2002-2019深圳中考数学试题分类汇编 16反比例函数 教师版

近十五年深圳数学中考题分类汇编反比例函数1. （2002）反比例函数(0)k y k x=>在第一象限内的图象如图，点M 是图象上一点，MP 垂直x 轴于点P ，如果MOP ∆的面积为1，那么k 的值是( )A ．1B ．2C ．4 D【分析】本题主要考查了反比例函数k y x=中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为||k ，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系1||2S k =即可求得k 的值．【解答】解：由于点M 是反比例函数(0)k y k x=>图象上一点， 则1||12MOP S k ∆==， 又由于0k >，则2k =． 故选：B ．2.（2004）老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质： 甲：函数的图象经过第二象限； 乙：函数的图象经过第四象限；丙：在每个象限内，y 随x 的增大而增大．请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数 1y x=-（比例系数为负数即可） ．【分析】本题考查的是反比例函数的性质，属开放性题目，答案不唯一．根据反比例函数图象的性质进行判断即可．【解答】解：由甲乙所说两函数图象在二、四象限可知0k <； 由比可知此函数是反比例函数， 故此函数可以是：1y x=-．故答案为：1y x=-（比例系数为负数即可）．3.（2005）函数(0)k y k x=≠的图象过点(2,2)-，则此函数的图象在平面直角坐标系中的( )A ．第一、三象限B ．第三、四象限C ．第一、二象限D ．第二、四象限 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，40k =-<，函数位于二四象限．本题考查了反比例函数的性质，①、当0k >时，图象分别位于第一、三象限；当0k <时，图象分别位于第二、四象限．②、当0k >时，在同一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，在同一个象限，y 随x 的增大而增大．【解答】解：将(2,2)-代入(0)k y k x=≠得4k =-，根据反比例函数的性质，函数的图象在平面直角坐标系中的第二、四象限． 故选：D ．4.（2006）函数(0)ky k=≠的图象如图3所示，那么函数y kx k =-的图象大致是（图3 A B C D【分析】本题考查的知识点：（1）反比例函数ky x=的图象是双曲线，当0k <时，它的两个分支分别位于第二、四象限．（2）一次函数y kx b =+的图象当0k <，0b >时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限．首先由反比例函数k y x=的图象位于第二、四象限，得出0k <，则0k ->，所以一次函数图象经过第二四象限且与y 轴正半轴相交． 【解答】解：反比例函数k y x=的图象位于第二、四象限，0k ∴<，0k ->．0k <，∴函数y kx k =-的图象过二、四象限．又0k ->，∴函数y kx k =-的图象与y 轴相交于正半轴， ∴一次函数y kx k =-的图象过一、二、四象限．故选：C ．5.（2007）在同一直角坐标系中，函数(0)ky k x=≠与(0)y kx k k =+≠的图象大【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k 的取值确定函数所在的象限．根据正比例函数和反比例函数的图象性质并结合其系数作答．【解答】解：由于正比例函数和反比例函数的比例系数相同，所以它们经过相同的象限，因而一定有交点，排除A ，C ；又因为正比例函数一定经过原点，所以排除D ．Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．故选：B ．6.（2007）函数k y x=的图象经过点(tan 45,cos60)︒︒，则k 的值是( ) A ．12B C D ．32【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值及运用待定系数法求函数的解析式，属于基础题型，比较简单．首先由特殊角的三角函数值得出点的坐标，然后把点的坐标代入解析式求出k 值即可． 【解答】解：tan451︒=，1cos602︒=，∴点P 的坐标为( 1，1)2，把点的坐标代入k y x=，得：12k =． 故选：A ．7.（2008）如图3限交于A 点，AB ⊥x【分析】曲线上任意一点引x 理解k 的几何意义．【解答】则4k =． 故答案为：4．8.（2009）如图，点A 为反比例函数3y x-=的图象在第二象限上的任一点，AB x ⊥轴于B ，AC y ⊥轴于C ，则矩形ABOC 的面积是 3 ．【分析】主要考查了反比例函数ky x=中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为||k ，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．