四边形培优综合题
第四章：平行四边形培优训练试题
第四章：平行四边形培优训练试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )2.平行四边形一边的长是12cm ，则这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ） A ．4cm 或6cmB ．6cm 或10cmC ．12cm 或12cmD ．12cm 或14cm3.如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（ ） A ．AE CF =B ．DE BF =C ．ADE CBF ∠=∠D ．ABE CDF ∠=∠4．若用反证法证明：若0a b >>，则a b >，需假设（ ）A ．a b <B ．a b >C ．a b ≤D ．a b ≥5．如图，在平行四边形ABCD 中，M 是CD 的中点，2AB BC =，BM a =，AM b =，则CD 的长为（ ） A ．2+ab B ．2b a +C ．abD ．22a b + 6.如图，在平行四边形ABCD 中，已知，，，过BC 的中点E 作，垂足为F ，与DC 的延长线相交于点H ，则的面积是（ ） A .38B .312C .314D .3187.一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为，则这个内角的度数为( ) A. 0120 B.0130 C. 0135D.01508．如图，在平行四边形ABCD 中，延长CD 到E ，使DE ＝CD ，连接BE 交AD 于点F ，交AC 于点G ．下列结论，①DE ＝DF ；②AG ＝GF ：③AF ＝DF ：④BG ＝GC ；⑤BF ＝EF ，其中正确的有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．49.如图，四边形ABCD 中．，，BD 为的平分线，，，F 分别是BD ，AC 的中点，则EF 的长为（ ）A. 1 B .5.1 C. 2 D . 5.210．如图,已知在▱ABCD 中,分别以AB ,AD 为边分别向外作等边三角形ABE 和等边三角形ADF ,延长CB 交AE 于点G ,点G 在点A ,E 之间,连接CE ,CF ,EF ,则下列结论不一定正确的是（ ） A ．△CDF ≌△EBCB ．∠CDF =∠EAFC ．△ECF 是等边三角形D ．CG ⊥AE二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11．一个多边形的内角和等于1800°，则该多边形的边数n 等于12．在平面直角坐标系中，若▱ABCD 的三个顶点坐标分别是A （m ，﹣n ）、B （2，3）、C （﹣m ，n ），则点D 的坐标是13．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中________ 14.在ABCD 中，BE AD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，若60EBF ︒∠=，且3AE =，2DF =，则EC =_______15．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB ＝45°，BD ＝2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B ′，则DB ′的长为________ 16．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =6，BC =16，E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．当运动时间________秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17（本题6分）如图，在ABCD 中，ABC ∠和BCD ∠的角平分线BE 与CE 相交于点E ，且点E恰好落在AD 上；（1）求证：222BE CE BC += ；（2）若2AB =，求ABCD 的周长．18（本题8分）．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若AC 与BD 交于点O ，求证：AO ＝CO ．19（本题8分）如图，在ABCD 中，过点B 作BM AC ⊥，交AC 于点E ，交CD 于点M ，过点D 作DN AC ⊥，交AC 于点F ，交AB 于点N ．（1）求证：四边形BMDN 是平行四边形；（2）已知125AF EM ==，，求AN 的长．20（本题10分）已知如图，四边形ABCD 为平行四边形，AD=a ，AC 为对角线，BM ∥AC ，过点D 作 DE ∥CM ，交AC 的延长线于F ，交BM 的延长线于E ．（1）求证：△ADF ≌△BCM ；（2）若AC=2CF ，∠ADC=60°，AC ⊥DC ，求四边形ABED 的面积（用含a 的代数式表示）．21.(本题10分)在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 边上的点，连接BE ． （1）如图1，若BE 平分∠ABC ，BC ＝8，ED ＝3，求平行四边形ABCD 的周长；（2）如图2，点F 是平行四边形外一点，FB ＝C D ．连接BF 、CF ，CF 与BE 相交于点G ，若∠FBE +∠ABC＝180°，点G 是CF 的中点，求证：2BG +ED ＝B C ．22（本题12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（0，8），点B 的坐标是（6，0），点C 为AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿AO 方向以每秒1个单位的速度向终点O 运动，同时动点Q 从点O 出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB 方向运动；当点P 到达点O 时，点Q 也停止运动．以CP ，CQ 为邻边构造▱CPDQ ，设点P 运动的时间为t 秒． （1）点C 的坐标为 ，直线AB 的解析式为 ． （2）当点Q 运动至点B 时，连结CD ，求证：//CD AP ．（3）如图2，连结OC ，当点D 恰好落在△OBC 的边所在的直线上时，求所有满足要求的t 的值．23．（本题12分）如图所示，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，5cm OA =，E ，F 为直线BD 上的两个动点（点E ，F 始终在ABCD 的外面），且11,22DE OD BF OB ==，连结AE ，CE ，CF ，AF ．（1）求证：四边形AFCE 为平行四边形．（2）若11,33DE OD BF OB ==，上述结论还成立吗？若11,DE OD BF OB n n==呢？ （3）若CA 平分BCD ∠，60AEC ∠=，求四边形AECF 的周长．第四章：平行四边形培优训练试题答案三．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.答案：A解析：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既不是轴对称图形，也又是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．2.答案：D解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=12AC，OB=12BD，A、∵AC=4cm，BD=6cm，∴OA=2cm，OB=3cm，∴OA+OB=5cm＜12cm，不能组成三角形，故不符合；B、∵AC=6cm，BD=10cm，∴OA=3cm，OB=5cm，∴OA+OB=8cm＜12cm，不能组成三角形，故不符合；C、∵AC=12cm，BD=12cm，∴OA=6cm，OB=6cm，∴OA+OB=12cm=12cm，不能组成三角形，故不符合；D、∵AC=12cm，BD=14cm，∴OA=6cm，OB=7cm，∴OA+OB=13cm＞12cm，能组成三角形，故符合；故选D．3.答案：B解析：A 、∵AE CF =， ∴AO=CO ，由于四边形ABCD 是平行四边形，则BO=DO ， ∴四边形DEBF 是平行四边形；B 、不能证明四边形DEBF 是平行四边形；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，∠DAE=∠BCF ，又∠ADE=∠CBF ， ∴△DAE ≌△BCF （ASA ），∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形； D 、同C 可证：△ABE ≌△CDF （ASA ）， ∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形； 故选：B ．4.答案：C解析：反证法证明“若a ＞b ＞0a b >a b ≤，故选：C ．5.答案：D解析：∵M 为CD 中点， ∴CM=DM=12CD=12AB=BC=AD ， ∴∠DAM=∠DMA ，∠CBM=∠CMB ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠C+∠D=180°，∴∠C=2∠DMA ，∠D=2∠CMB ， ∴∠DMA+∠CMB=12（∠C+∠D ）=90°， ∴∠AMB=180°-（∠DMA+∠CMB ）=90°即△MAB为直角三角形，∵BM=a，AM=b，∴CD=AB=2222MA MB a b+=+，故选：D．6.