一次函数与特殊四边形的存在性问题(培优拓展)
一次函数背景下的图形存在性问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
例题精讲考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题【例1】．如果一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为．【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．（1）求点C的坐标．（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．考点二：一次函数中直角三角形存在性问题【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P 是x轴上的一点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是．【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．（1）关于x、y的方程组的解为．（2）求△ABD的面积；（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．考点三：一次函数中平行四边形存在性问题【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．变式训练【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．考点四：一次函数中矩形存在性问题【例4】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．变式训练【变4-1】．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求点H到x轴的距离；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点五：一次函数中菱形存在性问题【例5】．如图1，直线y＝x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与x轴相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）在直线BC上有两点M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求点M 的坐标；（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．变式训练【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，1），连接OA，点P是x轴上的一动点，如果△OAP是等腰三角形，请你写出符合条件的点P坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为．4．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．5．直线l1交x轴于点A（6，0），交y轴于B（0，6）．（1）如图，折叠△AOB，使BA落在y轴上，折痕所在直线为l2，直线l2与x轴交于C 点，求C点坐标及l2的解析式；（2）在直线l1上找点M，使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的M点的坐标．6．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）．（1）求点A的坐标；（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，6）．（1）求一次函数的解析式；（2）求△BOC的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．（1）求m的值与点B的坐标（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．（3）问在x轴是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，求出点P坐标．（4）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式．9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P（2，a）．（1）求点A、B的坐标；（2）若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；（3）点C在直线AB上，过C作CE⊥x轴于E，交直线OP于D，我们规定若C，D，E 中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“和谐点”，求出C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标．10．如图所示，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．（1）求△AOB的面积；（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且OC＝OB．（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知，一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．（1）求点A，点B的坐标．（2）求点C到直线l的距离．＝S△BCP，求点P的坐标．（3）若S△AOC（4）若点E是直线y＝上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．14．如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）（1）求直线AB的函数的表达式；（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；（3）求△AOC的面积；（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P 的坐标．15．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．（1）直接写出k的值为；（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．16．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C 在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D 处．（1）点A的坐标是，点B的坐标是，AB的长为；（2）求点C的坐标；＝S△OCD，直接写出点M的坐标．（3）点M是y轴上一动点，若S△MAB（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，直角坐标系中，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（3，0），点B（0，﹣4），过D（0，8）作平行x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且AG＝AF．（1）求直线AB的函数表达式．（2）当点E恰好是OD中点时，求△ACG的面积．（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．20．如图直线l：y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．（1）求k的值．（2）若点P是直线l在第二象限内一个动点，当点P运动到什么位置时，△PAC的面积为3，求出此时直线AP的解析式．（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD＝10（1）求点D的坐标和直线l的解析式；（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）22．