高中数学必修5限时训练与单元测试(25份)

双基限时练(一)1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC 中，sin A BC ＝a bc .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 ①②③不正确，④⑤正确． 答案 B2．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32解析 由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×sin45°sin60°＝2 3.答案 B3．在△ABC 中，已知b ＝2，c ＝1，B ＝45°，则a 等于( ) A.6－22 B.6＋22 C.2＋1D ．3－ 2解析 由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝sin45°2＝12，又b >c ，∴C＝30°，从而A＝180°－(B＋C)＝105°，∴a＝b sin Asin B，得a＝6＋22.答案 B4．在△ABC中，已知3b＝23a sin B，cos B＝cos C，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析利用正弦定理及第一个等式，可得sin A＝32，A＝π3，或2π3，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形．答案 B5．在△ABC中，若3a＝2b sin A，则B等于()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析∵3a＝2b sin A，∴3sin A＝2sin B sin A.∵sin A≠0，∴sin B＝32，又0°<B<180°，∴B＝60°，或120°.答案 D6．在△ABC中，已知a：b：c＝4：3：5，则2sin A－sin Bsin C＝________.解析 设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k (k >0)，由正弦定理，得 2sin A －sin B sin C ＝2×4k －3k5k ＝1. 答案 17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则边c ＝________.解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝30°， 由c sin C ＝b sin B ，得c ＝b sin C sin B ＝22×1222＝2.答案 28．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 解析 ∵tan A ＝13，∴sin A ＝110 .在△ABC 中，AB sin C ＝BCsin A ， ∴AB ＝BC sin A ·sin C ＝10×12＝102. 答案1029．在△ABC 中，若A ：B ：C ＝1：2：3，则a b c ＝________. 解析 由A ＋B ＋C ＝180°及A ：B ：C ＝1:2:3，知A ＝180°×16＝30°，B ＝180°×26＝60°，C ＝180°×36＝90°.∴a：b ：c ＝sin30°：sin60°：sin90°＝12：32：1＝1：3：2.答案 1：3：210．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE.解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24. (2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理，得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－ 2.11．△ABC 三边各不相等，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c且a cos A ＝b cos B ，求a ＋bc 的取值范围．解 ∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin2A ＝sin2B .∵2A,2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B ，或A ＋B ＝π2.如果A ＝B ，那么a ＝b 不合题意，∴A ＋B ＝π2. ∴a ＋b c ＝sin A ＋sin Bsin C ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4. ∵a ≠b ，C ＝π2，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且A ≠π4， ∴a ＋bc ∈(1，2)．12．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13. (1)求sin A ；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积． 解 (1)∵sin(C －A )＝1，－π<C －A <π， ∴C －A ＝π2.∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＋A ＋π2＝π，∴B ＝π2－2A ，∴sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝cos2A ＝13.∴1－2sin 2A ＝13.∴sin 2A ＝13，∴sin A ＝33.(2)由(1)知，A 为锐角，∴cos A ＝63，sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝63， 由正弦定理得AB ＝AC ·sin Csin B ＝6·6313＝6.S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×6×6×33＝3 2.双基限时练(二)1．在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2，则这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析 由a 2＋b 2<c 2，知cos C ＝a 2＋b 2－c22ab <0，又0<C <π，∴C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形． 答案 B2．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C ＝( ) A ．60° B ．120° C ．30°D ．45°或135°解析 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， 又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 A3．