一次函数与四边形混合
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一次函数与四边形测试题
一、相信你一定能填对！（每小题3分，共30分）
1．下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）
A ．
．
．
D ．
3．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）
A ．y=2x-1
B ．y=3
x C ．y=2x 2 D ．y=-2x+1 4．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ）
A ．一、二、三
B ．二、三、四
C ．一、二、四
D ．一、三、四
5．若函数y=（2m+1）x 2+（1-2m ）x （m 为常数）是正比例函数，则m 的值为（ ）
A ．m>12
B ．m=12
C ．m<12
D ．m=-12
6．若一次函数y=（3-k ）x-k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是（ ）
A ．k>3
B ．0 C ．0≤k<3 D ．0 7．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式 为（ ） A ．y=-x-2 B ．y=-x-6 C ．y=-x+10 D ．y=-x-1 8．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y （升） 与行驶时间t （时）的函数关系用图象表示应为下图中的（ ） 9．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，•中途由于自行车发生故障，停下修 车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到 校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y•（千米）与行进时间t （小时）的 函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（ ） 第 2 页 共 3 页 10．一次函数y=kx+b 的图象经过点（2，-1）和（0，3），•那么这个一次函数的解析式为 （ ） A ．y=-2x+3 B ．y=-3x+2 C ．y=3x-2 D ．y=12 x-3 二、你能填得又快又对吗？（每小题3分，共30分） 11．已知自变量为x 的函数y=mx+2-m 是正比例函数，则m=________，•该函数的解析 式为_________． 12．若点（1，3）在正比例函数y=kx 的图象上，则此函数的解析式为________． 13．已知一次函数y=kx+b 的图象经过点A （1，3）和B （-1，-1），则此函数的解析 式为_________． 14．将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个 数为______ 15．已知一次函数y=-x+a 与y=x+b 的图象相交于点（m ，8），则a+b=_________． 16．若一次函数y=kx+b 交于y•轴的负半轴，•且y•的值随x•的增大而减少，• 则k____0，b______0．（填“>”、“<”或“＝”） 17．已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组30220 x y x y --=⎧⎨-+=⎩的 解是________． 18．已知一次函数y=-3x+1的图象经过点（a ，1）和点（-2，b ），则a=________，b=______． 19．已知□ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段，则平行四边形的周长 为___． 20、如图，已知□ABCD 中，AB =4，BC =6，BC 边上的高AE =2，则DC 边上的高AF 的长 是________． 三、认真解答，一定要细心哟！（共60分） 22．（12分）一次函数y=kx+b 的图象如图所示： （1）求出该一次函数的表达式； （2）当x=10时，y 的值是多少？ （3）当y=12时，•x 的值是多少？ 第20 第 3 页 共 3 页 23、如图，□ABCD 中，DB=CD ， 70=∠C ，AE ⊥BD 于点E ，试求DAE ∠的度数. 24，如图24，在□ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别 为E 、F .那么OE 与OF 是否相等？为什么？ 23题 图24 1对3辅导教案 1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题； 2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系． （此环节设计时间在10-15分钟） 教法说明：回顾上次课的预习思考内容，要求学生在函数图像中找出符合要求的点。 1．已知点A、B、C、D可以构成平行四边形，且点A（－1，0），点B（0，3），点C（3，0），则第四个顶点D的坐标为_________________________； 参考答案：（4，3）或（—4，3）或（2，—3）； 2．已知一次函数 3 3 4 y x =-+的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，如果点C在y轴上，存在点D使以 x y B C A O x y D2 D3 D1 B C A O A 、 B 、 C 、 D 为顶点的四边形是菱形，则D 的坐标为 ． 参考答案：123(4,0),(4,5),(4,5)D D D --； （此环节设计时间在50-60分钟） 例题1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 为菱形，点A 的坐标为（0，1），点D 在y 轴上，经过点B 的直线4+-=x y 与AC 相交于横坐标为2的点E ． （1）求直线AC 的表达式； （2）求点B 、C 、D 的坐标． 参考答案：（1）∵点直线4y x =-+经过横坐标为2的点E ，∴E （2，2）． 