2018届湖南省岳阳市第一中学高三12月月考政治试题(图片版)
民主与法治(解析版)-2023年中考道德与法治第一轮复习
2023年中考一轮复习中考真题对点练习专题19民主与法治（解析版）考点1追求民主价值（1-17）1．（2022·四川资阳）2022年4月，人民日报开设“我为党的二十大建言献策”专栏，这是党的历史上第一次将党的全国代表大会相关工作面向全党、全社会进行网络公开征求意见。
利用网络公开征求意见（）①体现了协商民主②有利于集中民智③表明网民的意见都会被采纳④有利于民主决策、科学决策A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④【答案】D【解析】本题考查对社会主义民主的认识。
①②④：人民日报开设“我为党的二十大建言献策”专栏，利用网络公开征求意见，这体现了协商民主，有利于集中民智，有利于民主决策、科学决策，所以①②④说法正确，符合题意；③：“都会被采纳”的说法太绝对，③错误；所以本道题选D。
2．（2022·广东广州）夏老师是全国首批基层立法联系点的信息员。
在我国国歌法草案面向社会公开征求意见过程中，夏老师建议在草案中规定，中小学举行升旗仪式时，不仅要奏国歌，还要唱国歌。
最终，该建议被全国人大常委会采纳并得到扩展。
这表明（）①人民当家作主是社会主义民主政治的本质特征②基层群众自治制度是我国的一项基本政治制度③倾听民意、集中民智有利于促进立法的民主化④参与民主生活是公民的一项权利A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】C【解析】本题考查我国的社会主义民主。
①③④：夏老师作为全国首批基层立法联系点的信息员，积极为我国国歌法草案提建议，表明参与民主生活是公民的一项权利，人民当家作主是社会主义民主政治的本质特征，倾听民意、集中民智有利于促进立法的民主化，①③④说法正确；②：说法在题干中没有体现，应排除；所以本道题选C。
3．（2022·四川巴中）阅读漫画《听证会》，这体现了公民行使民主权利的形式是（）A．民主选举B．民主决策C．民主监督D．民主管理【答案】B【解析】本题考查对公民行使民主权利的认识。
2022届湖南省岳阳市第一中学高三下学期一模数学试题(解析版)
2022届湖南省岳阳市第一中学高三下学期一模数学试题一、单选题1．定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.【详解】因为2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，{}1,0A =-，{}1,2B =， 所以{0,1,2}A B ⊗=--， 故集合A B ⊗中的元素个数为3， 故选：C.2．若i 为虚数单位，复数z 满足1z ≤，则(1i)z -+的最大值为（ ）A 1BC 1D ．【答案】C【分析】2i z -+表示的几何意义是复数z 对应的点与点()1,1连线段的长度，从这个角度可以得到复数模的最大值.【详解】1z ≤表示的几何意义是复数z 对应的点到原点的距离小于等于1， ()1i z -+表示的几何意义是复数z 对应的点与点()1,1连线段的长度，故的(1i)z -+11=，故选：C.3．“2022x =”是“2202220210x x -+=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】因为220222021(1)(2021)0x x x x -+=--=，1x =或2021x =， 所以2022x =是2202220210x x -+=的既不充分也不必要的条件． 故选：D ．4．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C 的一部分，若C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，且点(6,3)P 在双曲线C 上，则双曲线C 的标准方程为（ ）A ．2213y x -=B ．22126x y -=C ．22139x y -=D ．221412x y -=【答案】C【分析】利用待定系数法可求双曲线C 的标准方程.【详解】设双曲线的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，因为离心率2e =，故半焦距2c a =，故3b a =， 而双曲线过()6,3P，故22691a b -=，解得3,3a b ==， 故双曲线的方程为：22139x y -=， 故选：C.5．已知数列{}n a 中，10a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则35124e e e e e a a a a a ++++=（ ）A ．6B ．10C ．15D ．21【答案】C【分析】利用递推公式，分别求出2345,,,a a a a ，即可求解. 【详解】因为10a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以21211ln 1ln a a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以2e 2a =；32321ln 1ln a a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以3e 3a =；43431ln 1ln a a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以4e 4a =；54541ln 1ln a a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以5e 5a =；所以35124e e e e e 1234515a a a a a ++++=++++=.故选：C6．设5log 4a =，4log 3b =，0.614c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的性质判断． 【详解】22254lg3lg5lg 4()lg 4lg3lg 4lg3lg52log 4log 3lg5lg 4lg 4lg5lg 4lg5+---=-=≥0=>, 所以54log 4log 3>， 441log 3log 22>=，而0.6 1.2111()()422=<，所以a b c >>． 故选：A ．7．已知平面四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，135BAD ∠=︒，90BCD ∠=︒，(1)AC AB AD λ=+-，则λ=（ ）A ．1BC1 D2+【答案】D【分析】由向量的线性运算及数乘定义得//BC AD ，从而得ABCD 是直角梯形，求出BC 的长后可得．【详解】(1)AC AB AD λ=+-(1)AC AB BC AD λ⇒-==-，所以//BC AD ，即//BC AD ，所以ABCD 是直角梯形，如图，作AE BC ⊥于E ，则AECD 是矩形，2AB =，45ABC ∠=︒，则AE BE ==1EC AD ==，所以1BC =，即(21)BC AD =+，又(1)BC AD λ=-， 所以11λ-=，2λ=． 故选：D ．8．已知函数221e e ()312x xx f x --=++，若不等式2(4)(2)1f ax f ax -+≤对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]e,0- B ．[]2,0- C ．[]4,0-D ．2e ,0⎡⎤-⎣⎦【答案】C【分析】先判断()f x 为R 上的增函数且()()11f x f x +-=，利用这两个性质可得关于x 不等式，利用判别式可求参数的取值范围，注意分类讨论. 