专题3 填空压轴题之几何求值-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类之压轴题汇编(深圳专用解析版)
专题02 填空压轴题-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编(河南专用)(解析版)
专题02 填空压轴题1．（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，30B Ð=°，1AC =．第一步，在AB 边上找一点D ，将纸片沿CD 折叠，点A 落在A ¢处，如图2；第二步，将纸片沿CA ¢折叠，点D 落在D ¢处，如图3．当点D ¢恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A D ¢¢的长为 ．【答案】12或2-【详解】①点D ¢恰好落在直角三角形纸片的AB 边上时，设A C ¢交AB 边于点E ，如图，由题意：ADC D @△A DC ¢@△A D C ¢¢，A C ¢垂直平分线段DD ¢．则60D A C DA C A Т¢=Т=Ð=°，1A C AC ¢==．90ACB Ð=°Q ，30B Ð=°，1AC =，tan 1tan 60BC AC A \=×=´°=22AB AC ==，Q 1122ABC S AC BC AB CE D =×=×，CE \=．1A E A C CE \¢=¢-=-．在Rt △A D E ¢¢中，cos A E D A E A D ¢Ð¢¢=¢¢Q ，\12A E A D ¢=¢¢，22A D A E \¢¢=¢=-．②点D ¢恰好落在直角三角形纸片的BC 边上时，如图，由题意：ADC D @△A DC ¢@△A D C ¢¢，1303ACD A CD A CD ACB Ð=Т=Т¢=Ð=°；则60D A C DA C A Т¢=Т=Ð=°，1A C AC ¢==．60D A C Т¢=°Q ，30A CD Т¢=°，90A D C \Т¢=°，1111222A D A C \¢¢=¢=´=．综上，线段A D ¢¢的长为：12 或22．（2020•河南）如图，在扇形BOC 中，60BOC Ð=°，OD 平分BOC Ð交 BC于点D ，点E 为半径OB 上一动点．若2OB =，则阴影部分周长的最小值为 ．【详解】如图，作点D 关于OB 的对称点D ¢，连接D C ¢交OB 于点E ¢，连接E D ¢、OD ¢，此时E C E D ¢+¢最小，即：E C E D CD ¢+¢=¢，由题意得，30COD DOB BOD Ð=Ð=Т=°，90COD \Т=°，CD \¢===，CD 的长3021803l p p ´==，\阴影部分周长的最小值为3p+=3．（2019•河南）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且35BE a =．连接AE ，将ABE D 沿AE 折叠，若点B 的对应点B ¢落在矩形ABCD 的边上，则a 的值为 ．【答案】53【详解】分两种情况：①当点B ¢落在AD 边上时，如图1．Q 四边形ABCD 是矩形，90BAD B \Ð=Ð=°，Q 将ABE D 沿AE 折叠，点B 的对应点B ¢落在AD 边上，1452BAE B AE BAD \Ð=Т=Ð=°，AB BE \=，\315a =，53a \=；②当点B ¢落在CD 边上时，如图2．Q 四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D \Ð=Ð=Ð=Ð=°，AD BC a ==．Q 将ABE D 沿AE 折叠，点B 的对应点B ¢落在CD 边上，90B AB E \Ð=Т=°，1AB AB =¢=，35EB EB a =¢=，DB \¢==，3255EC BC BE a a a =-=-=．在ADB D ¢与△B CE ¢中，9090B AD EB C AB D D C Т=Т=°-ТìíÐ=Ð=°î，ADB \D ¢∽△B¢\DB AB CE B E ¢¢=¢135a =，解得1a =2a ．综上，所求a 的值为53．4．（2018•河南）如图，90MAN Ð=°，点C 在边AM 上，4AC =，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A BC ¢与ABC D 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A B ¢所在直线于点F ，连接A E ¢．当△A EF ¢为直角三角形时，AB 的长为 ．【答案】或4【详解】当△A EF ¢为直角三角形时，存在两种情况：①当90A EF ¢Ð=°时，如图1，Q △A BC ¢与ABC D 关于BC 所在直线对称，4A C AC ¢\==，ACB A CB ¢Ð=Ð，Q 点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，D \、E 是ABC D 的中位线，//DE AB \，90CDE MAN \Ð=Ð=°，CDE A EF ¢\Ð=Ð，//AC A E ¢\，ACB A EC ¢\Ð=Ð，A CB A EC ¢¢\Ð=Ð，4A C A E ¢¢\==，Rt △A CB ¢中，E Q 是斜边BC 的中点，28BC A E ¢\==，由勾股定理得：222AB BC AC =-，AB \==②当90A FE ¢Ð=°时，如图2，90ADF A DFB Ð=Ð=Ð=°Q ，90ABF \Ð=°，Q △A BC ¢与ABC D 关于BC 所在直线对称，45ABC CBA ¢\Ð=Ð=°，ABC \D 是等腰直角三角形，4AB AC \==；综上所述，AB 的长为或4；5．（2021•长葛市一模）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以点D 为圆心、AD 的长为半径画弧，再以BC 为直径画半圆．若阴影部分①的面积为1S ，阴影部分②的面积为2S ，则21S S -的值为 ．【答案】342p -【详解】由图形可知，扇形ADC 的面积+半圆BC 的面积+阴影部分①的面积-正方形ABCD 的面积=阴影部分②的面积，21S S \-=扇形ADC 的面积+半圆BC 的面积-正方形ABCD 的面积2229021123602p p ´=+´-342p =-6．（2021•中原区校级模拟）如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，AB =，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边BPQ D ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是 ．【详解】如图，取AB 的中点E ，连接CE ，PE ．90ACB Ð=°Q ，30A Ð=°，60CBE \Ð=°，BE AE =Q ，CE BE AE \==，BCE \D 是等边三角形，BC BE \=，60PBQ CBE Ð=Ð=°Q ，QBC PBE \Ð=Ð，QB PB =Q ，CB EB =，()QBC PBE SAS \D @D ，QC PE \=，\当EP AC ^时，QC 的值最小，在Rt AEP D 中，AE =Q ，30A Ð=°，12PE AE \==，CQ \．7．（2021•郑州模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是AB 边上一动点（不与点A ，B 重合），连接PD ，过点B 作BM PD ^交DP 的延长线于点M ，连接AM ，过点A 作AN AM ^交PD 于点N ，连接BN ，CN ，则BNC D 面积的最小值为 ．【答案】12-【详解】Q 四边形ABCD 为正方形，AD AB \=，90BAD BAN NAD Ð=Ð+Ð=°，90MAB BAN Ð+Ð=°Q ，MAB NAD \Ð=Ð，180BMP BPM MBP PAD PDA APD Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=°Q ，MPB APD Ð=Ð，90BMP DAP Ð=Ð=°，MBP ADP \Ð=Ð，在AMB D 和AND D 中，MAB NAD AB ADMBA NDA Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()AMB AND ASA \D @D ．AMB AND S S D D \=，1144822AND BNC ABCD S S S D D +==´´=Q 正方形，\当AMB S D 面积最大时，BNC S D 面积最小，90BMD Ð=°Q ，\点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，当ABM D 面积最大时，OM AB ^，如图，Q 点O 为BD 中点，//OM AD ，122OK AD \==，BD ==Q12OM BD \==2MK OM OK \=-=-，142AMB S AB MK D \=×=-，884)12BNC AMB S S D D \=-=-=-．8．（2021•河南模拟）如图，正方形ABCD 中，点M ，N 分别为边CD ，AB 上一个动点，且CM AN =，连接MN ，过点D 作DP MN ^于点P ，连接CP ，若4AB =，则CP 的最小值为 ．【详解】连接AC 交MN 于O ．Q 四边形ABCD 是正方形，//AB CD \，OCM OAN \Ð=Ð，CM AN =Q ，COM AON Ð=Ð，()COM AON AAS \D @D ，OA OC \=，连接BD ，则BD 经过点O ，取OD 的中点T ，连接CT ，PT ．4AB =Q ，OD OC AD \===，DP MN ^Q ，90DPO \Ð=°，DT TO =Q ，12PT OD \==，90COT Ð=°Q ，CT \===，PC CT PT \-…，PC \…，PC \-9．（2021•郑州二模）在矩形ABCD 中，2AB =，AD =，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，点P 为线段MN 上一动点，以线段BP 为边，在BP 左侧作等边三角形BPQ ，连接QM ，则QM 的最小值为 ．【答案】12【详解】由题意可知，当点P 与点M 重合时，以BP 为边在左侧所做的等边三角形1BMQ ，当BP 等于BA 时所做的等边三角形BPA ，此时Q 和A 重合，当P 运动到点N 时，以BP 为边所做的等边三角形2BNQ ，\点P 在线段MN 上运动时，以BP 为边的等边三角形BPQ 的顶点Q 的轨迹是线段12Q Q 所在的直线，当12MQ Q Q ^时值最小，如图所示：ABCD Q 是矩形，2AB =，AD =M 是AB 边的中点，1AM BM \==，1BMQ Q 是等边三角形，11MQ AM BM \===，160BMQ Ð=°，1120Q MA \Ð=°，130MQ Q \Ð=°，又12MQ Q Q ^Q ，12MQ =．10．（2021•禹州市模拟）如图，在等边三角形ABC 中，6AB =，D ，E 分别为边AB 和AC 上的点，连接DE ，将ADE D 沿DE 折叠得到FDE D ．若点F 始终落在边BC 上，则线段DE 的取值范围为 ．【答案】3DE……【详解】如图1中，当AF BC^时，DE是ABCD的中位线，此时DE的值最小，最小值132DE BC==，如图2中，当点F与B重合时，DE的值最大，最大值是ABCD的高，此时DE=，综上所述，3DE……11．（2021•河南模拟）如图，在周长为16，面积为6的矩形纸片ABCD中，E是AD的中点．F是AB上一动点，将AEFD沿直线EF折叠，点A落在点A¢处．在EF上任取一点G，连接GA¢，GC，则A G GC¢+的最小值为 ．【答案】【详解】连接AC交EF于H，连接A H¢，当点G与点H重合时，此时A G GC¢+的值最小，设AB x =，BC y =，Q 矩形ABCD 的周长为16，面积为6，\86x y xy +=ìí=î，2252x y \+=，AC \==．A G GC ¢\+的最小值为．12．（2021•濮阳一模）如图，正方形ABCD 的边长为8，点E 在AB 上，2BE =．F 为对角线AC 上一动点，则BFE D 周长的最小值为 ．【答案】12【详解】如图，连接ED 交AC 于一点F ，连接BF ，Q 四边形ABCD 是正方形，\点B 与点D 关于AC 对称，BF DF \=，BFE \D 的周长BF EF BE DE BE =++=+，此时BEF D 的周长最小，Q 正方形ABCD 的边长为4，8AD AB \==，90DAB Ð=°，Q 点E 在AB 上且2BE =，6AE \=，10DE \==，BFE \D 的周长10212=+=13．（2021•河南模拟）如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，BC =E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF D 沿EF 所在直线翻折，得到△A EF ¢，连接A C ¢，A D ¢，则当△A DC ¢是以A D ¢为腰的等腰三角形时，FD 的长是 ．【答案】2-或【详解】①当A D DC ¢=时，如图1，连接ED ，Q 点E 是AB 的中点，4AB =，BC =ABCD 是矩形，AD BC \==90A Ð=°，6DE \==，Q 将AEF D 沿EF 所在直线翻折，得到△A EF ¢，2A E AE \¢==，4A D DC AB ¢===Q ，6DE A E A D \=¢+¢=，\点E ，A ¢，D 三点共线，90A Ð=°Q ，90FA E FA D \Т=Т=°，设AF x =，则A F x ¢=，FD x =-，在Rt △FA D ¢中，2224)x x +=，解得：x =，FD \=；②当A D A C ¢=¢时，如图2，A D A C ¢=¢Q ，\点A ¢在线段CD 的垂直平分线上，\点A ¢在线段AB 的垂直平分线上，Q 点E 是AB 的中点，EA\¢是AB的垂直平分线，\Т=°，90AEAD沿EF所在直线翻折，得到△A EF¢，Q将AEF=¢，\Ð=Т=°，AF FAA EA F90\四边形AEA F¢是正方形，\==，AF AE2\=-2DF¢¢，14．（2021•禹州市一模）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点B逆时针旋转60°，得到扇形O A B 其中点A的运动路径为 AA¢，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】2p-【详解】如图，连接BA，BA¢，OO¢，OO¢，Q 将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点B 逆时针旋转60°，得到扇形O A B ¢¢，BA BA \=¢，BO BO =¢，60ABA OBO Т=Т=°，OBO \D ¢是等边三角形，1602BOO AOB \Т=°=Ð，\当O ¢是AB 的中点，AO BO S S ¢¢\=弓形弓形，120AOB Ð=°Q ，2OA OB ==，AB \=，OA OB AO BO ==¢=¢Q ，\四边形AOBO ¢是菱形，AOB AO B S S D ¢\=V ，在△AO B ¢和△A O B ¢¢中，AB A B BO BO AO A O =¢ìï¢=¢íï¢=¢¢î，\△AO B ¢@△()A O B SSS ¢¢，AO B A O B S S ¢¢¢\=V V ，\图中阴影部分的面积AO B A O BBAA S S S ¢¢¢¢=--V V 扇形2AO BBAA S S ¢¢=-V 扇形_BAA AOBO S S ¢¢=-扇形菱形122=-´´2p =-．15．（2021•河南模拟）如图，在矩形ABCD 中，12AB =，9BC =，点E ，F 分别为边AB ，CD 上的动点，且2BE FD =．连接BD 、EF 交于点H ．连接AH ，过点A 作AG EF ^于点G ，连接BG ，则BG 的最小值为 ．【详解】//BE DF Q ，\2BH BE DH DF==，2BH DH \=，AG EF ^Q ，\点G 在以AH 为直径的圆上，设AH 中点为O ，连接GO ，如图所示．则BG BO OG -…．\当B ，G ，O 三点共线时，BG 最小，此时BG BO OG =-，过点O 作//MN AB 分别交BC 于点M ，交AD 于点N ，交BD 于点P ，OA OH =Q ，OP \为ABH D 的中位线，162OP AB \==，BP PH HD ==．13BP BD \=．////MN AB CD Q ，133BM AN BC \===，143MP CD ==．10MO \=，2ON =．在R AON D 中，AO ==．在Rt BOM D 中，BO ==，BG BO OG BO AO \=-=-=-16．（2021•河南模拟）如图，在正方形ABCD 中，8AB =，点E ，F 分别为边AB ，AD 上的动点，且6EF =，点G ，M 分别为边BC ，CD 的中点，连接BM ，DG 交于点O ．将EFA D 沿EF 折叠得到EFA ¢D ，点H 是边EF 上一动点，连接A H ¢，HO ，OA ¢．当A H HO ¢+的值最小时，OA ¢的长为 ．6【详解】连接AH 、AO ，如图1，由折叠的性质，点A 与点A ¢关于直线EF 对称，AH A H ¢\=，A H HO AH HO AO ¢\+=+…，\当A 、H 、O 三点共线时，A H HO ¢+的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO BC ^于点N ，如图2，\四边形AFA E ¢是正方形，6AA EF ¢\==，A 、O 、C 三点共线，45ACB \Ð=°，M Q 是DC 的中点，4MC \=，设CN x =，则ON CN x ==，8BN x =-，BNO BCM Ð=ÐQ ，BON BMC \D D ∽，\ON MC BN BC =，即488x x =-，83x \=，83CN \=，CO \==在Rt ABC D 中，由勾股定理得，AC ==616A O AC AA OC ¢¢\=--=--=-，16-．17．（2021•河南模拟）如图所示，ABC D 中，105BAC Ð=°，45ACB Ð=°，将ABC D 绕点C 顺时针旋转45°得对应DEC D ，若2BC =，则线段AB 扫过的阴影面积为 ．【详解】作AM BC^于M，105BACÐ=°Q，45ACBÐ=°，45CAM\Ð=°，60BAM\Ð=°，MC AM \=，BM=，(12AM BC\+==，1AM\=-，AC\==-，\扇形BCE的面积是245213602pp×==，121)12CDE ABCS SD D==´´-=-，CADS p==扇形．故12CAD ABCBCE CAD BCE CADS S S S S S S pD D=+--=-=-=阴影部分扇形扇形扇形扇形．18．（2021•涧西区一模）在矩形ABCD中，2AB=，4BC=，点E在边BC上，连接DE，将CDED沿DE 折叠，若点C的对称点C¢到AD的距离为1，则CE的长为 ．【详解】如图1，当点C¢落在矩形ABCD的内部，过点C¢作C M AD¢^于点M，Q 将CDE D 沿DE 折叠，2AB DC C D ¢\===，CDE C DE ¢Ð=Ð，1C M ¢=Q ，\12C M CD ¢¢=，30C DM ¢\Ð=°，60C DC ¢\Ð=°，1302CDE C DC ¢\Ð=Ð=°，tan 302CE CD \=´°==；如图2，当点C ¢落在矩形ABCD 的外部，过点C ¢作C G AD ¢^于点G ，C E ¢与AD 交于点H ,则1C G ¢=，同理2CD C D ¢==，30C DG ¢\Ð=°，60C HD ¢\Ð=°，Q 矩形ABCD 中，//AD BC ，60C HD HEC ¢\Ð=Ð=°，1302DEC HEC \Ð=Ð=°，CE \=．综上可得，CE 或．19．（2021•河南模拟）如图，点P 为矩形ABCD 对角线AC 上异于A 、C 的一个动点，过点P 作PE AD ^于点E ，点F 为点A 关于PE 的对称点，连接PF 、FC ，若6AB =，8BC =，当CPF D 为直角三角形时，AE 的长为 ．【答案】74【详解】PCF D Q 为直角三角形，90CFP \Ð=°，90CFD PFA \Ð+Ð=°，Q 四边形ABCD 为矩形，90CAB PAF \Ð+Ð=°，PE AD ^Q ，点A 与点F 关于PE 对称，PE PA \=，EF EA =，PFA PAF \Ð=Ð，CAB CFD \Ð=Ð，在CBA D 和CDF D 中B DCAB CFDÐ=ÐìíÐ=ÐîCBA CDF \D D ∽，\BC ABCD DF =，6AB CD ==Q ，8BC =，\866DF =，即92DF =，1()2AE AD DF \=-19(8)22=-74=．20．（2021•河南模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，O e 的半径为2，动弦2AB =，C 是AB 的中点，直线3:34ED y x=--与x轴交于E，与y轴交于D，连接EC和DC，则ECDD的面积的最大值为 ．6+【详解】334y x=--Q与x轴交于E，与y轴交于D，(0,3)D\-，(4,0)E-，3OD\=，4OE=，5DE==，连接OA，OC．AC BC=Q，OC AB\^，OC\==，\点C的运动轨迹是以O为半径的圆，过点O作OF DE^于F，交小圆于C¢，则125OE ODOFDE×==，观察图像可知，当点C与C¢重合时，CEDD的面积最大，最大值1125(625=´+=+．21．（2021•许昌一模）如图，在矩形ABCD中，4AB=，3BC=，将BCDD沿射线BD平移长度(0)a a>得到△B C D¢¢¢，连接AB¢，AD¢，则当△AB D¢¢是直角三角形时，a的长为 ．【答案】75或165【详解】分两种情况：①如图1，90D AB ¢¢Ð=°，延长C B ¢¢交AB 于G ，过点D ¢作D H AB ¢^，交BA 的延长线于H ，90H AGB BGB ¢¢\Ð=Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是矩形，90BAD C \Ð=Ð=°，3AD BC ==，tan AD B G ABD AB BG ¢Ð==Q ，即34B G BG ¢=，设3B G x ¢=，4BG x =，5BB a x ¢\==，由平移得：5DD BB x ¢¢==，33D H x ¢\=+，4AH BG x ==，44AG AB BG x \===-，90D AB HAD BAB ¢¢¢¢Ð=Ð+Ð=°Q ，90AD H HAD ¢¢Ð+Ð=°，AD H GAB ¢¢\Ð=Ð，90H AGB ¢Ð=Ð=°Q ，\△D HA AGB ¢¢D ∽，\D H AH AG B G ¢=¢，即334443x x x x+=-，725x \=，775255a \=´=；②如图2，90AB D ¢¢Ð=°，延长C B ¢¢交AB 于M ，则C M AB ¢^，90AMB ¢\Ð=°，由平移得：3B C BC ¢¢==，同理设3B M m ¢=，4BM m =，则5BB a m ¢==，44AM m \=-，90AB M D B C ¢¢¢¢Ð+Ð=°Q ，90MAB AB M ¢¢Ð+Ð=°，D B C MAB ¢¢¢¢\Ð=Ð，90C AMB ¢¢Ð=Ð=°Q ，\△D C B ¢¢¢∽△B MA ¢，\C D B C MB AM ¢¢¢¢=¢，即43344m m=-，1625m \=，161655255a m \==´=；综上，a 的值是75或165．22．