一次函数与四边形存在性问题

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八年级(下)数学同步讲义四边形的存在性

四边形的存在性内容分析本节包含两部分，平行四边形的存在性及梯形的存在性，常见题型是存在菱形和正方形，根据题目中的条件及特殊的平行四边形的性质构造等量关系，求出相应的点的坐标；常见的梯形的问题中，经常需要添加辅助线，考察学生的分类讨论思想及逻辑思维能力．知识结构模块一平行四边形的存在性知识精讲平行四边形的问题是近几年来考试的热点，考察学生的分类讨论的思想．常见的题型是在平面直角坐标系中已知三点和第四点构成平行四边形，求第四点；或者已知两点，另外两点在某函数图像上，四点构成平行四边形；利用两点间的距离公式和平移的思想，结合题目中的条件构造等量关系进行求解即可．在几何中，平行四边形的判定方法有如下几条：①两组对边互相平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；⑤两组对角相等。

在压轴题中，往往与函数（坐标轴）结合在一起，运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形．- 2 -ABCM 1M 2M 31、知识内容：已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图ABC ．第四个点M 则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M 点）．2、解题思路：（1）根据题目条件，求出已知3个点的坐标；（2）用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点；（3）更换顶点，求出所有可能的点；（4）根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．【例1】如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =24 cm ，BC =26 cm ，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm /s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形；（2）经过多长时间，四边形PQBA 是矩形．例题解析思路剖析【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为A (3， 0)，点B 的坐标为B (0， 4)．（1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为菱形，求点D 坐标；（3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P 的坐标．【例3】如图，在平面直角坐标系中，过点(2，3)的直线y ＝kx ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将此直线向下平移3个单位，所得到的直线l 与x 轴交于点C ．（1）求直线l 的表达式；（2）点D 为该平面直角坐标系内的点，如果以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．ABOxyAB Oxy【例4】如图，已知直线l1经过点A(－5，－6)且与直线l2：362y x=-+平行，直线l 2与x轴、y轴分别交于点B、C．（1）求直线l1的表达式及其与x轴的交点D的坐标；（2）判断四边形ABCD是什么四边形．并证明你的结论；（3）若点E是直线AB上一点，平面内存在一点F，使得四边形CBEF是正方形，求点E的坐标，请直接写出答案．【例5】直线364y x=-+与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O B A→→运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．xOy- 4 -【例6】已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠B 是锐角，AF ⊥BC 于点F ， CH ⊥AD 于点H ，在AB 边上取点E ，使得AE ＝AH ，在CD 边上取点G ，使得CG ＝CF ．联结EF 、FG 、GH 、HE ．（1）求证：四边形EFGH 是矩形；（2）当∠B 为多少度时，四边形EFGH 是正方形．并证明．【例7】如图所示，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，正比例函数y =kx （x 为自变量）的图像与双曲线2y x=-交于点A ，且点A 的横坐标为2-．（1）求k 的值；（2）将直线y =kx （x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、C ，如点D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形．ABC OxyABCDEFGH- 6 -【例8】在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =4，将一个30°角的顶点P 放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC ，且交边AC 于点E ，30°的另一边交射线BC 于点D ，连ED ．（1）如图，当四边形PBDE 为等腰梯形时，求AP 长；（2）四边形PBDE 有可能为平行四边形吗．若可能，求出PBDE 为平行四边形时，AP 的长，若不可能，说明理由；（3）若点D 在BC 边上（不与B 、C 重合），试写出线段AP 的取值范围．ABCDE P梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形的运动有关，需要学生有一定的想象力、分析力和运算力．梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k 相等而b 不相等．若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的直角三角形．若是直角梯形，则需连接对角线或过上底的一顶点作下底的高构造直角三角形．【例9】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12cm ，DC =8cm ，且∠C =60°，动点P 以1cm/s的速度从点A 出发，沿AD 方向向点D 移动，同时，动点Q 以2cm /s 的速度从点C 出发，沿C 出发，沿CB 方向向点B 移动，连接PQ ，（1）得四边形ABQP 和四边形PQCD .若设移动的时间为t 秒（0＜t ＜7），四边形PQCD 的面积为ycm ²，求y 与t 的函数关系式；（2）当t 为何值时，四边形QPCD 是等腰梯形．说明理由；（3）当t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形．模块二梯形的存在性知识精讲例题解析QPBCDA- 8 -【例10】如图，一次函数33y x b =+的图像与x 轴相交于点A (53，0)、与y 轴相交于点B ．（1）求点B 的坐标及∠ABO 的度数；（2）如果点C 的坐标为（0，3），四边形ABCD 是直角梯形，求点D 的坐标【例11】如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点G 为BC 的中点，点E 为线段BC 延长线上的一点，且CE ＝12BC ，过点E 作EF //CA ，交CD 于点F ，联结OF ．（1）求证：OF //BC ；（2）如果四边形OBEF 是等腰梯形，判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．【例12】如图，在平面直角坐标系中，直线l 1经过O 、A (1，2)两点，将直线l 1向下平移6AB C OxyABCDEFGO个单位得到直线l 2，交x 轴于点C ，B 是直线l 2上一点，且四边形ABCO 是平行四边形．（1）求直线l 2的表达式及点B 的坐标；（2）若D 是平面直角坐标系内的一点，且以O 、A 、C 、D 四个点为顶点的四边形是等腰梯形，求点D 的坐标．【例13】已知一次函数142y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，梯形AOBC 的边AC =5．（1）求点C 的坐标；（2）如果点A 、C 在一次函数y =kx +b （k 、b 为常数，且k <0）的图像上，求这个一次函数的解析式【例14】如图1，在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，点P 是x 轴上一动点，以线段APAOC xy为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：∠ABQ＝90°；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．ABOPQ xyABO xy图1备用图- 10 -【例15】在直角平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y =x +b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，连接OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）若动点P 在x 轴的正半轴上，以每秒2个单位长的速度向右运动；动点Q 在射线CM 上，且以每秒1个单位长的速度向右运动，若P 、Q 分别由O 点、C 点同时出发，问几秒后，以P 、Q 、O 、D 为顶点的四边形可以成为平行四边形；以P 、Q 、O 、D 为顶点的四边形是否可以成为等腰梯形．写出理由．1AO4CxMy- 12 -【习题1】如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点．（1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标．【拓展】如果以A 、C 、P 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．【习题2】如图，在平面直角坐标系中，直线162y x =-+与y 轴交于点A ，与直线12y x =相交于点B ，点C 是线段OB 上的点，且△AOC 的面积为12．（1）求直线AC 的表达式；（2）设点P 为直线AC 上的一点，在平面内是否存在点Q ，使四边形OAPQ 为菱形，若存在，求点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．随堂检测ABCOxy ABO xy【习题3】如图，已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，AB ＝8cm ，BC ＝26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边以1cm /s 的速度向D 运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边以3 cm /s 的速度向B 运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t 秒，当t 为何值时，线段PQ ＝CD ．【作业1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A 、B两点，点A 的坐标为(2，3)，点B 的横坐标为6．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）如果点C 、D 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCD 是平行四边形，求直线CD 的表达式．课后作业ABCDQPAB CDABOxy【作业2】已知一条直线y=kx+b在y轴上的截距为2，它与x轴、y轴的交点分别为A、B，且△ABO的面积为4．（1）求点A的坐标；（2）若k<0，在直角坐标平面内有一点D，使四边形ABOD是一个梯形，且AD∥BO，其面积又等于20，试求点D的坐标．【作业3】定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数．（1）若特征数为[3，k－1]的一次函数为正比例函数，求k的值；（2）一次函数y＝kx＋b的图像与x轴交于点A(3-，0)，与y轴交于点B，且与正比例函数43y x=的图像的交点为C (m，4)．求过A、B两点的一次函数的特征数；（3）在（2）的条件下，若点D与A、O、C构成的四边形为平行四边形，直接．．写出所有符合条件的点D的坐标．A BCO x y- 14 -【作业4】如图所示，直线y =-2x +12，分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段OC 上，点D 的纵坐标是4．（1）求点C 的坐标和直线AD 的解析式；（2） P 是直线AD 上的点，请你找出一点Q ，使得以O 、A 、P 、Q 这四个点为顶点的四边形是菱形，写出所有满足条件的Q 的坐标．BA Cyx。

专题03 平行四边形压轴题(七大题型)(解析版)

