湖南省岳阳市一中2014届高三第六次质量检测试题 数学(理) 含答案
2014年高考湖南理科数学试题及答案解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年湖南，理1，5分】满足ii z z+=（i 为虚数单位）的复数z =（ ）（A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22--【答案】B【解析】由题意()i i 11i i i 1i i i 1i 22z z z z z z +-=⇒+=⇒-=-⇒==--，故选B ．（2）【2014年湖南，理2，5分】对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ） （A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==，故选D ． （3）【2014年湖南，理3，5分】已知()f x ，()g x 分别是定义R 在上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +（ ）（A ）-3（B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】C 【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=，则()()()()()()1131211111f g f f g g ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=，故选C ．（4）【2014年湖南，理4，5分】51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是（ ）（A ）-20 （B ）-5 （C ）5 （D ）20 【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2n =时，()()2532351121022022nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ，故选A ．（5）【2014年湖南，理5，5分】已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >．在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）（A ）①③ （B ）①④ （C ）②③ （D ）②④ 【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-，所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <，所以命题q 为假命题，所以②③为真命题，故选C ．（6）【2014年湖南，理6，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下，(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-，当[]0,2t ∈时，[]33,1S t =-∈--，则(][][]2,63,13,6S ∈---=-U ，故选D ．（7）【2014年湖南，理7，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则862r r r -+-=，故选B ．（8）【2014年湖南，理8，5分】某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为（ ）（A ）2p q +（B ）(1)(1)12p q ++- （C（D1【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒，故选D ．（9）【2014年湖南，理9，5分】已知函数发()()sin f x x ϕ=-，且230()0x f x dx =⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ）（A ）56x π= （B ）712x π= （C ）3x π= （D ）6x π=【答案】A【解析】解法一：函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭， 所以23k πϕπ=+或423k ππ+，则56x π=是其中一条对称轴，故选A ． 解法二：由定积分的几何性质与三角函数图象可知,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()sin()f x x ϕ=-的一个对称中心，所以sin()03πϕ-=，所以3k πϕπ=+，故选A ．（10）【2014年湖南，理10，5分】已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,)-∞（B ）(,-∞ （C）(（D）(【答案】B【解析】由题可得函数()f x 的图像上存在点020001(,)(0)2x P x x e x +-<关于y 轴对称的点02001(,)2x Q x x e -+-在函数2()ln()g x x x a =++的图像上，从而有()0220001ln()2x x e x x a +-=-+-+，即001ln()02x e x a --+-=．问题等价于函数1()ln()2x h x e x a =--+-在(),0x ∈-∞存在零点．解法一：1'()0x h x e x a=+>-+，()h x 在(),0x ∈-∞单调递增，当x →-∞时，()h x →-∞，要使()h x 在(),0-∞存在零点，则1(0)1ln 02h a =-->，从而a <B ．解法二： 问题等价于函数1()2x x e φ=-与()ln()x x a ϕ=-+的图象在(),0-∞有交点,在同一坐标系中作出这两个函数的图象，当()ln()x x a ϕ=-+的图象在左右平移的过程中，(0)(0)h ϕ>即可，即a e <，故选B ．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分． （11）【2014年湖南，理11，5分】在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，则直线l 的极坐标方程是 ．【答案】2sin 4πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+，因为弦长2AB =，所以圆心()2,1到直线l 的距离0d =，所以圆心在直线l 上，故1y x =-2sin cos 1sin 4πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭．（12）【2014年湖南，理12，5分】如图3，已知,AB AC 是O e 的两条弦，,3AO BC AB ⊥=，22BC =则O e的半径等于 ． 【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ，则2BD DC ==，由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =，由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=g g ，则直径332AE r =⇒=．（13）【2014年湖南，理13，5分】若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a = ．【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-．（二）必做题（14~16题）（14）【2014年湖南，理14，5分】若变量,x y 满足约束条件4y xx y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k = ． 【答案】2- 【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2，且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤，则当(),k k 为最优解时，362k k =-⇒=-，当()4,k k -为最优解时，()24614k k k -+=-⇒=，因为2k ≤，所以2k =-．（15）【2014年湖南，理15】如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线经过,C F 两点，则ba= ．【答案】21+【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+．（16）【2014年湖南，理16，5分】在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(0,3),(3,0)A B C -，动点D 满足1CD =u u u r ，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r的最大值是 ． 【答案】17+【解析】动点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，可设D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+，则(2cos ,3sin )OA OB OD θθ++=++u u u r u u u r u u u r ．()()222cos 3sin OA OB OD θθ++=+++u u u r u u u r u u u r()822cos 3sin θθ=++()87sin θϕ=++，其中43sin ,cos 77ϕϕ==，当()sin 1θϕ+=时，OA OB OD ++u u u r u u r的取到最大值17+．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2014年湖南，理17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35．现 安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记{E =甲组研发新产品成功}，{F =乙组研发新产品成功}．由题意知2132(),(),(),()3355P E P E P F P F ====， 且E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．（1）记{E =至少有一种新产品研发成功}，则H EF =，于是122()()()3515P H P E P F ==⋅=，故所求的概率为13()1()15P H P H =-=．（2）设企业可获利润为X ，则X 的可能取值为0,100,120,220．因122(0)()3515P X P EF ===⋅=，133224236(100)(),(120)(),(220)().351535153515P X P EF P X P EF P X P EF ===⋅====⋅====⋅=X0 100 120 220 P215 315 415 615 数学期望为：()0120100220151555E X =⨯+⨯+⨯+⨯14015==．（18）【2014年湖南，理18，12分】如图，在平面四边形ABCD 中，1,2,7AD CD AC ===．（1）求cos CAD ∠的值；（2）若7cos BAD ∠=-，21sin CBA ∠=，求BC 的长．解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得：222cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠=⋅，故由题设知，27cos .27CAD ∠==． （2）设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，因为27cos CAD ∠=，7cos BAD ∠=-，所以221sin 1cos CAD CAD ∠=-∠=, 2221sin 1cos BAD BAD ∠=-∠=， 于是()3sin sin sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠∠-∠∠= 在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC AC CBAα=∠，故37sin 23sin 21AC BC CBA α⋅⋅===∠． （19）【2014年湖南，理19，13分】如图,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O ==I I ，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形．（1）证明:1O O ⊥底面ABCD ；（2）若060CBA ∠=，求二面角11C OB D --的余弦值．解：（1）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥，同理1DC BD ⊥．因为11//CC DD ，所以1CC BD ⊥，而AC BD O =I ，因此1CC ⊥平面ABCD ， 由题设知11//O O C C ，故1O O ⊥平面ABCD ． （2）解法一： 如图（a ），过1O 作11O H B C ⊥于H ，连接1C H ．由（1）知，1O O ⊥平面ABCD ，所以1O O ⊥平面1111A B C D ，于是111O O AC ⊥，又四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而11AC ⊥平面11B BDD ，所以111AC OB ⊥，于是1OB ⊥平面11O HC ，进而11OB C H ⊥，所以11O HC ∠为二面角11C OB D --的平面角，不妨设2AB =， 因为060CBA ∠=，所以11,OB OC OB === 在11Rt OO B ∆中，易知11111O O O H B O B O =⋅=,又111O C =．于是1C H ===故1111cos O H O HC C H ∠====11C OB D --． 解法二：因为四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以ABCD 是菱形，因此 AC BD ⊥，又1O O ⊥平面ABCD ，从而1,,OB OC OO 两两垂直．如图（b ），以1,,OB OC OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设2AB =，因为060CBA ∠=，所以1OB OC =．于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C ，易知，1(0,1,0)=n 是平面 平面11B BDD 的一个法向量．设2(,,)x y z =n 是平面11OB C 的一个法向量，则212100OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u u rn n ，即2020z y z +=+=⎪⎩，取z =2,x y == 所以2=n ．设二面角11C OB D --的大小为，易知是锐角，于是 121212cos cos ,θ⋅=<>===⋅n n n n n n ．二面角11C OB D -- （20）【2014年湖南，理20，13分】已知数列{}n a 满足111,,*n n n a a a p n N +=-=∈．