江苏省灌云县第一中学2020学年高中数学1.2.3直线和平面的位置关系(3)导学案(无答案)苏教版必
江苏省灌云县第一中学2020学年高中数学 2.1.6 点到直线的距离(1)导学案(无答案)苏教版必修2
江苏省灌云县第一中学2020学年高中数学 2.1.6 点到直线的离（1）导学案（无答案）苏教版必修2学习目标：1.掌握点到直线的距离公式，能运用它解决一些简单问题．2.通过对点到直线的距离公式的推导，渗透化归思想，进一步了解用代数方程研究几何问题的方法.学习重难点：点到直线的距离公式及应用.一、复习引入1.根据下列条件求A 、B 两点间的距离.(1)A(-1,2),B(-2,-3) (2) A(-3,1),B(2,1) (3)A(0,2),B(2,2)2.求下列A 点关于B 点的对称点C 的坐标. (1)A(1,1),B(-2,-3) (2) A(-3,-2),B(2,2) (3)A(0,2),B(2,0)问题情境:我们已经证明图中的四边形ABCD 为平行四边形，如何计算它的面积?法一 法二探究:点00(,)P x y 到直线 0C By Ax :=++l 的距离.说明：（1）公式成立的前提需把直线l 方程写成一般式；（2）公式推导过程中利用了等价转换，数形结合的思想方法，且推导方法不惟一；（3）当点)y , P(x 00在直线l 上时，公式仍然成立．二、例题剖析例1. 求点P(-1,2)到下列直线的距离：（1）0102=-+y x （2）23=x （3）3=y （4）x y 2=练习:求下列点P 到直线l 的距离：（1）)2,3(-P ，02543:=-+y x l ； （2）)1,2(-P ，053:=+x l ．y x B(3,-2) A(-1,3) D(2,4) C(6,-1) y x ● ● ● A(-1,3)B(3,-2) D(2,4)例2. 点点P 在直线053=-+y x 上，且点P 到直线01=--y x 的距离等于2，求点的P坐标．例3. 若)8,7(A ，)4,10(B ，)4,2(-C ，求△ABC 的面积．三、巩固练习1．点)5,0(P 到直线x y 2=的距离是_________________．2．已知点)0)(2,(>a a P 到直线03:=+-y x l 的距离为1，则a 等于_____________．3．过点)2,1(P )引直线，使)3,2(A ，)5,4(-B 到它的距离相等，则这条直线的方程_________．4．直线l 在y 轴上截距为10，且原点到直线l 的距离是8，则直线l 的方程为__________．5．已知直线l 经过点)3,2(-，且原点到直线l 的距离等于2，求直线l 的方程．6．若点),(y x P 在直线04=-+y x ，O 是原点，求OP 的最小值．四、课堂小结1.知识点：点到直线的距离公式的推导及应用．2.数学方法：。
2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1.2.3直线与平面的位置关系(第1课时)直线与平面平行讲义苏教版
第1课时 直线与平面平行1．直线和平面的位置关系(1)自然语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄αb αa ∥b ⇒a ∥α． 3．直线与平面平行的性质定理(1)自然语言：如果一条直线和一个平面平行 ，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．(2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫l ∥αl βα∩β＝m ⇒l ∥m ．1.思考辨析(1)若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α. ( ) (2)若直线a 在平面α外，则a ∥α.( ) (3)若直线a ∩b ＝，bα，则a ∥α.( )(4)若直线a ∥平面α，则直线a 平行于平面α内的无数条直线．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√[提示] (1)l 也可能在平面α内．(2)直线a 也可能和平面α相交．(3)a ∥α或a α或a 与平面α相交．2．如果直线a ∥b ，且a ∥平面α，那么b 与平面α的位置关系是________．b ∥α或b α [若a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系如图所示．]3．能保证直线a 与平面α平行的条件是__________(填序号)． (1)b α，a ∥b ；(2)b α，c ∥α，a ∥b ，a ∥c ；(3)b α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ∥BD ； (4)aα，bα，a ∥b .(4) [由线面平行的判定定理可知(4)正确．]4．如图所示的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是__________．平行 [∵ABC A 1B 1C 1是三棱柱，∴A 1B 1∥AB .又∵A 1B 1平面ABC ，AB平面ABC ，∴A 1B 1∥平面ABC . ∵A 1B 1平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED ∩平面ABC ＝DE ，∴A 1B 1∥DE ，∴DE∥AB .]①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．(2)下列命题中，a，b，l表示直线，α表示平面．①若aα，bα，且a，b不相交，则a∥b；②若aα，bα，a∩b＝A，lα，且l和a，b均不相交，则l∥α；③若点A a，则过点A可以作无数个平面与a平行；④若a与α内的无数条直线不相交，则a∥α.其中正确的命题有______．(把你认为正确的序号都填上)思路探究：利用线面平行的定义，借助图形分析判断．(1)②(2)③[(1)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以②正确；③显然错误；而④，也有可能相交，所以也错误．(2)①错误．如图(a)，满足aα，bα，且a，b不相交，但a与b不平行．②错误．如图(b)，满足aα，bα，a∩b＝A，lα，且l和a，b均不相交，但l 与α相交．③正确．如图(c)，点A a，过点A可以作无数个平面与a平行．④错误．当a与α相交时，也有a与α内的无数条直线不相交．]