在△ABC 中，a ：b ：c ＝3：5：7，则△ABC 的最大角是( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析 由a ：b ：c ＝3：5：7，知最大边为c ，∴最大角为C ，设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0°<C <180°，∴C ＝120°.答案 D4．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形解析 由b 2＝ac 及余弦定理，得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos60°， 即ac ＝a 2＋c 2－ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 答案 B5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19解析 由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－CA 22·AB ·BC ＝72＋52－622·7·5＝1935.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝7×5×⎝⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.答案 D6．在△ABC 中，已知a ，b 是方程x 2－5x ＋2＝0的两根，C ＝120°，则边c ＝____________.解析 由韦达定理，得a ＋b ＝5，ab ＝2. 由(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ，得a 2＋b 2＝52－2×2＝21. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝23. ∴c ＝23. 答案237．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为____________．解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3，因此最大角为B ，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－17. 答案 －178．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝__________.解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，∴B ＝5π6.答案 5π69．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，则角C ＝________.解析 由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ， 得(a ＋b )2－c 2＝ab ，即a 2＋b 2－c 2＝－ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∴c ＝2π3. 答案 2π310．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断△ABC 的形状． 解 由余弦定理，知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋62－1022×7×6＝－528.在△ABC 中，0°<B <180°，∴90°<B <180°. ∴△ABC 为钝角三角形．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．解 (1)根据正弦定理及2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ， 得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)根据余弦定理得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ，∵b ＋c ＝4，∴bc ＝3.12．在△ABC 中，m ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3.(1)求C ；(2)已知c ＝72，三角形面积S ＝332，求a ＋b . 解 (1)∵m ＝(cos C 2，sin C2)， n ＝(cos C 2，－sin C2)， ∴m ·n ＝cos 2C2－sin 2C2＝cos C . 又m ·n ＝|m |·|n |cos π3＝12， ∴cos C ＝12.又0<C <π， ∴C ＝π3.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝72，∴494＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab . ∵S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ， 而S ＝332，∴ab ＝6.∴(a ＋b )2＝494＋3ab ＝494＋18＝1214.∴a＋b＝112.双基限时练(三)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6 B.π3 C.π6，或5π6D.π3，或2π3解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6.答案 A2．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A ．3－ 3 B. 2 C ．2D ．3＋ 3解析 由正弦定理，知BC sin A ＝AB sin C ，∴BC ＝AB sin Asin C ＝3×226＋24＝3－ 3.答案 A3．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B 等于( ) A ．105° B ．60°C ．15°D ．105°，或15°解析 先用正弦定理求角C ，由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝10×1252＝22. 又c >a ，∴C ＝45°，或135°，故B ＝105°，或15°. 答案 D4．已知三角形的三边之比为a ：b ：c ＝2：3：4，则此三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 设三边长为2a,3a,4a (a >0)，它们所对的三角形内角依次为A ，B ，C .则cos C ＝(2a )2＋(3a )2－(4a )22×2a ×3a ＝－14<0，∴C 为钝角．故该三角形为钝角三角形． 答案 B5．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin AD ．a ≥b sin A解析 在△ABC 中，由正弦定理，知 a ＝b sin Asin B ，∵0<sin B ≤1，∴a ≥b sin A . 答案 D6．△ABC 中，已知2A ＝B ＋C ，且a 2＝bc ，则△ABC 的形状是( ) A ．