中考数学提高题专题复习二次函数练习题

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元．

（1）求w 与x 之间的函数关系式；

（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？

【答案】（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元 【解析】 【分析】 （1）用每件的利润

()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即

()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可；

（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()2

21203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；

（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2

212032002400x --+=．然后检验即可. 【详解】

（1）()()()80802320w x y x x =-=--+， 2248025600x x =-+-，

w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-； （2）()2

224802560021203200w x x x =-+-=--+， 2080160x -<≤≤，，

∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为3200．

答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元． （3）当2400w =时，()2

212032002400x --+=． 解得：12100140x x ，．== ∵想卖得快，

2140x ∴=不符合题意，应舍去．

答：销售单价应定为100元．

2．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （1，0）、C （﹣2，3）两点，与y

轴交于点N ，其顶点为D ．

（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；

（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标；

（3）在对称轴上是否存在一点M ，使△ANM 的周长最小．若存在，请求出M 点的坐标和△ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3；y ＝﹣x +1；（2）当x ＝﹣1

2

时，△APC 的面积取最大值，最大值为

278

，此时点P 的坐标为（﹣12，15

4）；（3）在对称轴上存在一点M （﹣1，

2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为102 【解析】 【分析】

（1）根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），进而可得出PF 的值，由点C 的坐标可得出点Q 的坐标，进而可得出AQ 的值，利用三角形的面积公式可得出S △APC ＝﹣

32x 2﹣3

2

x +3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N 的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C ，N 的坐标可得出点C ，N 关于抛物线的对称轴对称，令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，则此时△ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M 的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论． 【详解】

（1）将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：

10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得：2

3

b c =-⎧⎨

=⎩， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； 设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0），

将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：

023m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：1

1

m n =-⎧⎨

=⎩， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．

（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．

设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），

∴PE ＝﹣x 2﹣2x +3，EF ＝﹣x +1，EF ＝PE ﹣EF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q 的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S △APC ＝12AQ •PF ＝﹣32x 2﹣32x +3＝﹣32（x +1

2）2+278

． ∵﹣

3

2

＜0， ∴当x ＝﹣

12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278

，此时点P 的坐标为（﹣1

2，15

4

）． （3）当x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3， ∴点N 的坐标为（0，3）． ∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点C ，N 关于抛物线的对称轴对称．

令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，如图2所示． ∵点C ，N 关于抛物线的对称轴对称， ∴MN ＝CM ，

∴AM +MN ＝AM +MC ＝AC ， ∴此时△ANM 周长取最小值． 当x ＝﹣1时，y ＝﹣x +1＝2， ∴此时点M 的坐标为（﹣1，2）．

∵点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（﹣2，3），点N 的坐标为（0，3），

∴AC

＝，AN ， ∴C

△ANM ＝AM +MN +AN ＝AC +AN ＝．

∴在对称轴上存在一点M （﹣1，2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为

+