人教A版(理科数学)正弦定理名师精编单元测试

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高中数学第一章解三角形 1.1.1 正弦定理练习(含解析)新人教A版必修5(2021年最新整理)

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1。

1正弦定理一、选择题:1. 在ABC △中，45 60 10A B a =︒=︒=，，，则b =（） A．．．【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a bA B=得10sin sin 2a Bb A ===，故选D.2。

在△ABC 中,若2,a b ==, 030A = ，则B 等于（） A ．60 B ．60或 120 C ．30 D ．30或150 【答案】B【解析】由正弦定理sin sin a bA B =得22sin sin 30B B ===60或 120 3。

在ABC △中,角 A B C，，的对边分别是 a b c ，，，若 2a AB ==，，则cos B =（ )ABC D【答案】B【解析】由已知2a =,根据正弦定理变形有sin sin 2A B =，又因为2A B =，所以sin sin 2A B =，则sin 22B B =，即2sin cos 2B B B =，因为sin 0B ≠，所以cos 4B =，故选B.4．在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则该ABC ∆的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理得22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⋅=⋅，化简得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22,2A B A B ππ+=+=，故选D.5. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则以下结论错误的为（ )A ．若sin cos cos A B Ca b c ==，则90A =︒ B ．sin sin sin a b c A B C+=+ C ．若sin sin A B >，则A B >；反之，若A B >，则sin sin A B > D ．若sin 2sin 2A B =，则a b = 【答案】D【解析】∵sin cos cos A B Ca b c==，∴由正弦定理B B cos sin =,C C cos sin =，又∵B ,C 为ABC ∆的内角，∴ 45==C B ,故90A =︒，A 正确；∵由正弦定理可得R CcB b A a 2sin sin sin ===，∴()AaR C B C B R C B c b sin 2sin sin sin sin 2sin sin ==++=++，故B 正确;在ABC ∆，设外接圆的半径为R ,若sin sin A B >,则B R A R sin 2sin 2>,由正弦定理可得b a >，即A B >;若A B >，即有b a >，即B R A R sin 2sin 2>，即b a >．则在ABC ∆中，B A B A >⇔>sin sin ，故C 正确;∵sin 2sin 2A B =,∴()()0sin cos 2sin 2sin =-+=-B A B A B A ，∴()0cos =+B A 或()0sin =-B A ,∴2π=+B A 或B A =，∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故D 错误．故选:D ．6. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3π=A ，则c b +的最大值为（ )A ．4B ．33 C.32 D ．2 【答案】C【解析】由正弦定理可得:23b c sinB sinC sin π===，∴2222()23b c sinB sinC sinB sin B π+=+=+-()12222sinB sinB =++3()6sinB B π==+≤，当且仅当3B π=时取等号．∴b c +的最大值为32．故选:C. 二、填空题：7. 在ABC ∆中,则 a =【解析】根据正弦定理32522315sin sin sin sin =⨯==⇔=BA b aB b A a ,8。

高中数学人教A版必修五第一章正弦定理同步检测题

高中数学人教A 版必修五第一章正弦定理同步检测题一、选择题1．在△ABC 中，a ＝7，c ＝5，则sin A ∶sin C 的值是( ) A. 75 B. 57 C. 712D. 5122．在△ABC 中，∠A ＝30°，a ＝3，则△A BC 的外接圆半径是( ) A. 32 B ．3 C ．3 3D ．63．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若∠A ＝105°，∠B ＝45°， b ＝22，则c ＝( ) A. 22 B ．1 C. 2D ．24．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ；若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在△ABC 中，asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C5．若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，则△ABC 是( )A. 等边三角形 B ．直角三角形，且有一个角是30° C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形，且有一个角是30° 6．在△ABC 中，若(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )A ．2∶3∶4B ．3∶4∶5C ．6∶5∶4D ．7∶5∶37．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x >2B ．x <2C ．2<x <2 2D ．2<x <2 3二、填空题8．在△ABC 中，若∠B ＝30°，b ＝2，则asin A ＝________.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.10．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 11．在△ABC 中，若tan A ＝13，∠C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 12．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝12， C ＝π6，则b ＝________. 三、解答题13．在△ABC 中，c ＝6，∠C ＝60°，a ＝2，求∠A ，∠B ，b .14．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．15．△ABC 中，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求BC 边上的高．16．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3－cos 2x (x ∈R)．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＝－32，b ＝1，c ＝3，且a >b ，试求角B 和角C .高中数学人教A 版必修五第一章正弦定理同步检测题解析一、选择题1．在△ABC 中，a ＝7，c ＝5，则sin A ∶sin C 的值是( ) A. 75 B. 57 C. 712D. 512解析：由正弦定理得sin A ∶sin C ＝a ∶c ＝7∶5＝75.答案：A2．在△ABC 中，∠A ＝30°，a ＝3，则△A BC 的外接圆半径是( ) A. 32 B ．3 C ．3 3D ．6解析：△ABC 的外接圆直径2R ＝a sin A ＝3sin 30°＝6， ∴R ＝3. 答案：B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若∠A ＝105°，∠B ＝45°，b ＝22，则c ＝( ) A.22B ．1 C. 2D ．2 解析：C ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理：c sin C ＝bsin B ，得c ＝b sin B ·sin C ＝22sin 45°·sin 30°＝2.答案：D4．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ；若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C解析：对于A ：a ∶b ∶c ＝2R sin A ∶2R sin B ∶2R sin C ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， ∴A 正确．对于B ：∵sin 2B ＝sin(π－2B )，∴sin 2A ＝sin(π－2B )也成立，此时2A ＝π－2B ， ∴A ＋B ＝π2，∴A ＝B 不一定成立，∴a ＝b 不一定成立．∴B 不正确．对于C ：①若A ，B 均为锐角，结论显然成立．②若A ，B 中有一钝角，则A >B 时， B <π－A <90°，∴sin B <sin(π－A )＝sin A ，∵sin A >sin B 时，sin(π－A )>sin B ，∴C 正确．由等比定理知：D 正确．答案：B5．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A. 等边三角形 B ．直角三角形，且有一个角是30° C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形，且有一个角是30° 解析：由正弦定理：sin A a ＝sin Bb ，∴sin B ＝cos B ，∴22sin B －22cos B ＝0，即sin(B －45°)＝0， ∴B ＝45°，同理C ＝45°. ∴A ＝90°. 答案：C6．在△ABC 中，若(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( ) A ．2∶3∶4 B ．3∶4∶5 C ．6∶5∶4D ．7∶5∶3解析：∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴设b ＋c ＝4k 时，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解之得：a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝72k ∶52k ∶32k ＝7∶5∶3.答案：D7．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x >2 B ．x <2 C ．2<x <2 2 D ．2<x <2 3 解析：由a sin B <b <a ，得22x <2<x ， ∴2<x <2 2. 答案：C二、填空题8．在△ABC 中，若B ＝30°，b ＝2，则asin A＝________. 解析：a sin A ＝b sin B ＝2sin 30°＝4. 答案：49．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理：sin A ＝a c ·sin C ＝13·sin 60°＝12，∵a <c ，∴A <90°，∴A ＝30°. 答案：30°10．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 解析：由正弦定理BC sin A ＝AB sin C ，得AB ＝sin Csin A ·BC ＝2 5.答案：2 511．在△ABC 中，若tan A ＝13，∠C ＝1 50°，BC ＝1，则AB ＝________.解析：∵tan A ＝13，∴cos A ＝3sin A ，再结合sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝1010. 由正弦定理BC sin A ＝ABsin C，得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.答案：10212．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.解析：因为sin B ＝12，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B－C ＝2π3，又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin2π3＝bsin B，解得b ＝1.答案：113．在△ABC 中，c ＝6，∠C ＝60°，a ＝2，求∠A ，∠B ，b .解析：∵a sin A ＝csin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22.∴∠A ＝45°或∠A ＝135°.又∵c >a ，∴C >A . ∴∠A ＝45°. ∴∠B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 75°sin 60°＝3＋1.14．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．解析：∵sin A ＝sin [π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，即sin B cos C －cos B sin C ＝0. ∴sin(B －C )＝0，∴B －C ＝0，即B ＝C ① ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，② 由①②：△ABC 是等腰直角三角形．15．△ABC 中，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求BC 边上的高．解析：∵1＋2cos(B ＋C )＝0， ∴1＋2cos(π－A )＝0. ∴2cos A ＝1，∴A ＝60°.∵sin B ＝b a ·sin A ＝23×32＝22，又∵b <a ， ∴B ＝45°， ∴C ＝75°， ∴BC 边上的高为b ·sin C ＝2×sin 75°＝2×6＋24＝3＋12. 16．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3－cos 2x (x ∈R)．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝⎛⎭⎫B 2＝－32，b ＝1，c ＝3，且a >b ，试求角B 和角C . 解析：∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3－cos 2x ＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫B 2＝3sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝－32，∴sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝－12. ∵0<B <π，∴－π3<B －π3<2π3，∴B －π3＝－π6，即B ＝π6.由正弦定理得，a sin A ＝1sinπ6＝3sin C， ∴sin C ＝32，∵0<C <π，∴C ＝π3或2π3. 当C ＝π3时，A ＝π2；当C ＝2π3时，A ＝π6，此时a ＝b (不合题意，舍)．所以B ＝π6，C ＝π3.。