两直角边不等的直角三角形B ．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 解法1：由2A ＝B ＋C ，知A ＝60°.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴12＝b 2＋c 2－bc 2bc∴b 2＋c 2－2bc ＝0.即(b －c )2＝0，∴b ＝c . 故△ABC 为等边三角形．解法2：验证四个选项知C 成立． 答案 C7．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC 的长为____________．解析 由A ＋B ＋C ＝180°，求得B ＝60°. ∴BC sin A ＝AC sin B ⇒BC ＝AC sin A sin B ＝3×2232＝ 2.答案28．△ABC 中，已知a ＝2，c ＝3，B ＝45°，则b ＝________. 解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴b ＝ 5.答案59．在△ABC 中，a ＝23，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ， ∴43＝12×23×b ×223，∴b ＝3 2. 答案 3 210．在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值．解 解方程2x 2－3x －2＝0，得x 1＝－12，x 2＝2，而cos C 为方程2x 2－3x －2＝0的一个根，∴cos C ＝－12.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2＋ab .∴c 2＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ＝100－a (10－a )＝a 2－10a ＋100＝(a －5)2＋75≥75，∴当a ＝b ＝5时，c min ＝5 3.从而三角形周长的最小值为10＋5 3.11．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解 ∵lgsin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22.又∵B 为锐角，∴B ＝45°.∵lg a －lg c ＝－lg 2，∴a c ＝22.由正弦定理，得sin A sin C ＝22. 即2sin(135°－C )＝2sin C .∴2(sin135°cos C －cos135°sin C )＝2sin C . ∴cos C ＝0，∴C ＝90°，∴A ＝B ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形．12．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．解 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ， 由正弦定理，得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ， 整理，得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4，∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a ＝3. (3)∵a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形．双基限时练(四)1．在△ABC 中，若sin B ：sin C ＝3：4，则边c b 等于( )A ．4：3，或16：9B ．3：4C ．16：9D ．4：3解析 由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c b ＝sin C sin B ＝43. 答案 D2．在△ABC 中，已知a ＝32，b ＝162，∠A ＝2∠B ，则边长c 等于( )A ．32 2B ．16 2C ．4 2D ．16解析 由正弦定理，可得a b ＝sin A sin B ＝sin2B sin B ＝2cos B .∴cos B ＝22，∴B ＝45°，A ＝90°，∴c ＝b ＝16 2.答案 B3．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理及题设条件，知sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C .由sin Acos A ＝sin Bcos B ，得sin(A －B )＝0.∵0<A <π，0<B <π，得－π<A －B <π，∴A －B ＝0.∴A ＝B .同理B ＝C ，∴△ABC 是等边三角形．答案 B4．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6解析 由余弦定理，得 AC 2＝BC 2＋AB 2－2·AB ·BC ·cos B ＝62＋42－2×6×4×13＝36，∴AC ＝6. 答案 A5．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A ．5B ．10C ．10 2D ．10 3解析 如图，设将坡底加长到C 时，倾斜角为30°，在△ABC 中，AB ＝10 m ，∠C ＝30°，∠BAC ＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AB sin C .即BC ＝AB sin ∠BAC sin C＝10×2212＝102(m)． 答案 C6．在△ABC 中，已知AC ＝2，BC ＝3，cos A ＝－513，则sin B ＝________.解析 ∵cos A ＝－513，∴sin A ＝1213. 由正弦定理，可得3sin A ＝2sin B ， ∴sin B ＝2sin A 3＝23×1213＝813. 答案 8137．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h，该船实际航程为________．解析 如图所示，设O A →表示水流方向，O B →为船航行方向．则O C →为船实际航行方向．由题意，知|A C →|＝43，|O A →|＝23，∠OAC ＝60°， 在△OAC 中，由余弦定理，得OC2＝(43)2＋(23)2－2×43×23×1＝36.2∴|OC|＝6.答案 6 km8．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为________ km.解析如图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×33×2×cos150°＝49，AC＝7.则A，C两地距离为7 km.答案79．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.解析如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin45°sin60°＝1063(cm)．答案1063 cm10．