2019届人教B版(理科数学) 3.6 正弦定理和余弦定理 单元测试
专题10 解三角形(正弦定理与余弦定理)(理科)解析版
绝密★启用前|满分数学命制中心 专题10 解三角形（正弦定理与余弦定理）
一、选择题（每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋
c)(a－b＋c)＝ac，sinAsinC＝3-14，则角C=（ ） A．C＝15°或C＝45° B．C＝15°或C＝30° C．C＝60°或C＝45° D．C＝30°或C＝60° 【答案】A 【解析】因为()()abcabcac，所以222acbac．
由余弦定理得，2221cos22acbBac， 因此120B，所以60AC，所以cos()coscossinsinACACAC coscossinsin2sinsinACACAC cos()2sinsinACAC
13132242， 故30AC或030AC，因此，15C或45C，故选A。
2．（2020届百校联考高考考前冲刺）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现
代式子表示即为：在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，则ABC的面积
2222
21()42abcSab
.根据此公式，若cos3cos0aBbcA，且2222abc，则
ABC的面积为（ ）
A．2 B．22 C．6 D．23 【答案】A 【解析】由cos3cos0aBbcA得sincoscossin3sincos0ABABCA， 即sin3sincos0ABCA，即sin13cos0CA， 因为sin0C，所以1cos3A， 由余弦定理22222cos23abcbcAbc，所以3bc， 由ABC的面积公式得222222211()312424cbaSbc，故选A。 3．（2018•新课标Ⅲ，理9文11）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC的面积为 2224abc
2019届人教B版(文科数学) 第4章第4讲 正、余弦定理及解三角形 单元测试
第四讲正、余弦定理及解三角形题组1正、余弦定理及其综合应用1.[2016全国卷Ⅲ,9,5分][文]在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则sin A=()A.310 B.1010C.55D.310102.[2014新课标全国Ⅱ,4,5分]钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=() A.5 B.C.2 D.13.[2013新课标全国Ⅱ,4,5分][文]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC的面积为()A.2+2B.1C.2-2D.-14.[2013陕西,9,5分][文]设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos C+c cos B=a sin A,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定5.[2017全国卷Ⅱ,16,5分][文]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2b cos B=a cos C+c cos A,则B=.6.[2017全国卷Ⅲ,15,5分][文]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=6,c=3,则A=.7.[2015新课标全国Ⅰ,16,5分]在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.8.[2015北京,12,5分]在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2Asin C=.9.[2017全国卷Ⅰ,17,12分]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为a23sin A.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.10.[2016四川,17,12分]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cos Aa +cos Bb=sin Cc.(Ⅰ)证明:sin A sin B=sin C;(Ⅱ)若b2+c2-a2=65bc,求tan B.11.[2015新课标全国Ⅱ,17,12分][文]△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.(Ⅰ)求sin∠Bsin∠C;(Ⅱ)若∠BAC=60°,求∠B.题组2解三角形的实际应用12.[2014四川,8,5分][文]如图4-4-1,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()图4-4-1A.240(3-1)mB.180(-1)mC.120(3-1)mD.30(3+1)m13.[2015湖北,15,5分][文]如图4-4-2,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.图4-4-214.[2014新课标全国Ⅰ,16,5分][文]如图4-4-3,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100 m,则山高MN=m.图4-4-3A组基础题1.[2018合肥市高三调研,6]在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,C=60°,a=4b,c=13,则△ABC的面积为()A.3B.132C.23D.132.[2018重庆六校第一次联考,7]在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形3.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,8]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=1,b=,A=30°,B为锐角,那么角A∶B∶C为()A.1∶1∶3B.1∶2∶3C.1∶3∶2D.1∶4∶14.[2018福州四校联考,16]在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足(a+b)sin C2=12,(a-b)cos C2=5,则c=.5.[2018广东七校第一次联考,16]在△ABC中,点D在边AB上,CD⊥BC,AC=53,CD=5,BD=2AD,则AD的长为.6.[2017沈阳市高三三模,15]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=5,B=2π3,△ABC的面积为1534,则cos 2A=.7.[2018湖北八校第一次联考,17]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若23cos2A+cos 2A=0,且△ABC为锐角三角形,a=7,c=6,求b的值;(2)若a=3,A=π3,求b+c的取值范围.8.