人教A版高一数学余弦定理,正弦定理同步测试题

人教A版高一数学解三角形同步测试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在△ABC中，若cosAcosC =ca，则△ABC的形状是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等边三角形2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2B2=a+c2c，则△ABC的形状为( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60∘，b2=ac，则△ABC一定是( )A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA(sinC−cosC)=0，a=2，c=√2，则C=( )A. π12B. π6C. π4D. π35.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC=2√23，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为( )A. 4πB. 8πC. 9πD. 36π6.在△ABC中，∠A=60∘，b=1，S△ABC=√3，则a−2b+csinA−2sinB+sinC的值等于( )A. 2√393B. 263√3 C. 83√3 D. 2√37.在△ABC中，已知A=30∘，a=8，b=8√3，则△ABC的面积为( )A. 32√3B. 16C. 32√3或16D. 32√3或16√38.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，2b−√3c=2acosC，sinC=√32，则△ABC的面积为( )A. √32B. √34C. √32或√34D. √3或√329.已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=4，b+c=5，tanA+tanB+√3=√3tanA⋅tanB，则△ABC的面积为( )A. √32B. 3√3 C. 32√3 D. 3210.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=14，sinCsinA=2，且S△ABC=√154，则b=( )A. 4B. 3C. 2D. 111.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=π4，b2−a2=12c2，则tanC=( )A. 2B. −2C. 12D. −1212. 在△ABC 中，B =π6，BC 边上的高等于√39BC ，则cosA =( )A. 5√1326B. −5√1326C. −3√3926D. 3√3926二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，面积S =14(a 2+b 2−c 2)，则∠C 等于______ ．14. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是______ ．15. 在△ABC 中，AB =1，AC =2，(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则△ABC 面积等于______ ．16. 已知钝角三角形的三边分别是a ，a +1，a +2，其最大内角不超过120∘，则a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知asin2B =√3bsinA ．(1)求B ；(2)已知cosA =13，求sinC 的值．18. 在△ABC 中，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a >b ，(1)求角B 的大小；(2)若b =√13，a +c =4，求△ABC 的面积．19. 已知△ABC 中，(a −c)(sinA +sinC)=(a −b)sinB ，(1)求∠C ；(2)若△ABC 的外接圆半径为2，试求该三角形面积的最大值．20.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=π3．(Ⅰ)若△ABC的面积等于√3，求a，b；(Ⅱ)若sinC+sin(B−A)=2sin2A，求△ABC的面积．21.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=√7，EA=2，∠ADC=2π3，∠BEC=π3．(Ⅰ)求sin∠CED的值；(Ⅱ)求BE 的长．22. 在△ABC 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求证：tanB =3tanA ；(2)若cosC =√55，求A 的值．答案和解析【答案】1. C2. A3. C4. B5. C6. A7. D8. C9. C10. C11. A12. B13. 45∘14. (√5，√13)15. √3216. 32≤a<317. 解：(1)∵asin2B=√3bsinA，∴2sinAsinBcosB=√3sinBsinA，∴cosB=√32，∴B=π6．(2)∵cosA=13，∴sinA=2√23，∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2√23×√32+12×13=2√6+16．18. 解：(1)由asinBcosC+csinBcosA=12b，可得：sinAcosC+sinCcosA=12，⇔sin(A+C)=12⇔sinB=12．∵a>b，∴B=π6．(2)b=√13，a+c=4，∴(a+c)2=16，即a2+c2+2ac=16由cosB=√32=a2+c2−b22ac，可得：a2+c2=√3ac+13，∴ac(2+√3)=3，ac=3(2−√3)∴S△ABC=12acsinB=12×3(2−√3)×12=6−3√34．19. 解：(1)由(a−c)(sinA+sinC)=(a−b)sinB，得(a−c)(a+c)=(a−b)b，∴a2−c2=ab−b2，∴a2+b2−c2=ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =12又∵0∘<C<180∘，∴C=60∘(2)S=12absinC=12×√32ab=4√3sinAsinB=4√3sinAsin(120∘−A)=4√3sinA(sin120∘cosA−cos120∘sinA)=6sinAcosA+2√3sin2A =3sin2A−√3cos2A+√3=2√3sin(2A−30∘)+√3∴当2A=120∘，即A=60∘时，S max=3√320. 解：(Ⅰ)∵c =2，C =π3，c 2=a 2+b 2−2abcosC∴a 2+b 2−ab =4，又∵△ABC 的面积等于√3， ∴12absinC =√3， ∴ab =4联立方程组{a 2+b 2−ab =4ab =4，解得a =2，b =2 (Ⅱ)∵sinC +sin(B −A)=sin(B +A)+sin(B −A)=2sin2A =4sinAcosA ， ∴sinBcosA =2sinAcosA 当cosA =0时，A =π2，B =π6，a =4√33，b =2√33，求得此时S =2√33当cosA ≠0时，得sinB =2sinA ，由正弦定理得b =2a ，联立方程组{a 2+b 2−ab =4b =2a解得a =2√33，b =4√33．所以△ABC 的面积S =12absinC =2√33 综上知△ABC 的面积S =12absinC =2√3321. 解：(Ⅰ)设α=∠CED ，在△CDE 中，由余弦定理得EC 2=CD 2+ED 2−2CD ⋅DEcos∠CDE ，即7=CD 2+1+CD ，则CD 2+CD −6=0，解得CD =2或CD =−3，(舍去)，在△CDE 中，由正弦定理得EC sin∠EDC =CDsinα，则sinα=CD⋅sin 2π3EC=2×√32√7=√217，即sin∠CED =√217．(Ⅱ)由题设知0<α<π3，由(Ⅰ)知cosα=√1−sin 2α=√1−2149=2√77，而∠AEB =2π3−α，∴cos∠AEB =cos(2π3−α)=cos2π3cosα+sin2π3sinα=−12×2√77+√32×√217=√714，在Rt △EAB 中，cos∠AEB =EABE =2BE ，故BE =2cos∠AEB =√714=4√7．22. 解：(1)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴cbcosA =3cacosB ，即bcosA =3acosB ，由正弦定理bsinB =asinA 得：sinBcosA =3sinAcosB ，又0<A +B <π，∴cosA >0，cosB >0，在等式两边同时除以cosAcosB ，可得tanB =3tanA ； (2)∵cosC =√55，0<C <π，sinC=√1−cosC2=2√55，∴tanC=2，则tan[π−(A+B)]=2，即tan(A+B)=−2，∴tanA+tanB1−tanAtanB=−2，将tanB=3tanA代入得：tanA+3tanA1−3tan2A=−2，整理得：3tan2A−2tanA−1=0，即(tanA−1)(3tanA+1)=0，解得：tanA=1或tanA=−13，又cosA>0，∴tanA=1，又A为三角形的内角，则A=π4．【解析】1. 解：∵cosAcosC =ca，可得acosA=ccosC，∴a⋅b2+c2−a22bc =c⋅a2+b2−c22ab，整理可得：b2(a2−c2)=(a2−c2)(a2+c2)，∴a2−c2=0，即a=c，或者b2=a2+c2，∴△ABC的形状是等腰或直角三角形．故选：C．由已知利用余弦定理可得整理可得：b2(a2−c2)=(a2−c2)(a2+c2)，从而可求a=c，或者b2=a2+c2，即可得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．2. 解：∵cos2B2=a+c2c，∴cosB+12=a+c2c，∴解得：cosB=ac，∴由余弦定理可得：a2+c2−b22ac =ac，∴a2+c2−b2=2a2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故选：A．利用二倍角公式代入cos2B2=a+c2c，求得cosB=ac，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．本题主要考查了三角形的形状判断.考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用，属于基础题．3. 解：由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac=ac，化为(a−c)2=0，解得a=c．又B=60∘，可得△ABC是等边三角形，故选：C．利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出．本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 解：sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ， ∵sinB +sinA(sinC −cosC)=0，∴sinAcosC +cosAsinC +sinAsinC −sinAcosC =0， ∴cosAsinC +sinAsinC =0， ∵sinC ≠0，∴cosA =−sinA ， ∴tanA =−1， ∵0<A <π， ∴A =3π4，由正弦定理可得csinC =asinA ， ∴sinC =csinA a，∵a =2，c =√2， ∴sinC =csinA a=√2×√222=12，∵a >c ， ∴C =π6，故选：B ．