最新考研数学基础经典第一章函数与极限
2021考研-高数0基础课-第1章 函数与极限 第2节数列极限
【例1】用定义证明下列极限 1) lim qn 0. ( q 1)
n
2) lim n n 1. n
二，收敛数列的性质
1) 唯一性：收敛数列的极限是唯一的；
2) 有界性：收敛数列必有界；
3)
保号性：若
lim
n
xn
x2 k 1
lim
k
x2k
a.
内容小结
1. 数列极限的 " N" 定义及应用 2. 收敛数列的性质:
唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
作业 P26 2; 3; 6; 7；8；
高等数学精讲
第一章 函数与极限
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质
一、数列极限的定义
引例 圆的面积——割圆术
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正 6 2n1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
数列 x1 , x2 , x3 ,, xn , 记为 xn
a,
且
ห้องสมุดไป่ตู้
a 0（或
a 0 ),
则
N ,
当 n N , 时,都有 xn 0（或 xn 0 ),
推论 如果存在 N 0, 当 n N 时，xn 0 （或 xn 0 ）， 则 a 0（或 a 0),
4) 收敛数列与其子列之间的关系
lim
n
xn
a
lim
k
例如
数列 x1 , x2 , x3 ,, xn , 记为 xn
#考研数学 第一章函数
第一章函数、极限、连续第一节 函数、极限、连续的基本概念一、 函数的基本概念1、定义2、复合函数（注意中间变量、自变量、因变量）3、反函数（1()x f y -=是()y f x =的反函数）4、非初等函数的几种形式二、函数的几种基本性质1、有界性2、单调性3、奇偶性4、周期性三、极限的概念1、数列极限的定义2、函数极限定义000(,,)()x x x x x x x +-→⎧⎪→∞+∞-∞∞⎨⎪→→⎩3、无穷小、无穷大的定义（注意无穷大与无界量的区别）4、无穷小的比较（高阶、同阶、等价无穷小）四、关于极限的基本定理1、极限的四则运算法则2、关于无穷小的几个性质（1）有限个无穷小的和为无穷小（2）有限个无穷小的积为无穷小（3）有界函数与无穷小的和为无穷小（4）无穷小的倒数是无穷大，无穷大的倒数是无穷小3、关于极限的存在准则（1）夹逼定理（2）单调有界准则（3）洛必达法则五、函数的连续性1、函数在0x x =处连续2、单侧连续3、区间上连续六、连续的基本定理1、四则运算的连续性2、反函数的连续性3、复合函数的连续性4、闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值最小值定理、介值定理和根的存在性定理）第二节 求定义域、值域以及判别函数的奇偶性、周期性等一、 确定复合函数定义域的一般方法（代换的方法）1、设()f x 的定义域为[0,1]，求下列函数的定义域（1）2(4)f x分析：（2）(sin 2)f x分析：2、设1()1f x x=-，求[()]f f x ，{}[()]f f f x 的定义域。
分析：3、设21,22,1(),()2,21,1x x x f x g x x x x ⎧⎧<-≤⎪⎪==⎨⎨-≥+>⎪⎪⎩⎩求复合函数[()],[()]f g x g f x ， 并讨论连续区间和间断点。
分析：二、有已知函数关系式求()f x 的表达式1、若{}()()[()],n f x f x f f f x ==求()n f x分析： 2、设()f x 满足2173()4()0f x x f x x+-+=，求()f x 分析：3、已知()f x 在数轴上处处有定义，(0)f '存在，且对任何,x y 恒有()()()2f x y f x f y xy +=++，求()f x分析：三、判别函数奇偶性的一般方法1、证明定义在(,)l l -内的任何函数()f x 均可以表示为奇函数与偶函数的和。
高等数学考研知识点 考研要求 第一章：函数与极限
高等数学考研知识点考研要求第一章：函数与极限以下是凯程教育小编为大家整理的考研数学高数的相关知识点和要求，一方面希望大家能够学习一下考研数学备考的方法，另一个方面希望大家能够学习一种认真的学习态度，希望对大家能够有帮助，预祝大家取得好成绩。
考研要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。
3.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及图形。
5.会建立简单应用问题中的函数关系式。
6.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。
7.掌握极限性质及四则运算法则。
8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
10.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。
考研数学初期备考规划2-3月份可以说是一年之中开始考研备考复习最关键的一个点，在这期间考生开始确认自己的目标，在院校和专业间做好抉择从而开始真正备考复习。
打算的比较早的考生复习战已经打响了，对于刚刚开始进行复习的考生可能对于考研的了解和规划都还很模糊，这里凯程教育老师就以多年进行考研辅导的经验为大家总结一些考研数学在考试初始阶段需要明白的常识和复习技巧，希望能对考研考试起到帮助。
最开始的复习不得不提基础，数学是理科中的龙头科目，基础不打好，往后的备考复习都会受影响。
考生在复习前要明白基础与提高的辩证关系，根据自身情况合理安排复习进度，处理好打基础和提高能力两者的关系。
现阶段的复习应该以基础为主，打得好地基才能盖的好楼房，基础与提高是交插和分段进行的，现阶段应该以基础为主，基础扎实了，再行提高，对后面的复习才能做到事半功倍的效果。