（1）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；（2）若12p =，且{}2+1n a 是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式． 解：（1）因为数列{}n a 是递增数列，11nn n n n a a a a p ++-=-=，而11a =，因此2231,1a p a p p =+=++，又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而得230p p -=．解得1,03p p ==．当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故13p =．（2）{}2+1n a 是递增数列，因而2+1210n n a a -->，于是()()2+122210n n n n a a a a --+-> ① 但2211122n n -<，所以2+12221n n n n a a a a --<- ② 由①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122n n n n n a a ----⎛⎫-== ⎪⎝⎭③ 因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n na a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④图a 1A OC B D1C 1B 1D A1O H1由③，④知，()1112n n n na a ++--==，于是121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L()()()11211111111412111222233212n n nnnn -+-----=+-++=+=+⋅+L ．数列{}n a 的通项公式为()1141332nn n a --=+⋅．（21）【2014年湖南，理21，13分】如图，O 为坐标原点，椭圆221221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线222221(0)x yC a b a b-=>>：的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知123e e =，且2431F F =-．（1）求12C C ，的方程；（2）若1F 过作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值． 解：（1）因为123e e =，所以2222311b b a a -+=g ，即4434a b -=，因此222a b =，从而24(,0),(3,0)F b F b ，24331b b F F -==-，所以1b =，22a =，椭圆1C 方程为2212x y +=，双曲线2C 的方程为2212x y -=． （2）因为直线AB 不垂直于y 轴且过点()11,0F -，故课设直线AB 的方程为1x my =-．由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--=．易知此方程的判别式大于0．设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根，所以12122221,22m y y y y m m -+=⋅=++，因此()12122422x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，故直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=． 由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得()2224m x -=，222222420,,22m m x y m m ∴->==--，2222+4222m PQ x y m ∴=+=- 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则B 点到直线PQ 的距离也为d ，所以112222224mx y mx y d m +++=+因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以()()1122220mx y mx y +++<， 于是112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而()2122224my y d m +-=+又因为()22121212222144m y y y y y y m +-=+-=+，所以2222124m d m +=+四边形APBQ 面积222122132221222m S PQ d m m+=⋅==-+-- 而2022m <-<，故当0m =时，S 取得最小值2．四边形APBQ 面积的最小值为2．（22）【2014年湖南，理22，13分】已知常数0a >，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+．（1）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围．解：（1）()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x +-=++，（*）因为()()2120ax x ++>， 所以当10a -≤时，当1a ≥时，()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时,()12'0f x x x =⇒==-，当1(0,)x x ∈时，()'0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，()'0f x <． 故()f x 在区间1(0,)x 单调递减，在1(,)x +∞单调递增的． 综上所述：当1a ≥时,()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时, ()f x 在区间10,2a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在12a a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增的． （2）由（*）式知，当1a ≥时，()'0f x ≥函数()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<，又()f x 的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a ->-，2--，解得12a ≠-，此时，（*）式知1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1212121222()()ln(1)ln(1)22x x f x f x ax ax x x +=+-++-++ ()()()121221212121244ln 1224x x x x a x x a x x x x x x ++⎡⎤=+++-⎣⎦+++()()()22412ln 21ln 2122121a a a a a -=--=-+---． 令21a x -=，由01a <<且12a ≠-知当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<．记22()ln 2g x x x =+-．（ⅰ）当10x -<<时，()2()2ln 2g x x x =-+-，所以222222'()x g x x x x -=-=，因此，()g x 在()1,0-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当102a <<时，12()()0f x f x +<．（ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x =+-，所以222222'()x g x x x x-=-=，因此，()g x 在()0,1上单调递减， 从而()(1)0g x g >=，故当112a <<时，12()()0f x f x +>． 综上所述，满足条件的a 的取值范围是为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．。
2014届湖南省岳阳一中高三第六次阶段考试理科数学试题(含答案解析)
岳阳市一中2014届高三第六次质量检测数学试卷（文）时量:120分钟 分值:150分 命题人：戴毅一. 选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一1.，则复数z 在复平面内对应的点为（ ）A.（0,1）B.（1,0）C.（0，-1） D.（-1,0）2．若0a b>>，2.下列不等式中总成立的是（ ） A ．．3A.函数()y f x =为R 上的可导函数，则0)(0='x f 是0x 为函数()f x 极值点的充要条件. B.命题“2,10x R x x ∈+-<存在”的否定是“2,10x R x x ∈+->任意”. C.命题“在ABC ∆中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为假命题. D.“0b =”是“函数2()f x ax bx c =++是偶函数”的充要条件.4,5次得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人）甲比乙成绩稳定乙比甲成绩稳定甲比乙成绩稳定乙比甲成绩稳定 5.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为h 的值为（ ）A C 6.） AC 7数的图像，只要将)(sin R x x y ∈=的图像上所有的点( )A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.B .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.8．如图，P 是△ABC 所在的平面内一点，且满足BA ＋BC＝D ，E 是BP 的三等分点，则( )A ．BA ＝ECB ．BA ＋BC ＝DPC ．PA ＋PC ＝4BD D ．PA －PC ＝BC －BA9．已知偶函数||log )(b x x f a +=在(0，＋∞)上单调递减，则)2(-b f 与)1(+a f 的大小关系是( )A ．)2(-b f <)1(+a fB ．)1(+a f =)2(-b fC ．)2(-b f >)1(+a fD ．无法确定10.已知2120m m <<< ，且1log ,1log 2211-=-=m m m m a a ，则实数a 的取值范围是( )A. 32<<aB.10<<aC. 21<<aD.43<<a 二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分.11．己知全集U R =，集合12. 在极坐标系中，圆4cos ρθ=的圆心到直线为 ．13．执行如右图所示的程序框图，输出的s 值为 .14. ,右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左 支于,A B 两点,的最小值为 . 15．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用符号x 〈〉表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：①1a a =〈〉；②时，数列{}n a 通项公式为 ；时，对任意*n N ∈都有n a a =，则a 的值为 ． 三、解答题(本大题共6大题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16．(本题满分12分) 某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中杉树600株，槐树400株．现用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株，杉树与槐树的树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(1)(2)如果杉树的树干周长超过60 cm 就可以砍伐，请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株？(3)树干周长在30 cm 到40 cm 之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．17．(本题满分12分) 在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =-．（Ⅰ）求B cos ；（Ⅱ）若4BC BA ⋅=，，求边a ，c 的值．18. (本题满分12分) 在如图所示的组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点．（Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．19. (本题满分13分) 某商场对A 品牌的商品进行了市场调查，预计2014年从1月起前x 个月顾客对A 品牌的商品的需求总量)(x P 件与月份x 的近似关系是：（1）写出第x 月的需求量)(x f 的表达式；（2）若第x 月的销售量（单位：件），每件利润)(x q 元与月份x A 品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（4036≈e ）20．(本题满分13分且直线的动直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点，试问：在直角坐标平面上 T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由。
2014年高考试题——数学理(湖南卷)解析版