[2017武汉市五月模拟,17]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2c-ba =cos B cos A.(1)求角A的大小;(2)若D为BC边上一点,且CD=2DB,b=3,AD=求a.B组提升题9.[2018成都市高三摸底测试,11]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且23(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B,△ABC的外接圆半径为3.则△ABC面积的最大值为()A.38B.34C.938D.93410.[2017安徽省合肥市高三二检,11]在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)·sin C.若a=3,则b2+c2的取值范围是()A.(3,6]B.(3,5)C.(5,6]D.[5,6]11.[2018惠州市高三一调,16]已知a,b,c是△ABC中角A,B,C的对边,a=4,b∈(4,6),sin 2A=sin C,则c的取值范围为.12.[2018石家庄市重点高中高三摸底考试,17]某学校的平面示意图如图4-4-5中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教区,AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE=2π3,∠BAE=π3,DE=3BC=3CD=910km.图4-4-5(1)求道路BE的长度;(2)求生活区△ABE面积的最大值.13.[2017天星教育第二次大联考,17]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin C=-3cosA cos B,tan A tan B=1-3,c=10.(1)求sin A+sin Ba+b的值;(2)若1a +1b=1,求△ABC的周长与面积.答案1.D设BC边上的高为AD,则BC=3AD,又B=π4,所以BD=AD,DC=2AD,所以AC= AD2+DC2=AD.由正弦定理,知ACsin B =BCsin A,即5AD2=3ADsin A,解得sin A=31010,故选D.2.B由题意,得12AB·BC·sin B=12,又AB=1,BC=2,所以sin B=22,所以B=45°或B=135°.当B=45°时,由余弦定理,得AC=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=1,此时AC=AB=1,BC=2,易得A=90°,与已知条件“钝角三角形”矛盾,故舍去.所以B=135°.由余弦定理可得AC=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=5.故选B.3.B由正弦定理知bsin B =csin C,结合条件得c=b sin Csin B=22.又sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=6+24,所以△ABC的面积S=12bc sin A=3+1.4.A依据题设条件及边化角选用正弦定理,得sin B cos C+cos B sin C=sin2A,则sin(B+C)=sin2A,由三角形内角和及互补角的性质,得sin(B+C)=sin(π-A)=sin A=sin2A,因为A∈(0,π),所以sin A=1,所以A=π2,即△ABC为直角三角形.故选A.5.π3解法一依题意,得2b×a2+c2-b22ac=a×a2+b2-c22ab+c×b2+c2-a22bc,即a2+c2-b2=ac,所以2ac cos B=ac>0,故cos B=12.又0<B<π,所以B=π3.解法二依题意,得2sin B cos B=sin A cos C+sin C cos A=sin(A+C)=sin B>0,因此cos B=12,又0<B<π,所以B=π3.6.75°由正弦定理得sin B=b sin Cc =6sin60°3=22,所以B=45°或B=135°,因为b<c,所以B<C,故B=45°,所以A=75°.7.(6-2,6+2)如图D 4-4-1,作△PBC,使∠B=∠C=75°,BC=2,作直线AD分别交线段PB,PC于A,D两点(不与端点重合),且使∠BAD=75°,则四边形ABCD就是符合题意的四边形.过C作AD的平行线交PB于点Q,在△PBC中,可求得BP=6+2,在△QBC中,可求得BQ=,所以AB的取值范围是(.图D 4-4-18.1由正弦定理,得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,又由余弦定理,知cos A=b2+c2-a22bc =25+36−162×5×6=34,所以sin2Asin C=2sin A cos Asin C=2×sin Asin C×cos A=2×46×34=1.9.(1)由题设,得12ac sin B=a23sin A,即12c sin B=a3sin A.由正弦定理,得12sin C sin B=sin A3sin A.故sin B sin C=23.(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=16-23=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3,故A=π3.由题设,得12bc sin A=a23sin A,即bc=8.由余弦定理,得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,所以b+c=33.故△ABC的周长为3+33.10.(Ⅰ)根据正弦定理,可设asin A =bsin B=csin C=k(k>0),则a=k sin A,b=k sin B,c=k sin C.代入cos Aa +cos Bb=sin Cc中,有cos Ak sin A+cos Bk sin B=sin Ck sin C,变形可得sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, 所以sin A sin B=sin C.(Ⅱ)由b2+c2-a2=65bc,并结合余弦定理,有cos A=b2+c2-a22bc =3 5.所以sin A=1−cos2A=45.由(Ⅰ)知sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B,所以45sin B=45cos B+35sin B,故tan B=sin Bcos B=4.11.(Ⅰ)由正弦定理,得ADsin∠B =BDsin∠BAD ,ADsin∠C =DCsin∠CAD.因为AD 平分∠BAC ,BD=2DC ,所以sin∠B sin∠C =DCBD =12.(Ⅱ)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B ),∠BAC=60°,所以sin ∠C=sin(∠BAC+∠B )= 32cos ∠B+12sin ∠B. 由(Ⅰ)知2sin ∠B=sin ∠C ,所以tan ∠B= 33,即∠B=30°. 