空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．1．下列命题中正确的个数是________个．①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点． 1 [①中，l 可与α相交，故①错．②中，α内的直线可能与l 异面，故②错．③中，另一条直线可能在这个平面内，故③错．④中，由l 与α平行的定义知④正确．]MN ∥平面PAD .思路探究：取PD 中点E ，证明ENAM .[证明] 如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，NE .∵N 是PC 的中点， ∴EN 12DC . 又∵AM12CD ，∴NE AM .∴四边形AMNE 是平行四边形． ∴MN ∥AE . 又∵AE平面PAD ，MN平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .利用判定定理证明直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．2．如图，S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB.求证：MN ∥平面SBC .[证明] 连结AN 并延长交BC 于P ，连结SP ， ∵AD ∥BC ，∴DN NB ＝ANNP，又∵AM SM ＝DNNB，∴AM SM ＝ANNP，∴MN ∥SP ， 又MN 平面SBC ，SP 平面SBC ， ∴MN ∥平面SBC .1．若a ∥α，b α，那么a 与b 的位置关系是怎样的？a 与b 有没有可能平行？在什么条件下平行？[提示] a 与b 平行或异面，当a ，b 同在一平面内时，a ∥b . 2．如图，若a ∥b ，a α，b α，α∩β＝c ，且c ∥a .那么a 与β，b 与β是什么关系？[提示] a ∥β，b ∥β.3．一个长方体木块如图所示，要经过平面A 1C 1内一点P 和棱BC 将木块锯开，应该怎样画线？[提示] 在平面A 1C 1内，过点P 作EF ∥B 1C 1，分别交A 1B 1，C 1D 1于E ，F .连结BE ，CF ，则BE ，CF 和EF 就是所要画的线，如图．【例3】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：PA ∥GH .思路探究：要证线线平行，先证线面平行，再证另一线为过已知直线的平面与已知平面的交线．[证明] 如图，连结AC 交BD 于点O ，连结MO .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点． 又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理，则有PA ∥平面BMD . ∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，∴PA ∥GH .证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、公理4常结合起来使用，并常利用下面的关系：线线平行――→判定定理线面平行――→性质定理线线平行．运用线面平行的性质定理时，应寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需作出辅助平面．3．如图所示，已知两条异面直线AB 与CD ，平面MNPQ 与AB ，CD 都平行，且点M ，N ，P ，Q 依次在线段AC ，BC ，BD ，AD 上，求证：四边形MNPQ 是平行四边形．[证明] ∵AB ∥平面MNPQ ，且过AB 的平面ABC 交平面MNPQ 于MN ，∴AB ∥MN . 又过AB 的平面ABD 交平面MNPQ 于PQ ， ∴AB ∥PQ ，∴MN ∥PQ . 同理可证NP ∥MQ .故四边形MNPQ是平行四边形．1．本节课的重点是会判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示直线与平面的位置关系，难点是会用直线与平面平行的判定定理和性质定理求解相关题目．2．本节课重点掌握的规律方法(1)直线与平面位置关系的判断方法．(2)证明直线与平面平行的方法．3．本节课的易错点是判断直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理和性质定理的应用．1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．①若a∥b，bα，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，bα，则a∥b.0[①错，a∥α或aα；②错，a与b也可能相交；③错，a∥α或aα；④错，a 与b也可能异面．]2．长方体ABCDA1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个．3[如图，∵EF∥A1B1，∴EF∥平面A1B1C1D1.同理EF∥平面ABCD，EF∥平面DD1C1C.]3．直线a∥平面α，过α内一点A的所有直线中与直线a平行的直线条数为__________．1[过直线a和点A的平面与平面α有一条交线l，只有l满足在平面α内过点A且与a平行．]4．如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各取一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ ∥平面BCE .[证明] 如图所示， 在平面ABEF 内过P 作PM ∥AB 交BE 于点M ，在平面ABCD 内过点Q 作QN ∥AB 交BC 于点N ，连结MN .∵PM ∥AB ，∴PM AB ＝PEAE.又∵QN ∥AB ∥CD ，∴QN DC ＝BQ BD ，即QN AB ＝BQ BD. ∵正方形ABEF 与ABCD 有公共边AB ， ∴AE ＝DB .∵AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，∴PM ＝QN . 又∵PM ∥AB ，QN ∥AB ，∴PM ∥QN . ∴四边形PQNM 为平行四边形． ∴PQ ∥MN .又∵MN 平面BCE ，PQ平面BCE .∴PQ ∥平面BCE .。
2020学年高中数学第1章立体几何初步1.2.3直线与平面的位置关系(第1课时)直线与平面平行课件苏教版必修2
3．会用图形语言和符号语言描述直线和平面 养.