【详解】()f x 的定义域为R ，221e e ()312x x x f x ----=++，故1131()()131313131x x x x x f x f x --+=+=+=++++，()222223ln 3ln 3()e +e e +e 131323x x x x x xx x f x --'=-+=-+++， 因为13221243xx++≥=（当且仅当0x =等号成立）， 22e +e 2x x -≥（当且仅当0x =等号成立）， 故ln 3()204f x '≥->，所以()f x 为R 上的增函数， 故2(4)(2)1f ax f ax -+≤可转化为：2(4)1(2)f ax f ax -≤-， 即转化为：2(4)(2)f ax f ax -≤-， 所以242ax ax -≤-对任意的x ∈R 恒成立， 故2240ax ax +-≤对任意的x ∈R 恒成立， 当0a =时，40-≤恒成立，故0a =符号， 当0a <时，24160a a ∆=+≤，故40a -≤<，当0a >时，224y ax ax =+-的图象为开口向上的抛物线， 故2240ax ax +-≤对任意x ∈R 不恒成立，舍， 故[]4,0a ∈-， 故选：C.二、多选题9．设随机变量X 服从正态分布(4,4)N ，且2(23)(6)P X m P X m <-=>+，则实数m 的值可为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】AD【分析】根据正态分布的图象对称性求解即可【详解】由题，正态分布(4,4)N 图象关于4x =对称，故22368m m -++=，即230m m -=，解得0m =或3m = 故选：AD10．已知正方形ABCD 的对角线长为2，EF 是它的内切圆一条弦，点P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，当弦EF 的长度最大时，PE PF ⋅不可能为（ ）A ．13-B ．0C ．13D ．23【答案】AD【分析】建立平面直角坐标系，分析出EF 为圆的直径，设(),E m n ，则(),F m n --满足2212m n +=.利用向量坐标化计算出10,2PE PF ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦.对照四个选项,即可得到答案.【详解】因为正方形ABCD 的对角线长为2，所以边长为2. 建立如图示的平面直角坐标系，则正方形的内切圆的方程为2212x y +=当弦EF 的长度最大时，EF 为圆的直径.设(),E m n ，则(),F m n --,且2212m n +=.当点P 在CD 上时，可设222,P p p ⎛⎛≤≤ ⎝⎭⎝⎭. 则22,,2,PE P m p n p n F m ⎛⎫⎛=--=--- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2222221,,2m p n m p P n p m n p E PF ⎛⎛⋅=-⋅---=-+-= ⎝⎭⎝⎭.因为p ≤≤2102p ≤≤.即10,2PE PF ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦.当点P 在AB 上时，可设,,P p p ⎛⎛≤≤ ⎝⎭⎝⎭.则2,,2,PE P m p n p n F m ⎛⎫⎛=-+=--- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以22221,,2m p n m p P n p m n p E PF ⎛⎛⋅=-⋅---=-+-= ⎝⎭⎝⎭.因为p ≤≤2102p ≤≤.即10,2PE PF ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦.当点P 在BC 上时，可设,P p p ⎫⎛≤⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.则2,2,PE PF m n p m n p ⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22221222m n p m P n p P m p n E F p ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅----=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为22p -≤≤2102p ≤≤.即10,2PE PF ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦.当点P 在AD 上时，可设,222P p p ⎛⎫⎛≤≤ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.则2,2,PE PF m n p m n p ⎛⎫⎛⎫=+-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222212m n p m P n p P m p n E F p ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅---=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为p ≤≤2102p ≤≤.即10,2PE PF ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦. 综上所述：10,2PE PF ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦.对照四个选项,PE PF ⋅不可能为：AD.故选：AD.11．已知函数2()6cos 4sin 23f x x x =+-，()()()g x f x f x =-，若存在0x R ∈，使得对任意x ∈R ，0()()f x f x ≤恒成立，则下列结论正确的是（ ） A ．对任意x ∈R ，00()()f x x f x x +=-+B ．存在x ∈R ，使得0()()2f x f x π<+C ．存在,04πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()g x 在()00,x x θ+上有且仅有1个零点D ．存在25πθ<，使得()g x 在002,5x x πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上单调递减【答案】AD【分析】应用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数式，0x 是()f x 的最大值点，由周期得02x π+是最小值点，这样易判断AB ，根据()g x 的定义，利用正弦函数性质得出()g x 在00[,]42x x ππ++上递减，在003[,]24x x ππ++上递增，00[,]44x x x ππ∈-+时，()0g x =，由此判断CD ．【详解】2()6cos 4sin 23f x x x =+-3cos 24sin 25sin(2)x x x ϕ=+=+，其中4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=，ϕ为锐角， 0()()f x f x ≤恒成立，则0()f x 是()f x 的最大值，0x x =是其函数图象的一条对称轴，因此00()()f x x f x x +=-+，A 正确；()f x 的周期是22T ππ==，因此02x π+是最小值点，B 错； ()()()g x f x f x =-，则sin(2)0x ϕ+≥时，()0g x =，sin(2)0x ϕ+<时，()10sin(2)g x x ϕ=+，所以00[,]44x x x ππ∈-+时，()0g x =，,04πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x 在()00,x x θ+上恒为0，有无数个零点，C 错； 由()g x 的定义知其在00[,]42x x ππ++上递减，在003[,]24x x ππ++上递增， 所以当245ππθ≤<时，002,5x x πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⊆00[,]42x x ππ++，D 正确． 