12.C 因为tan 15°=tan(60°-45°)=tan 60°−tan 45°1+tan 60°tan 45°=2- 3, 所以BC=60tan 60°-60tan 15°=120( 3-1)(m),故选C .13.100 6 由题意,得∠BAC=30°,∠ABC=105°.在△ABC 中,因为∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,所以∠ACB=45°,因为AB=600 m,由正弦定理可得600sin 45°=BCsin 30°,即BC=300 2 m .在Rt △BCD 中,因为∠CBD=30°,BC=300 2 m,所以tan 30°=CDBC =3002,所以CD=100 m .14.150 由题意,得在三角形ABC 中, AC=100 在三角形MAC 中,MAsin 60°=ACsin 45°,解得MA=100 3,在三角形MNA 中,1003=sin 60°= 32,故MN=150,即山高MN 为150 m .A 组基础题1.A 由余弦定理知( 13)2=a 2+b 2-2ab cos 60°,因为a=4b ,所以13=16b 2+b 2-2×4b×b×12,解得b=1或b=-1(舍去),所以a=4,所以S △ABC =12ab sin C= 3,故选A .2.A 已知等式变形得cos B+1=ac +1,即cos B=ac ①.由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b 22ac,代入①得a 2+c 2-b 22ac=a c ,整理得b 2+a 2=c 2,即C 为直角,则△ABC 为直角三角形.3.B解法一由正弦定理asin A =bsin B,得sin B=b sin Aa=32.∵B为锐角,∴B=60°,则C=90°,故A∶B∶C=1∶2∶3,故选B.解法二由a2=b2+c2-2bc cos A,得c2-3c+2=0,解得c=1或c=2.当c=1时,△ABC为等腰三角形,B=120°,与已知矛盾,当c=2时,a<b<c,则A<B<C,排除选项A,C,D,故选B.4.13因为(a+b)sin C2=12,(a-b)cos C2=5,所以(a+b)2(1-cos C)2=144①,(a-b)2(1+cos C)2=25②,由①②得2a2+2b2-4ab cos C2=169,即a2+b2-2ab cos C=169,由余弦定理得c2=169,所以c=13.5.5在△ABC中,BD=2AD,设AD=x(x>0),则BD=2x.在△BCD中,因为CD⊥BC,CD=5,BD=2x,所以cos∠CDB=CDBD =52x.在△ACD中,AD=x,CD=5,AC=5, 则cos∠ADC=AD2+CD2-AC22×AD×CD=x2+52-(53)22×x×5.因为∠CDB+∠ADC=π,所以cos∠ADC=-cos∠CDB,即x2+52-(53)22×x×5=-52x,解得x=5,所以AD的长为5.6.71 98由三角形的面积公式,得S△ABC=12ac sin B=12×a×5×sin2π3=12×32×5a=1534,解得a=3.由b2=a2+c2-2ac cos B=32+52-2×3×5×(-12)=49,得b=7.又由asin A =bsin B⇒sin A=absin B=37sin2π3=3314,故cos 2A=1-2sin2A=1-2×(3314)2=7198.7.(1)∵23cos2A+cos 2A=23cos2A+2cos2A-1=0,∴cos2A=125,又A为锐角,∴cos A=15,而a2=b2+c2-2bc cos A,即b2-125b-13=0,解得b=5(负值舍去),∴b=5.(2)解法一由正弦定理可得b+c=2(sin B+sin C)=2[sin B+sin(2π3-B)]=23sin(B+π6),∵0<B<2π3,∴π6<B+π6<5π6,∴12<sin(B+π6)≤1,∴b+c∈(3,23].解法二由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A可得b2+c2-3=bc,即(b+c)2-3=3bc≤34(b+c)2,当且仅当b=c时取等号,∴b+c≤23,又由两边之和大于第三边可得b+c>3,∴b+c∈(3,23].8.(1)由已知得(2c-b)cos A=a cos B,由正弦定理,得(2sin C-sin B)cos A=sin A cos B,整理,得2sin C cos A-sin B cos A=sin A cos B,即2sin C cos A=sin(A+B)=sin C.又sin C≠0,所以cos A=12,所以A=π3.(2)如图D 4-4-2,图D 4-4-2过点D作DE∥AC交AB于E,又CD=2DB,∠BAC=π3,所以ED=13AC=1,∠DEA=2π3.由余弦定理可知,AD2=AE2+ED2-2AE·ED cos2π3,得AE=4,则AB=6.又AC=3,∠BAC=π3,所以在△ABC中,由余弦定理得a=BC=33. B组提升题9.D由正弦定理,得asin A =bsin B=csin C=23,所以sin A=23,sin B=23,sin C=23,将其代入23(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B,得a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab =12,又0<C<π,所以C=π3.于是S△ABC=12ab sin C=1 2×23sin A×23sin B×sin π3=33sin A sin B=332[cos(A-B)-cos(A+B)]=332[cos(A-B)+cos C]=332cos(A-B)+334.当A=B=π3时,S△ABC取得最大值,最大值为934,故选D.10.C由正弦定理可得(a-b)·(a+b)=(c-b)·c,即b2+c2-a2=bc,cos A=b2+c2-a22bc =1 2,又A∈(0,π2),∴A=π3.∵bsin B =csin C=3sinπ=2,∴b2+c2=4(sin2B+sin2C)=4[sin2B+sin2(A+B)]=4{1-cos2B2+1-cos[2(A+B)]2}=3sin 2B-cos 2B+4=2sin(2B-π6)+4.∵△ABC是锐角三角形,∴B∈(π6,π2),即2B-π6∈(π6,5π6),∴12<sin(2B-π6)≤1,∴5<b2+c2≤6.故选C.11.4 2 10 由4sin A =csin C,得4sin A =csin 2A,∴c=8cos A ,∵16=b 2+c 2-2bc cos A ,∴16-b 2=64cos 2A-16b cos 2A , 又b ≠4,∴cos 2A=16-b 264-16b=(4-b )(4+b )16(4-b )=4+b 16,∴c 2=64cos 2A=64×4+b 16=16+4b.∵b ∈(4,6),∴32<c 2<40,∴4 2<c<2 10. 12. (1)图D 4-4-3如图D 4-4-3,连接BD ,在△BCD 中,BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD=27100, ∴BD=3 310 km .∵BC=CD ,∴∠CDB=∠CBD=π-23π2=π6,又∠CDE=2π3,∴∠BDE=π2.