，可得f（x）=﹣f（﹣x），由题意满足f（1）=1，f（2）=3，求出f（﹣1）和f（﹣2），再根据函数的周期性求出f（8）和f（4），从而求解；【解析】：解：f（x）是R上周期为5的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∵f（1）=﹣f（﹣1），可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，因为f（2）=﹣f（2），可得f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，∴f（8）=f（8﹣5）=f（3）=f（3﹣5）=f（﹣2）=﹣3，f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣1，∴f（8）﹣f（4）=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故选C；【点评】：此题主要考查奇函数的性质及其应用，以及函数的周期性问题，是一道基础题；6．（5分）（2015•达州一模）达州市举行汉字书写决赛，共有来自不同县的5位选手参赛，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不许连续出场，且女生甲不能第一个出场，则不同的出场顺序有（）A． 120种 B． 90种 C． 60种 D． 36种【考点】：计数原理的应用．【专题】：计算题；排列组合．【分析】：若第一个出场的是男生，方法有=36种．若第一个出场的是女生（不是女生甲），用插空法求得方法有=24种，把这两种情况的方法数相加，即得所求．【解析】：解：①若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有=36种．②若第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有=24种．故所有的出场顺序的排法种数为36+24=60，故选C．【点评】：本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，注意特殊位置优先排，不相邻问题用插空法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．7．（5分）（2015•达州一模）函数y=的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】：函数的图象．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：利用排除法确定函数的图象的大致形状．【解析】：解：易知函数y=为偶函数，故排除B，D；又因为当x=1时，y=没有意义，故排除C；故选A．【点评】：本题考查了函数的图象的判断与应用，属于基础题．8．（5分）（2015•达州一模）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果x1，x2∈（﹣，），且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A． B． C． 1 D．【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．【解析】：解：由图知，T=2×（+）=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin（﹣+φ）∵|φ|＜，所以φ=，∴f（x）=sin（2x+），x1+x2=2×=，所以f（x1+x2）=sin=．故选：D．【点评】：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力，属于中档题．9．（5分）（2015•达州一模）已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A． B． C． D．【考点】：基本不等式在最值问题中的应用．【专题】：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】：根据a 7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项a m，a n使得，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得到最小值．【解析】：解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴a m a n=16a12，∴a1q m+n﹣2=16a1，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=•（）（m+n）=≥=上式等号成立时，n2=9m2，即n=3m，而m+n=6，∴m=，不成立，∴m=1、n=5时，∴=；∴m=2、n=4时，∴=；∴最小值为故选B．【点评】：本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．10．（5分）（2015•达州一模）已知函数f（x）=|e x﹣1|，g（x）=，则F（x）=f（x）﹣g（x）的零点的个数为（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【考点】：根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：首先，在同一坐标系中画出函数y=f（x），y=g（x）的图象，然后，判断交点的个数即可．【解析】：解：根据已知，当x≤0时，g（x）=1﹣|x+1|，当0＜x＜2时，g（x）=2[1﹣|x ﹣2+1|]=2（1﹣|x﹣1|），然后去掉绝对值，得到函数g（x）=的部分图象，令F（x）=f（x）﹣g（x）=0，得f（x）=g（x），故函数y=f（x）与函数y=g（x）的交点个数就是该方程的根，如图所示：F（x）=f（x）﹣g（x）的零点的个数为3个．故选：B．【点评】：本题重点考查了函数的零点等知识，属于中档题．二、填空题11．（5分）（2015•达州一模）一个总体分为甲、乙两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．已知乙层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为180 ．【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．由乙层中每个个体被抽到的概率都为，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是，根据三者之间的关系得到结果．【解析】：解：∵用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．∵乙层中每个个体被抽到的概率都为，∴根据抽样的性质可知在抽样过程中每个个体被抽到的概率是，∴总体中的个体数为20÷=180．故答案为：180．【点评】：本题主要考查分层抽样的定义和性质是应用，比较基础．12．（5分）（2015•达州一模）二项式（2x3+）7的展开式中常数项为14 ．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：二项式定理．【分析】：根据二项式（2x3+）7的展开式通项公式，求出常数项对应的r值，计算出常数项即可．【解析】：解：∵二项式（2x3+）7的展开式中，T r+1=•（2x3）7﹣r•=•27﹣r•；令21﹣3r﹣=0，解得r=6；∴展开式中常数项为T6+1=•27﹣6=14．