故选：AD ．12．如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，BA BC ⊥，2PA PB PC ===，O 为AC 的中点，点M 是棱BC 上一动点，则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥P ABC -的表面积为731++B ．若M 为棱BC 的中点，则异面直线PM 与AB 所成角的余弦值为77C ．若PC 与平面PAM 所成角的正弦值为12，则二面角M PA C --的正弦值为23D ．PM MA +的取值范围为627,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 【答案】ABD【分析】连结OB .证明出OP ⊥面ABC .O 为原点，以,,OB OC OP 分别为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.对于A ：直接求出三棱锥P ABC -的表面积，即可判断；对于B ：用向量法求出异面直线PM 与AB 所成角的余弦值，即可判断； 对于C ：用向量法求出二面角M PA C --的平面角的正弦值为33，即可判断； 对于D:把平面PBC 展开，判断出当M 与C 重合时，PM MA +最大；PM MA +的最小值为AP ，利用余弦定理可以求得. 【详解】连结OB .在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，BA BC ⊥，2PA PB PC ===. 所以OP AC ⊥,OB AC ⊥,且22213OP =-=,1OB =. 所以222OB OP PB +=，所以OB OP ⊥. 又因为OB AC O ⊥=，所以OP ⊥面ABC .可以以O 为原点，以,,OB OC OP 分别为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()0,1,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C ，(3P ，所以(0,1,3PA =-,(1,0,3PB =,(0,1,3PC =,()1,1,0CB =-.对于A ：在三棱锥P ABC -中，AB BC ==BA BC ⊥，2PA PB PC ===， 所以底面三角形ABC为直角三角形，其面积为112=；APC △为边长为2的等边三角形，所以面积为1222⨯⨯=APB △和CPB △为腰长为212； 所以三棱锥P ABC -的表面积为211=.故A 正确； 对于B ：M 为棱BC 的中点，所以11,,022M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以11,,22PM ⎛= ⎝,()1,1,0AB =.所以异面直线PM 与AB 所成角的余弦值为cos ,1PM AB PM AB PM AB⋅===⨯故B 正确；对于C ：点M 是棱BC 上一动点，不妨设()()1,1,0,,0CM CB λλλλ==-=-，（01λ≤≤） . 所以()()()0,2,0,,0,2,0AM ACCM λλλλ=+=+-=-.设(),,n x y z =为面P AM 的一个法向量，则()0020n PA y nAM x y λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，不妨设y=1，则2,1,n λλ⎛-= ⎝⎭(0,1,PC =.因为PC 与平面PAM 所成角的正弦值为12，所以1sin cos ,2013PC n PC n PCn PC nPC nθ⋅⋅=====⨯⨯++，解得：201λλλ-=≤≤取2λλ-=263n ⎛=-⎝⎭显然，面P AC 的一个法向量为()1,0,0m =. 设二面角M PA C --的平面角为β，所以cos cos ,m n m n m nβ⋅====⨯所以2263sin 1cos 133ββ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故C 错误； 对于D:如图示，把平面PBC 展开，使A 、B 、C 、P 四点共面.当M 与B 重合时，224PM MA +=； 当M 与C 重合时，224PM MA +=+=最大；连结AP 交BC 于M 1，由两点之间直线最短可知，当M 位于M 1时，PM MA +最小.此时，2222214sin 4CBP ⎛⎫- ⎪⎝⎭∠=，所以14cos cos sin 24ABP CBP CBP π⎛⎫∠=+∠=-∠=- ⎪⎝⎭. 由余弦定理得：222cos AP AB BP AB BP ABP +-⋅⋅∠2214222224⎛⎫+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭627+所以PM MA +的取值范围为627,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦. 故D 正确. 故选：ABD【点睛】立体几何题目的解题策略： (1)证明题：几何关系的证明，用判定定理；(2)计算题：求角或求距离（求体积通常需要先求距离），可以用向量法.三、填空题13．已知函数sin π,0()(),01(2),1x x f x f x x f x x ≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，则2021()2f =________． 【答案】1-【分析】根据分段函数()f x 的解析式求得正确答案.【详解】2021111π2020sin 122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：1-14．251(5)(1)x x-+的展开式的常数项是________．【答案】5【分析】根据多项式的乘法，用2x 乘以511x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的21x 项再加上用5-乘以展开式的常数项，即得所求【详解】因为554321151010511x x x x x x ⎛⎫+=+++++ ⎪⎝⎭所以()52151x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式的常数项为()10515+-⨯=故答案为：515．已知点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于,P Q两点，点M 是椭圆C 上异于,P Q 的一点，直线,MP MQ 的斜率分别为12,k k ，且1259k k ⋅=-，若2PF QF =，则cos PFQ ∠=________．【答案】14--0.25【分析】由条件1259k k ⋅=-化简可得,,a b c 的关系，由2PF QF =结合椭圆的定义可求,PF QF ，再由余弦定理求cos PFQ ∠.【详解】设00(,)M x y ，11(,)P x y ，由已知可得11(,)Q x y --，2211221x y a b +=，2200221x y a b += 所以22220101220x x y y a b --+=，所以22201222010y y b a x x -+=- 因为1259k k ⋅=-，所以010*******y y y y x x x x -+⋅=--+， 2201220159y y x x -=--，所以2259b a =，所以22259a c a -=，故2249c a =，设椭圆的右焦点为2F ，因为2,PQ FF 互相平分可得四边形2PFQF 为平行四边形， 所以2PF QF =，又2PF QF =，22PF PF a +=， 所以242,33PF a PF a ==， 2222222cos cos 2PF PF FF PFQ FPF PF PF +-∠=-∠=-⋅，所以2221644199cos 424233a a c PFQ a a +-∠=-=-⨯⨯，四、双空题16．