根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题 5. 解：∵bcosA +acosB =2， ∴由余弦定理可得：b ×b 2+c 2−a 22bc+a ×a 2+c 2−b 22ac=2，整理解得：c =2，又∵cosC =2√23，可得：sinC =√1−cos 2C =13，∴设三角形的外接圆的半径为R ，则2R =csinC =213=6，可得：R =3，∴△ABC 的外接圆的面积S =πR 2=9π．故选：C ．由余弦定理化简已知等式可求c 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R 的值，利用圆的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6. 解：∵∠A =60∘，b =1，S △ABC =√3=12bcsinA =12×1×c ×√32， ∴c =4，∴a 2=b 2+c 2−2bccosA =1+14−2×1×4×12=13， ∴a =√13，∴a−2b+csinA−2sinB+sinC =asinA =√13√32=2√393．故选：A ．先利用面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理可求a ，再利用正弦定理求解比值．本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．7. 解：∵在△ABC中，已知A=30∘，a=8，b=8√3，由余弦定理cosA=b2+c2−a22bc得：cos30∘=√32=22⋅83⋅c解得：c=16或c=8又∵S△ABC=12⋅bc⋅sinA∴S△ABC=32√3，或S△ABC=16√3故选D．由已知中，在△ABC中，已知A=30∘，a=8，b=8√3，由余弦定理，我们可以求出c的值，代入S△ABC=12⋅bc⋅sinA，即可求出△ABC的面积．本题考查的知识点是三角形中的几何计算，余弦定理，三角形面积公式，其中根据已知利用余弦定理求出c的值，是解答本题的关键．8. 解：∵2b−√3c=2acosC，∴由正弦定理可得2sinB−√3sinC=2sinAcosC，∴2sin(A+C)−√3sinC=2sinAcosC，∴2cosAsinC=√3sinC，∴cosA=√32∴A=30∘，∵sinC=√32，∴C=60∘或120∘A=30∘，C=60∘，B=90∘，a=1，∴△ABC的面积为12×1×2×√32=√32，A=30∘，C=120∘，B=30∘，a=1，∴△ABC的面积为12×1×1×√32=√34，故选：C．2b−√3c=2acosC，利用正弦定理，求出A；sinC=√32，可得C=60∘或120∘，分类讨论，可得三角形面积．本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．9. 解：∵tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB化简得，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，所以tanC=√3.所以C=60∘．cosC=12ab(a2+b2−c2)，把a=4，b+c=5，C=60∘代入解得b=32，所以S=12absinC=3√32故选C根据tanC=−tan(A+B)利用正切的两角和公式化简整理求得tanC的值，继而求得C，利用余弦定理a=4，b+c=5，C=60∘代入求得b，最后利用三角形面积公式求得答案．本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生综合分析问题的能力．10. 解：△ABC 中，cosB =14，sinCsinA =2，∴由正弦定理可得c =2a ，sinB =√154．再由S △ABC =√154=12ac ⋅sinB =a 2⋅√154，可得a =1，∴c =2，∴b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =1+4−4×14=4，∴b =2，故选：C ．由条件利用正弦定理可得c =2a ，sinB =√154.再由S △ABC =√154求得a =1，可得c =2，再利用余弦定理求得b 的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．11. 解：在△ABC 中，∵A =π4，∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccos π4， ∴b 2−a 2=√2bc −c 2，又b 2−a 2=12c 2． ∴√2bc −c 2=12c 2． ∴√2b =32c.可得b =3√2c 4，∴a 2=b 2−12c 2=58c 2，即a =√10c 4．∴cosC =a 2+b 2−c 22ab=5c 28+9c 28−c 22×√10c 4×3√2c 4=√55． ∵C ∈(0，π)， ∴sinC =√1−cos 2C =2√55． ∴tanC =sinCcosC =2．故选：A ．由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccos π4，已知b 2−a 2=12c 2.可得b =3√2c4，a =√10c4c.利用余弦定理可得cosC.利用同角三角函数基本关系式可得sinC ，进而可求出tanC 的值．本题考查了余弦定理、同角三角形基本关系式在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 解：由题意，设BC =x ，那么BC 边上的高AD =√39x ， ∵∠B =30∘，∴BAD =60∘，AB =AD sin30∘=√318x ， BD =AB ⋅sin60∘=112x ，则DC =x −112x =1112x ．那么：AC 2=(1112x)2+(√39x)2．由余弦定理可得：cosA =AC 2+AB 2−BC 22AC⋅AB =−5√1326．故选B ．由题意，设BC =x ，那么BC 边上的高等于√39x ，利用勾股定理建立关系，求出AC ，AB ，在利于余弦定理求cosA 的值．本题考查△ABC 的边长与角的关系的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用． 13. 解：由三角形的面积公式得：S =12absinC ，而S =14(a 2+b 2−c 2)，所以12absinC =14(a 2+b 2−c 2)，即sinC =a 2+b 2−c 22ab =cosC ，则sinC =cosC ，即tanC =1，又∠C ∈(0，180∘)，则∠C =45∘．故答案为：45∘根据三角形的面积公式表示出△ABC 的面积S ，让S 等于已知的面积，化简后表示出sinC 的关系式，利用余弦定理得到此关系式等于cosC ，进而得到sinC 与cosC 的值相等，即tanC 的值为1，由C 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出∠C 的度数．本题的突破点是利用三角形的面积公式表示出S ，与已知的S 相等，化简得到tanC 的值.要求学生熟练掌握三角形的面积公式以及余弦定理，牢记特殊角的三角函数值．14. 解：分两种情况来做，当x 为最大边时，由余弦定理可知只要22+32−x 2>0即可，可解得3<x <√13当x 不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角就可以了，则有22+x 2−32>0，可解得√5<x ≤3所以综上可知x 的取值范围为(√5，√13)，故答案为(√5，√13)．分两种情况来做，当x 为最大边时，只要保证x 所对的角为锐角就可以了；当x 不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角就可以了．本题考查余弦定理得运用，应注意分类讨论．15. 解：∵在△ABC 中，AB =1，AC =2，(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴12+2×1×cosA =2，解得cosA =12．∵0<A <π，∴sinA =√1−(12)2=√32． ∴S △ABC =12AB ⋅AC ×sinA =12×1×2×√32=√32．故答案为√32．利用数量积运算性质可得cosA ，再利用平方关系即可得出sinA ，利用三角形的面积公式S △ABC =12AB ⋅AC ×sinA 即可得出．熟练掌握数量积运算性质、平方关系、三角形的面积公式S △ABC =12AB ⋅AC ×sinA 是解题的关键．16. 解：钝角三角形的三边分别是a ，a +1，a +2，其最大内角不超过120∘∴{a +(a +1)>a +20>a 2+(a+1)2−(a+2)22a⋅(a+1)≥−12 解得32≤a <3故答案为：32≤a <3．本题考查的知识点是余弦定理的应用，由钝角三角形的三边分别是a ，a +1，a +2，根据三角形任意两边之和大于第三边，我们可得a +(a +1)>a +2，由其最大内角不超过120∘，我们可以得到关于a 的不等式组，解不等式组即可得到a 的取值范围．在判断三角形的形状时，若三边长均含有参数，一定要考虑构成三角形的条件，即任意两边之和大于第三边，这也是本题的易错点．17. (1)利用正弦定理将边化角即可得出cosB ；(2)求出sinA ，利用两角和的正弦函数公式计算．本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题．18. (1)利用正弦定理公式化简，即可求角B 的大小；(2)运用三角形的内角和定理可得角A ，再由正弦定理，计算即可得到c ．本题考查三角形的正余弦定理的运用和计算能力以及三角形的面积的计算.属于基础题． 19. (1)利用正弦定理把题设中的条件中的角的正弦换成边，化简整理得a 2+b 2−c 2=ab ，进而利用余弦定理求得cosC ，则C 可得．(2)利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用正弦定理把边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理，进而利用正弦函数的性质求得三角形面积的最大值．本题主要考查了解三角形的实际应用.解题的关键是利用了正弦定理完成了边角问题的互化．20. (Ⅰ)先通过余弦定理求出a ，b 的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a ，b 的另一关系式，最后联立方程求出a ，b 的值．(Ⅱ)通过C =π−(A +B)及二倍角公式及sinC +sin(B −A)=2sin2A ，求出∴sinBcosA =2sinAcosA.当cosA =0时求出a ，b 的值进而通过12absinC 求出三角形的面积；当cosA ≠0时，由正弦定理得b =2a ，联立方程解得a ，b 的值进而通过12absinC 求出三角形的面积．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．21. (Ⅰ)根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．(Ⅱ)利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．22. (1)利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c 化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；(2)由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan(A+B)的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．。