∴在Rt △BDE 中,BE=2+DE 2=(3 310)910)=3 35km .故道路BE 的长度为3 35km .(2)设∠ABE=α,∵∠BAE=π3, ∴∠AEB=2π3-α(0<α<2π3).在△ABE 中,易得ABsin∠AEB =AEsin∠ABE =BEsin∠BAE =3 35sinπ3=65,∴AB=65sin(2π3-α),AE=65sin α.∴S△ABE=12AB·AE sin π3=9325sin(2π3-α)sin α=9325[12·sin(2α-π6)+14]≤9325(12+14)=273100km2.∵0<α<2π3,∴-π6<2α-π6<7π6.∴当2α-π6=π2,即α=π3时,S△ABE取得最大值,最大值为273100km2,故生活区△ABE面积的最大值为273100km2.13.(1)由sin C=-3cos A cos B可得sin(A+B)=-3cos A cos B,即sin A cos B+cos A sin B=-3cos A cos B①,因为tan A tan B=1-3,所以A,B≠π2,①两边同时除以cos A cos B,得到tan A+tan B=-3,因为tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,tan(A+B)=tan A+tan B 1-tan A tan B =1-1+3=-3,所以tan C=3,又0<C<π,所以C=π3.根据正弦定理得asin A =bsin B=csin C=1032=2330,故a=2330sin A,b=2330sin B,故sin A+sin Ba+b =2330sin A+2330sin B=3020.(2)由(1)及余弦定理可得cos π3=a2+b2-c22ab,因为c=10,所以a2+b2-10=ab,即(a+b)2-2ab-10=ab,又由1a +1b=1可得a+b=ab,故(ab)2-3ab-10=0,解得ab=5或ab=-2(舍去),此时a+b=ab=5,所以△ABC的周长为5+10,△ABC的面积为12×5×sinπ3=534.。
2019版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理同步精选测试 新人教B版必修5
同步精选测试 正弦定理(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.在△ABC 中，a ＝4，∠A ＝45°，∠B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B.23＋1 C.2 6D.2＋2 3 【解析】 由已知及正弦定理，得4sin 45°＝bsin 60°，∴b ＝4sin 60°sin 45°＝4×3222＝2 6.【答案】 C2.在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A.60° B.60°或120° C.30°D.30°或150° 【解析】 由a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝23sin 30°2＝32.因为b ＞a ，所以∠B ＞∠A ，所以∠B ＝60°或∠B ＝120°.【答案】 B3.若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( )【导学号：18082057】A.1∶2∶3B.1∶3∶2C.2∶3∶1D.3∶1∶2【解析】 设三角形内角A ，B ，C 分别为x,2x,3x ， 则x ＋2x ＋3x ＝180°，∴x ＝30°. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， ∴a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90° ＝12∶32∶1＝1∶3∶2. 【答案】 B4.在△ABC 中，若3b ＝23a sin B ，cos A ＝cos C ，则△ABC 形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】 由正弦定理知b ＝2R ·sin B ，a ＝2R ·sin A ， 则3b ＝23a ·sin B 可化为： 3sin B ＝23sin A ·sin B . ∵0°<∠B <180°， ∴sin B ≠0， ∴sin A ＝32， ∴∠A ＝60°或120°， 又cos A ＝cos C ， ∴∠A ＝∠C ， ∴∠A ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形. 【答案】 C 二、填空题5.在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________.【导学号：18082058】【解析】 由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知∠B 所对的边b 为最小边，由正弦定理bsin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×2232＝63. 【答案】636.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，∠C ＝π6，则b ＝________.【解析】 在△ABC 中，∵sin B ＝12，0<∠B <π，∴∠B ＝π6或∠B ＝56π.又∵∠B ＋∠C <π，∠C ＝π6，∴∠B ＝π6，∴∠A ＝π－π6－π6＝23π.∵asin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A＝1. 【答案】 17.在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝________.【解析】 由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A .又由sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255.因为b ＝5，∠B ＝π4，根据a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.【答案】 210 三、解答题8.在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ＝ccos C，试判断△ABC 的形状.【导学号：18082059】【解】 令asin A＝k ， 由正弦定理得a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入已知条件，得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，即tan A ＝tan B ＝tan C . 又∠A ，∠B ，∠C ∈(0，π)，∴∠A ＝∠B ＝∠C ，∴△ABC 为等边三角形.9.设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A . (1)求角B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围. 