2014年湖南高考理科数学试题逐题详解一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【2014年湖南卷（理01）】满足i ziz =+（i 为虚数单位）的复数=z A. i 2121+ B. i 2121- C. i 2121+- D. i 2121--【答案】B【解析】由题可得i i z zi i z -=-⇒=+)1(，所以i i i z 21211-=--=，故选B【2014年湖南卷（理02）】对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本，若选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ，2p ，3p ，则A. 321p p p <=B. 132p p p <=C. 231p p p <=D. 321p p p ==【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得三种抽样方式都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即 321p p p ==，故选D【2014年湖南卷（理03）】已知分别)(x f ，)(x g 是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g fA. 3-B. 1-C. 1D. 3【答案】C【解析】令1-=x 可得1)1()1()1()1(=+=---g f g f ，所以故选C.或者观察求得1)(2+=x x f ，3)(x x g -=，可求得1)1()1(=+g f【2014年湖南卷（理04）】5)221(y x -的展开式中32y x 的系数是A. 20-B. 5-C. 5D. 20【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭,则2n =时, ()()2532351121022022nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ,故选A.【2014年湖南卷（理05）】 已知命题:p 若y x >， 则y x -<-；命题:q 若y x >，则22y x > .在命题① q p ∧； ② q p ∨； ③ )(q p ⌝∧；④ q p ∨⌝)(中，真命题是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <, 所以命题q 为假命题,所以②③为真命题, 故选C.【2014年湖南卷（理06）】 执行如图1所示的程序框图. 如果输入的]2,2[-∈t ，则输出的S 属于A. ]2,6[--B. ]1,5[--C. ]5,4[-D. ]6,3[-【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时 ,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-U ,故选D.【2014年湖南卷（理07）】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示. 将该石材切割、打磨，加工成球，则能得到最大球的半径等于A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则2286862r r r -+-=+⇒=，故选B【2014年湖南卷（理08）】 某市生产总值连续两年持续增加. 第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A. 2q p +B. 21)1)(1(-++q p C. pq D. 1)1)(1(-++q p【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=，故选D.【2014年湖南卷（理09）】 已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=3200)(πdx x f ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是 A. 65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，又由⎰=3200)(πdx x f 得ϕ的一个值为3πϕ=，则56x π=是其中一条对称轴，故选A【2014年湖南卷（理10）】已知函数)0(21)(2<-+=x e x x f x与)ln()(2a x x x g ++=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 A. )1,(e-∞ B. ),(e -∞ C. ),1(e e-D. )1,(ee -【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=，当0x 趋近于负无穷小时，()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增，所以ln ln a a <⇒<,故选B.二、填空题：本大题共7小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.(一) 选做题 (请考生在11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 【2014年湖南卷（理11）】在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线:C ⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2y x (α为参数) 交于A 、B 两点，且2||=AB . 以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是____________________.【答案】1)sin (cos =-θθρ （或22)4sin(-=-πθρ）【解析】曲线C 的普通方程为1)1()2(22=-+-y x ，直线l 截曲线C 所得弦长2|=AB ，知直线l 过圆 心)1,2(，故直线l 的直角坐标方程为1-=x y 1cos sin -=⇒θρθρ【2014年湖南卷（理12）】如图3，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，BC AO ⊥，3=AB ，22=BC ，则⊙O 的半径等于_______. 【答案】23 【解析】设AD 交BC 于点D ，延长AO 交圆于另一点E ，则2==CD BD ，在ABD ∆中由勾股定理可得 1=AD ，再由相交弦定理得2=DE ，从而直径3=AE ，半径23=R【2014年湖南卷（理13）】若关于x 的不等式3|2|<-ax 的解集为}3135|{<<-x x ， 则=a ________.【答案】3-【解析】依得可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--3|231|3|235|a a ，解得3-=a（二）必做题（14~16题）【2014年湖南卷（理14）】若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤,,4,k y y x x y ，且y x z +=2的最小值为6-，则=k ____.【答案】2-【解析】画出不等式（组）表示的平面区域，知当y x z +=2过点）（k k ,时取得最小值， 所以62-=+k k ，2-=k【2014年湖南卷（理15）】如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为b a ,)(b a <. 原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过C 、F 两点，则=ab________.【答案】21+ 【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+,故填21+.【2014年湖南卷（理16）】在平面直角坐标系中，O 为原点，)0,1(-A ，)3,0(B ，)0,3(C . 动点D 满足1||=CD ，则||OD OB OA ++的最大值是_________.【答案】71+【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，则设为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈，则()()223cos 1sin 3OA OB OD θθ++=+-++u u u r u u u r u u u r )sin(728ϕθ++=，所以OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r的最大值为17728+=+，故填71+.或由题求得点D 的轨迹方程为1)3(22=+-y x ，数形结合求出OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值即为点)3,1(-到轨迹上的点最远距离( 到圆心的距离加半径) .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【2014年湖南卷（理17）】 (本小题满分12分) 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是32和53. 现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发相互独立. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获得利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.解： 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题可知32)(=E P , 31)(=E P ，53)(=F P ，52)(=F P . 且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1) 记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则F E H =，于是1525231)()()(=⨯==F P E P H P ，故所求概率为15131521)(1)(=-=-=H P H P .（2）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220. 又因1525231)()0(=⨯===F E P X P ，1535331)()100(=⨯===F E P X P ，1545232)()120(=⨯===F E P X P ，1565332)()220(=⨯===EF P X P .X100120220P152 153 154 156数学期望为 1401521001562201541201531001520)(==⨯+⨯+⨯+⨯=X E .【2014年湖南卷（理18）】 (本小题满分12分)如图5，在平面四边形ABCD 中，1=AD ，2=CD ，7=AC .（1） 求CAD ∠cos 的值； （2） 若147cos -=∠BAD ，621sin =∠CBA ，求BC 的长.解：（1）在ADC ∆中，则余弦定理，得ADAC CD AD AC CAD ⋅-+=∠2cos 222.由题设知，77272417cos =-+=∠CAD .（2）设α=∠BAC ，则CAD BAD ∠-∠=α因为772cos =∠CAD ，147cos -=∠BAD ， 所以721)772(1cos 1sin 22=-=∠-=∠CAD CAD ，14213)147(1cos 1sin 22=--=∠-=∠BAD BAD .于是CAD BAD CAD BAD CAD BAD ∠∠-∠∠=∠-∠=sin cos cos sin )sin(sin α23721)147(77214213=⋅--⋅=.在ABC ∆中，由正弦定理，CBA AC BC ∠=sin sin α，故 3621237sin sin =⋅=∠⋅=CBAAC BC α.【2014年湖南卷（理19）】(本小题满分12分)如图6，四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，O BD AC =I ，11111O D B C A =I ， 四边形11A ACC 和四边形11B BDD 均为矩形. （1） 证明：⊥O O 1底面ABCD ;（2）若ο60=∠CBA ，求二面角D OB C --11的余弦值.解：（1）如图 (a)，因为四边形11A ACC 为矩形，所以AC CC ⊥1，同理BD DD ⊥1.由题知，11//CC OO ，11//DD OO ，所以AC OO ⊥1，BD OO ⊥1，又 O BD AC =I ，故 ⊥O O 1底面ABCD .(2)解法1 如图(a)，过1O 作11OB H O ⊥于H ，连接1HC .由(1)知，⊥O O 1底面ABCD ，所以⊥O O 1底面1111D C B A ，于是. ⊥O O 111C A ，图6D 1B D C又因为四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，所以四边形1111D C B A 为菱形，因此1111D B C A ⊥，从而⊥11C A 平面11B BDD ,所以O B C A 111⊥，于是⊥O B 1平面11HC O ，进而 ⊥O B 11HC ，故11HO C ∠是二面角D OB C --11的平面角.不妨设2=AB ,因为ο60=∠CBA ，所以1,311===C O OC OB ，71=OB ，在11B OO Rt ∆中，易知73211111=⋅=OB B O OO H O ，719212111=+=H O C O H C ， 故19572719732cos 1111===∠H C H O HO C ，即二面角D OB C --11的余弦值为19572.解法2因为四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，因此BD AC ⊥， 又⊥O O 1底面ABCD ，从而OB ，OC ，1OO 两两垂直.如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，1OO 分别为x 轴， y 轴，z 轴建立空间坐标系xyz O -.不妨设2=AB ,因为ο60=∠CBA ，所以1,3==OC OB ，于是相关各点的坐标为：)0,0,0(O ，)2,0,3(1B ，）2,1,0(1C ，易知)0,1,0(1=n 是平面11B BDD 的一个法向量，设),,(2z y x n =是平面11C OB 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01212OC n OB n ，即⎩⎨⎧=+=+02023z y z x ，取3-=z ，则32,2==y x ，于是)3,32,2(2-=n .设二面角D OB C --11的大小为θ，易知θ为锐角，于是|,cos |cos 21><=n n θ|||||2121n n n n ⋅=195721932==.即二面角D OB C --11的余弦值为19572.【2014年湖南卷（理20）】(本小题满分13分)已知数列}{n a 满足11=a ，nn n p a a =-+||1，*N n ∈.（1）若}{n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值； （2）若21=p ，且}{12-n a 是递增数列，是}{2n a 递减数列，求数列}{n a 的通项公式.解：（1）因为}{n a 是递增数列，所以nn n n n p a a a a =-=-++||11，而11=a ，因此p a +=12，231p p a ++=，又1a ，22a ，33a 成等差数列，所以31234a a a +=，因而032=-p p ，解得31=p 或0=p ，但当0=p 时，n n a a =+1，与}{n a 是递增数列相矛盾，故31=p .(2) 由于}{12-n a 是递增数列，因而 01212>--+n n a a ，于是0)()(122212>-+--+n n n n a a a a ①且 1222121-<n n ，所以 ||||122212-+-<-n n n n a a a a ②则①②可知，0122>--n n a a ，因此122121222)1(21----==-n nn n n a a ， ③因为是}{2n a 递减数列，同理可得0212<-+n n a a ，故nn n n n a a 21222122)1(21++-=-=-， ④由③④即得 nn n n a a 2)1(11++-=-. 于是)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a Λ 122)1(21211--++-+=n nΛ.2)1(3134211])21(1[(21111---⋅+=+--+=n n n故数列}{n a 的通项公式为*).