直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且＝．（1）求点B的坐标和k的值；（2）若点A时第一象限内的直线y＝kx﹣4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．（1）则点B的坐标为，点C的坐标为；（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，4），与直线y＝﹣x﹣1在第四象限相交于点B，连接OB，△AOB的面积为6．（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）已知点M在直线AB右侧，且△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出符合条件的点M的坐标．25．综合与探究：如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2：y＝kx+b（k≠0）交于点C（1，m）与x轴交于点B．（1）求直线l2对应的函数解析式；（2）请直接写出不等式kx+b＜x+3的解集；（3）若点N在平面直角坐标系内，则在直线l1上是否存在点F使以A，B，F，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26．一次函数y＝kx+（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（0，m）两点．（1）求一次函数解析式和m的值；（2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把△ABC分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式；（3）在第二象限是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交点为C（3，4）．（1）求正比例函数与一次函数的关系式．（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．28．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝﹣x+3与坐标轴相交于A，B两点，直线l2：y2＝kx+b（k≠0）与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为2．已知OC＝，点P是直线l2上的动点．（1）求直线l2的函数表达式；（2）过点P作x轴的垂线与直线l1和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标；（3）若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．29．（1）认识模型：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）应用模型：①已知直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（5，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣3上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形ADPQ是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．30．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，点B的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC、BC于点E、D，且点D的坐标是（，6）．（1）求BF的长度；（2）如图2，点P在第二象限，且△PDE≌△CED，求直线PE的解析式；（3）若点M为直线DE上一动点，在x轴上是否存在点N，使以M、N、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
一次函数中的(特殊图形)存在性问题(解析版)八年级数学上册同步考点归类培优题库
专题十五 一次函数中的（特殊图形）存在性问题考点一 直角三角形存在性问题【方法点拨】分类讨论哪个角为直角，一般分三种情况，简称“两垂线+一圆”1．如图1，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（﹣4，4），点B 的坐标为（4，0）．（1）求直线AB 的解析式；（2）点M 是坐标轴上的一个点，若AB 为直角边构造直角三角形△ABM ，请求出满足条件的所有点M 的坐标；（3）如图2，以点A 为直角顶点作∠CAD ＝90°，射线AC 交x 轴的负半轴与点C ，射线AD 交y 轴的负半轴与点D ，当∠CAD 绕点A 旋转时，OC ﹣OD 的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．【思路点拨】（1）由A 、B 两点的坐标利用待定系数法可求得直线AB 的解析式；（2）分别过A 、B 两点作AB 的垂线，与坐标轴的交点即为所求的M 点，再结合相似三角形的性质求得OM 的长即可求得点M 的坐标；（3）过A 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，可证明△AEC ≌△AFD ，可得到EC ＝FD ，从而可把OC ﹣OD 转化为FD ﹣OD ，再利用线段的和差可求得OC ﹣OD ＝OE +OF ＝8；【解析】解：（1）设直线AB 的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0）．∵点A （﹣4，4），点B （0，2）在直线AB 上，∴{−4k +b =4b =2，解得{k =−12b =2， ∴直线AB 的解析式为：y =−12x +2；（2）∵△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形，∴有∠BAM ＝90°或∠ABM ＝90°，①当∠BAM ＝90°时，如图1，过A 作AB 的垂线，交x 轴于点M 1，交y 轴于点M 2，则可知△AEM 1∽△BEA ，∴M 1E AE =AE BE ，由（1）可知OE ＝OB ＝AE ＝4，∴M 1E 4=48，解得M 1E ＝2， ∴OM 1＝2+4＝6，∴M 1（﹣6，0），∵AE ∥y 轴，∴M 1EM 1O =AEOM 2，即26=4OM 2，解得OM 2＝12，∴M 2（0，12）；②当∠ABM ＝90°时，如图2，过B 作AB 的垂线，交y 轴于点M 3，设直线AB交y轴于点E，则由（1）可知E（0，2），∴OE＝2，OB＝4，由题意可知△BOE∽△M3OB，∴OEOB =OBOM3，即24=4OM3，解得OM3＝8，∴M3（0，﹣8），综上可知点M的坐标为（﹣6，0）或（0，12）或（0，﹣8）；（3）不变．理由如下：过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，如图3．则∠AGC＝∠AHD＝90°，又∵∠HOC＝90°，∴∠GAH＝90°，∴∠DAG+∠DAH＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠DAG+∠CAG＝90°，∴∠CAG＝∠DAH．∵A （﹣4，4），∴OG ＝AH ＝AG ＝OH ＝4．在△AGC 和△AHD 中{∠AGC =∠AHD AG =AH ∠CAG =∠DAH∴△AGC ≌△AHD （ASA ），∴GC ＝HD ．∴OC ﹣OD ＝（OG +GC ）﹣（HD ﹣OH ）＝OG +OH ＝8．故OC ﹣OD 的值不发生变化，值为8．【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出M 点的位置是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．2．已知，如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求经过点E 、D 的直线解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ，使得EF ＝2GO ，请求出此时OG 的长度．