Quantum Lorentz and braided Poincare groups

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圈量子引力的回顾

圈量子引力的回顾
龙芸
（北第二师范学院物理与电子工程系，武汉湖４００３２５）
摘要：圈量子引力在物理学中占据非常重要的地位。０纪９２世０年代后，圈量子引力得到了很大的发展，建立了数学上定义严格的运动学框架，引入自结网圈作为量子引力态，出了很多有意义的物理结论，几何算符的量子化，旋给如并且它还在黑洞物理和宇宙学等方向上展现了强有力的发展势头它是一个非常活跃的量子引力理论，越来越广泛地应用到普朗克尺度物理被中去，这也加强了理论学家们的信心。本文试着对圈量子引力的这些主要结果做个回顾。
图２三阶顶角
三阶展开表示的一个例子
ｆ６＋叶ｃ＝ｅｅｎｖ
正则量子广义相对论希望能从数学上广义地定义出一个非
微扰的、背景度规无关的量子引力理论。与大约２０年前．ｓｔａＡｈｅｒｋ率先提出，重建的广义相对论相空间由广义坐标与广义动量形他成，杨密Ｓ２规范理论相同，义坐标变成一个三维规范矩与Ｕ（）广阵向量场，应的广义动量和三维度规的关系为：对
维普资讯
２ｏｏ８年２月
湖北第二师范学院学报
ＪｕａｆＨｕｅｎｖｒｉｕａｏｏｒｌｏｂｉＵｉｅｓｔｏＥｄｃｔｎｎｙｆｉ
Ｆｂ２ｏｅ．ｏ８Ｖｏ．５Ｎｏ２１２．

大学物理6洛伦兹变换的协变形式全文

四、四维速度矢量
三维空间中坐标矢量是三维速度定义为:
三维空间中速度的第i个分量是
四、四维速度矢量
推广：与此类似，利用四维坐标矢量
定义四维速度为其中
四、四维速度矢量
四维速度的前三个分量（空间分量）是而它的第四个分量（时间分量）为所以四维速度可以写为：
四、四维速度矢量
例：利用四维速度的Lorentz变换，导出相对论的速度合成公式。解：取S和S ‘是两个特殊相关惯性系，物体在S系的速度为，
如果一个量
由9个分量构成，每个分量
在坐标系转动变换下都满足变换关系：
就称量 T 是三维空间中的二阶张量。
转动惯量张量，就是一个二阶张量的例子，物理上二阶张量的例子还有应力张量、介电张量、磁导率张量等。
一、Lorentz 协变式的数学形式
回到位置矢量位置矢量
的长度不变，即:
r 2 x2 y2 z2 r '2 x '2 y '2 z '2
称为Lorentz 变换矩阵，它表示的变换几何上就可看作四维空间中坐标系转动变换。使用Einstein 重复下标就表示对这个下标求和的惯例，Lorentz 变换式可以写作:
, 1, 2, 3, 4
19
三、四维张量，Lorentz 协变式的数学形式
现在根据物理量在坐标系转动变换（Lorentz 变换）下的性质，定义四维张量。
三、四维张量，Lorentz 协变式的数学形式
四维张量
一个物理量由16个分量构成（常用一个 4×4矩阵表示），其中每个分量在Lorentz变换下满足变换关系：
F ' F F
这个物理量就是一个四维（二阶）张量。
三、四维张量，Lorentz 协变式的数学形式

量子力学中的泊松括号

量子力学中的泊松括号泊松括号是描述物理系统中的两个物理量之间的运动学关系的数学工具。

在量子力学中，泊松括号的概念也扮演着重要的角色。

本文将介绍泊松括号在量子力学中的定义、性质以及在量子力学中的应用。

一、泊松括号的定义泊松括号是由法国数学家泊松于19世纪提出的一种描述物理系统中物理量之间关系的数学形式。

泊松括号的定义如下：对于任意两个物理量A和B，它们的泊松括号[A, B]定义为：[A, B] = ∑(∂A/∂qi)(∂B/∂pi) - (∂A/∂pi)(∂B/∂qi)其中，qi和pi分别是系统的广义坐标和广义动量。

二、泊松括号的性质在泊松括号的定义中，可以得到以下几个重要的性质：1. 反对称性：[A, B] = -[B, A]2. 线性性：[A, B+C] = [A, B] + [A, C]3. Leibniz法则：[A, BC] = [A, B]C + B[A, C]这些性质使得泊松括号成为一种具有良好性质的运算符。