(2)1(31341N n a n nn ∈-⋅+=-【2014年湖南卷（理21）】 (本小题满分13分)如图7，O 为坐标原点，椭圆:1C )0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为21,F F ，离心率为1e ；双曲线:2C 12222=-by a x 的左、右焦点为43,F F ，离心率为2e . 已知2321=e e ，且13||42-=F F .（1）求1C 、2C 的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点. 当直线OM 与2C 交于Q P ,两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.解：（1）因为2321=e e ，所以232222=+⋅-a b a a b a ，因此得 44443a b a =-，即222b a =，从而)0,(2b F ，)0,3(4b F ，于是13||342-==-F F b b ，所以1=b ，22=a .故1C 、2C 的方程分别是 1222=+y x ，1222=-y x . (2) 由于AB 过)0,1(1-F 且不垂直y 轴，故可设直线AB 的方程为 1-=my x 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12122y x my x 得 012)2(22=--+my y m 易知此方程的判别式大于0，设),(,),(2211y x B y x A ，则21,y y 是上述方程的两个实根，所以22221+=+m m y y ，21221+-=⋅m y y .因此242)(22121+-=-+=+m y y m x x ，于是AB 中点)2,22(22++-m mm M ， 因此直线PQ 的斜率为2m -，其方程为x my 2-=.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=12222y x x m y 得 4)2(22=-x m ，所以022>-m ，2224m x -=，2222m m y -=， 从而 22222422||mm y x PQ -+=+=. 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以 4|2||2|222211++++=m y mx y mx d ，因为点A 、B 在直线PQ 的异侧， 所以 0)2)(2(2211<++y mx y mx ，于是|22||2||2|22112211y mx y mx y mx y mx --+=+++从而 4||)2(22212+-+=m y y m d ，又21224)(||222122121++⋅=-+=-m m y y y y y y ，所以 4122222++⋅=m m d ，故四边形APBQ 面积2222312221222||21m mm d PQ S -+-⋅=-+⋅=⋅=，而 2202≤-<m ，故当0=m 时，S 取最小值2.综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.【2014年湖南卷（理22）】 (本小题满分13分)已知常数0>a ，函数.22)1ln()(+-+=x x ax x f （1） 讨论)(x f 在区间),0(∞+上的单调性；（2）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且0)()(21>+x f x f ，求a 的取值范围.解：（1） 222)2)(1()1(4)2(2)2(21)('++-+=+-+-+=x ax a ax x x x ax a x f （*）当1≥a 时，0)('>x f ，此时，)(x f 在区间),0(∞+上单调递增；当10<<a 时，由0)('=x f 得 a a x -=121（aa x --=122舍去），当),0(1x x ∈时，0)('<x f ，当),(1∞+∈x x 时，0)('>x f ，故)(x f 在区间),0(1x 上单调递减，在区间),(1∞+x 上单调递增.综上所述，当1≥a 时， )(x f 在区间),0(∞+上单调递增；当10<<a 时，)(x f 在区间)12,0(a a -上单调递减，在区间),12(∞+-aa 上单调递增.（2）由（*）式知，当1≥a 时， 0)('>x f ，此时)(x f 不存在极值点. 因而要使)(x f 存在两个极值点，必有10<<a ，且)(x f 的极值点只可能是a a x -=121和a a x --=122，且由)(x f 的定义可知，a x 1->且2-≠x ，所以a a a 112->-- 且212-≠--aa ，解得21≠a . 此时，则（*）式知，1x ，2x 分别是)(x f 的极小值点和极大值点. 而 22)1ln(22)1ln()()(22211121+-+++-+=+x x ax x x ax x f x f 4)(2)(44])(1ln[2121212121221+++++-+++=x x x x x x x x x x a x x a 12)1(4)12ln(2----=a a a 2122)12ln(2--+-=a a .令x a =-12，由10<<a 且21≠a 知，当210<<a 时，01<<-x ；当121<<a 时，10<<x . 并记22ln )(2-+=xx x g ， （i ）当01<<-x 时，22)ln(2)(-+-=x x x g ，02222)('22<-=-=x x x x x g ， 因此，)(x g 在区间)0,1(-上单调递减，从而04)1()(<-=-<g x g ，故当210<<a 时，0)()(21<+x f x f .(ii) 当10<<x 时，22ln 2)(-+=x x x g ，02222)('22<-=-=xx x x x g ， 因此，)(x g 在区间)1,0(上单调递减，从而0)1()(=>g x g ，故当121<<a 时，0)()(21>+x f x f . 综上所述，满足条件的a 的取值范围是)1,21(.。
【原创·纯word版解析系列】数学理卷·2014届湖南省六校高三下学期4月联考试题(2014.04)
湖南省六校2014届高三下学期4月联考数学（理）试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟，满分150分。
【试卷综析】本试题是一份高三测试的好题，涉及范围广，包括集合、正态分布、复数、函数、解三角形、、排列组合、导数、方程、定积分、线性规划、充要条件、三视图、程序框图、直线、倾斜角、数列、平面向量、双曲线、离心率、三角函数、概率、几何证明、不等式选讲、参数方程与极坐标等高考核心考点，又涉及了概率统计、三角向量、立体几何、解析几何、导数应用等必考解答题型。
本题难易程度涉及合理，梯度分明；既有考查基础知识的经典题目，又有考查能力的创新题目；从9,10,16等题能看到命题者在创新方面的努力，从17,18，19三题看出考基础，考规范；从20题可以看出考融合，考传统；从16,21两题可以看出，考拓展，考创新。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数z 满足()()211i z i -+=+，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点所在的象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【知识点】复数运算及其几何意义 【答案解析】D 由()()()2211111i i z i z i i +-+=+⇒==-+- 故选D【思路点拨】复数除法运算最好考出来，一定要掌握。
2．已知随机变量X 服从正态分布N （3，1），且P （l≤X≤5）=0．682 6，则P （X>5）= A ．0．158 8 B ．0．158 7 C ．0．158 6 D ．0．158 5【知识点】正态分布，概率。
【答案解析】B ()10.682650.15872P x ->== 【思路点拨】注意公式及对称性。
3．如图所示，程序框图（即算法流程图）运算的结果是 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【知识点】程序框图，求和及周期性【答案解析】C 由12320S n =+++⋅⋅⋅+> 17n += 【思路点拨】一步步推导，弄清要的那个n 。
湖南省岳阳市一中高三第六次质量检测文科数学
湖南省岳阳市一中高三第六次质量检测数学试卷（文科）时量:120分钟 分值:150分一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
1．函数x x y +-=3的定义域(A)}3|{≥x x (B) }0|{≥x x (C) }30|{≤≤x x (D) }0{}3|{ ≥x x 2．在等比数列}{n a 中，若2321=a a a ，16432=a a a ，则公比=q (A)21(B)2 (C)22 (D)83．已知直线n m ,和平面α，则n m //的一个必要非充分条件是（A ）α//m 、α//n （B ）α⊥m 、α⊥n （C ）α//m 、α∈n （D ）n m ,与α成等角4．已知102)1()1()1(x x x ++++++ 展开式中各项系数和为(A)2211+ (B) 2211- (C) 2210+ (D) 2210-5．已知非零向量,AB AC 和BC 满足()0,AB AC BC ABAC+•=且22AC BC AC BC•=•，则△ABC 为（A ）．等边三角形 （B ）．等腰非直角三角形 （C ）．非等腰三角形 （D ）．等腰直角三角形6．若实数,x y 满足不等式1133x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为（A ）4 （B ）11 （C ）12 （D ）147．已知f (x )=cosx ，g (x )=cos (x －2π)，则f (x )的图象（A ）与g (x )的图象相同 （B ）与g (x )的图象关于y 轴对称 （C ）向左平移2π个单位，得到g (x )的图象 （D ）向右平移2π个单位，得到g (x )的图象8．如图正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，长为2的线段MN 的端点M 在棱1DD 上运动，点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是（A ）π4 （B ）π（C ）π2 （D ）2π二、填空题：本大题共7小题,每小题5分,共35分.9. 设数列{}n a 的首项61-=a ，且满足)(21*+∈+=N n a a n n ，则=+++1921a a a .10．在=-+∆B b c a c b a C B A ABC tan )(222，若、、的对边分别是、、中，角，ac 3 则角的大小为B .11. 若两个集合A 与B 之差记作“B A -”，其定义为：{}B x A x x B A ∉∈=-且,如果集合{}R x ,x log x A ∈<=12，集合{}R x ,x x B ∈<-=12，则B A -等于 .12. 双曲线为，以、的两焦点为212122221F F F F by a x =-边作等边三角形，若双曲线恰好平分等边三角形的另两条边，则双曲线的离心率为 。
2014年湖南省岳阳一中高考数学四模试卷(理科)
2014年湖南省岳阳一中高考数学四模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.设集合P={-1，0，1}，集合Q={0，1，2，3}，定义P*Q={（x，y）|x∈P∩Q，y∈P∪Q}，则P*Q的元素的个数为（）A.4个B.7个C.10个D.12个【答案】C【解析】解：由题意知本题是一个分步计数原理，∵集合P={-1，0，1}，集合Q={0，1，2，3}，∴P∩Q={0，1}，P∪Q={-1，0，1，2，3}，∴x有2种取法，y有5种取法∴根据乘法原理得2×5=10，故选：C．本题是一个分步计数问题，根据所给的两个集合的元素，写出两个集合的交集与并集，根据新定义的集合规则，得到x和y分别有2和5种结果，根据分步计数原理得到结果．本题考查分步计数原理，考查集合的交集和并集的运算，是一个综合题，注意这是一个必得分题目，不要在细节上出错．2.已知平面上三点A、B、C满足，，，则的值等于（）A.25B.-25C.24D.-24【答案】B【解析】解：∵，，∴∴∠B=90°∴===-=-25故选B通过勾股定理判断出∠B=90，利用向量垂直的充要条件求出，利用向量的运算法则及向量的运算律求出值．本题考查勾股定理、向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律．3.一个算法的程序框图如图所示，若执行该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）A.i≤98？B.i≤99？C.i≤100？D.i≤101？【答案】B【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求sum=++…+的值，∵输出的结果为，即sum=1-+-+…+-=1-==，∴跳出循环的i=100，∴判断框内应填i≤99或i＜100．故选：B．算法的功能是求sum=++…+的值，根据输出的结果为，确定跳出循环的i值，从而得判断框应填的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．4.在平面直角坐标系中，若不等式（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为（）A.-5B.1C.2D.3【答案】D【解析】解：如图，由y=ax+1，x=1，得A（1，a+1），由x=1，x+y-1=0，得B（1，0），由y=ax+1，x+y-1=0，得C（0，1）．∵△ABC的面积为2，∴S△ABC=×（a+1）×1=2，∴a=3故选D确定不等式组对应的区域，求出直线交点的坐标，利用平面区域内的面积等于2，建立方程，即可求得a的值．本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．5.如果直线ax+by=4与圆x2+y2=4有两个不同的交点，则点P（a，b）与圆的位置关系是（）A.P在圆外B.P在圆上C.P在圆内D.不能确定【答案】A【解析】解：∵直线ax+by=4与圆x2+y2=4有两个不同的交点，∴圆心（0，0）到直线ax+by=4的距离小于半径，即＜2，∴a2+b2＞4，故点P（a，b）在圆外，故选A．由题意得，圆心（0，0）到直线ax+by=4的距离小于半径，得到a2+b2＞4，故点P（a，b）在圆外．本题考查点到直线的距离公式，以及点与圆的位置关系的判定方法．6.当0≤x≤时，|ax-2x3|≤恒成立，则实数a的取值范围是（）A.≥a≥B.-≥a≥C.a≥D.a≤【答案】A【解析】解：由题意可得0≤x≤时，-≤ax-2x3≤恒成立，即．由于函数y=2x2-在[0]上是增函数，故y的最大值为2×-=-．对于函数t=2x2+，当0≤x≤时，∵t′=≤0，故函数t在[0]上是减函数，故t的最小值为2×+=．根据题意可得a大于或等于y的最大值，且a小于或等于t的最小值，故a的范围为[-，]，故选：A．由题意可得0≤x≤时，即．利用单调性求得函数y=2x2-在[0]上的最大值、函数t=2x2+在[0]上的最小值，即可求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，利用单调性求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于基础档题．7.