【解】 (1)由a ＝2b sin A 及正弦定理， 得sin A ＝2sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin B ＝12.由△ABC 为锐角三角形，得∠B ＝π6.(2)cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6－A ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A＝cos A ＋12cos A ＋32sin A＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3. 由△ABC 为锐角三角形，知π2－∠B ＜∠A ＜π2.又因为π2－∠B ＝π2－π6＝π3，所以2π3＜∠A ＋π3＜5π6，所以12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＜32，所以32＜3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＜32，所以cos A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫32，32. [能力提升]1.在△ABC 中，(b ＋c )∶(a ＋c )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A.4∶5∶6 B.6∶5∶4 C.7∶5∶3D.7∶5∶6【解析】 设b ＋c ＝4k ，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k (k ＞0)，三式联立可求得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，∴a ∶b ∶c＝7∶5∶3，即sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3.【答案】 C2.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A.a >b sin A B.a ＝b sin A C.a <b sin AD.a ≥b sin A【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B，∴a sin B ＝b sin A ，在△ABC 中，0<sin B ≤1，故a sin B ≤a ，∴a ≥b sinA .故选D.【答案】 D3.△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长l ＝f (B )＝________.【解析】 在△ABC 中，由正弦定理得ACsin B＝332，化简得AC ＝23sin B ，AB sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝332， 化简得AB ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ，所以三角形的周长为l ＝3＋AC ＋AB ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3＋33sin B ＋3cos B ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3.【答案】 6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋34.在△ABC 中，已知c ＝10，又知cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 的值..【解】 由正弦定理知sin B sin A ＝ba ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A， 即sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .又∵a ≠b ，∴2∠A ＝π－2∠B ，即∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C ＝π2，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43得a ＝6，b ＝8.。
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.6 正弦定理和余弦定理(理)
【规律方法】 1.利用正弦定理可以解决的两类问题 (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而 进一步求出其他的边和角.由于三角形的形状不能唯一 确定,会出现两解,一解和无解三种情况.
在△ABC中,已知a,b和A,解的个数见下表
1
a>b,则B=( )
2
A . B . C .2 D .5
63 3
6
(2)如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,
那么k的取值范围是 ( )
A.k=8
C.k≥123
B.0<k≤12 D.0<k≤12或k=8
3
【解题导引】(1)利用正弦定理,将边化为角,借助式子 的特点,利用和角公式与相关的诱导公式解决问题. (2)由正弦定理和三角函数的图象求解.
b2=_____________,cosB=__a_2 __c_2 __b_2 _;
a2+c2-2accosB
2பைடு நூலகம்c
c2=_____________,cosC=__________.
a2 b2 c2
a2+b2-2abcosC
2ab
3.勾股定理 在△ABC中,∠C=90°⇔_a_2_+_b_2=_c_2_.
bcosA=c·sinC,则B=
.
【解析】由于acosB+bcosA=c,所以c=c·sinC,
sinC=1.又0<C<π,所以C= .
由于a2=b2+bc及a2=b2+c2 2-2bc·cosA,
所以bc=c2-2bccosA,b=c-2bcosA,
由正弦定理得sinB=sinC-2sinB·cosA,
2019届人教A版(理科数学) 余弦定理的应用 单元测试
第 1 页 共 12 页 高考数学（理）冲刺精炼 （16）余弦定理的应用 第1卷
评卷人 得分 一、选择题
1、在下列函数中:①, ②,③,④,其中偶函数的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
2、已知函数,,其中,.若
的最小正周期为,且当时,取得最大值,则( ) A.在区间上是增函数
B.在区间上是增函数 C.在区间上是减函数 D.在区间上是减函数 3、如图,正方形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直,且分别是线段的中点,则与所成的角的余弦值为( ) 第 2 页 共 12 页
A. B. C. D. 4、将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,则( )
A.为奇函数,在上单调递减 B.为偶函数,在上单调递增 C.周期为,图象关于点对称 D.最大值为,图象关于直线对称 评卷人 得分 二、填空题
5、若函数的最小正周期是,则 .