答案：A解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴8==BCAD,CDAB//,6==CDAB，∵E为BC中点，∴4==CEBE，∵060=∠B,ABEF⊥，∴030=∠FEB，∴2=BF，由勾股定理得：32=EF，∵CDAB//，∴ECHB∠=∠，在BFE∆和CHE∆中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CEHBEFCEBEECHB∴△BFE≌△CHE(SAS)，∴32==EHEF，2==BFCH，∵31621=⨯=∆FHDHSDHF，∴3821==∆∆DHFDEFSS．故选A．7.答案：B解析；设这是一个n边形，这个内角的度数为x度．∵()x n +=⨯-025701802，∴()0293018025701802-=-⨯-=n n x ，∵01800<<x ，∴00018029301800<-<n ，解得：2.172.16<<n ，又n 为正整数， ∴17=n ，所以多边形的内角和为()02700180217=⨯-，即这个内角的度数是00013025702700=-． 故选B ．8.答案：B解析：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，即AB ∥CE ， ∴∠ABF ＝∠E ， ∵DE ＝CD ， ∴AB ＝DE ，在△ABF 和△DEF 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DE AB DFE AFB E ABF ， ∴△ABF ≌△DEF （AAS ）， ∴AF ＝DF ，BF ＝EF ； 可得③⑤正确， 故选：B ．9.答案：A解析：∵BC AC ⊥， ∴090=∠ACB ，∵4,3==AC BC ， ∴5=AB ， ∵BC AD //，∴DBC ADB ∠=∠，∵BD 为ABC ∠的平分线， ∴CBD ABD ∠=∠， ∴ADB ABD ∠=∠， ∴5==AD AB ，连接BF 并延长交AD 于G ， ∵BC AD //∴BCA GAC ∠=∠， ∵F 是AC 的中点， ∴CF AF =，∵CFB AFG ∠=∠， ∴△AFG ≌△CFB(ASA)， ∴3,===BC AG FG BF ， ∴235=-=DG ， ∵E 是BD 的中点， ∴121==DG EF ． 故选：A ．10．答案：D解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADC=∠ABC ，AD=BC ，CD=AB ， ∵△ABE 、△ADF 都是等边三角形， ∴AD=DF ，AB=EB ，∠ADF=∠ABE=60°， ∴DF=BC ，CD=BE ，∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC ，∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC ， ∴∠CDF=∠EBC ，∴△CDF ≌△EBC （SAS ），故A 中结论正确； （2）∵在平行四边形ABCD 中，∠DAB=180°-∠ADC ，∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC ， 又∵∠CDF=300°-∠ADC ， ∴∠CDF=∠EAF ，故B 中结论正确；（3）∵在△CDF和△EAF中，DF=AF，∠CDF=∠EAF，DC=AB=AE，∴△CDF≌△EAF，∴EF=CF，∵△CDF≌△EBC，∴CE=CF，∴EF=CE=CF，∴△ECF是等边三角形，故C正确；（4）∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE=60°，∴当CG⊥AE时，∠ABG=30°，则此时∠ABC=180°-∠ABG=150°，∵由题中条件无法确定∠ABC的度数，∴D中结论不一定成立.故选D.四．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.答案：12解析：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，所以（n﹣2）×180°＝1800°，解得n＝12．则该多边形的边数n等于12．故答案为：12．12.答案：（﹣2，﹣3）解析：∵A（m，﹣n），C（﹣m，n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关于原点对称，∵B（2，3），∴点D的坐标是（﹣2，﹣3）．故答案为（﹣2，﹣3）13.答案：三角形中每一个内角都小于60°解析: 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都小于60°．故答案为：三角形中每一个内角都小于60°14.解析：∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BFD=∠BED=∠BFC=∠BEA=90°，∵∠EBF=60°，∴∠D=120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCD=∠A=60°，∵在△ABE中，∠ABE=30°，∴AB=2AE=2×3=6，∴CD=AB=6，=∴CF=CD-DF=6-2=4，∵在△BFC中，∠CBF=30°，∴BC=2CF=2×4=8，∴=15.答案：2解析：连结BB′.根据已知条件和折叠的性质易知△BB′E是等腰直角三角形且∠BEB′＝90°.∵BD＝2，所以BE＝1，∴BB′＝2.又∵BE＝DE，B′E⊥BD，∴B ′E 是BD 的中垂线， ∴DB ′＝BB ′＝216.答案：2或143解析：由已知梯形，当Q 运动到E 和B 之间，设运动时间为t ，则得：162t 2-=6-t ， 解得：t=143， 当Q 运动到E 和C 之间，设运动时间为t ，则得：162-2t=6-t ， 解得：t=2， 故当运动时间t 为2或143秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为2或143三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17解析：()1BE CE 、分别平分ABC ∠和BCD ∠12EBC ABC ∴∠=∠，12ECB BCD ∠=∠ ABCD//AB CD ∴180ABC BCD ∴∠+∠=90EBC ECB ∴∠+∠=︒90BEC ∴∠=222BE CE BC ∴+=()2ABCD//,2AD BC CD AB ∴==EBC AEB ∴∠=∠BE 平分ABC ∠EBC ABE ∴∠=∠ AEB ABE ∴∠=∠AB AE =∴同理可证DE DC =122DE AE AD ===∴ ()24212ABCDC∴=⨯+=18.解析：（1）∵BF=DE ， ∴BF EF DE EF -=-， 即BE=DF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠AEB=∠CFD=90°， 在Rt △ABE 与Rt △CDF 中，AB CDBE DF =⎧⎨=⎩, ∴Rt ABE Rt CDF ∆∆≌（HL ）； （2）如图，连接AC 交BD 于O ， ∵Rt ABE Rt CDF ∆∆≌， ∴ABE CDF ∠=∠， ∴//D AB C ，∵=D AB C ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO CO =．19.解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CDAB ．∵BM AC DN AC ⊥⊥，， ∴DNBM ，∴四边形BMDN 是平行四边形．（2）∵四边形ABCD ，BMDN 都是平行四边形，∴AB CDDM BN CD AB ==，，∥， ∴CM AN MCE NAF =∠=∠，． 又∵90CEM AFN ∠=∠=︒， ∴()CEM AFN AAS ≌， ∴5FN EM ==． 在Rt AFN 中，222212513AN AF FN =+=+=．20.解析：（1）在平行四边形ABCD 中，则AD ＝BC ，AD//BC ， ∵AC ∥BM ，∴∠AFD ＝∠E ，∠DAF=∠ACB ， ∵CM ∥DE ，∴∠BMC ＝∠E ， ∴∠BMC ＝∠AFD ， ∵AC ∥BM ， ∴∠ACB=∠MBC ， ∴∠FAD ＝∠MBC ， 则在△ADF 与△BCM 中．BMC AFD FAD MBC AD BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△BCM （AAS ）． （2）解：在△ACD 中， ∵AC ⊥CD ，∠ADC ＝60°， ∴CD ＝12AD ＝12a ， 则AC， ∵AC=2CF ， ∴， ∴AF ＝AC CF -=24a a -=4a ， 又由△ADF ≌△BCM ，可得BM＝4a ， 又∵DE ∥CM ，BM ∥AC ， ∴CFEM 为平行四边形， ∴， ∴， 又∵AC ⊥DC ， ∴DC 为△ADF 高， 又∵△ADF ≌△BCM ， ∴△ADF 的高的长度等于DC ， S ABED ＝S △ADF ＋S ABEF ＝12•AF •CD ＋12（AF ＋BE ）•CD ＝12×4a ×12 a ＋12（4aa ）×12a＝53a2．21.