由点A （0，1）,设直线AC 的表达式为1y kx =+， ∴1221,2k k =+= ；∴直线AC 的表达式为1 12 y x =+． （2）设点C 的坐标为（2,1m m +）， ∵在菱形ABCD 中，BC //AD ，∴点B 的坐标为（2,24m m -+）． ∵BA ＝BC ，∴22BA BC =； ∴2 2 2 (20)(241)(124)m m m m -+-+-=++-． ∴2 1260,0(),6m m m m -===舍去． ∴点B 、C 的坐标分别为（12,8-）、（12,7）． ∵AD ＝BC ＝15，∴OD ＝16，∴D （0，16）． 例题2：已知：直线3 64 y x =- +与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 。点C 的坐标为（0，—2），线段AB 上有一动点P ，过点C 、P 作直线l 。 （1）如图，当PB ＝PC 时，求点P 的坐标； （2）在（1）的条件下，平面直角坐标系内是否存在这样的点Q ，使以P 、B 、C 、Q 四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 x y B A O E A O x y B C D 一次函数与反比例函数的综合 四边形 1，如图12，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)m y x x = >的图象经过点D ，点P 是一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象与该反比例函数图象的一个公共点. （1）求反比例函数的解析式； （2）通过计算，说明一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过点C ； （3）对于一次函数33(0)y kx k k =+-≠，当y x 随的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. 2，看图说故事。 请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x 、y 满足图示的函数关系式，要求：①指出x 和y 的含义；②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中需设计“速度”这个量 3，如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，点E （4，n ）在边AB 上，反比例函数（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D 、E ，且 tan ∠BOA=． （1）求边AB 的长； （2）求反比例函数的解析式和n 的值； （3）若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，将矩形折叠，使点O 与点F 重合，折痕分别与x 、y 轴正半轴交于点H 、G ，求线段OG 的长． 4．如图5，双曲线)0(>= k x k y 与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ． 5，如图9，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x +b (b ≥0)的位置随b 的不同取值而变化． (1)已知⊙M 的圆心坐标为(4，2)，半径为2． 当b = 时，直线l ：y =－2x +b (b ≥0)经过圆心M ： 当b = 时，直线l ：y = －2x +b (b ≥0)与OM 相切： (2)若把⊙M 换成矩形ABCD ，其三个顶点坐标分别为：A (2，0)、BC 6，O )、C (6，2). 设直线l 扫过矩形ABCD 的面积为S ，当b 由小到大变化时，请求出S 与b 的函数关系式， 6，如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，∠A ＝90°，AB ＝AC ，A （－2，0）、B （0，1）、 C （d ，2）。 一次函数与特殊平行四边形专题 1、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，3）．点C的坐标为（0，m），其中m＜2，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD=2OC，连结DE，以DE，DA为边作▱DEFA． （1）图中AB= ；BE= （用m的代数式表示）．（2）若▱DEFA为矩形，求m的值； （3）是否存在m的值，使得▱DEFA为菱形若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由． 2、在平面直角坐标系中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置，已知OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F．请回答： （1）如图1，若点E的坐标为（0，4），求点A的坐标； （2）将矩形沿直线y=- 1 x/2+n折叠，求点A的坐标； （3）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围． 3、如图，在平面直角坐标系中，直线y=- 3 x/4+b分别 与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），四边 形ABCD是正方形． （1）填空：b= ； （2）求点D的坐标； （3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 4、如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边0C上， 点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F 处，且AF/AE=4/3．若线段OA=8，又2AB=30A．请解答下 列问题： (1)求点B、F的坐标： (2)求直线ED的解析式： (3)在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动。以CP，CO为邻边构造□PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒. 2、四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，在建立如图的平面直角坐标系中，A（10，0）， B（8，6），直线x=4与直线AC交于P点，与x轴交于H点； （1）直接写出C点的坐标，并求出直线AC的解析一次函数与四边形综合题——轻舟数学 一．