（2021•平顶山模拟）如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，30B Ð=°，点P 是斜边AB 上一动点，连接CP ，将ACP D 沿CP 折叠，点A 的对应点是A ¢，当点A ¢落在边BC 的垂直平分线上时，ACP Ð的度数为 ．【答案】30°或60°【详解】如图：（1）当A ¢落在线段BC 的上方时，如图①：l Q 是BC 的垂直平分线，A C AB \¢=¢，30A CB B Т=Ð=°，903060ACA \Т=°-°=°，1302ACP ACA \Ð=Т=°．（2）当A ¢落在线段BC 的下方时，如图②：l Q 是BC 的垂直平分线，PC PB \=，30PCB B \Ð=Ð=°，903060ACP \Ð=°-°=°．综上，ACP Ð的度数是30°或60°．23．（2021•汝南县模拟）如图在等边ABC D 中，2AB =+，点D 在边AB 上，且2AD =，点E 是BC 边上一动点将B Ð沿DE 折叠，当点B 的对应点B ¢落在ABC D 的边上时，BE 的长为 ．6-【详解】①当点B ¢落在BC 边上时，如图1所示：ABC D Q 是等边三角形，60B \Ð=°，由折叠的性质得：22DB DB AB AD ¢==-=-=，B E BE ¢=，BDB ¢\D 是等边三角形，BB BD ¢\==，12BE BB ¢\=；②当点B ¢落在AC 边上时，如图2所示：由折叠的性质得：60DB E B ¢Ð=Ð=°，在ADB ¢D 中，2AD =，DB DB ¢==过点D 作DM AB ^交AC 于点M ，则tan 2DM AD A ===\点M 与点B ¢重合，90ADB ¢\D =°，30AB D ¢Ð=°，24AB AD ¢\==，2B C AC AB ¢¢\=-=-，180180306090EB C AB D DB E ¢¢¢Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°Q ，tan 2)6B E B C C ¢¢\===-，6BE \=-综上所述，BE 6-；24．（2021•市中区一模）如图，菱形ABCD边长为4厘米，60Ð=°，点M为AB的中点，点N是边ADAÐ沿直线MN折叠，点A落在图中的点E处，当AN= 厘米时，BCE上任一点，把AD是直角三角形．【答案】1或2【详解】Q菱形ABCD边长为4厘米，点M为AB的中点，AM BM\==厘米，2由翻折可知：==，EM AM BM\Ð=Ð，MBE MEB①当90EBCÐ=°时，Q，Ð=°A60\Ð=°，120ABC\Ð=Ð=°，MBE MEB30\Ð=°，BME120\Ð=Ð=°，30AMN EMN\Ð=°，90MNA112AN AM \==厘米；②当90BEC Ð=°时，点E 落在菱形对角线AC 上，Q 点M 为AB 的中点，MN 为折痕，此时BD AC ^于点E ，\点N 为AD 的中点，122AN AD \==厘米．所以当1AN =或2厘米时，BCE D 是直角三角形．25．（2020•郑州模拟）如图，正方形ABCD 中，2AD =+，已知点E 是边AB 上的一动点（不与A 、B 重合）将ADE D 沿DE 对折，点A 的对应点为P ，当APB D 是等腰三角形时，AE = ．【答案】1【详解】若AP BA =，Q 四边形ABCD 是正方形AD AB \=，90DAB Ð=°，Q 折叠AD DP AP \==，ADE PDEÐ=ÐADP \D 是等边三角形60ADP \Ð=°30ADE \Ð=°AE AD \==若AP PB =，如图，过点P 作PF AD ^于点F ，作MED MDE Ð=Ð，AP PB =Q ，\点P 在AB 的垂直平分线上，且PF AD ^，12PF AB \=，Q 折叠AD DP AB \==，ADE PDEÐ=Ð12PF PD \=30PDF \Ð=°15ADE \Ð=°MED MDE Ð=ÐQ ，30AME \Ð=°，ME MD=AM \=，2ME AE=22AD AE \=+=+1AE \=当AB PB =时，AB AD BP \==，由折叠知，AD DP =，BP DP \=，在ADP D 和ABP D 中，AD AB DP BP AP AP =ìï=íï=î，()ADP ABP SSS \D @D ，45DAP BAP \Ð=Ð=°，\点E 和点B 重合，不符合题意，即：AB PB =此种情况不存在26．（2020•河东区一模）如图，正方形ABCD 的边长是9，点E 是AB 边上的一个动点，点F 是CD 边上一点，4CF =，连接EF ，把正方形ABCD 沿EF 折叠，使点A ，D 分别落在点A ¢，D ¢处，当点D ¢落在直线BC 上时，线段AE 的长为 ．【答案】2或8【详解】分两种情况：①当D ¢落在线段BC 上时，连接ED 、ED ¢、DD ¢，如图1所示：由折叠可得，D ，D ¢关于EF 对称，即EF 垂直平分DD ¢，DE D E \=¢，Q 正方形ABCD 的边长是9，9AB BC CD AD \====，4CF =Q ，945DF D F CD CF \=¢=-=-=，3CD \¢==，6BD BC CD ¢¢\=-=，设AE x =，则9BE x =-，在Rt AED D 和Rt BED ¢D 中，由勾股定理得：222229DE AD AE x =+=+，22222(9)6D E BE BD x ¢¢=+=-+，22229(9)6x x \+=-+，解得：2x =，即2AE =；②当D ¢落在线段BC 延长线上时，连接ED 、ED ¢、DD ¢，如图2所示：由折叠可得，D ，D ¢关于EF 对称，即EF 垂直平分DD ¢，Q 正方形ABCD 的边长是9，9AB BC CD AD \====，4CF =Q ，945DF D F CD CF \=¢=-=-=，3CD ¢==，12BD BC CD ¢¢\=+=，设AE x =，则9BE x =-，在Rt AED D 和Rt BED ¢D 中，由勾股定理得：222229DE AD AE x =+=+，22222(9)12D E BE BD x ¢¢=+=-+，22229(9)12x x \+=-+，解得：8x =，即8AE =；综上所述，线段AE 的长为2或8；27．（2020•河南一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点E 是边AD 上的一个动点，把BAE D 沿BE 折叠，点A 落在A ¢处，如果A ¢恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为 ．【答案】1【详解】分两种情况：①如图1，过A ¢作//MN CD 交AD 于M ，交BC 于N ，则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，112AM BN AD \===，ABE D Q 沿BE 折叠得到△A BE ¢，A E AE \¢=，1AB AB ¢==，0A N \¢==，即A ¢与N 重合，1A M \¢=，222A E EM A M \¢=+¢，222(1)1A E A E \¢=-¢+，解得：1A E ¢=，1AE \=；②如图2，过A ¢作//PQ AD 交AB 于P ，交CD 于Q ，则直线PQ 是矩形ABCD 的对称轴，PQ AB \^，AP PB =，，，，，，综上所述：的长为1；////AD PQ BC 2A B PB \¢=30PA B \Т=°30A BC \Т=°30EBA \Т=°tan 301AE A E A B \=¢=¢´°==AE28．（2020•河南模拟）在矩形中，，，点，分别为，上的两个动点，将沿折叠，点的对应点为，若点落在射线上，且恰为直角三角形，则线段的长为.【答案】或【详解】如图①，当为直角时，设在中，，，由折叠的性质知．的长为如图②，当为直角时，设，ABCD 3AB =4BC =E F BC AC CEF D EF C G G AB AGF D CF 207209AGF ÐCF x=Rt ABC D 3AB =4BC =5AC \=GF FC =90AGF ABC Ð=Ð=°Q //GF EC\AGF ABC\D D ∽\AF GF AC BC =\554x x -=209x \=CF \209AFG ÐCF y=BAC BAC Ð=ÐQ 90AFG ABC Ð=Ð=°AFG ABC\D D ∽的长为29．（2020•郑州二模）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，将沿折叠，得到△连接，，若为等腰三角形，则的长为 ．【答案】或【详解】如图，过点作于，交于，四边形是矩形，，，，\AF FG AB BC =\534y y -=207y \=CF \207ABCD 13AD =24AB =E AB CBE D CE CB E ¢AB ¢DB ¢ADB D ¢BE 263392B ¢MN CD ^M AB N Q ABCD 13AD BC \==24CD AB ==90ABC BCD CDA DAB Ð=Ð=Ð=Ð=°又，四边形是矩形，四边形是矩形，，，，①若，将沿折叠，得到△连接，，，，又，，，，，，；的最小值，②，不存在的情况．③当时，，，，，，④如图当点在直线的上方，时，同法可知，，MN CD ^Q \ANMD BCMN 13AD MN \==AN DM =MC BN =13AD DB ¢==Q CBE D CE CB E ¢AB ¢13BC B C ¢\==BE B E ¢=B C B D ¢¢\=MN CD ^Q 12CM DM \==5B M ¢\===8B N ¢\=222B E NE B N ¢¢=+Q 2264(12)BE BE \=+-263BE \=AB ¢Q 1313AC CB =-¢=>AB AD ¢>AB AD ¢=B A B D ¢=¢B M B N ¢=¢Q 2CB B M \¢=¢30B CM \Т=°30ECB ECB \Ð=Т=°tan 30BE CB \=°=g B ¢CD AD DB =¢12DM CM ==5MB ¢=在中，则有，解得，综上所述，满足条件的的值为．30．（2020•梁园区一模）如图，矩形中，点为上一个动点，以 为对称轴将折叠得到，点的对称点为点，射线交矩形的边于点，若，，当点为矩形边的中点时，的长为 ．【答案】【详解】如图1中，当点是的中点时，四边形是矩形，，，，，由翻折可知：，设，则，，在中，，，，如图2中，当点是的中点时，延长交的延长线于．Rt ENB D ¢222(12)18BE BE =-+392BE =BE 263392ABCD P AD PB APB D EPB D A E BE ABCD F 4AB =6AD =F ABCD AP 43F AD Q ABCD 90A \Ð=°4AB =3AF =5BF \===4AB BE ==PA PE x ==3PF x =-541EF =-=Rt PEF D 222PE EF PF +=Q 2221(3)x x \+=-43x \=43PA \=F CD AD BF H，，，，，，，，，，，，，设，则，，在中，，，，，综上所述，的长为31．（2020•巩义市一模）如图，矩形中，，，是边的中点，点是线段上的动点，过作于，当以点、、为顶点的三角形与相似时，的长为 ．90C Ð=°Q 6BC =2CF DF ==BF \==//DH BC Q H FBC \Ð=ÐDFH BFC Ð=ÐQ DF FC =()DHF CBF AAS \D @D 6DH BC \==FH BF ==4AB BE ==Q 4EF \=-44EH =+=-PA PE y ==6PD y =-6612PH y y =-+=-Rt PEH D 222PE EH PH +=Q 2224)(12)y y \+-=-y \=PA \=PA 43ABCD 4AB =6BC =E BC P AD P PF AE ^F P F E ABE D AP【答案】3或【详解】分两种情况：①若，如图1，则，，四边形为矩形，，②若，如图2中，则，，．，点为的中点，中，，，，256EFP ABE D D ∽PEF EAB Ð=Ð//PE AB \\ABEP 3PA EB \==PFE ABE D D ∽PEF AEB Ð=Ð//AD BCQ PAF AEB \Ð=ÐPEF PAF\Ð=ÐPE PA \=PF AE ^Q \F AE Rt ABE D 4AB =3BE =5AE \=，，，，．满足条件的的值为3或．32．（2020•洛阳一模）如图，在中，，，平分，点是边上一动点（不与、重合），沿所在的直线折叠，点的对应点为，当是直角三角形且为直角边时，则的长为 ．【详解】，，，，平分，，，，如图1，当时，点落在的延长线上，1522EF AE \==PFE ABE D DQ ∽\PE EF AE BE=256PE \=256PA =\PA 256Rt ABC D 90C Ð=°30A Ð=°AB =BD ABC ÐE AB A B DE A ÐA F BFC D BC AE 90C Ð=°Q 30A Ð=°AB =12BC AB \==3AC \=BD Q ABC Ð30CBD \Ð=°tan 301CD BC \=°==g 2BD AD \==90BCF Ð=°F AC，如图2，当，，，，，，，，过点作于点，，，．33．（2020•郑州二模）如图，矩形中，，，对角线，相交于点，点是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，线段，相交于点．若是直角三角形，则线段的长为 ．【答案】0.5或1.25【详解】①是直角，如图1，90ADE \Ð=°2sin 60AE \===°90CBF Ð=°DF DA DB ==90ACB CBF Ð=Ð=°Q //BF AC \60DFB DBF ADF BDC \Ð=Ð=Ð=Ð=°ADEEDF Ð=ÐQ 30ADE A \Ð=Ð=°AE DE \=E EM AD ^M 2AD =Q 1AM \=AE \=ABCD 3AB =4BC =AC BD O E AD AEO D EO A F EF OD G DEG D DE DEG Ð过点作于，四边形是矩形，，，，，，，由折叠的性质可得，，；②是直角，如图2，由折叠的性质可得，，，，，即，解得，，，，，，即，解得．综上所述，线段的长为0.5或1.25．O OH AD ^H Q ABCD 3AB =4BC =2AH \=5AC =2.5AO \=1.5OH \=45OEH Ð=°1.5EH OH \==42 1.50.5DE \=--=EGD Ð 2.5OF OA ==CAD F Ð=Ð90ADC FGO Ð=Ð=°Q OFG CAD \D D ∽::OG OF CD CA \=:2.53:5OG =1.5OG =2.5 1.51DG \=-=ADB GDE Ð=ÐQ 90DGE DAB Ð=Ð=°ADB GDE \D D ∽::DE DG DB DA \=:15:4DE =1.25DE =DE34．（2020•郑州模拟）如图，在矩形中，，点是的中点，分别连接，，且，点为的中点，点为边上一个动点，连接，点关于直线的对称点为点，分别连接，．当时，的长为 ．【详解】四边形是矩形，，，，，，，，，，①如图1中，当时，，，ABMN 1AN =C MN AC BC 2BC =D AC E AB DE A DE F DF EF EF AC ^AE Q ABMN 1AN BM \==90M NÐ=Ð=°CM CN =Q ()BMC ANC SAS \D @D 2BC AC \==2AC AN \=30ACN \Ð=°//AB MN Q 30CAB CBA \Ð=Ð=°DF AB ^60ADF Ð=°DA DF =Q是等边三角形，，，平分，，此时．②如图2中，当是等边三角形时，，此时．综上所述，满足条件的35．（2020•许昌二模）如图，在中，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，点落在处，当点在内部（不含边界）时，长度的取值范围是 ．【详解】，，，，当点落在上时，如图，ADF \D 60AFD \Ð=°30DFE DAE Ð=Ð=°Q EF \AFD ÐEFAD \^AE =AEF D EF AC ^EF =EF Rt ABC D 90ABC Ð=°2AB =4BC =D AC BD ABD D BD A A ¢A ¢ABC D AD AD <<90ABC Ð=°Q 2AB =4BC =AC \===A ¢AC将沿折叠，点落在处，，，，当点落在上时，如图，过点作于，将沿折叠，点落在处，，，，，，，，，，，当点在内部（不含边界）时，Q ABD D BD A A ¢90ADB A DB ¢\Ð=Ð=°cos AD AB A AB AC==Q AD \==A ¢BC D DH AB ^H Q ABD D BD A A ¢45ABD DBC \Ð=Ð=°DH AB ^Q 45HDB HBD \Ð=Ð=°BH DH \=tan 2HD BC A AH AB===Q 2HD AH BH \==22AB AH BH AH AH =+=+=Q 23AH \=43BH DH ==AD \===\A ¢ABC D AD AD <<。
专题02 填空压轴题-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编(河南专用)(原卷版)
专题02 填空压轴题1．（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt ABCD中，90ACBÐ=°，30BÐ=°，1AC=．第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A¢处，如图2；第二步，将纸片沿CA¢折叠，点D落在D¢处，如图3．当点D¢恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A D¢¢的长为 ．2．（2020•河南）如图，在扇形BOC中，60BOCÐ=°，OD平分BOCÐ交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若2OB=，则阴影部分周长的最小值为 ．3．（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，1AB=，BC a=，点E在边BC上，且35BE a=．连接AE，将ABED沿AE折叠，若点B的对应点B¢落在矩形ABCD的边上，则a的值为 ．4．（2018•河南）如图，90MANÐ=°，点C在边AM上，4AC=，点B为边AN上一动点，连接BC，△A BC¢与ABCD关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A B¢所在直线于点F，连接A E¢．当△A EF¢为直角三角形时，AB的长为 ．5．（2021•长葛市一模）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以点D 为圆心、AD 的长为半径画弧，再以BC 为直径画半圆．若阴影部分①的面积为1S ，阴影部分②的面积为2S ，则21S S -的值为 ．6．（2021•中原区校级模拟）如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，AB =P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边BPQ D ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是 ．7．（2021•郑州模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是AB 边上一动点（不与点A ，B 重合），连接PD ，过点B 作BM PD ^交DP 的延长线于点M ，连接AM ，过点A 作AN AM ^交PD 于点N ，连接BN ，CN ，则BNC D 面积的最小值为 ．8．（2021•河南模拟）如图，正方形ABCD 中，点M ，N 分别为边CD ，AB 上一个动点，且CM AN =，连接MN ，过点D 作DP MN ^于点P ，连接CP ，若4AB =，则CP 的最小值为 ．9．（2021•郑州二模）在矩形ABCD 中，2AB =，AD =，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，点P 为线段MN上一动点，以线段BP为边，在BP左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为 ．10．（2021•禹州市模拟）如图，在等边三角形ABC中，6AB=，D，E分别为边AB和AC上的点，连接DE，将ADED．若点F始终落在边BC上，则线段DE的取值范围D沿DE折叠得到FDE为 ．11．（2021•河南模拟）如图，在周长为16，面积为6的矩形纸片ABCD中，E是AD的中点．F是AB上¢+ D沿直线EF折叠，点A落在点A¢处．在EF上任取一点G，连接GA¢，GC，则A G GC 一动点，将AEF的最小值为 ．12．（2021•濮阳一模）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，2BE=．F为对角线AC上一动点，D周长的最小值为 ．则BFE13．（2021•河南模拟）如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，BC =E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF D 沿EF 所在直线翻折，得到△A EF ¢，连接A C ¢，A D ¢，则当△A DC ¢是以A D ¢为腰的等腰三角形时，FD 的长是 ．14．（2021•禹州市一模）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点B 逆时针旋转60°，得到扇形O A B ¢¢，其中点A 的运动路径为 AA ¢，则图中阴影部分的面积为 ．15．（2021•河南模拟）如图，在矩形ABCD 中，12AB =，9BC =，点E ，F 分别为边AB ，CD 上的动点，且2BE FD =．连接BD 、EF 交于点H ．连接AH ，过点A 作AG EF ^于点G ，连接BG ，则BG 的最小值为 ．16．（2021•河南模拟）如图，在正方形ABCD 中，8AB =，点E ，F 分别为边AB ，AD 上的动点，且6EF =，点G ，M 分别为边BC ，CD 的中点，连接BM ，DG 交于点O ．将EFA D 沿EF 折叠得到EFA ¢D ，点H 是边EF 上一动点，连接A H ¢，HO ，OA ¢．当A H HO ¢+的值最小时，OA ¢的长为 ．17．（2021•河南模拟）如图所示，ABCD中，105BACÐ=°，45ACBÐ=°，将ABCD绕点C顺时针旋转45°得对应DECD，若2BC=，则线段AB扫过的阴影面积为 ．18．（2021•涧西区一模）在矩形ABCD中，2AB=，4BC=，点E在边BC上，连接DE，将CDED沿DE折叠，若点C的对称点C¢到AD的距离为1，则CE的长为 ．19．（2021•河南模拟）如图，点P为矩形ABCD对角线AC上异于A、C的一个动点，过点P作PE AD^于点E，点F为点A关于PE的对称点，连接PF、FC，若6AB=，8BC=，当CPFD为直角三角形时，AE的长为 ．20．（2021•河南模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，Oe的半径为2，动弦2AB=，C是AB的中点，直线3:34ED y x=--与x轴交于E，与y轴交于D，连接EC和DC，则ECDD的面积的最大值为 ．21．（2021•许昌一模）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，将BCD D 沿射线BD 平移长度(0)a a >得到△B C D ¢¢¢，连接AB ¢，AD ¢，则当△AB D ¢¢是直角三角形时，a 的长为 ．