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝8﹣3＝5，∴AB＝5，∴平行四边形ABCD的周长＝2AB+2BC＝2×5+2×8＝26；（2）连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，如图2所示：则∠FBG＝∠CKG，∵点G是CF的中点，∴FG＝CG，在△FBG和△CKG中，∵FBG CKGBGF KGCFG CG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBG≌△CKG（AAS），∴BG＝KG，CK＝BF＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，∵∠FBE+∠ABC＝180°，∴∠FBE+∠D＝180°，∴∠CKB+∠D＝180°，∴∠EKC＝∠D，∵∠BAE+∠D＝180°，∴∠CKB＝∠BAE，在△AEB和△KBC中，∵BAE CKBAEB KBCAB CK∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB≌△KBC（AAS），∴BC＝EB，∴∠KEC＝∠BCE，∴∠KEC＝∠DEC，在△KEC和△DEC中，∵KEC DECEKC DCK CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△KEC≌△DEC（AAS），∴KE＝ED，∵BE＝BG+KG+KE＝2BG+ED，∴2BG+ED＝BC．22.解析：（1）∵点A的坐标是（0，8），点B的坐标是（6，0），点C为AB的中点，∴点C（3，4），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，由题意可得：8068bk=⎧⎨=+⎩，解得：438kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为：y＝﹣43x+8；故答案为：（3，4），y＝﹣43x+8；（2）如图1，连接CD，∵四边形CBDP是平行四边形，∴CB//PD，BC＝PD，∵点C为AB的中点，∴AC＝BC，∴PD＝AC，∴四边形ACDP是平行四边形，∴CD//AP；（3）如图2，过点D作DF⊥AO于F，过点C作CE⊥BO于E，∵四边形PCQD是平行四边形，∴CQ＝PD，PD//CQ，∴∠QCP+∠DPC＝180°，∵AO//CE，∴∠OPC+∠PCE＝180°，∴∠FPD＝∠ECQ，又∵∠PFD＝∠CEQ＝90°，∴△PDF≌△CQE（AAS），∴DF＝EQ，PF＝CE，∵点C（3，4），点P（0，8﹣t），点Q（2t，0），∴CE＝PF＝4，EQ＝DF＝2t﹣3，∴FO＝8﹣t﹣4＝4﹣t，∴点D（2t﹣3，4﹣t），当点D落在直线OB上时，则4﹣t＝0，即t＝4，当点D落在直线OC上时，∵点C（3，4），∴直线OC解析式为：y＝43x，∴4﹣t＝43（2t﹣3），∴t＝24 11，当点D落在AB上时，∵四边形PCQD是平行四边形，∴CD与PQ互相平分，∴线段PQ的中点（t，82t-）在CD上，∴82t-＝﹣43t+8，∴t＝245；综上所述：t＝4或2411或245．23.解析：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =．12DE OD =，12BF OB =，DE BF ∴=，OE OF ∴=，∴四边形AFCE 为平行四边形．（2）13DE OD =，13BF OB =，DE BF ∴=，OE OF ∴=，∴四边形AFCE 为平行四边形． ∴上述结论成立，由此可得出结论：若1DE OD n =，1BF OB n =，则四边形AFCE 为平行四边形．（3）在ABCD 中，//AD BC ，DAC BCA ∴∠=∠． CA 平分BCD ∠，BCA DCA ∴∠=∠， DCA DAC ∴∠=∠， AD CD ∴=． OA OC =， OE AC ∴⊥，OE ∴是AC 的垂直平分线， AE CE ∴=．60AEC ∠=︒，ACE ∴∆是等边三角形，210AE CE AC OA cm ∴====，()()22101040AECF C AE CE cm ∴=+=⨯+=四边形．。
特殊的四边形培优
特殊的四边形培优1.如图，已知在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且AE=BE，则∠EDF=______度．1.如图，四边形ABCD是正方形，△BDE是等边三角形，EF⊥DF,则∠BEF=________3.如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE 的长为_______FB CA DE4. 如图，在菱形ABCD 中，AB=4a ，E 在BC 上，BE=2a ，∠BAD=120°，P 点在BD 上，则PE+PC 的最小值为（ ）5.如图,矩形AEFG 与矩形APQK 的周长都等于120cm,求△ABC 的周长6.如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，DC 边的中点，AN 与MC 交于P 点，若∠MCB=∠NBC+33°，那么∠MPA 的大小是（ ）1. 边长为25cm 的正方形纸片,AD 上有一点P ,且AP=66cm,将这纸片折叠使B 落在P 上,则折痕的长是________2. 已知直角三角形ABCD 中,∠C=90°,AC=3,BC=5,以AB 为边向外作正方形ABEF 求此正方形KGP E BC中心O到C点的距离OC的长________3.如图,已知在矩形ABCD中,E为CB延长线上一点,CE=AC,F是AE的中点.（1）求证BF⊥DF（2）若AB=8,AD=6,求DF的长10.如图，已知三角形ABC中，AB=AC,点M为BC 的中点，MG⊥BA于G,MD⊥AC于D,GF⊥AC于点E，GF与DF相交于点F,（1）求证：四边形HGMD是菱形（2）若∠GMD=120°，求证：从M点向所对的HG 和HD边引出的两条垂线MK和MQ分别平分这两条线段.E FQKDG11．如图,将一矩形的每一内角三等分,连接靠近同一边上的两三等分线所交成4交点组成四边形EFGH,试判断四边形EFGH形状12.在正方形ABCD中,AK和AN是∠A内的两射线,BK⊥AK,BL⊥AN,DM⊥AK,DN⊥AN,试求KL=MN1.在锐角△ABC中,BE是高,CF是中线,若∠ACF=30°则BE:CF=________2.如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，G是AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ：BE=______．3.如图，△ABC中，∠BAC=120°,以AB,AC为边分别向形外作正三角形ABD和正三角形ACE,M为AD中点,N为AE中点,P为BC中点,求∠MPN的度数.4.凸五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,∠CAD=30°,∠BAE=70°,F是CD中点,且FB=FE,则∠BAC=_________.5.已知：如图所示，在△ABC中，D、G分别为AB、AC上的点，且BD=CG，M、N分别是BG、CD的中点，过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：AP=AQ。
【数学】数学平行四边形的专项培优练习题(含答案)含答案
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB=DM是解题的关键．
5．（感知）如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE=DG．
（拓展）如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．
4．如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE＝AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，进而求证△AFM≌△EFB，得AM=BE，FB=FM，即可求得BC+BE=AD+AM，进而求得BD=BM，根据等腰三角形三线合一的性质即可求证BF⊥DF．
在Rt△APE中，（4-BE）2+x2=BE2．
解得BE=2+ ，
∴CF=BE-EM=2+ -x，
∴BE+CF= -x+4= （x-2）2+3．
当x=2时，BE+CF取最小值，
∴AP=2．
考点：几何变换综合题．
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
∴BM=ME，BM⊥EM．
故答案为BM=ME，BM⊥EM．
(2)ME＝ MB．
证明如下：连接CM，如解图所示．
∵DC⊥AC，M是边AD的中点，
∴MC＝MA＝MD．
∵BA＝BC，
∴BM垂直平分AC．
∵∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠MBE＝ ∠ABC＝60°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∠DCE＝60°.
四边形专项训练题(培优)
