第4讲将军饮马

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将军饮马问题[精品文档]

第第一讲将军饮马问题学习要点与方法点拨一、主要内容（1）将军饮马问题的概念。

（2）将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中的应用。

（3）将军饮马问题与勾股定理。

二、本章重点掌握将军饮马问题的概念和解题思路，能解决将军饮马问题和一次函数、坐标系、几何图形和勾股定理等的综合习题。

课前预习轴对称的性质与作法；一次函数的性质；勾股定理的性质；三角形、矩形、正方形的性质；三角形的三边关系、平移的性质。

模块精讲一、将军饮马问题的概念和基本思路起源：古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。

有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，有一位将军从位于A点的军营，返回位于B点的家中，途中需要到达一条小河MN边，让马去河里喝水。

那么，该如何选择路径，才能使将军回家的过程中，走过的路程最短？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。

这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。

ABM N初一看，这个问题好像没有什么思路，那我们先把问题的概念转换一下。

这个问题中A点和B 点在河MN的同一侧，那么，如果A点和B点在河MN的不同侧呢？这时我们好像有一点眉目了，我们要利用的定理就是：两点之间直线最短，先找线路再找点。

那我们再回到最开始时的问题，是不是有了启发呢？思路：为了找线路，可以利用轴对称的原理，先做对称，再转化成三角形的三边关系。

例1，如图，一匹马从S点出发，先去河OP边喝水，再去草地OQ吃草，然后再回到S点。

该如何选择线路，使得经过的总路程最短？P y河水 A.SN BO Q x草地 O M 例1图例2图二、将军饮马与坐标系例2，已知A(2,3)、B(3,2)，M是x轴上的一个动点，N是y轴上的一个动点，求AN+NM+BM的最小值，并求出此时M、N的坐标。

思路：作对称①两段折线→作一次对称→转化折线三段折线→作两次对称→转化折线②连线段→最小值例3，已知A(-3,4)、B(-2,-5)、M(0,m)、N(0,m+1)，求BM+MN+AN的最小值，并求此时对应的m的值。

将军饮马问题(讲)

