第一章自测练习解答

第一章自测题解答

自测题A

1． 填空题（请将正确结果填在题中横线上）：

（1）一个袋子中有5只黑球3只白球，从袋中任取两只球，则：

“取到的两只球均为白球”的概率为 3/28 ；

“取到的两只球同色” 的概率为 13/28 ；

“取到的两只球至少有一只白球” 的概率为 18/28 。

解：28

3)(2823==C C A P ；2813)(282523=+=C C C B P ；28181)(2825=-=C C C P # （2）设某工厂生产的产品中，36%为一等品，54%为二等品、10%为三等品，从该厂生产的产品中任取一件，已知它不是三等品，则它是一等品的概率为 2/5 。

解：设i A 表示：“取到的是第i 等品”（i =1，2，3），则问题化为求)|(31A A P 。由题意321A A A 、、两两互不相容，所以)()()(13131A P A A P A A P =-=。因此由条件概率公式得

)|(31A A P ==)()(331A P A A P 5

21.0136.0)()(31=-=A P A P # （3）已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A B 、的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则：

该产品是A 工厂的概率为 3/7 。

分析：设A 表示：“取到的是工厂A 生产的产品”；B 表示：“取到的是工厂B 生产的产品”。 C 表示：“取到的是次品”。则所求概率为P A C (|)，由条件概率公式，需先求P C ()。

P C ()=+=

⨯+⨯=P A P C A P B P C B ()(|)()(|)6010011004010021007500 P A C (|)==⨯⨯=P A P C A P C ()(|)()601001100500737

（4）设对于事件A 、C B 、有=)(A P 41)()(=

=C P B P ，61)(=AC P ，0)()(==BC P AB P ，则：A 、C B 、同时出现的概率为 0 ；

A 、C

B 、至少出现一个的概率为 7/12 。

分析：C B A 、、至少出现一个的概率即为求)(C B A P ，因此可应用概率的加法公式，这就需要先求)(ABC P 。

解：由于，AB ABC ⊂从而由性质4知，0)()(=≤AB P ABC P ，又由概率定义知0)(≥ABC P ，所以0)(=ABC P 。从而由概率的加法公式得

)()()()()()()()(A B C

P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= 12761341=-⨯=

（5）设事件A 、C B 、两两相互独立，满足条件：2/1)()()(<==C P B P A P ，φ=ABC ，且已知16/9)(=C B A P ，则=)(A P 1/4 。

分析：16/9)()()()()()()(=---++=AC P BC P AB P C P B P A P C B A P 即016/9))((3)(32=--A P A P ，亦即016/3))(()(2=--A P A P ，解得

4/1)(=A P 及4/3)(=A P （舍去）。

（6）若事件A 、B 满足)()(B A P AB P =且3/1)(=A P ，则)(B P = 2/3 。 分析：由性质（5）知

P B ()=P A B P A P AB ()()() -+

=1--+P A B P A P AB ()()()

=1--+P A B P A P AB ()()()

=1-P A ()=3/23/11=-

或：由于

P AB P A B ()()= =P A B P A B ()() =-1

=1--+P A P B P AB ()()()

从而得10--=P A P B ()()，即

3/2)(1)(=-=A P B P

（7）设A 、B 为随机事件，3.0)(6.0)(=-=B A P A P ，，则=)(AB P 0.7 。 分析：欲求)(AB P ，由概率性质3可先计算)(AB P 。

解：由于)(B A AB A -= ，且φ=-)(B A AB ，从而

)()()(B A P AB P A P -+=

即

3.0)()()(=--=B A P A P AB P

由概率性质3得 7.03.01)(1)(=-=-=AB P AB P

（8）设事件A 与B 相互独立，已知5.0)(=A P ，8.0)(=B A P ，则： )(B A P = 0.2 ；)(B A P = 0.7 。

分析： P B ()=P A B P A P AB ()()() -+

)(5.05.08.0B P +-=

解得，6.0)(=B P ；所以

2.04.05.0)()()(=⨯==B P A P B A P

7.02.04.05.0)()()()(=-+=++=B A P B P A P B A P

2．设一电路由三个相互串联的电子元件构成，它们分别以

103、52、53的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。

分析：此电路发生断路意味着三个相互串联的电子元件中至少有一个被损坏，因此事件“电路发生断路”可表示成三个相互独立事件的和事件，这样就可利用概率性质5求解。但对于相互独立事件的和事件的概率计算，通常利用对偶原理转化为逆事件的积事件，然后再利用独立性计算概率较简单。以下用两种方法分别求解，以试比较。

解：设事件A 表示：“电路发生断路”；事件B i 表示：“第i 个电子元件被损坏”（i =123，，），则A B B B =123 。

方法一、P A P B B B ()()=123 =++P B P B P B ()()()123

--P B B P B B ()()1213-P B B ()23+P B B B ()123

125

1045352103535253103521035352103=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++==0.832。 方法二、由B B B 123、、相互独立知，B B B 123、、也相互独立，所以

P A P B B B ()()=123 =-1123P ()

=-1123P B B B ()

=-1123P B P B P B ()()()

125

104)531)(521)(1031(1=----==0.832。 3．一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是0.9，乙机床和丙机床需要照看的概率分别是0.8和0.85。求在一小时中，

（1）没有一台机床需要照看的概率；（2）至少有一台机床不需要照看的概率。 解：设A 表示：“没有一台机床需要照看”；B 表示：“至少有一台机床不需要照看“；i C 表示：“第i 台机床需要照看”（i =1，2，3）。则321C C C A =；