第一章函数极限与连续-精品
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第一章 函數、極限、連續第1节 函數a) 反函數和原函數關於y=x 對稱。
b) 只有定義域關於原點對稱の函數才能討論奇偶性。
c) 多個奇函數之和為奇函數；多個偶函數之和為偶函數。
d) 2k 個奇函數の乘積是偶函數；2k+1個奇函數の乘積是偶函數；任意個偶函數の乘積還是偶函數。
(k=0,1,2......)。
e) 如果f(x)是周期函數，周期為T ，則f(ax+b)也是周期函數，周期為|T/a|。
f)基本初等函數包括：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數。
初等函數即上述五大類函數，以及它們有限次の四則運算與複合而成の函數。
g) 一切初等函數在其定義域內都是連續の。
第2节 極限a) 左右極限存在且相等極限存在。
b) 如果函數在X 0極限為A ，則可以將函數改寫為f(X)=A+ɑ(x)，其中0=(x)ɑlim 0x x →。
（等價無窮小）c) 極限存在極限唯一。
（極限唯一性） d)A x =→)(f lim 0x x ，且A>0，則在x の鄰域內，f(x)>0。
（保號性）e) 函數f(x)在點x=x 0存在極限，則存在該點の一個去心鄰域U ，在U 內f(x)有界。
（有界性） f)當limf(x)=A ，limg(x)=B ，那麼 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-Blim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B⇔⇔lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等於0lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （極限の四則運算）g) 有限個無窮小之和仍然是無窮小。
有限個無窮小之積仍然是無窮小。
無窮小和有界量乘積仍然是無窮小。
h) )()(lim x g x f =li. l=0，f(x)=o(g(x)). ii. l=∞，f(x)是g(x)低階. iii.0<l<∞或-∞<l<0，l ≠1，同階. iv. l=1，等價無窮小，記作f(x)~g(x). 特別の，如果kx g x f )]([)(lim=l(l ≠0)，則稱f(x)是g(x)のk 階無窮小。
河北专升本高等数学复习资料课件第一章函数极限连续
从函数图像上看，偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称.
典例精析
知识清单
知识点二 函数的基本性质
3.函数的单调性
设函数 f (x)定义域为 D ，区间 ⊆ .若对于 I 上任意两点1 , 2 ，当1 < 2 时，恒有
f (1 ) < f (2 )，
→∞
（或 a ≤ 0）.
知识清单
知识点一 数列极限
定理4（数列极限的四则运算） 设 lim = ， lim = ，则
→∞
→∞
① lim ( ± ) = ± ；② lim ( ∙ ) = ∙ ；③ lim = （b ≠ 0）.
→∞
→∞
称为函数在点 x 处的函数值，记作 f (x).当自变量 x 遍取 D 的所有数值时，对应的函数值 f (x)的全
体构成的集合称为函数 f 的值域，记作f (D)，即
= {| = , ∈ }.
由函数的定义可以看出，函数的定义域与对应法则是确定函数的两个必不可少的要素.也就
是说，如果两个函数的对应法则和定义域都相同，那么这两个函数就是相同的函数.
区间(0,1)上无界，在[1,+∞)上有界.
典例精析
知识清单
知识点二 函数的基本性质
2.函数的奇偶性
设函数 f (x)的定义域为 D，且 D 关于原点对称，即对任一 x∈D，都有－ x∈D.若
f (－x) = f (x)
对一切 x∈D成立，则称 f (x)为偶函数；若
f (－x) = －f (x)
知识清单
知识点三 基本初等函数
2.指数函数：形如 = (a > 0 , a ≠ 1)的函数称为指数函数.
函数,极限与连续
定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思：
它在该点的一个邻域内有定义，极限存在且极限 值等于该点处的函数值.
例 1 证明函数 y = sin x 在其定义域内连续 . 证 任取 x0 (- , + )，则因
有定义， 如果
x 0
lim y 0.
则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续.
若函数 y = f (x) 在点 x0 处有：
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 ) 或 lim f ( x ) f ( x 0 ) ，
x x0
则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续.
a O c b x y = f (x)
例 9 证明方程 x3 - 4x2 + 1 = 0 在 (0, 1) 内至 少有一个实根.