6、已知在正方体中,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为 . 7、已知函数为偶函数,其图象与直线的交点
的横坐标为、,若的最小值为,则 , . 评卷人 得分 三、解答题
8、 第 3 页 共 12 页
在如图所示的五面体中,面为直角梯形,,平面平面,,是边长为的正三角形.
1.证明:平面; 2.求二面角的余弦值. 9、如图,已知多面体的底面是边长为的菱形,底面,,且
1.证明:平面平面; 2.若直线与平面所成的角为,求二面角的余弦值 10、如图,已知四棱锥的底面是菱形,平面,点为的中点
1.求证: 平面 第 4 页 共 12 页
2.求二面角的余弦值 第 5 页 共 12 页
参考答案 一、选择题 1.答案： C
解析： 试题分析:①定义域为,定义域不关于原点对称,是非奇非偶
的函数. ②定义域是,且满足,所以是偶函数. ③是余弦函数,是偶函数;④是奇函数. 2.答案： A
解析： 由已知得,∴.
∵, ∴. 又,∴. ∴, 当,
即时,为增函数,
令,得的增区间为. 而,故选A. 3.答案： A 4.答案： D 二、填空题 5.答案： 10
2019届人教A版(理科数学) 正弦定理和余弦定理 单元测试
（二十六） 正弦定理和余弦定理一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1解析：选B 由正弦定理知b sin B ＝c sin C ，结合条件得c ＝b sin Csin B＝2 2. 又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝6＋24， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3＋1.3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62D.3＋394解析：选B 由余弦定理得(7)2＝22＋AB 2－2×2AB ·cos 60°， 即AB 2－2AB －3＝0，解得AB ＝3(负值舍去)， 故BC 边上的高为AB sin 60°＝332. 4．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________．解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5， 因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7. 答案：75．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.解析：在△ABM 中，由正弦定理得BM sin ∠BAM ＝AB sin ∠BMA ＝ABcos ∠MAC ，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，所以32a ＝c a 2＋4b 22b ，整理得(3a 2－2c 2)2＝0，a 2c 2＝23，故sin ∠BAC ＝a c ＝63.答案：63二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选C 由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝0，即2a cos A ＋a ＝0，∴cos A ＝－12，A ＝2π3.故选C.2．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B. 等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形解析：选D 由条件得sin Acos B sin C ＝2，即2cos B sin C ＝sin A ．由正、余弦定理得2·a 2＋c 2－b 22ac ·c ＝a ，整理得c ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3 B.2 C. 2D ．1解析：选B 由已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A ，所以cos A ＝32，A ＝30°.由余弦定理得12＝(3)2＋c 2－2c ×3×32， 整理得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°， 不满足内角和定理，故c ＝2.4．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝ (a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30° B.45° C ．60°D ．120°解析：选A 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以cos B ＝32，所以B ＝30°.5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ， 故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.故A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4.答案：47．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan Ctan A ＋tan Ctan B＝________. 解析：∵b a ＋ab ＝6cos C ，∴b a ＋a b ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，化简得a 2＋b 2＝32c 2， 则tan C tan A ＋tan Ctan B ＝tan C ·sin B cos A ＋sin A cos B sin A sin B＝tan C sin (A ＋B )sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B ＝c 2a 2＋b 2－c 22ab ·ab ＝4.答案：48．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________． 解析：由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3sin 60°，即BC sin A ＝ABsin C＝2，则BC ＝2sin A ，AB ＝2sin C ， 又△ABC 的周长l ＝BC ＋AB ＋AC ＝2sin A ＋2sin C ＋3 ＝2sin(120°－C )＋2sin C ＋3＝2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ＋2sin C ＋3 ＝ 3 cos C ＋3sin C ＋3＝23⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＋3， 故△ABC 的周长的最大值为3 3. 答案：3 39．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C ＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin Bsin A的值； (2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A ＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A2＝52b . (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .解：(1)证明：由条件得a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b ，由于a cos C ＋c cos A ＝b ，所以a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)在△ABC 中，因为cos B ＝14，所以sin B ＝154.由S ＝12ac sin B ＝1815ac ＝15，得ac ＝8，又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 2(a ＋c )＝3b ，所以5b 24＝16×⎝⎛⎭⎫1＋14，所以b ＝4. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2 B. 5∶6∶7 C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4解析：选D ∵A ＞B ＞C ，∴a ＞b ＞c . 又∵a ，b ，c 为连续的三个正整数，∴设a ＝n ＋1，b ＝n ，c ＝n －1(n ≥2，n ∈N *)． ∵3b ＝20a cos A ，∴3b20a ＝cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即3n20(n ＋1)＝n 2＋(n －1)2－(n ＋1)22n (n －1)， 即3n20(n ＋1)＝n (n －4)2n (n －1)，化简得7n 2－27n －40＝0，即(n －5)(7n ＋8)＝0， ∴n ＝5 ⎝⎛⎭⎫n ＝－87舍去. 又∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4. 2.如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解：(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22， 由余弦定理，得OM 2＝OP 2＋PM 2－2×OP ×PM ×cos 45°， 得PM 2－4PM ＋3＝0，解得PM ＝1或PM ＝3. (2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°， 在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP，所以OM ＝OP sin 45°sin (45°＋α)，同理ON ＝OP sin 45°sin (75°＋α).故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin ∠MON＝14×OP 2sin 245°sin (45°＋α)sin (75°＋α)＝1sin (45°＋α)sin (45°＋α＋30°) ＝1sin (45°＋α)⎣⎡⎦⎤32sin (45°＋α)＋12cos (45°＋α)＝132sin 2(45°＋α)＋12sin (45°＋α)cos (45°＋α)＝134[1－cos (90°＋2α)]＋14sin (90°＋2α) ＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝134＋12sin (2α＋30°).因为0°≤α≤60°，则30°≤2α＋30°≤150°， 所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)取得最大值1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.。