人教A版6.4.3余弦定理、正弦定理综合检测卷

人教A 版6.4.3余弦定理、正弦定理综合检测卷一、单选题1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若30A =︒，45B =︒，2a =，则b 等于（） A ．2B ．22C ．4D ．422．ABC 中，若1,2,30a c B ︒===，则ABC 的面积为（）A ．12B ．32C ．1D ．33．已知ABC 的三边长分别为7，5，3，则ABC 的最大内角的大小为（） A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．75︒4．如图，四边形 ABCD 中，∠ADC =120°，∠ACD =30°，∠BCD =90°，DC =3，BC =2，则AB =（）A ．5B ．6C ．7D ．225．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB 3 a kmC 2 akmD ．2akm6．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2222a b c ac =-，则角B 的大小是( ) A ．45B ．60C ．90D ．1357．在ABC △中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3c =，π3C =，sin 2sin B A =，则ABC △的周长是（） A ．33B ．23+C ．33+D ．43+8．在三角形ABC 中，cos cos a B b A =，则三角形ABC 是（） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形9．如图，地面四个5G 中继站A ．B ．C ．D ，已知A ．B 两个中继站的距离为10km ，ADB CDB ∠=∠=30，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则C ，D 两个中继站的距离是（）A ．23kmB ．22kmC ．()62km +D ．()62km -10．在ABC 中，60B =︒，2b ac =，则ABC 一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形11．已知ABC 三个内角A ，B ，C 及其对边a ，b ，c ，其中，角B 为锐角，3b =且()222tan 3a c bB ac +-=，则ABC ∆面积的最大值为（） A ．33B ．33C ．34D ．3212．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知()62km CD =+，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（）A ．3kmB ．10kmC 10kmD ．62km第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．在△ABC 中，已知AC ＝2，BC ＝3，B ＝6π，那么sin A ＝_____． 14．ABC 中，cos cos 2b C c B b +=，则ab=________ 15．如图，在ABC 中，点D 是边BC 上的一点，1DC =，3AC =，3BD =，120ADC =∠︒，则AB 的长为________.16．在ABC 中，内角,A ,B C 的对边分别为,a ,b c ，已知3b =22cos c a b A -=，则a c +的最大值为________.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，sin 3sin B C =．（1）求tan C 的值；（2）若7a =ABC 的面积．18．在ABC 中，sin cos()6b A a B π=-．（1）求B ；（2）若5c =，4C π，求a 边．19．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B b A c +=．（1）求角A 的大小；（2）若2a =，ABC ∆的面积为212-，求b c +的值．20．已知△ABC 中，C ∠为钝角，而且8AB =，3BC =，AB 边上的高为332. （1）求B 的大小；（2）求cos 3cos AC A B +的值.21．如图，D 是直角ABC 斜边BC 上一点，3AC DC =．（1）若30DAC ∠=︒，求角B 的大小；（2）若2BD DC =，且3DC =，求AD 的长．22．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1a =，sin cos ()cos c B B b C -=．（1）求BC 边上的高AD 的长；（2）求tan A 的最大值．参考答案1．B 【分析】直接利用正弦定理即可求解．【详解】30A =︒，45B =︒，2a =，∴由正弦定理sin sin a b A B=，可得2sin 21sin 2a Bb A===故选：B ．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 2．A 【分析】直接利用三角形面积公式1sin 2S ac B =⋅进行计算. 【详解】因为1,2,30a c B ︒===，又1sin 2S ac B =⋅ 所以ABC 的面积为11112222S =⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式.属于容易题. 3．B 【分析】根据大边对大角，由余弦定理，即可得出结果. 【详解】三角形中，大边对大角，所以边长为7的边所对的角最大，记作角A ，由余弦定理，可得：222357925491cos 235302A +-+-===-⨯⨯，解得：120A =︒. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由余弦定理解三角形，熟记余弦定理即可，属于基础题型. 4．C 【分析】在ADC 中可得AD DC ==3AC =，在ABC 中，由余弦定理求AB ．【详解】在ADC 中，120ADC =∠︒，30ACD ∠=︒，DC =30DAC ACD ∴∠=∠=︒，∴AD CD ==2cos303AC AD ∴=︒=．在ABC 中，3AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，∴9AB == 故选：C【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．B 【分析】先根据题意确定ACB ∠的值，再由余弦定理可直接求得AB 的值．【详解】在ABC ∆中知∠ACB ＝120°，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BCcos120°＝2a 2－2a 2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3a 2，∴AB 故选:B.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题． 6．A 【分析】由222a b c =-利用余弦定理可得cos 2B =，结合B 的范围即可得B 的值．【详解】ABC 中，222a b c =-+，可得：222a c b +-=，∴由余弦定理可得：222cos 222a cb B ac ac +-===， ()0,180B ∈， 45B ∴=，故选A ．【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 7．C 【解析】【分析】首先用正弦定理将sin 2sin B A =转化为2b a =，再利用余弦定理列方程，求出,a b 的值，由此求得三角形周长. 【详解】因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，由余弦定理得，22222222cos 423c a b ab C a a a a =+-=+-=，又c =1a =，2b =．则ABC 的周长是3+故应选C 【点睛】本小题主要考查解三角形，考查正弦定理和余弦定理的应用.正弦定理主要用于边和角的互化，余弦定理主要用于列方程求未知数.属于基础题. 8．C 【分析】直接代正弦定理得()sin 0A B -=,所以A=B ，所以三角形是等腰三角形. 【详解】由正弦定理得cos cos sinA B sinB A =,所以cos cos sinA B sinB A -=0，即()sin 0A B -=, 所以A=B,所以三角形是等腰三角形. 故答案为C 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 9．C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】解：在ADC 中，sin 75sin 60DC AC=︒︒，在BCD 中，sin 45sin 30DC BC=︒︒，设DC x =，则2AC x =，2BC x =，在ABC 中，由余弦定理，2222cos60AB AC BC AC BC =+-⨯⋅︒，解得x =故选：C 【点睛】思路点睛：把待求量放到三角形中，然后利用正余弦定理解三角形是解决这类问题的一般思路，基础题.【分析】根据余弦定理得到a c =，进而得到三个角相等，是等边三角形. 【详解】ABC 中，60B =︒，2b ac =,()2222221cos 20022a cb B ac ac a c ac +-==⇒+-=⇒-= 故得到a c =，故得到角A 等于角C ，三角形为等边三角形. 故答案为D. 【点睛】这个题目考查了余弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，属于简单题. 11．A 【分析】由余弦定理求得3B π=，且223ac a c =+-，再由三角形的面积公式和基本不等式可得选项. 【详解】由()222tan a c b β+-=得222tan 2a c b ac β⎛⎫+-= ⎪⎝⎭cos tan 2ββ=，即sin 2B =，而02B π<<，所以3B π=，所以1sin 2ABCSac B ==，又因为222221cos 322a c b B ac a c ac +-==⇒=+-，所以22323ac a c ac =+-≥-，所以3ac ≤3ac ≤=故选：A . 【点睛】本题考查运用余弦定理解三角形，三角形的面积公式，以及运用基本不等式求最值，属于中档题. 12．C由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，在ADC中，由正弦定理得sin 2sin sin 75CD ADCAC DAC ⋅∠===∠︒在BDC中，由正弦定理得1sin 1sin 2CD BDCBC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用. 13．34【分析】利用正弦定理列方程，解方程求得sin A . 【详解】依题意2,3,6b a B π===，由正弦定理得sin sin a b A B=，所以3sin3236sin sin 24sin 6A A ππ=⇒==. 故答案为：34【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题. 14．2由余弦定理化角为边后即得结论．【详解】由余弦定理222222cos cos 222a b c a c b b C c B b c a b ab ac+-+-+=⋅+⋅==，∴2ab=．故答案为：2．15 【分析】首先在ADC 中利用余弦定理求AD ，再在ABD △中利用余弦定理求AB . 【详解】ADC 中根据余弦定理2222cos120AC AD DC AD DC =+-⋅⋅，即213122AD AD ⎛⎫=+-⋅⋅-⎪⎝⎭，整理为220AD AD +-=，解得：1AD =， ABD △中利用余弦定理2222cos60AB AD BD AD BD =+-⋅⋅，211921372AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以AB =【点睛】方法点睛：利用正余弦定理解三角形，一般包含以下几种情况: 1.已知两角和一边，利用正弦定理解三角形；2.已知两边和其中一边的对角，求角用正弦定理，求边用余弦定理；3.已知两边和夹角，用余弦定理解三角形.16．【分析】先根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简22cos c a b A -=，可得(2cos 1)sin 0B A -=，从而可求出角B ，再利用余弦定理结合基本不等式可求出a c +的最大值解：因为22cos c a b A -=，所以由正弦定理得，2sin sin 2sin cos C A B A -=，因为A B C π+=-，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B A B A B A +-=，化简得(2cos 1)sin 0B A -=，因为sin 0A ≠，所以2cos 10B -=，解得1cos 2B =，因为(0,)B π∈，所以3B π=，因为b =所以由余弦定理得，222232cos a c ac B a c ac =+-=+-，所以2()33a c ac +-=，所以222313()()()44a c a c a c ≥+-+=+，当且仅当a c =时取等号所以a c +≤a c +的最大值为故答案为：【点睛】此题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查两角和与差的三角函数公式和诱导公式，考查基本不等式的应用，属于中档题17．（1）tan 5C =；（2）4S =. 【分析】（1）因为3A π=，所以23B C π+=，然后，由sin 3sin B C =变为2sin 3sin 3C C π⎛⎫-=⎪⎝⎭，进而求解即可（2）利用正弦定理和余弦定理，求出b 和c ，利用面积公式求解即可【详解】解：（1）因为3A π=，所以23B C π+=，故2sin 3sin 3C C π⎛⎫-=⎪⎝⎭，1sin 3sin 2C C C +=，即5sin 22C C =，得tan 5C =．（2）由sin sin b cB C=，sin 3sin B C =，得3b c =．在ABC 中，由余弦定理，得22222212cos 92(3)72a b c bc A c c c c c =+-=+-⨯⨯⨯=，又因为a =1c =，3b =，所以ABC 的面积为1sin 24S bc A ==．【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用正弦定理，化简得3b c =，以及利用余弦定理求出b 和c ，难点在于运算，难度属于中档题18．（1）3B π=；（2）a =【分析】（1）在ABC 中，利用正弦定理及其sin cos()6b A a B π=-，可得sin cos()6B Bπ，利用和差公式化简整理可得B ．（2）在ABC 中，利用两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，进而根据正弦定理即可求解a 的值．【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=，又sin cos()6b A a B π=-，可得sin sin sin cos()6B A A Bπ，因为(0,)A π∈，sin 0A ≠，可得sin cos()6BBπ，可得：31sin cos sin 2BBB ，则tan B = 又由(0,)B π∈，可得3B π=．（2）在ABC 中，由余弦定理及5c =，4Cπ，3B π=，可得1sin sin()sin cos sin cos 22224A B C B C C B =+=+=+⨯=，所以由正弦定理sin sin a cA C=，可得5·sin sin 2c A a C === 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 19．(1)4A π=.(2)2b c +=. 【解析】分析：（1）利用正弦定和三角形内角和定理与三角恒等变换，即可求得A 的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得b c +的值. 详解：(1)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ sin cos sin BsinA A B ∴=，sin 0sin cos B A A ≠∴=()0,4A A ππ∈∴=(2)1sin 22ABCSbc A bc ====又()(22222cos 22a b c bc A b c bc =+-∴=+-+所以，()24, 2.b c b c +=+=．点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，齐总利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 20．（1）π3；（2）8. 【分析】（1）利用三角形ABC 的面积相等，求出B 的大小；（2）由余弦定理得出AC ，以及cos A ，可得cos 3cos AC A B +的值．【详解】（1）由三角形面积可知11838sin 22B ⨯=⨯⨯⨯，sin 2B =，又因为B 是锐角，所以π3B ∠=. （2）由（1）可知2222cos 6492449AC AB BC AB BC B =+-⨯⨯=+-=，所以7AC =.又因为2226449913cos 228714AB AC BC A AB AC +-+-===⨯⨯⨯，因此113cos 3cos 378214AC A B +=⨯+⨯=. 【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式，属于基础题．21．（1）60B ∠=︒；（2）【分析】（1）在ADC 中，由正弦定理得可得ADC ∠，从而求得B 角；（2）由直角三角形求得AC ，再用余弦定理计算AD ．解：（1）在ADC 中，由正弦定理得：sin sin DC ACDAC ADC =∠∠，由题意得：sin ADC DAC ∠=∠=， ∵6060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+︒>︒， ∴120ADC =∠︒， ∴60B ∠=︒；（2）3DC =，9BC AC ∴==，∴在 Rt ABC中，AB ===∴cos 3C =，在ABD △中，由余弦定理得：(222323AD =+-⨯⨯=．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，掌握正弦定理与余弦定理解三角形的类型是解题关键．正弦定理解三角形类型：（1）已知两角及一角对边；（2）已知两边及一边对角（这种类型可能出现两解，需判断）；余弦定理解三角形类型：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边求内角．在已知两边及一角时都可得用余弦定理解三角形． 22．（1）1；（2）43．【分析】（1）由条件结合正弦定理可得sin sin sin B C A =，然后可得答案；（2）设BD x =，CD y =，则1x y +=，然后可得11tan tan 1tan tan()11tan tan 111+++=-+=-===----B C x yx y A B C B C xy xy xy，然后可利用基本不等【详解】（1）由已知及正弦定理，得sin sin sin cos sin cos B C C B B C -= 即sin sin sin cos sin cos sin()B C C B B C B C =+=+因为πB C A +=-，所以sin()sin B C A +=，所以sin sin sin B C A = 所以sin b C a =又因为1a =，所以sin 1AD b C == （2）设BD x =，CD y =，则1x y +=①当0x =，或0y =时，tan 1A = ②当0xy ≠时，1tan =B x，1tan =C y此时11tan tan 1tan tan()11tan tan 111+++=-+=-===----B C x yx y A B C B C xy xy xy因为2x y xy +≥14≤xy 所以11411314≤=--xy，当且仅当x y =时等号成立所以当12x y ==时，tan A 取得最大值43综上，tan A 的最大值为43【点睛】本题考查了正弦定理、三角恒等变换以及利用基本不等式求最值，考查了学生的转化能力，属于中档题.。

