平移公式
人教版高中数学-平移问题中的三知识点透析
平移问题中的三知识点透析一.平移问题中的三知识点解读知识点1:图形的平移设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有点按照同一方向，移动同样的长度，得到图形F ′.我们把这一过程叫做图形的平移.因此图形的平移是指坐标系中，在保持坐标轴不变的情况下，图形的整体移动.在平移变换下，图形形状及大小不变，变的仅仅是图形的位置.知识点2:平移公式P(x,y)是图形F 的任一点，平移后图形F ′上对应点为P ′(x ′,y ′),且'PP =(h,k)，则有 (1) 'OP ='OP +'PP (平移向量公式)(2) ⎩⎨⎧+=+=k y y h x x '' (平移的坐标公式),变换公式⎩⎨⎧-=-=ky y h x x ''.知识点3:利用平移公式化简函数解析式.将函数y=f(x)的图像F 按向量a(h,k)平移得到图像F ′，则F ′的函数解析式是什么呢? 设P ′(x ′,y ′)是F ′上的任意点，则在F 中对应P ′(x ′,y ′)的点P 的坐标是(x ′-h,y ′-k).由于P(x ′-h,y ′-k)在函数y=f(x)的图像上.所以它的坐标应满足：y ′-k=f(x ′-h).即有y ′=f(x ′-h)+k,由于F ′还是在x0y 坐标系中，x ′是P ′点的横坐标，将它换成x ，而y ′是P ′点的纵坐标，将它换成y,于是我们就得到了F ′的函数解析式：y=f(x-h)+k.在确定的平面直角坐标系内，一个图像的函数表达式有时比较复杂，若通过平移，则往往可使其函数表达式化得较为简单.二. 平移问题中的三知识点例题解析1. 图形的平移例1.设函数y=41+-x x 的图像为C ，将C 向左平移h 个单位，再向下平移k 个单位后可得函数y=-x5的图像C ′，试求h 、k 的值. 分析：将C 向左平移h 个单位，再向下平移k 个单位，综合起来是将C 按a =(-h,-k)平移.于是先算出平移后图像C ′的解析式，再根据C ′的解析式又事先已知，可建立起h,k 的方程组，于是只要求解该方程组即可得h 与k 的值.解：将图像C 按=(-h,-k)平移，就是将C 先向左平移h 个单位，再向下平移k 个单位，因此，图像C ′的解析式是：y+k=41++-+h x h x ,即y=4)4(1)1(+++--+-h x k h h x k ，它与y=x5-,是同一个函数. ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--=-045)4(101h k h h k 解之得：⎩⎨⎧=-=14k h2.平移公式例2.把函数y=-x2+2x+5的图像，按向量a平移后得到y=-x2+1,求平移向量a.分析：由于函数y=-x2+2x+5的图像是一条抛物线，在图像的平移过程中，开口大小、方向都没有改变，只是把顶点进行了平移，因此本问题实际是一个点的平移过程.分析：求平移向量实际上就是确定一个平移的坐标公式⎩⎨⎧+=+=kyyhxx''.解：由y=-x2+2x+5得此函数的图像顶点坐标为(1，6)，由y=-x2+1得它的图像的顶点坐标为(0，1)，因此，本题的实质是把(1，6)按向量a平移到(0，1).由平移公式，得⎩⎨⎧+=+=kh611解之，得⎩⎨⎧-=-=51kh所以，所求平移向量a=(-1,-5).3.利用平移公式化简函数解析式.例3.将函数y=-x2的图像进行平移，使得到的图像与函数y=x2-x-2的图像的两个交点关于原点对称，求平移后的解析式.分析：求平移后的解析式实际上就是利用平移公式为⎩⎨⎧+=+=kyyhxx'',把一个函数的解析式转化为另一个函数的解析式,这就需要先确定平移公式.解法一：设平移公式为⎩⎨⎧+=+=,','kyyhxx得到⎩⎨⎧-=-=kyyhxx'''代入y=-x2,得到y′-k=-(x′-h)2, 写成y-k=-(x-h)2，即y=-x2+2hx-h2+k,与y=x2-x+2联立得设上述两图形交点为P1(x1,y1),P2(x2,y2)由已知条件有P1与P2关于原点对称，即有x1+x2=0,y1+y2=0.由①、②消去y得2x2-(1+2h)x-2+h2-k=0.由x1+x2=0，得221h+=0,即，h=-21.