22．（2021•平顶山模拟）如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，30B Ð=°，点P 是斜边AB 上一动点，连接CP ，将ACP D 沿CP 折叠，点A 的对应点是A ¢，当点A ¢落在边BC 的垂直平分线上时，ACP Ð的度数为 ．23．（2021•汝南县模拟）如图在等边ABC D 中，2AB =+，点D 在边AB 上，且2AD =，点E 是BC 边上一动点将B Ð沿DE 折叠，当点B 的对应点B ¢落在ABC D 的边上时，BE 的长为 ．24．（2021•市中区一模）如图，菱形ABCD 边长为4厘米，60A Ð=°，点M 为AB 的中点，点N 是边AD 上任一点，把A Ð沿直线MN 折叠，点A 落在图中的点E 处，当AN = 厘米时，BCE D 是直角三角形．25．（2020•郑州模拟）如图，正方形ABCD中，2AD =+，已知点E 是边AB 上的一动点（不与A 、B 重合）将ADE D 沿DE 对折，点A 的对应点为P ，当APB D 是等腰三角形时，AE = ．26．（2020•河东区一模）如图，正方形ABCD 的边长是9，点E 是AB 边上的一个动点，点F 是CD 边上一点，4CF =，连接EF ，把正方形ABCD 沿EF 折叠，使点A ，D 分别落在点A ¢，D ¢处，当点D ¢落在直线BC 上时，线段AE 的长为 ．27．（2020•河南一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点E 是边AD 上的一个动点，把BAE D 沿BE 折叠，点A 落在A ¢处，如果A ¢恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为 ．28．（2020•河南模拟）在矩形中，，，点，分别为，上的两个动点，将沿折叠，点的对应点为，若点落在射线上，且恰为直角三角形，则线段的ABCD 3AB =4BC =E F BC AC CEF D EF C G G AB AGF D CF长为.29．（2020•郑州二模）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，将沿折叠，得到△连接，，若为等腰三角形，则的长为 ．30．（2020•梁园区一模）如图，矩形中，点为上一个动点，以 为对称轴将折叠得到，点的对称点为点，射线交矩形的边于点，若，，当点为矩形边的中点时，的长为 ．31．（2020•巩义市一模）如图，矩形中，，，是边的中点，点是线段上的动点，过作于，当以点、、为顶点的三角形与相似时，的长为 ．32．（2020•洛阳一模）如图，在中，，，平分，点是边上一动点（不与、重合），沿所在的直线折叠，点的对应点为，当是直角三角形且为直角边时，则的长为 ．ABCD 13AD =24AB =E AB CBE D CE CB E ¢AB ¢DB ¢ADB D ¢BE ABCD P AD PB APB D EPB D A E BE ABCD F 4AB =6AD =F ABCD AP ABCD 4AB =6BC =E BC P AD P PF AE ^F P F E ABE D AP Rt ABC D 90C Ð=°30A Ð=°AB =BD ABC ÐE AB A B DE A ÐA F BFC D BC AE33．（2020•郑州二模）如图，矩形中，，，对角线，相交于点，点是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，线段，相交于点．若是直角三角形，则线段的长为 ．34．（2020•郑州模拟）如图，在矩形中，，点是的中点，分别连接，，且，点为的中点，点为边上一个动点，连接，点关于直线的对称点为点，分别连接，．当时，的长为 ．35．（2020•许昌二模）如图，在中，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，点落在处，当点在内部（不含边界）时，长度的取值范围是 ．ABCD 3AB =4BC =AC BD O E AD AEO D EO A F EF OD G DEG DDE ABMN 1AN =C MN AC BC 2BC =D AC E AB DE A DE F DF EF EF AC ^AE Rt ABC D 90ABC Ð=°2AB =4BC =D AC BD ABD D BD A A ¢A ¢ABC DAD。
2022年中考数学专题训练 填空题压轴题
2022年中考数学专题训练---填空题压轴题1.如图，在平面直角坐标系中，直线(0)y kx k =≠经过点(,3)a a (0)a >，线段BC 的两个端点分别在x 轴与直线y kx =上(点B 、C 均与原点O 不重合)滑动，且BC =2，分别作BP x ⊥轴,CP ⊥直线y kx =，交点为P .经探究，在整个滑动过程中，P 、O 两点间的距离为定值 .2.如图，反比例函数的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ，假设四边形ODBE 的面积为12，那么k 的值为 ．3.如图，一段抛物线y=﹣x 〔x ﹣3〕〔0≤x≤3〕，记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；…如此进行下去，得到一条“波浪线〞．假设点P 〔37，m 〕在此“波浪线〞上，那么m 的值为 ．4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx 〔k≠0〕经过点〔a ， a 〕〔a ＞0〕，线段BC 的两个端点分别在x 轴与直线y=kx 上〔点B 、C 均与原点O 不重合〕滑动，且BC=2，分别作BP ⊥x 轴，CP ⊥直线y=kx ，交点为P ．经探究，在整个滑动过程中，P 、O 两点间的距离为定值______．5.如图，矩形ABOC 的顶点O 在坐标原点，顶点B 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点A 在反比例函数ky x=(k 为常数，0,0k x >>)的图像上，将矩形ABOC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到矩形'''AB OC ，假设点O 的对应点'O 恰好落在此反比例函数的图像上，那么OBOC的值是 .6.如图，四边形ABCD 与四边形1111A B C D 是以O 为位似中心的位似图形，满足11=OA A A ，E F ，，1E ，1F 分别是AD BC ，，11A D ，11B C 的中点，那么11=E F EF．F EA 1A DB7.在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A m -绕坐标原点O 顺时针旋转90︒后，恰好落在右图中阴影区域〔包括边界〕内，那么m 的取值范围是 .8.如图9所示，在平面直角坐标系中，△PQR 是△ABC 经过某种变换后得到的图形，观察点A 与点P ，点B 与点Q ，点C 与点R 的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC 中任意一点M 的坐标为(x ，y )，那么它的对应点N 的坐标是________．9.如图10所示，小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图10a ，AD>CD)沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F 处，折痕为AE 〔如图10b 〕；再沿过D 点的直线折叠，使得C 点落在DA 边上的点N 处，E 点落在AE 边上的点M 处，折痕为DG(如图10c)．如果第二次折叠后，M 点正好在∠NDG 的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为________．1O yx10.如图为一个半径为4m的圆形广场，其中放有六个宽为1m的矩形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，那么每个矩形摊位的长为m．11.如图，把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，假设BP=4cm，那么EC= cm．12.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=4，P是BC边上的动点〔不与B，C重合〕，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，那么线段MN长的取值范围是．13.如图，AB 是⊙O 的一条弦，C 是⊙O 上一动点且∠ACB ＝45°，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于点G 、H ．假设⊙O 的半径为2，那么GE ＋FH 的最大值为 .14.如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，点P 、Q 在DC 边上，且PQ ＝14DC ．假设AB ＝16，BC ＝20，那么图中阴影局部的面积是 ．O CBFEGA。
专题02 填空压轴题-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编(扬州专用)(解析版)
专题02 填空压轴题1．（2021•扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，¼，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为 ．【答案】1275【详解】第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：(12)232+´=，第③个图形中的黑色圆点的个数为：(13)362+´=，第④个图形中的黑色圆点的个数为：(14)4102+´=，¼第n个图形中的黑色圆点的个数为(1)2n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，¼，其中每3个数中，都有2个能被3整除，332161¸=¼，163250´+=，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50511275 2´=2．（2020•扬州）如图，在ABCDY中，60BÐ=°，10AB=，8BC=，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得14DF DE=，以EC、EF为邻边构造EFGCY，连接EG，则EG的最小值为 ．【答案】【详解】作CH AB ^于点H ，Q 在ABCD Y 中，60B Ð=°，8BC =，CH \=，Q 四边形ECGF 是平行四边形，//EF CG \，EOD GOC \D D ∽，\EO DO ED GO OC GC==，14DF DE =Q ，\45DE EF =，\45ED GC =，\45EO GO =，\当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值，当EO CD ^时，EO 取得最小值，CH EO \=，EO \=，GO \=，EG \的最小值是3．（2019•扬州）如图，在ABC D 中，5AB =，4AC =，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点1D 、2D 、3D 、4D 、¼；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点1E 、1F ；过点2D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点2E 、2F ；过点3D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点3E 、3F ¼，则1122201920191122201920194()5()D E D E D E D F D F D F ++¼++++¼+= ．【答案】40380【详解】11//D F AC Q ，11//D E AB ，\111D F BF AC AB =，即1111D F AB D E AC AB-=，5AB =Q ，4BC =，11114520D E D F \+=，同理22224520D E D F +=，¼，20192019201920194520D E D F +=，1122201920191122201920194()5()20201940380D E D E D E D F D F D F \++¼++++¼+=´=．4．（2018•扬州）如图，在等腰Rt ABO D ，90A Ð=°，点B 的坐标为(0,2)，若直线:(0)l y mx m m =+¹把ABO D 分成面积相等的两部分，则m 的值为 ．【详解】(1)y mx m m x =+=+Q ，\函数y mx m =+一定过点(1,0)-，当0x =时，y m =，\点C 的坐标为(0,)m ，由题意可得，直线AB 的解析式为2y x =-+，2y x y mx m =-+ìí=+î，得2131m x m m y m -ì=ïï+íï=ï+î，Q 直线:(0)l y mx m m =+¹把ABO D 分成面积相等的两部分，\12，2=5．（2017•扬州）若关于x的方程240200x -+=存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 ．【答案】15【详解】由题意m =，令y =，则22017x y =-，22(2017)4020142y m y y y--\==-，m Q 是正整数，0y …，1y \=时，12m =，2y =时，3m =，\正整数m 的所有取值的和为156．（2021•广陵区校级一模）如图，已知二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，P 点为该图象在第一象限内的一点，过点P 作直线BC 的平行线，交x 轴于点M ．若点P 从点C 出发，沿着抛物线运动到点B ，则点M 经过的路程为 ．【答案】92【详解】Q 二次函数223(3)(1)y x x x x =-++=--+，\当0y =时，11x =-，23x =，当0x =时，3y =，\点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,0)，点C 的坐标为(0,3)，设直线BC 的函数解析式为y kx b =+，330b k b =ìí+=î，解得13k b =-ìí=î，即直线BC 的函数解析式为3y x =-+，//PM BC Q ，点P 在抛物线上且在第一象限，\设点P 的坐标为2(,23)m m m -++，设直线PM 的解析式为y x c =-+，223m m m c -++=-+，解得233c m m =-++，\直线PM 的解析式为233y x m m =--++，令223323x m m x x --++=-++且△0=，解得32m =，此时直线PM 的解析式为214y x =-+，当0y =时214x =，\点M 横坐标为最大值是214，\点M 经过的路程为：219(3)242-´=7．（2021•广陵区校级二模）如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为 ．【详解】如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，设1a =，根据题意，得2()()a b b b a b +=++，1a =Q ，210b b \--=，解得b =（负值舍去），b \=，\正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：():2(1:(2a b b +=+=．8．（2021•扬州模拟）在ABC D 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AB 上一动点，连接CD ，以AD ，CD为邻边作平行四边形ADCE ，连接DE ，则DE 的最小值为 ．【答案】4.8【详解】Q 四边形ADCE 是平行四边形，OA OC \=，2DE OD =，\当OD AB ^时，DO 的值最小，即DE 的值最小，过C 作CF AB ^于点F ，则90CFD EDF Ð=Ð=°，Q 平行四边形ADCF 中//AD CE ，即//AB CE ，90ECF \Ð=°，\四边形DFCE 是矩形，DE CF \=，5AB AC ==Q ，6BC =，设BF x =，则5AF x =-，22222BC BF CF AC AF -==-Q ，即222265(5)x x -=--，解得， 3.6x =，3.6BF \=，4.8CF \===，DE \的最小值为4.89．（2021•宝应县一模）如图，ABC D 中，90ABC Ð=°，以AC 为斜边在ABC D 的外部作等腰Rt ADC D ，若43AB =，BD =BC = ．【答案】2 3【详解】如图，将ABDD绕点D逆时针旋转90°得到DCED，所以DCE BADÐ=Ð，43 AB CE==，因为180ABC ADEÐ+Ð=°，所以180BAD BCDÐ+Ð=°，所以180BCD DCEÐ+Ð=°，所以B、C、E三点共线，所以BDED是等腰直角三角形，所以2BE==，所以42233 BC=-=10．（2021•江都区模拟）如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，B点坐标为(10,7)，点D为BC上一点，且2DC=，连接AD，将ABDD沿AD折叠，压平，使B点的对应点E落在坐标平面内．若抛物线2810(0y ax ax a=-+¹，a为常数）的顶点落在ADED的内部（不含边界），则a的取值范围为 ．【答案】525 1648a<<【详解】如图，过点E作EM y^轴于M，交BC延长线于N，90AME DNEÐ=Ð=°Q，AEM EDNÐ=Ð，AEM EDN\D∽，\AM EM EN DN=①，设AM BN m ==，ME n =，10EN MN ME n \=-=-，(72)5DN BN BD m m =-=--=-，代入①得，105m n n m =--②，根据勾股定理得，22210m n +=③，由②③得110n =，10m =（舍)，26n =，28m =，8AM \=，6ME =，Q 点B 的坐标为(10,7)，2DC =，(10,2)D \，5DE BD ==，53DN m =-=Q ，321CN \=-=，(6,1)E \-．设直线AD 的解析式为17y k x =+，代入(10,2)D 得，12107k =+，解得112k =-，\直线AD 为172y x =-+，设直线AE 的解析式为27y k x =+，代入(6,1)E -得，2167k -=+，解得243k =-，\直线AE 为473y =-+，22810(4)(1016)y ax ax a x a =-+=-+-Q ，把4x =分别代入直线AD 和直线AE 的解析式得，14752y =-´+=，454733y =-´+=，(4,5)G \，5(4,)3H ，又Q 抛物线的顶点落在ADE D 的内部，\此抛物线的顶点必在GH 上．\5101653a <-<，\5251648a <<．11．（2021•江都区模拟）如图，抛物线2128333y x x =--的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ，顶点为E ，以AB 为直径画半圆交y 正半轴交于点C ，圆心为M ，P 是半圆上的一动点，连接EP ，N 是PE 的中点．当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是 ．【答案】32p 【详解】连接ME 、MP ，2128333y x x =--Q ，(2,0)A \-，(4,0)B ，(1,3)E -，3MA MB ME \===，E \在M e 上，N Q 为PE 的中点，ME MP =，MN PE \^，N \在以ME 为直径的半圆上运动，\点N 的运动路径为：1332222p p ´´=．12．（2021•江都区一模）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点称为整点．若反比例函数(0)k y k x=>与二次函数241612y x x =-+-的图象在第一象限围成的封闭图形（不包括边界）内有且仅有2个整点，则实数k 的取值范围为 ．【答案】24k <…【详解】22416124(2)4y x x x =-+-=--+Q ，\顶点为(2,4)，2416124(1)(3)y x x x x =-+-=---Q ，\抛物线与x 轴的交点为(1,0)，(3,0)，\第一象限在22416124(2)4y x x x =-+-=--+内部的整点为(2,1)，(2,2)，(2,3)，Q 反比例函数(0)k y k x=>与二次函数241612y x x =-+-的图象在第一象限围成的封闭图形（不包括边界）内有且仅有2个整点，即(2,2)，(2,3)，(2,1)\在外面或者刚好在(0)k y k x=>上，24k \<…13．（2021•邗江区二模）定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为(,)x y ，当0x <时，点P 的变换点P ¢的坐标为(,)x y -；当0x …时，点P 的变换点P ¢的坐标为(,)y x -．抛物线2(2)y x n =-+与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P ¢在抛物线的对称轴上，且四边形ECP D ¢是菱形，则满足该条件所有n 值的和为 ．【答案】13-【详解】Q 四边形ECP D ¢是菱形，\点E 与点P ¢关于x 轴对称．Q 点E 的坐标为(2,)n ，\点P ¢的坐标为(2,)n -．当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为(2,)n --．代入2(2)y x n =-+，得2(22)n n -=--+．8n =-．当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为(,2)n --．代入2(2)y x n =-+，得22(2)n n -=--+．12n =-，23n =-．综上所述，n 的值是8n =-，2n =-，3n =-．82313---=-14．（2021•德城区二模）如图，等边ABC D 中，6BC =，O 、H 分别为边AB 、AC 的三等分点，13AH AC =，13AO AB =，将ABC D 绕点B 顺时针旋转100°到△11A BC 的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积为 ．【答案】103p 【详解】连接BH ，BH ¢，作BD AC ^于D ,Q 等边ABC D 中，6BC =，60C \Ð=°，6AC AB BC ===,BD \==132CD BC ==,13AH AC =Q ，13AO AB =，2AH OA \==,624CH OB \==-=,321DH \=-=,由勾股定理得：BH ===Q 将ABC D 绕点B 顺时针旋转100°到△11A BC 的位置，100HBH OBO \Т=Т=°，\整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积为21004103603HBH OBO S S p p ¢¢×-==扇形扇形15．