故答案为：14．【点评】：本题考查了二项式定理的展开式的应用问题，是基础题目．13．（5分）（2015•达州一模）设函数f（x）=，若区间（0，4]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f（x0）≤1的概率为．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【分析】：由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率．【解析】：解：由题意区间（0，4]内随机选取一个实数x0，所选取的实数x0满足的区域长度为4，所选取的实数x0满足f（x0）≤1的范围是和的解集的并集，解得{x|≤1}和{x|1＜x≤2}，所以所选取的实数x0满足f（x0）≤1的x0的范围是[，2]，区域长度为，所以所选取的实数x0满足f（x0）≤1的概率为；故答案为：【点评】：本题主要考查了几何概型，以及分段函数对应的不等式的解法，关键是明确事件对应的区域长度．14．（5分）（2015•达州一模）设△ABC重心为G，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=，则∠C= ．【考点】：平面向量的基本定理及其意义．【专题】：平面向量及应用．【分析】：△ABC重心为G，可得，代入a+b+c=，整理为=．由G为△ABC重心，可知：与不可能共线．可得=0，再利用余弦定理即可得出．【解析】：解：∵△ABC重心为G，∴，∴，∵a+b+c=，∴﹣+b+c=，化为=，∵G为△ABC重心，∴与不可能共线．∴=0，∴c，b=c．由余弦定理可得：cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴．故答案为：．【点评】：本题考查了三角形重心性质、余弦定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2015•达州一模）设[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]=3，[﹣3.7]=﹣4．给出以下命题：①若x1≤x2，则[x1]≤[x2]；②[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2015]=4938；③若x≥0，则可由[2sinx]=[]解得x的范围为[，1）∪（，π]；④函数f（x）=，则函数[f（x）]+[f（﹣x）]的值域为{0，﹣1}；你认为以上正确的是①②④．【考点】：函数的值．【专题】：新定义；函数的性质及应用．【分析】：①由[x]表示不超过x的最大整数，得出x1≤x2时，[x1]≤[x2]成立；②计算出[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]的值即可；③举例说明x的取值范围不是[，1）∪（，π]；④求出函数f（x）与f（﹣x）的值域，计算y=[f（x）]+[f（﹣x）]的值即可．【解析】：解：对于①，∵[x]表示不超过x的最大整数，∴对任意的实数x1≤x2，有[x1]≤[x2]，∴①正确；对于②，∵lg1=0，lg10=1，lg100=2，lg1000=3，∴[lg1]=[lg2]=[lg3]=[lg4]=…=[lg9]=0，[lg10]=[lg11]=…=[lg99]=1，[lg100]=[lg102]=…=[lg999]=2，[lg1000]=[lg1001]=…=[lg2015]=3，∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]=9×0+90×1+900×2+1016×3=4938，∴②正确；对于③，当x=时，[2sinx]=1，[]=0，∴x的取值范围不是[，1）∪（，π]，∴③错误；对于④，函数f（x）=﹣=﹣∈（﹣，），同理，f（﹣x）∈（﹣，），当f（x）∈（﹣，0）时，f（﹣x）∈（0，），∴[f（x）]=﹣1，[f（﹣x）]=0，∴[f（x）]+[f（﹣x）]=﹣1，同理当f（﹣x）∈（﹣，0）时，f（x）∈（0，），∴[f（x）]=0，[f（﹣x）]=﹣1，∴[f（x）]+[f（﹣x）]=﹣1，当f（x）=0时，f（﹣x）=0，∴[f（x）]=0，[f（﹣x）]=0，∴[f（x）]+[f（﹣x）]=0，综上，y=[f（x）]+[f（﹣x）]={﹣1，0}，∴④正确．故答案为：①②④．【点评】：本题考查了新定义的函数的性质与应用问题，也考查了对数的计算问题与三角函数的计算问题，是综合性题目．三、解答题16．（12分）（2015•达州一模）已知函数f（x）=•，其中=（sinx，﹣1），=（2cosx，cos2x+）．（Ⅰ）若x∈[，]，求函数f（x）的最大值和最小值，并定出相应x的值．（Ⅱ）△ABC的内角为A，B，C，设对边分别为a，b，c，满足c=，f（C）=0且sinB=2sinA，求a，b的值．【考点】：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过x∈[，]，求函数f（x）的最大值和最小值，并定出相应x的值．（Ⅱ）△ABC的内角为A，B，C，设对边分别为a，b，c，满足c=，f（C）=0且sinB=2sinA，求a，b的值．【解析】：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=•，其中=（sinx，﹣1），=（2cosx，cos2x+）．∴f（x）=•=sinxcosx﹣cos2x﹣=﹣1=sin（2x﹣）﹣1；x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，sin（2x﹣）∈；∴sin（2x﹣）﹣1∈，2x﹣=2k时，函数球的最小值，此时x=kπ+．k∈Z．2x﹣=2k时，函数球的最大值，此时x=kπ+．k∈Z．（Ⅱ）由c=，f（C）=0，可得sin（2C﹣）=1，解得：C=，且sinB=2sinA，得：b=2a，c2=3=b2+a2﹣2bacosC，，可得a=1，b=2，【点评】：本题考查两角和与差的三角函数，余弦定理的应用，考查奇数项的解法，考查计算能力．17．（12分）（2015•达州一模）随着苹果6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款购买方式，某分期店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数 35 25 a 10 b已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部苹果6，顾客分1期付款，其利润为1千元；分2期或3期付款，其利润为1.5千元；分4期或5期付款，其利润为2千元，以频率作为概率．（Ⅰ）求事件A：“购买的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（Ⅱ）用X表示销售一该手机的利润，求X的分布列及数学期望E（x）【考点】：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）由题意得a=15，b=15，由此能求出“购买该手机的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率．（Ⅱ）记分期付款的期数为ξ，依题意得ξ=1，2，3，4，5，P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，并且P（X=1）=P（ξ=1）=0.35，P（X=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.15=0.25．