人教新课标A版高中必修5数学1.1 正弦定理和余弦定理同步检测(I)卷

人教新课标A版必修5数学1.1 正弦定理和余弦定理同步检测（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）设a,b,c分别是的三个内角A,B,C所对的边，若,则是的（）A . 充分不必要条件；B . 必要不充分条件；C . 充要条件；D . 既不充分也不必要条件；2. （2分） (2016高二下·南阳开学考) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=4，且△ABC的面积的最大值为，则此时△ABC的形状为（）A . 锐角三角形B . 直线三角形C . 等腰三角形D . 正三角形3. （2分） (2016高一下·海珠期末) 在△ABC中，若sin2A≤sin2B+sin2C﹣ sinBsinC，则角A的取值范围是（）A . （0， ]B . [ ，π）C . （0， ]D . [ ，）4. （2分） (2017高二上·汕头月考) △ABC中，已知，则A的度数等于（）A .B .C .D .5. （2分）(2018·雅安模拟) 已知、、是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（）A .B .C .D .6. （2分）如图，巡航艇在海上以的速度沿南偏东的方向航行．为了确定巡航艇的位置，巡航艇在B处观测灯塔A，其方向是南偏东，航行到达C处，观测灯塔A的方向是北偏东，则巡航艇到达C处时，与灯塔A的距离是A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·阜阳月考) 满足的△ABC恰有一个，那么的取值范围（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·兰州期中) 在△ 中，分别为角的对边，已知，，面积，则等于（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高一下·北京期中) △ABC中，若∠ABC＝，，则sin∠BAC＝（）A .B .C .D .10. （2分）如图所示，，，三点在地面上的同一直线上，，从两点测得点的仰角分别为，，则点离地面的高为（）A .B .C .D .11. （2分）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（）A . 2B .C .D .12. （2分）在锐角中，分别是角的对边，， .求的值（）；A .B .C .D .13. （2分）一艘客船上午9:30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8 海里，则灯塔S在B处的（）A . 北偏东75°B . 北偏东75°或东偏南75°C . 东偏南75°D . 以上方位都不对14. （2分）蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离的军事基地和，测得红军的两支精锐部队分别在处和处，且，，，，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是（）A .B .C .D .15. （2分）已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，则 ________.17. （1分）(2016·天津模拟) 在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|BC|=________．18. （1分） (2016高一下·蓟县期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+bc+c2 ，则∠A=________．19. （1分） (2017高一下·赣州期末) △ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：⑴（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab⑵sinA=2cosBsinC⑶b=acosC，c=acosB⑷有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题________．20. （1分） (2018高一下·北京期中) △ABC中，若，则A＝________。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：3.7正弦定理和余弦定理Word版含答案