（2021•仪征市二模）如图，Rt ABC Rt FDE D @D ，90ABC FDE Ð=Ð=°，30BAC Ð=°，4AC =，将Rt FDE D 沿直线l 向右平移，连接BD 、BE ，则BD BE +的最小值为 ．【答案】【详解】建立如图坐标系，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，4AC =，30BAC Ð=°，122BC AC \==，AB ==\斜边AC 上的高==，ABC FDE D @D Q ，4EF AC \==，斜边EF\可以假设(E m ，则(1D m +，，BD BE \+=，欲求BD BE +的最小值，相当于在x 轴上找一点(,0)R m ，使得R 到(1M -，，N 的距离和的最小值，如图1中，作点N 关于x 轴的对称点N ¢，连接MN ¢交x 轴题意R ，连接RN ，此时RM RN +的值最小，最小值MN =¢==，BD BE \+的最小值为16．（2020•广陵区校级一模）如图，Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，4AC =，6BC =，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，过点C 作CH BD ^于H ，连接AH ，则AH 的最小值为 ．【答案】2【详解】90CHBÐ=°Q，BC是定值，H\点是在以BC为直径的半圆上运动（不包括B点和C点），连接HO，则132HO BC==．90ACBÐ=°Q，4AC=，6BC=，5AO\===，当A、H、O三点共线时，AH最短，此时532AH AO HO=-=-=．17．（2020•锡山区一模）如图，已知点A AC x^轴于点M，交直线y x=-于点N．若点P是线段ON上的一个动点，30APBÐ=°，BA PA^，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．【详解】如图1所示，当点P 运动至ON 上的任一点时，设其对应的点B 为i B ，连接AP ，i AB ，i BB ，1AO AB ^Q ，i AP AB ^，1i OAP B AB \Ð=Ð，又1tan 30AB AO =×°Q ，tan 30i AB AP =×°，1::i AB AO AB AP \=，\△1i AB B AOP D ∽，1i AB B AOP \Ð=Ð．同理得△12AB B AON D ∽，12AB B AOP \Ð=Ð，112i AB B AB B \Ð=Ð，\点i B 在线段12B B 上，即线段12B B 就是点B 运动的路径（或轨迹）．由图形2可知：1Rt APB D 中，130APB Ð=°，\1AB AP =，Rt △2AB N 中，230ANB Ð=°，\2AB AN =，\12AB AB AP AN ==1290PAB NAB Ð=Ð=°Q ，12PAN B AB \Ð=Ð，APN \D ∽△12AB B ，\121B B AB PN AP ==，ON Q 的解析式为：y x =-，OMN \D 是等腰直角三角形，OM MN \==，PN \=，12B B \=，综上所述，点B 运动的路径（或轨迹）是线段12B B ．18．（2020•邗江区校级一模）如图，A、B两点的坐标分别为(4,0)-，(0,4)，C、F分别是直线6x=和x轴上的动点，12CF=，D是CF的中点，连接AD交y轴于点E，ABED面积的最小值为 2cm．【答案】2【详解】如图，设直线6x=交x轴于K．由题意162KD CF==，\点D 的运动轨迹是以K 为圆心，6为半径的圆，\当直线AD 与K e 相切时，ABE D 的面积最小，AD Q 是切线，点D 是切点，AD KD \^，10AK =Q ，6DK =，8AD \=，tan OE DK EAO OA ADÐ==Q ，648OE =，3OE \=，431BE \=-=，1114222ABE S BE OA D \=´=´´=g ．19．（2021•武进区模拟）如图，矩形ABCD 中，6AB =，9BC =，以D 为圆心，3为半径作D e ，E 为De 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt AEF D ，使90EAF Ð=°，1tan 3AEF Ð=，则点F 与点C 的最小距离为 ．【答案】1【详解】如图取AB 的中点G ，连接FG ．FC ．GC ．90EAF Ð=°Q ，1tan 3AEF Ð=，\13AF AE =，6AB =Q ，AG GB =，3AG GB \==，9AD =Q ，\3193AG AD ==，\AF AG AE AD=，Q 四边形ABCD 是矩形，90BAD B EAF \Ð=Ð==Ð=°，FAG EAD \Ð=Ð，FAG EAD \D D ∽，::1:3FG DE AF AE \==，3DE =Q ，1FG \=，\点F 的运动轨迹是以G 为圆心1为半径的圆，GC ==Q ，FC GC FG \-…，1FC \-…，CF \的最小值为1．20．（2020•高邮市一模）如图，已知O e 的半径为6，点A 、B 在O e 上，60AOB Ð=°，动点C 在O e 上（与A 、B 两点不重合），连接BC ，点D 是BC 中点，连接AD ，则线段AD 的最大值为 ．【答案】3+【详解】如图1，连接OC ，取OB 的中点E ，连接DE ．则132OE EB OB ===．在OBC D 中，DE 是OBC D 的中位线，132DE OC \==，EO ED EB \==，即点D 是在以E 为圆心，3为半径的圆上，\求AD 的最大值就是求点A 与E e 上的点的距离的最大值，如图2，当D 在线段AE 延长线上时，AD 取最大值，6OA OB ==Q ，60AOB Ð=°，OE EB =，AE \=3DE =，AD \取最大值为3．21．（2020•高邮市二模）如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10BC =．现将纸片折叠，折痕与矩形AB 、BC 边的交点分别为E 、F ，折叠后点B 的对应点B ¢始终在AD 边上，若折痕EF 始终与边AB ，BC 有交点，则点B ¢运动的最大距离是 ．【答案】4【详解】当F 与C 重合时，如图1，由折叠得：10B C BC ¢==，Q 四边形ABCD 是矩形，90D \Ð=°，6AB DC ==Q ，在Rt △B DC ¢中，8B D ¢==，1082AB \¢=-=；当E 与A 重合时，如图2，由折叠得：6AB AB ¢==，综上所述，AB ¢的取值范围是：26AB ¢……，\点B ¢运动的最大距离为624-=．22．（2020•江都区二模）如图，在正方形ABCD 中，4AB =，以B 为圆心，BA 长为半径画弧，点M 为弧上一点，MN CD ^于N ，连接CM ，则CM MN -的最大值为 ．【答案】2【详解】过点ME 作BC ^于点E ，连接BM ，连接AC ，则4BM =，MN CE =，设CM x =，MN y =，则4BE y =-，22222BM BE ME CM CE -==-Q ，22224(4)y x y \--=-，218y x \=，2211(4)288CM MN x y x x x \-=-=-+=--+，0x AC Q ……，AC ==，0x \……\当4x =时，CM MN -的值最大为2．23．（2020•邗江区校级一模）如图，菱形ABCD 的边长为4，120B Ð=°，E 是BC 的中点，F 是对角线AC 上的动点，连接EF ，将线段EF 绕点F 按逆时针旋转30°，G 为点E 对应点，连接CG ，则CG 的最小值为 ．【详解】如图取CD 的中点K ，连接FK ，KG ，EK ，延长KG 交BC 于J ，作CH JK ^于H ．Q 四边形ABCD 是菱形，FCE FCK \Ð=Ð，CB CD =，//AB CD ，180DCB B \Ð+Ð=°，120B Ð=°Q ，60DCB \Ð=°，BE EC =Q ，CK KD =，CK CE \=，ECK \D 是等边三角形，CF CF =Q ，FCK FCE Ð=Ð，CK CE =，()FCK FCE SAS \D @D ，FK FE \=，FG FE =Q ，FE FG FK \==，1152EKG EFG \Ð=Ð=°，60CKE Ð=°Q ，45CKJ \Ð=°，\点G 在直线KJ 上运动，根据垂线段最短可知，当点G 与H 重合时，CG 的值最小，在Rt CKH D 中，45CKH Ð=°Q ，90CHK Ð=°，122CK CD ==，CH KH \==，CG \24．（2020•邗江区二模）如图，平面直角坐标系中，点(3,3)A --，(1,1)B -，若抛物线221y ax x =+-(0)a ¹与线段AB （包含A 、B 两点）有两个不同交点，则a 的取值范围是 ．【答案】4998a <…或2a -…【详解】①0a <时，1x =时，1y -…，3x =-时，3y -…，即2a -…；②0a >时，3x =-时，3y -…，1x =时，1y -…，即49a …，点A 、B 的坐标得，直线AB 的解析式为1322y x =-，抛物线与直线联立：2132122ax x x +-=-，231022ax x \++=，△9204a =->，98a \<，a \的取值范围为4998a <…或2a -…；25．（2020•江都区三模）如图，点(3,0)A -、点(0,B -，直线y =+与x 轴、y 轴分别交于点D 、C ，M 是平面内一动点，且60AMB Ð=°，则MCD D 面积的最小值是 ．【答案】【详解】Q 点(3,0)A -、点(0,B -，3OA \=，OB =，tan OB OAB OAÐ==Q ，60OAB \Ð=°，Q 直线y =+与x 轴、y 轴分别交于点D 、C ，(4,0)D \，(0C ，，4OD \=，OC =tan OC ODC OD\Ð==60ODC \Ð=°，28CD OD \==，//AB CD \，AB \和CD 间的距离定值，在OD 上取点F ，使3OF OA ==，AB BF \=，ABF \D 是等边三角形，60AFB \Ð=°，作ABF D 的外接圆P ，过P 点作PG AB ^于G ，交CD 于E ，则PG 经过点F ，GF Q 经过圆心P ，F \是圆P 上到AB 的距离最大的点，F \是圆P 上到CD 的距离最小的点，\当M 处于F 点时，CDM D 的面积最小，4OD =Q ，3OF =，431FD \=-=，90FED COD Ð=Ð=°Q ，FDE CDO Ð=Ð，EFD OCD \D D ∽，\EF FD OC CD =18=，EF \=11822DCF S CD EF D \==´=g ，MCD \D 面积的最小值是26．（2020•仪征市一模）已知实数a 、b 、c ，满足2102a a b -+=，221444c a a b =-+-，则实数c 的取值范围是 ．【答案】1c -…【详解】2102a ab -+=Q ，212a ab \-=-．221111()2244b a a a -=-=---Q …，12b \…，2222221115444()2(1)4444c a a b a a b b b b \=-+-=-+-=-+-=--\当12b =时，1c =-最小值，即1c -…．27．（2020•宝应县二模）如图，AC 、BD 在AB 的同侧，2AC =，8BD =，AB =，点M 为AB 的中点，若135CMD Ð=°，则CD 的最大值是 ．【答案】16【详解】如图，作点A 关于CM 的对称点A ¢，点B 关于DM 的对称点B ¢．135CMD Ð=°Q ，45AMC DMB \Ð+Ð=°，45CMA DMB \Т+Т=°，90A MB \Т¢=°，MA MB ¢=¢Q ，\△A MB ¢¢为等腰直角三角形，26816CD CA A B B D CA BD ¢+¢¢+¢=++=++=Q …，CD \的最大值为1628．（2020•江都区三模）如图，点D 是等边ABC D 的边BC 上的一个动点，连接AD ，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60°交AC 于点E ，若4AB =，则CE 的最大值是 ．【答案】1【详解】ABC D Q 为等边三角形，60B C \Ð=Ð=°，4AB BC AC ===，B BAD ADC ADE EDC Ð+Ð=Ð=Ð+ÐQ ，60ADE Ð=°，BAD EDC \Ð=Ð，ABD DCE \D D ∽，\AB BD CD CE=，设BD x =，则4CD x =-，\44x x CE=-，222111(4)(2)1444CE x x x x x \=-+=--=--+，104-<Q ，由二次函数的性质可知，当x 的值为2时，CE 有最大值，最大值为129．（2020•江都区三模）两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，13AB =，7CD =．保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转(090)a a <<°，如图2所示．当BD 与CD 在同一直线上（如图3)时，则ABC D 的面积为 ．【答案】30【详解】90AOB COD Ð=Ð=°Q ，OC OD =，AOC DOB \Ð=Ð，45OCD ODC Ð=Ð=°，135ODB \Ð=°，在AOC D 和BOD D 中，OA OB AOC BOD OC OD =ìïÐ=Ðíï=î，()AOC BOD SAS \D @D ，AC BD \=，135ACO BDO Ð=Ð=°，90ACB \Ð=°，222AC BC AB +=Q ，22(7)169AC AC \++=，5AC \=，7512BC \=+=，ABC \D 的面积1512302=´´=30．（2020•邗江区校级二模）已知点A 、B 是半径为2的O e 上两点，且120BOA Ð=°，点M 是O e 上一个动点，点P 是AM 的中点，连接BP ，则BP 的最小值是 ．1-【详解】连接OP ，Q 点P 是AM 的中点，OP AM \^，\点P 在以OA 为直径的圆上，设为Q e ，1OQ AQ QP \===，连接BQ ，与Q e 的交点即为P 点，此时BP 有最小值，最小值为BQ QP -，作ON AB ^于N ，QH AB ^与H ，OA OB =Q ，N \是AB 的中点，120BOA Ð=°Q ，30OAB OBA \Ð=Ð=°，AN \==AH AQ ==，1122QH AQ ==，AB \=BH \=BQ \==BP \1-31．（2020•宝应县三模）如图，ABC D 是等边三角形，2AB =，点E 是ABC D 内一动点（不重复运动），且满足222AE BE CE =+，则动点E 经过的路径长度是 ．【答案】23p【详解】如图，将BCE D 绕点B 逆时针旋转60°得△BE A ¢，连接EE ¢，BE BE EE ¢¢\==，EC AE ¢=，222AE BE CE =+Q ，222AE EE AE ¢¢\=+，90AE E ¢\Ð=°，150AE B BEC ¢\Ð=Ð=°，\点E 在BC 为弦，半径为2的圆上运动，圆心角为60°，\动点E 经过的路径长度为60221803p p ××=。
几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(学生版)
2023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8B.45C.10D.45-22(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB +PD 的最小值为()A.334B.32C.3D.5433(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()A.213-2B.45-2C.43-2D.215-24(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为()A.154B.245C.5D.2035(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为 边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E为正方形ABCD边AD上一点，AE=1，DE=3，P为对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值为()A.5B.42C.210D.107(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为()A.4B.42C.25D.58(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+3的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点C(3,0)，若P是x轴上一动点，点D的坐标为(0,-1)，连接PD，则2PD+ PC的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+2329(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4．点P是线段BC上一动点，点M 为线段AP上一点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为()A.52B.125C.13-32D.13-210(2022·河南·校联考三模)如图1，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP =x，PB+PE=y，当点P从A向点C运动时，y与x的函数关系如图2所示，其中点M是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,422二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足∠APB=12∠AGB，则DP的最小值．12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图，在边长为8的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，则四边形BEFG周长的最小值为．13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图，菱形草地ABCD中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC<BD，M、N分别是草地边BC、CD的中点，在线段BD上有一个流动饮水点P，若要使PM+PN的距离最短，则最短距离是米．14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则2PC-PD的最大值是．15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠DAB=60°，AD=CD= 4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则△MBC面积的最小值为．16(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3cm．点P,Q分别为AB,AD 上的两个定点且BP=AQ=1cm，点M为线段BD上一动点，连接PM,QM，则PM+QM的最小值为cm．17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图，在周长为12的菱形ABCD中，DE=1，DF=2，若P为对角线AC上一动点，则EP+FP的最小值为．18(2023春·上海·八年级专题练习)如图，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为．19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图，抛物线y=x2-4x+3与x轴分别交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA,MC,AC，则△MAC周长的最小值是．20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示，∠ACB=60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为．3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A-1,0两点，交y轴于点C．，B4,0(1)求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是；(3)点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出△BCQ面积的最大值．22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1，直线AB:y=-x+6分别与x,y轴交于A,B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C-3,0．(1)请直接写出直线BC的关系式：(2)在直线BC上是否存在点D，使得S△ABD=S△AOD若存在，求出点D坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，D11,0，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA,QD．请直接写出QB-QD的最大值：．23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中，∠B =60°．(1)如图1，若AC >BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，且AD =3BD ．证明：∠A =30°；(2)如图2，若AC <BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，连接BF 并延长至G ，使BF =FG ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC =BC ，P 为平面内一点，将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ，当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时，直接写出BP CQ的值．24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt△ABC中，∠A= 90°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DE、DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，且连接PM、PN．(1)观察猜想线段PM与PN填(“是”或“不是”)“等垂线段”．(2)△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD，CE，试判断PM与PN是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE=2，BC=4，请直接写出PM与PN的积的最大值．25(2022秋·江西上饶·八年级校考阶段练习)在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中A-1，1，，B4，3C4，-1处各有一颗棋子．(1)如图1，依次连接A，B，C，A，得到一个等腰三角形(BC为底边)，请在图中画出该图形的对称轴．(2)如图2，现x轴上有两颗棋子P，Q，且PQ=1(P在Q的左边)，依次连接A，P，Q，B，使得AP+PQ+QB的长度最短，请在图2中标出棋子P，Q的位置，并写出P，Q的坐标．1126(2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末)已知△CDE 与△ABC 有公共顶点C ，△CDE 为等边三角形，在△ABC 中，∠BAC =120°．(1)如图1，当点E 与点B 重合时，连接AD ，已知四边形ABDC 的面积为23，求AB +AC 的值；(2)如图2，AB =AC ，A 、E 、D 三点共线，连接AE 、BE ，取BE 中点M ，连接AM ，求证：AD =2AM ；(3)如图3，AB =AC =4，CE =2，将△CDE 以C 为旋转中心旋转，取DE 中点F ，当BF +34AF 的值最小时，求tan ∠ABF 的值．。