(1)直接写出C点坐标；(2)如图2，线段BC的垂直平分线交y轴于点E，F为AD的中点，试判断(3)如图3，点16,03E⎛⎫⎪⎝⎭，F为x轴上的一点，45ECF∠=︒，求F点的坐标．【答案】(1)()4,4∵四边形ABCD是平行四边形，∴=，∥AD BC AD∴∠=∠，DAO CBEAOD CEB∠=∠=(AASCBE DAO∴≌∵线段BC 的中垂线交CE BE ∴=，∵F 为AD 的中点，22,1F ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，222DE DC EC ∴+=①当F 在点E 的左侧时，如图3，过 45ECF ∠=︒，FH CE ⊥，CFH ∴ 是等腰直角三角形，FH CH ∴=，(1)若4OD =，求OG 的长．(2)若2OAE GOE GED ∠=∠-∠，求OD 的长．(3)①连接DF ，问直线DF 是否经过一定点，若经过，请求出该定点；若不经过，请说明理由；②连接FB ，BD ，若30DFB ∠=︒，求OD 的长．∵2OAE GOE GED ∠=∠-∠，GED ∠∴2GOE OAE OEF ∠=∠+∠，∵IOE OAE OEF ∠=∠+∠，∴2IOE GOE ∠=∠，∴30FBF '∠=︒，设FM n =，则2FF n '=，∵226BF BF n '==+，∴22162FN n =+，∵FN BF BM FF ''⋅=⋅，（BFF ' 的两组底和高相乘）(1)求直线2l 的函数关系式；(2)若点C 的横坐标是2，求△(3)若存在点P ，使以A C 、、试求．出点P 的坐标．【答案】(1)4y x =-+则1402m ⨯+=，解得2m =-，∴直线AP 的解析式为122y x =-；DP AC ∥，且过(20)，D -，设直线DP 的解析式为y x n =-+，则20n +=，解得2n =-，(1)求点C 的坐标及直线BC 的解析式；(2)如图1，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，其中90FGQ ∠=︒，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线(3)如图2，若M 为线段BC 上一点，且满足AMB S S =△△D ，使以点D ，E ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点明理由．4∵FGQ 是等腰直角三角形，易证∴1MG NQ ==，FM GN ==∴()2,1Q n n -+-，∵点Q 在443y x =+图象上，同理：()2,1Q n n -+，∵点Q 在直线443y x =+图象上，∴()41243n n -=-+，解得：n ∴点()0,1G -，此时与点C 重合；23⎛⎫∵AMB AOB S S =△△，∴ABC AMC AOB S S S -=△△△，∴141105424232m ⎛⎫-⨯+=⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得：∴点612,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)求a和k的值；(2)作直线l平行于A C''且与A B''，B C''分别交于M，N 直线l的函数表达式；(3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l则A B T B GM '''、均为等腰直角三角形，∵GM A T '∥，则23B G GT B M A M '''==：：：，设2B G GM x '==，则3,GT x BT =则6245BT x =-==，的值；在双曲线kyx=上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M∵()1,0A -，(0,B -解得1x =，此时()11,8P ，(10,8Q 如图2所示，若ABPQ ∵()1,0A -，(0,4B -解得=1x -，此时()21,8P --，2Q ②如图3所示，当∵()1,0A -，(0,4B -∴1122x -=，∵MN 是线段HT 的垂直平分线，∴NT NH =，∵四边形AFBH 是正方形，∴ABF ABH ∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH(1)求k的值；(2)点P在双曲线kyx=上，点Q在y轴上，若以点A B P Q、、、为顶点的四边形是平行四边形；试求满足要求的所有点P的位置．(3)以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HTAB于N，当T在AF上运动时，MNHT的值是否发生改变？若改变，求出其范围；若不改变，求出其值并给出你的证明．【答案】(1)8∵()()1,0,04A B --，，则12解得1x =，此时()118P ，；如图2所示，若ABQP 为平行四边形，∵()()1,0,04A B --，，则12-解得=1x -，此时()218P --，；②如图3所示，当AB 为对角线时：∵()()1,0,04A B --，，∴1122x -=-，解得=1x -，∴()318P --，；故点P 的坐标为：()18，或(-（3）如图4，连接NH NT 、∵MN 是线段HT 的垂直平分线，∴NT NH =，∵四边形AFBH 是正方形，∴ABF ABH ∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH =⎧(1)用等式表示CP '与BP 的数量关系，并证明；(2)当135BPC ∠=︒时，①直接写出P CP '∠的度数为________②若M 为BC 的中点，连接PM 【答案】(1)BP CP '='，证明见解析证明：∵90BAC ∠=︒，AB AC =∴2390∠+∠=︒，∵将线段AP 绕点A 逆时针旋转90∴AP AP '=，90PAP '∠=︒，∴1290∠+∠=︒，∴13∠=∠，(1)如图1，求CBE ∠的度数；(2)如图2，过点A 作AF DE ∥分别交BC CD ，于点F ，G ，连接AE 平分；(3)如图3，在（2）的条件下，若N 是CE 的中点连接FN ，求证：【答案】(1)60CBE ∠=︒(2)见解析∴DCE ACB ∠=∠，∴BCE ACD ∠=∠，∵CE CD =，BCE ACD ∠=∠，BC AC =，∴()SAS BCE ACD V V ≌，∴60CBE A Ð=Ð=°；（2）证明：如图1，连接EF ，∵ABC 是等边三角形，∴60CBD ACF ∠=∠=︒，∵//AF DE ，∴60AGD CDE ∠=∠=︒，∵60AGD CAF ACG BCD ACG ∠=∠+∠=︒=∠+∠，∴BCD CAF ∠=∠，∵BCD CAF ∠=∠，BC AC =，CBD ACF ∠=∠，∴()ASA BCD CAF ≌，∴AF CD DE ==，又∵//AF DE ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AE 与DF 相互平分；（3）证明：如图2，延长FN 至点H ，使HN FN =，∵N 是CE 的中点，∴EN CN =，∵EN CN =，ENH CNF ∠=∠，HN FN =，∴()SAS ENH CNF ≌，∴HEN FCN ∠=∠，EH CF =，∴BC EH ∥，∵()ASA BCD CAF ≌，∴BD CF =，∴EH BD =，∵四边形ADEF 是平行四边形，∴AD EF ，∴60BFE ABC ∠=∠=︒，∵60BEF BFE EBF ∠=∠=∠=︒，∴BEF △是等边三角形，∴EF BF =，∵BC EH ∥，∴60HEF BFE ∠=∠=︒，∴HEF DBF ∠=∠，∵EH BD =，HEF DBF ∠=∠，EF BF =，∴()SAS EHF BDF ≌，∴HF DF =，(1)当QP PM ⊥时，求t 的值．(2)如图2，连接MC ，是否存在t 值，使得PCM △的面积是平行四边形ABCD 面积的38若存在，求出对应的t ；若不存在，请说明理由．(3)如图3，过点M 作∥MN AB 交于点N ，是否存在t 的值，使得点P 在线段MN 的垂直平分线上？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4t =(2)不存在t 值(3)409t =【分析】（1）由题意得2BQ t =，3DP t =，由平行四边形的性质得出AB CD ，AD BC ∥60D ABC ∠=∠=︒，证出四边形BCPQ 是平行四边形，得出BQ CP =，得出方程220t =-（2）作AE BC ⊥于E ，延长MP 交BC 延长线于F ，由直角三角形的性质得出12BE AB =3103AE BE ==，求出平行四边形ABCD 的面积3003BC AE =⨯=，由直角三角形的性质得出则9030BAE ABC ∠=︒-∠=︒1102BE AB ∴==，3AE =∴平行四边形ABCD 的面积=∥ AB CD ，，MN AB，AB CD∴ ，MN CDAD BC，∴四边形CDMN是平行四边形，(1)用含t的代数式表示PB的长．(2)当点P在边AB上运动时，求证：△内部时，求(3)当点E在ABD在ABCDY中，O为对角线=，∴经过点O，OA OCAC四边形ABCD为平行四边形，∴∥，AB CD由题意得：PQE V 为等边三角形，60PQE QPE ∴∠=∠=︒，AB CE ∥ ，60QPB PQE ∴∠=∠=︒，60A QPB ∴∠=∠=︒，AD PQ ∴∥，∴四边形APQD 为平行四边形，4PQ AD ∴==，4DQ PQ AP ∴===，24t \=，2t ∴=，②当点E 落在AB 边上时，如图，由题意得：PQE V 为等边三角形，60PEQ ∴∠=︒，60A PEQ ∴∠=∠=︒，AD EQ \∥，∴四边形AEQD 为平行四边形，4EQ AD ∴==，AE DQ =，4PE ∴=．24AE AP PE t ∴=-=-．在DOQ △和BOP △中，DOQ BOP OD OB QDO PBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(AAS)DOQ BOP ≌∴ ，DQ PB ∴=，OD OQ ∴=，30ODQ OQD ∴∠=∠=︒，60QPE ∠=︒ ，90PDQ ∴∠=︒，1232BP BO BD ∴===，2823t ∴-=，(1)若设AP 的长为x ，则PC =，(2)当30BQD ∠=︒时，求AP 的长；(3)过点Q 作QF AB ⊥交AB 延长线于点(4)点P Q ，在运动过程中，线段说明理由．,PE AB QF AB ⊥⊥ ，∴90AEP BFQ ∠=∠=︒，又60,QBF ABC A ∠=∠=∠=︒ ∴()AAS BFQ AEP ≌，∴EP FQ =；AEP BFQ△≌△∴=，AE BF+=+∴BE AE BF BE∴6==AB EF⊥⊥,PE AB QF AB(1)如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形、，若AB (2)如图2，点E在BC，点F在CD上，连接AE EF-=2AC CF CE⊥分别交(3)如图3，在（2）的条件下，连接AF，过点C作CH BCCE=，PK 的延长线于点P，交AC的延长线于点K，若22（3）解：如图，以C为原点，BC 交于点T，DK与x轴交于点S 四边形ABCD是平行四边形，3【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，坐标两点距离公式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想，正确建立直角坐标系，求出相关点坐标是解题关键．14．在ABCD Y 中，BD 是对角线，(1)求证：AD BD=(2)当45A ∠=︒时，1DE =，2BE =，3CE =，求CDE 的面积．(3)在（1）的条件下，当BD 平分ADE ∠，DBE CDE ∠=∠，10CD =【答案】(1)见解析为等腰直角三角形，∴EBK∵ADB BDK ∠=∠，AD DK ADB KDB BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB BDK △≌△，(1)如图1，若45BAD PCD ∠-∠=︒，求证：2AD PB =；(2)如图2，在（1）的条件下，若ABP 的面积与PCD 的面积的比是3:4的面积；(3)如图3，在（1）的条件下，若7514PAB PD ∠=︒=，，求PA 的长．【答案】(1)见解析(2)1542∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD AB CD ∥，=．∵MN AB ⊥，∴MN CD ⊥．∵:3:4ABP PCD S S = ，。