用标有1克，2克，4克的砝码各一个，在某架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么该天平所能称出的不同克数（正整数的重物）至多有______种；若再增加15克，40克的砝码各一个，所能称出的不同克数（正整数的重物）至多有______种． 【答案】 7 62【分析】用列举法得到1克，2克，4克的砝码称量的种数；若加入15克后，求出可称量的范围为822≤≤x ，若加入40克后求出可称量的范围为3347≤≤x ，也可称量4862≤≤x 、1848≤≤x ，再加1克，2克，4克的砝码称量的种数从而求出重量为整数的种数.【详解】当一边放砝码时：一个砝码时，有能称出1克、2克、4克，两个砝码时能称出3克、5克、6克，三个砝码时能称出7克共有7种情况；当两边都放砝码时：一边各放一个砝码时，则能称出321-=克、211-=克、312-=克三种情况；一边两个另一边一个有2130+-=克、2314+-=克、3122+-=克三种情况， 综上所述，该天平所能称出的不同克数至多有共有7种情况. 若用1克、2克、4克的砝码可称量范围17x ≤≤，若加入15克后，可称量的范围157157-≤≤+x ，即822≤≤x ， 若加入40克后，可称量的范围407407-≤≤+x ，即3347≤≤x ， 也可称量4084022+≤≤+x ，即4862≤≤x ， 也可称量4022408-≤≤+x ，即1848≤≤x ，则17x ≤≤，822≤≤x ，1848≤≤x ，3347≤≤x ，4862≤≤x ， 因为x 为正整数，所以162≤≤x ，所以再增加15克，40克的砝码各一个，所能称出的不同克数（正整数的重物）至多有62种.故答案为：7；62.五、解答题17．已知在ABC 中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 2sin 0b A -=. (1)求角B 的大小；(2)若角B 为钝角，且角B 的角平分线与边AC 相交于点D ，满足BD =ABC 的面积的最小值. 【答案】(1)3B π=或23B π=；(2)【分析】（1）利用正弦定理直接求出角B ；（2）根据面积相等及基本不等式求出8ac ≥，即可求出面积的最小值【详解】(1)2sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=.因为0A π<<,所以sin 0A ≠,所以sin B =. 因为0B π<<，所以3B π=或23B π=. (2)当23B π=时，1211sin sin sin 232323ABCS ac aBD cBD πππ==+，所以()ac a c BD =+，即)ac a c =+≥a c =时取等号）， 解得：8ac ≥（当且仅当a c =时取等号）.所以121sin 8232ABCSac π=≥⨯=（当且仅当a c =时取等号）.即ABC的面积的最小值为18．已知数列{}n a 是公比1q ≠的等比数列，481a =，且3a ，22a ，13a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足1113b a =，()121n n n b b n a ++=+，记11211...33n n n T b b b -⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，若1433nn n n c b T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，证明：121115...3n c c c +++<.【答案】(1)*3(N )n n a n =∈(2)证明见解析【分析】（1）根据等差中项可得21343a a a =+，结合等比数列通向公式求解；（2）结合题意整理可得2n c n =，利用放缩2214112412121n n n n ⎛⎫<=- ⎪--+⎝⎭，结合本题应从第二项开始放缩．【详解】(1)∵3a ，22a ，13a 成等差数列，则21343a a a =+ 211143a q a a q ∴=+ 即2430q q -+= 1q ∴=(舍去)或3q =4133a a q ∴== 1*13(N )n n n a a q n -∴==∈(2)由1121133n n n T b b b -⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，可得：21211113333nn n T b b b ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 两式相加得：()()()211122314111133333n nn n n n T b b b b b b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵()121n n n b b n a ++=+∴()21121141111335321333333n nn n n T b n b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯++⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则()2411352133nn n T b n n ⎛⎫-=++++-= ⎪⎝⎭，即24133nn n n c T b n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（1) 1151,13n c ==<成立； （2) 221144112,241(21)(21)2121n n c n n n n n n ⎛⎫≥=<==- ⎪--+-+⎝⎭12111111111...122...235572121n c c c n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭553213n n =-<+ 综上所述：对一切*121115N ,...3n n c c c ∈+++< 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ，90PBC ∠=，//AD BC ，90ABC ∠=，222CD AB AD ===.(1)求证：CD ⊥平面PBD ；(2)若三棱锥A PBD -的外接球表面积为16π，求三棱锥B PCD -的体积与三棱锥B PCD -的外接球的体积的比值. 【答案】(1)证明见解析 (2)727π【分析】（1）利用平面PBC ⊥平面ABCD 可以推出PB ⊥平面ABCD ，进而推出PB CD ⊥，而在四边形ABCD 中易证CD DB ⊥，最后利用线面垂直的判定定理即可证明（2）易知三棱锥A PBD -外接球的球心是PD 中点，三棱锥B PCD -外接球的球心是PC 中点，解出相关线段的长度即可求解【详解】(1)在四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=，2222AB CD AD ===，ABD ∴，BCD △为等腰直角三角形，即CD DB ⊥，2BC =平面PBC ⊥平面ABCD ，90PBC ∠=，平面PBC 平面ABCD BC =， PB ∴⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，PB CD ∴⊥，BD PB B =，,BD PB ⊂平面PBD ，CD 平面PBD .(2)PB ⊥平面ABCD ，,BD AD ⊂平面ABCD ，BD PB ∴⊥，AD PB ⊥，又//AD BC ，90ABC ∠=，90DAB ∴∠=，即AD AB ⊥，PB AB B =，,PB AB ⊂平面PAB ，AD ∴⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，AD AP ∴⊥，即DBP ，DAP 均为直角三角形，且公共斜边为PD ，PD ∴中点到三棱锥A PBD -四个顶点的距离相等，∴三棱锥A PBD -的外接球半径12R PD =2=所以在Rt PBD 中PB =在Rt PBC △中，PC ==同理可得三棱锥B PCD -的外接球半径12R PC '==111332B PDC P DBC DBC V V S PB --∴==⨯⨯=⨯=△343V π==⎝⎭球B PDC V V -∴球20．