几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)
12023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8 B.45 C.10 D.45-2【答案】A【分析】根据∠BEC =90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化即可求解．【详解】解：如图，设点O 为BC 的中点，由题意可知，点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆O 关于AB 的对称图形(半圆O ')，点E 的对称点为E 1，连接O 'E 1,则PE =PE 1，∴当点D 、P 、E 1、O '共线时，PD +PE 的值最小，最小值为DE 1的长，如图所示，在Rt △DCO '中，CD =8，CO '=6，∴DO '=82+62=10，又∵O 'E 1=2，∴DE 1=DO '-O 'E 1=8，即PD +PE 的最小值为8，故选：A ．【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化时解题的关键．2(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB +PD 的最小值为()2A.334B.32C.3D.543【答案】A【分析】作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，可求得∠ABO =30°，从而得出PE =12PB ，进而得出PD +12PB =PD +EP ，进一步得出结果．【详解】解：如图，作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，抛物线的对称轴为直线x =--322×32=12，∴OD =12，当x =0时，y =-3，∴OB =3，当y =0时，32x 2-32x -3=0，∴x 1=-1，x 2=2，∴A (-1,0)，∴OA =1，∵tan ∠ABO =OA OB =13=33，∴∠ABO =30°，∴PE =12PB ，∴12PB +PD =PD +PE ≥DF ，当点P 在P 时，PD +PE 最小，最大值等于DF ，在Rt △ADF 中，∠DAF =90°-∠ABO =60°，AD =OD +PA =12+1=32，∴DF =AD ⋅sin ∠DAE =32×32-334，∴12PB +PD 最小=DF =334，故选：A ．【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造12PB ．3(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()3A.213-2B.45-2C.43-2D.215-2【答案】A【分析】先证明∠AEB =90°，即可得点E 在以AB 为直径的半圆上移动，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，问题随之得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，∴∠ABE +∠EBC =90°，∵∠EAB =∠EBC ，∴∠EAB +∠EBA =90°，∴∠AEB =90°，∴点E 在以AB 为直径的半圆上移动，如图，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，E∵∠G =90°，FG =BG =AB =4，∴OG =6，OA =OB =OE =2，∴OF =FG 2+OG 2=213，∴EF =OF -OE =213-2，故PE +PD 的长度最小值为213-2，故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E 的运动路线是解题的关键．4(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则PB +PD 的最小值为()4 A.154 B.245 C.5 D.203【答案】B【分析】作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，连接AB ，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，△ABC ≅△AB C ，根据S △ABB =S △ABC +S △AB C =2S △ABC ，即可求出PB +PD 的最小值．【详解】解：如下图，作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，连接AB ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =4,BC =3，∴AB =AC 2+BC 2=5，根据对称性的性质，可知：△ABC ≅△AB C ，∴S △ABB =S △ABC +S △ABC =2S △ABC ，即12×AB ⋅B D =2×12BC ⋅AC ，∴5B D =24，∴B D =245，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．5(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC 中，∠ABC =68°，BD 平分∠ABC ，P 为线段BD 上一动点，Q 为 边AB 上一动点，当AP +PQ 的值最小时，∠APB 的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°【答案】D【分析】先在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，证明△PBQ ≌△PBE SAS ，得出PE =PQ ，说明AP +PQ =AP +PE ，找出当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ 最小，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，根据三角形外角的性质可得答案．【详解】解：在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，如图：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =68°，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =34°，∵BP =BP ，∴△PBQ ≌△PBE SAS ，∴PE =PQ ，∴AP +PQ =AP +PE ，∴当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ最小，过点A作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，如图：∵∠AEB =90°，∠CBD =34°，∴∠APB =∠AEB +∠CBD =124°．故选：D ．5【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使AP +PQ 最小时点P 的位置．6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E 为正方形ABCD 边AD 上一点，AE =1，DE =3，P 为对角线BD 上一个动点，则PA +PE 的最小值为()A.5B.42C.210D.10【答案】A【分析】连接EC 交BD 于P 点，根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长，求出EC 的长即可.【详解】连接EC ，交BD 于P 点∵四边形ABCD 为正方形∴A 点和C 点关于BD 对称∴PA =PC∴PA +PE =PC +PE =EC根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长.∵AE =1，DE =3∴AD =4∴DC =4∴CE =DE 2+CD 2=32+42=5∴PA +PE 的最小值为5故选：A【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.7(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为()A.4B.42C.25D.5【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N ′，N ′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，6连接BD ，BM 交AC 于N ′，连接DN ′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =CM 2+BC 2=32+42=5故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．8(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于A 、C 两点，与x 轴交于点C (3,0)，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,-1)，连接PD ，则2PD +PC 的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+232【答案】A【分析】过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，根据2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，求出DP +PJ 的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC ，过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于点C (3,0)，∴b =2，∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3，令y =0，-x 2+2x +3=0，解得x =-1或3，∴A (-1，0)，令x =0，y =3，∴B (0，3)，∴OB =OC =3，∵∠BOC =90°，∴∠OBC =∠OCB =45°，∵D(0，-1)，∴OD =1，BD =4，∵DH ⊥BC ，∴∠DHB =90°，设DH =x ，则BH =x ,∵DH 2+BH 2=BD 2，7∴x =22，∴DH =22，∵PJ ⊥CB ，∴∠PJC =90°，∴PJ =22PC ，∴2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，∵DP +PJ ≥DH ，∴DP +PJ ≥22，∴DP +PJ 的最小值为22，∴2PD +PC 的最小值为4．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC =∠OCB =45°，PJ =22PC 是解题的关键．9(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为矩形，AB =3，BC =4．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．∠ADM =∠BAP ，则BM 的最小值为()A.52 B.125 C.13-32 D.13-2【答案】D【分析】证明∠AMD =90°，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上，从而计算出答案．【详解】设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAP +∠MAD =90°∵∠ADM =∠BAP∴∠MAD +∠ADM =90°∴∠AMD =90°∴点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时，BM 最短∵BO 2=AB 2+AO 2，AO =12AD =2∴BO 2=9+4=13∴BO =13∵BN =BO -AO =13-2故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．810(2022·河南·校联考三模)如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，设AP =x ，PB +PE =y ，当点P 从A 向点C 运动时，y 与x 的函数关系如图2所示，其中点M 是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,42【答案】A【分析】根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，利用相似三角形，计算AG 的长即为横坐标．【详解】如图，根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，∵点E 是BC 的中点，∴BC =6，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，∵四边形ABCD 是正方形，AB =6，∴CE ∥AD ，AC =62+62=62，DE =62+32=35，∴△CGE ∽△AGD ，∴CG AG =CE AD =12，∴AC AG=32，∴AG =42，故点M 的坐标为(42，35)，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键．2二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图，矩形ABCD ，AB =4，BC =8，E 为AB 中点，F 为直线BC 上动点，B 、G 关于EF 对称，连接AG ，点P 为平面上的动点，满足∠APB =12∠AGB ，则DP 的最小值．【答案】210-22【分析】由题意可知，∠AGB =90°，可得∠APB =12∠AGB =45°，可知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的9圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)，设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，可知△AOB 为等腰直角三角形，求得OA =22AB =22=OP ，AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，OD =OQ 2+QD 2=210，再由三角形三边关系可得：DP ≥OD -OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，即可求得DP 的最小值．【详解】解：∵B 、G 关于EF 对称，∴BH =GH ，且EF ⊥BG∵E 为AB 中点，则EH 为△ABG 的中位线，∴EH ∥AG ，∴∠AGB =90°，∵∠APB =12∠AGB ，即∠APB =12∠AGB =45°，∴点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，则OA =OB =OP ，∵∠APB =45°，∴∠AOB =90°，则△AOB 为等腰直角三角形，∴OA =22AB =22=OP ，又∵E 为AB 中点，∴OE ⊥AB ，OE =12AB =AE =BE ，又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，AD =BC =8，∴四边形AEOQ 是正方形，∴AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，∴OD =OQ 2+QD 2=210，由三角形三边关系可得：DP ≥OD-OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，∴DP 的最小值为210-22，故答案为：210-22．【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB =12∠AGB =45°得知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上是解决问题的关键．12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点G 是BC 边的中点，E 、F 分别是AD 和CD 边上的点，则四边形BEFG 周长的最小值为．【答案】2410【分析】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G ，根据两点之间线段最短即可解决问题．【详解】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G∵EB =EB ,FG =FG ，∴BE +EF +FG +BG =B E +EF +FG +BG ，∵EB +EF +FG ≥B G ，∴四边形BEFG 的周长的最小值=BG +B G ，∵正方形ABCD 的边长为8∴BG =4，BB =16，BG =12，∴B G =162+122=20，∴四边形BEFG 的周长的最小值为=4+20=24．故答案为：24．【点睛】本题考查轴对称求线段和的最短问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图，菱形草地ABCD 中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC <BD ，M 、N 分别是草地边BC 、CD 的中点，在线段BD 上有一个流动饮水点P ，若要使PM +PN 的距离最短，则最短距离是米．【答案】50【分析】作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出BC 长，即可得出答案．【详解】解：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠QBP =∠MBP ，即Q 在AB 上，∵MQ ⊥BD ，∴AC ∥MQ ，∴M 为BC 中点，∴Q 为AB 中点，∵N 为CD 中点，四边形ABCD 是菱形，∴BQ ∥CD ，BQ =CN ，∴四边形BQNC 是平行四边形，∴NQ =BC ，设AC 与BD 的交点为点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD，OC =12AC =30米，OB =12BD =40米，∴BC =OB 2+OC 2=50米，∴PM +PN 的最小值是50米．故答案为：50．11【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P 的位置．14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则2PC -PD 的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得2PC -PD=2PC -22PD =2PC -PM ，因为PC -PM ≤MC ，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP =24，连接MP ，证明△BMP ∼△BPD ，在BC 上做点N ，使BN BP=12，连接NP ，证明△BNP ∼△BPC ，接着推导出2PC -PD =22MN ，最后证明△BMN ∼△BCD ，即可求解．【详解】解法1如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，∴∠PDM =45，DM =PM =22PD ，∵四边形ABCD 正方形∴∠BDC =45°，DB DC=2又∵∠PDM =∠PDB +MDB ，∠BDC =∠MDB +MDC∴∠PDB =∠MDC在△BPD 与△MPC 中∠PDB =∠MDC ，DB DC=DP DM =2∴△BPD ∼△MPC∴PB MC=2∵BP =2∴MC =2∵2PC -PD =2PC-22PD =2PC -PM ∵PC -PM ≤MC ∴2PC -PD =2PC -PM ≤2MC =2故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2∴BP =2，BD =BC 2+CD 2=42+42=42∵BP BD =242=2412在BD 上做点M ，使BM BP=24，则BM =22，连接MP 在△BMP 与△BPD 中∠MBP =∠PBD ，BP BD =BM BP∴△BMP ∼△BPD∴PM PD =24，则PD =22PM ∵BP BC =24=12在BC 上做点N ，使BN BP=12，则BN =1，连接NP 在△BNP 与△BPC 中∠NBP =∠PBC ，BN BP =BP PC∴△BNP ∼△BPC∴PN PC=12，则PC =2PN ∴如图所示连接NM ∴2PC -PD =2×2PN -22PM =22PN -PM ∵PN -PM ≤NM ∴2PC -PD =22PN -PM ≤22NM在△BMN 与△BCD 中∠NBM=∠DBC ，BM BC =224=28，BN BD =142=28∴BM BC=BN BD ∴△BMN ∼△BCD∴MN CD=28∵CD =4∴MN =22∴22MN =22×22=2∴2PC -PD ≤22NM =2故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，∠DAB =60°，AD =CD =4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD =90°，则△MBC 面积的最小值为．