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题一(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题二（含答案解析）类型一与三角形有关1.（2022·天津）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x 轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）A．(5,4)B．(3,4)C．(5,3)D．(4,3)【答案】D【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．【详解】解：∵AB⊥x轴，∴∠ACO=∠BCO=90°，∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=12AB=3，∵OA=5，∴=4，∴点A的坐标是（4，3），故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2.（2020·宁夏中考真题）如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ，则点1A的坐标是_____．【答案】（4，125）【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，A 1的横坐标等于OB ，而纵坐标等于OB-OA ，即可得出答案．【详解】解：在542y x =+中，令x=0得，y=4，令y=0，得5042x =+，解得x=8-5，∴A （8-5，0），B （0，4），由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ，∠ABA 1=90°，∴∠ABO=∠A 1BO 1，∠BO 1A 1=∠AOB=90°，OA=O 1A 1=85，OB=O 1B=4，∴∠OBO 1=90°，∴O 1B ∥x 轴，∴点A 1的纵坐标为OB-OA 的长，即为48-5=125；横坐标为O 1B=OB=4，故点A 1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键．3.（2021·广西贺州市·中考真题）如图，一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且45OPC ∠=︒，PC PO =，则点P 的标为________．【答案】(--【分析】过P 作PD ⊥OC 于D ，先求出A ，B 的坐标，得∠ABO=∠OAB=45°，再证明△PCB ≌△OPA ，从而求出BD ＝，OD ＝，进而即可求解．【详解】如图所示，过P 作PD ⊥OC 于D ，∵一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB ，∴∠ABO=∠OAB=45°，∴△BDP 是等腰直角三角形，∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，∴∠PCB＝∠OPA，又∵PC＝OP，∴△PCB≌△OPA（AAS），∴AO＝BP＝4，∴Rt△BDP中，BD＝PD＝2＝2，∴OD＝OB−BD＝2，∴P（2，2）．故答案是：P（2，2）．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．4.（2022·湖北黄冈）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C 匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．【答案】252+##2+25【分析】根据函数图像可得AB=4=BC ，作∠BAC 的平分线AD ，∠B ＝36°可得∠B ＝∠DAC ＝36°，进而得到ADC BAC △△，由相似求出BD 的长即可．【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8，∴BC=AB=4，∵∠B ＝36°，∴72BCA BAC ∠∠︒＝＝，作∠BAC 的平分线AD ，∴∠BAD ＝∠DAC ＝36°＝∠B ，∴AD=BD ，72BCA DAC ∠∠︒＝＝，∴AD=BD=CD ，设AD BD CD x ===，∵∠DAC ＝∠B ＝36°，∴ADC BAC △△，∴AC DC BC AC =，∴x 4x 4x-=，解得：1225x =-+，225x =--，∴252AD BD CD ===，此时521AB BD t +==(s)，故答案为：52.【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明ADC BAC △△．5.（2020·四川内江?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A （-2，0），直线33:33l y x =+与x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边112A B A ∆，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边223A B A ∆，以此类推……，则点2020A 的纵坐标是______________【答案】20203(21)2-【解析】【分析】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），且与x 轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A 1、A 2、A 3、的纵坐标，进而得到A n 的纵坐标，据此可得A 2020的纵坐标，即可解答．【详解】如图，过A 1作A 1C ⊥AB 与C ，过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1，过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2，先根据直线方程与x 轴交于点B （-1，0），与y 轴交于点D （0，33），∴OB=1,OD=33,∴∠DBO=30º由题意可得：∠A 1B 1B=∠A 2B 2B 1=30º,∠B 1A 1B=∠B 2A 2B 1=60º∴∠A 1BB 1=∠A 2B 1B 2=90º，∴AB=1，A 1B 1=2A 1B=21，A 2B 2=2A 2B 1=22，A 3B 3=2A 3B 2=23，…A n B n =2n∴A 1C=2AB=2×1，A 1纵坐标为32×1=13(21)2-；A 2C 1=32A 1B 1=1322⨯，A2的纵坐标为32×1+1322⨯=013(22)2+=332⨯=23(21)2-；A 3C 2=32A 2B 2=2322⨯,A 3的纵坐标为32×1+1322⨯+2322⨯=0123(222)2++=372⨯=33(21)2-；…由此规律可得：A n C n-1=1322n -⨯,A n 的纵坐标为01213(2222)2n -++++ =3(21)2n -，∴A 2020=20203(21)2-，故答案为：20203(21)2-【点睛】本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律．6.（2022·陕西）如图，ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，，，，，．将ABC 平移后得到A B C '''V ，且点A 的对应点是(23)A '，，点B 、C 的对应点分别是B C ''，．(1)点A 、A '之间的距离是__________；(2)请在图中画出A B C '''V ．【答案】(1)4(2)见解析【分析】（1）由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4；（2）根据题意找出平移规律，求出103-1B C ''（，），（，），进而画图即可．(1)解：由(23)A -，，(23)A '，得，A 、A '之间的距离是2-（-2）=4．故答案为：4．(2)解：由题意，得103-1B C ''（，），（，），如图，A B C '''V 即为所求．【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图，题目相对较简单，掌握平移规律是解决问题的关键．7.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==，MON ∠=45°∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.8.（2020·湖南湘西?中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A ，点B 在y 轴的正半轴上，30ABO ∠=︒．矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在,,OA AB OB 上，2OD =．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为时，则矩形CODE 向右平移的距离为___________．【答案】2【解析】【分析】先求出点B 的坐标（0，3），得到直线AB 的解析式为：33y =+，根据点D 的坐标求出OC 的长度，利用矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为63列出关系式求出3D G '=，再利用一次函数关系式求出OD '=4，即可得到平移的距离.【详解】∵(6,0)A ，∴OA=6，在Rt △AOB 中，30ABO ∠=︒，∴63tan 30OA OB ==∴B （0，63），∴直线AB 的解析式为：33y =+，当x=2时，y=43∴E （2，3，即DE=3∵四边形CODE 是矩形，∴OC=DE=43设矩形CODE 沿x 轴向右平移后得到矩形C O D E ''''，D E ''交AB 于点G ，∴D E ''∥OB ，∴△AD G '∽△AOB ，∴∠AGD '=∠AOB=30°，∴∠EGE '=∠AGD '=30°，∴GE ''=,∵平移后的矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为，∴五边形C O D GE '''的面积为∴12O D O C EE GE ''''''⋅-⋅=,∴122EE ''⨯-⨯=,∴2EE '=,∴矩形CODE 向右平移的距离DD '=2EE '=，故答案为：2.【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.9.（2021·浙江金华市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ．（1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ．①若BA BO =，求证：CD CO =．②若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①见解析；②552；（2）存在，44+-4，9，1【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则BAD AOB ∠=∠，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到CDO COD ∠=∠，根据等角对等边，即可证明CD CO =；②添加辅助线，过点A 作AH OB ⊥于点H ，根据直线l 的解析式和角的关系，分别求出线段AB 、BC 、OB 、OC 的长，则11+22ABC CBO ABOC S S S AB BC OB OC =+=⨯⨯ 四边形；（2）分多钟情况进行讨论：①当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时；②当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时；③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时．【详解】解：（1）①证明：如图1，∵BA BO =，∴12∠=∠．∴BA BC ⊥，∴2590∠+∠=︒．而45∠=∠，∴2490∠+∠=︒．∵OB OC ⊥，∴1390∠+∠=︒．∴34∠=∠，∴CD CO =．②如图1，过点A 作AH OB ⊥于点H ．由题意可知3tan 18∠=，在Rt AHO 中，3tan 18AH OH ∠==．设3m AH =，8m OH =．∵222AH OH OA +=，∴()()22238m m +=，解得1m =．∴38AH OH ==，．∵4590CBO ABC ∠=︒∠=︒，，∴45ABH ∠=︒，∴3,tan 45sin 45AH AH BH AB ====︒︒∴5OB OH BH =-=．∵45OB OC CBO ⊥∠=︒，，∴tan 455,cos 45OB OC OB BC =⨯︒===︒，∴111522ABC S AB BC =⨯=⨯= ，112555222CBO S OB OC =⨯=⨯⨯= ：∴552ABC CBO ABOC S S S =+= 四边形．（2）过点A 作AH OB ⊥于点H ，则有38AH OH ==，．①如图2，当点C 在第二象限内，ACB CBO ∠=∠时，设OB t=∵ACB CBO ∠=∠，∴//AC OB ．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴3AH OC ==．∵AH OB AB BC ⊥⊥，，∴12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，∴AHB BOC ∽，∴AH HB BO OC=，∴383t t -=，整理得2890t t -+=，解得4t =±∴4OB =±②如图3，当点C 在第二象限内，ACB BCO ∠=∠时，延长AB CO ，交于点G ，则ACB GCB ≌，∴AB GB =．又∵AH OB OC OB ⊥⊥，，∴90AHB GOB ∠=∠=︒，而ABH GBO ∠=∠，∴ABH GBO ≌，∴142OB HB OH ===③当点C 在第四象限内，ACB CBO ∠=∠时，AC 与OB 相交于点E ，则有BE CE =．(a)如图4，点B 在第三象限内．在Rt ABC 中，1290,90ACB CAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴2CAB∠=∠∴AE BE CE ==，又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒，而AEH CEO∠=∠∴AHE COE ≌，∴142HE OE OH ===∴225AE AH HE =+=，∴5BE =，∴9OB BE OE =+=(b)如图5，点B 在第一象限内．在Rt ABC 中90,90ACB CAB CBO ABE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴CAB ABE ∠=∠，∴AE BE CE ==．又∵,AH OB OC OB ⊥⊥，∴90AHE COE ∠=∠=︒而AEH CEO ∠=∠，∴AHE COE≌∴142HE OE OH ===∴5AE ==，∴5BE =，∴1OB BE OE =-=综上所述，OB 的长为44+4，9，1．【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑．10.（2020·河南中考真题）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D 是弧BC 上一动点，线段8,BC cm =点A 是线段BC 的中点，过点C 作//CF BD ，交DA 的延长线于点F ．当DCF ∆为等腰三角形时，求线段BD 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：()1根据点D 在弧BC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段,,BD CD FD 的长度，得到下表的几组对应值．操作中发现：①"当点D 为弧BC 的中点时， 5.0BD cm ="．则上中a 的值是②"线段CF 的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；()2将线段BD 的长度作为自变量x CD ,和FD 的长度都是x 的函数，分别记为CD y 和FD y ，并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象；()3继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值．(结果保留一位小数)．【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ；【解析】【分析】（1）①点D 为弧BC 的中点时，△ABD ≌△ACD ，即可得到CD=BD ；②由题意得△ACF ≌△ABD ，即可得到CF=BD ；（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；（3）画出CF y 的图象，当DCF ∆为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD 的近似值．【详解】解：（1）①点D 为弧BC 的中点时，由圆的性质可得：AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴CD=BD=5.0，∴ 5.0a =；②∵//CF BD ，∴BDA CFA ∠=∠，∵BDA CFA BAD CAF AD AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF ≌△ABD ，∴CF=BD ，∴线段CF 的长度无需测量即可得到；（2）函数CD y的图象如图所示：（3）由（1）知=CF BD x =，画出CF y 的图象，如上图所示，当DCF ∆为等腰三角形时，①CF CD =，BD 为CF y 与CD y 函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm ；②CF DF =，BD 为CF y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm ；③CD DF =，BD 为CD y 与DF y 函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm ；综上：当DCF ∆为等腰三角形时，线段BD 长度的近似值为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ．【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．11.（2020·河北中考真题）如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN-匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQ B∠=∠．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当03x≤≤及39x≤≤时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ∠扫描APQ∆区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若94AK=，请直接．．写出点K被扫描到的总时长．【答案】（1）3；（2）43MP=；（3）当03x≤≤时，24482525d x=+；当39x≤≤时，33355d x=-+；（4）23t s=【解析】【分析】（1）根据当点P在BC上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得2APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据SS上下=45可得24=9APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得23APAB=，求出AB=5，即可解出MP；（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；（4）先求出移动的速度=936=14，然后先求出从Q 平移到K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形，∴PA min =tanC·2BC =34×4=3；（2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E，S 上=S △APQ ，S 下=S 四边形BPQC ，∵APQ B ∠=∠，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AP AD PQ AB AC BC==，∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23AP AB =，AE=2BC ·tan 3C =，根据勾股定理可得AB=5，∴2253AP MP AB +==，解得MP=43；（3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35，∴d=35PQ ，∵AP=x+2，∴25AP x PQ AB BC+==，∴PQ=285x +⨯，∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +，当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335，综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（4）AM=2<AQ=94，移动的速度=936=14，①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒，②P 在BC 上时，K 与Q 重合时CQ=CK=5-94=114，∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-，整理得y 2-8y=554-，（y-4）2=94，解得y 1=52，y 2=112，52÷14=10秒，112÷14=22秒，∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．12.（2020·湖南衡阳?中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+，当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得：11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4，设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的函数解析式为122y x =+，当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)，当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得：13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=，∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5，如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+，解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-，∴点T 1(3,(7))2t t --，∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -，211(7)24BET S BE ET t ∆==- ,21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-，由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)，∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4．∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=,易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇；当12﹤t ﹤1时，12+12÷（1+4）=35秒，∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当t=3时，点E 运动返回到点O 处,当t=4时，点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．13.（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为,9M OM =．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过P 点作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PE OD的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若,DHE DPH GQ FG ∠=∠-=，求点P 的坐标．【答案】（1）12y x =-；（2）94；（3）1236(,)55P ．【解析】【分析】（1）根据题意求出A ，B 的坐标即可求出直线AB 的解析式；（2）求出N （3,9），以及ON 的解析式为y=3x ，设P （a ，3a ），表达出PE 及OD 即可解答；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，先证明四边形OSRA 为矩形，再通过边角关系证明△OFS ≌△FQR ，得到SF=QR ，进而证明△BSG ≌△QRG ，得到SG=RG=6，设FR=m ，根据GQ FG -=，以及在Rt △GQR 中利用勾股定理求出m 的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT 为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH ，利用正切函数的定义得到DE DH DH PD=，从而得到DH=32a ，根据∠PHD=∠FHT ，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT ，列出关于a 的方程即可求出a 的值，从而得到点P 的坐标．【详解】解：（1）∵CM ⊥y 轴，OM=9，∴当y=9时，394x =，解得：x=12，∴C （12,9），∵CA ⊥x 轴，则A （12,0），∴OB=OA=12，则B （0，-12），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，∴12012k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：112k b =⎧⎨=-⎩，∴12y x =-；（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，∴四边形MOAC 为矩形，∴MC=OA=12，∵NC=OM ，∴NC=9，则MN=MC-NC=3，∴N （3,9）设直线ON 的解析式为1y k x =，将N （3，9）代入得：193k =，解得：13k =，∴y=3x ，设P （a ，3a ）∵PD ⊥x 轴交OC 于点E ，交x 轴于点D ，∴3(,)4E a a ，(a,0)D ，∴PE=39344a a a -=，OD=a ，∴9944a PE OD a ==；（3）如图，设直线GF 交CA 延长线于点R ，交y 轴于点S ，过点F 作FT ⊥x 轴于点T ，∵GF ∥x 轴，∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR ，∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，则四边形OSRA为矩形，∴OS=AR，SR=OA=12，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，∴∠FAR=∠AFR，∴FR=AR=OS，∵QF⊥OF，∴∠OFQ=90°，∴∠OFS+∠QFR=90°，∵∠SOF+∠OFS=90°，∴∠SOF=∠QFR，∴△OFS≌△FQR，∴SF=QR，∵∠SFB=∠AFR=45°，∴∠SBF=∠SFB，∴BS=SF=QR，∵∠SGB=∠RGQ，∴△BSG≌△QRG，∴SG=RG=6，设FR=m，则AR=m，∴QR=SF=12-m，∴=，-=，∵GQ FG∴66m m +-=+，∵QG 2=GR 2+QR 2，即222(6)6(12)m m +=+-，解得：m=4，∴FS=8，AR=4，∵∠OAB=∠FAR ，FT ⊥OA ，FR ⊥AR ，∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，∴四边形OSFT 为矩形，∴OT=FS=8，∵∠DHE=∠DPH ，∴tan ∠DHE=tan ∠DPH ，∴DE DH DH PD=，由（2）可知，DE=34a ，PD=3a ，∴343a DH DH a=，解得：DH=32a ，∴tan ∠PHD=3232PD a DH a ==，∵∠PHD=∠FHT ，∴tan ∠FHT=2TF HT =，∴HT=2，∵OT=OD+DH+HT ，∴3282a a ++=，∴a=125，∴1236(,)55P 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答．类型二与平行四边形有关14.（2022·山东泰安）如图，四边形ABCD 为平行四边形，则点B 的坐标为________．【答案】()2,1--【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．【详解】解：四边形ABCD 为平行四边形，∴DA CB ∥，即将D 点平移到A 的过程与将C 点平移到B 的过程保持一致，将D 点平移到A 的过程是：:134x --=-（向左平移4各单位长度）；:220y -=（上下无平移）；∴将C 点平移到B 的过程按照上述一致过程进行得到()24,1B --，即()2,1B --，故答案为：()2,1--．【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移，掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键．15.（2022·甘肃武威）如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC CB →→方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，APB △的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形，它的面积为【详解】解：在菱形ABCD 中，∠A=60°，∴△ABD 为等边三角形，设AB=a ，由图2可知，△ABD 的面积为∴△ABD 的面积24a ==解得：a=故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．16.（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，12OB OA =．请解答下列问题：（1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，6OE =，反比例函数k y x=图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD OE ⊥，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （9，0），B （0，92）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.【解析】【分析】（1）解一元二次方程，得到点A 的坐标，再根据12OB OA =可得点B 坐标；（2）利用待定系数法求出直线AB 的表达式，根据点C 是EF 的中点，得到点C 横坐标，代入可得点C 坐标，根据点C 在反比例函数图像上求出k 值；（3）画出图形，可得点P 共有5个位置，分别求解即可.【详解】解：（1）∵线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根，解得：x=9或-2（舍），而点A 在x 轴正半轴，∴A （9，0），∵12OB OA =，∴B （0，92）；（2）∵6OE =，∴E （-6，0），设直线AB 的表达式为y=kx+b ，将A 和B 代入，得：0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB 的表达式为：1922y x =-+，∵点C 是EF 的中点，∴点C 的横坐标为-3，代入AB 中，y=6，则C （-3，6），∵反比例函数k y x=经过点C ，则k=-3×6=-18；（3）存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM 1P 1N 1中，M 1和点A 重合，∴M 1（9，0），此时P 1（9，12）；在四边形DP 3BN 3中，点B 和M 重合，可知M 在直线y=x+3上，联立：31922y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：14x y =⎧⎨=⎩，∴M （1，4），∴P 3（1，0），同理可得：P 2（9，-12），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.故存在点P 使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，点P 的坐标为P 1（9，12），P 2（9，-12），P 3（1，0），P 4（-7，4），P 5（-15，0）.【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.类型三最值问题17.（2020·江苏宿迁?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为()A．455B C．523D．655【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(m，122m-+)，则PM=1m﹣，QM=122m-+，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N ，在△PQM 和△Q′PN 中，'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PQM ≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=122m -+，Q′N=PM=1m ﹣，∴ON=1+PN=132m -，∴Q′(132m -，1m ﹣)，∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键18.（2020·湖南永州?中考真题）已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是（）A ．355B ．3515-C ．6515-D ．2【答案】B 【解析】【分析】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，利用公式计算即可.【详解】过点C 作直线l 的垂线，交C 于点Q ，交直线l 于点P ，此时PQ 的值最小，如图，∵点C 到直线l 的距离()00222116355112kx y b d k -+-⨯-+==++-，C 半径为1，∴PQ 的最小值是3515-，故选：B.【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.A B-，在x19.（2020·辽宁鞍山?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)CD=，线段CD在x轴上平移，当轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持1+的值最小时，点C的坐标为________．AD BC【答案】（-1，0）【解析】【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：2kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形20.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．【解析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC=12OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD ＝4，OE ＝3，∴DE =32+42=5，∵∠MDN ＝∠ODE ，∠MND ＝∠DOE ，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE=DM DE，∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2，故答案为2．21.（2020·江苏连云港?中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为________．【答案】2【解析】【分析】如图，连接OB ，取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN ⊥DE 于N ．首先证明点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的⊙M ，设⊙M 交MN 于C′．求出MN ，当点C 与C′重合时，△C′DE的面积最小．【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC=CB，AM=OM，∴MC=12OB=1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴5 DE===，∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴MN DM OE DE=，∴3 35 MN=，∴95 MN=，当点C 与C′重合时，△C′DE 的面积最小，△C′DE 的面积最小值1951225⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故答案为2．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．22.（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．【答案】（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤。