选择题（共1小题） 1．（2011?杭州自主招生）如图，直线PA是一次函数y=x+n（n＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣2x+m（m＞n）的图象．若PA与y轴交于点Q，且S四边形PQOB=，AB=2，则m，n的值分别是（） A．3，2 B．2，1 C．D． 1， 二．解答题（共16小题） 2．（2009春?静安区期末）如图，一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形． （1）求点A、B、D的坐标； （2）求直线BD的表达式． 3．（2010秋?常州期末）如图，已知函数y=x+1的图象与 y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1）， 并且与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D． （1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即 图中阴影部分的面积）； （2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的 点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如 果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由． （3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交 点D始终在第一象限，则系数k的取值范围 是． 4．（2012?绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）． （1）求G点坐标； （2）求直线EF解析式； （3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2014?温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造?PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒． （1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标； （2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形； （3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N 分别在一，四象限，在运动过程中，设?PCOD的面积为S． ①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值； ②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S 的取值范围． 专题10 一次函数中的四边形问题 知识对接 考点一、怎样解一次函数中的四边形问题 1、四边形面积常转化为若干个三角形面积之和（或差）． 2、画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。 3、规则图形（公式法）； 不规则图形（切割法）不含参数问题 ；含参数问题（用参数表示点坐标，转化成线段） 注意：坐标的正负、线段的非负性。 求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。 专项训练 一、单选题 1．如图在平面直角坐标系中，直线y kx k =+与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，将线段AB 沿某个方向平移，点A 、B 对应的点M 、N 恰好在直线22y x =-和直线2x =上，则当四边形AMNB 为菱形时N 点坐标为（ ） A ．()2,1 B ．()2,2 C ．()2,3 D ．()2,4 【答案】A 【分析】 求出A (0，k )和B (-1，0)，B 的对应点N 的横坐标为2，由此知道往右平移了3个单位，得到A 的对应点M 的横坐标为3，将M 点横坐标代入22y x =-中即可求出M 坐标，进而求解． 【详解】 解：令y kx k =+中y =0，得到B (-1，0)，令x =0，得到A (0，k )， ∵B 的对应点N 在2x =上， ∵N 点横坐标为2，故AB 往右平移了3个单位， ∵M 点横坐标为3，将x =3代入22y x =-中， 解得y =4， 故M 点的坐标为(3，4)， 又四边形AMNB 为菱形， ∵AB ²=AM ²， ∵1+k ²=3²+(4-k )²，解得k =3， ∵A (0,3)， 即AB 往右平移3个单位，往上平移了1个单位， 故N 坐标为(2，1)， 故选：A ． 【点睛】 本题考查了一次函数的平移、菱形的性质等知识点，属于基础题，计算过程中细心即可． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，//AB x 轴，点B 的坐标为()4,1， 60BAD ∠=︒，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右 平移，设直线l 与菱形ABCD 的两边分别交于点M ，N （点N 在点M 的上方），连接OM ， ON ，若OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（06t ≤≤），则S 与t 的函数图象大致 是（ ） A ． B ． 考点综合专题：一次函数与几何图形的综合问题 ——代几综合，明确中考风向标 ◆类型一一次函数与面积问题 1．如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B 的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为________． 2．如图，直线y＝－2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.【易错7】 (1)求A，B两点的坐标； (2)过B点作直线BP与x轴相交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积． 3．