三、泊松括号的应用泊松括号在量子力学中有着广泛的应用，其中一些重要的应用包括：1. 哈密顿方程：在经典力学中，泊松括号可以用来描述系统的运动学性质。

而在量子力学中，可以将泊松括号替换为对易子，并利用海森堡方程来描述系统的动力学性质。

2. 正则量子化：泊松括号提供了一种桥梁，将经典力学中的物理量与量子力学中的算符联系起来。

通过对泊松括号的替换，可以实现从经典力学到量子力学的过渡。

3. 定理和对易关系：泊松括号还可以用来推导量子力学中的一些重要定理和对易关系。

例如，可以通过泊松括号的性质推导出一系列算符之间的对易关系，从而建立起量子力学的数学基础。

四、总结泊松括号是量子力学中的重要数学工具，用于描述物理系统中物理量之间的关系。

它的定义和性质使得它在量子力学的各个方面都有着广泛的应用。

通过泊松括号，我们可以更深入地理解量子力学的基本原理和物理现象。

虽然泊松括号在量子力学的发展中扮演着重要的角色，但它在现代量子力学中已经被更为普遍的对易子所取代。

量子力学术语缩写

量子力学术语缩写量子力学（Quantum Mechanics，简称QM）是一门研究微观世界的基础物理学理论，涉及到一系列的术语和概念。

本文将简要介绍一些重要的量子力学术语缩写及其含义。

1. QM（Quantum Mechanics）：量子力学，是一门描述微观粒子行为的物理学理论。

它通过波函数、算符和态矢量等概念，描述了微观粒子的运动、相互作用和量子态的演化。

2. Schrödinger equation（SE）：薛定谔方程，是量子力学的基本方程之一，描述了量子系统的时间演化。

它通过一个偏微分方程来计算系统的波函数随时间的变化。

3. Hilbert space（HS）：希尔伯特空间，是量子力学中描述量子态的数学空间。

它是一个具有内积的完备向量空间，用来描述量子系统的状态和算符。

4. Wave-particle duality（WPD）：波粒二象性，是指微观粒子既可以表现出波动性质，也可以表现出粒子性质的现象。

根据德布罗意假设，微观粒子具有波动性质，而根据光量子假设，光也具有粒子性质。

5. Superposition（SP）：叠加原理，是指量子系统可以处于多个可能的状态的线性组合中。

根据叠加原理，量子系统在测量之前可以同时处于多个可能的状态，而测量结果将只能得到其中一个确定的状态。

6. Entanglement（EN）：纠缠，是指两个或多个量子系统之间存在一种特殊的关联状态，使它们的状态无法被独立描述。

纠缠是量子系统之间的一种非经典的相互作用，具有远距离的关联性。

7. Measurement problem（MP）：量子测量问题，是指当对一个量子系统进行测量时，我们无法预测测量结果的确切值，只能得到一系列可能的测量结果及其概率。

量子测量问题是量子力学的一个基本困惑，目前仍然存在争议。

8. Uncertainty principle（UP）：不确定性原理，是指在量子力学中，某些物理量的测量值无法同时被确定到最高精度。

数学-科学的王后与仆人

数学: 科学的王后和仆人Mathematics: Queen and Servant of Science北京理工大学叶其孝本文的题目是已故的美国科学院院士、著名数学家、数学史学家和科普作家Eric Temple Bell(贝尔, 1883, 02, 07 ~ 1960, 12, 21)于1951年写的一本书的书名Mathematics: Queen and Servant of Science (数学: 科学的王后和仆人). 该书主要是为大学生和非数学领域的人士写的, 介绍纯粹和应用数学的各个方面, 更着重在说明数学科学的极端重要性.The Mathematical Association of America, 1996, 463 pages实际上这是他1931年写的The Queen of the Sciences (科学的王后)和1937年写的The Handmaiden of the Sciences (科学的女仆)这两本通俗数学论著的合一修订扩大版.Eric Temple Bell Alexander Graham Bell (1847 ~ 1922) 按常识的理解, 女王是优美、高雅、无懈可击、至尊至贵的, 在科学中只有纯粹数学才具有这样的特点, 简洁明了的数学定理一经证明就是永恒的真理, 极其优美而且无懈可击;另一方面, 科学和工程的各个分支都在不同程度上大量应用数学, 这时数学科学就是仆人, 这些仆人是否强有力, 用起来是否得心应手是雇佣这些仆人的主人最为关心的事. 事实上, servant这个字本身就有“供人们利用之物, 有用的服务工具”的意思. 毫无疑问, 我们的目的不是为数学争一个好的名分, 而是想说明数学是怎样通过数学建模来解决各种实际问题的; 数学(数学建模)的极端重要性, 以及探讨正确认识和理解数学科学的作用对于发展我国科学技术、经济以及教育, 从而争取在21世纪把我国真正建设成为屹立于世界民族之林的强国，乃至个人事业发展的至关重要性. 当然, 我们也希望说明王后和仆人集于一身并不矛盾. 历史上, 很多特别受人尊敬的科学家, 不仅仅是由于他们的科学成就, 更因为他们的科学成就能够服务于人类.数学是科学的王后, 算术是数学的王后. 她常常放下架子为天文学和其他科学效劳, 但是在所有情况下, 第一位的是她(数学)应尽的责任. (高斯)Mathematics is the Queen of the Sciences, and Arithmetic the Queen of Mathematics. She often condescends to render service to astronomy and other natural sciences, but under all circumstance the first place is her due.— Carl Friedrich Gauss (卡尔·弗里德里希·高斯, 1777, 4, 30 ~ 1855, 2, 23)From: Bell, Eric T., Mathematics: Queen and Servant of Science, MAA, 1951, p.1;Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937, p. xv.***************************************************自古以来，数学的发展始终与科学技术的发展紧密相连，反之亦然. 