将军饮马问题【2 】类型一.根本模式类型二.轴对称变换的应用（将军饮马问题）2.如图所示,假如将军从马棚M动身,先赶到河OA上的某一地位P,再立时赶到河OB上的某一地位Q,然后立刻返回校场N．请为将军从新设计一条路线(即选择点P和Q),使得总旅程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示,将军愿望从马棚M动身,先赶到河OA上的某一地位P,再立时赶到河OB 上的某一地位Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q),使得总旅程MP＋PQ最短．3.将军要检阅一队士兵,请求(如图所示)：部队长为a,沿河OB排开(从点P到点Q);将军从马棚M动身到达队头P,从P至Q检阅部队后再赶到校场N．请问：在什么地位排队(即选择点P和Q),可以使得将军走的总旅程MP＋PQ＋QN最短?4. 如图,点M在锐角∠AOB内部,在OB边上求作一点P,使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P,P关于OM,ON的对称点分离是和,分离交OM, ON于点A.B,已知＝15,则△PAB 的周长为（）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知∠AOB,试在∠AOB内肯定一点P,如图,使P到OA.OB的距离相等,并且到M.N两点的距离也相等.7.已知∠MON＝40°,P为∠MON内必定点,OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB的周长取最小值时,求∠APB的度数.8. 如图,在四边形ABCD中,∠A＝90°,AD＝4,衔接BD,BD⊥CD,∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为______.演习1.已知点A在直线l外,点P为直线l上的一个动点,探讨是否消失一个定点B,当点P在直线l上活动时,点P与A.B两点的距离总相等,假如消失,请作出定点B;若不消失,请解释来由．2、如图,在公路a 的同旁有两个仓库A .B ,现须要建一货色中转站,请求到A .B 两仓库的距离和最短,这个中转站M 应建在公路旁的哪个地位比较合理？aBA3. 已知：A .B 两点在直线l 的同侧, 在l 上求作一点M ,使得||AM BM -最小．4.如图,正方形ABCD 中,8AB =,M 是DC 上的一点,且2DM =,N 是AC 上的一动点,求DN MN +的最小值与最大值．NMD CB A5.如图,已知∠AOB 内有一点P ,试分离在边OA 和OB 上各找一点E.F,使得△PEF 的周长最小.试画出图形,并解释来由.6.如图,直角坐标系中有两点A.B,在坐标轴上找两点C.D,使得四边形ABCD 的周长最小.7.如图,村庄A.B 位于一条小河的两侧,若河岸a.b 彼此平行,如今要扶植一座与河.A. B岸垂直的桥CD,问桥址应若何选择,才能使A 村到B 村的旅程比来？8.4)9(122+-++=x x y ,当x 为何值时,y 的值最小,并求出这个最小值.9.在平面直角坐标系中,A(1,-3).B(4,-1).P(a,0).N(a+2,0),当四边形PABN 的周长最小时,求a 的值. 10.如图,在等腰梯形ABCD 中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,点E.F 是底边AD 与BC 的中点,衔接EF,在线段EF 上找一点P ,使BP+AP 最短．演习1.不雅察下列银行标志,从图案看既是轴对称图形又是中间对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2.以下图形中,既是轴对称图形,又是中间对称图形的是（） A ．等边三角形 B ．矩形C ．等腰梯形D ．平行四边形3.鄙人列四个图案中既是轴对称图形,又是中间对称图形的是4.在等边三角形.正方形.菱形和等腰梯形这四个图形中,是中间对称图形的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的偏向平移,我们把如许的图形变换叫做滑动对称变换．在天然界和日常生涯中,大量地消失这种图形变换（如图甲）．联合轴对称变换和平移变换的有关性质,你以为在滑动对称变换进程中,两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( )(A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴等分 (C)对应点连线被对称轴垂直等分 (D)对应点连线互相平行6.对右图的对称性表述,准确的是（）．A ．轴对称图形B ．中间对称图形C ．既是轴对称图形又是中间对称图形D ．既不是轴对称图形又不是中间对称图形7.如图,△A′B′C′是由△ABC 经由变换得到的,则这个变换进程是（A ）平移（B ）轴对称（C ）扭转（D ）平移后再轴对称8.如图所示,四边形OABC 是矩形,点A.C 的坐标分离为（3,0）,（0,1）,点D 是线段BC 上的动点（与端点B.C 不重合）,过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ． CBAB ′BA ′BC ′（1）记△ODE 的面积为S,求S 关于b 的函数关系式;（2）当点E 在线段OA 上时,若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA1B1C1, 9.