又将P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别代入①、②并两式相加得y1+y2=-x21+x22+2hx1-x2-h2+k-2，即0=(x2-x1)(x2+x1)-(x1+x2)-41+k-2,得k=49.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=,49',21'yyxx变形为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.49',21'yyxx代入y=-x 2得y ′-49=-(x ′+21)2,即y ′=-x ′2-x ′+2. 故所求的解析式为y=-x 2-x+2.解法二：由题意知，平移后的图像与y=x 2-x-2的图像的交点关于原点对称，可知这两个图像中一个图像上的所有点都可找到关于原点的对称点在另一图像上.因此，只要找到相应的特征点即可.∵y=x 2-x-2是抛物线，其顶点为(21，-49)，其关于原点的对称点是(-21，49)，这便是平移后抛物线之顶点.又由于平移后的抛物线由y=-x 2平移得到，而其顶点为(0，0).故平移向量a=(-21,49). 故欲求的函数解析式为y-49=-(x+21)2,即y=-x 2-x+2.。
函数移动规律公式
在数学中，函数的移动规律通常涉及到函数图像的平移。
函数图像的移动遵循以下几个基本的规律：1. 水平移动（左移和右移）：如果函数\( f(x) \) 的图像向左移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x + a) \)；如果图像向右移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x a) \)。
2. 垂直移动（上移和下移）：如果函数\( f(x) \) 的图像向上移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x) + a \)；如果图像向下移动\( a \) 个单位，新的函数表达式为\( f(x) a \)。
3. 斜率变化（拉伸和压缩）：如果函数\( f(x) \) 的图像在\( x \) 方向上被拉伸或压缩，可以通过乘以一个非零常数\( a \) 来完成。
如果\( a > 1 \)，图像会被拉伸；如果\( 0 < a < 1 \)，图像会被压缩。
新的函数表达式为\( a \cdot f(x) \)。
4. 对称变换：关于y 轴对称：如果函数\( f(x) \) 的图像关于y 轴对称，新的函数表达式为\( f(x) \)。
关于x 轴对称：如果函数\( f(x) \) 的图像关于x 轴对称，新的函数表达式为\( f(x) \)。
关于原点对称：如果函数\( f(x) \) 的图像关于原点对称，新的函数表达式为\( f(x) \)。
5. 周期变换：如果函数\( f(x) \) 的图像具有周期性，可以通过乘以一个非零常数\( a \) 来改变周期。
新的函数表达式为\( f(x \cdot a) \)。
这些规律可以帮助我们理解和预测函数图像在各种变换下的移动和变化。
在实际应用中，这些规律对于解决函数图像相关的问题非常有用。
平移知识点总结
平移知识点总结在几何学中，平移是指将一个物体沿特定的方向移动一段固定的距离，而保持其形状和大小不变。
平移是基本的几何变换之一，在各个学科领域中都有广泛的应用，例如计算机图形学、物理学和工程学等。
在本文中，我们将总结平移的基本概念、性质和常见的应用。
1. 平移的基本概念平移是指将一个物体的每个点沿着指定的方向移动一段距离，而不改变它们之间的距离和角度关系。
在二维平面上，平移可以通过向量来表示。
设平移向量为v=(a, b)，其中a表示水平方向上的位移，b表示垂直方向上的位移。
对于平面上的任意点P(x, y)，它的平移后的位置P'可以通过以下公式计算：P'(x', y') = P(x, y) + v，其中x' = x + a，y' = y + b。
2. 平移的性质（1）平移保持物体的形状和大小不变。
在进行平移变换时，物体的尺寸、角度和形状保持不变。
（2）平移是一个向量变换。
平移可以通过向量运算来表示，平移向量就是指定的移动方向和距离。
（3）平移具有可逆性。
平移的逆变换即为反方向的平移，即将移动方向和距离取反。