人教B版高中数学必修五 1.1正弦定理和余弦定理(5必修)
1.1正弦定理和余弦定理（数学5必修）1.2应用举例1.3实习作业[基础训练A 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 3．在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长=（）A ．2B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）1． 在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。
5．在△ABC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。
三、解答题（四个小题，每题10分，共40分）1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
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1．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A 答案 A解析 ∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ，等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ， ∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B . 由cos C ＞0，得sin A ＝2sin B . 根据正弦定理，得a ＝2b .故选A.2．(2018·南阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝________.答案 π6解析 由正弦定理，得sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ，即sin B sin(A ＋C )＝12sin B ，因为sin B ≠0，所以sin B ＝12，所以B ＝π6或5π6，又因为a >b ，故B ＝π6.3．(2018·沈阳模拟)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )·sin C .若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是________．答案 5<b 2＋c 2≤6解析 由正弦定理，可得(a －b )·(a ＋b )＝(c －b )·c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.∵b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2，∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2(A ＋B ) ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos2B 2＋1－cos2(A ＋B )2＝3sin2B －cos2B ＋4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋4. ∵△ABC 是锐角三角形，且A ＝π3，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，即2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，∴5<b 2＋c 2≤6.4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A . 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A . 故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12， 即cos(B ＋C )＝－12，所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3. 由题意得12bc sin A ＝a 23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8. 由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.[重点保分两级优选练A 级一、选择题1．(2017·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 C解析 a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ⇒13＝c 2＋9－6c cos60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 据题意由余弦定理可得a 2＋b 2－2ab cos120°＝c 2＝(2a )2，化简整理得a 2＝b 2＋ab ，变形得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝ab >0，故有a －b >0，即a >b .故选A.3．(2017·湖南长郡中 六模)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab 等于( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 答案 A解析 由2b sin2A ＝a sin B ，得4b sin A cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2，∴ab ＝2.故选A.4．(2017·衡水中 调研)在△ABC 中，三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则sin A －2sin Bsin2C ＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.12答案 B解析 不妨设a ＝2，b ＝3，c ＝4，故cos C ＝4＋9－162×2×3＝－14，故sin A －2sin B sin2C ＝a －2b 2c cos C ＝2－68×⎝⎛⎭⎪⎫－14＝2，故选B.5．在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三个内角，a ，b ，c 是三个内角对应的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc .若sin B sin C ＝34，△ABC 的形状( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由已知，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.∵0<A <π，故A ＝π3.∵A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3，∴C ＝2π3－B .由sin B sin C ＝34，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝34.即sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝34. 32sin B cos B ＋12sin 2B ＝34， 34sin2B ＋14(1－cos2B )＝34，32sin2B －12cos2B ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1. 又∵－π6<2B －π6<7π6，∴2B －π6＝π2，即B ＝π3.∴C ＝π3，也就是△ABC 为等边三角形．故选A.6．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332 D ．3 3 答案 C解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332， 故选C.7．(2018·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2) 答案 A解析 由a sin A ＝b sin B ＝bsin2A ，得b ＝2cos A . π2<A ＋B ＝3A <π，从而π6<A <π3. 又2A <π2，所以A <π4，所以π6<A <π4，22<cos A <32，所以2<b < 3.故选A.8．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 答案 B解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝45°或135°.若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.9．(2018·辽宁五校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若直线bx ＋y cos A ＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或者直角三角形 答案 C解析 由两直线平行可得b cos B －a cos A ＝0，由正弦定理可知sin B cos B －sin A cos A ＝0，即12sin2A ＝12sin2B ，又A 、B ∈(0，π)，且A ＋B ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.