正、余弦定理掌握正、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．知识点正弦定理和余弦定理 1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin_C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．易误提醒 (1)由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．必记结论三角形中的常用结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C (A ，B ，C ≠π2)．[自测练习]1．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3D.6－ 2解析：在△ABC 中，易知∠B ＝30°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4.∴b ＝2. 答案：A2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32 解析：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A， ∴AC ＝BC ·sin B sin A＝32×2232＝2 3.答案：B3．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．解析：由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°，即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534.答案：1534考点一利用正弦、余弦定理解三角形|1．(2015·高考广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2D. 3解析：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即4＝b 2＋12－6b ⇒b 2－6b ＋8＝0⇒(b －2)(b －4)＝0，由b <c ，得b ＝2.答案：C2．(2015·高考安徽卷)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 解析：因为∠A ＝75°，∠B ＝45°，所以∠C ＝60°，由正弦定理可得AC sin 45°＝6sin 60°，解得AC ＝2.答案：23．(2015·高考福建卷)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．解析：因为△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以103＝12×5×8×sin A ，解得sin A ＝32，因为角A 为锐角，所以cos A ＝12.根据余弦定理，得BC 2＝52＋82－2×5×8×cos A ＝52＋82－2×5×8×12＝49，所以BC ＝7.答案：7正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．考点二利用正、余弦定理判断三角形形状|(2015·沈阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． [解] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12.又0<A <π，∴A ＝23π.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， ∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32， ∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B 、C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．判定三角形形状的两条途径(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0.∵0<B <π，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·(a 2＋b 2－c 2)2ab ＝0，整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)△ABC 为等边三角形． ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334，即12bc sin π3＝334，∴bc ＝3，① ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3，∴b 2＋c 2＝6，②由①②得b ＝c ＝3，∴△ABC 为等边三角形．考点三三角形的面积问题|(2015·高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． [解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.7.三角变换不等价致误【典例】在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状． [解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )] ＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cosB.法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[易误点评] (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形． (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解． (3)结论表述不规范．[防范措施] (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子，然后进行判断．(2)在三角变换过程中，一般不要两边约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解；在利用三角函数关系推证角的关系时，要注意利用诱导公式，不要漏掉角之间关系的某种情况．[跟踪练习] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A ＋tan B ＝2sin C cos A .(1)求角B 的大小；(2)已知a c ＋ca ＝3，求sin A sin C 的值．解：(1)tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B＝sin (A ＋B )cos A cos B ＝sin C cos A cos B， ∵tan A ＋tan B ＝2sin C cos A ，∴sin C cos A cos B ＝2sin Ccos A ，∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)a c ＋c a ＝a 2＋c 2ac ＝b 2＋2ac cos B ac， ∵a c ＋ca ＝3，∴b 2＋2ac cos B ac ＝3，即b 2＋2ac cosπ3ac ＝3，∴b 2ca＝2，而b 2ca ＝sin 2B sin A sinC ＝sin 2π3sin A sin C ＝34sin A sin C， ∴sin A sin C ＝38.A 组考点能力演练1．(2016·兰州一模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：因为在锐角△ABC 中，b ＝2a sin B ，由正弦定理得，sin B ＝2sin A sin B ，所以sin A ＝12，又0<A <π2，所以A ＝30°，故选A.答案：A2．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2，则cos A 等于( )A.45 B ．－45C.1517D ．－1517解析：S ＋a 2＝(b ＋c )2⇒a 2＝b 2＋c 2－2bc ⎝⎛⎭⎫14sin A －1，由余弦定理得14sin A －1＝cos A ，结合sin 2A ＋cos 2A ＝1，可得cos A ＝－1517.答案：D3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C. 3D ．2解析：∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝3，故选C.答案：C4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53B.107C.57D.5214 解析：因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A ·sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.答案：C5．(2015·唐山一模)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( )A.1010 B.31010C.55D.255解析：由已知条件可得图形，如图所示，设CD ＝a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos ∠DAC ，∴a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos ∠DAC ，∴cos ∠DAC ＝31010. 答案：B6．(2015·高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4.答案：47．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.解析：由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×sin A sin C ×cos A ＝2×46×34＝1. 答案：18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.解析：∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B .由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35.答案：359．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23a sin B ＝5c ，cos B ＝1114.(1)求角A 的大小；(2)设BC 边的中点为D ，|AD |＝192，求△ABC 的面积．解：(1)由cos B ＝1114得sin B ＝5314.又23a sin B ＝5c ，代入得3a ＝7c ，由a sin A ＝csin C得3sin A ＝7sin C ， 3sin A ＝7sin(A ＋B )，3sin A ＝7sin A cos B ＋7cos A sin B ，得tan A ＝－3，A ＝2π3.(2)AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝194，c 2＋⎝⎛⎭⎫76c 2－2c ·76c ·1114＝194，c ＝3，则a ＝7. S ＝12ac sin B ＝12×3×7×5314＝1534. 10．(2016·杭州模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C －12c ＝b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)由a cos C －12c ＝b 得sin A cos C －12sin C ＝sinB.又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以12sin C ＝－cos A sin C .因为sin C ≠0，所以cos A ＝－12. 又因为0<A <π，所以A ＝2π3. (2)由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C . l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝1＋23⎝⎛⎭⎫12sin B ＋32cos B ＝1＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3. 因为A ＝2π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以B ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3. 所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3∈⎝⎛⎦⎤32，1. 所以△ABC 的周长的取值范围为⎝⎛⎦⎤2，233＋1. B 组高考题型专练1．(2015·高考广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________. 解析：由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b 12，所以b ＝1. 答案：12．(2015·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：由cos A ＝－14得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12bc ×154＝315，解得bc ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc cos A ＝22＋2×24－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64，故a ＝8.答案：83．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为1.4．(2015·高考湖南卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C . 解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B，所以sin B ＝cos A .(2)因为sin C －sin A cos B ＝sin[180°－(A ＋B )]－sin A cos B ＝sin(A ＋B )－sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝cos A sin B ，所以cos A sin B ＝34. 由(1)sin B ＝cos A ，因此sin 2B ＝34.又B 为钝角，所以sin B ＝32，故B ＝120°. 由cos A ＝sin B ＝32知A ＝30°，从而C ＝180°－(A ＋B )＝30°. 综上所述，A ＝30°，B ＝120°，C ＝30°.5．(2015·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．解：(1)由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2，得 tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得 sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B，得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4，得sin C ＝255.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.。

高中数学人教A版【精品习题】必修5学业分层测评1 正弦定理 Word含解析

1学业分层测评（一）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1C ．2 6D ．2＋2 3【解析】由已知及正弦定理，得4sin 45°＝bsin 60°，∴b ＝4sin 60°sin 45°＝4×3222＝26.【答案】 C2．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则∠B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对【解析】 ∵sin B ＝b sin A a＝42×3243＝22，∴∠B ＝45°或135°.但当∠B ＝135°时，不符合题意，所以∠B＝45°，故选C.【答案】 C3．若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( ) A．1∶2∶3B．1∶3∶2C．2∶3∶1D．3∶1∶2【解析】设三角形内角∠A、∠B、∠C分别为x,2x,3x，则x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°.由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，∴a∶b∶c＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝12∶32∶1＝1∶3∶2.【答案】 B4．在△ABC中，若3b＝23a sin B，cos A＝cos C，则△ABC形状为( ) A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解析】由正弦定理知b＝2R·sin B，a＝2R·sin A，则3b＝23a·sin B可化为：3sin B＝23sin A·sin B.∵0°<∠B<180°，∴sin B≠0，11∴sin A ＝32，∴∠A ＝60°或120°，又cos A ＝cos C ， ∴∠A ＝∠C ， ∴∠A ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．【答案】 C 二、填空题5．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________．【解析】由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知B 所对的边b为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin Bsin C＝1×2232＝63.【答案】 636．(2015·广东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.【解析】在△ABC 中，∵sin B ＝12，0<B <π，∴B ＝π6或B ＝56π.又∵B ＋C <π，C ＝π6，∴B ＝π6，。