探讨OA1B1C1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否产生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若转变,请解释来由.【答案】（1）由题意得B （3,1）．若直线经由点A （3,0）时,则b ＝32 若直线经由点B （3,1）时,则b ＝52若直线经由点C （0,1）时,则b ＝1①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时,即1＜b≤32,如图25-a,此时E （2b,0）∴S ＝12OE·CO ＝12×2b×1＝b ②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时,即32＜b ＜52,如图2此时E （3,32b -）,D （2b －2,1） ∴S ＝S 矩－(S △OCD ＋S △OAE ＋S △DBE)＝ 3－[12(2b －1)×1＋12×(5－2b)·(52b -)＋12×3(32b -)]＝252b b - ∴2312535222b b S b b b ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩（2）如图3,设O1A1与CB 订交于点M,OA 与C1B1订交于点N,则矩形OA1B1C1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积.本题答案由无锡市天一试验黉舍金杨建先生草制！由题意知,DM ∥NE,DN ∥ME,∴四边形DNEM 为平行四边形依据轴对称知,∠MED ＝∠NED又∠MDE ＝∠NED,∴∠MED ＝∠MDE,∴MD ＝ME,∴平行四边形DNEM 为菱形．过点D 作DH ⊥OA,垂足为H, 由题易知,tan ∠DEN ＝12,DH ＝1,∴HE ＝2, 设菱形DNEM 的边长为a,则在Rt △DHM 中,由勾股定理知：222(2)1a a =-+,∴54a = ∴S 四边形DNEM ＝NE·DH ＝54∴矩形OA1B1C1与矩形OABC 的重叠部分的面积不产生变化,面积始终为54． 10．如图,在平面直角坐标系中,△ ABC 的三个极点的坐标分离为A （0,1）,B （-1,1）,C （-1,3）.（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点C1的坐标;（2）画出△ABC绕原点O顺时针偏向扭转90°后得到的△A2B2C2,并写出点C2的坐标;,（3）将△A2B2C2平移得到△ A3B3C3,使点A2的对应点是A3,点B2的对应点是B3,点C2的对应点是C3（4,-1）,在坐标系中画出△ A3B3C3,并写出点A3,B3的坐标.【答案】（1）C1(-1,-3) (2)C2(3,1) (3)A3(2,-2),B3(2,-1)11.分离按下列请求解答：（1）在图1中,将△ABC先向左平移5个单位,再作关于直线AB的轴对称图形,经两次变换后得到△A1B1 C1.画出△A1B1C1;（2）在图2中,△ABC经变换得到△A2B2C2.描写变换进程.【答案】(1) 如图．(2) 将△ABC 先关于点A 作中间对称图形,再向左平移2个单位,得到△A2B2C2．（变换进程不独一）12.(1)不雅察发明0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1211 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1ABC0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1211 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1ACA 2B 2C 2如题26(a)图,若点A,B在直线l同侧,在直线l上找一点P,使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B',衔接AB',与直线l的交点就是所求的点P 再如题26(b)图,在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点,正好与点C重合,衔接CE交AD于一点,则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为．题18(a)图题18(b)图(2)实践应用如题26(c)图,已知⊙O的直径CD为4,AD的度数为60°,点B是AD的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值．题18(c)图题18(d)图(3)拓展延长如题26(d)图,在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使∠APB=∠APD．保留作图陈迹,不必写出作法．【答案】解：（13（2）如图：作点B关于CD的对称点E,则点E正好在圆周上,衔接OA.OB.OE,衔接AE交CD与一点P,AP+BP最短,因为AD的度数为60°,点B是AD的中点,所以∠AEB=15°,因为B关于CD的对称点E,所以∠BOE=60°,所以△OBE为等边三角形,所以∠OEB=60°,所以∠OEA=45°,又因为OA=OE,所以△OAE为等腰直角三角形,所以AE=22.（3）找B关于AC对称点E,连DE延长交AC于P即可,13.如图所示,A.B两村之间有一条河,河宽为a,现要在河上修一座垂直于河岸的桥,（Ⅰ）要使AB两村旅程比来,请肯定修桥的地点.（Ⅱ）桥建在何处才能使AB两村到桥的距离相等？。