如图，直线y＝－x＋10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为(8，0)，点P(x，y)是在第一象限内直线y＝－x＋10上的一个动点． (1)求△OPA的面积S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当△OPA的面积为10时，求点P的坐标． ◆类型二一次函数与三角形、四边形的综合 4．(2016·长春中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(－1，1)，顶点B在第一象限，若点B在直线y＝kx＋3上，则k的值为________． 第4题图第5题图 5．(2016·温州中考)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式是() A．y＝x＋5 B．y＝x＋10 C．y＝－x＋5 D．y＝－x＋10 ◆类型三一次函数与几何图形中的规律探究问题 6．(2017·安顺中考)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y 轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n－1B n顶点B n的横坐标为________． 四边形和一次函数知识点梳理 一、 关系结构图： 二、知识点讲解： 1．平行四边形的性质（重点）： ABCD 是平行四边形??????????. 54321 ）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等； （）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ A B D O C C D A B A B C D O 2.平行四边形的判定（难点）： . 3. 矩形的性质： 因为ABCD 是矩形??? ? ??.3; 2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴． 4矩形的判定： 矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形； (2)有三个角是直角的四边形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)对角线相等且互相平分的四边形． ?四边形ABCD 是矩形. 5. 菱形的性质： 因为ABCD 是菱形???? ??.321 角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等； （有通性；）具有平行四边形的所（ 6. 菱形的判定： ?? ? ?? +边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321?四边形四边形ABCD 是菱形. 7.正方形的性质： ABCD 是正方形???? ??.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角； ）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ 8. 正方形的判定： ?? ? ?? ++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321?四边形ABCD 是正方形. A B D O C A D B C A D B C O C D B A O C D B A O 一、引言 在数学中，一次函数与四边形面积问题是一个常见的数学问题。一次 函数通常以y = ax + b的形式表示，其中a和b为常数。四边形面积问题涉及到矩形、平行四边形等多边形的面积计算。本文将结合数学 理论和实际例题，探讨一次函数与四边形面积问题的相关知识，帮助 读者更好地理解和应用这些数学概念。 二、一次函数的基本概念 1. 一次函数的定义 一次函数通常表示为y = ax + b的形式，其中a和b为常数，且a不等于0。其中，a称为斜率，决定了函数图像的斜率大小和方向；b称为截距，表示函数图像与y轴的交点坐标。 2. 一次函数的图像特征 一次函数的图像呈线性，是一条直线。斜率a决定了直线的倾斜程度，当a大于0时，直线向右上方倾斜；当a小于0时，直线向右下方倾斜；当a等于0时，直线平行于x轴。 3. 一次函数的应用 一次函数在现实生活中有广泛的应用，如经济学中的成本和收益、物 理学中的速度和加速度等。通过一次函数的图像和方程，可以更好地 理解各种现象和问题。 三、四边形面积的计算方法 1. 矩形的面积 矩形是一种特殊的四边形，所有角均为直角，相邻边长度相等。矩形的面积可以通过长度和宽度相乘来计算，即S = a * b，其中a和b分别表示矩形的长度和宽度。 2. 平行四边形的面积 平行四边形是另一种常见的四边形，它具有两对相等的对边和相等的对角线。平行四边形的面积可以通过底边长度和高度的乘积来计算，即S = a * h，其中a表示底边的长度，h表示平行于底边的高度。 3. 一般四边形的面积 一般的四边形面积计算相对复杂，通常需要将四边形分割成几个简单的部分，然后分别计算每个部分的面积，最后求和得到整个四边形的面积。 四、一次函数与四边形面积问题的实际例题分析 在实际问题中，一次函数与四边形面积问题经常相互关联，下面将通过具体例题来说明这种关联。 例题1：已知一次函数y = 2x + 3，以及一个底边长度为5，高度为3的平行四边形，请计算该平行四边形的面积。 一次函数与平行四边形的结合题型 已知平行四边形ABCD的两个对角线AC和BD交于点O，点 E是AC的中点，点F是BD的中点，点M是AB上一点，点 N是CD上一点。若直线MN与直线EF平行，且MN交AC 于点P，MN交BD于点Q，求证： OP=2OQ。 解法一：向量法 设向量$\vec{OM}$和$\vec{ON}$分别为$\vec{a}$和$\vec{b}$，则有$\vec{P}=t\vec{a}+(1-t)\vec{c}$和$\vec{Q}=s\vec{b}+(1- s)\vec{d}$，其中$\vec{c}$和$\vec{d}$分别为AC和BD的方 向向量。 由MN与EF平行可知$\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}+\vec{d}$，即$\vec{a}-\vec{c}=\vec{d}-\vec{b}$。 由$E=\dfrac{A+C}{2}$可得 $\vec{e}=\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{c}$，同理 $\vec{f}=\dfrac{1}{2}\vec{b}+\dfrac{1}{2}\vec{d}$。 