2019届人教A版(理科数学) 正弦定理和余弦定理单元测试

（二十六）正弦定理和余弦定理一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1解析：选B 由正弦定理知b sin B ＝c sin C ，结合条件得c ＝b sin Csin B＝2 2. 又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3＋1.3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62D.3＋394解析：选B 由余弦定理得(7)2＝22＋AB 2－2×2AB ·cos 60°，即AB 2－2AB －3＝0，解得AB ＝3(负值舍去)，故BC 边上的高为AB sin 60°＝332. 4．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________．解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7. 答案：75．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.解析：在△ABM 中，由正弦定理得BM sin ∠BAM ＝AB sin ∠BMA ＝ABcos ∠MAC ，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，所以32a ＝c a 2＋4b 22b ，整理得(3a 2－2c 2)2＝0，a 2c 2＝23，故sin ∠BAC ＝a c ＝63.答案：63二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选C 由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝0，即2a cos A ＋a ＝0，∴cos A ＝－12，A ＝2π3.故选C.2．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B. 等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形解析：选D 由条件得sin Acos B sin C ＝2，即2cos B sin C ＝sin A ．由正、余弦定理得2·a 2＋c 2－b 22ac ·c ＝a ，整理得c ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3 B.2 C. 2D ．1解析：选B 由已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A ，所以cos A ＝32，A ＝30°.由余弦定理得12＝(3)2＋c 2－2c ×3×32，整理得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°，不满足内角和定理，故c ＝2.4．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝ (a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30° B.45° C ．60°D ．120°解析：选A 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以cos B ＝32，所以B ＝30°.5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.故A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4.答案：47．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan Ctan A ＋tan Ctan B＝________. 解析：∵b a ＋ab ＝6cos C ，∴b a ＋a b ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，化简得a 2＋b 2＝32c 2，则tan C tan A ＋tan Ctan B ＝tan C ·sin B cos A ＋sin A cos B sin A sin B＝tan C sin (A ＋B )sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B ＝c 2a 2＋b 2－c 22ab ·ab ＝4.答案：48．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________．解析：由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3sin 60°，即BC sin A ＝ABsin C＝2，则BC ＝2sin A ，AB ＝2sin C ，又△ABC 的周长l ＝BC ＋AB ＋AC ＝2sin A ＋2sin C ＋3 ＝2sin(120°－C )＋2sin C ＋3＝2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ＋2sin C ＋3 ＝ 3 cos C ＋3sin C ＋3＝23⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＋3，故△ABC 的周长的最大值为3 3. 答案：3 39．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C ＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin Bsin A的值； (2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ，即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A ＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A2＝52b . (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .解：(1)证明：由条件得a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b ，由于a cos C ＋c cos A ＝b ，所以a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)在△ABC 中，因为cos B ＝14，所以sin B ＝154.由S ＝12ac sin B ＝1815ac ＝15，得ac ＝8，又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 2(a ＋c )＝3b ，所以5b 24＝16×⎝⎛⎭⎫1＋14，所以b ＝4. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2 B. 5∶6∶7 C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4解析：选D ∵A ＞B ＞C ，∴a ＞b ＞c . 又∵a ，b ，c 为连续的三个正整数，∴设a ＝n ＋1，b ＝n ，c ＝n －1(n ≥2，n ∈N *)． ∵3b ＝20a cos A ，∴3b20a ＝cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即3n20(n ＋1)＝n 2＋(n －1)2－(n ＋1)22n (n －1)，即3n20(n ＋1)＝n (n －4)2n (n －1)，化简得7n 2－27n －40＝0，即(n －5)(7n ＋8)＝0， ∴n ＝5 ⎝⎛⎭⎫n ＝－87舍去. 又∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4. 2.如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解：(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理，得OM 2＝OP 2＋PM 2－2×OP ×PM ×cos 45°，得PM 2－4PM ＋3＝0，解得PM ＝1或PM ＝3. (2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP，所以OM ＝OP sin 45°sin (45°＋α)，同理ON ＝OP sin 45°sin (75°＋α).故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin ∠MON＝14×OP 2sin 245°sin (45°＋α)sin (75°＋α)＝1sin (45°＋α)sin (45°＋α＋30°) ＝1sin (45°＋α)⎣⎡⎦⎤32sin (45°＋α)＋12cos (45°＋α)＝132sin 2(45°＋α)＋12sin (45°＋α)cos (45°＋α)＝134[1－cos (90°＋2α)]＋14sin (90°＋2α) ＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝134＋12sin (2α＋30°).因为0°≤α≤60°，则30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)取得最大值1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.。