（3）对于（2）中的点G ，在直线ED 上是否存点P ，使得点P 与点D 、G 构成的△DPG 是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）只要证明△ADE ∽△BCD ，可得AD BC =AE DB ，求出AE 即可解决问题；（2）由△ADE ≌△RDG ，可得AF ＝RG ，设OG ＝m ，则AF ＝GR ＝2﹣m ，构建方程即可解决问题；（3）分两种情形①作GP ⊥BE 于P ，则△PDG 是直角三角形．②作P ′G ⊥DG 交直线DE 于P ′，则△DGP ′是直角三角形．分别根据一次函数利用方程组确定交点坐标即可；【解析】解：（1）如图1中，∵四边形ABCO 是矩形，∴∠OAB ＝∠B ＝90°，∵∠AOD ＝∠DOC ＝45°，∴OA ＝AD ＝2，DB ＝1，∵DE ⊥DC ，∴∠EDC ＝90°，∴∠ADE +∠BDC ＝90°，∵∠BDC +∠BCD ＝90°，∴∠ADE ＝∠DCB ，∴△ADE ∽△BCD ，∴AD BC =AE DB ，∴AE ＝1，∴E （0，1），设直线DE 的解析式为y ＝kx +b ，则有{b =12k +b =2， 解得{k =12b =1∴直线DE 的解析式为y =12x +1（2）如图2中，作DR ⊥OC 于R ．易知△ADE≌△RDG，∴AF＝RG，设OG＝m，则AF＝GR＝2﹣m，∴EF＝1+2﹣m＝3﹣m，∵EF＝2OG，∴3﹣m＝2m，∴m＝1，∴OG＝1．（3）如图3中，①作GP⊥BE于P，则△PDG是直角三角形．∵G（1，0），GP⊥BE，∴直线PG的解析式为y＝﹣2x+2，由{y =12x +1y =−2x +2，解得{x =25y =65， ∴P （25，65）． ②作P ′G ⊥DG 交直线DE 于P ′，则△DGP ′是直角三角形，∵直线DG 的解析式为y ＝2x ﹣2，∴直线GP ′的解析式为y =−12x +12，由{y =−12x +12y =12x +1，解得{x =−12y =34， ∴P ′（−12，34）， 综上所述，满足条件的点P 坐标为（25，65）或（−12，34）． 【点睛】本题考查一次函数综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．考点二 等腰三角形存在性问题【方法点拨】分类讨论哪两条边相等，一般分三种情况，简称“两圆+一中垂线”1．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，已知OA ＝6，OB ＝10．点D 为y 轴上一点，其坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿线段AC ﹣CB 的方向运动，当点P 与点B 重合时停止运动，运动时间为t 秒．（1）当点P 经过点C 时，求直线DP 的函数解析式；（2）①求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP 折叠，点B 的对应点B ′恰好落在AC 边上，求点P 的坐标．（3）点P 在运动过程中是否存在使△BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设直线DP 解析式为y ＝kx +b ，将D 与C 坐标代入求出k 与b 的值，即可确定出解析式；（2）①当P 在AC 段时，三角形ODP 底OD 与高为固定值，求出此时面积；当P 在BC 段时，底边OD 为固定值，表示出高，即可列出S 与t 的关系式；②当点B 的对应点B ′恰好落在AC 边上时，关键勾股定理即可求出此时P 坐标；（3）存在，分别以BD ，DP ，BP 为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P 坐标即可．【解析】解：（1）∵OA ＝6，OB ＝10，四边形OACB 为长方形，∴C （6，10）．设此时直线DP 解析式为y ＝kx +b ，把（0，2），C （6，10）分别代入，得{b =26k +b =10， 解得{k =43b =2则此时直线DP 解析式为y =43x +2；（2）①当点P 在线段AC 上时，OD ＝2，高为6，S ＝6；当点P 在线段BC 上时，OD ＝2，高为6+10﹣2t ＝16﹣2t ，S =12×2×（16﹣2t ）＝﹣2t +16；②设P （m ，10），则PB ＝PB ′＝m ，如图2，∵OB ′＝OB ＝10，OA ＝6，∴AB ′=√OB′2−OA 2=8，∴B ′C ＝10﹣8＝2，∵PC ＝6﹣m ，∴m 2＝22+（6﹣m ）2，解得m =103 则此时点P 的坐标是（103，10）；（3）存在，理由为： 若△BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，①当BD ＝BP 1＝OB ﹣OD ＝10﹣2＝8，在Rt △BCP 1中，BP 1＝8，BC ＝6，根据勾股定理得：CP 1=√82−62=2√7，∴AP 1＝10﹣2√7，即P 1（6，10﹣2√7）；②当BP 2＝DP 2时，此时P 2（6，6）；③当DB ＝DP 3＝8时，在Rt △DEP 3中，DE ＝6，根据勾股定理得：P 3E =√82−62=2√7，∴AP 3＝AE +EP 3＝2√7+2，即P 3（6，2√7+2），综上，满足题意的P 坐标为（6，6）或（6，2√7+2）或（6，10﹣2√7）．【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．2．如图①，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，点A坐标为（14，0），点B在第一象限，∠BAO＝45°，AB＝8√2．D为射线OB上一点，过D作直线l∥y轴交OA于E，交射线AB于G．（1）求B点坐标；（2）当D为线段OB中点时，在直线l上找点P，当△PBD为等腰三角形，请直接写出P点坐标；（3）如图②，F为AO中点，当S△BDF＝2S△BDG时，求D点坐标．【思路点拨】（1）先求出BH＝AH＝8，进而求出OH＝6，即可得出结论；（2）先设出点P坐标，进而表示出DP，BP，BD，再分三种情况讨论建立方程求解即可得出结论；（3）先求出OF，直线OB，AB的解析式，进而设出点D的坐标，表示出S△BDG=12|m﹣14|×|6﹣m|，S△BDF ＝|143m﹣28|，最后用面积关系建立方程求解即可得出结论．【解析】解：（1）如图①，过点B作BH⊥OA于H，∵∠BAO＝45°，AB＝8√2，∴BH＝AH=1√2AB＝8，∵A（14，0），∴OA＝14，∴OH＝OA﹣AH＝6，∴B（6，8）；（2）∵DE ⊥OA ，∴DE ∥BH ，∵点D 是OB 中点，∴DE =12BH ＝4，OE =12OH ＝3，∴D （3，4），设P （3，m ），∵B （6，8），∴DP ＝|m ﹣4|，BD ＝5，BP 2＝（m ﹣8）2+9，∵△PBD 为等腰三角形，∴①DP ＝BD ，∴|m ﹣4|＝5，∴m ＝9或m ＝﹣1，∴P （3，9）或（3，﹣1），②DP ＝BP ，∴（m ﹣4）2＝（m ﹣8）2+9，∴m =578， ∴P （3，578）③BD ＝BP ，∴25＝（m ﹣8）2+9，∴m ＝4（舍）或m ＝12，∴P （3，12），即：满足条件的点P （3，9）或（3，﹣1）或（3，578）或（3，12）；（3）如图由（1）知，B （6，8），∴直线OB 的解析式为y =43x ，∵A （14，0），∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +14，∵点F 是OA 中点，∴OF =12OA ＝7，设点D （m ，43m ），∴G （m ，﹣m +14）， ∴S △BDG =12|﹣m +14−43m |×|6﹣m |=12|m ﹣14|×|6﹣m |， S △BDF ＝|S △BOF ﹣S △DOF |＝|12×7×8−12×7×43m |＝|143m ﹣28|，∵S △BDF ＝2S △BDG ，∴|143m ﹣28|＝212|m ﹣14|×|6﹣m |， ∴m ＝4或m ＝8， ∴D （4，163）或（8，323）．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，分类讨论的思想，解本题的关键是用方程的思想解决问题．考点三 等腰直角三角形存在性问题【方法点拨】分类讨论哪个角为直角且哪两条边相等1．