如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠BCD ＝75°，∠CDB ＝45°，求炮兵阵地与目标的距离．解 ∠CBD ＝180°－∠CDB －∠BCD ＝180°－45°－75°＝60°， 在△BCD 中，由正弦定理，得 BD ＝CD sin75°sin60°＝6＋22.在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos105°＝3＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×2－64＝5＋2 3. ∴AB ＝5＋2 3.∴炮兵阵地与目标的距离为5＋23km.双基限时练(五)1．如图，B ，C ，D 三点在地面同一直线上，CD ＝a ，从C ，D 两点测得A 点仰角分别为β，α(β＞α)，则点A 离地面的高度等于( )A.a sin αcos βcos (α－β) B.a cos αsin βcos (α－β) C.a sin αcos βsin (β－α)D.a sin αsin βsin (β－α)解析 在△ACD 中，由正弦定理， 得AC sin α＝CD sin (β－α)，∴AC ＝a sin αsin (β－α).在Rt △ABC 中，AB ＝AC sin β＝a sin αsin βsin (β－α).答案 D2．在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高度为( )A ．20(1＋3) mB ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33 mC ．20(6＋2) mD ．10(6＋2) m解析 如图所示，易知AD ＝CD ＝AB ＝20(m)，在Rt △ADE 中，DE ＝AD tan60°＝20 3 (m)． ∴塔吊的高度为CE ＝CD ＋DE ＝20(1＋3)(m)． 答案 A3．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )A.4003 m B.40033 m C.20033 mD.2003 m解析 由山顶看塔底的俯角为60°，可知山脚与塔底的水平距离为2003，又山顶看塔顶的俯角为30°，设塔高为x m ，则200－x ＝2003×33，∴x ＝4003 m.答案 A4．如图，一船从C 处向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔A，B恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达D处，看见灯塔B在船的南偏西60°，灯塔A在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里解析由题意知AB＝BD＝10，所以CD＝12BD＝5.故这只船的速度是10海里/小时．答案 C5．如图，CD是一座铁塔，线段AB和塔底D同在水平地面上，在A，B两点测得塔顶C的仰角分别为60°，45°，又测得AB＝24 m，∠ADB＝30°，则此铁塔的高度为()A．18 3 m B．20 3 mC．32 m D．24 3 m解析在Rt△ACD中，∠DAC＝60°，∴CD＝AD tan60°＝3AD.在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝3AD.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，，即242＝AD2＋3AD2－2×3AD2×32∴AD＝24.故CD＝243(m)．答案 D6．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝旋转后的方向走 3 km后他离最开始的出发点恰好为 3 km，那么x的值为________．解析如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC ＝30°.由余弦定理，得(3)2＝32＋x2－2×3×x cos30°，即x2－33x＋6＝0，解得x1＝3，x2＝23，经检验都适合题意．答案3或2 37．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．解析 由题意在三角形ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°.由正弦定理BC ＝AB sin ∠ACB ·sin ∠BAC ＝30sin15°·sin30°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38.答案 无8．如图，线段AB ，CD 分别表示甲、乙两楼，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲梯顶部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝________米．解析在Rt△ABD中，AB＝24，∠BAD＝30°，∴BD＝AB tan30°＝8 3.在△ACE中，CE＝AE·tanα＝BD tan30°＝8.∴CD＝CE＋DE＝24＋8＝32(米)．答案329．甲船自某港出发时，乙船在离港7海里的海上驶向该港，已知两船的航向成120°角，甲、乙两船航速之比为2：1，求两船间距离最短时，各离该海港多远？解如图所示，甲船由A港沿AE方向行驶，乙船由D处向A港行驶，显然∠EAD＝60°.设乙船航行到B处行驶了s海里，此时A船行驶到C处，则AB＝7－s，AC＝2s，而∠EAD＝60°，由余弦定理，得BC2＝4s2＋(7－s)2－4s(7－s)cos60°＝7(s－2)2＋21(0≤s<7)．∴s＝2时，BC最小为21，此时AB＝5，AC＝4.即甲船离港4海里，乙船离港5海里．故两船间距离最短时，甲船离港4海里，乙船离港5海里．10.如图，甲船在A 处观察到乙船，在它的北偏东60°的方向，两船相距10海里，乙船正向北行驶．若乙船速度不变，甲船是乙船速度的3倍，则甲船应朝什么方向航行才能遇上乙船？此时甲船行驶了多少海里？解 设到C 点甲船遇上乙船， 则AC ＝3BC ，B ＝120°， 由正弦定理，知BC sin ∠CAB＝AC sin B ，即1sin ∠CAB ＝3sin120°，sin ∠CAB ＝12.又∠CAB 为锐角， ∴∠CAB ＝30°.又C ＝60°－30°＝30°，∴BC ＝AB ＝10， 又AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°， ∴AC ＝103(海里)，因此甲船应取北偏东30°方向航行才能遇上乙船，遇上乙船时甲船行驶了103海里．双基限时练(六)1．在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( )A ．9B ．18C ．9 3D ．18 3解析 由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ， ∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝6×sin120°sin30°＝6 3. 又∠ACB ＝180°－120°－30°＝30°， ∴S △ABC ＝12×63×6×12＝9 3. 答案 C2．