四边形专项训练题（培优）一．选择题（共10小题）1．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（）A．1B．C．D．2．如图，在▱ABCD中，一定正确的是（）A．AD＝CD B．AC＝BD C．AB＝CD D．CD＝BC3．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（）A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形4．如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（）A．5B．4C．3D．25．如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F 的坐标为（2，3），则图象最低点E的坐标为（）A．（，2）B．（，）C．（，）D．（，2）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，与AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则的值为（）A．B．C．D．7．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF 的边长为（）A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm8．如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（）A．AE＝AF B．∠EAF＝∠CBF C．∠F＝∠EAF D．∠C＝∠E9．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）A．B．C．D．10．如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形二．填空题（共10小题）11．四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝．12．正十二边形的一个内角的度数为．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接P A，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为．14．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点．添加下列条件中的一个：①BM＝EN；②∠F AN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能使四边形AMDN是平行四边形的是（填上所有符合要求的条件的序号）．15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB 中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为．16．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是．17．七边形一共有条对角线．18．小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是．（填一种即可）19．如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝∠CAD．请你添加一个条件，使AB＝CD．（填一种情况即可）20．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED 是菱形，这个条件可以是．（写出一个即可）三．解答题（共8小题）21．同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为（n﹣2）•180°”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE的内角和为540°．22．如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：AF＝CE．23．小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC ⊥BD ，OB ＝OD ．求证：四边形ABCD 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．小惠：证明：∵AC ⊥BD ，OB ＝OD ，∴AC 垂直平分BD ．∴AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形．小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．24．如图，已知五边形ABCDE 是正五边形，连接AC 、AD ．证明：∠ACD ＝∠ADC ．25．如图，四边形ABCD 为菱形，E 为对角线AC 上的一个动点（不与点A ，C 重合），连接DE 并延长交射线AB 于点F ，连接BE ．（1）求证：△DCE ≌△BCE ；（2）求证：∠AFD ＝∠EBC ．26．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．27．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．28．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）当AD＝5，tan∠EDC＝时，求FG的长．。
鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合培优练习题(附答案)
鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合培优练习题（附答案）一．选择题（共5小题）1．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36°B．42°C．45°D．48°2．如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（）A．B．C．D．3．把六张大小形状完全相同的小平行四边形卡片（如图）放在一个底面为平行四边形的盒子底部，两种放置方法如图2、图3所示，其中3中的重叠部分是平行四边形EFGH，若EH＝2GH，且图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3．则AB﹣AD的值为（）A．0.5B．1C．1.5D．34．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有（）个．A．10B．12C．14D．255．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点M是AC边的中点，点N是BC边上的任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．7．如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE ＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．9．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．10．如图，顺次连结△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连结△CEF 三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连结△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3．设△ABC的面积为S，则S1+S2+S3＝．11．请你分别从下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把十边形分成个三角形．12．一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为，α＝度．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，则S△BEG＝．14．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线AC、BD相交于点E，E为BD中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC＝30°，则DC＝．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线BD，AC相交于点O，有以下四个结论：①OA＝OC；②△ABC≌△BCD；③△ABO与△CDO面积相等；④此梯形的对称轴只有一条．请你把正确结论的序号填写在横线上：．三．解答题（共8小题）16．李明同学要证明命题“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，他已经画出了图形，写出已知和求证，并请你帮助他写出证明过程．已知：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC证明：17．叙述三角形的中位线定理，并结合图形进行证明．定理：证明：18．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．（1）求证：DM＝（AC﹣AB）；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE＝CF，M、N分别为AF、BE的中点．求证：AE＝MN．20．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．若多边形是一个五边形，则可以分成个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形，……；则n边形可以分割成个三角形．（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为．（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各顶点连接起来，则可将n边形分割成个三角形．21．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C 和∠D的度数．22．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE．（1）如图1，点F是BE上一点，连接CF，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的长；（2）如图2，若BC＝EC，延长BE交CD延长线于点G，以CG为斜边作等腰直角△CHG，连接HE，求证：HE＝HG．