将军饮马问题

将军饮马问题第一讲：将军饮马问题研究要点与方法点拨：1.将军饮马问题的概念和应用2.将军饮马问题与一次函数、坐标系、几何图形和勾股定理的综合题课前预：1.轴对称的性质与作法2.一次函数的性质3.勾股定理的性质4.三角形、矩形、正方形的性质5.三角形的三边关系、平移的性质模块精讲：1.将军饮马问题的概念和基本思路古希腊亚里山大里亚城的学者XXX曾面对一个百思不得其解的问题：一位将军从A点返回B点，需要在小河MN边让马喝水，如何选择路径使得走过的路程最短？XXX通过对称和三角形的三边关系解决了这个问题，后人称之为“将军饮马”问题。

2.将军饮马与坐标系例1：一匹马从S点出发，先去河OP边喝水，再去草地OQ吃草，然后回到S点。

如何选择线路使得经过的总路程最短？通过对称和连线段求得最小值。

例2：已知A(2,3)、B(3,2)，M是x轴上的一个动点，N 是y轴上的一个动点，求AN+NM+BM的最小值，并求出此时M、N的坐标。

通过作对称和连线段求得最小值和对应的M、N坐标。

例3：已知A(-3,4)、B(-2,-5)、M(0,m)、N(0,m+1)，求BM+MN+AN的最小值，并求此时对应的m的值。

通过作对称和连线段求得最小值和对应的m值。

注意：要先找线路再找点，利用轴对称的原理，转化为三角形的三边关系。

给定点A(4,1)和B(-3,-2)，要在x轴上找到一个点C，使得|AC-BC|最大。

我们可以构造三角形ABC，然后利用三角形边长关系来求解。

首先，我们可以将C点假设在x轴上，即C 的坐标为(C,0)。

然后，根据勾股定理，可以求出AC和BC的长度，即√[(C-4)²+1]和√[(C+3)²+4]。

最后，用这两个长度的差值来求得|AC-BC|，并找到使其最大的C值即可。

在解决将军饮马问题时，我们需要明确动点、定点和对称点的概念。

动点通常是题目中需要求解的点，而定点是已知的固定点。

对称点是通过作图得到的需要连线的点。

初中数学将军饮马教案

初中数学将军饮马教案教学目标：1. 理解并掌握“将军饮马”问题的解题方法及其应用；2. 能够运用轴对称的性质解决实际问题；3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 将军饮马问题的背景及解题思路；2. 轴对称的性质及其在解决问题中的应用；3. 将军饮马问题的拓展与应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入问题：讲解唐朝诗人李颀的《古从军行》中的一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，提问学生是否知道这句诗中隐含着一个有趣的数学问题。

2. 学生思考并回答，教师总结：这个问题就是将军饮马问题。

二、新课讲解（20分钟）1. 讲解将军饮马问题的背景和解题思路，引导学生理解并掌握问题的解决方法。

2. 讲解轴对称的性质，引导学生了解轴对称在解决问题中的应用。

3. 通过例题讲解，让学生动手实践，巩固所学知识。

三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的掌握程度。

2. 选取部分学生的作业进行讲解和评价，指出其中的错误和不足。

四、拓展与应用（10分钟）1. 讲解将军饮马问题的拓展，引导学生学会将问题进行拓展和应用。

2. 让学生举例说明轴对称在实际问题中的应用，分享自己的心得体会。

五、课堂小结（5分钟）1. 教师总结本节课的主要内容和知识点。

2. 学生分享自己在课堂上的收获和感悟。

教学评价：1. 课后作业的完成情况，检验学生对知识的掌握程度；2. 学生在课堂上的参与度和表现，评价学生的学习效果；3. 学生对拓展与应用部分的内容的理解和应用能力，评价学生的思维拓展能力。

教学反思：本节课通过讲解将军饮马问题，让学生了解了轴对称的性质及其在解决问题中的应用。

在教学过程中，要注意引导学生主动思考，培养学生的逻辑思维能力。

同时，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和策略，提高教学效果。

《“将军饮马”问题》教学反思

《“将军饮马”问题》教学反思《“将军饮马”问题》教学反思身为一名人民教师，课堂教学是我们的任务之一，在写教学反思的时候可以反思自己的教学失误，教学反思应该怎么写才好呢？下面是小编帮大家整理的《“将军饮马”问题》教学反思，欢迎阅读与收藏。

《“将军饮马”问题》这节课是初三年级的一节专题复习课，是建立在轴对称、平移等变换的基础上对数学史的一个经典问题——“将军饮马”问题进行设计的。

其实质是以“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”为理论基础，对“将军饮马”问题进行拓展延伸。

在相同背景，不同问题，由浅入深、层层递进的故事情节中，总结归纳模型，有利于学生熟悉掌握基本模型，突出重点内容，为解决实际问题奠定坚实的基础。

本节课的教学比我预想的效果要好很多，因此我对本节课进行了以下几个方面的反思：整体评价：本节课的教学重点是利用基本模型解决线段和最小问题，难点是根据实际问题建立数学模型。

在教学过程中，以“启发探究”为主线开展教学活动，在教学活动中以学生的自主探究为主，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，基本上达到了“不但使学生学会，而且让学生会学”的目的。

整节课结构紧凑，思路清晰，设计合理有梯度，夯实比较紧，内容饱满，学生上课注意力集中，思维活跃，反应灵敏，积极参与教学活动，上课气氛活跃，极大地激发了学生的学习兴趣，反应良好，较好的完成了本次教学任务。