在△ABC 中，若a 2＋b 2＋ab <c 2，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．形状无法判定解析 由a 2＋b 2＋ab <c 2，得a 2＋b 2－c 2<－ab . 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <－12.又cos120°＝－12，∴C >120°，故△ABC 为钝角三角形． 答案 A3．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( )A. 3B ．1C.33D.32解析 由S △ABC ＝12BC ·BA sin B ＝32，得BA ＝1， 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B . ∴AC ＝3，∴AC 2＋BA 2＝BC 2.∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角． ∴tan C ＝AB AC ＝33. 答案 C4．三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则该三角形的面积是( )A ．6 B.152 C ．8D ．10解析 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35，或x ＝2(舍去)．∴cos α＝－35，sin α＝45，∴S △＝12×3×5×45＝6.答案 A5．△ABC 中，A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为( )A ．7B ．25C ．55D ．49解析 由S ＝220 3，得12bc sin A ＝220 3.即12×16×c ×32＝220 3，∴c ＝55. ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝162＋552－2×16×55×12＝2401.∴a ＝49. 答案 D6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝________.解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3＋9－2×3×3×32＝3，∴c ＝ 3.又a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin Cc ＝3·123＝12，∴a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°. 答案 30°7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝______.解析 ∵(3b －c )cos A ＝a cos C ， ∴由正弦定理，得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C .∴3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .∴cos A ＝33.答案 338．在△ABC 中，a 2－b 2＋bc ·cos A －ac ·cos B ＝________. 解析 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，得bc ·cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)，同理ac ·cos B ＝12(a 2＋c 2－b 2)．∴a 2－b 2＋bc ·cos A －ac ·cos B＝a 2－b 2＋12(b 2＋c 2－a 2)－12(a 2＋c 2－b 2)＝a 2－b 2＋b 2－a 2＝0. 答案 09．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，c ＝4，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C的值为________．解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得a ＋b ＋c ＝2R (sin A ＋sin B ＋sin C )．又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－2×1×4×12＝13，∴a ＝13，∴a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393. 答案 239310．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，又c ＝21，b ＝4，且BC 边上的高h ＝2 3.(1)求角C ； (2)求边a 的长．解 (1)由于△ABC 为锐角三角形，过A 作AD ⊥BC 于D 点，sin C ＝234＝32，则C ＝60°. (2)由余弦定理，可知 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，则(21)2＝42＋a 2－2×4×a ×12，即a 2－4a －5＝0. 所以a ＝5，或a ＝－1(舍)． 因此所求角C ＝60°，边a 长为5.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 解 (1)由余弦定理及已知条件，得 a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3得ab ＝4，联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A . 当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6， ∴a ＝433，b ＝233.∴△ABC 的面积S ＝12·a 2－b 2·b ＝23 3. 当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，知b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.12．△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．解 (1)在△ABC 中，∵cos A ＝1213，∴sin A ＝513. 又S △ABC ＝12bc sin A ＝30，∴bc ＝12×13. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝bc cos A ＝144. (2)由(1)知bc ＝12×13，又c －b ＝1， ∴b ＝12，c ＝13.在△ABC 中，由余弦定理，得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝122＋132－2×12×13×1213＝25，∴a ＝5.双基限时练(七)1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是同一数列B ．