P（X=4）=1﹣0.35﹣0.25=0.4，由此能求出X的分布列和数学期望．【解析】：解：（Ⅰ）由=0.15，得a=15，因为35+25+a+10+b=100，所以b=15，“购买该手机的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率：P（A）=．（6分）（Ⅱ）记分期付款的期数为ξ，依题意得ξ=1，2，3，4，5，P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，…（8分）并且P（X=1）=P（ξ=1）=0.35，P（X=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.15=0.25．P（X=4）=1﹣0.35﹣0.25=0.4，…（10分）所以X的分布列为X 1 1.5 2P 0.35 0.4 0.25所以X的数学期望为E（X）=1×0.35+1.5×0.4+2×0.25=1.45（千元）．…（12分）【点评】：本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力．18．（12分）（2015•达州一模）如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR（如图所示），设∠PAB=θ．（Ⅰ）用含有θ的式子表示矩形PQCR的面积S；（Ⅱ）求长方形停车场PQCR面积S的最大值和最小值．【考点】：在实际问题中建立三角函数模型．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）先求出AM和PM的值，进而可得PQ，PR 的值，由此求得S=PQ•PR 的值．（Ⅱ）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=，代入S化简得 S=，利用二次函数性质求出S的最大值和最小值．【解析】：解：（Ⅰ）由于∠PAB=θ，0°≤θ≤90°，知AM=90cosθ，PM=90sinθ，RP=RM﹣PM=100﹣90sinθ，PQ=MB=100﹣90cosθ，S=PQ•PR=（100﹣90sinθ）（100﹣90cosθ）=10000﹣9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ．∴S=10000﹣9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ；（Ⅱ）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=．即t=sin（θ+），0≤θ≤，1≤t≤，代入S化简得 S=．故当t=时，S min=950（m2）；当t=时，S max=14050﹣9000（m2）．【点评】：本题考查解三角形的实际应用，三角函数的恒等变换，以及二次函数性质的应用，属中档题．19．（12分）（2015•达州一模）设数列{a n}为等差数列，且a3=5，a5=9；数列{b n}的前n项和为S n，且S n+b n=2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若，T n为数列{c n}的前n项和，求T n．【考点】：数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）由题意可得数列{a n}的公差，进而得通项，由S n+b n=2可得S n=2﹣b n，当n=1时，可解b1=1，当n≥2时，可得，由等比数列的通项公式可得答案；（II）由（I）可知c n==（2n﹣1）•2n﹣1，由错位相减法可求和．【解析】：解：（I）由题意可得数列{a n}的公差d=（a5﹣a3）=2，故a1=a3﹣2d=1，故a n=a1+2（n﹣1）=2n﹣1，由S n+b n=2可得S n=2﹣b n，当n=1时，S1=2﹣b1=b1，∴b1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2﹣b n﹣（2﹣b n﹣1），∴，∴{b n}是以1为首项，为公比的等比数列，∴b n=1•=；（II）由（I）可知c n==（2n﹣1）•2n﹣1，∴T n=1•20+3•21+5•22+…+（2n﹣3）•2n﹣2+（2n﹣1）•2n﹣1，故2T n=1•21+3•22+5•23+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，两式相减可得﹣T n=1+2•21+2•22+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n=1+2﹣（2n﹣1）•2n=1﹣4+（3﹣2n）•2n，∴T n=3+（2n﹣3）•2n【点评】：本题考查错位相减法求和，涉及等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．20．（13分）（2015•达州一模）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）（Ⅰ）当a＜0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当﹣3＜a＜﹣2时，若∃λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＞（m+ln3）a ﹣2ln3成立，求m的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出f′（x），根据a的值得情况分类讨论，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，分别求出函数的增区间和减区间；（Ⅱ）∀λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＞（m+ln3）a﹣2ln3成立，等价于|f （λ1）﹣f（λ2）|max＞（m+ln3）a﹣2ln3，而|f（λ1）﹣f（λ2）|max=f（x）max﹣f（x）min，由（Ⅰ）利用单调性可求得f（x）的最大值、最小值，再根据a的范围即可求得m的范围【解析】：解：（Ⅰ）依题意，f′（x）=﹣+2a==，（x＞0），当﹣2＜a＜0时，﹣＞，令f′（x）＜0，得0＜x或x＞，令f′（x）＞0，得＜x ＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0．当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0，得x＜﹣或a＞，令f′（x）＞0，得﹣＜x＜；综上所述：当﹣2＜a＜0时时，f（x）的单调递减区间是（0，），（﹣，+∞），单调递增区间是（，﹣）；当a＜﹣2时，f（x）的单调递减区间是（0，﹣），（，+∞），单调递增区间是（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞））（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当﹣3＜a＜﹣2时时，f（x）在x∈[1，3]单调递减．f（x）max=f（1）=﹣1；，，∴，得．【点评】：本题考查了利用导数研切线方程，利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的增减，同时要注意单调区间是定义域的子集，即先要求出函数的定义域．