因此，$\vec{p}-\vec{o}=\vec{e}$，$\vec{q}-\vec{o}=\vec{f}$。 又因为$\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$，所以 $\vec{c}=\vec{a}+\vec{d}-\vec{b}$，代入$\vec{e}$中可得 $\vec{e}=\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{1}{2 }(\vec{d}-\vec{b})=\vec{a}+\dfrac{1}{2}(\vec{d}-\vec{b})$。 八年级数学（下）压轴题专题 1．在直角坐标系xOy中，▱ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（5，2），D（2，2），直线l：y=kx+b与直线y=﹣2x平行． （1）k=； （2）若直线l过点D，求直线l的解析式； （3）若直线l同时与边AB和CD都相交，求b的取值范围； （4）若直线l沿线段AC从点A平移至点C，设直线l与x轴的交点为P，问是否存在一点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b=++16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒） （1）求B、C两点的坐标； （2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标． 3．如图1，在直角坐标系中，点A坐标为（0，12），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B（m，n） （1）若m=9，n=3，求直线l1和l2的解析式； （2）将△BAO绕点B顺时针旋转180°得△BFE， 如图2，连接AE，OF； ①证明：四边形OFEA是平行四边形； ②若四边形OFEA是正方形，则m=，n=． 4．已知：如图平面直角坐标系xOy中，C在x轴上，四边形OABC为菱形，且A 点坐标 为（﹣3，4），过A、C的直线交y轴于点M，连接BM （1）求直线AC的解析式 （2）一动点P从A出发，以每秒2个单位长度沿A→B→C向C点运动，设运动过程中△PBM的面积为S，运动时间为t（秒），试求出S关于t的函数关系式．（3）在（2）的条件下，试求出当t为何值时，△PBM的面积的最大值？最大值是多少？ 函数四边形综合 一、四边形性质--------点坐标、函数解析式 1、如图，一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形．（1）求点A、B、D 的坐标；（2）求直线BD的表达式． 2、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C．如果四边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式． 3、如图，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，且A的坐标为（1，1）． （1）求正比例函数的解析式；（2）已知M，N是y轴上的点，若四边形AMBN是矩形，求M、N的坐标． 4、如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B（﹣2，3），BC⊥x轴于C，四边形OABC 面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标； （3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果） 5、已知，如图，直线y=2x+4与x轴交于点E，与y轴交于点A，点D是直线AE在第一象限上的一点，以AD 为边，在第一象限内做正方形ABCD． （1）若AD=AE，试求点B的坐标； （2）若点B、D恰好在反比例函数上，求反比例函数的解析式． 6、如图，正比例函数y=2x与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A作AD垂直x轴，垂 足为D，过点C作CB垂直x轴，垂足为B，连接AB和CD．已知点A的横坐标为2． （1）求k的值； （2）求证：四边形ABCD是平行四边形； （3）P、Q两点是坐标轴上的动点（P为正半轴上的点，Q为负半轴上的点），当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是矩形时，求P、Q两点的坐标． 7、如图，反比例函数y=（m≠0）的图象过点E（2，﹣6），一次函数y=kx+b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点B、C，与y=的图象在第二象限交于点A，过点A作AD⊥OX，垂足为D，且OB=OD=OC．求反比例函数及一次函数的解析式． 1、如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=1/3AB，点P从B点出发，以1cm/s 的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰 三角形？ 2、如图，A，B是一次函数y=x+1图象上的两点，直线AB于x轴相交于点P，且，已知过A点的反比例函数为y=，则过B点的反比例函数为． 3、如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD； （2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比； （3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由． 4、如图所示，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），抛物线的对称轴x=2交x轴于点E． （1）求交点A的坐标及抛物线的函数关系式； （2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，使点P与A，B，C三点构成一个平行四边形？若存在，请直接写出点P 坐标：若不存在，请说明理由； （3）连接CB交抛物线对称轴于点D，在抛物线上是否存在一点Q，使得直线CQ把四边形 DEOC分成面积比为1：7的两部分？