数列0,1,2,3，…的通项公式为a n ＝n C. 0,1,0,1，…是常数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1是递增数列答案 D2．数列23，45，67，89，…的第10项是( ) A.1617 B.1819 C.2021 D.2223答案 C3．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 答案 C4．下列说法不正确的是( ) A ．数列可以用图形表示 B ．数列的通项公式不唯一 C ．数列的项不能相等 D ．数列可能没有通项公式 答案 C5．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析 由a n ＋1－a n －3＝0，得a n ＋1＝a n ＋3， ∴数列{a n }是递增数列． 答案 A6．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *) B ．a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2) C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2) D ．a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)解析 把数的前5项代入验证，知a n ＝a n －1＋n 适合． 答案 B7．观察数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，________，11，….答案 38．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．解析 令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，解得n ＝10，或n ＝52(舍去)，∴a 10＝0.08. 答案 109．若数列的通项公式是a n ＝3－2n，则a 2n ＝________；a 2a 3＝________.解析 ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ＝3－4n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.答案 3－4n 1510．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－8n ＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．解析 由a n ＝n 2－8n ＋12<0， 得(n －2)(n －6)<0， ∴2<n <6，又n ∈N ＋， ∴n ＝3,4,5共3项． 答案 311．根据数列的通项公式，写出下列数列的前5项，并用图象表示出来．(1)a n ＝(－1)n ＋2； (2)a n ＝2nn ＋1.解 (1)∵a n ＝(－1)n ＋2，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝1，a 4＝3，a 5＝1. ∴数列的前5项是1,3,1,3,1. 图象如图①.① ②(2)数列{a n }的前5项依次是：1，43，32，85，53.图象如图②. 12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －23n ＋1.(1)求a 10；(2)710是否为该数列中的项？若是，它为第几项？ (3)求证：0<a n <1.解 (1)a 10＝3×10－23×10＋1＝2831.(2)令a n ＝710，即3n －23n ＋1＝710，解得n ＝3，∴710为数列{a n }中的项，为第3项． (3)证明：a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1.∵n ∈N *，∴3n ＋1>3.∴0<33n ＋1<1，∴0<1－33n ＋1<1，即0<a n <1.双基限时练(八)1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．0,0,0，…，0，…B ．－2，－1,0，…，n －3，…C ．1,3,5，…，2n －1，…D ．0,1,3，…，n 2－n2，… 答案 D2．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2009－7n ，则使a n <0的最小n 的值为( )A ．286B ．287C ．288D ．289答案 C3．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 解析⎩⎨⎧a 7＋a 9＝16，a 4＝1，⇒⎩⎨⎧2a 1＋14d ＝16，a 1＋3d ＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－174，d ＝74.∴a 12＝－174＋11×74＝15. 答案 A4．等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为( )A ．5x ＋5B ．2x ＋1C ．5D ．4解析 由等差中项，得2(2x ＋1)＝x ＋4x ＋2 ∴x ＝0，∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝4. 答案 D5．若{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q )D.p ＋q 2解析 依题意，得a p ＝a 1＋(p －1)d ＝q ， a q ＝a 1＋(q －1)d ＝p ，∴p －q ＝(q －p )d ，∴d ＝－1，∴a 1＝p ＋q －1. ∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)(－1)＝0. 答案 B6．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析 依题意，得m ＋2n ＝8,2m ＋n ＝10， 两式相加m ＋n ＝6，∴m 和n 的等差中项为3. 答案 B7．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，则首项a 1＝________，公差d ＝________.解析由⎩⎨⎧a 5＝10，a 12＝31，⇒⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，⇒⎩⎨⎧a 1＝－2，d ＝3.答案 －2 38．已知f (n ＋1)＝f (n )－14(n ∈N *)，且f (2)＝2，则f (101)＝________. 解析 令a n ＋1＝f (n ＋1)，则 a n ＋1＝a n －14，且a 2＝2， ∴a 2＝a 1－14，∴a 1＝94.∴a n ＝94＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝52－14n .∴f (101)＝a 101＝52－14×101＝－914. 答案 －9149．已知数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ∈N *，n ≥2)且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．