平行的判定定理和性质定理．(重点、易错点)
自主预习 探新知
1．直线和平面的位置关系
位置
直线 a 在
直线 a 与平
关系
平面 α 内
面 α 相交
公共点
_有__无__数__个___ 公共点
_有__且__只__有__一__个___ 公共点
直线 a 与平 面 α 平行
3．一个长方体木块如图所示，要经过平面A1C1内一点P和棱BC 将木块锯开，应该怎样画线？
[提示] 在平面A1C1内，过点P作EF∥B1C1，分别交A1B1，C1D1 于E，F.连结BE，CF，则BE，CF和EF就是所要画的线，如图．
【例3】 如图，四边形ABCD是平行四边 形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在 DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：PA∥GH.
2．本节课重点掌握的规律方法 (1)直线与平面位置关系的判断方法． (2)证明直线与平面平行的方法． 3．本节课的易错点是判断直线与平面的位置关系，以及直线与 平面平行的判定定理和性质定理的应用．
当堂达标 固双基
1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为 ________．
①若a∥b，b α，则a∥α； ②若a∥α，b∥α，则a∥b； ③若a∥b，b∥α，则a∥α； ④若a∥α，b α，则a∥b. 0 [①错，a∥α或a α；②错，a与b也可能相交；③错，a∥α 或a α；④错，a与b也可能异面．]
证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、 公理4常结合起来使用，并常利用下面的关系：
高中数学1.2.3第一课时直线与平面的位置关系精品课件苏教版必修
备选例题
1.如图，已知E，F，G，M分别是四面体的棱 AD，CD，BD，BC的中点，求证：AM∥平
面EFG.
证明：连结MD，交FG于N，连结EN.
∵GF为△BCD的中位线，
∴N为MD的中点．∵E为AD中点， ∴EN∥AM.
又∵AM⊄平面EFG，EN⊂平面EFG，
∴AM∥平面EFG.
2.空间四边形ABCD中，AD＝BC＝a，与直线
(2)直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线 和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个 平面相交 ____，那么这条直线就和交线平行 ____．简述 为：线面平行，则线线平行．用符号表示为： l∥α，l⊂β，α∩β＝m⇒l∥m ． ___________________________
想一想
1.“a⊄α”的含义是什么？ 提示：a⊄α包含两种情况，一种是a∥α，另一
重点难点
重点：直线与平面平行的定义、
判定、性质及应用． 难点：线面平行性质定理的应用．
新知初探思维启动
1.直线与平面的位置关系 (1) 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系 直线在平面内 平行 直线在平面外 相交
(2)① 直线 a 在平面 α 内： 直线与平面________ 有无数个 a⊂α ； 公共点，记作：____ ②直 线 a 与 平 面 α 相 交 ： 直 线 与 平 面 有且只有一个 a∩α＝A ； ____________公共点，记作：________ ③ 直线 a 与平面 α 平行：直线与平面没有 ____公共 点，记作：a ____ ∥α ．
FG FC EF FA (2)∵ ＝ ， ＝ ，又 AD＝BC＝a， AD AC BC AC FG＋EF FC＋FA ∴ ＝ ＝1， a AC ∴FG＋EF＝a，则 EF＋FG＋HG＋HE＝2a. ∴四边形 EFGH 的周长为 2a.