正方形OABC 的边长为1，把它放在如图所示的直角坐标系中，点M （t ，0）是x 轴上一个动点（t ≥1），连接BM ，在BM 的右侧作正方形BMNP ；直线DE 的解析式为y ＝2x +b ，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，当△PDE 为等腰直角三角形时，点P 的坐标是 （2，4）或（2，1） ．【思路点拨】过点P 作PF ⊥BC 交CB 的延长线于点F ，根据同角的余角相等可得∠ABM ＝∠FBP ，然后利用“角角边”证明△ABM 和△FBP 全等，根据全等三角形对应边相等可得BF ＝AB ，PF ＝AM ，然后根据正方形OABC 的边长为2以及点M （t ，0）表示出点P 的坐标，再利用直线DE 的解析式求出点D 、E 的坐标，然后分①DE 是斜边时，利用勾股定理以及两点间的距离公式分别表示出PD 、PE 、DE 的平方，再根据等腰直角三角形的三边关系，②PD 是斜边时，过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，然后利用“角角边”证明△EDO 和△PEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF ＝DO ，PC ＝EO ，然后用b 、t 表示并求解即可得到点P 的坐标．【解析】解：如图，过点P 作PF ⊥BC 交CB 的延长线于点F ，∵四边形OABC 与四边形BMNP 都是正方形，∴∠ABM +∠MBF ＝90°，∠FBP +∠MBF ＝90°，∴∠ABM ＝∠FBP ，在△ABM 和△FBP 中，{∠ABM =∠FBP∠BAM =∠F =90°BM =BP，∴△ABM ≌△FBP （AAS ），∴BF ＝AB ，PF ＝AM ，∵正方形OABC 的边长为1，点M （t ，0），∴BF ＝1，PF ＝t ﹣1，点P 到x 轴的距离为t ﹣1+1＝t ，∴点P 的坐标为（2，t ），又∵当y ＝0时，2x +b ＝0，解得x =−b 2，当x ＝0时，y ＝b ，∴点D （−b 2，0），E （0，b ），①DE 是斜边时，PD 2＝（b 2+2）2+t 2，PE 2＝（b ﹣t ）2+22，DE 2＝（b 2）2+b 2， ∵△PDE 是等腰直角三角形，∴PD 2＝PE 2，且PD 2+PE 2＝DE 2，即（b 2+2）2+t 2＝（b ﹣t ）2+22，且（b 2+2）2+t 2+（b ﹣t ）2+22＝（b 2）2+b 2， 14b 2+2b +4+t 2＝b 2﹣2bt +t 2+4，且14b 2+2b +4+t 2+b 2﹣2bt +t 2+4=14b 2+b 2， 整理得，b =83（t +1）且t 2﹣b （t ﹣1）+4＝0，∴t 2−83（t +1）（t ﹣1）+4＝0，整理得，t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝﹣2（舍去），∴点P 的坐标是（2，2）；②PD 是斜边时，∵△PDE 是等腰直角三角形，∴PE ⊥DE ，且PE ＝DE ，过点P 作PF ⊥y 轴于点F∵∠DEO +∠PEO ＝90°，∠DEO +∠EDO ＝90°，∴∠PEO ＝∠EDO ，在△EDO 和△PEF 中，{∠PEO =∠EDO ∠DOE =∠EFP =90°PE =DE，∴△EDO ≌△PEF （AAS ），∴EF ＝DO =b 2，PC ＝EO ＝b ，又∵点P （2，t ），∴b ＝2，b ﹣t =b 2，解得t=b2=12×2＝1，∴点P坐标为（2，1），此时点C、F重合，点M、A重合，综上所述，点P的坐标为（2，4）或（2，1）．故答案为：（2，2）或（2，1）．【点睛】本题是一次函数的综合题型，主要利用了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直线与坐标轴的交点的求解，勾股定理的应用，综合题但难度不大，要注意分情况讨论．2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足（a+2）2+√b−3=0．（1）求直线l2的解析式；（2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标；（3）已知平行于y轴且位于y轴左侧有一动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点Q的坐标．【思路点拨】（1）由偶次方及被开方数非负，可求出a 、b 的值，进而可得出点A 、B 的坐标，由点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线l 2的解析式；（2）由△AOP 和△AOB 等底及S △AOP ＝S △AOB ，可得出点P 到AO 的距离与点B 到AO 的距离相等，分点P 在l 1的右侧及点P 在l 1的左侧两种情况考虑：①当点P 在l 1的右侧时，设点P 为P 1，则P 1B ∥l 1，根据平行线的性质结合点B 的坐标可得出直线P 1B 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P 1的坐标；②当点P 在l 1的左侧时，设点P 为P 2，设直线y ＝5与直线l 1交于点E ，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E 的坐标，再由点E 为P 1P 2中点，可求出点P 2的坐标；（3）设动直线为x ＝t ，由题可得﹣2＜t ＜0，则点M 的坐标为（t ，﹣t ），点N 的坐标为（t ，12t +3），进而可得出MN 的长度．分∠NMQ ＝90°、∠MNQ ＝90°及∠MQN ＝90°三种情况，利用等腰直角三角形的性质可求出点M 、N 、Q 的坐标，此题得解．【解析】解：（1）∵a 、b 满足（a +2）2+√b −3=0，∴a +2＝0，b ﹣3＝0，∴a ＝﹣2，b ＝3，∴点A 的坐标为（﹣2，2），点B 的坐标为（0，3）．设直线l 2的解析式为y ＝kx +c （k ≠0），将A （﹣2，2）、B （0，3）代入y ＝kx +c ，得：{−2k +c =2c =3，解得：{k =12c =3， ∴直线l 2的解析式为y =12x +3．（2）∵S △AOP ＝S △AOB ，∴点P 到AO 的距离与点B 到AO 的距离相等，且点P 位于l 1两侧（如图1）．①当点P 在l 1的右侧时，设点P 为P 1，则P 1B ∥l 1，∴直线P 1B 的解析式为：y ＝﹣x +3，当y ＝5时，有﹣x +3＝5，解得：x ＝﹣2，∴点P 1的坐标为（﹣2，5）；②当点P 在l 1的左侧时，设点P 为P 2，设直线y ＝5与直线l 1交于点E ，则点E 的坐标为（﹣5，5），∵点E 为P 1P 2中点，∴点P 2的坐标为（﹣8，5）．综上所述：点P 的坐标为（﹣2，5）或（﹣8，5）．（3）设动直线为x ＝t ，由题可得﹣2＜t ＜0，则点M 的坐标为（t ，﹣t ），点N 的坐标为（t ，12t +3）， ∴MN =32t +3（如图2）．①当∠NMQ ＝90°时，有MN ＝MQ ，即32t +3＝﹣t ， 解得：t =−65，∴点M 的坐标为（−65，65）． ∵MQ ∥x 轴，∴点Q 的坐标为（0，65）； ②当∠MNQ ＝90°时，有MN ＝NQ ，即32t +3＝﹣t ， 解得：t =−65，∴点N 的坐标为（−65，125）． ∵NQ ∥x 轴，∴点Q 的坐标为（0，125）；③当∠MQN ＝90°时，点Q 到MN 的距离=12MN ，即﹣t =12×（32t +3），解得：t =−67，∴点M 的坐标为（−67，67），点N 的坐标为（−67，187）．∵△MNQ 为等腰直角三角形，∴点Q 的坐标为（0，127）．综上所述：点Q 的坐标为（0，65）或（0，125）或（0，127）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、偶次方及被开方数的非负性、三角形的面积、一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）分点P 在l 1的右侧及点P 在l 1的左侧两种情况求出点P 的坐标；（3）分∠NMQ ＝90°、∠MNQ ＝90°及∠MQN ＝90°三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出点Q 的坐标．3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y ＝k 1x +2√3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，OA =√3OB ，直线l 2：y ＝k 2x +b 经过点C （1，−√3），与x 轴、y 轴和线段AB 分别交于点E 、F 、D 三点．