中考数学几何模型专题25函数与正方形存在性问题(老师版)知识点+例题

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题25函数与正方形存在性问题【例1】（2022•崂山区一模）如图，正方形ABCD，AB＝4cm，点P在线段BC的延长线上．点P从点C出发，沿BC方向运动，速度为2cm/s；点Q从点A同时出发，沿AB方向运动，速度为1cm/s．连接PQ，PQ分别与BD，CD相交于点E，F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）线段CF长为多少时，点F为线段PQ中点？（2）当t为何值时，点E在对角线BD中点上？（3）当PQ中点在∠DCP平分线上时，求t的值；（4）设四边形BCFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．【分析】（1）可得出C点是BP的中点，从而求得t＝2；（2）证明DEF≌△BEQ，从而得出DF＝BQ＝4﹣t，进而CF＝CD﹣DF＝t，证明△PCF∽△PBQ，从而得出，进而求得t；（3）作OG⊥BP于G，可根据OG＝CG，进一步求得结果；（4）根据△PCF∽△PBQ，△DOF∽△BOG，分别列出比例式表示出CF，DF及EH，进一步求得结果．【解答】解：由题意得，CP＝2t，AQ＝t，BQ＝4﹣t，（1）四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴＝1，∴PC＝BC＝4，∴t＝＝2s；（2）∵AB∥CD，∴∠QBE＝∠EDF，∠BQE＝∠DFE，△PCF∽△PBQ，∴，∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，∴△DEF≌△BEQ（AAS），∴DF＝BQ＝4﹣t，∴CF＝CD﹣DF＝t，∴t1＝1，t2＝0（舍去），（3）如图1，点O是PQ的中点，CO平分∠DCP，作OG⊥BP于G，同理得：OG＝，PG＝，∴CG＝PC﹣PG＝2t﹣（2+t）＝t﹣2，∵∠COG＝∠OCG＝＝45°，∴OG＝CG，∴，∴t＝；（4）如图2，过点E作GH∥BC，交AB于G，交CD于H，∵CF∥EG∥AB，∴△PCF∽△PBQ，△DEF∽△BEG，∴，＝，∴，＝，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣＝，∴＝，∴EH＝，∴S＝S△BCD﹣S△DEF＝﹣＝8﹣．【例2】（2022春•孟村县期末）如图，在平面直角坐标系中．直线l：y＝﹣2x+10（k≠0）经过点C（3，4），与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（8，4），连接OD，交直线l于点M，连接OC，CD，AD．（1）填空：点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（4，2）；（2）求证：四边形OADC是菱形；（3）直线AP：y＝﹣x+5与y轴交于点P．①连接MP，则MP的长为5；②已知点E在直线AP上，在平面直角坐标系中是否存在一点F，使以O，A，E，F为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A的坐标，又点D的坐标，利用待定系数法可求出直线OD的解析式，再联立两函数解析式，可求出交点M的坐标；（2）过点C作CQ⊥x轴于点Q，利用勾股定理可得出OC＝5，又点C，D的坐标可得出CD＝5，CD ∥x轴，结合点A的坐标，可得出CD＝OA，进而可得出四边形OADC为平行四边形，再结合OC＝OA，即可证出四边形OADC是菱形；（3）①过点M作MN⊥y轴于点N，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P的坐标，结合点M。

【中考数学几何模型】第二十二节：二次函数特殊平行四边形存在性问题

中考数学几何模型第二十二节:二次函数特殊平行四边形存在性问题422.二次函数正方形存在性问题(初三)在平面直角坐标系中,抛物线y =―13x 2+bx +c 交x 轴于A(―3,0),B(4,0)两点,交y 轴于点C .(1)求抛物线的表达式,(2)如图,直线y =34x +94与抛物线交于A,D 两点,与直线BC 交于点E .若M(m,0)是线段AB 上的动点,过点M 作x 轴的垂线,交抛物线于点F ,交直线AD 于点G ,交直线BC 于点H .①当点F 在直线AD 上方的抛物线上,且S △EFG =59S △OFG 时,求m 的值;②在平面内是否存在点P ,使四边形EFHP 为正方形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.423.二次函数面积最大值矩形存在性问题(初三)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+2x +c(a ≠0)与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,连接BC,OA =1,对称轴为直线x =2,点D 为此拋物线的顶点.(1)求抛物线的解析式(2)抛物线上C 、D 两点之间的距离是_______(3)点E 是第一象限内抛物线上的动点,连接BE 和CE ,求△BCE 面积的最大值;(4)点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形,请直接写出点Q 的坐标.424.二次函数线段最大值相等角矩形存在性问题(初三)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(―1,0),点B(―3,0),且0O=OC.(1)求抛物线的解析式(2)点P在抛物线上,且∠POB=∠ACB,求点P的坐标;(3)抛物线上两点M,N,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动点,过点D作y轴的平行线交MN于点E.①求DE的最大值②点D关于点E的对称点为F,当m为何值时,四边形MDNF为矩形.425.二次函数菱形存在性三角形相似存在性问题(初三)如图,已知直线y=―2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x 轴于点C,交抛物线于点D.(1)若抛物线的解析式为y=―2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.①求点M、N的坐标;②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.426.二次函数菱形存在性问题(初三)如图,抛物线y=x2+2x―8与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标(2)连接AC,直线x=m(―4<m<0)与该抛物线交于点E,与AC交于点D,连接OD.当OD⊥AC时,求线段DE的长;(3)点M在y轴上，点N在直线AC上,点P为拋物线对称轴上一点,是否存在点M,使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.427.二次函数菱形存在性问题三角形面积相等问题(初三)x2+2x―6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.如图,抛物线y=12(1)求A、B,C三点的坐标并直接写出直线AC,BC的函数表达式.(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点,过点P作BC的平行线1,交线段AC于点D.①试探究:在直线1上是否存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由;②设抛物线的对称轴与直线1交于点M,与直线AC交于点N.当S△DWN=S△AOC时,请直接写出DM的长.428.二次函数三角形面积最大值菱形存在性问题(初三)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的边BC在x轴上,∠ABC=90∘,以A为顶点的抛物线y=―x2+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.(1)求抛物线解析式;(2)若点P从A点出发,沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过点P作PD⊥AB 交AC于点D,过点D平行于y轴的直线1交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?(3)若点M是平面内的任意一点,在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,EC为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由.429.二次函数菱形存在性问题(初三)已知抛物线F:y=x2+bx+c的图象经过坐标原点0,且与x轴另一交点为(―33,0).(1)求抛物线F的解析式.x+m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限)，求y2―y1的(2)如图1,直线1:y=33值(用含m的式子表示);,设点A′是点A关于原点0的对称点,如图2.(3)在(2)中,若m=43①判断△AA′B的形状,并说明理由;②平面内是否存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.430.二次函数线段最大值菱形存在性问题(初三)如图,二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A(―3,0),B(1,0),交y 轴于点C .点P(m,0)是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N .(1)求这个二次函数的表达式:(2)①若点P 仅在线段A0上运动，如图，求线段MN 的最大值;②若点P 在x 轴上运动,则在y 轴上是否存在点Q ,使以M,N,C,Q 为顶点的四边形为菱形.若存在,请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.431.二次函数菱形存在性问题(初三)如图,一次函数y =33x ―3图象与坐标轴交于点A 、B ,二次函数y =33x 2+bx +c 图象过A 、B 两点.(1)求二次函数解析式(2)点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ,点P 是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q ,使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.答案422【解】(1)∵抛物线y =―13x 2+bx +c 交x 轴于A(―3,0),B(4,0)两点,∴y =―13(x +3)(x ―4)=―13x 2+13x +4;(2)①如图1,∵B(4,0),C(0,4),∴设BC 的解析式为:y =kx +n,则{4k +n =0n =4,解得{k =―1n =4∴BC 的解析式为:y =―x +4,∴―x +4=34x +94,解得:x =1,∴E(1,3),∵M(m,0),且MH ⊥x 轴,∴G (m,34m +94),F (m,―13m 2+13m +4),∴FG =―13m 2+13m +4―(34m +94)=―13m 2―512m +74∵S △EFG =59S △OEG ,△EFG 和△OEG 的水平宽度相同,∴FG =59ON,∴―13m 2―512m +74=59×94解得:m 1=34,m 2=―2;②存在,由①知:E(1,3),且∠CBM =45∘∴过点E 作AB 的平行线,与抛物线的交点就是正方形EFHP 的顶点F.∴FH =EF,∠EFH =∠FHP =∠HPE =90∘,∵M(m,0),且MH ⊥x 轴,∴H(m,―m +4),F (m,―13m 2+13m +4),分两种情况:第一种情况:当―3⩽m <1时,如图1,点F 在EP 的左侧∴FH =(―m +4)―(―13m 2+13m +4)=13m 2―43m,∴13m 2―43m =1―m,解得:m 1=1+132(舍),m 2=1―132,∴H(1―132,7+132),∴P (1,7+132),第二种情况:当1<m <4时,点F 在PE 的右边,如图2,同理得―13m 2+43m =m ―1,解得:m 1=1+132,m 2=1―132(舍)，同理得P (1,7―132);综上,点P 的坐标为:(1,7+132)或(1,7―132).423【解】(1)∵OA =1,∴A(―1,0),又∵对称轴为x =2,∴B(5,0),将A,B 代入解析式得:{0=a ―2+c0=25a +10+c ,解得{a =―12c =52,∴y =―12x 2+2x +52(2)由(1)得:C (0,52),D (2,92),∴由两点距离公式可得:CD =22,故答案为22;(3)∵B(5,0),C (0,52),∴直线BC 的解析式为:y =―12x +52,设E (x,―12x 2+2x +52),且0<x <5,如图,作EF ⊥x 轴交BC 于点F,则F (x,―12x +52),∴EF =―12x 2+2x +52―(―12x +52)=―12x 2+52x,S △BCE =12×EF ×BO =12×(―12x 2+52x )×5=―54(x ―52)2+12516当x =52时,S △BCE 有最大值为12516;(4).设P(2,y),Q(m,n),由(1)知B(5,0),C (0,52),分三种情况讨论:①若BC 为矩形的对角线,由中点坐标公式得:{5+0=2+m 0+52=y +n ,解得:{m =3n =52―y ,又∵∠BPC =90∘,∴PC 2+PB 2=BC 2,即:22+(52―y )2+32+y 2=52+(52)2,解得y =4或y =―32,∴n =―32或n =4,∴Q (3,―32)或Q(3,4)，②若BP 为矩形的对角线,由中点坐标公式得{5+2=0+m 0+y =52+n ,解得:{m =7n =y ―52,又∵∠BCP =90∘,BC 2+CP 2=BP 2即:52+(52)2+22+(52―y )2=32+y 2,解得y =132,∴Q(7,4),③若BQ 为矩形的对角线,由中点坐标公式得:{5+m =2+00+n =y +52,解得:{m =―3n =y +52,又∵∠BCQ =90∘,∴BC 2+CQ 2=BQ 2,即:52+(52)2+m 2+(52―n )2=(5―m)2+n 2,解得n =―72,∴Q (―3,―72),综上,点Q 的坐标为(3,―32)或(3,4),或(7,4)或(―3,―72).解法二,也可以构造利用一线三等角三角形相似来解决。