因为过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积S 是个定值，即||S k =． 【解答】解：点A 为反比例函数3y x-=的图象在第二象限上的任一点，则矩形ABOC 的面积||3S k ==．故答案为：3．9.（2010）如图2，点P （3a ，a ）是反比例函y ＝kx（k ＞0）与⊙O 的一个交点， 图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ） A ．y ＝3x B ．y ＝5x C ．y ＝10xD ．y ＝12x【分析】】此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式．根据(3,)P a a 和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a 的值，从而得出反比例函数的解析式．【解答】解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为14圆面积， 则圆的面积为10440ππ⨯=．因为(3,)P a a 在第一象限，则0a >，30a >，根据勾股定理，OP ．于是2)40ππ=，2a =±，（负值舍去），故2a =．P 点坐标为(6,2)．将(6,2)P 代入k y x=， 得：6212k =⨯=． 反比例函数解析式为：12y x=． 故选：D ．10.（2010）升旗时，旗子的高度h （米)与时间t （分)的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【分析】读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．根据横轴代表时间，纵轴代表高度，旗子的高度h （米)随时间t （分)的增长而变高来进行选择．【解答】解：高度h 将随时间的增长而变高， 故选：B ．11.（2012）如图，双曲线(0)ky k x=>与O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线．已知点P 坐标为(1,3)，则图中阴影部分的面积为 4 ．【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是知道反比例函数在0k >时关于y x =对称．由于O 和(0)ky k x=>都关于y x =对称，于是易求Q 点坐标是(3,1)，那么阴影面积等于两个面积相等矩形的面积减去2个边长是1的正方形的面积． 【解答】解：O 在第一象限关于y x =对称，(0)ky k x=>也关于y x =对称， P 点坐标是(1,3)，Q ∴点的坐标是(3,1)，13132114S ∴=⨯+⨯-⨯⨯=阴影．故答案是4．12.（2013）如图1，直线AB 过点(,0)A m ，(0,)B n ，且20m n +=（其中0m >，0)n >． （1）m 为何值时，OAB ∆面积最大？最大值是多少？（2）如图2，在（1）的条件下，函数(0)k y k x=>的图象与直线AB 相交于C 、D 两点，若18OCA OCD S S ∆∆=，求k 的值．（3）在（2）的条件下，将OCD ∆以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向平移，如图3，设它与OAB ∆的重叠部分面积为S ，请求出S 与运动时间t （秒)的函数关系式(010)t <<．【分析】本题考查了二次函数的最值的运用，反比例函数的图象的对称性的运用，相似三角形的相似比与面积之比的关系的运用，动点问题直线问题的运用，解答时求出函数的解析式及交点坐标是解答本题的关键．（1）由(,0)A m ，(0,)B n ，可以表示出OA m =，OB n =，由三角形的面积公式就可以求出结论；（2）由（1）的结论可以求出点A 点B 的坐标，就可以求出直线AB 的解析式，根据双曲线的对称性就可以求出OBD OAC S S ∆∆=的值，再由三角形的面积公式就可以求出其值；（3）根据平移的性质可以求得△O C D '''∽△O CD '，再由相似三角形的性质就可以求出就可以求出O C D S '''和O CDS '的面积关系，从而可以求出S 与运动时间t 之间的函数关系式．【解答】解：（1）(,0)A m ，(0,)B n ，OA m ∴=，OB n =．2AOB mnS ∆∴=． 20m n +=， 20n m ∴=-，22(20)1110(10)50222AOB m m S m m m ∆-∴==-+=--+ 102a =-<，∴抛物线的开口向下，10m ∴=时，50S =最大；（2）10m =，20m n +=，10n ∴=，(10,0)A ∴，(0,10)B ，设AB 的解析式为y kx b =+，由图象，得01010k bb =+⎧⎨=⎩， 解得：110k b =-⎧⎨=⎩， 10y x =-+． 18OCA OCD S S ∆∆=，∴设8OCD S a ∆=．