成功之处：1、教学环节设计新颖。

本节课共设计了五个教学环节，情境引入——合作探究——中考链接——课后小结——布置作业。

第一个环节以故事开头，成功的激发了学生的好奇心和强烈的求知欲，将学生思维聚焦在课堂上，为课堂增添了色彩，并成功引出了第一个基本模型；第二个环节是在对故事不断地进行改编，层层递进，吸引学生眼球，激发学生永不服输的精神，总结归纳三个变形，解决跟踪练习，做到了及时巩固；第三个环节为中考链接，为了熟悉中考中“考什么？”“怎么考？”“怎么办？”，中考真题的引入是必要的，更加激发了学生求知欲；第四环节可以及时查漏补缺，总结本节课所学的知识；第五环节设计的两个变形题大部分学生完成的非常棒，对知识的把握非常到位并且能够灵活运用知识。

[精选]将军饮马问题(讲)资料

类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚M 出发，先赶到河 0A 上的某一位置 P ,再马上赶到河 0B 上的某一位置Q,然后立即返回校场 N.请为将军重新设计一条路线（即选择点P 和Q ）, 使得总路程M 卉PQ+ QN 最短.0B 上的某一位置 Q.请为将军设计一条路线（即选择点P 和Q ）,使得总路程 M 卉PQ 最短.3、将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）：队伍长为a ,沿河0B 排开（从点P 到点Q ）;将军从马棚M 出发到达队头P ,从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场 N.请问：在什么位置列队（即选择点P 和Q ）,可以使得将军走的总路程皿卉PQ^ QN 最短？将军饮马问题【变式】如图所示，将军希望从马棚4.如图，点边的距离之和最小，再马上赶到河P 至 U 0A5已知/ MON内有一点P, P关于OM ON的对称点分别是召和R, 隅分别交OM, ON于点A B,已知=15,则厶PAB的周长为（A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知/ AOB试在/ AOB内确定一点P,如图，使P到OA OB的距离相等，并且到M N 两点的距离也相等•7、已知/ MON= 40 ° , P为/ MON内一定点，OM上有一点A, ON上有一点B,当△ PAB的周长取最小值时，求/ APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，/ A= 90°, AD= 4,连接BD, BD丄CD / ADB=Z C.若P是BC边上一动点，贝U DP长的最小值为_______.练习1、已知点A在直线I夕卜，点P为直线I上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线I上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在，请说明理由.A■2、如图，在公路a 的同旁有两个仓库 A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到 A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？A.■BA■----------------------------------------------------- a3、已知：A 、B 两点在直线I 的同侧，在I 上求作一点 M ，使得|AM -BM |最小.4、如图，正方形 ABCD 中，AB =8, M 是DC 上的一点，且 DM =2 , N 是AC 上的一动点，求DN MN 的最小值与最大值.A B,在坐标轴上找两点 C 、D,使得四边形ABCD 勺周长最小。

初中数学几何模型将军饮马讲解PPT精品课件

秒杀技巧
对”连”口诀
对称一定点
连接出最短
关键点：动点所在的直线为对称轴
知识点
对称一定点
横批：对勾模型
如图，在l上找到一点p,使PA+PB最小。
连接出最短
AP+BP最小值为A'B
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点二 ②单定双动：对“连”口诀:双对称此定点，连接出最短
P为定点,M,N为动点
对称1定点连接出最短
关键点：动点所在的直线为对称轴
对“连”口诀最短路径问题
已知正方形ABCD,其边长为 3 1，BN为2，以AB为边在正方形内部作等边 △ABM,点P是AC边上动点，求DP=PM的最小值为（ )
秒杀技巧
对”连”口诀
对称一定点
连接出最短
关键点：动点所在的直线为对称轴
对“连”口诀最短路径问题
•
8.只要我们用心去聆听，用情去触摸，你终会感受到生命的鲜活，人性的光辉，智慧的温暖。
•
9. 能准确、有感情的朗读诗歌，领会丰富的内涵，体会诗作蕴涵的思想感情。
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点三 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短
问题：本题拓展为在直线l上找两个动点P、Q（PQ两动点间距离为定值），使得AP+PQ+BQ 的距离之和最短，又该如何处理呢？（“两动一定型”）
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点三 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短方法一：先对称后平移