同时考查了函数的恒成立问题，对于恒成立，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法解决．属于难题21．（14分）（2015•达州一模）已知f（x）=+nlnx（m，n为常数），在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式并写出定义域；（Ⅱ）若∀x∈[，1]，使得对∀t∈[，2]上恒有f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若g（x）=f（x）﹣ax﹣（a∈R）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．【考点】：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）利用导数的几何意义意义求得m，n的值，根据对数函数的定义得到函数定义域；（Ⅱ）f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1，只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对任意的上恒成立，构造函数m（t），利用导数求出m（t）的最大值，即可求得结论；（Ⅲ）不妨设x1＞x2＞0，得到g（x1）=g（x2）=0，根据相加和相减得到，再利用分析法，构造函数，求出函数单调性和函数的最小值，问题得以证明．【解析】：解：（Ⅰ）由f（x）=+nlnx可得，由条件可得，把x=﹣1代入x+y=2可得，y=1，∴，∴m=2，，∴，x∈（0，+∞），（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上单调递减，∴f（x）在上的最小值为f（1）=1，故只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对任意的上恒成立，令m（t）=，易求得m（t）在单调递减，[1，2]上单调递增，而，，∴2a≥m（t）max=g（2），∴，即a的取值范围为（Ⅲ）∵，不妨设x1＞x2＞0，∴g（x1）=g（x2）=0，∴，，相加可得，相减可得，由两式易得：；要证，即证明lnx1+lnx2＞2，即证：，需证明成立，令，则t＞1，于是要证明，构造函数，∴，故ϕ（t）在（1，+∞）上是增函数，∴ϕ（t）＞ϕ（1）=0，∴，故原不等式成立．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了利用已经证明的结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题。
四川省资阳市2013届高三数学第一次诊断性考试 文 (2013资阳一诊)
资阳市高中2013级诊断性考试数 学（文史财经类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷共150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |－2＜x ＜2}，集合B ={x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（A ）{x |－2＜x ＜1} （B ）{x |1＜x ＜2} （C ）{x |－2＜x ＜3} （D ）{x |2＜x ＜3}2．函数()f x =的定义域为（A ）(1,)+∞（B ）[0,)+∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）[0,1)(1,)+∞ 3．设i 是虚数单位，复数i(1i)1i+=-（A ）1i -+ （B ）1i - （C ）1- （D ）14．函数()f x x α=的图象过点11(,)42，则[(9)]f f =（A （B ）3 （C ）13（D5．命题p ：(,0]x ∀∈-∞，21x ≤，则 （A ）p 是假命题；p ⌝:0(,0]x ∃∈-∞，021x > （B ）p 是假命题；p ⌝:(,0]x ∀∈-∞，21x ≥ （C ）p 是真命题；p ⌝:0(,0]x ∃∈-∞，021x > （D ）p 是真命题；p ⌝:(,0]x ∀∈-∞，21x ≥6．为了得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移6π个长度单位 （B ）向右平移6π个长度单位 （C ）向右平移12π个长度单位（D ）向左平移12π个长度单位7．已知0a >，0b >，且1ab =，则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图象可能是8．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则q ＝（A ）1或12-（B ）1（C ）12-（D ）－29．若0a b >>，则下列不等式一定不成立的是 （A ）11a b< （B ）22log log a b > （C ）22222a b a b +≤+-（D ）11a b a b->- 10．若实数x ，y 满足20,1,3,x y y x y x -≥⎧⎪≥-⎨⎪≤-+⎩则22x y z +=的最大值为（A ）16 （B ）32 （C ）64 （D ）12811．函数2()sin 2233f x x x =+()cos(2)23(0)6g x m x m m π=--+>，若存在12,[0,]4x x π∈，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是（A ）(0,1]（B ）[1,2]（C ）2[,2]3（D ）24[,]3312．已知函数()()y f x x =∈R 满足(2)()f x f x +=，且当(1,1]x ∈-时，()||f x x =，函数()g x ＝sin ,0,1,0,x x x xπ>⎧⎪⎨-<⎪⎩则函数()()()h x f x g x =-在区间[5,5]-上的零点的个数为（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷共2页，请用0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上．2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 把答案直接填在题目中的横线上．13．若3sin 5α=，α是第二象限的角，则tan α=_______．14．计算：23231()(log 9)(log 4)8-+⋅=________．15．已知函数2321,1,()1,1,x x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨+>⎪⎩若2(21)(2)f m f m +>-，则实数m 的取值范围是 ．16．在数列{}n a 中，如果对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a a a λ+++-=（λ为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：①若数列{}n F 满足11F =，21F =，12n n n F F F --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列；②若数列{}n a 满足1(1)2n n a n -=-⋅，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差2λ=；③等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是_________________．