【答案】63-4【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM +ME ≥OF ，通过计算得出当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则13OM +ME ≥OF ，∵AB ∥CD ，∠DAB =60°，AD =CD =4，∴∠ADC =120°，∵AD =CD ，∴∠DAC =30°，∴∠CAB =30°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB =90°∴∠B =90°-30°=60°，∴∠B =∠DAB ，∴四边形ABCD 为等腰梯形，∴BC =AD =4，∵∠AMD =90°，AD =4，OA =OD ，∴OM =12AD =2，∴点M 在以点O 为圆心，2为半径的圆上，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =60°，∴∠DGO =∠CGF =30°，∵OF ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠DOG =∠DAC =30°=∠DGO ，∴DG =DO =2，∴OG =2OD ⋅cos30°=23，GF =3，OF =33，∴ME ≥OF -OM =33-2，∴当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值33-2，∴△MBC 面积的最小值为=12×4×33-2 =63-4．【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M 位置的确定是解题关键．16(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在等边△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，AD =3cm ．点P ,Q 分别为AB,AD 上的两个定点且BP =AQ =1cm ，点M 为线段BD 上一动点，连接PM ,QM ，则PM +QM 的最小值为cm ．【答案】5【分析】如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，且点P 在BC 上，则PM +QM =P M+QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，证明四边形PP QA 是平行四边形，P Q =AP =AB -BP ，由此即可求解．【详解】解：如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，∵△ABC 是等边三角形，BD ⊥AC ，∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =12×60°=30°，14∴点P 在BC 上，∴P M =PM ，则PM +QM =P M +QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，∵点P 关于BD 的对称点P ，∠ABD =∠DBC =30°，∴PP ⊥BM ，BP =BP =1cm ，∴∠BP P =60°，∴△BPP 是等边三角形，即∠BP P =∠C =60°，∴PP ∥AC ，且PP =AQ =1cm ，∴四边形PP QA 是平行四边形，∴P Q =AP =AB -BP ，在Rt △ABD 中，∠ABD =30°，AD =3，∴AB =2AD =2×3=6，∴AP =P Q =P M +QM =PM +QM =AB -BP =6-1=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称-最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称-最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图，在周长为12的菱形ABCD 中，DE =1，DF =2，若P 为对角线AC 上一动点，则EP +FP 的最小值为．【答案】3【分析】作F 点关于BD 的对称点F ，连接EF 交BD 于点P ，则PF =PF ，由两点之间线段最短可知当E 、P 、F 在一条直线上时，EP +FP 有最小值，然后求得EF 的长度即可．【详解】解：作F 点关于BD 的对称点F ，则PF =PF ，连接EF '交BD 于点P ．∴EP +FP =EP +F P ．由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F '在一条直线上时，EP +FP 的值最小，此时EP +FP =EP +F P =EF ．∵四边形ABCD 为菱形，周长为12，∴AB =BC =CD =DA =3，AB ∥CD ，∵AF =2，AE =1，∴DF =AE =1，∴四边形AEF D 是平行四边形，∴EF =AD =3．∴EP +FP 的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题，明确当E 、P 、F 在一条直线上时EP +FP 有最小值是解题的关键．18(2023春·上海·八年级专题练习)如图，直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A和B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，P 为OA 上一动点，当PC +PD 的值最小时，点P 的坐标为．15【答案】(-1,0)【分析】直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，可求出点A ，B 的坐标，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，可求出点C 、D 的坐标，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接C D 与x 轴的交点就是所求点P 的坐标．【详解】解：直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，∴当y =0，x =-4，即A (-4,0)；当x =0，y =4，即B (0,4)，∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴C (-2,2)，D (0,2)，如图所示，过点C 关于x 轴的对称点C，∴C (-2,-2)，∴直线C D 的解析式为：y =2x +2，当y =0，x =-1，即P (-1,0)，故答案为：(-1,0)．【点睛】本题主要考查一次函数与最短线段的综合，掌握对称中最短线段的解题方法是解题的关键．19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图，抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA ,MC ,AC ，则△MAC 周长的最小值是．【答案】32+10【分析】根据“将军饮马”模型，先求出A 1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，从而C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，AC =OA 2+OC 2=10，则△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，从而得到CB =OC 2+OB 2=32，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，16∴当y =0时，0=x 2-4x +3解得x =1或x =3，即A 1,0 ,B 3,0 ；当x =0时，y =3，即C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，即MA =MB ，∴C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，∵AC =OA 2+OC 2=10，∴△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，∵CB =OC 2+OB 2=32，∴△MAC 周长的最小值为CA +CB =32+10，故答案为：32+10．【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示，∠ACB =60°，半径为2的圆O 内切于∠ACB．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于∠ACB 的两边，垂足为M 、N ，则PM +2PN 的取值范围为．【答案】6-23≤PM +2PN ≤6+23【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示，通过代换，将PM +2PN 转化为PN +12PM =PN +HP =NH ，得到当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．【详解】解：作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示：∵PM ⊥AC ，PN ⊥CB ，∴∠PMC =∠PNC =90°，∴∠MPN =360°-∠PMC -∠PNC -∠C =120°，∴∠MPH =180°-∠MPN =60°，∴HP =PM ⋅cos ∠MPH =PM ⋅cos60°=12PM ，∴PN +12PM =PN +HP =NH ，∵MF =NH ，∴当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大和最小，①连接OP ，OG ，OC ，如图1所示：可得：四边形OPMG 是正方形，∴MG =OP =2，在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG +GM =2+23，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3+3，∴HN =MF =3+3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6+23；②连接OP ，OG ，OC ，如图2所示：可得：四边形OPMG 是正方形，17∴MG =OP =2，由上同理可知：在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG -GM =23-2，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3-3，∴HN =MF =3-3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6-23，∴6-23≤PM +2PN ≤6+23．故答案为：6-23≤PM +2PN ≤6+23．【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图，已知抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP +PC 的值最小，此时点P 的坐标是；(3)点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出△BCQ 面积的最大值．【答案】(1)y =-x 2+3x +4；y =-x +4(2)32,52(3)8【分析】(1)将A -1,0 ，B 4,0 两点，代入抛物线解析式，可得到抛物线解析式，从而得到C 0,4 ，再设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入，即可求解；(2)连接BC ，PB ，根据题意可得A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，从而得到当P 在直线AB 上三点共线时，AP +CP 的值最小，把x =32代入直线BC 的解析式，即可求解；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，可得QD =-d 2+4d ，从而得到S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d -2 2+8，即可求解；【详解】(1)解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，∴a -b +4=016a +4b +4=0，解得：a =-1b =3 ，18∴抛物线的解析式为y =-x 2+3x +4；∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴C 0,4 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入得：4k +b =0b =4 ，解得：k =-1b =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4；(2)如图，连接BC ，PB ，∵y =-x 2+3x +4=-x -32 2+74，∴抛物线的对称轴为直线x =32，根据题意得：A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，∴AP =BP ，∴AP +CP =BP +CP ≥BC ，即当P 在直线AB 上时，AP +CP 的值最小，∴当x =32时，y =-32+4=52，∴P 32,52 ，故答案是：32,52 ；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，∴QD =-d 2+3d +4 --d +4 =-d 2+4d ，∵B 4,0 ，∴OB =4，∴S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d 2+8d =-2d -2 2+8，当d =2时，S ΔBCQ 取最大值，最大值为8，∴△BCQ 的最大面积为8；【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1，直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于点C -3,0 ．(1)请直接写出直线BC 的关系式：(2)在直线BC 上是否存在点D，使得S △ABD =S △AOD 若存在，求出点D 坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，D 11,0 ，P 为x 轴正半轴上的一动点，以P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA ,QD ．请直接写出QB -QD 的最大值：．19【答案】(1)y =2x +6(2)当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD (3)37【分析】(1)根据直线AB 与y 轴的交点，可求出点B 的坐标，再用待定系数法即可求解；(2)设D (a ,2a +6)，分别用含a 的式子表示出出S △AOD ,S △ABD ，由此即可求解；(3)△BPQ 是等腰直角三角形，设P (m ,0)(m >0)，可表示出QB ，再证Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值，可求得点R 的坐标，根据勾股定理即可求解．【详解】(1)解：∵直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，令x =0，则y =6，∴B (0,6)，且C -3,0 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴b =6-3k +b =0，解得，k =2b =6 ，∴直线BC 的解析式为y =2x +6，故答案为：y =2x +6．(2)解：由(1)可知直线BC 的解析式为y =2x +6，直线AB 的解析式为y =-x +6，∴A (6,0),B (0,6),C (-3,0)，∴OA =6,BO =6,OC =3，如图所示，点D 在直线BC 上，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，∴设D (a ,2a +6)，E (a ,0)，∴S △ABC =12AC ·OB =12×(6+3)×6=27，S △ADC =12AC ·DE =12×(6+3)×a =92a ，S △AOD =12OA ·DE =12×6×a =3a ，∴S △ABD =S △ABC -S △ADC =27-92a ，若S △ABD =S △AOD ，则27-92a =3a ，当a >0时，27-92a =3a ，解得，a =185，即D 185,665 ；当a <0时，27+92a =-3a ，解得，a =-185，即D -185,-65 ；综上所述，当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD ．(3)解：已知A (6,0),B (0,6),D (11,0)，设P (m ,0)(m >0)，∴在Rt △BOP 中，OB =6,OP =m ，∵△BPQ 是等腰直角三角形，∠BPQ =90°，∴BP =QP ；如图所示，过点Q 作QT ⊥x 轴于T ，20在Rt △BOP ,Rt △PTQ 中，∠BOP =∠PTQ =90°，∠BPO +∠QPA =∠QPA +∠PQT =90°，∴∠BPO =∠PQT ，∴∠BPO =∠PQT∠BOP =∠PTQ BP =QP，∴Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，∴OP =TQ =m ，OB =PT =6，∴AT =OP +PT -OA =m +6-6=m ，∴AT =QT ，且QT ⊥x 轴，∴△ATQ 是等腰直角三角形，∠QAT =45°，则点Q 的轨迹在射线AQ 上，如图所示，作点D 关于直线AQ 的对称点R，连接QR ,BR ,AR ，A (6,0)，B (0,6)，D (11,0)，∵△ATQ 是等腰直角三角形，即∠QAT =45°，根据对称性质，∴∠QAR =45°，∴RA ⊥x 轴，且△DQA ≌△RQA ，∴AR =AD =11-6=5，则R (6,5)，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值；∴由勾股定理得：BR =62+(6-5)2=37，故答案为：37．【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中，∠B =60°．(1)如图1，若AC >BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，且AD =3BD ．证明：∠A =30°；(2)如图2，若AC <BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，连接BF 并延长至G ，使BF =FG ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC =BC ，P 为平面内一点，将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ，当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时，直接写出BPCQ的值．【答案】(1)见解析(2)BC =AB +CG ，理由见解析(3)213+33913【分析】(1)过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，易得DE =DF ，由∠B =60°，可得DE =DF =32BD ，由AD =3BD ，求得sin A =DE AD=12，可证得∠A =30°；(2)延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，易证△BCH 为等边三角形，进而可证△BCF ≌△HCE SAS ，可得BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，可知∠AEH =∠CFG ，易证得△AEH ≌△CFG SAS ，可得AH =CG ，由BC =BH =AB +AH =AB +CG 可得结论；(3)由题意可知△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，可得CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，可知△ACQ ∽△MCN ，可得MN =32AQ ，由3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM 可知点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ+13CQ 有最小值，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，可得CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，可证△CBR ∽△MBT ，得BR CR =BT MT ，设BC =a 由等边三角形的性质，可得CM =32a ，进而可得CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，结合BR CR=BTMT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a 34a ，可得BQ CQ =213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，可求得BP CQ的值．【详解】(1)证明：过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，又∵∠B =60°，∴DE =BD ⋅sin60°=32BD ，则DE =DF =32BD ，又∵AD =3BD ，∴sin A =DE AD =32BD3BD=12，∴∠A =30°；(2)BC =AB +CG ，理由如下：延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，∵∠ABC =60°，BH =BC ，∴△BCH 为等边三角形，∴CB =CH ，∠BCH =60°，∵CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，∴CE =CF ，∠ECF =60°，则∠BCH -∠ACB =∠ECF -∠ACB ，∴∠ECH =∠FCB ，∴△BCF ≌△HCE SAS ，∴BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，则∠AEH =∠CFG ，∵BF =FG ，∴BF =HE =FG ，又∵E 为AC 中点，∴AE =CE =CF ，∴△AEH ≌△CFG SAS ，∴AH =CG ，∴BC =BH =AB +AH =AB +CG ；(3)∵∠ABC =60°，AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，则CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，∴sin ∠CQN =CN QN =313，cos ∠CQN =CQ QN =213，则∠ACM =∠QCN =90°，∴∠ACM -∠ACN =∠QCN -∠ACN ，则∠ACQ =∠MCN∴△ACQ ∽△MCN ，∴MN AQ =CM CA=32，即：MN =32AQ ，∴3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM即：点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ +13CQ 有最小值，如下图，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，则∠BRC =∠BTM =90°，CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，又∵∠CBR =∠MBT ，∴△CBR ∽△MBT ，∴BR CR=BT MT ，∵△ABC 是等边三角形，设BC =a ∴∠ACB =60°，AC =BC =a ，则CM =32a ，∵∠ACM =90°，∴∠MCT =30°，则CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，则由BR CR=BT MT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a34a ，整理得：133BQ CQ +23=4+333，得BQ CQ=213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，∴BP CQ =BQ CQ=213+33913．【点睛】本题属于几何综合，考查了解直角三角形，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，旋转的性质以及费马点问题，掌握费马点问题的解决方法，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD =AE ，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN 填(“是”或“不是”)“等垂线段”．(2)△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若DE =2，BC =4，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．。