首先, 我们来看一下导致我们现在这个飞速发展的信息社会的19、20世纪几乎所有重大科学理论的发展和完善过程中数学(数学建模)所起到的不可勿缺的作用.数学研究的成果往往是重大科学发明的催生素(仅就19、20世纪而言, 流体力学、电磁理论、相对论、量子力学、计算机、信息论、控制论、现代经济学、万维网和互联网搜索引擎、生物学、CT、甚至社会政治学领域等). 但是20世纪上半世纪, 数学虽然也直接为工程技术提供一些工具, 但基本方式是间接的: 先促进其他科学的发展, 再由这些科学提供工程原理和设计的基础. 数学是幕后的无名英雄.现在, 数学无处不在, 数学和工程技术之间,在更广阔的范围内和更深刻的程度上, 直接地相互作用着, 极大地推动了科学和工程科学的发展, 也极大地推动了技术的发展. 数学不仅是幕后的无名英雄, 很多方面开始走向“前台”. 但是对数学的极端重要性迄今尚未有共识, 取得共识对加强一个国家的竞争力来说是至关重要的.硬能力―一位美国朋友谈及对未来中国人的看法: 20年后, 中国年轻人会丢了中国人现在的硬能力, 他们崇拜各种明星, 不愿献身科学, 不再以学术研究为荣, 聪明拔尖的学生都去学金融、法律等赚钱的专业; 而美国人因为认识到其硬能力(例如数学)不行, 进行教育改革, 20年后, 不但保持了其软实力即非专业能力的优势, 而且在硬能力上赶上中国人.‖“正在丢失的硬实力”, 鲁鸣, 《青年文摘》2011年第5期动向：美国很多州新办STEM高中, 一些大学开始开设STEM课程等.STEM = Science + Technology + Engineering + Mathematics2012年2月7日公布的美国总统科技顾问委员会给总统的报告，参与超越：培养额外的100万具有科学、技术、工程和数学学位的大学生(Engage to Excel: Producing One Million Additional College Graduates with Degrees in Science, Technology, Engineering, and Mathematics)The Mathematical Sciences in 2025, the National Academies Press, 2013人们使用的数学科学思想、概念和方法的范围在不断扩大的同时，数学科学的用途也在不断扩展. 21世纪的大部分科学与工程将建立在数学科学的基础上.This major expansion in the uses of the mathematical sciences has been paralleled by a broadening in the range of mathematical science ideas and techniques being used. Much of twenty-first century science and engineering is going to be built on a mathematical science foundation, and that foundation must continue to evolve and expand.数学科学是日常生活的几乎每个方面的组成部分.互联网搜索、医疗成像、电脑动画、数值天气预报和其他计算机模拟、所有类型的数字通信、商业和军事中的优化问题以及金融风险的分析——普通公民都从支撑这些应用功能的数学科学的各种进展中获益，这样的例子不胜枚举.The mathematical sciences are part of almost every aspect of everyday life. Internet search, medical imaging, computer animation, numerical weather predictions and othercomputer simulations, digital communications of all types, optimization in business and the military, analyses of financial risks —average citizens all benefit from the mathematical science advances that underpin these capabilities, and the list goes on and on.调查发现:数学科学研究工作正日益成为生物学、医学、社会科学、商业、先进设计、气候、金融、先进材料等许多研究领域不可或缺的重要组成部分. 这种研究工作涉及最广泛意义下数学、统计学和计算综合，以及这些领域与潜在应用领域的相互作用. 所有这些活动对于经济增长、国家竞争力和国家安全都是至关重要的，而且这种事实应该对作为整体的数学科学的资助性质和资助规模产生影响. 数学科学的教育也应该反映数学科学领域的新的状况.Finding: Mathematical sciences work is becoming an increasingly integral and essential component of a growing array of areas of investigation in biology, medicine, social sciences, business, advanced design, climate, finance, advanced materials, and many more. This work involves the integration of mathematics, statistics, and computation in the broadest sense and the interplay of these areas withareas of potential application. All of these activities are crucial to economic growth, national competitiveness, and national security, and this fact should inform both the nature and scale of funding for the mathematical sciences as a whole. Education in the mathematical sciences should also reflect this new stature of the field.