2020-2021学年安徽省八年级上册数学(沪科版)期末考试复习：第12章《一次函数》解答题精选

2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第12章《一次函数》解答题精选一．解答题（共24小题）1．（2020春•谢家集区期末）如图，直线l1：y＝﹣3x+3与x轴交于点A，直线l2经过点B（4，0），C（3，﹣1.5），并与直线l2交于点D．（1）求直线l2的函数解析式；（2）求△ABD的面积；（3）在平面内是否存在点E，使以A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．2．（2019秋•宿松县校级期末）2017年“中国移动”公司提供两种通讯收费方案供客户选择．根据以上信息，解答下列问题：（1）设通话时间为x分钟，方案一的通讯费用为y1元，方案二的通讯费用为y2元，分别求出y1、y2关于x的函数表达式．（2）请你通过计算说明如何选用通讯收费方案更合算．（3）小明的爸爸每月的通话时间约为500分钟，应选用哪种通讯收费方案．3．（2019秋•宿松县校级期末）小刚同学学习一次函数的图象与性质后，结合平移知识对一次函数的表达式进行了研究．（1）把直线y＝2x沿x轴方向向左平移1个单位长度，得到的一次函数的表达式为；把直线y ＝2x沿x轴方向向左平移2个单位长度，得到的一次函数的表达式为；把直线y＝2x沿x轴方向向左平移3个单位长度，得到的一次函数的表达式为；……．（2）把直线y＝2x沿x轴方向向左（或向右）平移n（n是正整数）个单位长度，根据（1）的规律，写出平移得到的一次函数的表达式；（3）把直线y＝mx（m≠0）沿x轴方向向左（或向右）平移n（n是正整数）个单位长度，写出平移得到的一次函数的表达式．4．（2020春•镜湖区期末）公安部交管局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，自2020年6月1日起，要求骑乘电动车需要佩戴头盔，市场上头盔出现热销，某厂家每月固定生产甲、乙两种型号的头盔共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如下表：型号甲乙价格（元/只）种类原料成本60 40销售单价90 60生产提成 5 4（1）若该厂家五月份的销售收入为1500万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）厂家实行计件工资制，即工人每生产一只头盔获得一定金额的提成，如果厂家六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过1195万元，应怎样安排甲、乙两种型号头盔的产量，可使该月厂家所获利润最大？并求出最大利润（利润＝销售收入﹣投入总成本）．5．（2020春•和县期末）已知y是x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求当﹣3＜y≤1时，自变量x取值范围．6．（2020春•铜陵期末）如图所示，直线l是正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，把直线l分别向上、向下平移b（b＞0）个单位长度后，所得直线l1与x，y轴分别相交于点A，B；所得直线l2与x，y 轴分别相交于点C，D，连接AD，BC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）当k取何值时，四边形ABCD是正方形？7．（2019秋•宿松县期末）新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：苹果芦柑香梨每辆汽车载货量（吨）7 6 5每吨水果获利（万元）0.15 0.2 0.1（1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围（2）用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值．8．（2019秋•石台县期末）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．（1）求甲车距B地的路程y1关于x的函数解析式；（2）求乙车距B地的路程y2关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当甲车到达B地时，乙车距B地的路程为km．9．（2019秋•蜀山区期末）某公司欲将m 件产品全部运往甲，乙，丙三地销售（每地均有产品销售），运费分别为40元/件，24元/件，7元/件，且要求运往乙地的件数是运往甲地件数的3倍，设安排x （x 为正整数）件产品运往甲地．（1）根据信息填表：甲地乙地丙地产品件数（件） x 3x运费（元）40x （2）若总运费为6300元，求m 与x 的函数关系式并求出m 的最小值．10．（2019秋•东至县期末）如图，直线y ＝kx +1（k ≠0）与两坐标轴分别交于点A 、B ．直线y ＝﹣2x +4与y 轴交于点C ，与直线y ＝kx +1交于点D ．△ACD 的面积为32．（1）求k 的值；（2）直接写出不等式x +1＜﹣2x +4的解集；（3）点P 在x 轴上，如果△DBP 的面积为4，点P 的坐标．11．（2019秋•裕安区期末）已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过点（﹣2，5），并且与y 轴相交于点P ，直线y ＝﹣x +3与y 轴相交于点Q ，点Q 恰与点P 关于x 轴对称，求这个一次函数y ＝kx +b 的表达式．12．（2019秋•裕安区期末）小明平时喜欢玩“开心消消乐”游戏．本学期在学校组织的几次数学反馈性测试中，小明的数学成绩如下表：月份x 9 10 11 12 13（第二年元月） 14（第二年2月）成绩（分） 90 80 70 60 … …（1）以月份为轴，根据上表提供的数据在平面直角坐标系中描点．（2）观察（1）中所描点的位置关系，猜想y 与x 之间的的函数关系，并求出所猜想的函数表达式．（3）若小明继续沉溺于“开心消消乐“游戏，照这样的发展趋势，请你估计元月（此时x ＝13）份的考试中小明的数学成绩，并用一句话对小明提出一些建议．13．（2019秋•当涂县期末）已知一次函数y＝kx+b，它的图象经过（1，﹣3），（4，6）两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值．14．（2019秋•宣城期末）如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数y＝kx+b的图象经过点B（﹣2，﹣1），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．（1）求一次函数表达式；（2）求△AOD的面积．15．（2019秋•蜀山区期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC如图所示，点A（﹣3，2），B（1，1），C（0，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）一次函数y＝ax+3a+2（a为常数）．①求证：一次函数y＝ax+3a+2的图象一定经过点A；②若一次函数y＝ax+3a+2的图象与线段BC有交点，直接写出a的取值范围．16．（2019秋•临泉县期末）已知：如图，一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．（1）求点A的坐标．（2）若一次函数y1与y2的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．（3）结合图象，直接写出y1≤y2时x的取值范围．17．（2019秋•肥东县期末）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．（1）求y与x间的函数解析式；（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？18．（2019秋•濉溪县期末）已知y是x的一次函数，它的图象上有两点分别为点A（1，1），B（5，9）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）判断点C（3，7）是否在这条直线上；（3）当x取何值时，y＞0？19．（2019秋•濉溪县期末）如图，在平面直角坐标系中AD⊥BC，垂足为D，交y轴于点H，直线BC的解析式为y＝﹣2x+4．点H（0，2），（1）求证：△AOH≌△COB；（2）求D点的坐标．20．（2019秋•潜山市期末）市教育局在全市中小学推广某学校“品格教育”科研成果，其中“敬老孝亲”是“品格教育”亮点之一．重阳节（农历九月初九）快到了，某校八年级（1）班班委发起为老人们献上真挚的节日祝福活动，决定全班同学利用课余时间去卖鲜花筹集慰问金．已知同学们从花店按每支1.5元买进鲜花，并按每支4.5元卖出．（1）求同学们卖出鲜花的销售额y（元）与销售量x（支）之间的函数关系式；（2）若从花店购买鲜花的同时，还总共用去40元购买包装材料，求所筹集的慰问金w（元）与销售量x（支）之间的函数关系式；若要筹集不少于500元的慰问金，则至少要卖出鲜花多少支？（慰问金＝销售额﹣成本）21．（2019秋•潜山市期末）已知直线l1：y1＝mx﹣4与直线l2：y2＝﹣x+n交于点A（2，4），直线l1与x 轴交于点B，直线l2与y轴交于点C．（1）求m，n的值；（2）求当x为何值时，y1＞y2，y1＜y2；（3）求△ABC的面积．22．（2019秋•安庆期末）某企业生产并销售某种产品，整理出该商品在第x（1≤x≤90，x为整数）天的售价y与x函数关系如图所示，已知该商品的进价为每件30元，第x天的销售量为（200﹣2x）件．（1）试求出售价y与x之间的函数关系式；（2）请求出该商品在销售过程中的最大利润；23．（2019秋•安庆期末）（1）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①如图2，一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为腰在第一象限内作等腰直角三角形ABC，则C点的坐标为（直接写出结果）②如图3，在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝45°，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．24．（2019秋•宿州期末）某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米．已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案．方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和．（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第12章《一次函数》解答题精选参考答案与试题解析一．解答题（共24小题）1．【解答】解：（1）设直线l 2的表达式为y ＝kx +b ，则{4k +k =03k +k =−1.5，解得{k =1.5k =−6，故直线l 2的表达式为y ＝1.5x ﹣6；（2）对于y ＝﹣3x +3，令y ＝0，则﹣3x +3＝0，解得x ＝1，故点A （1，0），则AB ＝3，联立l 1、l 2的表达式得{k =−3k +3k =1.5k −6，解得{k =2k =−3，故点D （2，﹣3），∴△ABD 的面积=12×AB ×|y D |=12×3×3=92；（3）存在，理由：①当AB 是边时，则DE ＝AB ＝3，而点D （2，﹣3），故点E （5，﹣3）或（﹣1，﹣3）；②当AB 是对角线时，由中点公式得：12（1+4）=12（2+x E ）且12（0+0）=12（﹣3+y E ），解得{k k =3k k =3，故点E （3，3），综上，点E 的坐标为（5，﹣3）或（﹣1，﹣3）或（3，3）．2．【解答】解：（1）根据题意知，当0≤x ≤50时，y 1＝40．当x ＞50时，y 1＝40+（x ﹣50）×0.1＝35+0.1x ．综上所述，y 1={40(0≤k ≤50)0.1k +35(k ＞50)． y 2＝0.2x （x ≥0）；（2）当0≤x ≤50时，y 1＝40＞y 2，选择方案二合算；当x ＞50时：①y 1＞y 2，即0.1x +35＞0.2x ，解得x ＜350，选择方案二合算；②y 1＝y 2，即0.1x +35＝0.2x ，解得x ＝350，选择两种方案一样合算；③y 1＜y 2，即0.1x +35＜0.2x ，解得x ＞350，选择方案一合算．综上所述，当通话时间小于350分钟，选择方案二合算；当通话时间为350分钟，选择两种方案一样合算；当通话时间大于350分钟，选择方案一合算；（3）由于500＞350，所以小明的爸爸选用通讯收费方案一合算．3．【解答】解：（1）∵直线y ＝2x 沿x 轴方向向左平移1个单位长度，∴得到函数y ＝2（x +1）＝2x +2；∵直线y ＝2x 沿x 轴方向向左平移2个单位长度，∴得到的一次函数的表达式为y ＝2（x +2）＝2x +4；∵直线y ＝2x 沿x 轴方向向左平移3个单位长度，∴得到的一次函数的表达式为y ＝2（x +3）＝2x +6；故答案为：2x +2；2x +4；2x +6；（2）直线y ＝2x 沿x 轴方向向左平移n （n 是正整数）个单位长度，根据（1）的规律，可得平移得到的一次函数的表达式为y ＝2（x +n ）＝2x +2n ；直线y ＝2x 沿x 轴方向向右平移n （n 是正整数）个单位长度，根据（1）的规律，可得平移得到的一次函数的表达式为y ＝2（x ﹣n ）＝2x ﹣2n ；故答案为：y ＝2x +2n 或y ＝2x ﹣2n ；（3）直线y ＝mx （m ≠0）沿x 轴方向向左平移n （n 是正整数）个单位长度，得到的一次函数的表达式为y ＝m （x +n ）＝mx +mn ；直线y ＝mx （m ≠0）沿x 轴方向向右平移n （n 是正整数）个单位长度，得到的一次函数的表达式为y ＝m （x ﹣n ）＝mx ﹣mn ；故答案为：y ＝mx +mn 或y ＝mx ﹣mn ．