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 5、在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表 一次函数与四边形存在性 【学习目标】 1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题； 2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系． 平行四边形问题:（注意点的顺序） 1.给三点，先连接三点构成三角形；然后以每边为对角线构造平行四边形；以中点公式或者平移法求点坐标。 2.给两点，分为边和对角线讨论，充分利用平行四边形对边平行且相等，对角线平分两个全等三角形来做。 1.在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为 ． （1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为． （2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标． 2.已知点A、B、C、D可以构成平行四边形，且点A（－1，0），点B（0，3），点C（3，0），则第四个顶点D的坐标为_________________________； x y B C A O 举一反三： 1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，以线段AB 为边 作菱形ABCD （点C 、D 在第一象限），且点D 的纵坐标为9． （1）求点A 、点B 的坐标； （2）求直线DC 的解析式； （3）除点C 外，在平面直角坐标系xOy 中是否还存在点P ，使点A 、B 、D 、P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，在平面直角坐标系中，函数122+=x y 的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．过点A 的直线交 y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点． （1）求直线AC 的表达式； （2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标． 3. 如图10，直线102+-=x y 与x 轴交于点A ，又B 是该直线上一点，满足OA OB =， （1）求点B 的坐标； （2）若C 是直线上另外一点，满足AB=BC ，且四边形OBCD 是平行四边形，试画出符合要求的大致图 形，并求出点D 的坐标. 4.已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD ，且AD ∥BC ，AB=CD ，点A 在y 轴正半轴上，点B 、C 在x 轴上（点B 在点C 的左侧），点D 在第一象限，AD=3，BC=11，梯形的高为2，双曲线y=经过点D ，直线y=kx +b 经过A 、B 两点． O B A x y D 2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题 专题五一次函数中的四边形综合式问题 1、如图，正方形AOBC的边长为2，点O为坐标原点，边OB，OA分别在x轴，y轴上，点D是BC的中点， 点P是线段AC上的一个点，如果将OA沿直线OP对折，使点A的对应点A′恰好落在PD所在直线上．（1）若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是，OP所在的直线是，当点P在C点时，A′点的位置关系是，OP所在的直线表达式是． （2）若点P不是端点，用你所学的数学知识求出OP所在直线的表达式． （3）在（2）的情况下，x轴上是否存在点Q，使△DPQ的周长为最小值？若存在，请求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由． 解：（1）由轴对称的性质可得，若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是点A，OP所在的直线是y轴； 当点P在C点时， ∵∠AOC＝∠BOC＝45°， ∴A′点的位置关系是点B， OP所在的直线表达式是y＝x． 故答案为：A，y轴；B，y＝x． （2）连接OD， ∵正方形AOBC的边长为2，点D是BC的中点， ∴＝＝． 由折叠的性质可知，OA′＝OA＝2，∠OA′D＝90°．∴A′D＝1． 设点P（x，2），PA′＝x，PC＝2﹣x，CD＝1． ∴（x+1）2＝（2﹣x）2+12． 解得x＝． 所以P（，2）， ∴OP所在直线的表达式是y＝3x． （3）存在．若△DPQ的周长为最小， 即是要PQ+DQ为最小． ∵点D关于x轴的对称点是D′（2，﹣1）， ∴设直线PD'的解析式为y＝kx+b， ， 解得， ∴直线PD′的函数表达式为y＝﹣x+． 当y＝0时，x＝． ∴点Q（，0）． 2、如图1，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°，顶点C在直线l上 （1）操作： 过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．求证：△CAD≌△BCE． （2）模型应用： ①如图2，在直角坐标系中，直线l：y＝3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l绕着点A顺 时针旋转45°得到直线m．求直线m的函数表达式． ②如图3，在直角坐标系中，点B（4，3），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是直线BC上的一 个动点，点Q（a，5a﹣2）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由． 一次函数压轴题之平行四边形 1．如图，直线y＝x+n交x轴于点A（﹣8，0），直线y＝﹣x﹣4经过点A，交y轴于点B，点P是直线y＝﹣x﹣4上的一个动点，过点P作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于点D，连接PB，设点P的横坐标为m． （1）若点P的横坐标为m，则PD的长度为（用含m的式子表示）； （2）如图1，已知点Q是直线y＝x+n上的一个动点，点E是x轴上的一个动点，是否存在以A，B，E，Q为顶点的平行四边形，若存在，求出E的坐标；若不存在，说明理由； 2．