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，15225S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分） 命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（其中0a >）；命题:q 实数x 满足|1|2,30.2x x x -≤⎧⎪+⎨≥⎪-⎩（Ⅰ）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分12分） 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且满足222sin ()sin cos ()sin sin()2B C A B C πππ++-+=-.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4b =、5c =，求sin B ． 20．（本小题满分12分）函数()log a f x m x =+（0a >且1a ≠）的图象过点(8,2)和(1,1)-． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）令()2()(1)g x f x f x =--，求()g x 的最小值及取得最小值时x 的值．21．（本小题满分12分） 设11(,)Ax y 、22(,)B x y 是函数3()2f x =-图象上任意两点，且121x x +=．（Ⅰ）求12y y +的值；（Ⅱ）若12(0)()()()n nT f f f f n nn =++++（其中*n ∈N ），求n T ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设2n na T =（*n ∈N ），若不等式2n n n n a a a a ++-++++121＞log (2)a a -1对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分14分） 已知函数2()(1)ln 1f x a x x =-++．（Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当[1,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在1,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．资阳市高中2013级诊断性考试数学（文史财经类）参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1－5. BDCAC ；6－10.DBACB ；11－12.CB.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．13．34-； 14．8； 15．(1,3)-； 16．①③．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．17．解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意得：113,151415225,2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩∴数列{}n a 的通项公式21n a n =-． ··················· 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1422n n b n =⨯-，∴12n n T b b b =+++21(444)2(12)2n n =+++-+++ ········································· 6分 12446n n n +-=--222433n n n =⨯---． ········································································ 12分 18．解析：（Ⅰ）由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<，又0a >，所以3a x a <<， 当1a =时，1<3x <，即p 为真时实数x 的取值范围是1<3x <. ···························· 2分 由|1|2,30,2x x x -≤⎧⎪+⎨≥⎪-⎩得13,32,x x x -≤≤⎧⎨≤->⎩或解得23x <≤，即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤. ···································································· 4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是(2,3). ······························· 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知p ：3a x a <<，则p ⌝：x a ≤或3x a ≥， ····································· 8分 q ：23x <≤，则q ⌝：2x ≤或3x >， ·········································································· 10分p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则p q ⌝⇒⌝，且q p ⌝⇒⌝/，∴02,33,a a <≤⎧⎨>⎩解得12a <≤，故实数a 的取值范围是(1,2]． ······································· 12分19．解析：（Ⅰ）∵222sin ()sin cos ()sin sin()2B C A B C πππ++-+=-，∴222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， ············································································· 2分由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， ···················· 4分 ∵0＜A ＜π，∴3A π=． ································································································· 6分（Ⅱ）∵2222cos a b c bc A =+-11625245212=+-⨯⨯⨯=，∴a =， 由sin sin a b A B =得4sin sin 3Bπ=，解得sin B =． ············································································································ 12分 20．