****************************************************************为了以下讲述的方便, 我们先来了解一下什么是数学建模.数学模型(Mathematical Model)是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的(近似的)描述.数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型并对之求解、验证并得到结论的全过程.数学建模不仅是了解基本规律, 而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模的系统的行为的强有力的工具.数学建模是数学用来解决各种实际问题的桥梁.↑→→→→→→→→↓↑↓↑↓↓↑↓←←←←←通不过↓↓通过)定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程数学建模的难点观察、分析实际问题, 作出合理的假设, 明确变量和参数, 形成明确的数学问题. 不仅仅是翻译的问题; 涉及的数学问题可能是复杂、困难的, 求解也许涉及深刻的数学方法. 如何作出正确的判断, 寻找合适、简洁的(解析或近似) 解法; 如何验证模型.简言之:合理假设、模型建立、模型求解、解释验证.记住这16个字, 将会终生受用.数学建模的重要作用：源头创新当然数学建模也有局限性, 不能单独包打天下, 因为实际问题是非常复杂的, 需要多学科协同解决.在图灵(A. M. Turing)的文章: The Chemical Basis of Morphogenesis (形态生成的化学基础), Philosophical Transactions of the Royal Society of London (伦敦皇家学会哲学公报), Series B (Biological Sciences),v.237(1952), 37-72.1. 一个胚胎的模型. 成形素本节将描述一个正在生长的胚胎的数学模型. 该模型是一种简化和理想化, 因此是对原问题的篡改. 希望本文论述中保留的一些特征, 就现今的知识状况而言, 是那些最重要的特征.1. A model of the embryo. MorphogensIn this section a mathematical model of the growing embryo will be described. This model will be asimplification and an idealization, and consequently a falsification. It is to be hoped that the features retained for discussion are those of greatest importance in the present state of knowledge.想单靠数学建模本身来解决重大的生物学问题是不可能的，另一方面，想仅仅依靠实验来获得对生物学的合理、完整的理解也是极不可能的. There is no way mathematical modeling can solve major biological problems on its own. On the other hand, it ishighly unlikely that even a reasonably complete understanding could come solely from experiment.—— J. D. Murray, Why Are There No 3-Headed Monsters? Mathematical Modeling in Biology, Notices of the AMS,v. 59 (2012), no. 6, p.793.自古以来公平、公正的竞赛都是培养、选拔人才的重要手段, 科学和数学也不例外.中学生IMO (国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad), 1959 ～)北美的大学生Putnbam数学竞赛(1938 ～)全国大学生数学竞赛(2010 ～)Mathematical Contest in Modeling (MCM, 1985 ～)美国大学生数学建模竞赛Interdisciplinary Contest in Modeling (ICM, 1999～)美国大学生跨学科建模竞赛China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling (CUMCM, 1992～) 中国大学生数学建模竞赛中国大学生参加美国大学生数学建模竞赛情况中国大学生数学建模竞赛情况在以下讲述中涉及物理方面的具体的数学模型 (问题)的叙述和初步讨论可参考《物理学与偏微分方程》, 李大潜、秦铁虎编著, (上册, 1997; 下册, 2000), 高等教育出版社.Seven equations that rule your world (主宰你生活的七个方程式), by Ian Stewart, NewScientist, 13 February 2012.Fourier transformation 2ˆ()()ix f f x e dx πξξ∞--∞=⎰Wave equation 22222u u c t x ∂∂=∂∂ Ma xwell‘s equation110, , 0, H E E E H H c t c t∂∂∇⋅=∇⨯=-∇⋅=∇⨯=∂∂Schrödinger‘s equation ˆψH ψi t∂=∂Ian Stewart, In Pursuit of the Unknown:17 Equations That Changed the World (追求对未知的认识：改变世界的17个方程), Basic Books, March 13, 2012.