江苏省灌南高级中学高三数学 直线与直线的位置关系复习导学案
江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：直线与直线的位置关系高考要求：B导学目标： 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．自主梳理1．两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．(1)两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔_________________________________________________________________.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，l1∥l2⇔__________________________________________________________________.(2)两直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝____.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝____.2．两条直线的交点两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程的________；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．3．有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2＝__________________________________.(2)点到直线的距离平面上一点P (x 0，y 0)到一条直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝______________________.(3)两平行线间的距离已知l 1、l 2是平行线，求l 1、l 2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2之间的距离d ＝________________. 自我检测1．(2010·济宁模拟)若点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则实数a 的值为________．2．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过的定点的坐标为________．3．已知直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则am bn＝－1是直线l 1⊥l 2的______________条件．4．(2009·上海)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是________．5．已知2x ＋y ＋5＝0，则x 2＋y 2的最小值是________.探究点一 两直线的平行与垂直例1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)l 1⊥l 2时，求a 的值．变式迁移2 △ABC的两条高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程．探究点三距离问题例3已知点P(2，－1)．求：(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．变式迁移3 已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．。
2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1.2.3直线与平面的位置关系(第2课时)直线与平面垂直讲义苏教版
第2课时 直线与平面垂直1．直线与平面垂直的定义如果一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线a 与平面α互相垂直，符号表示：a ⊥α．直线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．图形表示：2．直线与平面垂直的判定定理(1)距离①点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离． ②直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．(2)直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．1.思考辨析(1)若直线l 与平面α内无数条直线垂直，则l ⊥α.( )(2)若直线l 垂直于平面α，则l 与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．( ) (3)若a ∥b ，aα，l ⊥α，则l ⊥b .( ) (4)若l ⊥平面ABCD ，则l ⊥BC .( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．下列条件中，能判定直线l ⊥平面α的是( ) A ．l 与平面α内的两条直线垂直 B ．l 与平面α内的无数条直线垂直 C ．l 与平面α内的某一条直线垂直 D ．l 与平面α内的任意一条直线垂直D [由直线与平面垂直的定义及判定定理知D 正确．]3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝1，则点C 到平面B 1BDD 1的距离为________，AB 到平面A 1B 1CD 的距离为________．22 22[连结AC ，BD ，则AC ⊥BD ，又BB 1⊥AC ，故AC ⊥平面B 1BDD 1，所以点C 到平面B 1BDD 1的距离为12AC ＝22，AB 到平面A 1B 1CD 距离等于A 到该平面的距离，等于22.] 4．如图所示，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ，则直线PB 与平面ABC 所成的角等于________．45°[∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.]一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.思路探究：只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，即转为证BC垂直于平面PAC即可．[证明]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.1.用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．2.线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直线面垂直1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.[证明]∵E，F分别是棱AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC.∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF⊥BB1.又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.11111AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.思路探究：利用线面垂直的性质定理证明EF，BD1垂直于平面AB1C 可得结论．[证明] 如图所示，连结AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.