解析：（Ⅰ）由(8)2,(1)1,f f =⎧⎨=-⎩得log 82,log 11,a a m m +=⎧⎨+=-⎩························································ 4分解得1m =-，2a =，故函数解析式为2()1log f x x =-+． ········································· 6分（Ⅱ）()2()(1)g x f x f x =--222(1log )[1log (1)]x x =-+--+-22log 11x x =--（1x >）， ············································································································································ 8分∵22(1)2(1)11(1)224111x x x x x x x -+-+==-++≥=---， 当且仅当111x x -=-即2x =时，“＝”成立， ··························································· 10分 而函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，则222log 1log 4111x x -≥-=-，故当2x =时，函数()g x 取得最小值1． ······································································· 12分 21．解析：（Ⅰ）12y y+3322=+-3=-3=-3=-2=． ····································· 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当121x x +=时，122y y +=，由12(0)()()()n n T f f f f n n n =++++得，21()()()(0)n nT f f f f n n n=++++，∴112[(0)()][()()][()(0)]2(1)n n n nT f f f f f f n n n n n-=++++++=+，∴1n T n =+． ···················································································································· 8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得，221n n a T n ==+，不等式2log (2)n n n n a a a a a a ++-++++>-1211即为222log (12)122a a n n n +++>-++，设n H =nn n 222212+++++ ， 则 1n H +=222222322122n n n n n +++++++++， ∴1222220212(1)12122n n H H n n n n n +-=+-=->+++++， ∴数列{}n H 是单调递增数列，∴min 1()1n H T ==， ····················································· 10分 要使不等式恒成立，只需log (12)1a a -<，即log (12)log a a a a -<，∴01,120,12a a a a <<⎧⎪->⎨⎪->⎩或1,120,12,a a a a >⎧⎪->⎨⎪-<⎩解得103a <<.故使不等式对于任意正整数n 恒成立的a 的取值范围是1(0,)3. ·································· 12分22．解析：（Ⅰ）当14a =-时，221113()(1)ln 1ln 4424f x x x x x x =--++=-+++（0x >），111(2)(1)()222x x f x x x x -+'=-++=-（0x >）， 由()0f x '>解得02x <<；由()0f x '<解得2x >，故当02x <<时，()f x 的单调递增；当2x >时，()f x 单调递减， ∴当2x =时，函数()f x 取得极大值3(2)ln 24f =+． ················································· 4分 （Ⅱ）1()2(1)f x a x x'=-+，∵函数()f x 在区间[2,4]上单调递减， ∴1()2(1)0f x a x x '=-+≤在区间[2,4]上恒成立，即212a x x≤-+在[2,4]上恒成立，只需2a 不大于21x x-+在[2,4]上的最小值即可． ········································································ 6分而221111()24x x x =-+--+(24)x ≤≤，则当24x ≤≤时，2111[,]212x x ∈---+，∴122a ≤-，即14a ≤-，故实数a 的取值范围是1(,]4-∞-． ····································· 8分（Ⅲ）因()f x 图象上的点在1,x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，即当[1,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，即2(1)ln 10a x x x -+-+≤恒成立，设2()(1)ln 1g x a x x x =-+-+（1x ≥），只需max ()0g x ≤即可． ············································································································· 9分由1()2(1)1g x a x x '=-+-22(21)1ax a x x -++=，（ⅰ）当0a =时，1()xg x x-'=，当1x >时，()0g x '<，函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0g x g ≤=成立． ··········································································································· 10分（ⅱ）当0a >时，由212(1)()2(21)12()a x x ax a x a g x xx---++'==，令()0g x '=，得11x =或212x a=， ①若112a <，即12a >时，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，函数()g x 在[1,)+∞上无最大值，不满足条件；②若112a ≥，即102a <≤时，函数()g x 在1(1,)2a 上单调递减，在区间1(,)2a+∞上单调递增，同样()g x 在[1,)+∞上无最大值，不满足条件． ···························································· 12分（ⅲ）当0a <时，由12(1)()2()a x x a g x x--'=，因(1,)x ∈+∞，故()0g x '<，则函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0g x g ≤=成立．综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞． ···································································· 14分。