23．证明定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：参考答案:一．选择题（共5小题）1．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36°B．42°C．45°D．48°【解答】解：如图，梅花扇的内角的度数是：360°÷3＝120°，180°﹣120°＝60°，正五边形的每一个内角＝（5﹣2）•180°÷5＝108°，∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：108°﹣60°＝48°．故选：D．2．如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH∥EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，∴S△DFH＝S3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，DE＝3，BC＝7，∴＝，∵S△ABC＝14，∴S1＝×14，∴S△BDH：S＝（×4）：3＝2：3，∴S△BDH＝S，∴+S＝14﹣×14，∴S＝．故选：D．3．把六张大小形状完全相同的小平行四边形卡片（如图）放在一个底面为平行四边形的盒子底部，两种放置方法如图2、图3所示，其中3中的重叠部分是平行四边形EFGH，若EH＝2GH，且图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3．则AB﹣AD的值为（）A．0.5B．1C．1.5D．3【解答】解：设AB＝a，BC＝b，图1中的平行四边形的边长是x、y（y＞x），GH＝c，则EH＝2c，∵图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3，∴（2b+2a）﹣[2（b﹣2c）+2（a﹣c）]＝3，解得：c＝0.5，即GH＝0.5，EH＝1，所以AB﹣AD＝（y﹣+3x）﹣（3x﹣1+y）＝0.5，故选：A．4．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有（）个．A．10B．12C．14D．25【解答】解：一顶点在BC上，两顶点在MG上的有四边形CEOQ、CEIM、CEGI、AGIB、AOQB、AMIF、AFOQ、ABMI、AFGI共9个，一顶点在BC上，两顶点在PH上的有四边形AHVC、AVNC、APZE、AZNE、AEVN、ACZN 共6个，还有四边形AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVR′N、AOKN，共10个，9+6+10＝25个，故选：D．5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：⑤可以判断四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形，故选：D．二．填空题（共10小题）6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点M是AC边的中点，点N是BC边上的任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为或．【解答】解：取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，由题意可知：MC＝MC′＝4，MH＝5，HC′＝1，HN＝3﹣x，在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，∴（3﹣x）2＝x2+12，解得x＝．如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，在Rt△GMC′中，MG＝CH＝3，MC＝MC′＝4，∴GC′＝，∵∠NHC'＝∠C'GM＝90°，∠NC'M＝90°，∴∠HNC'+∠HC'N＝∠GC'M+∠HC'N＝90°，∴∠HNC'＝∠CGC'M，∴△HNC′∽△GC′M，∴＝，∴＝，∴x＝．如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM ＝2．∴C'M＞GM，此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意．综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为：或．7．如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE ＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为．【解答】解：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH 于J．∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∵BN＝CN，∠DNB＝∠KNC，∵△DNB≌△HNC（ASA），∴BD＝CH，DN＝NH，∵BD＝EC＝2，∴EC＝CH＝2，∵∠A+∠ACH＝180°，∠A＝60°，∴∠ECH＝120°，∵CJ⊥EH，∴EJ＝JH＝EC•cos30°＝，∴EH＝2EJ＝2，∵DM＝ME，DN＝NH，∴MN＝EH＝．故答案为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为或．【解答】解：取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，由题意可知：MC＝MC′＝2，MH＝，HC′＝，HN＝﹣x，在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，∴（﹣x）2＝x2+（）2，解得x＝．如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，在Rt△GMC′中，MG＝CH＝，MC＝MC′＝2，∴GC′＝，∵△HNC′∽△GC′M，∴＝，∴＝，∴x＝．如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM ＝2．此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意舍弃．综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为为或．9．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为 1.5．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG＝AC＝7，GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝10﹣7＝3．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1.5．故答案是：1.5．10．如图，顺次连结△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连结△CEF 三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连结△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3．设△ABC的面积为S，则S1+S2+S3＝S．【解答】解：∵D，E，F是△ABC三边的中点，∴DF∥BC，DE∥AC，EF∥AB，∴△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CEF∽△CBA且相似比为，∴＝＝＝，∵△ABC的面积为S，∴S△ADF＝S△BDE＝S△CEF＝S，∴S1＝S﹣S△ADF﹣S△BDE﹣S△CEF＝S﹣S﹣S﹣S＝S．同理可得，S2＝S△CEF＝×S＝S，S3＝S△CGH＝××S＝S，∴S1+S2+S3＝S+S+S＝S．故答案为：S．11．请你分别从下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把十边形分成8个三角形．【解答】解：∵四边形可分割成4﹣2＝2个三角形；五边形可分割成5﹣2＝3个三角形；六边形可分割成6﹣2＝4个三角形；七边形可分割成7﹣2＝5个三角形∴10边形可分割成10﹣2＝8个三角形．12．一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为六，α＝120度．【解答】解：∵840÷180＝4…120，∴这个多边形的边数为：4+2＝6，α＝120°，故答案为：六；120．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，则S△BEG＝14．【解答】解：如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD 的延长线于M．∵BC＝2AB，BH＝CH，∠ABC＝60°，∴BA＝BH＝CH，∴△ABH是等边三角形，∴HA＝HB＝HC，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∵EC⊥BC，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠ACE＝60°，∠ECM＝30°，∵BC＝2AB＝8，∴CD＝4，CN＝EN＝2，∴EC＝4，EM＝2，∴S△BEG＝S△BCE+S ECG﹣S△BCG＝×8×4+2×2﹣S平行四边形ABCD＝16+2﹣4＝14．