有编号为A 、B 的两个盒子，A 盒子中有6个球，其中有2个球上写有数字0，3个球上写有数字1，1个球上写有数字2，B 盒子中也有6个球，其中有2个球上写有数字0，2个球上写有数字1，2个球上写有数字2.现从A 盒子取2个球，从B 盒子取1个球，设取出的3个球数字之积为随机变量ξ. (1)求随机变量ξ的分布列和数学期望；(2)记“函数()sin 216f x x πξ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度得到一个对称中心为π(,1)3的函数()g x ”为事件C ，求事件C 发生的概率. 【答案】(1)分布列见解析；()35E ξ= (2)115【分析】（1）先依据分布列规则去求随机变量ξ的分布列，再求其数学期望； （2）先求得ξ的值，进而可以求得事件C 发生的概率. 【详解】(1)ξ的可能取值为0，1，2，4()21442166C C 1101C C 15P ξ==-⋅=，()21322166C C 11C C 15P ξ==⋅=，()211113312221216666C C C C C 22C C C C 15P ξ==⋅+⋅=，()1113122166C C C 14C C 15P ξ==⋅=ξ的分布列为则()1112130124151515155E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (2)函数()sin 216f x x πξ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度得到函数ππππ()sin 2()1sin 216663g x x x ξξ⎡⎤⎛⎫=-++=+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭由函数()g x 一个对称中心为π(,1)3，可得πππ2π363k ξ⨯+-=，即62,Z kk ξ=-∈又ξ的取值为0，1，2，4，则4ξ=，则()115P C =21．已知抛物线()2:20C y px p =>上一点0(,2)P x ，抛物线C 的焦点F 在以OP 为直径的圆上（O 为坐标原点）. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 引圆222:(3)(1M x y r r -+=<≤的两条切线PA 、PB ，切线PA 、PB 与抛物线C 的另一交点分别为A 、B ，线段AB 中点的横坐标记为t ，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)24y x = (2)149,1419t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【分析】（1）由题设可得90PFO ∠=︒，据此可求0x ，从而可得p ，故可得抛物线的方程.（2）设切线PA 的方程为()112y k x =-+，切线PB 的方程为()212y k x =-+，根据相切可得12,k k 满足的方程，再联立直线方程与抛物线方程后可用12,k k 表示,A B 两点，从而用12,k k 表示中点的横坐标，结合12,k k 满足的方程（结合韦达定理）可得中点横坐标的一元函数，故可求其范围.【详解】(1)由已知条件可得90PFO ∠=︒，20,4222p px p p ∴==⨯=，解得021p x =⎧⎨=⎩，所以，抛物线的方程为24y x =.(2)由题意可知，过P引圆222(3)(1x y r r -+=<≤的切线斜率存在， 设切线PA 的方程为()112y k x =-+， 则圆心M 到切线PA的距离d r ==，整理得，()222114840r k k r --+-=.，设切线PB 的方程为()212y k x =-+,同理可得()222224840r k k r --+-=.所以，12,k k 是方程()2224840r k k r --+-=的两根，121228,14k k k k r +==-. 设()11,A x y ，()22,B x y ，由()12124y k x y x ⎧=-+⎨=⎩，得2114480k y y k --+=， 由韦达定理知111842k y k -=， 所以11211424242k y k k k -==-=-，同理可得2142y k =-. 设点D 的横坐标为t ，则()()22222112124242288k k x x y y t -+-++===()()()()22212121212221223k k k k k k k k =+-++=+-+- .设12m k k =+，则2888,43m r ⎡⎫=∈--⎪⎢-⎣⎭， 所以2223t m m =--，对称轴1823m =>-，则149,1419t ⎛⎤∈⎥⎝⎦22．已知函数()()()ln 2f x a x x a R =+-∈. (1)讨论()f x 的单调性和最值； (2)若关于x 的方程21e ln (0)2x m m m m x =->+有两个不等的实数根12,x x ，求证：122e e x x m+>. 【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值. （2）利用同构可得原方程即为2e x x m +=有两个不同的实数根12,x x ，结合构造法可证 122e e x x m+>成立. 【详解】(1)()2122a a x f x x x --'=-=++，其中2x >- 若0a ≤，则0f x在()2,-+∞上恒成立，故()f x 在()2,-+∞上为减函数，故()f x 无最值.若0a >，当()2,2x a ∈--时，0f x ；当()2,x a ∈-+∞时，0fx ；故()f x 在()2,2a --上为增函数，在()2,a -+∞上为减函数， 故()max ()2ln 2f x f a a a a =-=-+，()f x 无最小值. (2)方程21e ln (0)2x m m m m x =->+即为()e ln 2ln 2x m x m x x ++=+++， 故()ln ln elne 2ln 2x mx m x x +++=+++，因为ln y x x =+为()0,+∞上的增函数，所以ln 2e e x m x x m ++==所以关于x 的方程21e ln (0)2xm m m m x =->+有两个不等的实数根12,x x 即为： 2e x x m +=有两个不同的实数根12,x x .所以12122e ,2e x xx m x m +=+=，所以()1212e -e x x x x m -=，不妨设12x x >，12t x x =-，故()()12121212e e e e e e x x x x x x x x m -+=+-，要证：122e e x xm+>即证()()1212122e e e e x x x x x x m m -+>-， 即证()121212e 12e 1x x x x x x ---+>-，即证()()e 120e 1t t tt +>>-， 即证()()e 12e 20t tt t +>->，设()()e 12e 2t t s t t =+-+，则()()e 1e 2e 1e 1t t t ts t t t '=++-=-+，故()e 0ts t t ''=>，所以()s t '在()0,+∞上为增函数，故()()00s t s ''>=，所以()s t 在()0,+∞上为增函数，所以()()00s t s >=，故122e e x xm+>成立.【点睛】思路点睛：对于较为复杂的与指数、对数有关的方程，可以考虑利用同构将其转化为简单的方程，从而利用常见的极值点偏移的方法来处理零点不等式.。
湖南省岳阳市第九中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题