证
设 f (x) = x3 - 4x2 + 1，由于它在 [0, 1]
上连续且 f (0) = 1 > 0， f (1) = - 2 < 0，因此由推 论可知，至少存在一点 c (0, 1) ，使得 f (c) = 0. 这表明所给方程在 (0, 1) 内至少有一个实根 .
sin(x a ) lim x a ( x a ) cos a cos x
令 x – a t ，由 x a，则 t 0.
sint 1 1 上式 lim lim . 2 t 0 t cos a cos(t a ) t 0 cos a cos(t a ) cos a
因 此 lim y 0. 这表明 y = sin x 在 x0 处连续，
高等数学 第一部分 函数、极限与连续 课件ppt
a 1 时，y log a x 单调递增， y
y logax (a 1)
0 a 1时y， log a x 单调递减。 o
x
y logax (0 x 1)
1-1 函数
4. 三角函数
正弦函数：y sin x
定义域：(,)．
值 域：[1,1] ．
单调性：
在
2
2k , 2
2k
单调增加；2
1-1 函数
函数的表示法
1）以数学式子表示函数的方法叫公式法如： y x2, y cos x 公式法的优点是便于理论推导和计算．
2）以表格形式表示函数的方法叫表格法，它是 将自变量的值与对应的函数值列为表格，如三角函 数表、对数表等，表格法的优点是所求的函数值容 易查得．
3）以图形表示函数的方法叫图形法或图象法， 这种方法在工程技术上应用很普遍，其优点是直观 形象，可看到函数的变化趋势．
4
2
3
（2） y sin x cosx 的周期T 2
（3） y cos 2x tan x 的周期T 3 ．
3 3 6
1-1 函数
4．有界性
定义 1.6 设函数 y f (x) 的定义域为 D，如果存在 一个正常数 M，使得对于任意的 x D ，都有| f (x) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上有界．如果不存在这样的正常 数 M，即对任意的正常数 M，都存在某个点 x0 D ，使 得| f (x0 ) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上无界．
2k ,
3
2
2k
单调减少．
奇偶性：奇函数．
周期性：周期函数．
有界性：有界函数．
余弦函数：y cosx
1-1 函数
第一章 函数,极限与连续
五、初等函数
1.复合函数
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
第一章 函数，极限与连续
1.1 初等函数 1.2 数列的极限 1.3 函数的极限 1.4 无穷小与无穷大
1.5 极限的计算法则 1.6 无穷小的比较 1.7 函数的连续性 1.8 连续函数的性质
1.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
x y xb
loga x loga b loga x
y
我们在以后的计算中经常会用到
a elna
xa eln xa ealn x
4.三角函数
正弦函数 y sin x
y
y sin x
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R
-π π O π π 3π 2π
3π
2
2
2
-1
4π x
余弦函数 y cos x
y
y cos x R
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
(4) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
记作: U(a， ) {x a x a }.
a
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.5 函数的连续性
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)
−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .
2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)
−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为
一元微积分(第一章 函数、极限、连续)共13页文档
第一章 函数、极限、连续重点：1、求函数的极限（最重要的方法是L ’P 法则）2、无穷小的比较3、考察分段函数在分段点的连续性4、间断点的判定及分类5、介值定理 一、函数1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】 函数概念 ()y f x =函数的两要素 ⎧⎨⎩定义域对应规则函数的表示方法 ① 显函数： ()y f x =② 隐函数：由方程(,)0F x y =确定的函数()y y x =.例：1yy xe +=确定了()y y x =⇒01x y==．③ 参数方程表示的函数：由方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩确定的函数()y y x =.例：2ln(1)arctan x t y t ⎧=+⎨=⎩确定了()y f x =.④ 积分上限函数： ()()xax f t dt Φ=⎰．例：2311()(1)3xx t dt x Φ==-⎰⑤ 概率表示的函数：()()F x P X x =≤， 其中X 为随机变量，x 为实数.⑥ 分段函数：自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数．【例】 ,0()sin ,0a x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ ； 1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ . 如 A. 绝对值表示的函数 11111x x y x xx -≥⎧=-=⎨-<⎩ ；B. 极限表示的函数 2211()lim 0111n nn xx x f x x x x x x →∞⎧<-⎪=⋅==⎨+⎪->⎩； C. 其他形式 2022101()max{1,}12x x f x x xx ≤≤≤≤⎧==⎨<≤⎩ ．10sgn()0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩-------符号函数[]y x =--取整函数．2、函数的性质 【了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性】①．有界性：()f x 在某区间I 内有定义，若存在0M >，对任意x I ∈，总有()f x M ≤， 则称()f x 在某区间I 内有界.否则称()f x 在某区间I 内无界.例：2111sin1,(0);arctan ,();,1,()2121xx x x x R x R xx eπ≤≠≤∈≤<∈++． ②．单调性：()f x 在某区间I 内有定义，若12,x x I ∀∈，当12x x <时12()()f x f x ≤，就称()f x 单调上升；当12x x <时，12()()f x f x ≥，就称()f x 单调下降． 不含等号时称严格单增（或单减）.③．奇偶性：若()()f x f x -=， 则称()f x 为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称； 若()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．④．周期性：()()(0)f x T f x T +=≠． （主要是三角函数）【例1】讨论()ln(f x x =的奇偶性． 【奇函数】 【例2】 设sin ()tan xf x x x e=⋅⋅，则()f x 是（ ）．A. 偶函数B. 无界函数C. 周期函数D. 单调函数． 【解】 因为 2x k ππ→+时， ()f x →∞，所以()f x 非有界即为无界函数.3、 基本初等函数 【掌握基本初等函数的性质及图形】 （反、对、幂、三、指）① 常数函数---y C =② 幂函数---y x μ= （μ为常数）例：21,y x y y x===③ 指数函数---x y a = （0,1a a >≠） ，xy e =④ 对数函数---log a y x = （0,1a a >≠） ， ln y x =， lg y x = ⑤ 三角函数---sin ,cos ,tan y x y x y x===⑥ 反三角函数---arcsin ,arctan y x y x==4、 复合函数、反函数、初等函数 【了解反函数和隐函数的概念，理解复合函数及分段函数的概 念，了解初等函数的概念】① 复合函数 (),()[()y f uu x y f x ϕϕ==⇒=；f 为外层函数，ϕ称为内层函数．② 反函数 ()y y x =的反函数为1()x fy -=或1()y fx -=.【例】3y x x y =⇒=⇒3y x =的反函数.【例】 sin xy e= 看作是由 ,sin uy e u x == 复合而成的复合函数.③ 初等函数：由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子 表示的函数. 注意：分段函数一般不是初等函数。
高等数学函数的极限与连续习题及答案
上式化简为
1a2
0，∴a1，
2
1b
12ab12abx1b212ablimlimlim
xxx1a∴1
a1，12ab0，b2
10、函数fx
的间断点是（x0,x1）．
11
xx2x2
11、fx2的连续区间是（,1,1,3,3,）．
x4x3ax2sinx
2，则a（2）12、若lim．
xx∴aax2sinxsinxlimlima2a0a02limxxxxx
a
xx21
logaxx21fx
3、当x0时，ex1是x的（c）
a．高阶无穷小b．低阶无穷小c．等价无穷小
4、如果函数fx在x0点的某个邻域b．连续c．有界
5、函数fx1
1x在（c）条件下趋于.
a．x1 b．x10 c．x10
6、设函数fxsinx
x，则limx0fx（c）
a．１b．－１c．不存在∵sinx
6、如果～，则o．
1，是
∴limlim10，即是的同阶无穷小．
2xx2sin2sin1cosx11limlim2正确∵limx0x0x04x2x2x2
2正确∵lim
11limxlimsin0．x0xx0x0x
1错误∵limsin不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。x0x8、limxsin
高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
第一章函数与极限复习题
1、函数fxx2x31x1与函数gxx1相同．
错误∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴fxx2x31x1与gx函数关系相同，但定义域不同，所以fx与gxx1
是不同的函数。
2、如果fxM（M为一个常数），则fx为无穷大．
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t0
m x 0 ) f(x ) A f(x ) A 当 x (x x 0 )时 0 ；
（ 2 ） l i m f ( x ) A l i m f ( x ) l i m f ( x ) A ；
①分式的分母不等于零； ②偶次方根式中，被开方式大于等于零； ③含有对数的式子，真数式大于零； ④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1； ⑤分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ⑥若已知 y f (x)的定义域是[a,b]，求 y f [(x)]的定
义域，方法是解不等式组a (x) b .