4．【解答】解：（1）设甲型号的产品为x 万只，则乙型号的产品为（20﹣x ）万只，由题意得：90x +60（20﹣x ）＝1500，解得：x ＝10，则20﹣x ＝20﹣10＝10，答：甲、乙两种型号的产品分别是10万只、10万只；（2）设安排甲型号头盔的产量为y 万只，则乙型号头盔的产量为（20﹣y ）万只，由题意得：（60+5）y +（40+4）（20﹣y ）≤1195，解得：y ≤15，由题意得：利润W ＝（90﹣60﹣5）y +（60﹣40﹣4）（20﹣y ）＝9y +320，当y ＝15时，W 最大，最大值为：9×15+320＝455（万元），此时20﹣y ＝5，即安排甲型号头盔的产量为15万只，则乙型号头盔的产量为5万只，可使该月厂家所获利润最大，最大利润为455万元．5．【解答】解：（1）设一次函数解析式为y ＝kx +b （k ≠0），把x ＝﹣4，y ＝9；x ＝6，y ＝﹣1代入得：{−4k +k =96k +k =−1，解得：{k =−1k =5，则一次函数解析式为y ＝﹣x +5；（2）y ＝﹣x +5，∵k ＝﹣1＜0，∴y 随x 的增大而减小，当y ＝﹣3时，﹣3＝﹣x +5，即x ＝8，当y ＝1时，1＝﹣x +5，即x ＝4，则当﹣3＜y ≤1时，自变量x 的范围是4≤x ＜8．6．【解答】（1）证明：∵直线y ＝kx +b 与x ，y 轴分别相交于点A ，B ，∴A （−k k ，0），B （0，b ），∵直线y ＝kx ﹣b 与x ，y 轴分别相交于点C ，D ，∴C （k k ，0），D （0，﹣b ），∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴当AC ＝BD 时，四边形ABCD 是正方形，∴b =k k ， ∴k ＝1．7．【解答】解：（1）设装运苹果的车辆为x 辆，装运芦柑的车辆为y 辆，则运香梨的车辆（10﹣x ﹣y ）辆．7x +6y +5（10﹣x ﹣y ）＝60，∴y ＝﹣2x +10（2≤x ≤4）；（2）w ＝7×0.15x +6×0.2（﹣2x +10）+5×0.1[10﹣x ﹣（﹣2x +10）]，即w ＝﹣0.85x +12，∵﹣0.85＜0，∴w 随x 的增大而减小，∴当x ＝2时，w 有最大值10.3万元，∴装运苹果的车辆2辆，装运芦柑的车辆6辆，运香梨的车辆2辆时，此次销售获利最大，最大利润为10.3万元．8．【解答】解：（1）设y 1关于x 的函数解析式为y 1＝kx +b ，由题意可得{k =280160=1.5k +k∴{k =−80k =280∴y 1＝﹣80x +280，（2）由图象可得乙车的速度为：601=60千米/时，∴相遇时间=28060+80=2（小时） ∴经过2小时，甲乙两车相遇，且距离B 地120公里；∴乙车以原速原路返回到B 地所需时间为2小时，当2＜x ≤4时，设y 2＝mx +n ，且过（4，0），（2，120）， ∴{0=4k +k 120=2k +k∴{k =−60k =240∴y 2＝﹣60x +240，∴y 2={60k (0≤k ≤2)−60k +240(2＜k ≤4)（3）由题意可得：甲车到达B 地时间=28080=72小时，∴y 2＝﹣60×72+240＝30km ，故答案为：30．9．【解答】解：（1）表格如下：甲地乙地丙地产品件数（件） x 3xm ﹣4x 运费（元） 40x 72x7m ﹣28x 故答案为：m ﹣4x ；72x ；7m ﹣28x ；（2）由题意得：40x +72x +7m ﹣28x ＝6300；化简得：84x +7m ＝6300，∴m ＝﹣12x +900，∵m ＞4x ，∴﹣12x +900＞4x ，∴k ＜2254，∵x 为正整数，∴当x ＝56时，m 取得最小值，m ＝228．10．【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝kx +1＝1，则A （0，1），当x ＝0时，y ＝﹣2x +4＝4，则C （0，4），设D 点的坐标为（t ，﹣2t +4），∵△ACD 的面积为32，∴12×（4﹣1）×t =32，解得t ＝1，∴D （1，2），把D （1，2）代入y ＝kx +1得k +1＝2，∴k ＝1；（2）不等式x +1＜﹣2x +4的解集为x ＜1；（3）当y ＝0时，x +1＝0，解得x ＝﹣1，则B （﹣1，0），设P （m ，0），∵△DBP 的面积为4，∴12×|m +1|×2＝4，解得m ＝3或﹣5，∴P 点坐标为（﹣5，0）或（3，0）．11．【解答】解：由题意可得，点Q 的坐标是（0，3），点P 的坐标是（0，﹣3），把（0，﹣3），（﹣2，5）代入一次函数y ＝kx +b 得b ＝﹣3，﹣2k +b ＝5，解得b ＝﹣3，k ＝﹣4．所以这个一次函数的表达式：y ＝﹣4x ﹣3．12．【解答】解：（1）如图所示；（2）猜想y 与x 之间的的函数关系是一次函数关系，设y ＝kx +b ，由题意可得{90=9k +k80=10k +k解得{k =−10k =180∴y ＝﹣10x +180；（3）当x ＝13时，y ＝50，建议小明，放下游戏，认真学习．13．【解答】解：（1）将（1，﹣3），（4，6）代入y ＝kx +b 中，得：{k +k =−34k +k =6，解得：{k =3k =−6，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝3x ﹣6．（2）把点（a ，3）代入y ＝3x ﹣6得，3a ﹣6＝3解得：a ＝3，∴a 的值为3．14．【解答】解：（1）∵正比例函数y ＝2x 的图象与一次函数y ＝kx +b 的图象交于点A （m ，2）∴2m ＝2，解得m ＝1，∴A （1，2），把A （1，2）和B （﹣2，﹣1）代入y ＝kx +b ，得{k +k =2−2k +k =−1，解得k ＝1，b ＝1 则一次函数表达式是y ＝x +1；（2）y ＝x +1中，令y ＝0，则x ＝﹣1，∴D （﹣1，0），∴△AOD 的面积=12×1×2=1．15．【解答】解：（1）设直线AB 的解析式是y ＝kx +b ，将点A （﹣3，2），点B （1，1）代入的，得{−3k +k =2k +k =1解得，{k =−14k =54∴直线AB 的解析式是k =−14k +54；（2）设直线AB 与y 轴的交点为D 点，则点D 的坐标为(0，54)，k △kkk =k △kkk +k △kkk =12×(4−54)×3+12×(4−54)×1=112；（3）①证明：∵y ＝ax +3a +2＝a （x +3）+2， ∴y ＝ax +3a +2必过点（﹣3，2），即必过A 点；②把B （1，1）代入y ＝ax +3a +2得，1＝a +3a +2，解得a =−14；把C （0，4）代入y ＝ax +3a +2得，4＝3a +2，解得a =23，∴若一次函数y ＝ax +3a +2的图象与线段BC 有交点，则−14≤k ≤23且a ≠0．16．【解答】解：（1）联立两函数解析式可得方程组{k =k −2k =k −4，解得：{k =1k =−3， ∴点A 的坐标为（1，﹣3）；（2）当y 1＝0时，﹣x ﹣2＝0，解得：x ＝﹣2，∴B （﹣2，0），当y 2＝0时，x ﹣4＝0，解得：x ＝4，∴C （4，0），∴CB ＝6，∴△ABC 的面积为：12×6×3＝9；（3）由图象可得：y 1≤y 2时x 的取值范围是x ≥1．17．【解答】解：（1）①0≤x ≤300时，设y ＝kx +b （k ≠0），过（0，0），（300，24000），{k =0300k +k =24000，解得{k =80k =0， ∴y ＝80x ，②x ＞300时，设y ＝kx +b （k ≠0），过（300，24000），（500，30000），{300k +k =24000500k +k =30000，解得{k =30k =15000， ∴y ＝30x +15000，∴y ={80k (0≤k ≤300)30k +15000(k ＞300)；（2）当0≤x ≤300时，w ＝80x +50（600﹣x ）＝30x +30000；当x ＞300时，w ＝30x +15000+50（600﹣x ），即w ＝﹣20x +45000；∴k ={30k +3000(0≤k ≤300)−20k +45000(k ＞300)；（3）设甲种石材为 am 2，则乙种石材（600﹣a ）m 2，{k ＞300k ≤2(600−k )，∴300＜x ≤400，由（2）知w ＝﹣20x +45000，∵k ＝﹣20＜0，∴W 随x 的增大而减小，即甲400m 2，乙200m 2时，W min ＝﹣20×400+45000＝37000．答：甲种石材400m 2，乙种石材200m 2时，总费用最少，最少总费用为37000元．18．【解答】解：（1）设一次函数解析式为y ＝kx +b ，∵图象过两点A （1，1），B （5，9），∴{1=k +k9=5k +k，解得：{k =2k =−1， ∴函数解析式为：y ＝2x ﹣1；（2）当x ＝3时，y ＝6﹣1＝5≠7，∴点C （3，7）不在这条直线上；（3）∵y ＞0，∴2x ﹣1＞0，∴x ＞12．19．【解答】解：（1）由y ＝﹣2x +4可求得OC ＝4，OB ＝OH ＝2，∵∠AOH ＝∠COB ＝90°，∴∠HAO +∠ABC ＝90°∠BCO +∠ABC ＝90°即∠HAO ＝∠BCO ，∴△AOH ≌△COB （AAS ）；（2）由（1）得OA ＝4，即A （﹣4，0）∵H （0，2），∴于是求得直线AH 解析式为：k =12k +2，联立直线BC 的解析式为y ＝﹣2x +4．可求得x =45，y =125∴D （45，125）．20．【解答】解：（1）y ＝4.5x ；（2）w ＝4.5x ﹣1.5x ﹣40＝3x ﹣40，当w ≥500时，3x ﹣40≥500解得x ≥180答：要筹集不少于500元的慰问金，则至少要卖出鲜花180支．21．【解答】解：（1）把A （2，4）代入y 1＝mx ﹣4得2m ﹣4＝4，解得m ＝4；把A （2，4）代入y 2＝﹣x +n 得﹣2+n ＝4，解得n ＝6；（2）当x ＞2时，y 1＞y 2，当x ＜2时，y 1＜y 2；（3）直线y ＝4m ﹣4于y 轴的交点D 的坐标为（0，﹣4），与x 轴的交点B 的坐标为（1，0），直线y ＝﹣x +6与y 轴的交点C 的坐标为（0，6），所以△ABC 的面积＝S △ACD ﹣S △BCD =12×10×2−12×10×1＝5． 22．【解答】解：（1）当0≤x ≤50时，设y 与x 的解析式为：y ＝kx +40，则50k +40＝90，解得k ＝1，∴当0≤x ≤50时，y 与x 的解析式为：y ＝x +40，∴售价y 与x 之间的函数关系式为：y ={k +40(0≤k ≤50)90(k ≥50)；（2）设该商品在销售过程中的利润为w ，当0≤x ≤50时，w ＝（x +40﹣30）（200﹣2x ）＝﹣2x 2+180x +2000＝﹣2（x ﹣45）2+6050，∵a ＝﹣2＜0且0≤x ≤50，∴当x ＝45时，w 取最大值，最大值为6050元；当50≤x ≤90时，w ＝（90﹣30）（200﹣2x ）＝﹣120x +1200，∵﹣120＜0，∴w 随x 的增大而减小，∴当x ＝50时，该商品在销售过程中的利润最大，最大值为：（90﹣30）×（200﹣2×50）＝6000（元）． ∵6050＞6000，∴x ＝45时，w 增大，最大值为6050元．答：第45天时，该商品在销售过程中的利润最大，最大利润为6050元．23．【解答】解：（1）∵AD ⊥ED ，BE ⊥ED ，∴∠D ＝∠E ＝90°，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD ，在△BEC 和△CDA 中{∠k =∠k kkkk =kkkk kk =kk，∴△BEC ≌△CDA （AAS ）；（2）①如图2过点C 作CH ⊥x 轴于H ，同（1）的方法得，△ACH ≌△BAO （AAS ），∴AH ＝OB ＝4，CH ＝OA ＝2，∴OH ＝OA +AH ＝6，∴C （6，2），同理：C '（4，6）故答案为：C （4，6）或C （6，2）；②如图，作BP ⊥MN 交MN 的延长线于P ，作DQ ⊥MN 于Q∵CA ＝CB ，∠CAB ＝45°，∴∠CBA ＝∠CAB ＝45°，∴∠ACB ＝90°，∵CM ⊥AE ，∴∠AMC ＝90°＝∠ACB ，∵∠BCP +∠BCA ＝∠CAM +∠AMC ，∵∠BCA ＝∠AMC ，∴∠BCP ＝∠CAM ，在△CBP 与△ACM 中，{∠kkk =∠kkkkkkk =kkkk kk =kk，∴△CBP ≌△ACM （AAS ），∴MC ＝BP ，同理，CM ＝DQ ，∴DQ ＝BP在△BPN 与△DQN 中，{∠kkk =∠kkkkkkk =kkkk kk =kk，∵△BPN ≌△DQN （AAS ），∴BN ＝ND ，∴N 是BD 的中点．24．【解答】解：（1）设取奶站建在距A 楼x 米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y 米．①当0≤x ≤40时，y ＝20x +70（40﹣x ）+60（100﹣x ）＝﹣110x +8800∴当x ＝40时，y 的最小值为4400，②当40＜x ≤100，y ＝20x +70（x ﹣40）+60（100﹣x ）＝30x +3200此时，y的值大于4400因此按方案一建奶站，取奶站应建在B处；（2）设取奶站建在距A楼x米处，①0≤x≤40时，20x+60（100﹣x）＝70（40﹣x）解得x=−3203＜0（舍去）②当40＜x≤100时，20x+60（100﹣x）＝70（x﹣40）解得：x＝80因此按方案二建奶站，取奶站建在距A楼80米处．。