（1）求直线l 1的解析式；（2）如图①：若EC ＝ED ，求点D 的坐标和△BFD 的面积；（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1中，作CM⊥OA于M，DN⊥CA于N．由△CME≌△DNE（AAS），推出CM＝DN由C（1，−√3），可得CM＝DN=√3，再利用待定系数法即可解决问题；（3）分点P在y轴或x轴两种情形分别求解即可解决问题；【解析】解：（1）∵直线y＝k1x+2√3与y轴B点，∴B（0，2√3），∴OB＝2√3，∵OA=√3OB＝6，∴A（6，0），把A（6，0）代入y＝k1x+2√3得到，k1=−√33，∴直线l1的解析式为y=−√33x+2√3．（2）如图1中，作CM⊥OA于M，DN⊥CA于N．∵∠CME＝∠DNE＝90°，∠MEC＝∠NED，EC＝DE，∴△CME≌△DNE（AAS），∴CM＝DN∵C （1，−√3），∴CM ＝DN =√3，当y =√3时，√3=−√33x +2√3， 解得x ＝3，∴D （3，√3），把C （1，−√3），D （3，√3）代入y ＝k 2x +b ，得到{k 2+b =−√33k 2+b =√3， 解得{k 2=√3b =−2√3， ∴直线CD 的解析式为y =√3x ﹣2√3，∴F （0，﹣2√3），∴S △BFD =12×4√3×3＝6√3．（3）①如图③﹣1中，当PC ＝PD ，∠CPD ＝90°时，作DM ⊥OB 于M ，CN ⊥y 轴于N ．设P （0，m ）．∵∠DMP ＝∠CNP ＝∠CPD ＝90°，∴∠CPN +∠PCN ＝90°，∠CPN +∠DPM ＝90°，∴∠PCN ＝∠DPM ，∵PD ＝PC ，∴△DMP ≌△NPC （AAS ），∴CN ＝PM ＝1，PN ＝DM ＝m +√3，∴D （m +√3，m +1），把D 点坐标代入y =−√33x +2√3，得到：m +1=−√33（m +√3）+2√3，解得m ＝4√3−6，∴P （0，4√3−6）．②如图③﹣2中，当PC＝PC，∠CPD＝90时，作DM⊥OA于M，CN⊥OA于N．设P（n，0）．同法可证：△DMP≌△PNC，∴PM＝CN=√3，DM＝PN＝n﹣1，∴D（n−√3，n﹣1），把D点坐标代入y=−√33x+2√3，得到：n﹣1=−√33（n−√3）+2√3，解得n＝2√3∴P（2√3，0）．综上所述，满足条件的点P坐标为（0，4√3−6）或（2√3，0）【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．4．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a，b满足b=√a2−4+√4−a2+16a+2（1）求直线AB的解析式；（2）第一象限内是否存在一点M，使△ABM是等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2过点A的直线y＝kx﹣2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为﹣1，过点N的直线y=k2x−k2交AP于点M，交x轴于点C，求证：NC＝MC．【思路点拨】（1）由二次根式的被开方数是非负数可以求得a 、b 的值．则易求点A 、B 的坐标．设直线AB 的方程为y ＝kx +b （k ≠0），将其分别代入该解析式列出关于k 、b 的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；（2）需要分类讨论：当AB 为底和当AB 为腰时，分别求得点M 的坐标；（3）将y ＝kx ﹣2k 与y =k 2x −k 2联立求出M 的坐标为（3，k ），由条件可求得N 的坐标为（﹣1，﹣k ），C 的坐标为（1，0），作CG ⊥x 轴于G 点，MH ⊥x 轴于H 点，可证△NGC ≌△MHC ，得NC ＝MC ．【解析】解：（1）依题意，得：{a 2−4≥04−a 2≥0a +2≠0，解得a ＝2；则b ＝4．所以A （2，0），B （0，4），设直线AB 解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A 与B 坐标代入得：{2k +b =0b =4， 解得：{k =−2b =4， 则直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +4；（2）如图1，分三种情况：①如图1，当BM ⊥BA ，且BM ＝BA 时，过M 作MN ⊥y 轴于N ，∵BM ⊥BA ，MN ⊥y 轴，OB ⊥OA ，∴∠MBA ＝∠MNB ＝∠BOA ＝90°，∴∠NBM +∠NMB ＝90°，∠ABO +∠NBM ＝90°，∴∠ABO ＝∠NMB ，在△BMN 和△ABO 中{∠MNB =∠BOA ∠NMB =∠ABO BM =AB，∴△BMN ≌△ABO （AAS ），MN ＝OB ＝4，BN ＝OA ＝2，∴ON ＝2+4＝6，∴M 的坐标为（4，6 ）；②如图2当AM ⊥BA ，且AM ＝BA 时，过M 作MN ⊥x 轴于N ，△BOA ≌△ANM （AAS ），同理求出M 的坐标为（6，2）；③如图4，当AM⊥BM，且AM＝BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN，∴MN＝MH，设M（x，x），由勾股定理得，（x﹣2）2+x2＝（4﹣x）2+x2，解得，x＝3；∴M点的坐标为（3，3）综上所知M点的坐标为（4，6）（6，2）（3，3）；（3）将y＝kx﹣2k与y=k2x−k2联立求出M的坐标为（3，k），由条件可求得N的坐标为（﹣1，﹣k），C的坐标为（1，0），作CG⊥x轴于G点，MH⊥x轴于H点，可证△NGC≌△MHC，得NC＝MC．【点睛】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．。
例讲初中数学一次函数与几何综合问题
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学习指导
２０２３ 年 １２ 月下半月
这些错误都是解题 教 学 的 宝 贵 资 源 ．
教师应指导学困
题能力 ．
生从思想 上 重 视 错 题,并 明 确 错 题 是 宝 贵 的 知 识 财
富;在解题教 学 中,聚 焦 错 题,引 领 学 生 分 析、反 思 错
误产生的原因,并找到正确的解题方法 ．
°,点 P 是
∠AOB 内 的 定 点 且 OP ＝ ３,若 M ,N 分 别 是 射 线
OA ,
OB 上 异 于 点 O 的 动 点,求 △PMN 周 长 的 最
小值 ．
(
１)平行四边形的 存 在 性 口 诀:平 行 四 边 存 在 性,
对边平行且相等,等量关系里面有 ．
常通过平行四 边 形
性质得到对边的位置关系与数量关系 ．
１)
借助表达式设出点的坐标,将 点 的 坐 标 转 化 为 横 平 竖
点O,
B 重合),作 CD 平 行 于y 轴 交 直 线l２ 于 点 D ,
究几何特征,考 虑 线 段 间 关 系,通 过 设 线 段 长 进 而 表
解:(
１)在 y＝－x＋２４ 中,令 x＝０,则 y＝２４,所
以 A(
０,
２４)．
以在解决一次函数与几何 综 合 问 题 时,可 以 从 如 下 解
故 S△ABO ＝
题技巧来破解:数形结 合 记 心 头,大 题 小 做 来 转 化,潜
在条件不能忘,化动为 静 多 画 图,分 类 讨 论 要 严 密,方
程函数是工具,计算 推 理 要 严 谨,创 新 品 质 得 提 高 ．
做
不出,找相似,有 相 似,用 相 似;构 造 定 理 所 需 的 图 形
一次函数三考点十存在性问题