湖南省岳阳市第九中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下面四组线段中不能成比例线段的是（ ）A ．3、6、2、4B ．4、6、5、10C ．1、2、3、6D ．25、20、4、5 2．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．210x y -+=C ．25x =D ．2110x x +-= 3．已知反比例函数k y x =的图象经过点()2,3，下列各点也在这个函数图象上的是（ ） A ．()1,5 B ．()4,2 C ．()2,3-- D ．()3,2- 4．若()230x y y =≠，则下列比例式一定成立的是（ ）A ．23xy = B ．32x y = C ．23x y = D ．32x y= 5．一元二次方程2650x x -+=配方可变形为（ ）A ．()234-=xB ．()2314x +=C ．()2314x -=D ．()234x += 6．若关于x 的一元二次方程29304kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．0k = B ．1k ≥-且0k ≠C ．1k ≥-D ．1k >-且0k ≠ 7．在同一坐标系中，函数1y kx =-与函数(0)k y k x=≠的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．8．如图，已知两个反比例函数11:C y x=和21:3C y x =在第一象限内的图象，设点P 在1C 上，PC x ⊥轴于点C ，交2C 于点,A PD y ⊥轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．39．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），则下列结论中正确的是（ ）A ．AB 2＝AP 2+BP 2B ．BP 2＝AP •BAC ．AP BPD ．BP AP =10．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（ ）A ．方程x 2－3x ＋2＝0是2倍根方程B ．若关于x 的方程(x －2) (mx ＋n )＝0是2倍根方程，则m ＋n ＝0C ．若m ＋n ＝0且m ≠0，则关于x 的方程(x －2) (mx ＋n )＝0是2倍根方程D ．若2m ＋n ＝0且m ≠0，则关于x 的方程x 2＋(m －n )x －mn ＝0 是2倍根方程二、填空题11．若23a b =，则a a b =+． 12．某同学的身高为1.8米，某一时刻他在阳光下的影子长为1.2米，与他相邻的一棵树的影子长为3.6米，则这棵树的高度是米．13．若m 是关于x 的一元二次方程2310x x -+=的一个根，则2262024m m -+=． 14．在反比例函数3m y x-=的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是． 15．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强()Pa p 是气球体积()3m V 的反比例函数，且当33m V =时，8000Pa p =．当气球内的气体压强大于40000Pa 时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于3m ．16．在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有110件，则参加晚会的同学共有人． 17．某种药品连续两次降价后，由每盒200元下调到每盒128元，这种药品每次降价的百分率为．18．如图，在平面直角坐标系中，OAB △的边OA 在x 轴正半轴上，其中90OAB OA OB ∠=︒=，，点C 为斜边OB 的中点，反比例函数()0,0k y k x x =>>的图象过点C 且交线段AB 于点D ，连接CD OD 、，若32OCD S =V ，则k 的值为．三、解答题19．解方程：(1)2680x x -+=(2)2(13)2(31)x x -=-20．解方程()()22215140x x ---+=时，我们可以将21x -视为一个整体，设21x y -=，则()2221y x =-，原方程化为2540y y -+=，解此方程，得121,4y y ==．当1y =时，2211,2,x x x -==∴=当4y =时，2214,5,x x x -==∴=∴原方程的解为1234x x x x ==以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．运用上述方法解方程：()()2222260x x x x +-+-=．21．如图，在一长为40cm ，宽为28cm 的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子、若已知长方体盒子的底面积为2364cm ，求截去的四个小正方形的边长．22．已知关于x 的一元二次方程()230x m x m ---=．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实根为12x x ，，且22121227x x x x +-=，求m 的值． 23．某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．(1)若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？(2)该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 24．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数m y x=的图象交于点()1,8A 、(),2B n -，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数解析式和一次函数解析式；(2)观察函数图象，直接写出不等式m kx b x+<的解集； (3)连接 AO ，BO ，求AOB V 的面积．25．如图，点(),2A a 在反比例函数4y x =的图象上，//AB x 轴，且交y 轴于点C ，交反比例函数k y x =于点B ，已知2AC BC =．（1）求直线OA 的解析式；（2）求反比例函数k y x=的解析式； （3）点D 为反比例函数k y x =上一动点，连接AD 交y 轴于点E ，当E 为AD 中点时，求OAD △的面积．26．定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形，比如：矩形就是勾股四边形．(1)如图，在直角坐标系xOy 中，直线1y x =-+与双曲线6y x-=相交于A B 、两点，点(3,0)P -在x 轴负半轴上，Q 为直角坐标平面上一点．①分别求出A B 、两点的坐标； ②如图，当四边形APQB 是平行四边形时，请证明平行四边形APQB 是勾股四边形．(2)在（1）的条件下，当以A B P Q 、、、为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q 点的坐标．。
2020年湖南岳阳中考道德与法治试题及答案
2020年湖南岳阳中考道德与法治试题及答案一、选择题（下列各题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．每题2分，共32分）1．2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立 周年大会在北京天安门广场隆重举行，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席 发表重要讲话并检阅受阅部队。
（ ）A ．70 习近平B ．100 胡锦涛C ．70 胡锦涛D ．100 习近平参考答案：A 。