最新九年级中考数学专题复习：几何模型将军饮马讲解

8
秒杀称
连接出最短
关键点：动点所在的直线为对称轴
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点三 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短
问题：本题拓展为在直线l上找两个动点P、Q（PQ两动点间距离为定值），使得AP+PQ+BQ 的距离之和最短，又该如何处理呢？（“两动一定型”）
对“连”口诀最短路径问题
如图，正方形ABCD的边长为6，E,F的对角线BD上的两个动点，且EF=2 2 , 连接CE,CF,
则△CEF周长的最小值为（）
秒杀技巧
对称+平移连接再平移关键点：动点所在的直线为对称轴
Part 4
课程总结
下次课见
对“连”口诀最短路径问题
最短路径必考知识点一 ①双定单动：对“连”口诀:对称1动点，连接出最短
同侧两点
对称
异侧两点 B
连接
异侧两点
求两条线段和最短的“将军饮马”模型的方法:通过对称把同侧两定点转化为异侧两定点，再利用两点之间线段最短，找到我们要得的动点，进而求出最短距离。
对“连”口诀最短路径问题
秒杀技巧
对”连”口诀
对称一定点连接出最短
对“连”口诀最短路径问题
如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=（）
秒杀技巧
对”连”口诀
对称一定点连接出最短
对“连”口诀最短路径问题
知识点
第一步：确定题型---对勾模型
第二步：确定方法---对“连”口诀
技巧：作对称（同侧变异侧）---对称点平移定长线段（“一定两动”化“两定一动”）---连接两定点--动点反向平移定长线段---连接所得点.

将军饮马问题(讲)【范本模板】

将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示,将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程MP＋PQ最短．3、将军要检阅一队士兵，要求（如图所示):队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问:在什么位置列队(即选择点P和Q），可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短？4。

如图，点M在锐角∠AOB内部,在OB边上求作一点P,使点P到点M的距离与点P到OA 边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P,P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（ )A. 15 B 7。

5 C. 10 D。

246。

已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P,如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时,求∠APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°,AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C。

若P是BC 边上一动点，则DP长的最小值为______。

练习1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时,点P与A、B两点的距离总相等,如果存在，请作出定点B;若不存在,请说明理由．2、如图,在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站,要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA3、已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．4、如图，正方形ABCD 中，8AB =,M 是DC 上的一点，且2D M =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．NMD CB A5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F,使得△PEF 的周长最小.试画出图形，并说明理由。

将军饮马问题讲

将军饮马问题类型一、基本模式

类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚 M岀发，先赶到河 0A上的某一位置P,再马上赶到河0B上的某一位置Q,然后立即返回校场 N.请为将军重新设计

一条路线（即选择点P和Q）,使得总路程 MP+ PQ+ QN最短. M岀发，先赶到河 0A上的某一位置 P,再马上赶到河 0B上的某一位置 Q.请为将军设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程皿卉PQ最

马棚M岀发到达队头P,从P至Q检阅队伍后再赶到校场 N.请问：在什么位置列队（即选择点P 4.如图，点M在锐角/ AOB内部，在0B边上求作一点 P,使点P到点M的距离与点 P到0A边的3、将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）：队伍长为

a,沿河OB排开（从点P到点Q）；将军从

【变式】如图所示，将军希望从马棚

和Q）,可以使得将军走的总路程距离之和最小 1 于点和P, P关于OM ON的对称点分别是， OM, ON分别交5已知/ MON内有一点 '… ) AB,已知=15，则△ PAB的周长为(D. 24 B 7.5 C. 10 A. 15 NOB的距离相等，并且到 M、到已知/ 6. AOB，试在/ AOB内确定一点 P,如图，使 POA .

练习II在为直线在直线1、已知点外，点，当点上的一个动点，探究是否存在一个定点 PABP ; 若不存在，与上运动时，点直线两点的距离总相等，如果存在，请作出定点、 IBPAB请说明理

DP长的最小值为边上一动点，则

两点的距离也相等 40.