一次函数三考点十存在性问题To be a person, one must have ideals, and to do things with standards. January 21, 2023考点十 ,一次函数与存在性问题1.把函数信息坐标或表达式转化为几何信息；2.分析特殊状态的形成因素,画出符合题意的图形；3.结合图形基本图形和特殊状态下的图形相结合的几何特征建立等式来解决问题．例题10.如图,直线122y x=+与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C的坐标为-3,0,Px,y是直线122y x=+上的一个动点点P不与点A重合．1在P点运动过程中,试写出△OPC的面积S与x的函数关系式；2当P运动到什么位置时,△OPC的面积为278,求出此时点P的坐标；3过P作AB的垂线分别交x轴、y轴于E,F两点,是否存在这样的点P,使△EOF≌△BOA若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．x x变式10.1如图,直线y =x 轴、y 轴分别交于点A ,点B ,已知点P 是坐标平面内的点,由点P ,O ,B 组成了一个含60°角的直角三角形,则这样的P存在_____________个,并且在图中标出来变式10.2如图,直线2y x =+与坐标轴分别交于A ,B 两点,点C 在y 轴上,且12OA AC =,直线CD ⊥AB 于点P ,交x 轴于点D ． 1求点P 的坐标；2坐标系内是否存在点M ,使以点B ,P ,D ,M 为顶点的四边形为平行四边形 若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．例题10． 解：1∵直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点 ∴A -4,0,B 0,2 ∵C -3,0 ∴OC =3 ∵Px ,y 是直线122y x =+上的一个动点 ∴S △OPC =113323224x x ⨯+=+ ∴33443344OPCx x S x x ⎧+>-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩△2当x ＞-4时,由题意得:327+3=48x∴x =12 ∴19(,)24P当x ＜-4时,由题意得：3273=48x --∴x =172-∴179(,)24P --综上可得：19(,)24P或179(,)24P --． 3①如图,△EOF ≌△BOAE -2,0,F 0,-4直线EF 解析式：y =-2x -4联立24122y x y x =--⎧⎪⎨=+⎪⎩得：44x y =⎧⎨=⎩ ∴P 124,55-②如图,△EOF ≌△BOA E 2,0,F 0,4直线EF 解析式：y =-2x +4 联立24122y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩得：44x y =⎧⎨=⎩∴P412,55综上可得：P124,55-或P412,55．1．解：1方法一：由2y x=+知A0,2,B-∴OA=2,OB=∵12 OA AC=∴AC=4,则点C坐标为0,6 ∴可设CD：y=kx+6又直线CD⊥AB∴k-1∴k=∴直线CD：6 y=+联立236y xy⎧=+⎪⎨⎪=+⎩解得：3xy⎧=⎪⎨=⎪⎩∴方法二：由23y x=+知OA=2,OB=且∠ABO=30°∵12OAAC=∴AC=4,则OC=6∵CD⊥AB∴∠BDP=60°∴OD=过P作PE⊥x轴于点E设DE=m在Rt△PDE中,∠PDE=60°∴PE在Rt△PBE中,∠PBE=30°∴BE=3mDE+BE=BD,即m+3m=∴m则OE=∴2存在；满足题意的点M如图所示:∵B-D,3∴13)M,23)M,3(3)M。
中考数学“特殊四边形的存在性问题”题型解析
中考数学“特殊四边形的存在性问题”题型解析由抛物线上的点构成特殊四边形的问题，需要根据特殊四边形的性质与判定去确定点的坐标，然后求解 . 具体而言，解该类题时，我们要根据题目中的条件，科学地进行分类，然后画出图形，再根据这个四边形的性质或判定求出这点的坐标，若这一点是根据特殊四边形的特性得到的坐标，我们还应将这一点代入到抛物线的解析式中去验证是否是抛物线上的点 .本节主要来讨论下特殊四边形：平行四边形、菱形、矩形的存在性问题 .类型一：平行四边形问题【例题1】如图，抛物线y = 1/2 x^2 + bx + c 经过点A（-1,0）和点B（3,0），同时交y 轴于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，且以A , B , Q , P 为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点P 的坐标 .【分析】（1）根据抛物线经过A , B 两点即可求得b , c 的值，可解题；（2）以A , B , Q , P 为顶点的四边形是平行四边形，则点P 横坐标为4 或- 4，将x = 4 或- 4 代入抛物线解析式即可求得y 的值，即可解题 .【解析】（1）把A（-1,0），B（3,0）代入y = 1/2 x^2 + bx + c 中，∴抛物线的解析式是y = 1/2 x^2 - x - 3/2 .（2）①当AB 为边时，只要PQ∥AB 且PQ = AB = 4 即可 .又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4 或- 4 ，这时符合条件的点P 有两个，分别记为P1 , P2，把x = 4 代入y = 1/2 x^2 - x - 3/2 ,得y = 5/2 ,把x = - 4 代入y = 1/2 x^2 - x - 3/2 ,得y = 21/2 ,此时P1（4 , 5/2），P2（- 4 , 21/2）；②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可 .又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1，∴点P 的横坐标为2，这时符合条件的P 只有一个记为P3 ,而且当x = 2 时，y = - 3/2 ,此时P3（2，- 3/2），综上，满足条件的P 为P1（4 , 5/2），P2（- 4 , 21/2），P3（2，-3/2）.类型二：菱形问题【例题2】如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y = -x + b 与坐标轴交于C，D 两点，直线AB 与坐标轴交于A , B 两点，线段OA , OC 的长是方程x^2 - 3x + 2 = 0 的两个根（OA > OC）.（1）求点A , C 的坐标；（2）直线AB 与直线CD 交于点E，若点E 是线段AB 的中点，反比例函数y = k/x （k ≠0 ）的图象的一个分支经过点E，求k 的值；（3）在（2）的条件下，点M 在直线CD 上，坐标平面内是否存在点N，使以点B , E , M , N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0 即可得出OA , OC 的值，再根据点所在的位置即可得出A , C 的坐标；（2）根据点C 的坐标利用待定系数法即可求出直线CD 的解析式，根据点A , B 的横坐标结合点E 为线段AB 的中点即可得出点E 的横坐标，将其代入直线CD 的解析式中即可求出点E 的坐标，再利用待定系数法即可求出k 的值；（3）假设存在，设点M 的坐标为（m , - m + 1）, 分别以BE 为边、BE 为对角线来考虑 .根据菱形的性质找出关于m 的方程，解方程即可得出点M 的坐标，再结合点B , E 的坐标即可得出点N 的坐标 .【解析】（1）x^2 - 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）= 0 ,∴x1 = 1 , x2 = 2 ,∵OA > OC ,∴OA = 2 , OC = 1 ,∴A（-2,0），C（1,0）；（2）将C（1,0）代入y = - x + b 中，得0 = - 1 + b , 解得b = 1 ,∴直线CD 的解析式为y = - x + 1 .∵点E 为线段AB 的中点，A（-2,0），B 的横坐标为0 ，∴点E 的横坐标为- 1 .∵点E 为直线CD 上一点，∴E（-1,2）.将点E（-1,2）代入y = k/x （k ≠0 ）中，得2 = k / -1 , 解得k = -2 ;（3）假设存在，设点M 的坐标为（m , - m + 1）,以点B , E , M , N 为顶点的四边形是菱形分两种情况（如上图所示）类型三：矩形问题【例题3】【解题策略】这三道例题分别呈现了运动变化过程中的平行四边形、菱形、矩形的存在性问题，三道例题的思路都是要依据特殊四边形的性质构图并建立方程求点的坐标 .特别地，由于菱形任意三个顶点组成的三角形都是等腰三角形，因此可将菱形问题转化为等腰三角形的存在性问题；而矩形问题则可转化为直角三角形的问题，要注意体会相关知识之间的联系 .。
一次函数与四边形存在性问题