空间中证明两条直线平行的方法(1)利用线线平行定义证两线无公共点；(2)若a∥b，b∥c，则a∥c(公理4)；(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行；(4)若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b (线面垂直的性质定理)．2.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC .求证：MN ∥AD 1.[证明] ∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，四边形ADD 1A 1为正方形， ∴A 1D ⊥AD 1.又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ，A 1D 平面A 1DC ，CD平面A 1DC ，∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.1．如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1.点B 与D 1到平面A 1C 1CA 的距离分别是多少 ？BC 1到平面ADD 1A 1的距离是多少？[提示] 由题意知BD ＝B 1D 1＝22，B ，D 1到平面AC 1的距离分别为BD 2和B 1D 12，都为2；BC 1到平面AD 1的距离等于AB 的长，为2.2．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，(1)直线BD 1与平面AC 及平面A 1C 1所成的角相等吗？ (2)A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角是多少度？[提示] (1)因为平面AC 与平面A 1C 1平行，所以BD 1与两平面所成的角相等．(2)A 1B 与平面A 1C 所成的角为30°，连结BC 1交B 1C 于点O ，连结A 1O .设正方体的棱长为a ，因为A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1B ， 所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1， 所以A 1B 1⊥BC 1.又因为BC 1⊥B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1， 所以BC 1⊥平面A 1B 1CD .所以A 1O 为斜线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，即∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角． 在Rt △A 1BO 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22a ， 所以BO ＝12A 1B ，∠BA 1O ＝30°.因此，直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角为30°.【例3】 如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1的中点．(1)求证：MN ⊥平面A 1BC ；(2)求直线BC 1与平面A 1BC 所成的角的大小．思路探究：(1)证明MN ∥AC 1.(2)C 1点在平面A 1BC 上的射影为A 1C 中点．[解] (1)证明：如图所示，由已知BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，AC ∩CC 1＝C ，得BC ⊥平面ACC 1A 1. 连结AC 1，则BC ⊥AC 1.由已知，可知侧面ACC 1A 1是正方形，所以A 1C ⊥AC 1. 又BC ∩A 1C ＝C ， 所以AC 1⊥平面A 1BC .因为侧面ABB 1A 1是正方形，M 是A 1B 的中点，连结AB 1，则点M 是AB 1的中点． 又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线， 所以MN ∥AC 1.故MN ⊥平面A 1BC .(2)因为AC 1⊥平面A 1BC ，设AC 1与A 1C 相交于点D ，连结BD ， 则∠C 1BD 为直线BC 1与平面A 1BC 所成的角． 设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则C1D＝22a，BC1＝2a.在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝C1DBC1＝12，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1与平面A1BC所成的角为30°.求直线与平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．3．如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E，F分别为CC1，DD1的中点．(1)求证：A1F⊥平面BEF；(2)求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值．[解](1)证明：连结AF.∵E，F分别为CC1，DD1的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，∴四边形ABEF为平行四边形．又在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，A1F平面AA1D1D，∴AB⊥A1F，∴EF⊥A1F.由已知，得AF＝2，A1F＝2，AA1＝2，∴A1F2＋AF2＝AA21，∴AF⊥A1F.又AF∩EF＝F，∴A1F⊥平面ABEF，即A1F⊥平面BEF.(2)∵A1F⊥平面BEF.∴A1B在平面BEF上的射影为BF，∴∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角．由已知，得A1F＝2，A1B＝5，∴sin∠A1BF＝105，即A1B与平面BEF所成角的正弦值为105.1．本节课的重点是理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性；掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题．难点是了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)证明线面垂直的方法．(2)求斜线与平面所成角的方法步骤．3．本节课的易错点是用线面垂直的判定定理时漏掉两条直线相交这一条件．求线面角时不注意出现的线面垂直条件．1．直线l⊥平面α，直线mα，则l与m不可能( )A．平行B．相交C．异面D．垂直[答案] A2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________．垂直[∵l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，∴l⊥平面ABC，又∵AB平面ABC，∴l⊥AB.]3．已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是______．1或3[A，B在α同一侧时，P到α的距离为3；A，B在α异侧时，P到α的距离为1.]4.(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)证明：MN∥平面C 1DE ； (2)求点C 到平面C 1DE 的距离．[解] (1)连结B 1C ，M E ，因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以M E ∥B 1C ，且M E ＝12B 1C ，又因为N 为A 1D 的中点，所以N D ＝12A 1D .由题设知A 1B 1DC ，可得B 1C A 1D ，故M E N D ，因此四边形MN DE 为平行四边形，MN∥ED .又MN ⊄平面C 1DE ，所以MN∥平面C 1DE .(2)过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE ⊥BC ，DE ⊥C 1C ，所以DE ⊥平面C 1CE ，故DE ⊥CH .从而CH ⊥平面C 1DE ，故CH 的长即为C 到平面C 1DE 的距离． 由已知可得CE ＝1，C 1C ＝4，所以C 1E ＝17，故CH ＝41717.从而点C 到平面C 1DE 的距离为41717.。