故答案为4．14．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线AC、BD相交于点E，E为BD中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC＝30°，则DC＝．【解答】解：如图，在EA上取一点K，使得EK＝CE，连接DK，BK，延长DK交AB 于H．∵DE＝EB，CE＝EK，∴四边形BCDK是平行四边形，∴CD＝BK，DK∥BC，∵BC⊥AB，∴DH⊥AB，∵DA＝DB，∴AH＝HB＝1，∴KA＝KB＝CD，在Rt△AKH中，AK＝AH÷cos30°＝，∴CD＝，故答案为．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线BD，AC相交于点O，有以下四个结论：①OA＝OC；②△ABC≌△BCD；③△ABO与△CDO面积相等；④此梯形的对称轴只有一条．请你把正确结论的序号填写在横线上：②③④．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AB＝CD∴AC＝DB∵BC＝BC，AC＝DB，AB＝DC∴△ABC≌△BCD∴∠BAC＝∠CDB∵∠AOB＝∠DOC，AB＝DC∴△ABO≌△CDO∴OA＝OD≠OC∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD∴由等腰梯形的性质得出其对称轴只有一条所以①不正确，②③④正确．三．解答题（共8小题）16．李明同学要证明命题“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，他已经画出了图形，写出已知和求证，并请你帮助他写出证明过程．已知：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC证明：【解答】证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，∵E是AC中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴AD＝CF，∠ADE＝∠F∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥CB，DE＝BC．17．叙述三角形的中位线定理，并结合图形进行证明．定理：证明：【解答】解：定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，求证：EF＝AB，EF∥AB，证明：如图，延长EF到D，使FD＝EF，连接CD，∵点F是AC的中点，∴AF＝CF，在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AE＝CD，∠D＝∠AEF，∴AB∥CD，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴BE＝CD，∴BECD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝BC，∴DE∥BC且DE＝BC．18．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．（1）求证：DM＝（AC﹣AB）；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．【解答】解：（1）证明：延长BD交AC于E，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADE＝90°，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠EAD，在△BAD和△EAD中，，∴△BAD≌△EAD（SAS），∴AB＝AE，BD＝DE，∵M为BC的中点，∴DM＝CE＝（AC﹣AB）；（2）∵在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AD＝6，BD＝8，∴由勾股定理得：AE＝AB＝＝10，∵DM＝2，DM＝CE，∴CE＝4，∴AC＝10+4＝14．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE＝CF，M、N分别为AF、BE的中点．求证：AE＝MN．【解答】证明：如图，取AB的中点G，连接MG、NG，∵M、N分别为AF、BE的中点，∴NG＝AE，NG∥AE，MG＝BF，MG∥BF，∵CE＝CF，∠C＝90°，∴AE＝BF，∠MGN＝∠C＝90°，∴MG＝NG，∴△MNG是等腰直角三角形，∴NG＝MN，∴AE＝2NG＝NG＝×2MN＝MN，即AE＝MN．20．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．若多边形是一个五边形，则可以分成3个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成4个三角形，……；则n边形可以分割成（n﹣2）个三角形．（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为2018．（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各顶点连接起来，则可将n边形分割成（n﹣1）个三角形．【解答】解：（1）从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个五边形分成5﹣2＝3个三角形．若是一个六边形，可以分割成6﹣2＝4个三角形，n边形可以分割成（n﹣2）个三角形．故答案为：3，4，（n﹣2）；（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为：2016+2＝2018；故答案为：2018；（3）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成（n﹣1）个三角形．故答案为：（n﹣1）．21．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C和∠D的度数．【解答】解：连接AC．∵AF∥CD，∴∠ACD＝180°﹣∠CAF，又∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝180°﹣∠CAF+180°﹣∠B﹣∠BAC＝360°﹣120°﹣80°＝160°．连接BD．∵AB∥DE，∴∠BDE＝180°﹣∠ABD．又∵∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD，∴∠CDE＝∠BDC+∠BDE＝180°﹣∠ABD+180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝360°﹣80°﹣160°＝120°．22．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE．（1）如图1，点F是BE上一点，连接CF，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的长；（2）如图2，若BC＝EC，延长BE交CD延长线于点G，以CG为斜边作等腰直角△CHG，连接HE，求证：HE＝HG．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，CE⊥BC，∴CE⊥AD，又∵∠ECD＝30°，∴Rt△CDE中，DE＝CD＝1，∴CE＝＝＝，又∵在Rt△BCE中，BC＝4，∴BE＝＝＝，∴EF＝BE﹣BF＝﹣4；（2）如图2所示，过C作CM⊥CG，交GH的延长线于M，连接EM，∵△CGH是等腰直角三角形，∠MCG＝90°，∴∠CGH＝∠CMG＝45°，∴CG＝CM，∵∠BCE＝90°，∠MCG＝90°，∴∠BCG＝∠ECM，又∵BC＝EC，∴△BCG≌△ECM（SAS），∴∠CEM＝∠CBG＝45°，又∵∠BEC＝45°，∴∠MEG＝90°，又∵CM＝CG，CH平分∠MCG，∴H是MG的中点，∴Rt△MEG中，EH＝MG＝HG．23．证明定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：【解答】证明：连接AC，如图所示：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），∴∠3＝∠4，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．。
平行四边形培优
平行四边形性质培优一：角的题型。
1、在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可能是（）A．1：2：3：4B．2：3：2：3C．2：2：1：1D．2：3：3：22．▱ABCD中，∠B＝5∠A，则∠C的度数为3．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是4．在▱ABCD中，∠A﹣∠B＝40°，则∠C的度数为5．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为二：周长题型。
1．如图，平行四边形ABCD的周长为8，△AOB的周长比△BOC的周长多2，求：AB边的长。
2．在▱ABCD中，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若▱ABCD的周长为22cm，则△CDE的周长为3、如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为4．如图，EF过▱ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若▱ABCD的周长为10，OE＝1，线则四边形EFCD的周长为5、如图所示,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,∠EAF=45∘,且AE+AF=32求平行四边形ABCD的周长。