若A ＝B ，则a ＝b ，cos A ＝cos B ，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A ＋B ＝π2，则△ABC 是直角三角形，故选C.10．(2017·武昌调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3 答案 C解析 a ＝2b sin C ⇒sin A ＝2sin B sin C ⇒sin(B ＋C )＝2sin B sin C ⇒tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又根据三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C (注：tan A ＝tan(π－B －C )＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C，即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C )⇒tan B tan C ＝tan Atan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2＝m 2m －2(tan A ＝m )，令m －2＝t ⇒(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2，tan A ＝4时，取等号．故选C.二、填空题11．(2015·重庆高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.答案 4解析 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4.12．(2018·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cos B ＝________.答案 34解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . ∴2sin B ＝sin A ＋sin C .∵A －C ＝90°，∴2sin B ＝sin(90°＋C )＋sin C . ∴2sin B ＝cos C ＋sin C . ∴2sin B ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sin B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－B 2. ∴2sin B ＝2cos B2. ∴4sin B 2cos B 2＝2cos B 2. ∴sin B 2＝24.∴cos B ＝1－2sin 2B2＝1－14＝34.13．(2018·沈阳监测)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．答案 8解析 由题意得4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc .又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ， 即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝1，又0<A <π，∴π4<A ＋π4<5π4，∴A ＋π4＝3π4， ∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ， 当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16， ∴S 的最大值为8.14．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.答案152104解析 依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2，则cos ∠ABC ＝14，sin ∠ABC ＝154. 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC ＝12×2×2×154＝152.因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD22BD ·BC＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.B 级三、解答题15．(2018·郑州质检)已知△ABC 的外接圆直径为433，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°.(1)求a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积． 解 (1)因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝433， 所以a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，c ＝433sin C . 所以a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝433(sin A ＋sin B ＋sin C )sin A ＋sin B ＋sin C ＝433.(2)由c ＝433sin C ，得c ＝433×32＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，又a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)，所以S △ABC＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.16．(2017·湖北四校联考)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin A sin B －6sin 2B ＝0.(1)求ab 的值；(2)若cos C ＝34，求sin B 的值．解 (1)因为sin 2A ＋sin A sin B －6sin 2B ＝0，sin B ≠0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A sin B 2＋sin A sin B －6＝0，得sin A sin B ＝2或sin A sin B ＝－3(舍去)． 由正弦定理得a b ＝sin A sin B ＝2.(2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝34.① 将ab ＝2，即a ＝2b 代入①，得5b 2－c 2＝3b 2， 得c ＝2b .由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得 cos B ＝(2b )2＋(2b )2－b 22×2b ×2b ＝528，则sin B ＝1－cos 2B ＝148.17．(2018·海淀区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .满足2a cos C ＋c cos A ＝b .(1)求角C 的大小；(2)求sin A cos B ＋sin B 的最大值．解 (1)由正弦定理及2a cos C ＋c cos A ＝b ， 得2sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋C ＝π－B ，即sin(A ＋C )＝sin B .∴2sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＋sin A cos C ＝sin B ＋sin A cos C ＝sin B ，∴sin A cos C ＝0，又∵0<A <π，0<C <π，∴sin A >0.∴cos C ＝0，∴C ＝π2.(2)由(1)得C ＝π2，∴A ＋B ＝π2，即A ＝π2－B .∵sin A cos B ＋sin B ＝cos 2B ＋sin B ＝－sin 2B ＋sin B ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin B －122＋54. ∵0<B <π2，∴当sin B ＝12，即B ＝π6时，sin A cos B ＋sin B 取得最大值54.18．已知等腰三角形ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上一点且AD ＝BD .(1)求tan ∠ADB 的值；(2)若CD ＝33，求S △ABC .解 (1)如图，设AB ＝AC ＝a ，AD ＝BD ＝b ，由3BC ＝2AB 得，BC ＝233a .在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 32－a 22a ·233a＝33，∴∠ABC 是锐角，则sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝63. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ，得b 2＝a 2＋b 2－233ab ，解得a ＝233b . 由正弦定理AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ADB ，得b 63＝a sin ∠ADB ，解得sin ∠ADB ＝223，又2b 2>a 2，∴∠ADB 为锐角，∴cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝13，tan ∠ADB ＝2 2.(2)由已知可得3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋33＝2a ，① 由(1)可知a ＝233b ，②联立①②得a ＝2，b ＝ 3.过A作AH⊥BC于H，则H为BC的中点，易求得DH＝3 3.则tan∠ADB＝AH33＝2 2.∴AH＝26 3，∴S△ABC＝12×433×263＝423.。