江苏省灌云县第一中学2013-2014学年高中数学 1.2.2 空间两条直线的位置关系 2 导学案 无答案 苏教版必修2
江苏省灌云县第一中学2013-2014学年高中数学 1.2.2 空间两条直线的位置关系（2）导学案（无答案）苏教版必修2学习目标：1.判断空间两直线为异面直线；2.异面直线所成角的定义、范围及应用．学习重难点：异面直线的判定，异面直线所成角的计算． 一、引入新课1．两架飞机同时在天空飞过，其中一架从东向西飞行，另一架从南向北飞行， 它们各留下了一条白色的痕迹，这两条白色的痕迹一定相交吗？2．在长方体1111D C B A ABCD -中，直线AB 与C A 1具有怎样的位置关系？3．已知a B B A a ∉∈∉⊂，，，ααα，求证：直线AB 与a 是异面直线．定理： 的直线，和这个平面内 __________ 的直线是异面直线． 符号语言：4．异面直线所成的角：（尝试在右侧画出图形表示） 已知异面直线b a 、，经过空间中任一点O 作直线b b a a ////''、，我们把a '与b '所成的锐角（或直角） 叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）． 异面直线所成的角的范围_____________________． 二、例题剖析 例1. 已知1111D C B A ABCD-是棱长为a 的正方体．（1）正方体的哪些棱所在的直线与直线1BC 是异面直线； （2）求异面直线1AA 与BC 所成的角；（3）求异面直线1BC 和AC 所成的角．例2. 已知P 为ABC ∆所在平面外一点，PC ⊥AB ，2==AB PC ，F E ，分别是PA 和BC 的中点．（1）求证：EF 与PC 是异面直线； （2）求EF 与PC 所成的角．AB aα P三、巩固练习1．在三棱锥所有的棱中互为异面直线的有_____________对． 2．下列说法正确的有________________．(填上正确的序号) ①．过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线． ②．过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直． ③．若a c b a ⊥，//，则b c ⊥． ④．若c b c a ⊥⊥，，则b a //．4．异面直线所成角的范围为_______________,两条直线所成角的范围为_______________. 5．在正方体1111D C B A ABCD-中，面11A ABB的对角线1AB 所在直线与直线1DD所成角的大小是__________．6．长方体1111D C B A ABCD - 中，221===AB AA AD ，，则异面直线1AB 与1BC所成角的余弦值是_______________．7．在空间四边形ABCD 中，F E 、分别是CD AB 、中点，且5=EF ， 又86==BC AD ，．则AD 与BC 所成的角大小为__________． 8．已知长方体1111D C B A ABCD-中，2321===AA AD AB ，．（1）直线BC 与11C A 所成的角； （2）直线1AA 与1BC 所成的角．9．已知1111D C B A ABCD-是棱长为a 的正方体，F E ，分别是AB AA ，1的中点．（1）哪些棱所在直线与直线DC 是异面直线？ （2）哪些棱所在直线与直线EF 垂直？ （3）直线11D C 与EF 的夹角是多少？10．如图，已知c b a 、、不共面，P c b a =⋂⋂，点c C b B a D a A ∈∈∈∈，，，，求证：BD 和AC 是异面直线．A 1ABA 1 EF A DBCPac b四、课堂小结异面直线的判定，异面直线所成角的计算．。
高中数学第1章立体几何初步1.2.3直线与平面的位置关系第1课时直线与平面平行讲义苏教版必修2
第1课时 直线与平面平行1．直线和平面的位置关系(1)自然语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄αb αa ∥b ⇒a ∥α． 3．直线与平面平行的性质定理(1)自然语言：如果一条直线和一个平面平行 ，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．(2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫l ∥αl βα∩β＝m ⇒l ∥m ．1.思考辨析(1)若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α. ( ) (2)若直线a 在平面α外，则a ∥α. ( ) (3)若直线a ∩b ＝，b α，则a ∥α.( )(4)若直线a ∥平面α，则直线a 平行于平面α内的无数条直线．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√[提示] (1)l 也可能在平面α内．(2)直线a 也可能和平面α相交．(3)a ∥α或a α或a 与平面α相交．2．如果直线a ∥b ，且a ∥平面α，那么b 与平面α的位置关系是________．b ∥α或b α [若a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系如图所示．]3．能保证直线a 与平面α平行的条件是__________(填序号)． (1)b α，a ∥b ；(2)b α，c ∥α，a ∥b ，a ∥c ；(3)b α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ∥BD ； (4)a α，b α，a ∥b .(4) [由线面平行的判定定理可知(4)正确．]4．如图所示的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是__________．平行 [∵ABC A 1B 1C 1是三棱柱，∴A 1B 1∥AB . 又∵A 1B 1平面ABC ，AB 平面ABC ， ∴A 1B 1∥平面ABC .∵A 1B 1平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED ∩平面ABC ＝DE ，∴A 1B 1∥DE ，∴DE ∥AB .]①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行； ②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．(2)下列命题中，a，b，l表示直线，α表示平面．①若aα，bα，且a，b不相交，则a∥b；②若aα，bα，a∩b＝A，lα，且l和a，b均不相交，则l∥α；③若点Aa，则过点A可以作无数个平面与a平行；④若a与α内的无数条直线不相交，则a∥α.其中正确的命题有______．(把你认为正确的序号都填上)思路探究：利用线面平行的定义，借助图形分析判断．(1)②(2)③[(1)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以②正确；③显然错误；而④，也有可能相交，所以也错误．(2)①错误．如图(a)，满足aα，bα，且a，b不相交，但a与b不平行．②错误．如图(b)，满足aα，bα，a∩b＝A，lα，且l和a，b均不相交，但l与α相交．③正确．如图(c)，点Aa，过点A可以作无数个平面与a平行．④错误．当a与α相交时，也有a与α内的无数条直线不相交．]空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．1．下列命题中正确的个数是________个．