则OAC S a ∆=，OBD OAC S S a ∆∆∴==， 10AOB S a ∆∴=，1050a ∴=， 5a ∴=， 5OAC S ∆∴=，∴152OA y =， 1y ∴=． 110x =-+， 9x =(9,1)C ∴， 19k∴=， 9k ∴=；（3）移动后重合的部分的面积是△O C D '''，t 秒后点O 的坐标为(,0)O t '，10O A t '=-，10O E '=． //C D CD ''，∴△O C D '''∽△O CD '，∴1010O D O A tO D O E '''-==''， ∴2210()()10O C D O CD S O D t S O D ''''''-==' 21040()10t S -=，∴22840(010)5S t t t =-+<<．13.（2014）如图，双曲线ky x=经过Rt BOC ∆斜边上的点A ，且满足23AO AB =，与BC 交于点D ，21BOD S ∆=，求k = 8 ．【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于||k ．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．过A 作AE x ⊥轴于点E ，根据反比例函数的比例系数k 的几何意义可得BOD AECB S S ∆=四边形，根据OAE OBC ∆∆∽，相似三角形面积的比等于相似比的平方，据此即可求得OAE ∆的面积，从而求得k 的值．【解答】解：过A 作AE x ⊥轴于点E ．OAE OCD S S ∆∆=，21BOD AECB S S ∆∴==四边形，//AE BC ，OAE OBC ∴∆∆∽， ∴24()25OAE OAE OBC OAE AECB S S AO S S S OB ∆∆∆∆===+四边形， 4OAE S ∆∴=，则8k =．故答案是：8．14.（2015）如图，已知点A 在反比例函数(0)k y x x=<上，作Rt ABC ∆，点D 为斜边AC 的中点，连DB 并延长交y 轴于点E ．若B C E ∆的面积为8，则k = 16 ．【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，解决本题的关键是证明EOB ABC ∆∆∽，得到AB OB BC OE =．根据反比例函数系数k 的几何意义，证明ABC EOB ∆∆∽，根据相似比求出BA BO 的值，从而求出AOB ∆的面积．【解答】解：BCE ∆的面积为8， ∴182BC OE =， 16BC OE ∴=，点D 为斜边AC 的中点，BD DC ∴=，DBC DCB EBO ∴∠=∠=∠，又EOB ABC ∠=∠，EOB ABC ∴∆∆∽， ∴BC AB OB OE=， AB OB BC OE ∴=16k AB BO BC OE ∴===．故答案为：16．15（2016）如图，四边形ABCO 是平行四边形，2OA =，6AB =，点C 在x 轴的负半轴上，将ABCO 绕点A 逆时针旋转得到ADEF ，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上，若点D 在反比例函数(0)k y x x=<的图象上，则k 的值为【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出D 点坐标是解题关键．根据旋转的性质以及平行四边形的性质得出BAO AOF AFO OAF ∠=∠=∠=∠，进而求出D 点坐标，进而得出k 的值．【解答】解：如图所示：过点D 作DM x ⊥轴于点M ，由题意可得：BAO OAF ∠=∠，AO AF =，//AB OC ，则BAO AOF AFO OAF ∠=∠=∠=∠，故60AOF DOM ∠=︒=∠，624OD AD OA AB OA =-=-=-=，2MO ∴=，MD =(2,D ∴--，2(k ∴=-⨯-=．故答案为：16.（2017）如图，一次函数y kx b =+与反比例函数(0)m y x x=>交于(2,4)A ，(,1)B a ，与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ．（1）直接写出一次函数y kx b =+的表达式和反比例函数(0)m y x x =>的表达式； （2）求证：AD BC =．【分析】此题是反比例函数与一次函数交点坐标问题，主要考查了待定系数法，勾股定理，解（1）的关键是掌握待定系数法求函数的解析式，解（2）的关键是构造直角三角形．（1）先确定出反比例函数的解析式，进而求出点B 的坐标，最后用待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）由（1）知，直线AB 的解析式，进而求出C ，D 坐标，构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）将点(2,4)A 代入m y x =中，得，248m =⨯=， ∴反比例函数的解析式为8y x=， 将点(,1)B a 代入8y x=中，得，8a =，(8,1)B ∴， 将点(2,4)A ，(8,1)B 代入y kx b =+中，得，8124k b k b +=⎧⎨+=⎩， ∴125k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数解析式为152y x =-+； （2）直线AB 的解析式为152y x =-+，(10,0)C ∴，(0,5)D ， 如图，过点A 作AE y ⊥轴于E ，过点B 作BF x ⊥轴于F ，点(2,4)A ，(8,1)B(0,4)E ∴，(8,0)F ，2AE ∴=，1DE =，1BF =，2CF =，在Rt ADE ∆中，根据勾股定理得，AD =，在Rt BCF ∆中，根据勾股定理得，BC =AD BC ∴=．