已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，则曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程是（）A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3【答案】A【解析】解：∵f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，∴f（1）=2f（1）-1∴f（1）=1∵f′（x）=-2f′（2-x）-2x+8∴f′（1）=-2f′（1）+6∴f′（1）=2根据导数的几何意义可得，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2∴过（1，1）的切线方程为：y-1=2（x-1）即y=2x-1故选A．由f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，可求f（1）=1，对函数求导可得，f′（x）=-2f′（2-x）-2x+8从而可求f′（1）=2即曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2，进而可求切线方程．本题主要考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是要由已知先要求出函数的导数，进而可求k=f′（1），从而可求切线方程．8.定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”；②“-伴随函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“λ-伴随函数”；其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.0个【答案】A【解析】解：①设f（x）=C是一个“λ-伴随函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-伴随函数”，故①不正确；②令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=-f（0）若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=-（f（0））2＜0．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根．因此任意的“-伴随函数”必有根，即任意“-伴随函数”至少有一个零点，故②正确；③用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ-伴随函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ-伴随函数”，故③不正确；故正确结论的个数1个，故选：A①设f（x）=C是一个“λ-伴随函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-伴随函数”；②令x=0，可得f（）=-f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=-（f（0））2＜0，由此可得结论；③用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ-伴随函数”，则（x+λ）2+λx2=0，从而有λ+1=2λ=λ2=0，此式无解；本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ-伴随函数的定义，是解答本题的关键．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)9.已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，α，β∈（-，）则α+β= ______ ．【答案】-【解析】解：tanα，tanβ是方程的两根，tanα+tanβ=-3，tanαtanβ=4，tan（α+β）==又∵α、β∈（-，），∴α+β∈（-π，π）．又∵tanα+tanβ=-3，tanα•tanβ=4，∴α、β同为负角，∴α+β=-．故答案为-此题运用根与系数的关系求出tanα+tanβ的值和tanαtanβ的值，根据两角和与差的正切公式即可求出α+β，但一定要注意α，β的范围此题考查根与系数的关系和两角和的正切，解题时一定要注意α，β的角度范围，这是本题容易出错的地方10.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为______ ．【答案】【解析】解：三视图复原的几何体如图，它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，它的直径是2，所以球的体积是：故答案为：判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，然后求其体积．本题考查三视图求几何体的外接球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．11.设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13= ______ ．【答案】105【解析】解：设数列的公差为d（d＞0），∵a1+a2+a3=3a2=15∴a2=5．∵a1a2a3=80∴（5-d）•5•（5+d）=5（25-d2）=80∴d2=25-16=9∴d=3∴a11+a12+a13=（a1+a2+a3）+30d=15+90=105故答案为105．由a1+a2+a3=15，利用等差中项的性质，可求得a2，然后利用a1a2a3=80通过解方程得到公差d，即可求出a11+a12+a13的值．本题考查等差数列的性质，通过对等差数列的研究，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．是个基础题．12.若不等式|3x-b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围______ ．【答案】5＜b＜7【解析】解：因为＜＜＜＜＜，又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，故有＜＜＜＜＜＜．故答案为5＜b＜7．首先分析题目已知不等式|3x-b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求b的取值范围，考虑到先根据绝对值不等式的解法解出|3x-b|＜4含有参数b的解，使得解中只有整数1，2，3，即限定左边大于0小于1，右边大于3小于4．即可得到答案．此题主要考查绝对值不等式的解法问题，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题型．对于此类基础考点在高考中属于得分内容，同学们一定要掌握．13.已知点M是抛物线y2=8x上的动点，F为抛物线的焦点，点A在圆C：（x-3）2+（y+1）2=1上，则|AM|+|MF|的最小值为______ ．【答案】4【解析】解：抛物线y2=8x的准线方程为：x=-2过点M作MN⊥准线，垂足为N∵点M是抛物线y2=8x的一点，F为抛物线的焦点∴|MN|=|MF|∴|MA|+|MF|=|MA|+|MN|∵A在圆C：（x-3）2+（y+1）2=1，圆心C（3，-1），半径r=1∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小∴（|MA|+|MF|）min=（|MA|+|MN|）min=|CN|-r=5-1=4∴（|MA|+|MF|）min=4故答案为：4先根据抛物线方程求得准线方程，过点M作MN⊥准线，垂足为N，根据抛物线定义可得|MN|=|MF|，问题转化为求|MA|+|MN|的最小值，根据A在圆C上，判断出当N，M，C三点共线时，|MA|+|MN|有最小值，进而求得答案．本题的考点是圆与圆锥曲线的综合，考查抛物线的简单性质，考查距离和的最小．解题的关键是利用化归和转化的思想，将问题转化为当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小．14.设a1，a2，…，a50是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+…+a50=9，且（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a50+1）2=107，则a1，a2，…，a50中数字0的个为______ ．【答案】11【解析】解：由（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a50+1）2=107得a12+a22+…+a502+2（a1+a2+…+a50）+50=107，即：a12+a22+…+a502=107-50-2×9=39由此式可知：0的个数为11-1和1的总个数是39设-1的个数为x，1的个数为y则有：x+y=39且y-x=9可知：x=15，y=24，故：a1，a2，…，a50中有0的个数为11，1的个数为24，-1的个数为15，故答案为11．根据题中已知条件先求出a12+a22+…+a502的值为39，便可知-1和1的总个数是39，则0的个数为11．本题考查了数列的实际应用，考查了学生的计算能力，解题时要注意整体思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误．15.将正整数1，2，3，4，…，n2（n≥2）任意排成n行n列的数表，对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a＞b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”，记为f（n）．若a ij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足a ij=，＜，，则：（1）f（3）= ______ ；（2）f（2013）= ______ ．【答案】；【解析】解：由题意，交换任何两行或两列，特征值不变．当n=3时，数表为此时，数表的“特征值”为当n=4时，数表为此时，数表的“特征值”为当n=5时，数表为此时，数表的“特征值”为．猜想“特征值”为，∴f（3）=，f（2013）=．故答案为：，．分别写出当n=3，n=4，n=5时的图表，由特征值的定义可得答案．本题考查类比推理和归纳推理，考查数列的应用，属基础题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足2=a2-（b+c）2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2-sin（-B）的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．【答案】解（Ⅰ）由已知，化为2bccos A=a2-b2-c2-2bc，（2分）由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得4bccos A=-2bc，∴，（4分）∵0＜A＜π，∴．（6分）（Ⅱ）∵，∴，＜＜．=．（8分）∵＜＜，∴＜＜，∴当C+=，取最大值，解得B=C=．（12分）【解析】（Ⅰ）通过化简向量的表达式，利用余弦定理求出A的余弦值，然后求角A的大小；（Ⅱ）通过A利用2012年6月7日17：54：00想的内角和，化简为C的三角函数，通过C的范围求出表达式的最大值，即可求出最大值时角B、C的大小．本题借助向量的数量积考查余弦定理以及三角函数的最值，考查计算能力．17.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A-PD-Q的余弦值．【答案】解：法1：（Ⅰ）如图，连AQ，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有AQ⊥DQ．（2分）设BQ=t，则CQ=a-t，在R t△ABQ中，有AQ=．在R t△CDQ中，有DQ=．（4分）在R t△ADQ中，有AQ2+DQ2=AD2．即t2+4+（a-t）2+4=a2，即t2-at+4=0．∴a=t+≥4．故a的取值范围为[4，+∞）．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当t=2，a=4时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD．（8分）过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．过M作MN⊥PD于N，连接NQ，则QN⊥PD．∴∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角．（10分）在等腰直角三角形PAD中，可求得MN=，又MQ=2，进而NQ=．（12分）∴cos∠MNQ=．故二面角A-PD-Q的余弦值为（14分）法2：（Ⅰ）以、、为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，则B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），P（0，0，4），（2分）设Q（t，2，0）（t＞0），则=（t，2，-4），=（t-a，2，0）．（4分）∵PQ⊥QD，∴=t（t-a）+4=0．即t2-at+4=0．∴a=t+≥4．故a的取值范围为[4，+∞）．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当t=2，a=4时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD．此时Q（2，2，0），D（4，0，0）．（8分）设n=（x，y，z）是平面PQD的法向量，由，得．取z=1，则n=（1，1，1）是平面PQD的一个法向量．（10分）而，，是平面PAD的一个法向量，（12分）由cos＜，＞．∴二面角A-PD-Q的余弦值为．（14分）【解析】解法1：（I）连AQ，设BQ=t，则CQ=a-t，解R t△ABQ，R t△CDQ，可求出AQ，DQ（均含参数t），在R t△ADQ中，由勾股定理，我们可以得到一个关于t和a的方程，进而由基本不等式得到a的取值范围；（Ⅱ）过Q作QM∥CD交AD于M，过M作MN⊥PD于N，连接NQ，则∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角，解三角形MNQ，即可得到二面角A-PD-Q的余弦值．解法2：（I）以、、为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，设Q（t，2，0）（t＞0），可得到向量，的坐标（均含参数t），由PQ⊥QD，可得•=0，由此可构造一个关于t和a的方程，进而由基本不等式得到a的取值范围；（II）分别求出平面PQD的法向量和平面PAD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角A-PD-Q的余弦值．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的，向量语言表述线线的垂直关系，二面角的夹角角及求法，方法一的关键是熟练掌握线线垂直的判定及二面角的平面角的构造方法；方法二的关键是建立空间坐标系，将线线垂直及二面角问题转化为向量夹角问题．18.已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0．且a2，a5，a14分别是等比数列{b n}的b1，b2，b3．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{C n}对任意自然数n均有++…+=a n+1成立，求c1+c2+…+c2013的值．