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题组层级快练(二十七)(第一次作业)1．(2018·安徽马鞍山一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则c ＝( ) A.12 B ．1 C.3 D ．2答案 B解析 ∵a ＝3，b ＝2，A ＝60°，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得3＝4＋c 2－2×2×c ×12，整理得c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1.故选B.2．(2018·山西五校联考)在△ABC 中，a ＝3b ，A ＝120°，则角B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°答案 A解析由正弦定理a sinA ＝b sinB 得3b 32＝b sinB，解得sinB ＝12.因为A ＝120°，所以B ＝30°.故选A.3．(2018·陕西西安一中期中)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)答案 C解析 ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，由正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，∴bc ≤b 2＋c 2－a 2.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴A ≤π3.∵A>0，∴A 的取值范围是(0，π3]．故选C.4．(2018·广东惠州三调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4D ．2答案 A解析由正弦定理b sinB ＝c sinC ，得sinB ＝bsinC c ＝12.又c>b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以S ＝12bcsinA ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×2×6＋24＝3＋1.故选A.5．(2018·东北八校联考)已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cosA ＝( )A.32B ．－22C ．－24D ．－34答案 C解析设△ABC 的面积为S ，则a ＝4S ，B ＝22S ，c ＝2S ，因此cosA ＝（22）2＋22－422×22×2＝－24.故选C. 6．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA)．则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6答案 C解析由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝2b 2－2b 2cosA ，所以2b 2(1－sinA)＝2b 2(1－cosA)，所以sinA ＝cosA ，即tanA ＝1，又0<A<π，所以A ＝π4.7．(2014·江西，文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( )A ．－19B.13 C ．1 D.72 答案 D解析由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2(sinB sinA )2－1＝2(b a )2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×(32)2－1＝72. 8．(2018·安徽合肥检测)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b)(sinA ＋sinB)＝(c －b)sinC.若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( ) A ．(3，6] B ．(3，5) C ．(5，6] D ．[5，6]答案 C解析 ∵(a －b)(sinA ＋sinB)＝(c －b)sinC ，∴由正弦定理得(a －b)(a ＋b)＝(c －b)c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎨⎧0<B<π2，A ＋B ＝π3＋B>π2，解得π6<B<π2.由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝332＝2，得b ＝2sinB ，c ＝2sinC ，∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C)＝4[sin 2B ＋sin 2(2π3－B)]＝4－2cos(2B ＋π3)．又π6<B<π2，∴2π3<2B ＋π3<4π3，可得b 2＋c 2∈(5，6]．故选C.9．在△ABC 中，若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为________．答案34或32解析如图所示，由正弦定理，得sinC ＝c·sinB b ＝32.而c>b ，∴C ＝60°或C ＝120°. ∴A ＝90°或A ＝30°. ∴S △ABC ＝12bcsinA ＝32或34.10．(2018·河南信阳调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，S ＝34(a 2＋b 2－c 2)，则C 的大小为________．答案π3解析 ∵△ABC 的面积为S ＝12absinC ，∴由S ＝34(a 2＋b 2－c 2)，得34(a 2＋b 2－c 2)＝12absinC ，即absinC ＝32(a 2＋b 2－c 2)．根据余弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝2abcosC ，∴absinC ＝32×2abcosC ，得sinC ＝3cosC ，即tanC ＝sinCcosC＝ 3.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.11．(2017·甘肃定西统考)在△ABC 中，若a 2b 2＝tanAtanB ，则△ABC 的形状为________．答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin 2A sin 2B ＝tanA tanB ，即sin 2A sin 2B ＝sinA cosA ·cosBsinB .∵sinA>0，sinB>0，∴sinAcosA＝sinBcosB ，即sin2A ＝sin2B.∴2A ＝2k π＋2B 或2A ＝2k π＋π－2B(k ∈Z )．∵0<A<π，0<B<π，∴k ＝0，则A ＝B 或A ＝π2－B.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．12．(2018·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cosB ＝________．答案 34解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c. ∴2sinB ＝sinA ＋sinC.∵A －C ＝90°，∴2sinB ＝sin(90°＋C)＋sinC. ∴2sinB ＝cosC ＋sinC. ∴2sinB ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sinB ＝2sin(90°－B2)．∴2sinB ＝2cos B2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B 2.∴sin B 2＝24.∴cosB ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34.13．(2018·广东揭阳一模)在△ABC 中，∠B ＝π6，AC ＝1，点D 在边AB 上，且DA ＝DC ，BD ＝1，则∠DCA ＝________．答案π3或π9解析如图，过点C 作CE ⊥AB 于E.设∠A ＝∠ACD ＝θ，则∠CDB ＝2θ.在Rt △AEC 中，CE ＝sin θ，则在Rt △CED 中，DE ＝－CEtan2θ＝－sin θtan2θ.在Rt △CEB 中，BE ＝CEtan π6＝3sin θ.由BD ＝1，得sin θtan2θ＋3sin θ＝1⇒sin θcos2θ＋3sin θsin2θ＝sin2θ⇒cos2θ＋3sin2θ＝2cos θ⇒cos θ＝cos(2θ－π3)⇒2θ－π3＝±θ⇒θ＝π3或π9.14．(2017·北京，理)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a.(1)求sinC 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．答案 (1)3314 (2)6 3解析 (1)根据正弦定理：a sinA ＝c sinC ⇒sinC ＝csinA a ＝37×sin60°＝37×32＝3314. (2)当a ＝7时，c ＝37a ＝3<a ，又sinC ＝3314，∴cosC ＝1－sin 2C ＝1314.在△ABC 中，sinB ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝32×1314＋12×3314＝437， ∴S △ABC ＝12ac ×sinB ＝12×7×3×437＝6 3.15．(2018·河南豫南九校质量考评)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2－c 2a 2＋c 2－b 2＝2sinA －sinCsinC ，且b ＝4.(1)求角B ；(2)求△ABC 面积的最大值．答案 (1)π3(2)4 3解析 (1)根据题意，由余弦定理得2abcosC 2accosB ＝2sinA －sinC sinC ，再由正弦定理得sinBcosCsinCcosB＝2sinA －sinCsinC ，整理得sinBcosC ＝2sinAcosB －cosBsinC ，∴sinBcosC ＋cosBsinC ＝2sinAcosB.即sin(B ＋C)＝2sinAcosB ，又sin(B ＋C)＝sinA ≠0， ∴cosB ＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得16＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c ＝4时取等号．则△ABC 的面积S ＝12acsinB ≤12×16×sin π3＝43，即△ABC 面积的最大值为4 3.16．(2017·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C)＝8sin 2B2.(1)求cosB ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b. 答案 (1)1517(2)2解析 (1)依题意，得sinB ＝8sin 2B2＝8·1－cosB 2＝4(1－cosB)．∵sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴16(1－cosB)2＋cos 2B ＝1，∴(17cosB －15)(cosB －1)＝0，∴cosB ＝1517.(2)由(1)可知sinB ＝817.∵S △ABC ＝2，∴12ac ·sinB ＝2，∴12ac ·817＝2，∴ac ＝172. ∵cosB ＝1517，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝1517，∴a 2＋c 2－b 2＝15，∴(a ＋c)2－2ac －b 2＝15， ∴36－17－b 2＝15，∴b ＝2.17．(2018·福建高中毕业班质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2bcosC －c ＝2a. (1)求B 的大小；(2)若a ＝3，且AC 边上的中线长为192，求c 的值．答案 (1)2π3(2)5解析 (1)∵2bcosC －c ＝2a ，∴由余弦定理得2b·a 2＋b 2－c 22ab－c ＝2a ，化简得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝2π3.(2)由(1)可得b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝c 2＋3c ＋9.① 又cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab，②取AC 的中点D ，连接BD ，在△CBD 中，cosC ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD＝a 2＋b 24－194ab ，③由②③得2c 2－b 2＝1.④由①④得c 2－3c －10＝0，解得c ＝5或c ＝－2(舍去)，∴c ＝5.18．(2018·衡水中学调研卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinBcosA ＝sinAcosC ＋cosAsinC. (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．答案 (1)π3 (2)72解析 (1)方法一：由题设知，2sinBcosA ＝sin(A ＋C)＝sinB ，因为sinB ≠0，所以cosA ＝12.由于0<A<π，故A ＝π3.方法二：由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A<π，故A ＝π3.(2)方法一：因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD →|＝72，从而AD ＝72. 方法二：因为a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72. (第二次作业)1．(2015·广东，文)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝2，c ＝23，cosA ＝32且b<c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2D. 3答案 C解析由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，即4＝b 2＋12－6b ⇒b 2－6b ＋8＝0⇒(b －2)(b －4)＝0，由b<c ，得b ＝2.2．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62D.3＋394答案 B解析由余弦定理，得(7)2＝22＋AB 2－2×2ABcos60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3.故BC 边上的高是ABsin60°＝332.选B.3．(2018·北京西城期末)已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则A 等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°答案 D解析由正弦定理，得1sinA ＝2sin45°，得sinA ＝12.又a<b ，∴A<B ＝45°.∴A ＝30°，故选D.4．(2018·安徽合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3 C ．2 3 D ．2答案 B解析因为S ＝12AB ·ACsinA ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos60°＝3. 所以BC ＝ 3.5．在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上均有可能答案 A解析由题意可知c>a ，c>b ，即角C 最大，所以a 3＋b 3＝a·a 2＋b·b 2<ca 2＋cb 2，即c 3<ca 2＋cb 2，所以c 2<a 2＋b 2.根据余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，则0<C<π2，即三角形为锐角三角形．6．(2018·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A ．(2，3) B ．(1，3) C ．(2，2) D ．(0，2)答案 A解析由a sinA ＝b sinB ＝bsin2A ，得b ＝2cosA.π2<A ＋B ＝3A<π，从而π6<A<π3.又2A<π2，所以A<π4，所以π6<A<π4，22<cosA<32，所以2<b< 3.7．(2016·北京)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________．答案 1解析 ∵a ＝3c ，∴sin ∠A ＝3sin ∠C ，∵∠A ＝2π3，∴sin ∠A ＝32，∴sin ∠C ＝12，又∠C必为锐角，∴∠C ＝π6，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，∴∠B ＝π6，∴∠B ＝∠C ，∴b ＝c ，∴bc ＝1.8．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝1，2cosC ＋c ＝2b ，则△ABC 周长取值范围是________．答案 (2，3]解析在△ABC 中，由余弦定理可得2cosC ＝a 2＋b 2－c 2ab ，∵a ＝1，2cosC ＋c ＝2b ，∴1＋b 2－c 2b ＋c ＝2b ，化简可得(b ＋c)2－1＝3bc.∵bc ≤(b ＋c 2)2，∴(b ＋c)2－1≤3×(b ＋c 2)2，解得b ＋c ≤2(当且仅当b ＝c 时，取等号)．故a ＋b ＋c ≤3.再由任意两边之和大于第三边可得b ＋c>a ＝1，故有a ＋b ＋c>2，所以△ABC 的周长的取值范围是(2，3]．9．(2015·广东，理)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3，sinB ＝12，C ＝π6，则b ＝________．答案 1解析由sinB ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin2π3＝b12，所以b ＝1. 10．(2018·湖北黄冈中学、黄石二中、鄂州高中三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sinB ，1－cosB)与向量n ＝(2，0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．答案 (1)23π (2)(3，2]解析 (1)∵m ＝(sinB ，1－cosB)，n ＝(2，0)，∴m ·n ＝2sinB ， |m |＝sin 2B ＋（1－cosB ）2＝2－2cosB ＝2|sin B2|.∵0<B<π，∴0<B 2<π2.∴sin B2>0.∴|m |＝2sin B2.又∵|n |＝2，∴cos θ＝m ·n |m |·|n |＝2sinB 4sinB 2＝cos B 2＝12.∴B 2＝π3，∴B ＝23π. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c)2－ac ≥(a ＋c)2－(a ＋c 2)2＝34(a＋c)2，当且仅当a ＝c 时，取等号．∴(a ＋c)2≤4，即a ＋c ≤2. 又a ＋c>b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]．11.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．答案 (1)3314(2)BD ＝3，AC ＝7解析 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B) ＝sin ∠ADCcosB －cos ∠ADCsinB＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12.如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．答案 (1)MP ＝1或MP ＝3 (2)∠POM ＝30°时，△OMN 面积最小值为8－4 3解析 (1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2×OP ×MP ×cos45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP， ∴OM ＝OPsin45°sin （45°＋α），同理ON ＝OPsin45°sin （75°＋α）. 故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin ∠MON ＝14×OP 2sin 245°sin （45°＋α）sin （75°＋α）＝1sin （45°＋α）sin （45°＋α＋30°）＝1sin （45°＋α）[32sin （45°＋α）＋12cos （45°＋α）] ＝132sin 2（45°＋α）＋12sin （45°＋α）cos （45°＋α）＝134[1－cos （90°＋2α）]＋14sin （90°＋2α）＝134＋34sin2α＋14cos2α ＝134＋12sin （2α＋30°）. ∵0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，∴当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值，即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.13．(2017·课标全国Ⅲ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinA ＋3cosA ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．答案 (1)4 (2) 3解析 (1)由已知可得tanA ＝－3，所以A ＝2π3. 在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4ccos 2π3，即c 2＋2c －24＝0.解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB·AD·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.14．(2017·山东，文)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →·AC→＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a.答案 3π4；29 解析因为AB →·AC →＝－6，所以bccosA ＝－6，又S △ABC ＝3，所以bcsinA ＝6，因此tanA ＝－1，又0<A<π，所以A ＝3π4.又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得a 2＝9＋8－2×3×22×(－22)＝29，所以a ＝29.15．(2017·天津，文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知asinA ＝4bsinB ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cosA 的值；(2)求sin(2B －A)的值．答案 (1)－55 (2)－255解析 (1)由asinA ＝4bsinB ，及a sinA ＝b sinB ，得a ＝2b.由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，及余弦定理，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55. (2)由(1)，可得sinA ＝255，代入asinA ＝4bsinB ，得sinB ＝asinA 4b ＝55.由(1)知，A 为钝角，所以cosB ＝1－sin 2B ＝255.于是sin2B ＝2sinBcosB ＝45，cos2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A)＝sin2BcosA －cos2BsinA ＝45×(－55)－35×255＝－255.1．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c ＝( )A ．2 5 B. 5 C ．25或 5D ．均不正确答案 C解析 ∵a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝155·sin30°＝32. ∵b>a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5.若B ＝120°，C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.2．(2017·西安五校模拟)M 为等边△ABC 内一动点，且∠CMB ＝120°，则AM MC 的最小值为________．答案 32 解析如图，在正△ABC 中，设∠MBC ＝θ，则∠ACM ＝θ，在△BMC 中，根据正弦定理可得MC sin θ＝BC sin120°.① 在△AMC 中，根据正弦定理可得AM sin θ＝AC sin ∠AMC.② ②÷①得AM MC ＝sin120°sin ∠AMC ≥32. 3．(2015·安徽，文)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________．答案 2解析因为∠A ＝75°，∠B ＝45°，所以∠C ＝60°，由正弦定理可得AC sin45°＝6sin60°，解得AC ＝2.4．(2015·课标全国Ⅰ，理)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．答案 (6－2，6＋2)解析如图，作△PBC ，使∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，作直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点(不与端点重合)，且使∠BAD ＝75°，则四边形ABCD就是符合题意的四边形．过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在△PBC 中，可求得BP ＝6＋2，在△QBC 中，可求得BQ ＝6－2，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．。