①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．1[①中，l可与α相交，故①错．②中，α内的直线可能与l异面，故②错．③中，另一条直线可能在这个平面内，故③错．④中，由l与α平行的定义知④正确．]MN ∥平面PAD .思路探究：取PD 中点E ，证明ENAM .[证明] 如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，NE . ∵N 是PC 的中点， ∴EN 12DC .又∵AM 12CD ，∴NEAM .∴四边形AMNE 是平行四边形． ∴MN ∥AE .又∵AE 平面PAD ，MN 平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .利用判定定理证明直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．2．如图，S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB.求证：MN ∥平面SBC .[证明] 连结AN 并延长交BC 于P ，连结SP ， ∵AD ∥BC ，∴DN NB ＝ANNP，又∵AM SM ＝DNNB，∴AM SM ＝ANNP，∴MN ∥SP ， 又MN 平面SBC ，SP 平面SBC ， ∴MN ∥平面SBC .1．若a ∥α，b α，那么a 与b 的位置关系是怎样的？a 与b 有没有可能平行？在什么条件下平行？[提示] a 与b 平行或异面，当a ，b 同在一平面内时，a ∥b .2．如图，若a ∥b ，a α，b α，α∩β＝c ，且c ∥a .那么a 与β，b 与β是什么关系？[提示] a ∥β，b ∥β.3．一个长方体木块如图所示，要经过平面A 1C 1内一点P 和棱BC 将木块锯开，应该怎样画线？[提示] 在平面A 1C 1内，过点P 作EF ∥B 1C 1，分别交A 1B 1，C 1D 1于E ，F .连结BE ，CF ，则BE ，CF 和EF 就是所要画的线，如图．【例3】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：PA ∥GH .思路探究：要证线线平行，先证线面平行，再证另一线为过已知直线的平面与已知平面的交线．[证明] 如图，连结AC 交BD 于点O ，连结MO . ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点． 又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理，则有PA ∥平面BMD . ∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，∴PA ∥GH .证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、公理4常结合起来使用，并常利用下面的关系：线线平行――→判定定理线面平行――→性质定理线线平行．运用线面平行的性质定理时，应寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需作出辅助平面．3．如图所示，已知两条异面直线AB 与CD ，平面MNPQ 与AB ，CD 都平行，且点M ，N ，P ，Q 依次在线段AC ，BC ，BD ，AD 上，求证：四边形MNPQ 是平行四边形．[证明]∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.故四边形MNPQ是平行四边形．1．本节课的重点是会判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示直线与平面的位置关系，难点是会用直线与平面平行的判定定理和性质定理求解相关题目．2．本节课重点掌握的规律方法(1)直线与平面位置关系的判断方法．(2)证明直线与平面平行的方法．3．本节课的易错点是判断直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理和性质定理的应用．1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．①若a∥b，bα，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，bα，则a∥b.0[①错，a∥α或aα；②错，a与b也可能相交；③错，a∥α或aα；④错，a与b 也可能异面．]2．长方体ABCDA1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个．3[如图，∵EF∥A1B1，∴EF∥平面A1B1C1D1.同理EF∥平面ABCD，EF∥平面DD1C1C.]3．直线a∥平面α，过α内一点A的所有直线中与直线a平行的直线条数为__________．1[过直线a和点A的平面与平面α有一条交线l，只有l满足在平面α内过点A且与a平行．]4．如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各取一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ ∥平面BCE .[证明] 如图所示， 在平面ABEF 内过P 作PM ∥AB 交BE 于点M ，在平面ABCD 内过点Q 作QN ∥AB 交BC 于点N ，连结MN .∵PM ∥AB ，∴PM AB ＝PEAE.又∵QN ∥AB ∥CD ， ∴QN DC ＝BQ BD ，即QN AB ＝BQ BD. ∵正方形ABEF 与ABCD 有公共边AB ， ∴AE ＝DB .∵AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，∴PM ＝QN . 又∵PM ∥AB ，QN ∥AB ，∴PM ∥QN . ∴四边形PQNM 为平行四边形．∴PQ ∥MN .又∵MN 平面BCE ，PQ 平面BCE . ∴PQ ∥平面BCE .。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 直线与平面的位置关系(3)教案 苏教版必修2(2021
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1.2.3 直线与平面的位置关系（3)【教学目标】1.理解垂线段，斜线段,射影的概念；2。
了解直线与平面所成的角；3。
进一步理解“线线垂直” “线面垂直”的等价转换思想。
【教学重点】直线和平面垂直的判定定理和性质定理的综合应用.【教学难点】直线和平面垂直的判定定理和性质定理的应用时定理成立条件的构建.【过程方法】通过探究、思考，运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理解决有关的问题，使学生进一步理解解决立体几何问题的基本指导思想，即创造条件将空间的问题转化为平面的问题来解决。
【教学过程】一、复习引入1．直线与平面的位置关系;2．直线与平面平行的判定与性质;3．直线与平面垂直的判定与性质；4．观察长方体ABCD-A1B1C1D1,判断直线A1B，A1C，A1D与平面ABCD的位置关系.二、讲授新课A BCDA1B1D C11．斜线、斜足、斜线段一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。
斜线与这个平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。
2．射影过平面外一点P 向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q 和垂足P 1的直线就是斜线在这个平面内的正投影,简称射影。
2020年高中数学 第1章 立体几何初步 第10课时 直线与平面的位置关系(2)教学案苏教版必修.doc
2020年高中数学第1章立体几何初步第10课时直线与平面的位
置关系(2)教学案苏教版必修
一、学习目标
1. 初步掌握并能应用直线和平面平行的性质定理；
2. 能应用直线和平面平行的判定定理和性质定理；
3. 体会类比思想在数学中的应用.