在最初的复习中，重视基础是对的，但是很多考生对基础的重视理解有些偏，大多数人都是将基础知识灌进脑子的方式背下来，但是在基础阶段的复习中我们想要长久的将知识记在脑子里，就不能使用临时抱佛脚的方法。
考研数学高数公式：函数与极限解读
考研数学高数公式:函数与极限第一章:函数与极限第一节:函数函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。
基础阶段:1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系;2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式;3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质;4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题;强化阶段:1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示;2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。
冲刺阶段:1.综合应用函数解决相关的问题;2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。
第二节:极限极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。
在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。
虽在考试中站的分值不大。
但是在其他的试题中得到广泛应用。
因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果基础阶段1.了解极限的概念及其主要的性质。
2.会计算一些简单的极限。
3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。
强化阶段:1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列极限和函数极限的概念(数三;▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式;3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数;4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。
冲刺阶段:深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。
考研数学基础班讲义1
----高等数学----第一章函数、极限、连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节数列极限与函数极限【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：；洛必达（）法则。
【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达（）法则求未定式极限的方法。
【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。
函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。
一、数列的极限1.数列的极限无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般项或通项。
设有数列和常数A 。
若对任意给定的，总存在自然数，当n>N 时，恒有，则称常数A 为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或。
没有极限的数列称为发散数列。
收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。
2.极限存在准则（1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有，则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论.（2）定理：单调有界数列必有极限.3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。
（2）。
（3）。
【考点一】（1）单调有界数列必有极限.（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞.（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。
考研高数经典题目(最新)
§1 高等数学部分
第一部分 函数、极限
1．1）若
x
→
0
时，(1
−
ax2
()
由于
n
→
∞
等价于
xn
→
0,
所以
lim
n→∞
xn+1 xn
sin
1 xn 2
a 故，a (
= lim
x→0
= 0; sin x )
x
1 x2
=
e−
1 6
第二部分 导数、微分
{
17．设 f (x) =
xλ
cos
1 x
,
0,
取值范围.
x ̸= 0 x=0
, 其导函数在 x = 0 处连续, 求 λ 的
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.
【解】(C) 分别是：1，-1
25．设函数 f (u) 可导, y = f (x2) 当自变量 x 在 x = −1 处取得增量
∆x = −0.1 时, 相应的函数增量 ∆y 的线性主部为 0.1, 则 f ′(1) = .
(A) − 1，(B) 0.1，(C) 1，(D) 0.5
(cos
x
−
b)
=
5，则
a
=
,b=
.