四川省达州市高三数学第一次诊断检测试题 理(含答案)
达州市普通高中2014届第一次诊断性测试数学试题（理工农医类）及答案本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本部分共10小题，每小题5分，共50分．第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U R =，集合2{{,A x Z y B y y x x =∈===≤，则A B ⋂等于A ．[]3,5B ．[)3,5C ．{4,5}D ． {3,4,5}2.复数31iz i-=+的虚部为 A ．2 B ．-2 C ．2i D ． 2i -3.命题"1,20"xx a ∀>->的否定为A ．1,20x x a ∃≤-≤B ．1,20xx a ∃>-≤C ．1,20xx a ∀≤-> D ． 1,20xx a ∀≤-≥4.在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项的和11S 等于 A ．58 B ．88C ．143D ． 1765.平行四边形ABCD 中，(1,0)(2,2)AB AC ==u u u r u u u r,则AD BD u u u r u u u rg 等于 A ．4 B ．-4 C ．2 D ． -26.已知函数()lg1xf x x=-，若()()0f a f b +=且01a b <<<，则ab 的取值范围是 A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭7.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且3与4相邻，1与2不相邻的五位数的个数为A ．1120B ．48C ．24D ． 128.已知(3)(1)()log (1)a a x f x x -<⎧⎪⎨≥⎪⎩是(),-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围是 A ．()1,+∞ B ．()1,3 C ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 31,2⎛⎫⎪⎝⎭9.设函数22221234()(8)(8)(8)(8)f x x x c x x c x x c x x c =-+-+-+-+，集合M ={|()0}x f x ==127{,,,}x x x L ⊆*N ，设1234c c c c ≥≥≥，则14c c -= A ．9 B ．8 C ．7 D ． 610.定义:如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在1212,()x x a x x b <<<,满足12()()()()(),(),f b f a f b f a f x f x b a b a--==--则称函数()y f x =在区间[],a b 上的一个双中值函数，已知函数321()3f x x x a =-+是区间[]0,a 上的双中值函数，则实数a 的取值范围是A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,3第二部分（非选择题 共100分）注意事项：1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．2．本部分共11小题，共100分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11、给出右边的程序框图，则输出的结果为_______12、25()ax x+的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的常数项为______13、若函数()423xxf x k k =-++g 有唯一零点，则实数k 的取值范围是______14、定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时/()()0f x xf x ->且(2)0f =，则(3)()0x f x ->的解集为______15、有以下四个命题：（1）函数2()xf x x e =既无最小值也无最大值；（2）在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得125x x -++≤成立的概率为56；（3）若不等式1()()25a m n m n++≥对任意正实数,m n 恒成立，则正实数a 的最小值为16；（4）已知函数253,(0)()142,(0)x f x x x x x ⎧-≥⎪=+⎨⎪++<⎩，若方程()(2)2f x k x =+-恰有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是(0,2)k ∈；以上正确的明天序号是：_______三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16、已知函数{}n a 是首项为2，公比为12的等比数列，数列{}n n a b +是首项为-2，第三项为2的等差数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项式 （2）求数列{}n b 的前n 项和n s 。
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达州市2013届第一次诊断性测试
数学试题（理科）理科
本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡
上，将条形码贴在答题卡的制定位置。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对用框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答案无效.
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、 选择题
1. 已知集合A={1,2},集合B 满足AUB={1，2},则集合B 的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4 2.已知α∈(0,π),sin α+cos α=
1
5
,则tan α等于 A.247- B.43- C.247 D.43
3.下列命题中，真命题的是 A.存在x 0∈R,使得00x
e ≤
B.b 2=ac 的充要条件是a,b,c 成等比数列
C.a>1,b>1是ab>1的充分不必要条件
D.任意2
,2x
x R x ∈>
4.如图，程序框图的输出结果是
A.2
B.3
C.4
D.5
5.已知数列{a n }的前n 项和满足121(2,*)n n S S n n N -=-≥∈且a 1=2,则S 6的值是 A.8 B.9 C.31 D.33
6.函数1()cos()2f x x ωϕ=
+,对x R ∀∈都有()()33
f x f x ππ
-=+,若g(x)=3sin(ωx+φ)-2则()3
g π
的值是
A.-2
B.-5或3
C.1
D.