目录(Contents)Why Equations? /viii1. The squaw on the hippopotamus ——Pythagoras‘sTheorem/12. Shortening the proceedings —— Logarithms/213. Ghosts of departed quantities —— Calculus/354. The system of the world ——Newton‘s Law ofGravity/535. Portent of the ideal world —— The Square Root ofMinus One/736. Much ado about knotting ——Euler‘s Formula forPolyhedra/837. Patterns of chance —— Normal Distribution/1078. Good vibrations —— Wave Equation/1319. Ripples and blips —— Fourier Transform/14910. The ascent of humanity —— Navier-StokesEquation/16511. Wave in the ether ——Maxwell‘s Equations/17912. Law and disorder —— Second Law ofThermodynamics /19513. One thing is absolute —— Relativity/21714. Quantum weirdness —— Schrödinger Equation/24515. Codes, communications, and computers ——Information Theory/26516. The imbalance of nature —— Chaos Theory/28317. The Midas formula —— Black-Scholes Equation/195Where Next?/317Notes/321Illustration Credits/330Index/331相对论Albert Einstein(1879, 3, 14 ～1955, 4, 18)20世纪最伟大的科学成就莫过于Einstein(爱因斯坦)的狭义和广义相对论了, 但是如果没有Minkowski (闵可夫斯基)几何、Riemann(黎曼)于1854年发明的Riemann几何, 以及Cayley(凯莱), Sylvester(西勒维斯特)和Noether(诺特)等数学家发展的不变量理论, Einstein的广义相对论和引力理论就不可能有如此完善的数学表述. Einstein自己也不止一次地说过.早在1905年, 年仅26岁的爱因斯坦就已提出了狭义相对论. 狭义相对论推倒了牛顿力学的质量守恒、能量守恒、质量能量互不相关、时空永恒不变的基本命题. 这是一场真正的科学革命.为了导出狭义相对论，爱因斯坦作出了两个假设：运动的相对性(所有匀速运动都是相对的)和光速为常数(光的运动例外, 它是绝对的). (1)狭义相对性原理,即在所有惯性系中, 物理学定律具有相同的数学表达形式;(2)光速不变原理,真空中光沿各个方向传播的速率都相等，与光源和观察者的运动状态无关.时空不是绝对独立的.由此可以导出一些推论: 相对论坐标变换式和速度变换式, 同时的相对性, 钟慢尺缩效应和质能关系式等.他的好友物理学家P.Ehrenfest指出实际上还蕴涵着第三个假设, 即这两个假设是不矛盾的. 物体运动的相对性和光速的绝对性, 两者之间的相互制约和作用乃是相对论里一切我们不熟悉的时空特征的根源.(部分参阅李新洲:《寻找自然之律--- 20世纪物理学革命》, 上海科技教育出版社, 2001.)1907 年德国数学家H. Minkowski (1864 ～1909) 提出了―Minkowski 空间‖,即把时间和空间融合在一起的四维空间1,3R. Minkowski 几何为Einstein 狭义相对论提供了合适的数学模型.“没有任何客观合理的方法能够把四维连续统分离成三维空间连续统和一维时间连续统. 因此从逻辑上讲, 在四维时空连续统(space- time continuum)中表述自然定律会更令人满意. 相对论在方法上的巨大进步正是建立在这个基础之上的, 这种进步归功于闵可夫斯基(Minkowski).”—Albert Einstein, The Meaning of Relativity, 1922, Princeton University Press. 中译本, 阿尔伯特·爱因斯坦著, 相对论的意义, (普林斯顿科学文库(Princeton Science Library) 1), 郝建纲、刘道军译, 上海科技教育出版社, 2001, p. 27.有了Minkowski 时空模型后, Einstein 又进一步研究引力场理论以建立广义相对论. 1912 年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理, 但是为了实现广义相对论的目标, 还必须寻求理论的数学结构, Einstein 为此花了 3 年的时间, 最后, 在数学家M. Grossmann 的介绍下学习掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具—以Riemann几何和Ricci, Levi - Civita的绝对微分学, 也就是Einstein 后来所称的张量分析.“根据前面的讨论, 很显然, 如果要表达广义相对论, 就需要对不变量理论以及张量理论加以推广. 这就产生了一个问题, 即要求方程的形式必须对于任意的点变换都是协变的. 在相对论产生以前很久, 数学家们就已经建立了推广的张量演算理论. 黎曼(Riemann)首先把高斯(Gauss)的思路推广到了任意维连续统, 他很有预见性地看到了……进行这种推广的物理意义. 随后, 这个理论以张量微积分的形式得到了发展, 对此里奇(Ricci)和莱维·齐维塔(Tulio Levi-Civita, 1873～1941)做出了重要贡献. ”—阿尔伯特·爱因斯坦著, 相对论的意义, 郝建纲、刘道军译, 上海科技教育出版社, 2001, p. 57.从数学建模的角度看, 广义相对论讨论的中心问题是引力理论, 其基础是以下两个假设: 1. (等效原理)惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的，(或说引力和非惯性系中的惯性力等效)；2. (广义相对性原理) 一切参考系都是平权的，换言之，客观的真实的物理规律应该在任意坐标变换下形式不变——广义协变性(即一切物理定律在所有参考系[无论是惯性的或非惯性的]中都具有相同的形式)。