6、如图所示，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为12，△FCB的周长为22，则FC的长为_________.三:面积题型。
1、如图，□ABCD的两条对角线相交于点O，E，F分别是边CD，BC的中点，图中与△BCE面积相等的三角形（不包括△BCE）共有_______个.2,如图，E是□ABCD中AB边上的任意一点，连接CE、DE，DE与对角线AC 相交于点F，则下列结论中不正确的是（）A.S△ADE=S△BCEB.S△ACD=S△ABCB..S△CDE=S△ABC D.S△CDE=S△ADE+S△BCE3、如图,四边形ABCD、BEFD、EGHD均为平行四边形,其中C.F两点分别在EF、GH上。
2020年中考数学专题培优平行四边形综合运用培优
2020中考数学 平行四边形综合运用培优一、单选题（共有9道小题）1.如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＞90°，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上，将△CDE 沿DE 折叠，使得点C 恰好落在BA 的延长线上的点F 处，连结AD ，则下列结论不一定正确的是( )A ．AE ＝EFB ．AB ＝2DEC ．△ADF 和△ADE 的面积相等D ．△ADE 和△FDE 的面积相等2.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A ．20B ．24C ．40D ．483.矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（ ）cm ． A.12 B.10 C.7.5 D.54.下列命题的逆命题不正确的是（ ）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．两直线平行，内错角相等C ．等腰三角形的两个底角相等D ．对顶角相等5.如图，下列哪个条件能使□ABCD 成为菱形的（ ）①AC ⊥BD ②AB ∥CD ③AB=BC ④AB=CDA. ①③B.②③C.③④D.①②③ 6.如果三角形的两边长分别是方程28150x x -+=的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）A ．5.5B ．5C ．4.5D ．47.在数学课上，某学习小组采取了一下方法判断一个四边形是不是矩形，正确的是（ ） A ．测量对角线是否互相平分BF CADEOABCDA BCDB ．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角线是否互相垂直D ．测量其中三个角是否都为直角8.如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点(不含边界)，设1＝PADθ∠，2＝PBA θ∠，3＝PCB θ∠，4＝PDC θ∠，若∠APB ＝80°，∠CPD ＝50°，则( )A ．1423()()30＋－＋＝θθθθ︒B ．2413()()40＋－＋＝θθθθ︒C ．1234()()70＋－＋＝θθθθ︒D ．1234()()180＋＋＋＝θθθθ︒9.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A ．当AB=BC 时，它是菱形B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=90°时，它是矩形D ．当AC=BD 时，它是正方形二、填空题（共有7道小题）10.折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C 落在线段AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上，若AB ＝AD ＋2，EH ＝1，则AD ＝ ．11.如图，E 是矩形ABCD 中BC沿AE 折叠到△AEF ，F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交DC 于G 点，若∠AEB=550, 则∠DAF=12.四边形ABCD 是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm ，则∠ABD 的度数为_____，•∠DAB 的度数为______；对角线BD=_______，AC=_______；菱形ABCD 的面积为_____OD B A13.菱形的两条对角线分别是方程214480x x -+=的两实根，则菱形的面积为 14.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=8cm ，BD=6cm ，DH 垂直AB 于点H ，则DH= 。
第十八章四边形综合测试题-学而思培优
第十八章综合测试题（满分100分，时间90分钟）一 、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）下列图形中，周长不是32的图形是( )．2．菱形和矩形一定都具有的性质是( )．A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线互相平分且相等3．如下图所示，一正方形的纸片经三次折叠后，用剪子剪掉虚线部分，则展开后的图形是( )．4．如右图所示，四边形ABCD 中，F E BC AD 、,>分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于H 、G ，则( )．BGE AHE A ∠>∠. BGE AHE B ∠=∠. BGE AHE C ∠<∠.BGE AHE D ∠∠与.的大小关系不确定5．如右图所示，0为平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，EF 经过点0，且与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，若,DE BF =则图中的全等三角形最多有( )． A ．8对 B ．6对 C ．5对 D ．4对6．将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如下图所示）．如果,2:1:=MC DM 则=⋅EM DM DE ::（ ）25:24:7.A 5:3:4.B 13:12:5.C 17:15:8.D7．时钟的表面为圆形，在它的圆周上有12个用于表示整点的等分点．以这些等分点为顶点的矩形共有( )．A.6个 B ．12个 C.15个 D ．18个8．如右图所示，已知四边形ABCD 是正方形，点E 在BC 上，且,41BC CE =点F 是CD 的中点，延长AF 与BC 的延长线交于点M ．以下结论：;CM AB =①+=AB AE ②④③四边形;41;ABCF AEF S s CE =∆090=∠AFE 其中正确的结论的个数有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如右图所示，已知△ABC 的面积为1，连接△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，第2013个三角形的面积为( )20111.A 2021.B 201141.c 201241.D10.已知正方形纸片的边长为18，若将它按下图所示方法折成一个正方体纸盒，则纸盒的边（棱）长是( )．6.A 23.B 29.C 32.D二、填空题{本火题共10小题，每小题2分，共20分）11.如下左图所示，在菱形ABCD 中，点E 是AB 上的一点，连接DE 交AC 于点O ，连接BO ，且,50oAED =∠则=∠CBO 度．12.如下中图所示，四边形ABCD 中，AD BE BC AB CDA ABC ⊥==∠=∠,,90于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则=BE13.如下右图所示，用边长为1的正方形材料制作的七巧板拼成一幅土家摆手舞图案，其中舞者头部占整个身体面积的14.如下左图所示，AB∥CD，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若,3,5==CD AB 则EF 的长是15．如下中图所示，在梯形ABCD 中，C B BC AD ∠∠与,//互余，,13,5==BC AD M 、N 分别为AD 、BC的中点，则MN 的长为16.平行四边形两邻边的长分别为16和20，两条长边间的距离为8，则两一条短边间的距离为 ．17.如下右图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，点E 是BC 的中点，点F 是AC 上的一个动点．若四边形AECD 是菱形，△ABE 的周长为6cm ，则BF+EF 的最小值是 cm.18.如右图所示，有位农场主有一大片田地，其形状恰好是一个平行四边形，并且在对角线BD 上有一口水井E.农场主临死前留下遗嘱，把两块三角形的田地（即图7中阴影部分）给小儿子，剩下的全部给大儿子，至于水井E ，正好两儿子共用，由于平行四边形两边长不同，所以遗嘱公布之后，亲友们七嘴八 舌，议论纷纷，认为这个分配不公平，那么你认为 ．（填“公平”或“不公平”）理由是19.如下左图所示，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，点G 、H 在DC 边上，且.31DC GH = 若,16,15==BC AB 则图中阴影部分面是20.如下右图所示，在△ABC 中，CE 、CF 分别平分,//,//,CE AF CF AE ACD ACB ∠∠和直线EF 分别交AB 、AC 于点M 、N.若,,,c AB b AC a BC ===且,b c a >>则ME 的长为三、解答题（2l 题5分，22-24题每题7分，25～27题每题8分）21.如下图所示，在DABCD 中，两条对角线相交于点0，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，以图中的任意四点（即点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、0中的任意四点）为顶点画两种不同的平行四边形．22.有一块形状如下图所示的玻璃，AE∥BC，不小心把DEF 部分打碎，现在只测得70BC ,30==cm AB,150,60, =∠=∠C B cm 请根据测得的数据求出AD 的长．23.如下图所示，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE.已知,,30AB EF BAC ⊥=∠ 垂足为F ，连接DF.(1)试说明;EF AC =(2)求证：四边形ADFE 是平行四边形．24.如下图所示，在四边形ABCD 中，F E DC AB 、,=分别是AD 、BC 的中点，G 、H 分另0是BD 、AC 的中点，猜一猜EF 与GH 的位置关系，并证明你的结论．25.用右图所示的图形拼成一个9×9的正方形，但中央留出一个3×3的正方形．26.如下图所示，正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成4个小矩形，P 是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍，试确定∠HAF 的大小，并证明你的结论．27.如下图所示，在△ABC 中，,90=∠C 点M 在BC 上，且BM =AC ，点N 在AC 上，且AM MC AN ,=与BN 相交于点P.求证：.45=∠BPM。
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特殊的平行四边形
教学目标：菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容．
教学内容：（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形菱形：有一组邻边相等的平行四边形。
正方形：有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形。
（注：矩形、菱形、正方形的定义既是性质又是判定）
（2）矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形
菱形性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质
（3）矩形的判定：有三个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形的判定：先判定是矩形，再判定是菱形；或者先判定是菱形，再判定是矩形
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；菱形的面积等于对角线乘积的一半
教学重点：让学生在多种题目中区分每种特殊四边形的考点，学到解题的关键所在，会应用。
教学过程：
一、例题赏析
例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF 与GH互相垂直平分吗？
分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可．
解：∵FH`∥GE，FG∥EH，
∴四边形FGEH为平行四边形，由题意知：
△GEF≌△HFE．
∴FG=FH，EG=EH．
∴四边形GEHF为菱形．
∴EF、GH互相垂直平分．
例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，•如图，若折痕EF 长为6，求另一边长．
分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD 中，已知AD=5，过对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD于F，BC于E，若EF=6，求
AB的长的问题．
解：设AB=x，BE=y，连结AE．则AE=CE=5-y．
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+y2=（5-y）2．
得y=
2
25
10
x
-
，AE=5-y=
2
25
10
x
+
．
又在Rt△AOE中，AO=1
2
AC=
2
25
2
x
+
，EO=
1
2
EF=
6
2
．
代入AE 2=AO 2+OE 2得，
（22510x +）2=（2252x +）2+（62）2． 即x 4+25x 2-150=0．解之得，x 2=5，x 2=-30（舍去）
∴x=5．
例3 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM ⊥EF ，•垂足为M ，AM=AB ，则有EF=BE+DF ，为什么？
分析要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可．
理由：连结AE 、AF ．
由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用，
∴△ABE ≌△AME ．
∴BE=ME ．
同理可得，△ADF ≌△AMF ．
∴DF=MF ．
∴EF=ME+MF=BE+DF ．
例4 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠C=30°，求AD ：BC 的值． 分析 添加辅助线，使等腰梯形ABCD•的问题转化为平行四边形和等腰三角形的问题． 解：过D 作DF ∥AB 交BC 于F ，过D 作DE ⊥BC 于E ，则四边形ABFD 为平行四边形． 设AD=a ，则AD=BF=a ．
∵BD 平分∠ABC ，
∴AD=AB=DF=DC=a ．
在Rt △DEC 中，∠C=30°，
∵DE=2a ，EC=32a ． 又∵EC=DF=32
a ， ∴BC=BF+EF+EC=a+
32a+32a=（1+3）a ． ∴AD ：BC=a ：（1+3）a=（3-1）：2
例5 如图，在矩形ABCD 中，已知AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE•⊥BD ，PE ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，求PE+PF 的长．
分析 连结PO ，则PE 、PF 可分别看作是OD 、OA 边上的高，而OA=OD ，故只需求出△AOP 、△DOP 的面积即可．
解：连结OP ．
由矩形ABCD ，AD=12，AB=5．
∴AC=BD=2OA=2OB=13．
∴OA=OD=6．5．
而S 矩形=12×5=60．
∴S△AOD=1
4
×60=15．
∴S△AOP +S△DOP =15．
即1
2
×OA×PF+
1
2
×OD×PE=15．
∴1
2
×6.5×（PE+PF）=15．
∴PE+PF=60 13
．
总结：
二、对应例题练习
练习1
1．如图1，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，•∠BAE=18°，则∠CEF=________．
(1) (2) (3)
2．如图2，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________．
3．如图3，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC•恰是一个菱形，•则∠EAB=________．
练习2
1．如图4，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，•设折痕为EF，试确定重叠部分的△AEF的面积是__________．
(4) (5)
2．如图5所示，把一张长方形的纸条ABCD沿对角线BD将△BCD折成△BDF，DF•交AB于E，若已知AE=2cm，∠BDC=30°，求纸条的长和宽各是________．
练习3
1．如图6，点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形，•其边长分别为3cm和5cm，则△CDE的面积为________c m2．
(6) (7)
2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．3．如图，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=10，并且P点到CD边的距离也等于10，求正方形ABCD的面积？
练习5
1．如图8，等腰梯形ABCD中，上底AD=2，下底BC=8，M是腰AB的中点，若MD⊥CD，•则梯形的面积为________．
(8) (9)
2．如图9，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点．AF、CE相交于G，并且△ABF的面积为14平方厘米，△BCE的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF的面积是________．
3．如图，在Y ABCD中，在AD、CD上各取一点E、F，使AF=CE，AF与CE相交于P，•则PB平分∠APC．
做了这么多题目你有哪些收获？写下来吧！~。