二、几个常用的基本极限
（ 1 ） xl im x0 c=c,(c为 常 数 ） ； （ 2） lxi m x=x0 ； (x )
（ 3） lim1=0 ； x x
（ 4 ） lxi m x 1 = 0 ， ( 为 正 的 常 数 )；
（ 5） lxi mab00xxmn++ab11xxm n--11++LL++banm
(2)若使函数有意义，必须
5x x2
20 7x 10
x 0，解得x
2 5 2,
x
5，
10 x 0
x 10
故 所 求 函 数 的 定 义 域 为 2 x 1 0 且 x 2 ,x 5 . 5
例 2 已知函数 y f (x)的定义域为[2,5]，求函数 y f (4x 3)
的定义域。
解 由已知得 2 4x 3 5，即 5 x 2，
4
故 所 求 函 数 的 定 义 域 为 5x 2 . 4
二、判断两个函数是否相同
一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因
此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要
判断函数表达式是否统一即可。
例3 判断下列各对函数是否相同？ ( 1 )f(x ) c o s 22 x 与 g (x ) 1 2 ( 1 c o sx )； (2)f(x)|x x|与 g(x)1.
xx0
点连续
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
数列的极限
lim
n
x
n
A
limf(x)A
x
limf(x)A
x
右极限 lim f ( x) A
x x0 0
左极限 lim f ( x) A
x x0 0
1
lim(1 z)z e
z 0
x 1 z
lim
x
1
1 x x
e
sin x lim 1 x0 x
第一章 函 数 、 极 限 与 连 接 (一) 本 章 内 容 小 结 (二) 常见问题分类及解法 (三) 思 考 题 (四) 课 堂 练 习
(一) 本章内容小结
一、本章的主要内容
函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数 与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运 算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷 小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间 上连续函数的性质。
=0ab,00 ,当 当nn=>mm , 当n<m
(其中a0、a1、 L、am和b0、b1、 L、bn都是常数，且a0 0,b0 0)；
（ 6） limsinx=1 x0 x
；（ 7） limtanx=1 x0 x
；（ 8） lxi m1+1xx =e
；
1
（ 9） lim1+tt =e ； （ 1 0 ） lim q x 0(|q | 1).
例1 求下列函数的定义域： (1)y 1 arccos(3x 18)； x23x2 (2)yxl2 n (5 7 xx 2 1 )010x.
解 所求定义域应使函数式中各部分都有意义，即求解不
等式组。 (1)若使函数有意义，必须
|x32x31x8|210，解得1x371或 x x 1392，
故 所 求 函 数 定 义 域 为 1 7x 1 9； 33
四、表 1-1 给出了当 x → ∞和 x → x0时函数的极限
与由此引申出来的有关概念之间的关系
表 1-1
无穷大
lim f ( x)
x x0 (x )
有 倒 f (x) 0 数 关 系
无穷小
1
lim
0
x x0 f ( x )
(x )
f (x) A a 当 x x0 时a 0
(x )
函数的极限 lim f (x) A(常数)
x x0 (x)
右连续
lim
xx0 0
f (x)
f
( x0 )
左连续
lim
xx0 0
f (x)
f (x0)
limf (x) A
x
limf (x) A
xx0
点连续
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
续表
limf (x) A
x
limf (x) A
解 利用定义域和对应法则来判断。
(1)因为f(x)cos2 x的定义域是一切实数，而g(x)1(1cosx)
2
2
的定义域也是一切实数，所以f(x)与g(x)具有相同的定义域；又
因为f(x)cos2 x1(1cosx)g(x),即f(x)与g(x)具有相同的对 22
五、表 1-2 列出了函数 y f (x)的点连续与区间连续
的概念
表 1-2
条
件
结论
(1)
如果
limy0
x0
或
lim f (x)
xx0
f (x0)
(2) 如果y f (x) 在(a，b) 内每一点连续
(3) 如果y f (x) 在(a，b) 内连续，
且 lim f(x) f(b)，lim f(x) f(b)
x x 0
x x 0 0 x x 0 0
（ 3 ） l i m f ( x ) A l i m f ( x ) l i m f ( x ) A ；
x
x x
（ 4 ） x l i m x 0 f ( x ) f ( x 0 ) x l i m x 0 0 f ( x ) x l i x m 0 0 f ( x ) f ( x 0 ) .
xb0
xa0
那么yf(x) 在点x0 连续 那么yf(x) 在(a，b) 内连续 那么yf(x) 在[a，b] 上连续
六、本章关键词
函数 极限 连续
(二) 常见问题分类及解法
一、求函数的定义域
函 数 的 定 义 域 就 是 指 使 函 数 有 意 义 的 自 变 量 x 的 取 值 范 围 . 判 断 函 数 有 意 义 的 方 法 有 以 下 几 种 ：