2022年中考专题复习：几何探究压轴题
2022年中考专题复习：几何探究压轴题1．如图1矩形ABCD 中，点E 是CD 边上的动点(点E 不与点C ，D 重合)，连接AE ，过点A 作AF AE ⊥交CB 延长线于点F ，连接EF ，点G 为EF 的中点，连接BG ．(1)求证：ADE ∽ABF ；(2)若20AB =，10AD =设DE x =点G 到直线BC 的距离为y ． ①求y 与x 的函数关系式； ②当2413EC BG =时，x 的值为______； (3)如图2，若AB BC =，设四边形ABCD 的面积为S ，四边形BCEG 的面积为1S 当114S S =时，DE ：DC 的值为______．2．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB AC ==点D 为AB 边上－点，AD =点P 为BC 边上一点，连接DP ，将DP 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DQ ，连接PQ ．(1)BD ＝______，DP 的最小值是______； (2)当∠BPQ ＝15°时，求BP 的长；(3)连接BQ ，若△BDQ 的面积为3，求tan ∠BDQ 的值．3．ABC 中，BD AC ⊥于点D ，点P 为射线BD 上任一点（点B 除外）连接AP ，将线段PA 绕点P 顺时针方向旋转α，ABC α=∠，得到PE ，连接CE ．(1)观察发现：如图1，当BA BC =，且60ABC ∠=︒时，BP 与CE 的数量关系是__________；BC 与CE 的位置关系是__________； (2)猜想证明：如图2，当BA BC =，且90ABC ∠=︒时，请写出BP 与CE 的数量关系及BC 与CE 的位置关系，并说明理由． (3)拓展探究：在（2）的条件下，若8AB =，AP =CE 的长4．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，点P 是直线DE 上一点，连接AP ，将线段P A 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，连接AM ，CM ．(1)问题发现如图（1），当点P 与点D 重合时，线段CM 与PE 的数量关系是 ，∠ACM ＝ °． (2)探究证明当点P 在射线ED 上运动时（不与点E 重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明． (3)问题解决连接PC ，当△PCM 是等边三角形时，请直接写出ACPE的值．5．已知：在正方形ABCD 中，点E 是边AB 上点，点G 在边AD 上，连接EG ，EG ＝DG ，作EF ⊥EG ，交边BC 于点F （图1）．(1)求证：AE+CF＝EF；(2)连接正方形ABCD的对角线AC，连接DF，线段AC与线段DF相交于点K（图2），探究线段AE、AD、AK之间的数量关系，直接写出你的结论；(3)在（2）的条件下，连接线段DE与线段AC相交于点P，（图3）若AK＝△BEF的周长为24，求PK的长．6．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：(1)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将BCE∆绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点E在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长．②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求∆MNC周长的最小值．7．已知，BD是菱形ABCD的对角线，△DEF是直角三角形，∠EDF＝90°，∠DEF＝1∠A，连接BE，点G是BE2的中点，连接CG、BF．(1)当∠A＝90°时，①如图1，若△DEF的顶点E落在线段CD上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系：②如图2，当△DEF的顶点E落在线段BD上时，①中线段CG与线段BF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．同学们经过讨论，探究出以下解决问题的思路：思路一：连接AC，记A与BD相交于点O，AC与BF相交于点M，再利用三角形全等或相似的有关知识来解决问题．思路二：记AD与EF交于点H，易知H是EF的中点，连接CH，将△CDH绕点C顺时针旋转90°，再利用旋转的性质、三角形全等或相似的有关知识来解决问题．请参考上述思路，完成该问题的解答过程（一种方法即可）(2)当∠A＝120°时，如图3，若△DEF的顶点E落在线段CD上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系．8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点F在线段AC上，连接BF，延长CA至点D，连接BD，满足∠ABF ＝∠ABD，H是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DH交BF于点E，交AB于点G．(1)如图①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的长；(2)如图②，若∠CDH+∠BFD12∠DEF，猜想AD与CH的数量关系，并证明你猜想的结论：(3)如图③，在（1）的条件下，P是△BCD内一点，连接BP，DP，满足∠BPD＝150°，是否存在点P、H，使得2PH+CH 最小？若存在，请直接写出2PH+CH的最小值．9．正方形ABCD ，点E 在边BC 上，连AE ．(1)如图1，若1tan 3EAC ∠=，4AB =，求EC 长；(2)如图2，点F 在对角线AC 上，满足AF AB =，过点F 作FG AC 交CD 于G ，点H 在线段FG 上（不与端点重合），连接AH ．若45EAH ∠=︒，求证：EC HG =；(3)如图3，在（1）的条件下，G 是AD 中点，点H 是直线CD 上的一动点，连GH ，将DGH 沿着GH 翻折得到PGH △，连PB 交AE 于Q ，连P A 、PD ，当BP 最小值时，请直接写出PAD △的面积．10．如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，∠AEB ＝90°，将Rt △ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90°，得到△CBE '（点A 的对应点为点C ）．延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．猜想证明：(1)四边形BE 'FE 的形状是______；(2)如图②，若DA ＝DE ，请猜想线段CF 与FE 的数量关系并加以证明； (3)如图①，若AB ＝15，CF ＝3，求DE 的长．11．在等边ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上运动，以DE 为边向右作等边DEF ，设AD kBE =．(1)如图1，求证：CEF BDE ∠=∠；(2)如图1，连接CF ，请你从下列三个选项中，任选一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明；①2k =；②CF 平分ACB ∠；③AD ，BE ，CF 三条线段构成以AD 为斜边的直角三角形． (3)如图2，12k =，连接AF ，BF 当AF BF +取得最小值时，求AD AB 的值．12．如图①，在正方形ABCD 中，B 为边BC 上一点，连接AE ，过点D 作DN ⊥AE 交AE 、AB 分别于点F 、N ．(1)求证：△ABE ≌△DAN ； (2)若E 为BC 中点，①如图②，连接AC 交DP 于点M ，求CM ：AM 的值； ②如图③，连接CF ，求tan ∠CFE 的值．13．如图，在等腰直角三角形ABC 和ADE 中，AC ＝AB ，AD ＝AE ，连接BD ，点M 、N 分别是BD ，BC 的中点，连接MN．(1)如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是，位置关系是．(2)当ADE∆绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立请就图2情况给出证明：若不成立，请说明理由．(3)当AC＝5时，在ADE∆绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长．14．矩形纸片ABCD中，AB=4．实践思考：(1)连接BD，将纸片折叠，使点B落在边AD上，对应点为E，折痕为GH，点G，H分别在AB，BD上．若AD AB，如图①．①BD=______，tan∠ADB=______；②若折叠后的△AGE为等腰三角形，则△DHE为______三角形；③隐去点E，G，H，线段GE，EH，折痕GH，如图②，过点D作DF⊥BD交BC的延长线于点F，连接AF，AC，则S△ACF=______；(2)若AD=1）AB，如图③，点M在AD边上，且AM=AB，连接BM，求∠DBM的度数；拓展探究：(3)若AD=，如图④，N为边AD的中点，P为矩形ABCD内一点，连接BP，CP，满足∠BPC=90°，Q是边AB上一动点，则PQ＋QN的最小值为______．15．△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，连接AD ，在线段AD 上有一点M ，连接CM ，以AM 为直角边，点A 为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN ．(1)如图1，若sin ∠MCD ＝13，CD ＝4，求线段MN 的长；(2)如图2，将等腰直角三角形AMN 绕点A 顺时针旋转α°（0°＜α°＜45°），连接CM 、DM 、CN ，若DM ∥CN ，求证：4DM 2+CN 2＝CM 2；(3)如图3，线段MN 交线段AC 于点E ，点P 、点Q 分别为线段BC 、线段AC 上的点，连接PM 、QN ，将△DPM 沿PM 翻折得到ΔD 'PM ，将△EQN 沿QN 翻折得到ΔE 'QN ，若AM ＝3DM ，BC ＝8，在线段BC 上找一点F ，连接FD '、FE '，请直接写出FD '+FE '的最小值．16．如图，在菱形ABCD 中，120BAD ︒∠=，将边AB 绕点A 逆时针旋转至AB '，记旋转角为α．过点D 作DF BC ⊥于点F ，过点B 作BE ⊥直线B D '于点E ，连接EF ．【探索发现】(1)填空：当60α︒=时，EBB ∠'= °；EFDB '的值是 ； 【验证猜想】(2)当0360α︒︒<<时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】(3)在（2）的条件下，若AB =BDE 是等腰直角三角形时，请直接写出线段EF 的长．17．四边形ABCD 、点E 在直线BC 上，将ABE △翻折得到AFE △，点B 的对应点为点F 恰好落在直线DE 上，直线AF 交直线CD 于点G ．图1 图2(1)如图1、当四边形ABCD 是矩形时，求证：DA DE =；(2)如图2，当四边形ABCD 是平行四边形时，求证：ADG ∽DFG ；(3)若四边形ABCD 是平行四边形，且B 为锐角，:3:2BE CE =，请直接写出:AF GF 的值．18．在△ABC 中，AB = BC ，∠ABC =90°．(1)如图1，已知DE ⊥BC ，垂足为D ，若∠DBE =60°，AC =BD AE 的长； (2)如图2，若点D 在△ABC 内部，点F 是CD 的中点，且∠BAD =∠CBF ，求证：∠DBF =45°；(3)如图3，点A 与点'A 关于直线BC 对称，点D 是△'A AC 内部一动点，∠ADC =90°．若AC =4，则线段'A D 的长是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．19．在△ABC 和△AEF 中，∠AFE ＝∠ABC ＝90°，∠AEF ＝∠ACB ＝30°，12AE AC =，连接EC ．点G 是EC 中点，将△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图1，若E 恰好在线段AC 上，AB ＝2，连接FG ，求FG 的长度；(2)如图2，若点F 恰好落在射线CE 上，连接BG ，证明：GB AB GC =+； (3)如图3，若AB ＝3，在△AEF 旋转过程中，当12GB GC -最大时，直接写出直线AB ，AC ，BG 所围成三角形的面积．20．如图，在正方形ABCD 中，点P 为CB 延长线上一点，连接AP ．(1)如图1，连接PD ，若60PDC ∠=︒，4=AD ，求tan APB ∠的值；(2)如图2，点F 在DC 上，连接AF ．作APB ∠的平分线PE 交AF 于点E ，连接DE 、CE ，若60APB ∠=︒，PA PC +=．求证：DE 平分ADF ∠；(3)如图3，在（2）的条件下，点Q 为AP 的中点，点M 为平面内一动点，且AQ MQ =，连接PM ，以PM 为边长作等边PMM '△，若2BP =，直接写出BM '的最小值．21．在边长为ABCD 中，点N 为BA 延长线上一点，连接DN ．(1)如图1，以BC为边向内作正△BCM，连接MN，当C，M，N三点共线时，求：△ADN的面积；(2)如图2，以BC为边向外作正△BCM，连接DM，CP平分∠BCD交DM于点P，连接PB，当∠AND＝60°时，连接NP．证明：DN BN+=；(3)如图3，当∠AND＝45°，点P为正方形内一任意点，连接BP，CP，DP，NP，当BP+CP+DP取最小值时，直接写出2PN的值．参考答案：1．(1)证明：AE AF ⊥，90EAF ∴∠=︒，四边形ABC 都是矩形，90BAD ABC ABF D ∴∠=∠=∠=∠=︒，EAF BAD ∴∠=∠，FAB DAE ∴∠=∠，90ABF D ∠=∠=︒，ADE ∴∽ ABF ．(2)①如图，作GH BF ⊥于H ．90GHF C ∠=∠=︒，//GH EC ∴，FG GE =，FH HC ∴=，22EC GH y ∴==，20DE EC CD AB +===，220x y ∴+=，110(020)2y x x ∴=-+<<． ②∵2413EC BG =， ∴可以设24EC k =，13BG k =，∵2EC GH =，∴12GH k =，∴BH =∴Ⅰ.510FH CH k ==+，∴1010FB k =+， ∵1102y x =-+， ∴2024x k =-，∵△ADE ∽△ABF ， ∴AD AB DE BF=， 即：102020241010k k =-+， 解得：1529k =， ∴22029x =； Ⅱ. ()()1111242EBG ECB BFE ECB S S S S S a b a b b a =+=+=-+-△△△△，1010FB k =-， 可得：102020241010k k=--， 解得：1519k =， ∴2019x =． 综上所述，220202919x =或． (3)如图，连接BE ，设DE =a ，CD=BC =b ，易证ADE ABF ≌，可得：==BF DE a ，∴)2222220a a b b a ab b b b DE DC ⎛⎫=-+-=+= ⎪⎝⎭=舍，∵2S b =，14S S =，∴2222b b a ab =--，∴220a ab b +-=， ∴210a a b b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得：)a b =舍，∴DE DC ． 2．(1)解：由题意可知：=-==BD AB AD当DP ⊥BP 时，由垂线段最短知DP 的长最小，如下图所示：∵∠B =45°，∠DPB =90°，∴△BPD 为等腰直角三角形，∴3==DP ， 故DP 的最小值是3．(2)解：过点D 作DM ⊥BC 于点M ，则DM ＝MB ＝3，分两种情况讨论： 情况一：当Q 点在BC 左侧时，如下图所示：由旋转得，DQ=DP ，∠PDQ =90°，∴∠QPD =45°，∵∠BPQ =15°，∴∠BPD =30°，∴==PM∴3=+=BP PM MB ；情况二：当Q 点在BC 右侧时，如下图所示：∵∠QPD =45°，∠BPQ =15°，∴∠BPD =60°，∴==PM∴3=+=BP PM MB ，综上所述，BP 的值为33．(3)解：分别过点Q 、P 作AB 的垂线，垂足分别为点G 、H ，则BH=PH ，∠QGD =∠PHD =90°，∴∠QDG +∠DQG =90°，∠PDH +∠QDG =90°，∴∠DQG =∠PDH ，∵PD=QD ，∴△DGQ ≌△PHD （AAS ），∴QG=DH ，DG=PH ，∵△BDQ 的面积为3，∴132⋅=BD QG 且BD =∴DH QG ==分两种情况讨论：情况一：当点Q 在BC 左侧时，如上图所示：DG=PH=BH=BD+DH =∴1tan 4QG BDQ DG ∠===； 情况二：当点Q 在BC 右侧时，如下图所示：DG=PH=BH=BD-DH =∴1tan2QG BDQ DG ∠===； 综上所述：1tan 2BDQ ∠=或14． 3．（1）如图，连接AE ，∵BA=BC，且∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，∵PE=P A，且∠APE=α=60°，∴△APE为等边三角形，∴∠P AE=60°，AP=AE，∴∠BAC−∠P AC=∠P AE−∠P AC，∴∠BAP=∠CAE；在△BAP和△CAE中，AB ACBAP CAE AP AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔABP≌ΔACE，∴BP=CE，∠ABP=∠ACE，∵BD⊥AC，BA=BC，∠ABC=60°，∴∠ABP=30°，∴∠ABP=∠ACE=30°，∴∠ACE+∠ACB=90°，∴BC⊥CE．故答案为：BP=CE，BC⊥CE；(2)（2）CEBP，BC⊥CE；理由：连接AE，由题意可知：ΔABC、ΔAPE均为等腰直角三角形，∴∠BAC=∠P AE=45°，AC AE AB AP==∴∠BAP+∠P AD=∠CAE+∠P AD，即∠BAP=∠CAE；又∵AC AE AB AP=， ∴ΔBAP ∽ΔCAE ，∴CE CA BP BA==∠ACE =∠ABP ， ∵AB =BC ，BD ⊥AC ，∴∠ABD =∠CBD =∠ACB =45°=∠ACE ，∴∠BCE =∠BCA +∠ACE =45°+45°=90°，∴BC ⊥CE ，∴BC ⊥CE ，CE BP ；(3)（3）CE =2或14．如图，当点P 在BD 上时，连接AE ，∵AB =8，∴AD =BD ，∵AP∴在Rt ΔAPD 中，PD ，∴BP由（2）知：CE BP ，∴CE ；如图，当点P 不在BD 上时，连接AE ，同理可得DP∴BP∴CE ．综上：CE 的长为2或14．4． (1)CM =，45解法提示：∵点D ，E 分别是AC ，BC 的中点， ∴12DE AB ∥． 由旋转知，90APM ∠=︒，即AC PM ⊥．易知DM AD CD ==，∴45ACM CMD ∠=∠=︒，∴DCM △为等腰直角三角形，∴CM ． ∵1122PE AB AC CD ===，∴CM =．(2)一定成立.证明：在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点E 是BC 的中点，连接AE ，如图，则45EAC EAB ∠=∠=︒． ∵点D ，E 分别是AC ，BC 的中点， ∴12DE AB ∥． ∴45AEP PAE ∠=∠=︒.∵PA PM =，90APM ∠=︒，∴APM △是等腰直角三角形，∴45PAM ∠=︒，∴EAC PAM ∠=∠，∴EAP CAM ∠=∠，∵2AE AC =，2AP AM =， ∴AE AP AC AM =， ∴~AEP ACM △△，∴45ACM AEP ∠=∠=︒，CM AC PE AE=∴CM =． (3)AC PE11． 解法提示：当PCM △是等边三角形时，分两种情况讨论．①当点P 在BC 上方时，如图，过点P 作PH CM ⊥于点H ，延长CM 交直线ED 于点F ．由（2）知45ACM ∠=︒，易得CDF 和PFH △均为等腰直角三角形． 设PH a =，则FH a =，CH =，∴CM =， 又由（2）知CM PE =∴PE ==，∵CF FH CH a =+=+，22AC CD ===，∴AC a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，∴1AC PE ==． ②当点P 在BC 下方时，如图，连接AE ，同（2）易得~AEP ACM△△，∴PE APCM AM==ACM AEP∠=∠，∴PE=，45ACQ AED∠=∠=︒．过点P作PH CM⊥于点H，延长MC交直线ED于点Q．易得CDQ和PQH均为等腰直角三角形．设PH b=，则QH b=，CH=，∴CM，∴PE==．∵CQ QH CH b=-=，222AC CD==⨯=，∴AC b⎛⎫=⎪⎪⎝⎭，∴AC1PE==．综上可知，ACPE11．5．(1)证明：如图4，连接DF，作DM⊥EF，垂足M．