四边形培优综合题

特殊的平行四边形

教学目标：菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容．

教学内容：（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形菱形：有一组邻边相等的平行四边形。正方形：有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形。

（注：矩形、菱形、正方形的定义既是性质又是判定）

（2）矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形

菱形性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质

（3）矩形的判定：有三个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形

正方形的判定：先判定是矩形，再判定是菱形；或者先判定是菱形，再判定是矩形

（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；菱形的面积等于对角线乘积的一半

教学重点：让学生在多种题目中区分每种特殊四边形的考点，学到解题的关键所在，会应用。教学过程：

一、例题赏析

例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF 与GH互相垂直平分吗？

分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可．

解：∵FH`∥GE，FG∥EH，

∴四边形FGEH为平行四边形，由题意知：

△GEF≌△HFE．

∴FG=FH，EG=EH．

∴四边形GEHF为菱形．

∴EF、GH互相垂直平分．

例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，•如图，若折痕EF 长为6，求另一边长．

分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD 中，已知AD=5，过对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD于F，BC于E，若EF=6，求

AB的长的问题．

解：设AB=x，BE=y，连结AE．则AE=CE=5-y．

在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+y2=（5-y）2．

得y=

2

25

10

x

-

，AE=5-y=

2

25

10

x

+

．

又在Rt△AOE中，AO=1

2

AC=

2

25

2

x

+

，EO=

1

2

EF=

6

2

．

代入AE 2=AO 2+OE 2得，

（22510x +）2=（2252x +）2+（62）2． 即x 4+25x 2-150=0．解之得，x 2=5，x 2=-30（舍去）

∴x=5．

例3 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM ⊥EF ，•垂足为M ，AM=AB ，则有EF=BE+DF ，为什么？

分析要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可．

理由：连结AE 、AF ．

由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用，

∴△ABE ≌△AME ．

∴BE=ME ．

同理可得，△ADF ≌△AMF ．

∴DF=MF ．

∴EF=ME+MF=BE+DF ．

例4 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠C=30°，求AD ：BC 的值． 分析 添加辅助线，使等腰梯形ABCD•的问题转化为平行四边形和等腰三角形的问题． 解：过D 作DF ∥AB 交BC 于F ，过D 作DE ⊥BC 于E ，则四边形ABFD 为平行四边形． 设AD=a ，则AD=BF=a ．

∵BD 平分∠ABC ，

∴AD=AB=DF=DC=a ．

在Rt △DEC 中，∠C=30°，

∵DE=2a ，EC=32a ． 又∵EC=DF=32

a ， ∴BC=BF+EF+EC=a+

32a+32a=（1+3）a ． ∴AD ：BC=a ：（1+3）a=（3-1）：2

例5 如图，在矩形ABCD 中，已知AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE•⊥BD ，PE ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，求PE+PF 的长．

分析 连结PO ，则PE 、PF 可分别看作是OD 、OA 边上的高，而OA=OD ，故只需求出△AOP 、△DOP 的面积即可．

解：连结OP ．

由矩形ABCD ，AD=12，AB=5．

∴AC=BD=2OA=2OB=13．

∴OA=OD=6．5．

而S 矩形=12×5=60．

∴S△AOD=1

4

×60=15．

∴S△AOP +S△DOP =15．

即1

2

×OA×PF+

1

2

×OD×PE=15．

∴1

2

×6.5×（PE+PF）=15．

∴PE+PF=60 13

．

总结：

二、对应例题练习

练习1

1．如图1，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，•∠BAE=18°，则∠CEF=________．

(1) (2) (3)

2．如图2，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________．

3．如图3，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC•恰是一个菱形，•则∠EAB=________．

练习2

1．如图4，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，•设折痕为EF，试确定重叠部分的△AEF的面积是__________．

(4) (5)

2．如图5所示，把一张长方形的纸条ABCD沿对角线BD将△BCD折成△BDF，DF•交AB于E，若已知AE=2cm，∠BDC=30°，求纸条的长和宽各是________．

练习3

1．如图6，点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形，•其边长分别为3cm和5cm，则△CDE的面积为________c m2．