解析 由a n －1＋a n ＋1＝2a n ，得 a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． ∴数列{a n }是等差数列．又a 1＝1，a 2＝3，∴d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 答案 a n ＝2n －110．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.解 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则根据题意，得⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋14d ＝25.解得a 1＝4，d ＝32. ∴a n ＝4＋32(n －1)＝32n ＋52. ∴a 25＝32×25＋52＝40.11．(1)求等差数列3,7,11，…的第4项与第10项．(2)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．解 (1)由a 1＝3，d ＝7－3＝4， n ＝4，得a 4＝3＋(4－1)×4＝15； n ＝10时，得a 10＝3＋(10－1)×4＝39.(2)由a 1＝2，d ＝9－2＝7，得这个数列的通项公式为a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5.令7n －5＝100， 解得n ＝15∈N *，∴100是这个数列的第15项．12．假设某市2008年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增加50万平方米．那么从哪一年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米？解设从2007年年底开始，n年后该市每年新建的住房面积为a n万平方米．由题意，得{a n}是等差数列，首项a1＝400，公差d＝50.所以a n＝a1＋(n－1)d＝350＋50n.令350＋50n>820，解得n>475.由于n∈N*，则n≥10.所以从2017年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米．双基限时练(九)1．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0D ．－12解析 2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0. 答案 C2．已知等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2＝( ) A ．3 B ．－3 C.32 D ．－32答案 A3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．40B ．42C ．43D ．45 解析 a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝13， 又a 1＝2，∴d ＝3， ∴a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3(a 1＋4d )＝3(2＋12)＝42. 答案 B4．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3＝20，∴a 3＝4. 答案 A5．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 100<0 C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51解析 由已知，可得a 51＝0，∴a 3＋a 99＝2a 51＝0. 答案 C6．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37解析 令c n ＝a n ＋b n ，则{c n }也为等差数列，c 1＝a 1＋b 1＝100，∴c 2＝a 2＋b 2＝100，∴c n ＝100，∴c 37＝a 37＋b 37＝100.答案 C7．等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d ＝________. 解析 a 8＝a 3＋5d ， ∴d ＝a 8－a 35＝－20－105＝－6. 答案 －68．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________.解析 a 5＋a 8＝a 2＋a 11＝a 3＋a 10，又a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，∴a 5＋a 8＝18.答案 189．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________.解析 依题意得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为等差数列，且公差d ＝1.又a 11＝1，∴a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，a n ＝n 2.答案 n 210．已知{a n }是等差数列，a 1＝15，a n ＝17－2n ，则过(3，a 2)、(4，a 4)两点的直线的斜率为________．解析 ∵a 1＝15，a n ＝17－2n ， ∴a 2＝17－4＝13，a 4＝17－8＝9.∴过点(3,13)、(4,9)两点的直线的斜率为k ＝9－134－1＝－4.答案 －411．已知数列{a n }，a n ＝2n －1，b n ＝a 2n －1. (1)求{b n }的通项公式；(2)数列{b n }是否为等差数列？说明理由． 解 (1)∵a n ＝2n －1，b n ＝a 2n －1， ∴b 1＝a 1＝1，b 2＝a 3＝5，b 3＝a 5＝9，…，b n ＝a 2n －1＝2(2n －1)－1＝4n －3.(2)由b n ＝4n －3，知b n －1＝4(n －1)－3＝4n －7. ∵b n －b n －1＝(4n －3)－(4n －7)＝4， ∴{b n }是首项b 1＝1，公差为4的等差数列．12．已知f (x )＝x 2－2x －3，等差数列{a n }中，a 1＝f (x －1)，a 2＝－32，a 3＝f (x )．求：(1)x 的值； (2)通项a n .解 (1)由f (x )＝x 2－2x －3， 得a 1＝f (x －1)＝(x －1)2－2(x －1)－3 ＝x 2－4x ，a 3＝x 2－2x －3，又因为a 1，a 2，a 3成等差数列， 所以2a 2＝a 1＋a 3，即－3＝x 2－4x ＋x 2－2x －3， 解得x ＝0，或x ＝3.(2)当x ＝0时， a 1＝0，d ＝a 2－a 1＝－32， 此时a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－32(n －1)； 当x ＝3时，a 1＝－3，d ＝a 2－a 1＝32，。