重点：直线和平面平行的性质定理.
难点：直线和平面平行的判定定理和性质定理的综合应用.
二、数学活动
1.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的任意一条直线都平行？在什么条件下平行呢？
2．已知,a b是异面直线，下列说法中正确的是 .(填序号)
①过不在,a b上的任意一点,可作一个平面与,a b都平行;
②过不在,a b上的任意一点,可作一条直线与,a b都平行;
③过不在,a b上的任意一点,可作一条直线与,a b都相交;
④过a有且仅有一个平面与b平行.
三、数学建构
直线和平面平行的性质定理
C 四、数学应用
例1 一个长方体木块如图所示，要经过平面11AC 内一点P 和棱
BC 将木块锯开，应该怎样画线？为什么?
例2 四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形,M 是PC 的中点,过PA
作平面α,设平面α与,DM BD 分别交于点,G H .
求证:AP ∥GH .
1A
例3 求证：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行.
思考:如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线相交呢?
五、巩固与小结
反馈：《必修二》P35 练习T2、T6 小结：。
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江苏省灌云县第一中学2020学年高中数学123 直线和平面的位置
关系（3）导学案（无答案）苏教版必修2
学习目标：1. 了解直线和平面所成角的概念和范围；
2.能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理学习重难点：直线与平面所成角的概念.
一、引入新课
1. 通过观察一条直线与一个平面相交，思考如何量化它们相交程度的不同？
2. _________________________________________________________________ 平面的斜线的定义：_____________________________________________________________________ ;
________________________ 叫做斜足；______________________ 叫做这个点到平面的斜线段.
3 .过平面外一点P向平面引斜线和垂线，那么过斜足Q与垂足R
的直线就是_____________________________________________ ;
线段P1Q就是线段PQ___________________________ . -
4•斜线与平面所成的角的概念___________________________ '
___________________ ，其范围是_______________________ .' 了
指出右上图中斜线PQ与平面所成的角是______________ ，你能证明这个角是PQ与平面内经
过点Q的直线所成的所有角中最小的角吗？
一条直线垂直于平面时，这条直线与平面所成的角是__________________ ；
一条直线与平面平行或在平面内，我们说他们所成的角是_______________ .
思考：直线与平面所成的角的范围是_________________________________ .
异面直线所成角的范围是________________________________ .
空间两条直线所成角的范围是________________________________ .
二、例题剖析
例1.如图：已知AC , AB分别是平面垂线和斜线，C, B分别是垂足和斜足，a , a BC,求证：a AB .
思考：能用文字语言表述这个结论吗?
例2.如图，/ BAC在平面内，点P
，/ PAB=/ PAC求证：点P在平面内的射影在
/ BAC勺平分线上.
［思考］:
(1若/ PAB M PAC=O°, Z BAC90。
，则直线PA与所成角的大小________________
(2)从平面外同一点引平面的斜线段长相等，那么它们在内射影长相等吗？反之成立吗
(3)若将例2中条件“ Z PAB Z PAC改为“点P到Z BAC的两边AB AC的距离相等”，结论是否仍
然成立？
(4)你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗?
练习：
1 .若直线a与平面不垂直，那么在平面「内与直线a垂直的直线 __________________
A.只有一条
B.有无数条
C.是平面内的所有直线
D.不存在
2.在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角是__________________
3 .如果PA PB PC两两垂直，那么P在平面ABC内的射影一定是厶ABC的____________ 心.
4. 设PA PB PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角都等于60 ° ,
贝U直线PC与平面APB所成角的余弦值是 _________ .
5. 在三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC内的射影是厶ABC的外心，
则三条侧棱PA、PB PC大小关系是_____________________ .
6. 在三棱锥P- ABC中，点P在平面ABC上的射影
证：PAL BC
三、课堂小结
1. 本节课我学到了哪些知识?
2. 本节课我学到了哪些方法？。