2．你认为某校宣传栏中的图表（如表）所指的会议是（ ）A ．中国共产党第十九次全国代表大会B ．中国共产党十九届四中全会C ．十三届全国人大三次会议D ．中央经济工作会议参考答案：B 。
3．2020年1月10日，2019年度国家科学技术奖励大会在北京人民大会堂召开。
习近平主席向获得2019年度国家最高科学技术奖的 和 两位院士颁奖。
（ ）A ．王泽山 侯云德B ．屠呦呦 赵忠贤C ．钱七虎 刘永坦D ．黄旭华 曾庆存参考答案：D 。
4．据《中华人民共和国2019年国民经济和社会发展统计公报》数据统计，2019年我国GDP 总量稳居世界第 位，按照年平均汇率折算人均GDP 首次突破 美元。
（ ）A ．一 一万B ．二 二万C ．一 二万D ．二 一万 参考答案：D 。
5．2020年3月27日，《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学教育的意见》印发。
《意见》要求根据各学段特点，在大中小学设立为必修课程。
（）A．生命生命教育B．心理心理教育C．劳动劳动教育D．道德道德教育参考答案：C。
6．2019年3月12日，正在执勤的交警魏弘杨见一位孕妇费力地想要弯腰系鞋带，于是蹲在地上为这位孕妇系好了鞋带，网友称之为“最美的弯腰”。
材料表明（）①主动关心、帮助和服务他人，是对他人负责的表现②传递生活正能量，社会大家庭会更加美好③对他人付出越多，就越能得到他人对等的回报④在情感体验中，人们总是被动地接受外部环境的影响A．①②B．③④C．②③D．①④参考答案：A。
湖南省2023届新高考教学教研联盟高三下学期第二次联考语文试卷及答案
2023届湖南新高考教学教研联盟高三第二次联考语文试题卷长郡中学;衡阳市八中;永州市四中;岳阳县一中;湘潭县一中;湘西州民中;石门县一中;澧县一中;益阳市一中;桃源县一中;株洲市二中;麓山国际;联合命题郴州市一中;岳阳市一中;娄底市一中;怀化市三中;邵东市一中;洞口县一中命题学校:邵东市一中审题学校:岳阳县一中注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I(本题共5小题,17分)阅读下面的文字,完成1-5题。
材料一:近年来,随着世界经济的快速发展,能源消耗急剧增长,传统不可再生能源储量迅速降低,生态环境进一步遭到破坏，人们对可再生能源的需求越来越强烈。
因此,包括光伏在内的清洁、可再生能源逐渐受到各国青睐。
江苏理工学院电气信息工程学院副院长俞洋介绍,在“双碳”目标的引领下，我国相继出台的一系列新型储能政策,规范了光伏电站的开发建设秩序,可充分调动各方积极性,进一步推动我国光伏电站行业的健康有序发展。
但光伏容易受到光照条件等因素的影响,利用光伏发电，波动性、随机性较大,增加了电网系统管控的难度。
因此,储能技术逐渐成为解决光伏发电波动性的重要手段,能够有效实现“光储一体化”的光储电站由此而生。
一般而言,传统光储电站采用的技术是“被动”的，即电站建设完成就几乎处于相对静止状态,光伏发电的曲线也被动地随着太阳能资源的波动呈正态分布。
而新一代光储电站系统,采用的是光伏跟踪系统,其改变了传统光储电站只能被动、固定接收光的模式，通过跟踪支架驱动光伏组件,实现了主动“追着”太阳跑,以获取最大的发电量。
常州工学院博士生王书博表示,光伏跟踪系统可以实时跟踪太阳运动,并通过机械、电气、电子电路及程序等手段,调整光伏组件平面的空间角度,让太阳光直接照射光伏阵列，以此增加光伏阵列接收到的太阳辐射量,提高太阳光伏发电系统的总体发电量。
浙江省高考数学一轮复习 专题09 椭圆与双曲线的离心率特色训练
九、椭圆与双曲线的离心率一、选择题1．【2017年浙江卷】椭圆22194x y+=的离心率是A. 133B.53C.23D.59【答案】B【解析】椭圆22194x y+=中22222945a b c a b===-=，，.离心率5e3ca==，故选B.2．已知焦点在x轴上的椭圆2213x ym+=的离心率为12，则m=（）A. 6B. 6C. 4D. 2【答案】C3．【2018届南宁市高三摸底联考】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设直线与椭圆交点为，分别代入椭圆方程，由点差法可知代入k=1,M(-4,1),解得，选C.4．【2018届浙江省温州市高三9月测试】正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】B5．【2018届江西省南昌市高三上学期摸底】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> 的左右焦点分别为12,F F ， P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线by x a=恰为线段2PF 的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为A. 2B. 3C. 5D. 6 【答案】C【解析】设()2,0F c ，渐近线方程为b y x a =，对称点为(),P m n ，即有n a m c b=--，且()1122b m c n a +⋅=⋅，解得222,a b abm n c c -==，将222,a b ab P cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2222,a c ab c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()222222222241a c a b a c c b--=，化简可得2241c a -=，即有e 2=5，解得5e =，故选C ．6．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则该椭圆与双曲线的离线率知积的最小值为（ ）A. B. C. D.【答案】B在△PF 1F 2中由余弦定理得，4c 2=（a 1+a 2）2+（a 1﹣a 2）2﹣2（a 1+a 2）（a 1﹣a 2）cos ，化简得：（）a 12+（）a 22=4c 2，即，又∵9 ，∴，即≥，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为． 故选：B ．7．【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于A ， B 两点，且3AF BF =u u u v u u u v，则双曲线离心率的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 22 【答案】C【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C 相交于A 、B 两点，且3AF BF =u u u v u u u v，故直线与双曲线相交只能交于左右两只，即A 在左支，B 在右支，设()11,A x y ， ()22,B x y ，右焦点(),0F c ，因为3AF BF =u u u v u u u v，所以()123c x c x -=- ， 2132x x c -= ，由于12,x a x a ≤-≥，所以12,33x a x a -≥≥ ，故2134x x a -≥，即24,2,cc a a≥≥ 即2e ≥ ，选C. 8．【2018届甘肃省兰州第一中学高三9月月考】设点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若 S △IPF1＋S △IPF2＝2S △IF1F2，则该椭圆的离心率是 A.12 B. 22 C. 32 D. 14【答案】A9．【2018届广东省阳春市第一中学高三上第二次月考】若圆关于直线对称，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】圆的半径为：，满足题意时，直线过圆心，即，双曲线的离心率为：.本题选择C 选项.10．【2018届广西钦州市高三上第一次检测】已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，焦距为（），抛物线的准线交双曲线左支于，两点，且（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ） A.B. 2C.D.【答案】A11．【2017届湖北省黄冈中学高三三模】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为12,F F ，这两条曲线在第一象限的交点为P ， 12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的取值范围是（ ）A. 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 1,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()0,+∞ 【答案】A【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF 1|=m,|PF 2|=n,(m>n)， 由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形。