3. 平移的应用（1）计算机图形学：平移是图形学中最基本的变换之一，用于实现物体的移动和动画效果。
通过改变物体的位置，可以实现模拟真实世界中的物体移动。
（2）物理学：在物理学中，平移变换用于描述物体在空间中的位置和运动状态。
平移变换可以帮助我们研究物体的位移、速度和加速度等动力学性质。
（3）工程学：在工程学中，平移变换可以应用于机器人控制、物体定位和路径规划等领域。
通过平移变换，可以使机器人沿指定的路径移动或定位物体的位置。
总结：平移是几何学中基本的变换之一，它通过在特定方向上移动物体的每个点来实现。
平移保持物体的形状和大小不变，具有可逆性。
在计算机图形学、物理学和工程学等领域中，平移都有广泛的应用。
通过平移变换，我们可以实现物体的移动、物体位置的定位以及路径规划等目标。
三维 平移 旋转 公式
三维平移旋转公式
三维空间中的平移和旋转是描述物体在空间中移动和旋转的重要概念。
首先，我们来看看三维空间中的平移公式。
假设我们有一个三维坐标系，其中一个点的坐标为(x, y, z)，我们想对这个点进行平移操作，使其沿着向量(a, b, c)移动。
那么平移后的新坐标可以表示为(x+a, y+b, z+c)。
这就是三维空间中的平移公式，简单来说就是将原始坐标点的每个分量分别加上平移向量的对应分量。
接下来是三维空间中的旋转公式。
在三维空间中，我们通常使用旋转矩阵来描述旋转操作。
假设我们有一个三维向量(x, y, z)，我们想对这个向量进行绕原点的旋转操作。
如果我们知道旋转的角度和旋转轴，我们可以构造一个旋转矩阵来实现旋转。
以绕z轴逆时针旋转为例，旋转矩阵可以表示为：
Rz = |cosθ -sinθ 0|。
|sinθ cosθ 0|。
| 0 0 1|。
其中θ表示旋转角度。
对于其他轴的旋转，我们可以类似地构造旋转矩阵。
然后，我们可以将原始向量乘以旋转矩阵来得到旋转后的新向量。
除了使用旋转矩阵，我们还可以使用四元数来表示三维空间中的旋转。
四元数在旋转计算中具有一些优势，特别是在避免万向节锁和进行平滑插值方面。
总之，三维空间中的平移和旋转可以通过简单的向量加法和旋转矩阵来实现，这些公式和方法在计算机图形学、机器人学和计算机游戏开发等领域有着广泛的应用。
希望这些信息能够帮助你更好地理解三维空间中的平移和旋转操作。
平移的方法和步骤
平移的方法和步骤什么是平移？在几何学中，平移是指将一个图形沿着某个方向移动一定距离的操作。
平移不改变图形的大小、形状或方向，只是改变了图形的位置。
平移是一种基本的几何变换，它在日常生活中随处可见。
比如我们走路时身体的前进就是一种平移，将物体从一个地方搬到另一个地方也可以看作一种平移。
在数学中，我们可以通过坐标系来描述平移。
通过改变坐标系中每个点的坐标，实现整个图形的平移。
平移的方法在进行平移操作时，有多种方法可以选择。
下面我们将介绍几种常见的平移方法。
方法一：向量法向量法是最直观和常用的一种方法。
它利用向量的性质来描述平移操作。
对于二维空间中的点P(x, y)，如果要将点P沿着向量V(a, b)进行平移，那么新位置Q(x’, y’)可以通过以下公式计算得出：x' = x + ay' = y + b其中a表示向右（正方向）或者向左（负方向）平移的距离，b表示向上（正方向）或者向下（负方向）平移的距离。
方法二：矩阵法矩阵法是另一种常用的平移方法。
它利用矩阵的乘法来实现平移操作。
对于二维空间中的点P(x, y)，如果要将点P沿着向量V(a, b)进行平移，那么新位置Q(x’, y’)可以通过以下公式计算得出：| x' | | 1 0 a | | x || | = | | * | || y' | | 0 1 b | | y |其中矩阵[1, 0, a; 0, 1, b]表示平移矩阵。
方法三：复合变换法复合变换法是将多个基本变换结合起来进行平移操作。
假设我们要将图形沿着向量V(a, b)进行平移，可以先将图形绕原点旋转一个角度，再进行缩放或者错切等其他变换，最后再将图形沿着新坐标轴的方向进行平移。
这种方法可以通过连续应用多个变换来实现复杂的平移操作，并且可以灵活控制每个变换的顺序和参数。
平移的步骤无论采用哪种方法，进行平移操作都需要按照以下步骤进行：1.确定要进行平移的图形或对象。
人教A版高中数学必修四第五章教案平移
第十四教时教材：平移目的：要求学生理解“平移”的概念和平移的几何意义，并掌握平移公式，能运用公式解决有关具体问题。
过程：一、平移的概念：点的位置、图形的位置改变，而形状、大小没有改变，从而导致函数的解析式也随着改变。
这个过程称做图形的平移。
（作图、讲解）二、 平移公式的推导：1．设P (x , y )是图形F图象F ’上的对应点为P ’(x ’, y ’)—— 可以看出一个平移实质上是一个向量。
2．设PP = (h , k )，即：PP OP += ∴(x ’, y ’) = (x , y ) + (h , k ) ∴⎩⎨⎧+=+=k y y h x x '' —— 平移公式 3．注意：1︒它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系2︒知二求一3︒这个公式是坐标系不动，点P (x , y )按向量a = (h , k )平移到点P ’(x ’, y ’)。
另一种平移是：点不动，把坐标系平移向量-a ，即：⎩⎨⎧-=-=ky y h x x ''。
这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一样的，这两个公式作用是一致的。
三、应用：例一、（P 121 例一）1．把点A (-2, 1)按a = (3, 2)平移，求对应点A ’的坐标(x ’, y ’)。
2．点M (8, -10)按a 平移后对应点M ’的坐标为(-7, 4)，求a 。
解：1．由平移公式：⎩⎨⎧=+==+-=321y'132x' 即对应点A ’的坐标为(1, 3) 2．由平移公式：⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧+-=+=-141510487k h k h 即a 的坐标为(-15, 14)例二、将函数y = 2x 的图象l 按a = (0, 3)平移到l ’，求l ’的函数解析式。
解：设P (x , y )为l 上任一点，它在l ’上的对应点为P ’(x由平移公式：⎩⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒+=+=3''3'0'y y x x y y x x 代入y = 2x 得：y ’ - 3 = 2x ’ 即：y ’ = 2x ’ + 3按习惯，将x ’、y ’写成x 、y 得l ’的解析式：y = 2x （实际上是图象向上平移了3个单位） 例三、已知抛物线y = x 2 + 4x + 7，1．求抛物线顶点坐标。
函数图像向左右平移的公式
①一次函数的平移
不需要对一般式变形，只是在y=kx+b的基础上，在括号内对“x”和“b”直接进行调整。
对b符号的增减，决定直线图像在y轴上的上下平移。
向上平移b+m，向下平移b-m。
对括号内x符号的增减，决定直线图像在x轴上的左右平移。
向左平移k(x+n)，向右平移k(x-n) 。
②二次函数的平移
（1）将y=ax²的图象向上(c>0)或向下(c<0)平移|c|个单位，即可得到y=ax²+c的图象．其顶点是(0，c)。
形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax²相同。
（2）将y=ax²的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，即可得到y=a(x-h) ²的图象．其顶点是(h,0)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同。
（3）将y=ax²的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x-h) ²+k的图象，其顶点是(h,k)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax²相同。
③反比例函数的平移
对于双曲线y= k/x，若在分母x上加、减任意一个实数y= k/x±m，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。
加一个数时向左平移，减一个数时向右平移。
一次函数向右平移公式
一次函数向右平移公式规律为：左右平移，x左加右减；上下平移，b上加下减。
平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
举例1、一次函数图像在x轴上的左右位移。
向左位移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右位移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。
口诀：左加右减至（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的多寡）（此处n为正整数）。
2、一次函数图像在y轴上的上下平移。
向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。
口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数）。
关于一次函数位移变化的规律可以通过未定系数法和相近三角形去不予证明。
在运用待定系数法证明中，因为平移前后两条直线平行，所以k相等，只要根据与x轴的交点坐标的变化，再将变化后的与x轴交点坐标代入到平移后的解析式中即可求得b和b1的关系为向左平移b1=kn+b，向右平移b1=-kn+b。
在运用相近三角形证明中，在平面直角坐标系则中，一次函数图像位移后的两条直线平行，这两条直线分别与x轴和y轴构成了一组相近三角形，通过相近三角形对应边变成比例，即可谋出来交点座标间的关系。
这样也可以证明位移规律。
其实无论是运用待定系数法证明或者运用相似三角形证明，都是在研究一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标的变化。
我们研究一次函数的图像平移其实就是研究与x轴、y 轴的交点坐标的变化，进而研究解析式的变化，图像性质的变化。
这也就是所说的关键点。
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教 学 内 容
第12课时
【课 题】平移公式
【教学目标】
〖知识目标〗1、理解平移公式的推导过程
2、掌握平移公式，并运用它解决实际问题
〖技能目标〗提高学生的抽象思维能力
〖德育目标〗培养学生的辨证思维能力
【教材分析】
〖教学重点〗平移公式的理解记忆
〖教学难点〗灵活运用平移公式解决实际问题
〖教学关键〗准确把握公式中各个字母变量的含义
【课 型】新授课
【教 法】启发式、分层次教学
【教具及课前准备】
【教学过程】
〖组织教学〗
〖引入课题〗平移概念在初中学习函数图形时就已经使用，而平移本身就
是一个向量，这节课将在学习向量的基础上，来学习平移公式。为此，先来复
习向量的加法及三角形法则。如图：
C
A B 即ABBCAC
〖顺序讲解〗
1、平移的概念
如果在坐标平面内图形F上的所有点，都按同一方向移动相同的
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教 学 内 容
距离到'F的位置，那么称图形F到'F的变换为平移变换，简称
平移。
2、平移公式
在图形F上任取一点(Pxy，），按向量12aaa（，）平移到图形
'F
的点'(''Pxy，），则
'OPOPa
a
'P'P
即1212',')(,)(,)(,)xyxyaaxaya（ a
1
2
''xxayya
这就是平移公式。 F
3、例题讲解 P
例1、把点A（-2，1）按向量(3,2)a平移到'A，求'A的坐标。
解：设'A的坐标为','xy，由平移公式得
'231'123xy
即'(1,3)A。
例2、已知函数y=x2图象F（如图），按向量(2,3)a平移到'F的
位置，求图象'F的函数表达式。
解：在曲线F上任取一点P0（x0，y0），设它在'F上的对应点为P
（x，y），则
x= x0-2
y=y0+3
∴x0=x+2 y0=y-3
因P0在F上，将上式代入方程y=x2得
y-3=（x+2）2
O
'F
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教 学 内 容
即y=（x=2）2+3
这就是图形F的方程。
〖教师小结〗
一般地，函数y=f（x）的图象按向量12(,)aaa平移后，得到新图
形的方程是
21()yafxa
〖指定作业〗 192P A 1、 B 1 、 2
【板书设计】
【课 后 记】理解公式中每个量的含义，强化训练。
平移公式
1、公式推导 例1
2、举例应用 例2