一次函数背景下的存在性问题

2021年第02期总第495期数理化解题研究一次函数背景下的存在性问题王帅兵(河南省郑州市孜文教育信息咨询有限公司450000)摘要：一次函数是八年级数学的学习内容，在平面直角坐标系中，研究点和直线的动态特征，以及在动态情境下产生的几何图形存在性问题，是考察学生思维能力的有效载体，已成为考试的重难点.本文将结合具体题目，从不同方面探讨存在性问题的解法.关键词：一次函数;存在性；对称；两圆一线；弦图中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2021)02 -0017 -02一、两定一动型，注意好“一上一下”两定一动型,是指在给定两个点的情况下,另一点在一条线上运动所产生的面积问题,解决这类问题，要做好题目分析,有一边与坐标轴平行时直接求解;没有边与坐标轴平行时，用好“铅锤法”(或“割补法”)，同时注意好 “ 一一上 —下”.例1如图1所示,一次函数y 二2% +4的图像与坐标轴分别交于点A 、B ,在一次函数的图象上是否存在一点P , 使得A AOP 的面积为3？思路分析由题设条件，易求出点A 和点0坐标分别为(-2,0)和(0,0),点P 为直图1线上一动点，不妨设其坐标为(%,y ),当点P 位于%轴上方时,S △A0P 二2 ； y 二3 ,解得y 二3,代入表达式y 二2% + 4 可得点P 坐标为(-1 /2,3).由于坐标系中的对称性，点 P 也可以位于%轴下方，此时可求出点P 的坐标为 (-7/2,-3).综上，点 P 坐标为(-1/2,3)或者(-7/2, -3).一例2如图2所示，直线y 二1 /2%与直线y 二-% + 3 相交于点A ,点B 是直线y 二1 /2%上的一个点，且横坐标为4.如果点P 是直线y 二-% +3上的一个动点，且满足 △ABP 的面积为9,那么点P 的坐标为 .思路分析如图2,易求出点A 和点B 坐标分别为(2,1) 和(4,2).如图3,过点P 向%轴做垂线交直线AB 于点F ,设点P ( a , - a +3),那么点F 坐标为(a , ； a )，则A ABP 的面积为："F x ( %B 一％a)(3 -a - 2 a )(4 -2)-----------「 - 9.解得 a 二-4,点P 的坐标为(-4,7).同理，如图4时,可得点P 的坐标为(8,-5).综上，点P 的坐标为(-4,7)或(8,-5).二、等腰三角形，用好“两圆一线”在一次函数的背景下,等腰三角形的存在性问题可以借助图形的基本性质来解,利用同端点、等长度作圆和线段垂直平分线.例 3 如图 5 所示, 直线 y - % + 4 与坐标轴交于点 A 和点B ，在%轴上是否存在点P ,使得A ABP 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标.图5 图6思路分析如图6所示,分别以点A 和点B 为圆心作圆，同时作出线段AB 的垂直平分线，可得与%轴的4个交点：P ］、戶2、P 3和P 4.分别求解,可得其坐标分别为P 1( -4-4 2 ,0)、P 2(0,0)、P s (4 2 -4,0)心4,0).三、直角三角形，利用顶点来分类对于直角三角形的存在性,可以利用顶点来分类，然后结合具体条件求解.例4如图7所示,在平面直角坐标系％oy 中，三角收稿日期：2020 -10 -15作者简介：王帅兵(1988. 7 -)，男，河南省鲁山人，本科，从事数学教学研究.17数理化解题研究2021年第02期总第495期板的直角顶点P的坐标为(2,2),一条直角边与兀轴的正半轴交于点A,另一直角边与y轴交于点B,三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当MA为直角三角形时，请求出所有满足条件的点B的坐标.思路分析分析题设条件可得，乙POA二45°,不可能为直角，'FOA的另两个角可以是直角.如图8,当OA丄AP时，可求出点B的坐标为(0,2);如图9,当OP丄PA时，点B和点O重合，点B坐标为(0,0).综上所述，点B的坐标为(0,2)或(0,0).图7图8图9四、等腰直角三角形，借助弦图轻松解等腰直角三角形的分类问题，可以在构造基本直角的情况下，借助弦图求解.例5如图10所示，直线y二-2兀+4与坐标轴交于点A和点B,在第一象限内是否存在点P,使得A ABP为等腰直角三角形？思路分析由题设条件易得,A(2,0)、B(0,4),OA二2,OB二4.利用心A AOB作弦图，如图11所示,其中P】、P2、戶3是满足条件的点.利用弦图中的全等三角形的性质,以及线段长与坐标的相互转化,可得三点的坐标分别为:P1(4,6)、P2(6,2)、P3(3,3).五、全等三角形，对应后综合求解全等三角形的存在性问题,要注意好顶点的对应，然后借助多种基本方法解题.例6如图12所示，在平面直角坐标系中作矩形OABC,点B坐标为(4,8),将A ABC对折,使点A与点C 重合,折痕交AB于点D,坐标系内是否存在点P(除点B 外),使A APC与A ABC全等？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.思路分析由题设条件易得点A与点C的坐标分别为(4,0)、(0,8),直线AC表达式为:y二-2%+8.由矩形性质可得A AOC=△CBA,此时点P与点O重合,坐标为(0,0).由翻折性质可得△ADB'^A CDB',此时,如图13, 18可以延长CP，过点A作CP丄AP于点P,利用等面积法可得点P坐标为(；，?)•如图14,作A ABC关于直线AC 的对称图形，此时，过点P作PQ丄y轴于点Q,利用等面积法可得点P坐标为(-12,24).六、等距离轨迹问题,借助坐标轴三角形构造相似在一次函数背景下的等距离轨迹问题，可以借助一次函数图像与坐标轴的交点,构造相似图形,求出点的坐标，进而找到点所在直线的表达式.例7如图15所示，直线y二2%+6与坐标轴分别交于点A和点B，在平面直角坐标系中是否存在一点,使得点P到直线AB的距离等于25，若存在，请求出点P所在轨迹的表达式;若不存在，请说明理由.思路分析到直线AB距离等于25的点的集合是与直线AB平行的两条直线.由题设条件易得，点A和点B 的坐标分别为(-3,0)和(0,6).如图16,过点B作直线AB的垂线-，在直线-上分别截取BP】二BP?二25,再分别过点P1和点P2作垂直于直线z1的直线z2和z3,直线12和人即为点P的轨迹.因为直线J和厶与直线AB平行,要求其表达式，只要求出点P1和点P2的坐标即可,此时,过点P1作P1Q1丄y轴于点Q1，则△P1Q1B^△BOA,可得P1Q1二4,BQ1二2,可得点P1坐标为(4,4),可求出心:y二2%-4.同理可求出厶：y二2%+16.综上,解决一次函数的存在性问题，一定要研究好背景图形，调用基本技巧和方法,构图确定位置，画图解答.参考文献：[1]王玉新.学好一次函数，善于梳理总结是关键[J].数学学习与研究，2019(19)：135.[2]王淑艳.一次函数解初中几何动点问题[J].理科爱好者，2019(4)：147.[责任编辑:李璟]。

特殊四边形存在性问题-二次函数特殊四边形存在性问题

特殊四边形存在性问题平行四边形：如果已知三个定点，则形成三条定线段，把每条定线段看成对角线，利用对角形互相平分解决。

如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．菱形：通常转化为等腰三角形存在问题。

矩形：通常转化为直角三角形存在问题。

正方形：通常转化为等腰直角三角形存在问题。

针对训练1．如图，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ．若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝－x 2+2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．3.如图（1），抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（﹣2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）①若点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，连接CD ，以OE 为直径作⊙M ，如图（2），试求当CD 与⊙M 相切时D 点的坐标；②点F 是x 轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G ，使A 、C 、G 、F 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．21y x x c 4=-++4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过A (－1,0)、B (0,3)两点，与x 轴交于另一点C ，顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式及点C 、D 的坐标；（2）经过点B 、D 两点的直线与x 轴交于点E ，若点F 是抛物线上一点，以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标；（3）如图2，P （2，3）是抛物线上的点，Q 是直线AP 上方的抛物线上一动点，求△APQ 的最大面积和此时Q 点的坐标．5.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程x 2﹣18x+72=0的两根（OA ＞OC ），BE=5，tan ∠ABO=．（1）求点A ，C 的坐标；（2）若反比例函数y=的图象经过点E ，求k 的值；（3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．43kx6.将抛物线c 1：2y =x 轴翻折，得到抛物线c 2，如图所示．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．7．已知平面直角坐标系xOy （如图），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．8.如图，直线y=x ﹣4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点M 在抛物线上，连接MB ，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M 的坐标；（3）点P 从点C 出发，沿线段CA 由C 向A 运动，同时点Q 从点B 出发，沿线段BC 由B 向C 运动，P 、Q 的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q 点到达C 点时，P 、Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D ，使P 、Q 运动过程中的某一时刻，以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，说明理由．9．已知抛物线2(2)y a x b =-+ (0)ab <的顶点为A ，与x 轴的交点为B ，C （点B 在点C 的左侧）．（1)直接写出抛物线对称轴方程；（2）若抛物线经过原点，且△ABC 为直角三角形，求a ，b 的值；（3）若D 为抛物线对称轴上一点，则以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a ，b 满足的关系式；若不能，说明理由．21y x bx c 3=++10．如图，已知双曲线6yx与直线AB交于A、B两点，与直线CD交于C、D两点．（1）求证四边形ACBD是平行四边形；（2）四边形ACBD可能是矩形吗？可能是正方形吗？（3）如果点A的横坐标为3，点C的横坐标为m(m＞0)，四边形ACBD的面积为S，求S与m的之间的关系式．。

一次函数与三角形存在性问题

一次函数与三角形的存在性问题1．如图，直线y=2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y=﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m（m＞0）相交于点D，若AB=4．（1）求点D的坐标；（2）求出四边形AOCD的面积；（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴交于A、与y轴交于B，点C（a，b），其中a＜b，且a、b是方程x2﹣7x+12=0的两根．（1）求直线AC的解析式；（2）点D为直线AC与y轴的交点，请求出△ABD和△BCD的周长差；（3）点E是线段AC上一动点，是否存在点E，使△COE为直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，34OBOA，点C(x,y)是直线y＝kx＋3上与A、B不重合的动点。

（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C运动到什么位置时，△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

4、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A （0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求A、C两点的坐标；（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，A（18，0），B（12，8），C（0，8），动点P、Q分别从原点O、点B 同时出发，动点P沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1的单位长度的速度向C运动，当点Q到达C点时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒），直线PQ与直线AB交于点D．（1）直接写出线段AB的长为；（2）求直线AB的函数表达式；（3）当t=2时，求直线PQ的表达式以及点D的坐标；（4）直接写出所有t的值，使得此时△ADP是等腰三角形．6．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为多少时，△PQB为直角三角形．。

压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题(四大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(全

