第三节三重积分的概念与计算-PPT课件

第八章
重积分
第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )， 求立体 V 的质量 M 为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块
V1 , V2 , . . . , Vn ,
Vi 的体积 记为 V i
例1 设有一物体Ω=[0,1;0,1;0,1](即长方体)它在点
p(x,y,z)处的密度为点p到原点距离的平方,求物体的质
量M.
2 2 2 1 D xy
2 2 2 M ( x y z ) dxdydz dxdy ( x y z ) d 解 0
3 1 1 y y1 2 2 2 ( x y) dxdy ( x y ) dx 0 0 3 3 3 D xy
过点 ( x ,y ) D 作直线 , o xy
a
z2 S 2

z1
S1
z z ( x ,y ) 1
从 z 穿入，从 z b 1 2穿出．
x
( x, y)
D
y
y y ( x ) 2
y y ( x ) 1
先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z ) 只看作 z 的 函数，则
1 2 13 2 ( x ) dx x x 1 0 3 3 3 0
1 2
其中 D : 0 x 1 , 0 y 1 xy
当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最
容易安排
g ( x , y , z ) dV dx ( x , y , z ) dz dy g
1 x D { x , y | 0 y , 0 x 1 } xy 2
在D内任意取一点(x,y),过此点作平行于z轴
的直线,该直线先通过平面z=0,再通过平面
z=1-x-2y.于是
1 x 2 y
M f ( , , ) V 则 Vi 的质量 i i i i i
i , 其次在每个小块 Vi 上任取一点 ( i , i)
然后对每个小块 Vi 的质量求和：
M f( V i, i, i) i
i 1 n
最后，取极限
0
M lim f( V i, i, i) i
a c e b d f
如果积分函数可分 量 离变 g( x, y, z) g1( x)g2( y)g3(z)
. g(x, y,z)dV g (x)dx g (y)dy g (z)dz
a 1 c 2 e 3 b d f
即把一个三重积分化为三个定积分的积.
例2 计算三重积分
, xdxdydz

其中Ω为三个坐标 面及平面x+2y+z=1所围成 的闭区域. 解:作闭区域Ω,如图示. 把Ω投影到xoy平面上， 得到区域Dxy三角形闭区域OAB,直线OA,AB,OB 的方程依次为y=0,x+2y=1x=0.所以
z C(0,0,1) o x A(1,0,0) y B(0,1/2,0)
i 1
n
其中
max {V } i 的直径
0 i n
三重积分的定义
设 f ( x , y , z )是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域 任意分成 n个小闭区域 v1， v2 ,, vn ，其中 vi 表示第 i 个小闭区域，也 表示它的体积, 在每个 vi 上任取一点 ( i , i , i ) 作乘积 f ( i , i , i ) vi ，( i 1,2,, n) ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于 零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y , z )在闭区域 上的三重积分，记为 f ( x, y, z )dv ,
f ( x , y , z ) dz ] d .

若 D 为 : y ( x ) y y ( x ), a x b , 则 xy 1 2
f ( x, y, z)dv
b y ( x ) 2
1
dx dy f ( x , y , z ) dz . a y ( x ) z ( x , y )

在直角坐标系中，如果 用平行于坐标
n
其中 dxdy二、在直角坐标系下计算三重积分
方法1：“先一后二”法（也称为投影法）
如图， 闭区域 在 xoy
z
面上的投影为闭区域 Dxy,
z z ( x ,y ) 2
下底曲面 S z ( x ,y ), 1: z 1 上底曲面 S z ( x ,y ), 2: z 2

f ( x , y , z ) dv lim f ( ,i ,i ) v 即 . i i

i 1
0
n
其中 dv叫做体积元素 .
的平面来划分 , 则 v x y z . i j k l
三 重 积 记 为
f ( x ,y , z ) dxdydz lim f ( v . i, i, i) i 0 i 1
F ( x , y )
z ( x , y ) 2 z ( x , y ) 1
f ( x , y , z ) dz
再计算 F (x ,y )在闭区间 D xy上的二重积分
f ( x , y , z ) dv F ( x , y ) d [
D xy D xy z ( x , y ) 2 z ( x , y ) 1
1
z ( x , y ) 2
注意
这是平 z 行 轴于 且 穿 过 闭 内 区 部 域 的 直线与闭 的 区 边 域 界 S 曲 相 面 交不多 于两点情 形 可 ． 表 即 示为 {( x ,y ,z )| z (x ,y )zz (x ,y ), (x ,y ) D } 1 2 xy