如图，直线l1：y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y＝kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4． （1）不等式kx+b＞2x+2的解集是； （2）求直线l2的解析式及△CDE的面积； （3）点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标． 3．如图，直线l1的解析表达式为：y＝3x﹣3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C． （1）求△ADC的面积； （2）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，则点P的坐标为；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线AB与坐标轴分别交于点A、点B，且OA、OB的长分别为方程x2﹣6x+8＝0的两个根（OA＜OB），点C在y轴上，且OA：AC＝2：5，直线CD垂直于直线AB于点P，交x轴于点D． （1）求出点A、点B的坐标． （2）请求出直线CD的解析式． （3）若点M为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点M，使以点B、P、D、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 19.1.1 平行四边形及其性质(一) 一、教学目的： 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会实行相关的论证．3．培养学生发现问题、解决问题的水平及逻辑推理水平． 二、重点、难点 1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．2．难点：使用平行四边形的性质实行相关的论证和计算． 三、例题的意图分析 例1是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能使用平行四边形的性质实行相关的计算，讲课时，能够让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会使用平行四边形的性质实行相关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提升学生的推理论证水平和逻辑思维水平，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己实行推理论证． 四、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？ 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）． 注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生理解清楚） 2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下． 中考数学高频考点突破——一次函数与四边形综合 1.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足(m−6)2+√n−8=0．点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E 处． (1) 求OA，OC的长． (2) 求直线AD的解析式． (3) 点M在直线DE上，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M，A，N，C为顶 点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． x+3与x轴，y轴相交于A，B两点，2.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−1 2 点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90∘得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E． (1) 求证：△BOC≌△CED; (2) 如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△BʹCʹDʹ,当BʹCʹ经过点D时，求△ BCD平移的距离及点D的坐标； (3) 若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边 形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 3.对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P（点P在M内部或M上），给出如下 定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤2，那么称点P为图形M的和谐点．已知点A(−4,3)，B(−4,−3)，C(4,−3)，D(4,3)． (1) 在点P1(−2,1)，P2(−1,0)，P3(3,3)中，矩形ABCD的和谐点是； (2) 如果直线y=1 2x+3 2 上存在矩形ABCD的和谐点P，直接写出点P的横坐标t 的取值范围； (3) 如果直线y=1 2 x+b上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点（含端点）都是矩形ABCD的和谐点，且EF>2√5，直接写出b的取值范围． 4.如图（1），在平面直角坐标系中，直线y=−1 2 x+2交坐标轴于A，B两点．以AB 为斜边在第一象限作等腰直角三角形ABC，C为直角顶点，连接OC． (1) 求线段AB的长度． (2) 求直线BC的解析式． (3) 如图（2），将线段AB绕B点沿顺时针方向旋转至BD，且OD⊥AD，直线DO 交直线y=x+3于P点，求P点坐标． 5.已知：如图，在平面中直角坐标系xOy中，直线y=−3 4 x+6与x轴、y轴的交点分别为A，B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点C．数学-8年级-第16讲-一次函数与四边形综合
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