1
2
7.函数 f(x)=2sinx+3x ，不等式f(2-a)+f(2a)>0的解集为 .(2,)
.(2,).(,2)
.(,2)A B C D +∞-+∞-∞--∞
8.若函数f(x)=x|x-4|-5-a 有三个零点时，则实数a 的取值范围是 A.-5<a<-1 B.a>-1 C.a<-5 D. 51a -≤≤-
9.现有五种不同的颜色要对如图中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，共有多少种不同的着色方法
A.180
B.120
C.90
D.210
10.已知函数2
sin 1
21ln (1)2()(0)(01)x x x x f x e x x x ⎧+>⎪⎪
=≤⎨⎪⎪<≤⎩
则以下说法(1)f[f(-π)]=1(2)当x>2时，f ’(x)的最小值
为2(3)f(x)在(0,+∞)上单调递增(4)f(x)在某个区间[a,b](a<b)上可能为周期函数，其中正确的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
11.数列{a n }满足a n+1+(-1)n a n =n, *n N ∈,则数列{a n }的前100项的和为 A.2450 B.2500 C.2550 D.无法确定 12.已知M 为∆ABC 的内心，且
|AB|= ，则BM 在BA 上的投影为 A.1
B.
C. -1
D. +1
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案填在答题卡上.
13.设i 为虚数单位，则2012
1()1i i
+=
- 14.一支田径队友男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则男运动员应该抽 人。
12315.23n
n n n n C C C nC +++⋅⋅⋅+=
16.(1)设f(x)为定义在区间D 上的函数，存在正实数M ，对,|()|x D f x M ∀∈≤成立，称f(x)为区间D 上的有界函数，则2
()()1
x
f x x R x =
∈+是有界函数. (2)在∆ABC 中，若||||,()AB AC AB AC AO AB AC -=+=+，则O 为∆ABC 的外心
(3)命题2
10x +≥的否定是2
10x R x ∃∈+≤使得
(4)函数f(x)对定义域内12x x ∀≠,都有12()()f x f x ≠成立，称该函数f(x)为单函数，那么定义域上的单调函数式单函数，并且定义域上的单函数是单调函数。
(5)若等比数列{a n }的前n 项和为Sn,则Sm,S 2m-Sm, S 3m- S 2m , *m N ∈成等比数列。
以上说法正确的是 （请把你认为正确命题的序号填在横线上）
三、解答题：本大题共6小题，74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本体满分12分)设(2sin ,2cos ),(3cos ,cos ),()a x x b x x f x a b ===⋅ (1)求f(x)的单调增区间；
(2)若[,0]2
x π
∈-
，求f(x)的值域.
18.(本体满分12分)某班50位学生“一诊”考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：[90,100), [100,110), [110,120), [120,130), [130,140]. (1)求图中x 的值；
(2)从成绩不低于110的学生中随机选取2人，该2人中成绩在120分以上(含120分)的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
19.(本体满分12分)已知函数
f(x)=x 3+ax 2-3bx+c(b>0),且g(x)=f(x)-2是奇函数. (1)求a 、c 的值；
(2)若函数f(x)有三个零点，求b 的取值范围.
20.(本体满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为Sn=n 2+1 (*n N ∈). (1) 求数列{a n }的通项公式；
(2)设2(*)n
n n b a n N =⋅∈,求数列{b n }的前n 项和Tn.
21.(本体满分12分)二次函数y=f(x)满足下列条件①不等式f(x)>0的解集为(0,2);②直线y=1恰与抛物线y=f(x)相切. (1)求函数y=f(x)的解析式； (2)证明不等式： |1|
()x e
f x -≥(e 为自然常数)对任意x R ∈恒成立;
(3)设数列{a n }满足()(*)an f n n N =∈且34111
|
|n
m a a a ++⋅⋅⋅+≥恒成立，求m 的最大值. 22.(本体满分14分)已知函数f(x)=ln(1+x)-ax.(a>0)
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (2)求y=f(x)函数的单调区间和极值; (3) 求
证：
1111
4ln(1)(1),*23n n n N n n
+
+++>+++∈。