【答案】解：（1）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，且a2，a5，a14成等比数列，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=2，∴a n=1+（n-1）•2=2n-1，又b1=a2=3，b2=a5=9，∴q=3，；（2）++…+=a n+1，即①，则n≥2时，②，①-②得，，所以（n≥2），n=1时，C1=9，所以，，，所以c1+c2+…+c2013=9+2•32+2•33+…+2•32013=9+2•=32014；【解析】（1）由a2，a5，a14成等比数列可得关于公差d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a n，由b1=a2=3，b2=a5=9得公比q，利用等比数列通项公式可得b n；（2），得n≥2时，，两式作差可得，从而求得（n≥2），易求C1=9，由{C n}的通项公式及等比数列求和公式可得答案；本题考查数列求和、等差等比数列的通项公式，考查学生的推理论证能力、运算求解能力．19.某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB=BC．（1）设AB=x米，cos A=f（x），求f（x）的解析式，并指出x的取值范围；（2）求四边形ABCD面积的最大值．【答案】解：（1）设AB=x米，则BC=x米，CD=5-x米，AD=9-x米，则有5-x＞0，即x＜5．在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos A．同理，在△CBD中，BD2=CB2+CD2-2CB•CD•cos C．…（3分）因为∠A和∠C互补，所以AB2+AD2-2AB•AD•cos A=CB2+CD2-2CB•CD•cos C=CB2+CD2+2CB•CD•cos A．…（5分）即x2+（9-x）2-2x（9-x）cos A=x2+（5-x）2+2x（5-x）cos A．解得cos A=，即f（x）=．由余弦的定义，有＜1，则x＞2，故x∈（2，5）．…（8分）（2）四边形ABCD的面积S=（AB•AD+CB•CD）sin A=[x（5-x）+x（9-x）]=．…（11分）记g（x）=（x2-4）（x2-14x+49），x∈（2，5）．由g′（x）=2x（x2-14x+49）+（x2-4）（2x-14）=2（x-7）（2x2-7x-4）=0，∴x=4或x=7或x=-．∵x∈（2，5），∴x=4．…（14分）所以函数g（x）在区间（2，4）内单调递增，在区间（4，5）内单调递减．因此g（x）的最大值为g（4）=12×9=108．所以S的最大值为=6．答：所求四边形ABCD面积的最大值为6m2．…（16分）【解析】（1）在△ABD与△CBD中，分别利用余弦定理，即可确定f（x）的解析式，及x的取值范围；（2）四边形ABCD的面积S=（AB•AD+CB•CD）sin A=，构建函数g（x）=（x2-4）（x2-14x+49），x∈（2，5），求导函数，即可求得四边形ABCD 面积的最大值．本题考查函数解析式，考查余弦定理的运用，考查四边形面积的计算，考查利用导数求函数的最值，正确表示四边形的面积是关键．20.已知F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（-1，）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足+=；（1）求椭圆的标准方程；（2）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当=λ且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵+=，∴点M是线段PF2的中点，∴OM是△PF1F2的中位线，又OM⊥F1F2∴PF1⊥F1F2∴，解得a2=2，b2=1，c2=1，∴椭圆的标准方程为=1．（5分）（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，∴，即m2=k2+1，由，消去y：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△＞0，∴k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，=x1x2+y1y2==λ，∴，∴，解得：，（8分）S=S△AOB===，设μ=k4+k2，则，S=，，，∵S关于μ在[，]上单调递增，S（）=，S（2）=．∴．（13分）【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）由圆O与直线l相切，和m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由此能求出△AOB面积S的取值范围．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．21.设函数f n（x）=x n（1-x）2在[，1]上的最大值为a n（n=1，2，…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对任何正整数n（n≥2），都有a n≤成立；（3）若数列{a n}的前n之和为S n，证明：对任意正整数n都有S n＜成立．【答案】解：（1）由′，当，时，由f′（x）=0得x=1或；当n=1时，，，f′1（x）=0，则；当n=2时，，，则；当n≥3时，，，而当，时f′n（x）＞0，当，时f′n（x）＜0，故函数f n（x）在处取得最大值，即：，综上：…（6分）（2）当n≥2时，要证，即证，而，故不等式成立…（10分）（3）当n=1，2时结论成立；当n≥3时，由（2）的证明可知：＜＜＜，从而＜…（13分）【解析】（1）易求f′n（x）=x n-1（1-x）[n（1-x）-2x]，经分析可得n=1时，；当，时f′n（x）＞0，当，时f′n（x）＜0，函数f n（x）在处取得最大值，从而可得数列{a n}的通项公式；（2）当n≥2时，利用分析法：要证，即证，再利用二项式定理即可证得该式成立，从而使结论得证；（3）当n=1，2时结论成立；当n≥3时，结合（2）的证明及放缩法的应用，即可证得对任意正整数n都有S n＜成立．本题考查数列的求和，考查数列通项公式的确定，突出考查导数的应用，考查分析法、放缩法的综合应用及推理论证能力，属于难题．。
2014年湖南高考理科数学试题逐题详解 (纯word解析版)
2014年湖南高考理科数学试题逐题详解 （纯word 解析版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【2014年湖南卷（理01）】满足i ziz =+（i 为虚数单位）的复数=z A. i 2121+ B. i 2121- C. i 2121+- D. i 2121--【答案】B【解析】由题可得i i z zi i z -=-⇒=+)1(，所以i i i z 21211-=--=，故选B【2014年湖南卷（理02）】对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本，若选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ，2p ，3p ，则A. 321p p p <=B. 132p p p <=C. 231p p p <=D. 321p p p ==【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得三种抽样方式都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即 321p p p ==，故选D【2014年湖南卷（理03）】已知分别)(x f ，)(x g 是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g fA. 3-B. 1-C. 1D. 3【答案】C【解析】令1-=x 可得1)1()1()1()1(=+=---g f g f ，所以故选C.或者观察求得1)(2+=x x f ，3)(x x g -=，可求得1)1()1(=+g f【2014年湖南卷（理04）】5)221(y x -的展开式中32y x 的系数是A. 20-B. 5-C. 5D. 20【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351*********nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A.【2014年湖南卷（理05）】 已知命题:p 若y x >， 则y x -<-；命题:q 若y x >，则22y x > . 在命题① q p ∧； ② q p ∨； ③ )(q p ⌝∧；④ q p ∨⌝)(中，真命题是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <, 所以命题q 为假命题,所以②③为真命题, 故选C.【2014年湖南卷（理06）】 执行如图1所示的程序框图. 如果输入的]2,2[-∈t ，则输出的S 属于A. ]2,6[--B. ]1,5[--C. ]5,4[-D. ]6,3[-【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时 ,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【2014年湖南卷（理07）】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示. 将该石材切割、打磨，加工成球，则能得到最大球的半径等于A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-=⇒=，故选B【2014年湖南卷（理08）】 某市生产总值连续两年持续增加. 第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A. 2q p +B. 21)1)(1(-++q p C. pq D. 1)1)(1(-++q p【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=，故选D.【2014年湖南卷（理09）】 已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=3200)(πdx x f ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是 A. 65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，又由⎰=3200)(πdx x f 得ϕ的一个值为3πϕ=，则56x π=是其中一条对称轴，故选A【2014年湖南卷（理10）】已知函数)0(21)(2<-+=x e x x f x与)ln()(2a x x x g ++=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 A. )1,(e-∞ B. ),(e -∞ C. ),1(e e-D. )1,(ee -【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=，当0x 趋近于负无穷小时，()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增，所以ln ln a a <⇒<,故选B.二、填空题：本大题共7小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.(一) 选做题 (请考生在11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 【2014年湖南卷（理11）】在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线:C ⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2y x (α为参数) 交于A 、B 两点，且2||=AB . 以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是____________________.【答案】1)sin (cos =-θθρ （或22)4sin(-=-πθρ）【解析】曲线C 的普通方程为1)1()2(22=-+-y x ，直线l 截曲线C 所得弦长2|=AB ，知直线l 过圆 心)1,2(，故直线l 的直角坐标方程为1-=x y 1cos sin -=⇒θρθρ【2014年湖南卷（理12）】如图3，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，BC AO ⊥，3=AB ，22=BC ，则⊙O 的半径等于_______. 【答案】23 【解析】设AD 交BC 于点D ，延长AO 交圆于另一点E ，则2==CD BD ，在ABD ∆中由勾股定理可得 1=AD ，再由相交弦定理得2=DE ，从而直径3=AE ，半径23=R【2014年湖南卷（理13）】若关于x 的不等式3|2|<-ax 的解集为}3135|{<<-x x ， 则=a ________.【答案】3-【解析】依得可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--3|231|3|235|a a ，解得3-=a（二）必做题（14~16题）【2014年湖南卷（理14）】若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤,,4,k y y x x y ，且y x z +=2的最小值为6-，则=k ____.【答案】2-【解析】画出不等式（组）表示的平面区域，知当y x z +=2过点）（k k ,时取得最小值，所以62-=+k k ，2-=k【2014年湖南卷（理15）】如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为b a ,)(b a <. 原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过C 、F 两点，则=ab________.1+ 【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒=,1+.【2014年湖南卷（理16）】在平面直角坐标系中，O 为原点，)0,1(-A ，)3,0(B ，)0,3(C . 动点D 满足1||=，则||++的最大值是_________.【答案】71+【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，则设为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈，则(3OA OB OD ++=)sin(728ϕθ++=，所以OA OB OD ++的最大值为17728+=+，故填71+.或由题求得点D 的轨迹方程为1)3(22=+-y x ，数形结合求出OA OB OD ++的最大值即为点 )3,1(-到轨迹上的点最远距离( 到圆心的距离加半径) .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【2014年湖南卷（理17）】 (本小题满分12分) 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是32和53. 现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发相互独立. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获得利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.解： 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题可知32)(=E P , 31)(=E P ，53)(=F P ，52)(=F P . 且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1) 记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则F E H =，于是1525231)()()(=⨯==F P E P H P ，故所求概率为15131521)(1)(=-=-=H P H P .（2）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220. 又因1525231)()0(=⨯===F E P X P ，1535331)()100(=⨯===F E P X P ，1545232)()120(=⨯===F E P X P ，1565332)()220(=⨯===EF P X P .数学期望为 1401521001562201541201531001520)(==⨯+⨯+⨯+⨯=X E .【2014年湖南卷（理18）】 (本小题满分12分)如图5，在平面四边形ABCD 中，1=AD ，2=CD ，7=AC .（1） 求CAD ∠cos 的值； （2） 若147cos -=∠BAD ，621sin =∠CBA ，求BC 的长.解：（1）在ADC ∆中，则余弦定理，得ADAC CD AD AC CAD ⋅-+=∠2cos 222.由题设知，77272417cos =-+=∠CAD .（2）设α=∠BAC ，则CAD BAD ∠-∠=α因为772cos =∠CAD ，147cos -=∠BAD ， 所以721)772(1cos 1sin 22=-=∠-=∠CAD CAD ，14213)147(1cos 1sin 22=--=∠-=∠BAD BAD .于是CAD BAD CAD BAD CAD BAD ∠∠-∠∠=∠-∠=sin cos cos sin )sin(sin α23721)147(77214213=⋅--⋅=.在ABC ∆中，由正弦定理，CBA AC BC ∠=sin sin α，故 3621237sin sin =⋅=∠⋅=CBAAC BC α.【2014年湖南卷（理19）】(本小题满分12分)如图6，四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，O BD AC = ，11111O D B C A = ， 四边形11A ACC 和四边形11B BDD 均为矩形. （1） 证明：⊥O O 1底面ABCD ;（2）若60=∠CBA ，求二面角D OB C --11的余弦值.图6D 1B DC解：（1）如图 (a)，因为四边形11A ACC 为矩形，所以AC CC ⊥1，同理BD DD ⊥1.由题知，11//CC OO ，11//DD OO ，所以AC OO ⊥1，BD OO ⊥1，又 O BD AC = ，故 ⊥O O 1底面ABCD .(2)解法1 如图(a)，过1O 作11OB H O ⊥于H ，连接1HC .由(1)知，⊥O O 1底面ABCD ，所以⊥O O 1底面1111D C B A ，于是. ⊥O O 111C A ，又因为四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，所以四边形1111D C B A 为菱形，因此1111D B C A ⊥，从而⊥11C A 平面11B BDD ,所以O B C A 111⊥，于是⊥O B 1平面11HC O ，进而 ⊥O B 11HC ，故11HO C ∠是二面角D OB C --11的平面角.不妨设2=AB ,因为60=∠CBA ，所以1,311===C O OC OB ，71=OB ，在11B OO Rt ∆中，易知73211111=⋅=OB B O OO H O ，719212111=+=H O C O H C ， 故19572719732cos 1111===∠H C H O HO C ，即二面角D OB C --11的余弦值为19572. 解法2因为四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，因此BD AC ⊥， 又⊥O O 1底面ABCD ，从而OB ，OC ，1OO 两两垂直.如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，1OO 分别为x 轴， y 轴，z 轴建立空间坐标系xyz O -.不妨设2=AB ,因为60=∠CBA ，所以1,3==OC OB ，于是相关各点的坐标为：)0,0,0(O ，)2,0,3(1B ，）2,1,0(1C ，易知)0,1,0(1=n 是平面11B BDD 的一个法向量，设),,(2z y x n =是平面11C OB 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01212OC n OB ，即⎩⎨⎧=+=+02023z y z x ，取3-=z ，则32,2==y x ，于是)3,32,2(2-=n .设二面角D OB C --11的大小为θ，易知θ为锐角，于是|,cos |cos 21><=n n θ||||2121n n ⋅=195721932==.即二面角D OB C --11的余弦值为19572.【2014年湖南卷（理20）】(本小题满分13分)已知数列}{n a 满足11=a ，n n n p a a =-+||1，*N n ∈.（1）若}{n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值； （2）若21=p ，且}{12-n a 是递增数列，是}{2n a 递减数列，求数列}{n a 的通项公式.解：（1）因为}{n a 是递增数列，所以n n n n n p a a a a =-=-++||11，而11=a ，因此p a +=12，231p p a ++=，又1a ，22a ，33a 成等差数列，所以31234a a a +=，因而032=-p p ，解得31=p 或0=p ，但当0=p 时，n n a a =+1，与}{n a 是递增数列相矛盾，故31=p .(2) 由于}{12-n a 是递增数列，因而 01212>--+n n a a ，于是0)()(122212>-+--+n n n n a a a a ①且 1222121-<n n ，所以 ||||122212-+-<-n n n n a a a a ②则①②可知，0122>--n n a a ，因此122121222)1(21----==-n nn n n a a ， ③因为是}{2n a 递减数列，同理可得0212<-+n n a a ，故nn n n n a a 21222122)1(21++-=-=-， ④由③④即得 nn n n a a 2)1(11++-=-. 于是 )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a 122)1(21211--++-+=n n.2)1(3134211])21(1[(21111---⋅+=+--+=n n n故数列}{n a 的通项公式为*).(2)1(31341N n a n nn ∈-⋅+=-【2014年湖南卷（理21）】 (本小题满分13分)如图7，O 为坐标原点，椭圆:1C )0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为21,F F ，离心率为1e ；双曲线:2C 12222=-by a x 的左、右焦点为43,F F ，离心率为2e . 已知2321=e e ，且13||42-=F F .（1）求1C 、2C 的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点. 当直线OM 与2C 交于Q P ,两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.解：（1）因为2321=e e ，所以232222=+⋅-a b a a b a ，因此得 44443a b a =-，即222b a =，从而)0,(2b F ，)0,3(4b F ，于是13||342-==-F F b b ，所以1=b ，22=a .故1C 、2C 的方程分别是 122=+y x ，122=-y x.(2) 由于AB 过)0,1(1-F 且不垂直y 轴，故可设直线AB 的方程为 1-=my x 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12122y x my x 得 012)2(22=--+my y m 易知此方程的判别式大于0，设),(,),(2211y x B y x A ，则21,y y 是上述方程的两个实根，所以22221+=+m m y y ，21221+-=⋅m y y . 因此242)(22121+-=-+=+m y y m x x ，于是AB 中点)2,22(22++-m m m M ， 因此直线PQ 的斜率为2m -，其方程为x m y 2-=. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=12222y x x m y 得 4)2(22=-x m ，所以022>-m ，2224m x -=，2222m m y -=， 从而 22222422||m m y x PQ -+=+=. 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以 4|2||2|222211++++=m y mx y mx d ，因为点A 、B 在直线PQ 的异侧， 所以 0)2)(2(2211<++y mx y mx ，于是|22||2||2|22112211y mx y mx y mx y mx --+=+++从而 4||)2(22212+-+=m y y m d ，又21224)(||222122121++⋅=-+=-m m y y y y y y ，所以 4122222++⋅=m m d ，故四边形APBQ 面积2222312221222||21m mm d PQ S -+-⋅=-+⋅=⋅=，而 2202≤-<m ，故当0=m 时，S 取最小值2.综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.【2014年湖南卷（理22）】 (本小题满分13分)已知常数0>a ，函数.22)1ln()(+-+=x x ax x f （1） 讨论)(x f 在区间),0(∞+上的单调性；（2）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且0)()(21>+x f x f ，求a 的取值范围.解：（1） 222)2)(1()1(4)2(2)2(21)('++-+=+-+-+=x ax a ax x x x ax a x f （*）当1≥a 时，0)('>x f ，此时，)(x f 在区间),0(∞+上单调递增；当10<<a 时，由0)('=x f 得 a a x -=121（aa x --=122舍去），当),0(1x x ∈时，0)('<x f ，当),(1∞+∈x x 时，0)('>x f ，故)(x f 在区间),0(1x 上单调递减，在区间),(1∞+x 上单调递增.综上所述，当1≥a 时， )(x f 在区间),0(∞+上单调递增；当10<<a 时，)(x f 在区间)12,0(a a -上单调递减，在区间),12(∞+-aa 上单调递增.（2）由（*）式知，当1≥a 时， 0)('>x f ，此时)(x f 不存在极值点. 因而要使)(x f 存在两个极值点，必有10<<a ，且)(x f 的极值点只可能是a a x -=121和a a x --=122，且由)(x f 的定义可知，a x 1->且2-≠x ，所以a a a 112->-- 且212-≠--aa ，解得21≠a . 此时，则（*）式知，1x ，2x 分别是)(x f 的极小值点和极大值点. 而 22)1ln(22)1ln()()(22211121+-+++-+=+x x ax x x ax x f x f 4)(2)(44])(1ln[2121212121221+++++-+++=x x x x x x x x x x a x x a 12)1(4)12ln(2----=a a a 2122)12ln(2--+-=a a . 令x a =-12，由10<<a 且21≠a 知，当210<<a 时，01<<-x ；当121<<a 时，10<<x . 并记22ln )(2-+=xx x g ，（i ）当01<<-x 时，22)ln(2)(-+-=x x x g ，02222)('22<-=-=xx x x x g ， 因此，)(x g 在区间)0,1(-上单调递减，从而04)1()(<-=-<g x g ，故当210<<a 时，0)()(21<+x f x f .(ii) 当10<<x 时，22ln 2)(-+=x x x g ，02222)('22<-=-=xx x x x g ， 因此，)(x g 在区间)1,0(上单调递减，从而0)1()(=>g x g ，故当121<<a 时，0)()(21>+x f x f . 综上所述，满足条件的a 的取值范围是)1,21(.。
湖南省岳阳市一中高三数学第六次质量检测试题 理 新人教A版
时量：120分钟 分值：150分 命题人；周振羽一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合m A B A mx x B A 则且,},1|{},1,1{===-= 的值为 A ．1或－1或0 B ．－1 C ．1或－1 D ．02.若复数2014z i i=+，则复数10z z +（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下列有关命题的叙述: ①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题。
②“5x >”是“2450x x -->”的充分不必要条件。
③命题P ：∃x ∈Ｒ，使得x 2＋x-1<0，则⌝p :∀x ∈Ｒ，使得x 2＋x-1≥0。