一次函数与四边形存在性【学习目标】1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题；2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系．平行四边形问题:（注意点的顺序）1.给三点，先连接三点构成三角形；然后以每边为对角线构造平行四边形；以中点公式或者平移法求点坐标。
2.给两点，分为边和对角线讨论，充分利用平行四边形对边平行且相等，对角线平分两个全等三角形来做。
1.在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为．（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为．（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．2.已知点A、B、C、D可以构成平行四边形，且点A（－1，0），点B（0，3），点C（3，0），则第四个顶点D的坐标为_________________________；xy BCA O举一反三：1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，以线段AB 为边作菱形ABCD （点C 、D 在第一象限），且点D 的纵坐标为9． （1）求点A 、点B 的坐标； （2）求直线DC 的解析式；（3）除点C 外，在平面直角坐标系xOy 中是否还存在点P ，使点A 、B 、D 、P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，函数122+=x y 的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点． （1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标．3. 如图10，直线102+-=x y 与x 轴交于点A ，又B 是该直线上一点，满足OA OB =， （1）求点B 的坐标；（2）若C 是直线上另外一点，满足AB=BC ，且四边形OBCD 是平行四边形，试画出符合要求的大致图形，并求出点D 的坐标.4.已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD ，且AD ∥BC ，AB=CD ，点A 在y 轴正半轴上，点B 、C 在x 轴上（点B 在点C 的左侧），点D 在第一象限，AD=3，BC=11，梯形的高为2，双曲线y=经过点D ，直线y=kx +b 经过A 、B 两点．O BA x yD（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）求双曲线y=和直线y=kx+b的解析式；（3）点M在双曲线上，点N在y轴上，如果四边形ABMN是平行四边形，求点N的坐标．5.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（0，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2，点M（﹣4，0）是x轴上的一个点，点P是坐标平面内一点．若A、B、M、P四点能构成平行四边形，请写出满足条件的所有点P的坐标（不要解题过程）．菱形问题:（注意点的顺序）一般给两点，一动点在某直线上，另一点在平面直角坐标系中。
一次函数与梯形存在性问题
一次函数与梯形存在性问题引言在数学中，一次函数和梯形是基础概念，它们在解决实际问题中具有重要意义。
然而，有时会出现一次函数和梯形存在性问题，即是否存在满足特定条件的一次函数或梯形。
本文将探讨一次函数和梯形的存在性问题，并给出相应的解答。
一次函数的存在性问题一次函数是指具有形式为 $y = ax + b$ 的函数，其中 $a$ 和$b$ 是给定的实数。
在一般情况下，一次函数总是存在的，因为我们可以随意选择 $a$ 和 $b$ 的值来构造一条直线。
但是，在某些特殊情况下，一次函数可能不存在。
1. 平行于 $x$ 轴的直线：如果 $a = 0$，则一次函数变为 $y =b$，即一条水平直线。
在这种情况下，只有当$b$ 是给定的实数时，该直线才存在。
2. 平行于 $y$ 轴的直线：如果 $a$ 是无穷大或无穷小的实数，则一次函数将垂直于 $x$ 轴，即平行于 $y$ 轴。
由于这条直线的斜率不存在，因此在数学意义上并不是一次函数。
3. 平行于 $y = x$ 的线的直线：如果 $a = 1$，则一次函数变为$y = x + b$。
在这种情况下，只有当 $b$ 是给定的实数时，该直线才存在。
因此，一次函数的存在性取决于 $a$ 和 $b$ 的取值范围，以及直线是否与坐标轴平行或垂直。
梯形的存在性问题梯形是由一对平行边和两对相等的对角线组成的四边形。
在某些情况下，给定一些条件，我们需要确定是否存在满足这些条件的梯形。
1. 边长和角度：对于给定的边长和角度条件，存在满足这些条件的梯形。
例如，如果已知梯形的底边长度和两条斜边的长度，以及中间角的大小，我们可以通过几何方法确定是否存在这样的梯形。
2. 平行边长度：如果要求梯形的两条平行边的长度相等，那么我们只需要构造两条相等的线段作为平行边，即可构造出满足条件的梯形。
3. 对角线长度：如果要求梯形的两条对角线的长度相等，那么我们只需要构造两条相等的线段作为对角线，并且这两条线段必须交于一个点，从而构造出满足条件的梯形。
中考复习函数专题10 一次函数中的四边形问题(老师版)
专题10 一次函数中的四边形问题知识对接考点一、怎样解一次函数中的四边形问题1、四边形面积常转化为若干个三角形面积之和（或差）．2、画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。
3、规则图形（公式法）； 不规则图形（切割法）不含参数问题 ；含参数问题（用参数表示点坐标，转化成线段）注意：坐标的正负、线段的非负性。
求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。
专项训练一、单选题1．如图在平面直角坐标系中，直线y kx k =+与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，将线段AB 沿某个方向平移，点A 、B 对应的点M 、N 恰好在直线22y x =-和直线2x =上，则当四边形AMNB 为菱形时N 点坐标为（ ）A ．()2,1B ．()2,2C ．()2,3D ．()2,4【答案】A 【分析】求出A (0，k )和B (-1，0)，B 的对应点N 的横坐标为2，由此知道往右平移了3个单位，得到A 的对应点M 的横坐标为3，将M 点横坐标代入22y x =-中即可求出M 坐标，进而求解． 【详解】解：令y kx k =+中y =0，得到B (-1，0)，令x =0，得到A (0，k )， ∵B 的对应点N 在2x =上，∵N 点横坐标为2，故AB 往右平移了3个单位， ∵M 点横坐标为3，将x =3代入22y x =-中， 解得y =4，故M 点的坐标为(3，4)， 又四边形AMNB 为菱形， ∵AB ²=AM ²，∵1+k ²=3²+(4-k )²，解得k =3， ∵A (0,3)，即AB 往右平移3个单位，往上平移了1个单位， 故N 坐标为(2，1)， 故选：A ． 【点睛】本题考查了一次函数的平移、菱形的性质等知识点，属于基础题，计算过程中细心即可． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，//AB x 轴，点B 的坐标为()4,1，60BAD ∠=︒，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形ABCD 的两边分别交于点M ，N （点N 在点M 的上方），连接OM ，ON ，若OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（06t ≤≤），则S 与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】当直线l 从A 开始运动，MN 逐渐增大，到经过点MN 达到最大值，此时AM =2,故运动时间为2，此时02t ≤≤; 当直线l 从D 开始运动，MN 保持不变，到经过点B ，此时AB =4，故运动时间为2,此时2<4t ≤;当直线l 从经过B 的位置向右开始运动，MN 开始减小，到经过点C ，MN 为0，此时BG =2，故运动时间为2，此时4<6t ≤三种情形，确定面积S 与t 的函数关系式，根据关系式确定图像即可． 