海森堡群上拉东变换的一个刻画

如下：
换起源于Ｇｅｌｌｅｒ和Ｓｔｅｉｎ稍前的工作．Ｎｅｓｓｉｂｉ和Ｔｒｉｍ￣ｃｈｅｔ川等人给出了海森堡群上拉东变换的一些逆变换
公式，海森堡群是一个李群，文献［６，８一ｌｏ］的作者研究了在Ｓｉｅｇｅｌ型李群上的相似问题．本文中，笔者将介绍海森堡群上的拉东变换并定义海森堡群上２个施瓦茨函数子空间；之后证明在这２个子空问上的拉东变换是双射；最后证明这２个子空间是等价的．海森堡群Ｈ是底流形为Ｃ “ × Ｒ的一个李群，定义群乘法如下：
麴～
——— — — — 鏊
壅堡登垫壅变二全画
５
若ｆｅＬ）ＮＬ ∽“ ），下述Ｐｌａｎｃｈｅｒｃｌ公式成立：
Ｌ２（ｔｐ）＝
ｍＩ『＇
其中，Ｉ１．ＩＩ表示算子的Ｈｉｌｂｅｒｔ — ｓｃｈｍｉｄｔ范数．
（广州大学数学与信息科学学院，广东广州５１０００６）
摘要：介绍了海森堡群上的拉东变换，并定义了海森堡群上２个施瓦茨函数子空间，接着证明在这２个子空间
上的拉东变换是双射，此外还证明了这２个子空间是等价的．
关键词：拉东变换；海森堡群；傅里叶变换
中图分类号：Ｏ１７４．５，Ｏ１７７．６文献标志码：Ａ文章编号：１００９ — ８４４５（２０１３）０２．０００４０４

洛伦兹对称性自发破缺理论中的拓扑缺陷的研究（已处理）

洛伦兹对称性自发破缺理论中的拓扑缺陷的研究上海师范大学硕士学位论文摘要论文题目:洛伦兹对称性自发破缺理论中的拓扑缺陷的研究专业:天体物理学位申请人:张群指导教师:奚萍摘要洛伦兹不变性是物理学的基础之一,但是一些量子引力模型已经暗示了洛伦兹对称性违背的可能性。

斯特莱茨基等人发展了标准模型理论,在此理论框架下我们可以广泛探讨低于普朗克能标的领域中的洛伦兹违背现象。

由反对称二阶张量场构建的洛伦兹违背理论引起人们广泛地兴趣,本文探讨了此理论中简并真空态的拓扑结构,研究了此理论中拓扑缺陷尤其是单极子的引力场的性质。

本文的结构如下:在第一章中我们以基本的概念为线索对规范理论中的拓扑缺陷的理论基础进行了概述。

在第二章中我们简要介绍了标准模型扩展理论,然后着重考察了反对称二阶张量场理论中洛伦兹对称性自发破缺后简并真空的拓扑结构。

在规范理论中真空流形与规范对称群关于未破缺子群的陪集空间同构,但在此理论中情形有所不同。

真空流形的拓扑结构允许单极子解。

在第三章中我们详细探讨了单极子的引力性质。

我们给出了单极子的引力场的解析的近似解,利用数值方法讨论了引力场中的测地线,比较了此单极子与标量单极子引力场中光线偏折效应并指出在天文观测中区分它们是可行的。

最后,在第四章中我们对上述结果进行了总结。

关键词:对称性自发破缺,拓扑缺陷,洛伦兹对称性破缺,张量单极子研究类型:理论研究摘要圭鲞塑薹奎堂堡主堂垡堡塞..上海师范大学硕士学位论文摘要:: : :,.,,””””夕, ’. .,...,?.,”” , . ’.,,,’ .,., .:,,, 上海师范大学硕士学位论文一一:目录摘要●●●第一章引言.拓扑缺陷的研究历史及现状..........................对称性破缺与拓扑缺陷............................第二章洛伦兹对称性自发破缺后的拓扑缺陷.洛伦兹对称性..................................洛伦兹对称性自发破缺.............................由反对称.张量场引起的洛伦兹对称性自发破缺..............第三章张量单极子的性质.张量单极子的存在性 ..............................张量单极子的引力场 .............................第四章总结与展望致谢参考文献攻读学位期间的研究成果录目圭童壁整盔堂堡主堂垡堡塞●●●●一第一章引言.拓扑缺陷的研究历史及现状虽然早在三十年代,狄拉克已经通过电磁对偶的猜测提出了磁单极子的概念,并利用它解释了电荷的量子化,但是为了满足磁场与矢势的关系,狄拉克引入奇性的不可探测的弦。

量子力学教程(很多老师用过)(免费)

量子力学教案主讲周宙安《量子力学》课程主要教材及参考书1、教材：周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，19792、主要参考书：[1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993[2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000[3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003[4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984[5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999[6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社[7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999[8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990[9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999[10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979）[11]ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980）第一章绪论量子力学的研究对象：量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。

它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。

它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。

§1.1经典物理学的困难一、经典物理学是“最终理论”吗？十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。