4,连接，BD丄，/ADB=/ BC是若 PC.CDBDADA8.如图, 由. 2 a两仓，现需要建一货物中转站，要求到、如图，在公路、的同旁有两个仓库 2、BAAB库的

距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？ M A

II最小•上求作一点，使得已知：、两点在直线的同侧，在3、| BM|AMMBA

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l
B

A
l
P

l
B
A

B'
l
P

B
A

l
B
A
l
P

P
B'
l
B

A
l
B

第4讲将军饮马
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一
类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经
常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
模型1 定直线与两定点
模型作法结论

当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。连接AB交直线l于点P，点P即为所
求作的点。

PA+ PB的最小。

当两定点A、B在直线l同侧时，在直
线l上找一点P，使PA+PB最小。
作点B关于直线l的对称点B′，连
接AB′交直线于点P，点P即为所求
作的点。

PA+PB的最小值为
AB′。

当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PAPB最大。连接AB延长交直线l于点P，点P并
即为所求作的点。

PAPB
的最大

值为AB。

当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PAPB最大。作点B关于直线l的对称点B′，连
接AB′并延长交直线于点P，点P即
为所求作的点。

PAPB
的最大

值为AB′。
l
B
A
l
P

B
A

P
E

C
B

P
D
C
B

E
D
C
B

当两定点A、B在直线l同侧时，在直
线l上找一点P，使PAPB最小。
连接AB，作AB的垂直平分线交直线
l
于点P，点P即为所求作的点。

PAPB
的最小

值为0。

模型实例
例1．如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC
上有一点P，则PD+PE的最小值为。

例2．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为CD上的动点，则
PAPB
的最大值是多少？

热搜精练
1．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC边的中点，E是AB边
上一动点，则EC+ED的最小值是。
O
y
x
B（2，0）

A（3，0）

M
N
D
C
B

2．如图，点C的坐标为（3，y），当△ABC的周长最短时，求y的值。
3．如图，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一点，且DM-3，N是AC上的一
动点，求DNMN的最小值与最大值。
模型2 角到定点
模型作法
结论

点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P"，连接 P′P"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。 △PCD周长最小为P′P"。

点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。作点P关于OB的对称点P′，
过点P′作P′C⊥OA交OB于点
C，点C、D即为所求。

PC+CD的最小值为P′C。

点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。 PC+CD+DQ的最小值为PQ′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。

O
P
B

A
P'

P''
O
A

B
P
D

O
P
B

P'
O

B
P
D

Q
P
O
B

A
C

D
Q'

A
B
O
P
Q

P'
P
O
B

C
D
M
N

模型实例
例1．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，在OA上有一点Q，OB上有一点R。若△
PQR周长最小，则最小周长是多少？

热搜精练
1．如图，∠MON=40°，P为∠MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB的周长取最
小值时：
（1）找到A、B点，保留作图痕迹；
（2）求此时∠APB等于多少度。如果∠MON=，∠APB又等于多少度？

2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN
周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM的度数。

P
O

N
O
y
x
B（3，1）
A（1，3）

O
M
N
B

3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使AD+CD+BC最小，并求直线CD的解析式及点C、
D的坐标。

4．如图∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、
ON上两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是多少？
d
B
A

A''
A'

MN
B
A

2
1
B

2
1
A'

N
B

F
C
D

OyxEBA

模型3 两定点一定长
模型作法
结论

如图，在直线l上找M、N两
点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=d。将点A向右平移d个单位到
A′，作A′关于直线l的对称点
A"，连接A"B交直线l于点N，
将点N向左平移d个单位到M，
点M、N即为所求。

AM+MN+NB最小为A"B 。

如图，1l∥2l，
1l，2l之间距离为d，在1l，2
l
分别找M、N两点，使得MN⊥

1
l
，且AM+MN+NB最小。

将点A向下平移d个单位到
A′，连接A′B交直线2l于点
N，将点N向上平移d个单位到
M，点M、N即为所求。

AM+MN+NB的最小值为A′B+
d
。

模型实例
例1．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，
且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=2。当四边形BDEF
的周长最小时，求点E的坐标。
C
D
O

x
B