④命题“若2320x x -+=，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则2320x x -+≠”. 其中错误命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44. 已知直线 ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒ ⊥m ；②α⊥β⇒ ∥m ；③ ∥m ⇒α⊥β； ④ ⊥m ⇒α∥β.其中正确命题的个数是A ．4B ．3C ． 2D ． 1 5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为63,则判断框中应填 A ．7n ≤B ．7n >C ．6n ≤D ．6n >6. 已知几何体的三视图如图所示，可得这个几何体的体积是A ．43B ．83 C ．4 D ．6第6题几何体的三视图 第5题程序框图 7.由等式43223144322314)1()1()1()1(b x b x b x b x a x a x a x a x ++++++++=++++ 定义映射43214321),,,(b b b b a a a a f +++→，则→)1,2,3,4(fA.10B.7C. -1D.0开始结束束0S =，1n =，3a = S S a =+2a a =+1n n =+输出S 是 否8．设R y x ∈,，且满足153153(2014)2014(2014)4(2015)2014(2015)4x x y y ⎧+++=-⎪⎨⎪-+-=⎩，则=+y xA. 1B.-1C. 2D. -29．已知点F (-c,0) (c >0)是双曲线22221x y a b -=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P ，且点P 在抛物线y2=4cx 上，则该双曲线的离心率的平方等于A.7+65 B. 5 C. 3-5 D. 5+110.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()xf x ag x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n N*∈）的前n 项和等于3231，则n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ． 7二 ，填空题： 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第11.12.13三题中选两题作答案，如果全做，则按前两题记分 ）11．在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为5cos 15sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），直线l 的参数方程为12332x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为)2,3(πP .设直线l 与曲线C 的两个交点为A 、B ，则||||PA PB ⋅的值为 .12. 已知函数f(x)＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式 |a ＋b|＋|a －b|≥|a|·f(x)成立，则实数x 的取值范围是 . 13．如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E ，若ABC ∆的面积AE AD S ⋅=21，则BAC ∠的大小为 .(二)必做题（14~16题）14．在（2512)x x -的二项展开式中，x 的系数为 ．15. 已知实数,x y 满足0024x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，当23s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值函数()f s 的最小值为 ．16．已知集合{101}A =-，，，对于数列{}n a 中(123)i a A i n ∈=，，，，.①若三项数列{}n a 满足1230a a a ++=，则这样的数列{}n a 有________．个②若各项非零数列{}n a 和新数列{}n b 满足首项10b =，11i i i b b a ---=（23i n =，，，），且末项0n b =，记数列{}n b 的前n 项和为nS ，则nS 的最大值为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分。
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2014届高三年级第六次检测理科数学试卷(含答案)时量：120分钟 分值：150分 (含答案)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合m A B A mx x B A 则且,},1|{},1,1{===-= 的值为 A ．1或－1或0 B ．－1 C ．1或－1 D ．0 2.若复数2014z i i =+，则复数10z z+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.下列有关命题的叙述: ①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题。
②“5x >”是“2450x x -->”的充分不必要条件。
③命题P ：∃x ∈Ｒ，使得x 2＋x-1<0，则⌝p :∀x ∈Ｒ，使得x 2＋x-1≥0。
④命题“若2320x x -+=，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则2320x x -+≠”. 其中错误命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44.已知直线 ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒ ⊥m ；②α⊥β⇒ ∥m ；③ ∥m ⇒α⊥β；④ ⊥m ⇒α∥β. 其中正确命题的个数是A ．4B ．3C ． 2D ． 1 5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为63,则判断框中应填A ．7n ≤B ．7n >C ．6n ≤D ．6n >6. 已知几何体的三视图如图所示，可得这个几何体的体积是A ．43 B ．83C ．4D ．6第6题几何体的三视图 第5题程序框图 7.由等式43223144322314)1()1()1()1(b x b x b x b x a x a x a x a x ++++++++=++++ 定义映射43214321),,,(b b b b a a a a f +++→，则→)1,2,3,4(fA.10B.7C. -1D.08．设R y x ∈,，且满足153153(2014)2014(2014)4(2015)2014(2015)4x x y y ⎧+++=-⎪⎨⎪-+-=⎩，则=+y x A. 1 B.-1 C. 2 D. -29．已知点F (-c,0) (c >0)是双曲线22221x y a b-=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆x 2+y 2=c2交于点P ，且点P 在抛物线y 2=4cx 上，则该双曲线的离心率的平方等于B. 510.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <， 25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n N *∈）的前n 项和等于3231，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7二 ，填空题： 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第11.12.13三题中选两题作答案，如果全做，则按前两题记分 ）11．在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），直线l的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 为参数）.以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为)2,3(πP .设直线l 与曲线C 的两个交点为A 、B ，则||||PA PB ⋅的值为 .12. 已知函数f(x)＝|x －2|，若，且a ，b ∈R ，都有不等式 |a ＋b|＋|a －b|≥|a|·f(x)成立，则实数x 的取值范围是 . 13．如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E ，若ABC ∆的面积AE AD S ⋅=21，则BAC ∠的大小为 .(二)必做题（14~16题）14．在（2512)x x-的二项展开式中，x 的系数为 ．15. 已知实数,x y 满足0024x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，当23s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值函数()f s 的最小值为 ．16．已知集合{101}A =-，，，对于数列{}n a 中(123)i a A i n ∈=，，，，. ①若三项数列{}n a 满足1230a a a ++=，则这样的数列{}n a 有________．个②若各项非零数列{}n a 和新数列{}n b 满足首项10b =，11i i i b b a ---=（23i n =，，，），且末项0n b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则n S 的最大值为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）设函数a x x x x f ++=2c o sc o s si n 3)(.（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当]3,6[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最大值与最小值的和为23，求)(x f 的解析式；（Ⅲ）将满足（Ⅱ）的函数)(x f 的图像向右平移12π个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移21个单位，得到函数)(x g ，求)(x g 图像与x 轴的正半轴、y 轴、直线2π=x 所围成图形的面积。
18.(本小题满分12分）如图，直角梯形A B C D 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，E A E B⊥．（1）求证：AB D E ⊥；（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值； （3）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存19．（本小题满分12分）2014年3月1日,部分高校在湖南省城长沙举行自主招生笔试，岳阳、长沙两城之间开通了高速列车，假设岳阳到长沙每天8：00–9：00，9：00–10：00两个时间段内各有一趟列车从岳阳到长沙（两车发车情况互不影响），岳阳发车时间及其概率如下表所示 ：若甲、乙两位同学打算从岳阳到长沙参加自主招生，假设他们到达岳阳火车站候车的时间分别是周五8：00和周六8：20.（只考虑候车时间，不考虑其它因素）（1）设乙同学候车所需时间为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望； （2）求甲、乙二人候车时间相等的概率.20. (本小题满分13分)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件．（Ｉ）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ；（II ）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L 最大,并求出L 的最大值．21.(本小题满分13分)已知抛物线y 2=2px (p>0)上点T(3，t)到焦点F 的距离为4. (Ⅰ)求t ，p 的值； (Ⅱ)设A 、B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5OA OB ⋅=（其中 O 为坐标原点）.(ⅰ)求证：直线AB 必过定点，并求出该定点P 的坐标；(ⅱ)过点P 作AB 的垂线与抛物线交于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值.22. (本小题满分13分)已知f(x)＝xlnx －ax ，g(x)＝-x 2－2，（Ⅰ）对一切x ∈(0, +∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当a ＝－1时，求函数f(x)在[m ，m ＋3]( m ＞0)上的最值；（Ⅲ）证明：对一切x ∈(0, +∞)，都有lnx ＋1＞exe x 21-成立。
2014届高三年级第六次检测理科数学试卷参考答案一、选择题 A C B C D D D A D B二 ，填空题：11. 8 12. 0≤x ≤4 13. 90º 14. -40 15. 6 16. ① 7 ②24(1)n -10.【答案】 B 2()'()()()'()[]'()()f x f xg x f x g x g x g x -=，因为'()()()'()f x g x f x g x <，所以2()'()()()'()[]'0()()f x f xg x f x g x g x g x -=<，即函数()()x f x a g x =单调递减，所以01a <<.又25)1()1()1()1(=--+g f g f ，即152a a -+=，即152a a +=，解得2a =（舍去）或12a =.所以()1()()2x f x g x =，即数列()1()()2n f n g n =为首项为112a =，公比12q =的等比数列，所以111()(1)1121()112212n n nn a q S q --==⨯=---，由1311()232n -=得11()232n =，解得5n =，选B. 11．解：点)3,0(P 在直线l 上。
直线l的参数方程为12x ty ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的直角坐标方程为221515x y +=，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，有22213())15,2802t t t -+=∴+-=，设两根为12,t t ，121288PA PB t t t t ∴⋅===-=12.解：|a ＋b|＋|a －b|≥|a|·f(x)及a≠0得f(x)≤|a ＋b|＋|a －b||a|恒成立，而|a ＋b|＋|a －b||a|≥|a ＋b ＋a －b||a|＝2，则f(x)≤2，从而|x －2|≤2，解得0≤x≤4.13解：(I)BAE CADAEB ACB AEB ACD∠∠∠∠∠∠由已知条件，可得＝因为与是同弧上的圆周角，所以＝ 所以△ABE ∽△ADC ，因为△ABE ∽△AD Co AB AD AB AC AD AE AE AC 11S AB ACsin ,S AD AE 22AB ACsin AD AE sin 1,90BAC BAC BAC BAC BAC ⋅⋅⋅∠⋅⋅∠⋅∠=∠∠所以＝，即＝，又＝且＝，所以＝，所以又为三角形的内角，所以＝。
16.解：（Ⅰ）满足1230a a a ++=有两种情形：0000++=，这样的数列只有1个；1(1)00+-+=，这样的数列有6个，所以符合题意的数列{}n a 有7个．（Ⅱ）因为数列{}n b 满足11i i i b b a ---=，所以1211(23)i i b a a a b i n -=++++=，，，，因为首项10b =，所以121(23)i i b a a a i n -=+++=，，，． 根据题意有末项0n b =，所以1210n a a a -+++=， 而{11}i a ∈-，，于是n 为正奇数，且121n a a a -，，，中有12n -个1和12n -个1-，121121210()()n n n S b b b a a a a a a -=+++=++++++++121(1)(2)n n a n a a -=-+-++，要求n S 的最大值，则要求121n a a a -，，，的前12n -项取1，后12n -项取1-．所以max ()(1)(2)(3)(3)(2)(1)n S n n n =-+-+-++-+-+-三、解答题：本大题共6小题，共75分。