洛仑兹规范

洛仑兹规范（英文：Lorenz Gauge），或称作洛仑兹规范条件，是丹麦物理学家路德维希·洛仑兹（LudwigLorenz）提出的规范条件。

其名称常被误写做Lorentz Gauge，其中Lorentz中文也译作洛仑兹，是指荷兰物理学家亨德里克·洛仑兹（HendrikLorentz）。

发生混淆的原因除了名字相近之外，还由于这种规范具有洛仑兹不变性。

在电磁理论中，洛仑兹规范是处理含时的电磁场中推迟势的常用手段。

这里Aa是四维势,逗号表示对角标做偏导数并使用了爱因斯坦求和约定。

这个规范的好处是具有洛仑兹不变性。

在一般的矢量写法并采用国际单位制下：
这里A是磁矢势，φ是电标势。

在高斯单位制下：。

圈量子引力

这表明黑洞熵的微观起源必须从别的理论中去寻找，这 “别的理论” 必须兼有广义相对论和量子理论的特点 (因为黑洞熵的推导用到了量子理论)。量子引力理论显然正是这样的理论
在远离实验检验的情况下，黑洞熵目前已经成为量子引力理论研究中的一个很重要的理论判据。一个量子引力理论要想被物理学界所接受，必须跨越的重要 “位垒” 就是推导出与 Bekenstein-Hawking 熵公式相一致的微观状态数。

分惊人的微观状态。这在广义相对论的框架内是完全无法理解的，因为广义相对论有一个著名的“黑洞无毛发定理” (NoHair Theorem)，它表明黑洞的内部性质由其质量，电荷和角动量三个宏观参数所完全表示 (即使考虑到由 Yang-Mills 场等带来的额外参数，其数量也十分有限)，根本就不存在所谓微观状态。
Lee Smolin

为了理解极小尺度下的空间的结构，我们必须求助于量子引力理论。引入引力是因为爱因斯坦的广义相对论揭示出引力是由于时间和空间的扭曲而引起的。通过仔细地将量子力学和广义相对论的基本原理结合起来，物理学家们得出了“圈量子引力理论”。该理论认为，空间所允许的量子态与被称为“自旋网络”的点线图有关。量子时空对应着类似图形，称为“自旋泡沫”。圈量子引力理论预言空间以离散块形式存在，最小部分是1普朗克体积（1立方普朗克长度），即10-99立方厘米。时间约以普朗克时间，即1043秒的离散刻度延续。按照量子理论，普朗克质量是等效波长为1普朗克长度（10-33厘米）的理想粒子的质量，约等于5克。
广义相对论是一个很特殊的相互作用理论，它把引力归结为时空本身的几何性质。从某种意义上讲，广义相对论所描述的是一种 “没有引力的引力”。既然 “没有引力”，是否还有必要进行量子化呢？描述这个世界的物理理论是否有可能只是一个以广义相对论时空为背景的量子理论呢？也就是说广义相对论和量子理论是否有可能真的同时作为物理学的基础理论呢？这些问题之所以被提出，除了量子引力理论本身遭遇的困难外，没有任何量子引力存在的实验证据也是一个重要原因。但是种种迹象表明，即使撇开由两个独立理论所带来的美学上的缺陷，把广义相对论和量子理论作为自然图景的完整描述仍然存在许多难以克服的困难。

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arXiv:q-alg/9708025v1 22 Aug 1997QuantumLorentzandbraidedPoincar´egroups∗

S.ZakrzewskiDepartmentofMathematicalMethodsinPhysics,UniversityofWarsawHo˙za74,00-682Warsaw,Poland

AbstractQuantumLorentzgroupsHadmittingquantumMinkowskispaceVareselected.NaturalstructureofaquantumspaceG=V×Hisintroduced,deﬁningaquantumgroupstructureonGonlyfortriangularH(q=1).WeshowthatitdeﬁnesabraidedquantumgroupstructureonGfor|q|=1.