【解】a = 1; b = −{4 6. 设函数 f (x) =
, 1−etan x
arcsin
考研高数每章总结知识点
考研高数每章总结知识点一、函数与极限1. 函数的概念与性质2. 一元函数的极限3. 函数的连续性4. 导数与微分5. 多元函数的极限6. 多元函数的连续性7. 偏导数与全微分在这一章节中，我们需要深入理解函数的概念与性质，掌握一元函数的极限和导数与微分的计算方法，以及多元函数的极限、连续性、偏导数与全微分的性质和应用。
二、微分学1. 函数的微分学2. 隐函数与参数方程的微分法3. 高阶导数与微分的应用4. 泰勒公式与函数的逼近5. 不定积分6. 定积分与广义积分7. 定积分的应用在这一章节中，我们需要掌握函数的微分学的相关知识，包括隐函数与参数方程的微分法、高阶导数与泰勒公式的应用，以及不定积分、定积分与广义积分的计算方法及其应用。
三、级数与一些其他杂项1. 数项级数2. 幂级数3. 函数项级数4. 傅立叶级数5. 常微分方程在这一章节中，我们需要掌握数项级数、幂级数和函数项级数的相关知识，包括傅立叶级数的表示和计算方法，以及常微分方程的解法和应用。
四、空间解析几何1. 空间直角坐标系2. 空间点、向量和坐标3. 空间中的直线和平面4. 空间中的曲线5. 空间中的曲面6. 空间曲线和曲面的切线与法线在这一章节中，我们需要掌握空间中的点、向量和坐标的表示和计算方法，以及空间中的直线、平面、曲线和曲面的性质和应用，包括曲线和曲面的切线与法线的计算方法。
五、多元函数微分学1. 函数的极值2. 条件极值与 Lagrange 乘数法3. 二重积分4. 三重积分5. 重积分的应用在这一章节中，我们需要掌握多元函数的极值和条件极值的求解方法，包括 Lagrange 乘数法的应用，以及二重积分和三重积分的计算方法及其应用。
总结起来，考研高数的每个章节都包含了大量的知识点，要想取得好成绩就需要对每个章节的知识点有一个深入的了解和掌握。
在备考的过程中，应该注重理论知识的掌握和应用能力的提升，多做习题和模拟题，以增强对知识点的理解和记忆。
考研数学高数1极限与函数
第一讲：极限与函数数列极限：数列极限的严格定义不需要掌握，但需要理解如下定理：lim {}n n n x a x a →∞=⇔-是无穷小量数列极限的四则运算：设lim n n x x →∞=，lim n n y y →∞=，则：lim()n n n x y x y →∞±=±、lim()n n n x y xy →∞=、lim()(0)n n n x xy y y→∞=≠ 推论：若lim 0n n x →∞=，数列{}n y 有界，则lim 0n n n x y →∞=例：计算下列极限n n n n n 323)1(lim ++-∞→ )12(lim --+∞→n n n n数列极限的性质唯一性：如果数列{}n x 收敛，则其期限必唯一 有界性：如果数列{}n x 收敛，则该数列必定有界保序性：设数列{}n x 、{}n y 均收敛，且当n 足够大时，有n n x y >，则必有lim lim n n n n x y →∞→∞≥保序性的推论（保号性）：设数列{}n x 收敛，且当n 足够大时，有0n x >，则必有lim 0n n x →∞≥注意：1、后面的不等式并不是严格的不等号；2、保序性的逆命题不一定成立思考：求如下几个数列的极限：1111{sin }{sin }{sin }n n n n n n、、数列极限的三个常用定理：数列与其子列的关系：如果数列{}n x 收敛，则其任意子列均收敛，且收敛于同一极限lim n n x →∞；如果数列{}n x 中存在两个子列收敛于不同的极限，或是一个收敛一个发散到无穷大，则{}n x必发散。
例：计算(1)1lim[]nn n n-→∞+夹逼准则：如果当n 足够大时，数列{}n x 、{}n y 、{}n z 满足不等式n n n x y z ≤≤，且{}n x 、{}n z 收敛于同一极限，则{}n y 必收敛于该极限例：计算下列极限1、设0>>>c b a ，nn n n n c b a x ++=，求222111lim (1)(2)nn n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦2、2lim n n →∞⎛⎫+++ 3、222111lim (1)(2)n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦4、（思考）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n （需要用定积分来求）单调有界数列必收敛定理：如果数列{}n x 单调递增且有上界，或是单调递减且有下界，则{}n x 必收敛。