17. （2018）如图，A 、B 是函数12y x=上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是( )①AOP BOP ∆≅∆；②AOP BOP S S ∆∆=；③若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；④若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，三角形面积公式，角平分线定理逆定理，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．由点P 是动点，进而判断出①错误，设出点P 的坐标，进而得出AP ，BP ，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确，利用角平分线定理的逆定理判断出③正确，先求出矩形4OMPN =，进而得出4mn =，最后用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：点P 是动点，BP ∴与AP 不一定相等，BOP ∴∆与AOP ∆不一定全等，故①不正确；设(,)P m n ，//BP y ∴轴，12(,)B m m∴， 12||BP n m∴=-， 1121|||12|22BOP S n m mn m ∆∴=-⨯=- //PA x 轴，12(A n∴，)n ， 12||AP m n∴=-， 1121|||12|22AOP S m n mn n ∆∴=-⨯=-， AOP BOP S S ∆∆∴=，故②正确；如图，过点P 作PF OA ⊥于F ，PE OB ⊥于E ，12AOP S OA PF ∆∴=⨯，12BOP S OB PE ∆=⨯， AOP BOP S S ∆∆=，OB PE OA PF ∴⨯=⨯，OA OB =，PE PF ∴=，PE OB ⊥，PF OA ⊥，OP ∴是AOB ∠的平分线，故③正确；如图1，延长BP 交x 轴于N ，延长AP 交y 轴于M ，AM y ∴⊥轴，BN x ⊥轴，∴四边形OMPN 是矩形，点A ，B 在双曲线12y x=上， 6AMO BNO S S ∆∆∴==，4BOP S ∆=，2PMO PNO S S ∆∆∴==， 4OMPN S ∴=矩形，4mn ∴=，4m n∴=， 12|||3|2||BP n n n n m∴=-=-=，128||||AP m n n =-=， 1182||822||APB S AP BP n n ∆∴=⨯=⨯⨯=，故④错误； ∴正确的有②③，故选：B ．18（2019•深圳）已知y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，则y ＝ax +b 和y ＝的图象为（ ）A．B．C．D．【分析】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b ＞0，c＜0，由此可以判定y＝ax+b经过一、二、四象限，双曲线y＝在二、四象限．【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，可得a＜0，b＞0，c＜0，∴y＝ax+b过一、二、四象限，双曲线y＝在二、四象限，∴C是正确的．故选：C．19（2019•深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝．【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求A的坐标，依据A在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出k的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．要求k得值，通常可求A的坐标，可作x轴的垂线，构造相似三角形，利用CD＝3AD和C （0，﹣3）可以求出A的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A的坐标，进而确定k的值．【解答】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，∵C（0，﹣3），∴OC＝3，可证△ADE∽△CDO∴，∴AE＝1；又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD∴BO＝OD∵∠ABC＝90°∴△ABE～COD∴设DE＝n，则BO＝OD＝3n，BE＝7n，∴，∴n＝∴OE＝4n＝∴A（，1）∴k＝．故答案为：．。