2018-2019学年高中物理同步重难讲练之相互作用专题11“活结”和“死结”、“动杆”和“定杆”
专题11“活结”和“死结”、“动杆”和“定杆”模型重难讲练1•“活结”和“死结”问题(1)活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，由于滑轮或挂钩对绳无约束，因此绳上的力是相等的，即滑轮只改变力的方向不改变力的大小，例如图乙中，两段绳中的拉力大小都等于重物的重力(2)死结：若结点不是滑轮，是固定点时，称为“死结”结点，则两侧绳上的弹力不一定相等•“死结” 一般是由绳子打结而形成的，“死结”两侧的绳子因打结而变成两根独立的绳子。
死结的特点：a.绳子的结点不可随绳移动b•“死结”两侧的绳子因打结而变成两根独立的绳子，因此由“死结”分开的两端绳子上的弹力不一定相等2•“动杆”和“定杆”问题(1)动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡时杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动•如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向•(2)定杆：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向•如图乙所示•【典例1】(2016 •全国卷川• 17)如图所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球•在a和b之间的细线上悬挂一小物块•平衡时，a、b间的B.~fmC.mD.2 m【答案】C【解析】如图所示,圆弧的圆心为6悬挂切砌块的点为G由于於二凡则&已为等边三角形，同一条细线上的拉力相等，Fr=mg f合力沿仇方向，则处为角平分线，由几何关系知，Zac5= 12<F,故线的拉力的合力与物块的重力大小相等，即每条线上的拉力所以小物块质量为叫故住对一【典例2】如图所示，一轻绳的两端分别固定在不等高的A、B两点，现用另一轻绳将一物体系于0点，设轻绳AO B0相互垂直， a >B ,且两绳中的拉力分别为F A、F B,物体受到的重力为G下列表述正确的是（）CA. F A一定大于GB. F A一定大于F BC. F A定小于F BD. F A与F B大小之和一定等于G【答案】B【解析】分析0点受力如图所示，由平衡条件可知，F A与F B的合力与G等大反向，因F A丄F B,故F A、F B 均小于G;因a >B,故F A>F B, B正确，A C错误；由三角形两边之和大于第三边可知，|F A| + | F B| > G D 错误.【典例3】如图甲所示，轻绳AD跨过固定的水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量M的物体，/ ACB=30°;图乙中轻杆HG —端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°,轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量M的物体，求：⑴轻绳AC段的张力F TAC与细绳EG的张力F TEG之比；⑵轻杆BC对C端的支持力；⑶轻杆HG对G端的支持力.M L【答案】⑴2M⑵Mg方向和水平方向成30°指向右上方（3） .3Mg方向水平向右【解析】题图甲和乙中的两个物体M、M都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G 点为研究对象，进行受力分析如图甲和乙所示，根据平衡规律一一求解.甲乙⑴图甲中轻绳Q跨过定滑轮拉住质量为Vi的物体，物体处于平衡状态』轻绳AC段的拉力也二團乙中由KK—得F T備疽所以瓷二磊⑵團甲中，三个力之间的夹甬都为□俨』根据平衡规律有用方向和水平方向成30% 指向右上方.⑶图乙中，根据平衡方程有用宓血13旷=施』码盼遊3呼=再叭所以尬=隔血33=击陀，方向水平向右+【跟踪训练】1.如图所示，将一细绳的两端固定于两竖直墙的A、E两点，通过一个光滑的挂钩将某重物挂在绳上，下面给出的四幅图中有可能使物体处于平衡状态的是（）【答案】C【解析】由于重韧是通过一个光滑的挂钩挂在绳上*绳子张力处处相等，而两边绳子的合力犬小等于 物体的重力，方向竖直向上，由对称性可知两边绳子与竖直方向的夹角相等，所以住正确。
专题15 复数的四则运算(解析版)
专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。
2021年高考地理二轮复习河流流量过程曲线图的判读
河流流量过程曲线图的判读1．判读方法（1）读横轴，看时间与径流曲线的对应状况横轴指示了径流变化对应的月份，从中可以看出，河流径流变化的时间分布特点。
图中径流最高值出现在8月份，冬季的几个月份径流变化较小。
（2）读竖轴，看流量的数值大小竖轴上标明的流量数值大小可以反映河流的流量大小。
图中的最大流量在220 m3/s左右，说明该河流量较小。
（3）读曲线，看径流的变化特点从径流曲线的高低起伏变化可以看出其丰水期和枯水期的长短分布状况。
图中河流的丰水期从6月份持续到9月份。
（4）看组合，分析河流的水文特征该河的径流变化基本上与气温的变化一致，且流量较小，说明该河以冰雪融水补给为主，径流的季节变化大，年际变化较小。
2．主要应用（从流量过程曲线图中分析河流补给）（1）洪水期出现在夏秋、枯水期在冬春的河流，一般多为雨水补给，但地中海气候区河流刚好相反。
（2）汛期出现在夏季的河流，除由雨水补给外，也可能是冰川融水补给。
（3）春季和夏季出现两个汛期的河流，除由雨水补给外，还可能有季节性积雪融水补给。
（4）河流在冬季断流可能是河水封冻的缘故，内流河往往是由于气温低，冰川不融化，没有冰川融水补给所致。
（5）曲线变化和缓，多系地下水补给，也可能是热带雨林气候区或温带海洋性气候区的河流。
下图是欧洲四条河流年相对流量变化示意图，读图回答1—3题。
1．四条河流依次位于A．欧洲北部、欧洲东部、欧洲南部、欧洲西部B．欧洲西部、阿尔卑斯山地区、欧洲南部、欧洲东部C．欧洲东部、欧洲北部、欧洲西部、阿尔卑斯山地区D．欧洲南部、斯堪的纳维亚半岛北部、欧洲东部、欧洲南部2．图中河流流量变化受气温影响显著的是A． B． C． D．3．关于四条河流水文特征的叙述，正确的是A．河流水位季节变化大 B．河流结冰期长C．河流水位年际变化小 D．河流水流湍急【答案】1．B 2．C 3．C【解析】1．河流全年流量变化不大，说明其所在区域降水稳定，故河流应该位于温带海洋性气候区，位于欧洲西部的可能性最大；河流特征为夏季流量突然增大，阿尔卑斯山区由于海拔高，降水不多，所以径流总量全年比较小，但是由于阿尔卑斯山山顶有积雪，夏季融化，故该区域河流流量会突然增大；河流冬季流量大，夏季流量小，符合地中海气候特点，应该分布在欧洲南部；河流春季流量大，其他季节流量都比较小且稳定，说明该地全年降水较少，冬季积雪在春季融化，春季流量增大，可能位于欧洲东部。