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题（四大类型）题型一：二次函数与平行四边形存在性问题例1．（2023•泽州县一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C 两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．题型二：二次函数与矩形存在性问题例2．（2023•歙县校级模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．题型三: 二次函数与菱形存在性问题例3．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1），B （4，﹣1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当√5PD+PE的最大值时，求此时点P的坐标和√5PD+PE的最大值；（3）将抛物线y关于直线x＝3作对称后得新抛物线y'，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．题型四: 二次函数与正方形存在性问题例4．（2023•前郭县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+c与y轴相交于点A（0，2）．（1）求c的值；（2）点B为y轴上一点，其纵坐标为m（m≠2），连接AB，以AB为边向右作正方形ABCD．①设抛物线的顶点为P，当点P在BC上时，求m的值；②当点C在抛物线上时，求m的值；③当抛物线与正方形ABCD有两个交点时，直接写出m的取值范围．一．解答题（共20小题）1．（2023春•兴化市月考）已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣8a（a为常数，且a＞0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）分别求点A、B的坐标；（2）若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式；（3）当a=12时，一次函数y=12x+b的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标．2．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B（﹣4，0），点C（8，0），与y轴交于点A．点D的坐标为（0，4）．（1）求二次函数的解析式及点C的坐标．（2）如图1，点F为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥CD，交CD于点F，求EF+√55DF的最大值及此时点E的坐标．（3）如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．3．（2023•武清区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在点Q，且满足AB平分∠CAQ，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由；（3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．4．（2023春•承德县月考）已知二次函数y=14x2−32x−4与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．发现：点A的坐标为，求出直线BC的解析式；拓展：如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB、PC，当△PBC面积最大时，求出P点的坐标；探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交BC于点E，M是线段BC上一动点（M不与B、C两点重合），连接PM，设M点的横坐标为m（0＜m＜8），当m为何值时，四边形PMED为平行四边形？5．（2023春•梅江区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△AOC绕原点O逆时针旋转90°得到△DOB，其中OA＝1，OC＝3．（1）若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式；（2）在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得P A+PC最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．（3）在（1）条件下，若E为x轴上一个动点，F为抛物线上的一个动点，使得B、C、E、F构成平行四边形时，求E点坐标．6．（2022秋•云州区期末）综合与探究如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过x轴上的点A（6，0）和y轴上的点B，且对称轴为直线x=7 2．（1）求二次函数的解析式．（2）点E位于抛物线第四象限内的图象上，以OE，AE为边作平行四边形OEAF，当平行四边形OEAF 为菱形时，求点F的坐标与菱形OEAF的面积．（3）连接AB，在直线AB上是否存在一点P，使得△AOP与△AOB相似，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．7．（2023春•开福区校级月考）【定义】对于函数图象上的任意一点P（x，y），我们把x+y称为该点的“雅和”，把函数图象上所有点的“雅和”的最小值称为该函数的“礼值”．根据定义回答问题：（1）①点P（9，10）的“雅和”为；（直接写出答案）②一次函数y＝3x+2（﹣1≤x≤3）的“礼值”为；（直接写出答案）（2）二次函数y＝x2﹣bx+c（bc≠0）（3≤x≤5）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“雅和”相等，若此二次函数的“礼值”为1﹣b，求b，c的值；（3）如图所示，二次函数y＝x2﹣px+q的图象顶点在“雅和”为0的一次函数的图象上，四边形OABC 是矩形，点B的坐标为（5，﹣3），点O为坐标原点，点C在x轴上，当二次函数y＝x2﹣px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023春•无锡月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象分别与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点B作BC的垂线交对称轴于点M，以BM、BC为邻边作矩形BMNC．（1）求A、B的坐标；（2）当点N恰好落在函数图象上时，求二次函数的表达式；（3）作点N关于MC的对称点N'，则点N'能否落在函数图象的对称轴上，若能，请求出二次函数的表达式；若不能，请说明理由．9．（2022秋•开福区校级期末）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．（1）①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；②若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB＝1，则BC＝；（2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC，为直径，AP＝2，PC＝8，求另一条对角线BD的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（﹣2，0），C（1，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为6√3，若二次函数y＝ax2+bx+c （a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．10．（2022秋•南关区校级期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．（1）若点P（﹣2，3）在图象G上，求n的值．（2）当n＝﹣1时．①若O（t，1）在图象G上，求t的值．②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为2，最小值为﹣2，直接写出k的取值范围．（3）当以A（﹣2，2），B（﹣2，﹣1），C（1，﹣1），D（1，2）为顶点的矩形ABCD的边与图象G有且只有3个公共点时，直接写出n的取值范围．11．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B （x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=3 4．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式Δ≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−b a，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”．12．（2023春•南关区月考）已知抛物线y=−12x2+bx+c（b、c是常数）的顶点B坐标为（﹣1，2），抛物线的对称轴为直线l，点A为抛物线与x轴的右交点，作直线AB．点P是抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN．（1）b＝，c＝．（2）当点Q在线段AB上（点Q不与A、B重合）时，求PQ的长度d与m的函数关系式，并直接写出d的最大值．（3）当抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P的坐标．13．（2023春•南关区校级月考）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点A （﹣1，0）和点B （3，0）．点P 在抛物线上，且点P 的横坐标为m ．（1）求b 、c 的值；（2）当△P AB 的面积为8时，求m 的值；（3）当点P 在点A 的右侧时，抛物线在点P 与点A 之间的部分（包含端点）记为图象G ，设G 的最高点与最低点的纵坐标之差为h ，求h 与m 之间的函数关系式；（4）点Q 的横坐标为1﹣3m ，纵坐标为m +1，以PQ 为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．14．（2023•九台区校级一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2﹣2ax ﹣a （a 为常数）．（1）若点（2，﹣1）在抛物线上． ①求抛物线的表达式；②当x 为何值时y 随x 的增大而减小？（2）若x ≤2a ，当抛物线的最低点到x 轴的距离恰好是1时，求a 的值；（3）已知A （﹣1，1）、B(−1，2a −12)，连结AB ．当抛物线与线段AB 有交点时，该交点为P （点P 不与A 、B 重合），将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，以PM 、P A 为邻边构造矩形PMQA ．当抛物线在矩形PMQA 内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为32时，直接写出a 的值．15．（2023•靖江市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+32，以PQ、QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时．直接写出m的取值范围．16．（2022秋•临朐县期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C 在x轴的负半轴，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴x＝2，且过点O，A．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；（2）若在线段OA上方的抛物线上有一点P，求△P AO面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）若把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点B．直接写出平移后的抛物线解析式．17．（2023•道外区一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点A （﹣4，0），点C（0，6），与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第一象限抛物线上一点，连接AD，BD，设点D的横坐标为t，△ABD的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点P为第四象限抛物线上一点，连接P A交y轴于点E，点F在线段BC上，点G在直线AD上，若tan∠BAD=12，四边形BEFG为菱形，求点P的坐标．18．（2023春•九龙坡区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴于点C，连接BC，D为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线BC于点G，求PE+PG的最大值，以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y=12x2+bx+c沿射线CB方向平移，平移后的图象经过点H（2，﹣1），点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．19．（2023•安徽一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y =−14x 2+bx +c 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣4，0），点D 的坐标为（0，4）．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）若点F 为该抛物线在第一象限内的一动点，求△FCD 面积的最大值；（3）如图2，将抛物线C 1向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线C 2，M 为抛物线C 2上一动点，N 为平面内一动点，问是否存在这样的点M 、N ，使得四边形DMCN 为菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2023•九台区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点（﹣2，﹣1），点（1，2）．点A 在抛物线上，且点A 的横坐标为m （m ≠0）．以点A 为中心，构造正方形POMN ，PQ ＝2|m |，且PQ ⊥x 轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴右侧．过点B 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，连接BC ．当BC ＝6时，求点B 的坐标；（3）若m ＜0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN 的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为34时，直接写出m 的值．。

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一次函数与四边形综合专题
1.如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1, 0）,
C （0, 1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与对角线AC交于Q点
（I）若点P的坐标为（1,5），求点M的坐标；
（口）若点P的坐标为（1, t）
①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）
②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）
（田）当点P在边AB上移动时，N QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小.并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由.
2.如图，^OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6, 8）, OA=OB,
点P在线段OB上，点Q在y轴的正半轴上，OP=2OQ,过点Q作x轴的平行线分别交OA, AB于点E, F.
(1)求直线AB的解析式；
(2)若四边形POEF是平行四边形，求点P的坐标；
(3)是否存在点P，使^PEF为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
3.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B的坐标分别A (-2・年，0)、B (-2 /3, 2),N CAO=30°.
(1)求对角线AC所在的直线的函数表达式；
(2)把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；
(3)在平面内是否存在点P,使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
4.如图，直线l与坐标轴分别交于A、B两点，N BAO=45°,点A坐标为(8, 0).动点P从点O出发，沿折线段OBA运动，到点A停止；同时动点Q也从点O出
发，沿线段OA运动，到点A停止；它们的运动速度均为每秒1个单位长度. （1）求直线AB的函数关系式；
（2）若点A、B、O与平面内点E组成的图形是平行四边形，请直接写出点E的坐标；
（3）在运动过程中，当P、Q的距离为2时，求点P的坐标.
5.在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A （0, 2）、C （6, 0）作矩形OABC, N AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒■.用个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒.
（1）当点P移动到点D时，t=—秒；
（2）连接点A, C,求直线AC的解析式；
（3）若点M是直线AC上第一象限内一点，是否存在某一时刻，使得四边形OPMQ 为平行四边形？若存在，请直接写出t的值及点M的坐标；若不存在，请说明
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线产卷3/4交y轴于点A,交x轴于点B,以线段AB为边作菱形ABCD （点C、D在第一象限），且点D的纵坐标为9. (1)求点A、点B的坐标；
(2)求直线DC的解析式；
(3)除点C外，在平面直角坐标系xOy中是否还存在点P,使点A、B、D、P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB=3, AD=2, 经过点C的直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点E、F.
(1)求：①点D的坐标；
②经过点D,且与直线FC平行的直线的函数表达式；
(2)直线y=x-2上是否存在点P,使得4PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)在平面直角坐标系内确定点M,使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是
8.已知：如图1,图2,在平面直角坐标系xOy中，A (0, 4), B (0, 2),点C 在x 轴的正半轴上，点D为OC的中点.
(1)求证：BD〃AC；
(2)如果OE1AC于点E, OE=2时，求点C的坐标；
(3)如果OE L AC于点E,当四边形ABDE为平行四边形时，求直线AC的解析
9.如图，已知直线l：y=-/x+b与x轴、y轴分别交于点A, B,直线11：y—x+1与y轴交于点C,设直线1与直线11的交点为E
(1)如图1,若点E的横坐标为2,求点A的坐标;
(2)在(1)的前提下，D (a, 0)为x轴上的一点，过点D作x轴的垂线，分
别交直线l与直线11于点M、N,若以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求a的值； (3)如图2,设直线1与直线12：y=- | x-3的交点为F,问是否存在点B,使
BE=BF,若存在，求出直线1的解析式，若不存在，请说明理由.
10.已知，如图，平面直角坐标系xOy中，线段AB〃y轴，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，AB=10.点P是线段AB上的一动点，当点P在线段AB上从点A向点B开始运动时，点B同时在x轴上从点C(4, 0)向点O运动，点P、点
B运动的速度都是每秒1个单位，设运动的时间为t （0<t<4）.
（1）用含有t的式子表示点P的坐标；
（2）当点P恰好在直线y=3x上时，求线段AP的长；
（3）在（2）的条件下，直角坐标平面内是否存在点D，使以0、P、A、D为顶点的四边形是等腰梯形.如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请简单说明理由.
11.在直角坐标系中，点A的坐标是（3, 0）,点P在第一象限内的直线y= - x+4 上.设点P的坐标为（x, y）.
（1）求4P0A的面积S与自变量x的函数关系式及x的取值范围；
S=1时，求点P 的位置；
(3)在(2)的条件下，若以P 、0、A 、Q 为顶点构成平行四边形，请直接写出
12 .已知函数y=kx +b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A (12, 0)、点B ,与函数 y=x 的图象交于点E ,点E 的横坐标为3,求：
(1)直线AB 的解析式；
(2)在x 轴有一点F (a , 0).过点F 作x 轴的垂线，分别交函数y=kx +b 和函数 y=x 于点C 、D ,若以点B 、0、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求a 的值.
13 .如图1,在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(-4, 4),点B 的坐标为(0, 2).
(1)求直线AB 的解析式；
(2)以点A 为直角顶点作N CAD=90°,射线AC 交x 轴的负半轴于点C ,射线AD 交y 轴的负半轴于点D .当N CAD 绕着点A 旋转时,OC - OD 的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；
(3)如图2,点M (-4, 0)是x 轴上的一个点，点P 是坐标平面内一点.若A 、
B 、M 、P 四点能构成平行四边形，请写出满足条件的所有点 P 的坐标。

(2)当第四个顶点Q 的坐标.
14.如图，已知直线y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,过点C的直线y= - x+b与x轴交于点B.
(1) b的值为—；
(2)若点D的坐标为(0,-1),将4BCD沿直线BC对折后，点D落到第一象限的点E处，求证：四边形ABEC是平行四边形；
(3)在直线BC上是否存在点P,使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
15.如图1,已知直线y=-3x+6与x轴、y轴交于A、B两点，点C在x轴负半
轴上，S
A BOC
=
3S
A BOA
(1)求直线BC的函数表达式；
(2)如图2, 一条直线y=mx经过原点，与直线AB, BC分别交于点E、F,若S
（3）如图
3,将（2）中直线EF 向上平行移动后经过点B ,与x 轴交于点G ,设 H 为线段BG 上一点（含端点），连接AH ，一动点M 从点A 出发，沿线段AH 运动到H ，再沿线段HB 运动到B 后停止，若点M 在AH 上的速度为每秒1个单位，在HB 上的速度为每秒，回个单位，当点H 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？
二S , ，求m 的值;。