【详解】解：由题意知AB =AD =CD =BC =4， ∵∵BAD =60°，∵当直线l 经过点D 时，运动时间为2， ∵C 的横坐标为6， 如图1，当02t ≤≤时，//l y 轴,AMN OMN S S S ∆∆∴== ,60,AM t BAD ︒=∠=,MN ∴=21;2S t ∴=⨯=图像是经过原点，开口向_上的- -段抛物线; 如图2，当2<4t ≤时，MN 是定长，4,60,AD BAD ︒=∠=MN ∴=1;2S t =⨯⨯∴图像是经过原点，正比例函数上的一段；2y x =的比例系数2 ∵面积线段的倾斜度要比2y x =的陡； 如图3，当4<6t ≤时，4,60,BC CBG ︒=∠=2,C G G B ∴==(4,1),(6,1),C B ∴41,61k b k b +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩解得1k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∵直线的解析式为1y =+-∵N 坐标为(,1),t M 坐标为(1t +-11MN ∴=-+-=+1(2S t ∴=⨯⨯+;=图像是开口向下的一段抛物线; 故选：C ． 【点睛】本题主要考查对动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图象，正比例函数的图象，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形11112222333,,OA B C A A B C A A B C ，…都是菱形，点123,,A A A …都在x 轴上，点123,,C C C ，…都在直线y x =11212323160,1C OA C A A C A A OA ∠=∠=∠==︒=，则点n C 的横坐标是（ ）A ．2321n -⨯-B ．2321n -⨯+C ．1321n -⨯-D ．1321n -⨯+【答案】A 【分析】分别过点123,,,...C C C 作x 轴的垂线，交于123,,,...D D D ，再连接112233,,,...C D C D C D，利用勾股定理及根据菱形的边长求得1A 、2A 、3A ⋯的坐标然后分别表示出1C 、2C 、3C ⋯的坐标找出规律进而求得n C 的坐标． 【详解】。
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一次函数与特殊四边形的存在性问题
（培优专题）
1．（2015春•通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2015春•北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B．
（1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）
（2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
3．（2010秋•吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD 边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点．
（1）试说明CE平分∠BED；
（2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l 的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2012春•雨花区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动．
（1）当OA=时，求点C的坐标．
（2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积．
（3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2012春•石狮市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣分别
与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），四边形ABCD是正方形．
（1）填空：b=；
（2）求点D的坐标；
（3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．
8．（2014秋•朝阳区期末）如图，四边形ABCD为矩形，点D与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（8，12），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，点E，F分别在AD，AB上，且F 点的坐标是（5，12）．
（1）求点G的坐标；
（2）求直线EF的解析式；
（3）坐标系内是否存在点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2014•伊春模拟）如图，矩形OABC在坐标系中，OA＞OC，矩形面积为12，对角线AC的长为5．
（1）求A，C的坐标；
（2）若D为AC中点，过D的直线交y轴负半轴于E，交BC于F，且OE=1，求直线EF的解析式；
（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在一点G，使以C，D，F，G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2011春•张家港市期末）如图，OB是矩形OABC的对角线，点B的坐标为（3，6）．D、E分别是OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，过D、E的直线交x轴于点F．
（1）点E的坐标为；
（2）求直线DE的解析式；
（3）若点M是线段DF上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使得以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2007秋•成都期末）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A（，0）、B（，2），∠CAO=30°．（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；
（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D 处，求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2014•金华模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别
交x轴、y轴于A、B两点．点C（2，0）、D（8，0），以CD为一边在x轴上方作矩形CDEF，且CF：CD=1：3．设矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为S．
（1）求点E、F的坐标；
（2）求s与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）若把点O关于直线l的对称点记为点G，在直线l上下平移的过程中，平面上是否存在这样的点P，使得以A、P、E、G为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（2，3）．
（1）求出直线AB的解析式；
（2）点P是直线AB上的一个动点，在平面直角坐标系内，是否存在另一个点Q，使得以A，O，P，Q为顶点的四边形是菱形（AP为其中一个边）？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+12与x轴、y轴交于A、B 两点，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．
（1）点C的坐标为；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以为O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。