0IntroductionAnyexampleofaquantumPoincar´egroup[1]isconstructedusingoneofquantumLorentzgroupsintroducedin[2].However,onlyveryspecialcasesofthelatter(triangularde-formations)canbeusedforthispurpose.Casesrelatedtothecelebratedq-deformationofDrinfeldandJimboare,unfortunately,excluded.Thisisinfactageneralfeatureofinhomogeneousquantumgroups[3,4].Itturnedoutrecentlythatthisobstaclecanbecircumvented,ifoneallowsthedeformedinhomogeneousgrouptobeabraidedquantumgroupratherthananordinaryquantumgroup.Itmeansthatthecomultiplicationisamorphismintoanontrivialcrossed-productalgebraratherthantheusualproduct.Itturnsoutthatonthelevelofgenerators,theonlynon-trivialcross-relationsarethoseforthetranslationcoordinates.Theseresultshavebeenderivedin[5]forthecasewhenthehomogeneouspartisthestandardq-deformed(with|q|=1)orthogonalquantumgroupSO(p,p),SO(p,p+1)[6]orSO(p,p+2)[7].Ihavelearnedrecentlyaboutthepaper[8]whereresultsofsimilartype(withouttherealitycondition)wereobtained(cf.also[9,10]).InthepresentpaperwestudythecasewhenthehomogeneouspartHistheLorentzgroup.Thiscaserequiresaseparatestudy,becausewehavethepossibilitytotakeintoaccountthecompleteclassiﬁcationofquantumdeformations[2].Anotherreasonforaseparatetreatmentisthatwewanttoconsiderthe‘morefundamental’simplyconnectedSL(2,C)groupinsteadofSO(1,3).Thepaperisorganizedasfollows.InSection1werecallnon-triangular,deformation-typecasesofquantumLorentzgroupH.InSection2weselectthosecaseswhichhavethecorrespondingquantumMinkowskispaceV(thishappensfor|q|=1orq2∈R).InSection3weconstructanaturalcrossed‘cartesianproduct’GofVandH(asquantumspaces).InSection4weinvestigateconditionsunderwhichthenaturalformulaforthecomultiplicationongenerators,deﬁnesamorphismofalgebras,theproductalgebrabeingunderstoodwithsuitablecrossed(orbraided)structure.ThesameprogramonthePoissonlevelhasalreadybeenpresentedin[5].WeconcludeinSection5withexplicitcommutationrelationsfortheMinkowskispace.SeveralproofsareshiftedtotheAppendix.

1QuantumLorentzgroupsWerecallthatthe∗-algebraA=Poly(H)ofpolynomialsonquantumH=SL(2,C)isgeneratedbymatrixelementsof

u=(uAB)A,B=1,2=󰀁u11u12u21u22󰀂

subjecttorelationsu1u2E=E,E′u1u2=E′,Xu1u1u2X,(1)whereE,E′andXaredescribedinTheorem2.2of[2].Herethesubscripts1and2refertothepositionofagivenobjectinthetensorproductoftheunderlying‘arithmetic’vectorspace(inthiscaseC2,withthestandardbasise1,e2).Forinstance,theﬁrstequalitymeansthatuACuBDECD=EAB(summationconvention).Weomitthesubscriptswhentheobjecthasonlyonenaturalpositioninagivensituation(likeEforinstance).Thecomplexconjugate

u=(AuB=(uAB)∗.The‘barred’indicesrefertothecomplexconjugatedbasisee1,ee2in

2(e111+e222)+t−12⊗e1⊗e2(e111+e222)+q−12⊗e1⊗e2e221(for0

2(withtheobviousnotationforthematrixunitse11⊗e1etc.).Anymatrixwhichintertwinesu1u2withitselfandsatisﬁesthebraidequationispro-portionaltoM:=qP′−q−1PorM−1=q−1P′−qP,(3)

whereP:=−(q+q−1)−1EE′(thedeformedantisymmetrizer)istheprojectiononEparalleltokerE′andP′:=I−P(thedeformedsymmetrizer).ConjugatingM±1u1u2=u1u2M±1weobtainK±1u2=u2K±1,where

K:=τqQ′−Pτ,Q′:=I−Q.(4)Throughoutthepaper,τdenotesthepermutationinthetensorproduct.

2QuantumMinkowskispacesInordertodiscussquantumMinkowskispaces,covariantunderthequantumLorentzgroup,weconsiderthefour-dimensionalrepresentationofthelatter,

h:=u1BCuD.(5)NotethatτxinC2⊗Bj(j=0,...,3),the

matrixhhasselfadjointelements.Inconsiderationswhichreferonlytothefour-dimensional(‘vector’)representation,itisoftenconvenienttouseexactlythecomponentsofhinthebasisofPaulimatrices.Thesecomponentswillbedenotedbyhjk(j,k=0,...,3).Intheleg-numberingnotation(likein(1))weshalluseboldsubscriptsforthefour-dimensionalcase.Forinstance,thetensorsquareofhwillbedenotedeitherbyh12h34(referringtothespinorrepresentation)orbyh1h2(referringtothevectorrepresentation).NowwelookforappropriatequadraticcommutationrelationsdeﬁningthequantumMinkowskispace.Weuseherethestandardmethodofdealingwith‘quantumvectorspaces’.ThealgebraofpolynomialsonquantumMinkowskispaceshouldbegeneratedbyfourgeneratorsx=(xA

x=x(i.e.(xAAor(xj)∗=xj)(6)andsomequadraticrelationsAx1x2=0,suchthat∆Vx:=hx′satisﬁesthesamerelations(note,that∆Vxsatisﬁestherealityautomatically).ThelastrequirementwillbesatisﬁedifAisanintertwinerofh1h2: