作业册2008(上4)

院 系 班级 姓 名 作业编号 1 第四章 不定积分

作业20 不定积分的概念与性质 1． 填空题 （1）设()fx连续，则d()dfxx＝fxdx；d ()fx＝fxc；d()ddfxx

x

＝fx；()dfxx＝fxc． （2）设12(),()FxFx是()fx的两个不同的原函数，且()0fx，则

12()()FxFx=c． 2． 演算下列不定积分，并填上答案：

（1）221d(1)xxx＝1arctanxcx；

（2）223d1xxx＝2arctanxxc； （3）243()d1xxx＝4arcsin6xxc； （4）2(23)dxxx＝4692ln4ln6ln9xxxc； （5）sec(sectan)dxxxx＝tansecxxc； （6）2cotdxx＝cotxxc；

（7）1sin2dxx＝cossin,sincoscossin,sincosxxcxxxxcxx；

（8）421d(1)xxx＝311arctan3xcxx． 3． 设()sinfxx，试求出()fx的一个原函数． 解：12cos,0sin,0(),()sin,0cos,0xcxxxfxfxdxxxxcx

设12cos,0()cos,0xcxFxfxdxxcx为()fx的一个原函数，则Fx必在《高等数学》同步练习册 2 0x处连续，121200000,11,2FFFcccc

取210,2cc，得cos2,0cos,0xxFxxx 4． （1）已知()Fx是lnxx的一个原函数，求d(sin)Fx； 解：由已知lnln,xxdxFxcFxxx 因而lnsind(sin)sinsincoscotlnsinsinxFxFxdxxdxxxdxx （2）已知()fx的一个原函数为sin1sinxxx，求()()dfxfxx； 解：由已知sin1sinxfxdxcxx

从而22sincossin1sin1sinxxxfxxxxx 因此2224cossin11()()d221sinxxfxfxxfxccxx 5． 设()fx满足方程3'()()1xfxfxx，求()fx． 解：由已知31,01xfxfxxfxxf 从而431,04xxfxxdxxcc

因此3()14xfx 院 系 班级 姓 名 作业编号

3 作业21 不定积分的换元积分法 1． 仿照341d()4xdxxC，变换下列各个表达式： （1）1dxx＝2dxc；

（2）2edxx＝22xdec； （3）3sind2xx＝23cos32dxc； （4）2d19xx＝1arctan33dxc； （5）2d1xx＝arcsindxc； （6）1dxx＝lndxc． 2． 利用凑微分法计算下列不定积分，并将答案写上：

（1）3(32)dxx＝41328xc；

（2）d32xx＝32xc； （3）d12xx＝1ln122xc； （4）35edxx＝353xec； （5）esinedxxx＝cosxec； （6）211cosdxxx＝1sincx； （7）1dlnxxx＝lnlnxc； （8）231dxxx＝332219xc； 《高等数学》同步练习册 4 （9）121(1)edxxxx＝1xxec； （10）2d49xx＝13arcsin32xc． 3． 计算下列不定积分： （1）1d(1)(2)xxx；

解：原式=11112dln32131xxcxxx （2）21d94xxx； 解：原式=2221121darcsin942349494xxxdxxcxx （3）2sintansecdxxxx；； 解：原式=2221cos11dcos1coscoscoscoscosxxdxxcxxx （4）tandcosxxx； 解：原式=32sincos2dcoscoscoscoscoscoscosxdxxxdxcxxxxx （5）3tansecdxxx； 解：原式=231sec1secsecsec3xdxxxc （6）1d1sinxx； 解：原式=221sindsectansecdtanseccosxxxxxxxxcx （7）22d(arcsin)1xxx；

解：原式=2darcsin1(arcsin)arcsinxcxx 院 系 班级 姓 名 作业编号 5 （8）32d1xxx； 解：原式=1322222221111d11123xxxxxc （9）deexxx； 解：原式=2dearctane1xxxec （10）21lnd(ln)xxxx． 解：原式=211d(xln)(ln)lnxcxxxx 4． 计算下列不定积分 （1）2d1xxx；

解：原式10222dd1arcsin11xxxcxxxx 10222dd1arcsin11xxxcxxxx





综合得，原式=1arcsincx （2）21dxxx； 解：当1,x，令sec,0,,sectan2xttdxttdt 原式22tan1secttantdtsec1tan1arccossecttdtttcxctx 当1,x，可令sec,,0,sectan2xttdxttdt 2tan1secttantdttan()1arccossectttcxctx

综合得到结果，表达式一样。 《高等数学》同步练习册 6 （3）2d11xx； 解：令sin,arcsinxttx， 则原式= 222costdtcoscos111cotarcsin1cossinsinttxdtttcxctttxx





（4）2d1xxx； 解：令sin,arcsinxttx， 原式=cossincossincostdt1lncossinsincos2cossinttttdttttctttt 21

arcsinln12xxxc

（5）322d(1)xx；

解：令1tan,arctan,,sec022cosxttxtt， 原式=2dtcossinsec1xtdttcctx （6）de1xx； 解：令e1xt，则22e1,ln1xtxt 原式=22tdt11111lnln111111xxtedtccttttte （7）2d23xxx； 解：令12sec,12sec,0,2xtxtt时， 原式 =22sectanseclnsectanln1232tanttdttdtttcxxxct 院 系 班级 姓 名 作业编号 7 ,02t



的过程要稍作修改

（8）22d1xxx． 解：令1tan,arctan,,sec022cosxttxtt， 解：原式=22costdt11sinsinxccttx 《高等数学》同步练习册

8 作业22 不定积分的分部积分法 1． 求下列不定积分 （1）2sindxxx；

解：原式=221cos2dsin2sin2sin2244444xxxxxdxxxdxxx 2cos2sin2448xxx

xc

（2）1ln(1)dxx； 解：原式

=211111ln(1)dln(1)dln(1)ln1111xxxxxxxxcxxxxx

（3）arctandxx； 解：令2,xtxt，原式=2222arctandarctan1dttttttt

22

2

1

arctan1arctanarctan1arctan1ttdtttttcxxxct





（4）2tandxxx； 解：原式=222sin(sec)dtantan2cos2xxxxxxxxdxxxdxx 2tanlncos2xxxxc

（5）2arcsindxxx； 解：令arcsin,sinxtxt 原式=211sinlncsccotsinsinsinsinsintttdttddtttcxtttt 2arcsin11lnxxcxxx