∵DM ⊥EF ，GE ⊥EF ，∴∠GEF ＝∠DMF ＝90°，∴DM ∥GE ，∴∠MDE ＝∠DEG ，∵DG ＝GE ，∴△GDE 是等腰三角形，∴∠GED ＝∠GDE ，∴∠GDE ＝∠EDM ，∵在△DAE 和△DME 中，90ADE MDE A DME DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△DAE ≌△DME （AAS ），∴DM ＝AD ，AE ＝ME ，∵AD ＝CD ，∴DC ＝DM ，在Rt △DCF 和Rt △DMF 中，DF DF DM DC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DCF ≌Rt △DMF （HL ），∴CF ＝MF ，∴AE +CF ＝EM +MF ，∵EM +MF ＝EF ，∴AE +CF ＝EF ；(2)解：如图5，连接EK、ED．由（1）知，△DAE≌△DME，Rt△DCF≌Rt△DMF，∴∠ADE＝∠MDE＝12∠ADM，∠CDF＝∠MDF＝12∠CDM，∴∠EDF＝∠EDM+∠MDF＝12∠ADM+12∠CDM＝12∠ADC＝45°，∵∠EAK＝45°，∴∠EAK＝∠EDK，∴A、E、K、D四点共圆，∴∠EAD+∠EKD＝180°，∴∠EKD＝180°﹣∠EAD＝90°，∴∠EDK＝45°，∴△EDK是等腰直角三角形，DE2＝2DK2，∵S四边形AEKD＝S△ADE+S△KDE＝S△AEK+S△KDA，∴12AD•AE+12DK•EK＝12AK•AE•sin∠EAK+12AK•AD•sin∠DAK，∴AD•AE+DK2＝AK•AE+AK•AD∵DK2＝12DE2＝12（AD2+AE2），∴AD•AE+12（AD2+AE2AK•AE AK•AD，∴2AD•AE+AD2+AE2•AE•AD，∴（AD+AE）2AK（AD+AE），∵AD+AE≠0，∴AE+AD；(3)解：∵△BEF的周长为24，∴BE+EF+BF＝24，由（1）知AE +CF ＝EF ，∴BE +AE +CF +BF ＝24，∴AB +BC ＝24，∴AB ＝BC ＝12，即正方形ABCD 的边长为12，∴AC ＝由（2）知AE +AD ，∵AK ＝，∴AE +AD 16，CK ＝AC ﹣AK ＝＝∴AE ＝16﹣AD ＝4．∵AE ∥CD ，∴△AEP ∽△CDP ， ∴41123AP AE CP CD ===，∴CP ＝34AC ＝34×∴PK ＝CP ﹣CK ＝＝6．(1)证明：∵△BCE 绕B 点旋转，使BC 与BA 重合，90ABC ∠=︒，∴旋转角为90°，即：∠FBE =90°，根据旋转的性质可得：BF =BE ，∠F =∠BEC ，∴∠F +∠BED =∠BEC +∠BED =180°，∴四边形BEDF 满足“直等补”四边形的定义，∴四边形BEDF 为“直等补”四边形；(2)①证明：如图1，过C 作CF ⊥BF 于点F ，四边形ABCD 为“直等补”四边形，AB =BC =5，CD =1，∴90,180ABC ABC D ∠=︒∠+∠=︒，90D ∴∠=︒，BE AD ⊥，CF BF ⊥，90DEF ∴∠=︒，90CFE ∠=︒，∴四边形CDEF 是矩形，DE CF ∴=，1EF CD ==，90ABE A ∠+∠=︒，90ABE CBE +=︒∠∠，A CBF ∴∠=∠，90AEB BFC ∠=∠=︒，AB BC =，()ABE BCF AAS ∴∆≅∆，BE CF ∴=，AE BF =，DE CF =，BE DE ∴=，四边形CDEF 是矩形，1EF CD ∴==，ABE BCF ∆≅∆，AE BF ∴=，1AE BE ∴=-，设BE x =，则1AE x =-，Rt ABE △中，222(1)5x x +-=，解得4x =或3x =-（舍去），4BE ∴=；②如图2，延长CB 到点F ，使得BF =BC ，延长CD 到点G ，使得CD =DG ，连接FG ，分别与AB 、AD 交于点M 、N ，过G 作GH ⊥BC 交BC 的延长线于点H ，则5BC CF ==，1CD DG ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，FM CM ∴=，GN CN =，∴∆MNC 的周长CM MN CN FM MN GN FG =++=++=时取最小值，四边形ABCD 为“直等补”四边形，180A BCD ∴∠+∠=︒，180BCD HCG ∠+∠=︒，A HCG ∴∠=∠，又90AEB CHG ∠=∠=︒，ABECHG ∴∆∆， BE AE AB GH CH CG∴==， 5AB =，4BE =，3AE ∴=，4352GH CH ∴==， 解得85GH =，65CH =， 56+5FH FC CH ∴==，FG ∴=∴∆MNC 周长的最小值为7．(1)①∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形，AB ＝CD ＝CB ，∠BCE ＝∠A ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∠DEF ＝12∠A ，∴∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝DE，∴AD﹣DF＝CD﹣DE，即AF＝CE，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴BF＝BE，在Rt△CBE中，点G是BE的中点，∴CG＝1BE，2BF，∴CG＝12BF；故答案为：CG＝12②①中线段CG与线段BF的数量关系仍然成立，证明：思路一：连接AC，记AC与BD相交于点O，AC与BF相交于点M，连接GM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，DO＝BO，AC⊥BD，∴CO⊥BD，CO＝DO＝BO，由①得：DE＝DF，设DE＝DF＝y，OG＝x，OE＝a，∵点G是BE的中点，∴EG＝BG＝a+x，OB＝OG+BG＝a+2x，∵OD＝OB，∴y+a＝a+2x，∴y＝2x，即DE＝DF＝2OG，∵AC⊥BD，∠EDF＝90°，∴OA∥DF，∵DO＝BO，∴FM ＝BM ＝12BF ，DF ＝2OM ，∴OM ＝x ＝OG ，∵AC ⊥BD ，∴∠MOB ＝∠GOC ＝90°，∵OB ＝OC ，∴△MOB ≌△GOC （SAS ），∴CG ＝BM ＝12BF ，∴①中线段CG 与线段BF 的数量关系仍然成立；(2)过点C 作CN ⊥DB 于N ，连接GN ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝120°，∴DC ＝BC ，∠ADC ＝60°，∠A ＝∠BCD ＝120°，∠BDC ＝∠CBD ＝30°， ∴∠DCN ＝60°，∴DN ＝BN ＝12BD ， ∴CN BD = ∵点G 是BE 的中点， ∴12NG DE =，NG ∥DE ， ∴∠BNG ＝∠BDE ，∵∠BDE +∠BDF ＝90°，∠BNG +∠CNG ＝90°，∴∠BDF ＝∠CNG ，∵∠DEF ＝12∠A ，∴∠DEF ＝60°，∴DF，∴1DE NG DF == ∴NG CN DF BD=， ∵∠BDF ＝∠CNG ，∴△BDF ∽∠CNG ，∴CG CN BF BD = ∴BF ＝．故答案为：BF ＝．8．(1)如图1，作DM ⊥BC 于M ，∴∠BMD ＝90°，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝∠C ＝30°，∴∠ABF ＝∠FBC ＝15°，∴∠ABD ＝∠ABF ＝15°，∴∠DBM ＝45°，∴DM ＝BD •sin ∠DBM ＝2•sin45°=∴CD ＝2DM ＝；(2)CH =，理由如下：如图2，作HN //AB 交AC 于N ，作NM ⊥BC 于M ，∴∠DNH＝∠BAD＝180°﹣∠BAC＝60°，∴∠NHC＝∠DNH﹣∠C＝60°﹣30°＝30°，∴∠C＝∠NHC＝30°，∴CH＝2HM＝2•（HN•cos∠NHC）＝2•（HN•cos30°）=，∵∠CDH+∠BFD12=∠DEF，∠CDH+∠BFD+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝120°，∴∠BED＝∠BAD＝60°，∵∠AGD＝∠BGE，∴∠ADG＝∠ABF＝∠ABD，∵∠DBH＝∠ABC+∠ABD＝30°+∠ABD，∠BHD＝∠C+∠ADG＝30°+∠ABD，∴∠DBH＝∠DHB，∴DH＝BD，∴△ABD≌△NDH（AAS），∴HN＝AD，∴CH=；(3)如图3，作等边三角形BDO，以O为圆心，OB＝BD＝2为半径作圆O，∴点P在⊙O上运动，作∠BCR ＝30°，作HN ⊥CR 于N∴HN 12CH = ∴PH +HN 最小时，P 、H 、N 共线，且PHN 过点O ，故作OQ ⊥CR 于Q 交AB 于T ，作BT ⊥OQ 于T ，∵∠ABC ＝∠BCR ＝30°，∴AB //CR ，∴OQ ⊥BT ，作OB 的垂直平分线交OT 于M ，∴OM ＝BM ，设BT ＝x ，∴OM ＝BM ＝2BT ＝2x ，MT =，∴2x +）2+x 2＝22，∴x =∴BT 2）x =∵TQ ＝BR 12=BC 12=⋅，∴OQ =∴P ′Q ＝OQ ﹣OP ′2，∵2PH +CH ＝2（PH 12+CH ）∴2PH +CH 的最小值是：4．9．(1)解：过E 点作EH ⊥AC 于H 点，如下图所示：∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，∴∠HCE=45°，△HCE为等腰直角三角形，设HE=CH=x，∵1tan3∠==EHEACAH，∴AH=3x，∴AC=AH+CH=4x，∵∠B=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC²=AB²+BC²，∴16x²=16+16，解得x(负值舍去)，∴EH=HC∴2==EC．(2)证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：∵FG AC，∠CFG=90°，且AC为对角线，∴∠FCG=∠FCM=45°，∴△CGM和△CFG是等腰直角三角形，∴CM=CG，2CG CF，∴BM=BC-CM=CD-CG=DG，∵AF=AB，∴AF=AD，在Rt△AFG和Rt△ADG中，AG AG AF AD，∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），∴FG=DG，∴BM=FG，∵∠BAC=∠EAH=45°，∴∠BAE=∠F AH，∵FG⊥AC，∴∠AFH=90°，∴△ABE≌△AFH（ASA），∴BE=FH，∵BM=BE+EM，FG=FH+HG，∴EM=HG，∵EC=EM+CM，CM=CG，∴．(3)解：如下图3所示，∵G为AD中点，∴GA=GD，∵将△GDH沿GH翻折得到△GPH，∴GD=GP，∴GA=GD=GP，∴动点P在以G点为圆心，GD为半径的劣弧PD上运动，如下图4虚线所示，当B、P、G三点不共线时，由三角形两边之差小于第三边可知：BP＞BG-GP，当且仅当B、P、G三点共线时有：BP=BG-GP，此时BP取得最小值，∵在(1)的条件下，正方形边长AD=4，∴AG=GD=GP=2，∴2216425BG AB AG，过P点作PM⊥AD于M点，则PM∥AB，∴△GMP∽△GAB，∴MP GPAB BG，代入数据：∴2 425 MP，∴455 MP，∴11458542255PADS AD PM．10．四边形BE ′FE 是正方形．理由如下：由旋转得，∠E ′＝∠AEB ＝90°，∠EBE ′＝90°，∵∠BEF ＝180°﹣∠AEB ＝90°，∴四边形BE ′FE 是矩形，由旋转得，BE ′＝BE ，∴四边形BE ′FE 是正方形．(2)CF ＝FE '，证明：如图2，过点D 作DG ⊥AE 于点G ，则∠DGA ＝∠AEB ＝90°，∵DA ＝DE ，∴AG ＝12AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝AB ，∠DAB ＝90°，∴∠BAE +∠DAG ＝90°，∵∠ADG +∠DAG ＝90°，∴∠ADG ＝∠BAE ，在△ADG 和△BAE 中 ADG BAE AGD AEB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△BAE （AA S ），∴AG ＝BE ；∵四边形BE ′FE 是正方形，∴BE ＝FE ′，∴AG ＝FE ′，由旋转得，AE ＝CE ′， ∴12AE ＝12CE ′，∴FE ′＝12AE ＝12CE ′，∴CF ＝FE '．(3)如图3，过点D 作DG ⊥AE 于点G ，∵BE ＝FE ′，CF ＝3，∴AE ＝CE ′＝FE ′+CF ＝FE ′+3＝BE +3，∵AE 2+BE 2＝AB 2，且AB ＝15，∴(BE +3)2+BE 2＝(15)2，解得，BE ＝9或BE ＝﹣12（不符合题意，舍去），∴AE ＝9+3＝12，由（2）得，△ADG ≌△BAE ，∴DG ＝AE ＝12，AG ＝BE ＝9，∴GE ＝AE ﹣AG ＝12﹣9＝3，∵∠DGE ＝90°，∴DE ＝11．(1)解：∵ABC 和DEF 都是等边三角形，∴60B DEF ∠=∠=︒，∵DEC B BDE ∠=∠+∠∴DEF CEF B BDE ∠+∠=∠+∠，∴CEF BDE ∠=∠；(2)解：命题：①⇒②．证明：如图，在BC 上取一点G ，使得BG BD =，连接DG ，FG ，取CG 中点H ，连接FH ，∵60B ∠=︒，BD BG =，∴BDG 为等边三角形，∴BD DG =，60BDG DGB ∠=∠=︒，又∵60EDF BDG ∠=∠=︒，∴BDE GDF ∠=∠，∵DE DF =，∴BDE GDF △△≌，∴60DGF B ∠=∠=︒，GF BE =，∴60FGC ∠=︒，又∵AB BC =，BD BG =，∴CG AD =，当2k =时，2AD BE =，∴2CG GF =，∵H 为CG 中点，∴HG HC FG ==，∴FGH 为等边三角形，∴FH GH HC ==，60FHG ∠=︒，∴30HCF HFC ∠=∠=︒，∴CF 平分ACB ∠，（结论②得证）(3)解：如图，过点E 作EM BD ⊥于点M ，连接CF ，∵12k =， ∴2BE AD =，又∵60ABC ∠=︒，∴12BM BE =， ∴BM AD =，∴2BE BM =，∴2DM AB BM AD AB BM BC BE CE =--=-=-=， ∵CEF BDE ∠=∠，DE EF =，∴DEM EFC △△≌，∴90FCE EMD ∠=∠=︒，即CF BC ⊥，作点A 关于直线CF 的对称点A '， ∴当A '，F ，B 三点共线时，AF BF +取得最小值．如图3，由轴对称可知：30A CF ACF '∠=∠=︒，AC A C '=，∴A C BC '=，120BCA '∠=︒，∴30CBF ∠=︒，∴30ABF CBF ∠=∠=︒，∴ABF CBF △△≌，∴90FAB FCB ∠=∠=︒，FA FC =，∴Rt FAD Rt FCE ≌，∴AD CE =，∴2BE BD AD ==， ∴123AD AD AB AD AD ==+． 12．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝DA ，∠B ＝∠DAN ＝90°， ∵DN ⊥AE ，∴∠AFN ＝90°，∴∠F AN +∠ANF ＝90°．∵∠ADN +∠ANF ＝90°，∴∠F AN ＝∠AND ，即∠BEA ＝∠AND ，∴在△ABE 和△DAN 中，BEA AND B DAN AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DAN （AAS ）；(2)解：①∵四边形ABCD 是正方形， ∴//AB CD ，AB ＝BC ＝CD ．∵E 为BC 中点，∴BE ＝CE ＝12BC ，同（1）得：△ABE ≌△DAN （AAS ）， ∴BE ＝AN ＝12BC ，∴AN ＝12AD ＝12CD ，∵//AB CD ，∴△CDM ∽△ANM ， ∴2CM CD AM AN==； ②过点C 作CM ⊥DN 于M ，如图所示：设AB＝AD＝CD＝2a，则BE＝a，在Rt ABE△中，由勾股定理得：AE=，同（1）得：△ABE≌△DAN（AAS），∴BE＝AN＝a，AE＝DN．∵∠DAN＝90°，DN⊥AE，∴AN ADAFDN⋅==，∴NF=．∵CM⊥DN，∴∠CMD＝90°＝∠DAN，∴∠DCM+∠CDM＝90°．∵∠CDM+∠NDA＝90°，∴∠DCM＝∠NDA，∴△CDM∽△DNA，∴CM DM CDDA NA DN==，即2CM DMa a==解得：CM=，DM=，∴MF DN NF DM=--==，∴1tan2MFMCFCM∠===．∵DN⊥AE，CM⊥DN，∴//AE CM，∴∠CFE ＝∠MCF ，∴tan ∠CFE ＝tan ∠MCF ＝12．13．(1)解：如图1，延长MN 交AB 于点G ，∵M 、N 分别是BD 、BC 的中点，MN CD ∴∥，且12MN CD ＝，AC AB AD AE ＝，＝， CD BE ∴＝，12MN BE ∴=， 90NGB A ∠∠︒＝＝，MN BE ∴⊥． 故答案为：12MN BE MN BE ⊥＝，． (2)成立，理由如下：∴如图2，连接并延长CD 交BE 于点H ，延长NM 交BE 于点G ，90CAB DAE ∠∠︒＝＝，90CAD BAE DAB ∴∠∠︒-∠＝＝，AC AB AD AE ＝，＝，CAD BAE SAS ∴∆∆≌（），CD BE ACD ABE ∴∠∠＝，＝，∵点M 、N 分别是BD 、BC 的中点，12MN CD MN CD ∴∥，＝， 12MN BE ∴＝； 90BCH CBH BCH ABE ABC BCH ACD ABC ACB ABC ∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠︒＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝， 90CHB ∴∠︒＝，CD BE ∴⊥，90NGB CHB ∠∠︒＝＝；MN BE ∴⊥．(3)如图3，AD 在ABC ∆内部，AE 在ABC ∆的外部，且四边形DEMN 是平行四边形，由（2）得，1122CD BE MN CD MN CD BE ⊥，∥，＝＝， DE MN ∥，180EDN DNM ∴∠∠︒＋＝，DNM CDN ∠∠＝，180EDN CDN ∴∠∠︒＋＝，∴C、D、E三点在同一条直线上，＝，∴∠︒BEC90222＝，DE AD∴，DE＝，DE MN∴＝＝＝＝，CD BE MN DE22AC＝，5222∴＝＋＝，BC5550由222CE BE BC＋＝得，2250＋）＋（）＝，解得AD；如图4，AD、AE都在△ABC的外部，且四边形DENM是平行四边形，设BE交AC于点O，90∠∠︒∠＝＝＋，＝，＝，CAD BAE CAE AC AB AD AE≌（），∴∆∆CAD BAE SAS∴＝，CD CE∵M、N分别为BD、BC的中点，∴∥，MN CD∵四边形DENM是平行四边形，∴∥，DE MN∴点E在CD上，ACD ABE COE AOB＝，＝，∠∠∠∠＋＝＋＝，∴∠∠∠∠︒90ACE COE ABE AOB90BEC ∴∠︒＝，∵M 、N 分别是BD 、BC 的中点，1122MN CD BE ∴＝＝， 22BE CD MN DE ∴＝＝＝， 2DE ＝，BE CD ∴＝＝，由222CE BE BC ＋＝得，2250（）＋（）＝，解得AD综上所述，AD 14．(1)解：①∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°，∵AB =4，AD =，∴AD∴8BD =，tan AB ADB AD ∠==故答案为：8②由①得：tan ∠ADB =， ∴∠ADB =30°，∴∠ABD =90°﹣∠ADB =60°，∵∠A =90°，△AGE 为等腰三角形，∴∠AEG =45°，由折叠的性质得：∠GEH =∠ABD =60°，∴∠DEH =180°﹣∠AEG ﹣∠GEH =180°﹣45°﹣60°=75°，∴∠DHE =180°﹣∠DEH ﹣∠ADB =180°﹣75°﹣30°=75°，∴∠DEH =∠DHE ，∴DE =DH ，∴△DHE 是等腰三角形，故答案为：等腰；③∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =∠BCD =∠ADC =90°，CD =AB =4，∴∠DCF =90°，由②得：∠ADB =30°，∴∠BDC =90°﹣∠ADB =60°，∵DF ⊥BD ，∴∠BDF =90°，∴∠CDF =90°﹣∠BDC =30°，∴CF =∴S △ACF 12=CF ×AB =，； (2) 解：∵∠A =90°，AM =AB ，∴△ABM 是等腰直角三角形，∴∠AMB =45°，AM =AB =4，BM =∵AD =1）AB 4，∴DM =AD ﹣AM ，∴BM =DM ，∴∠DBM =∠BDM 12=∠AMB =22.5°； (3)解：∵AD =N 为边AD 的中点，∴AN 12=AD 作点N 关于AB 的对称点N '，则AN '=AN ，∵∠BPC =90°，∴点P 在以BC 为直径的半圆O 上，连接ON '交AB 于Q ，交半圆O 于P ，则OP =OB 12=BC ，QN =QN '，此时PQ ＋QN 的值最小=PQ ＋QN '=PN '，∵∠N 'AQ =90°=∠OBQ ，∠AQN '=∠BQO ，AN '=BO∴△AQN '≌△BQO （AAS ），∴QN '=QO ，AQ =BQ 12=AB =2，∴QN QO '=∴PQ ＋QN =PN '=2QO ﹣OP即PQ ＋QN 的最小值为故答案为：．15．(1)解：∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，AB ＝AC ，∴AD ＝CD ＝12BC ＝4，AD ⊥BC ，∵sin ∠MCD ＝13，∴tan ∠MCD∴DM ＝CD •tan ∠MCD ＝4∴AM ＝AD ﹣DM ＝4在Rt △AMN 中，MN ＝sin sin 45AMAMANM ︒=∠(4＝2；(2)证明：如图1，连接BM 并延长交CN 于E ，∵∠BAC ＝∠MAN ＝90°，∴∠BAC ﹣∠MAC ＝∠MAN ﹣∠MAC ，即：∠BAM ＝∠CAN ，在△BAM 和△CAN 中，AB ACBAM CAN AM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAM ≌△CAM （SAS ），∴∠MBA ＝∠ACN ，BM ＝CN ，∴点A 、B 、C 、E 共圆，∴∠BEC ＝∠BAC ＝90°，∴EM 2+CE 2＝CM 2，∵DM ∥CN ，∴△BDM ∽△BCE ， ∴12BMDMBD BE CE BC ===，∴CE ＝2DM ，EM ＝BM ，∴EM ＝CN ，∴4DM 2+CN 2＝CM 2；(3)如图2，∵AD ＝CD ＝12BC ＝4，AM ＝3DM ，∴DM ＝1，AM ＝3，MN ＝NE ＝12MN∵MD ′＝DM ＝1，NE ′＝NE∴点D ′在以M 为圆心，1为半径的圆上，点E ′在以N 作点M 关于BC 的对称点G ，连接GN 交BC 于F ，交⊙N 于E ′，则FD '+FE '的最小，在Rt △AGN 中，AG ＝DG +AD ＝1+4＝5，AN ＝3，∴GN∵DF ∥AN ，∴△GFD ∽△GNA ，∴GF GD GN AG=， 15=，∴GF∴MF ＝GF ∴FD '+FE '＝MF ﹣MD ′+FN ﹣NE ′＝GF +FN ﹣NE ′﹣MD ′＝GN ﹣NE ′﹣MD ′，即：min ()1FD FE ''+=-． 16．(1)解：当60α︒=时，点B '与点C 重合，∵四边形ABCD 为菱形，120BAD ∠=︒，∴//AD BC ，60CBA ︒∠=，∵BE CD ⊥，∴BE AB ⊥，即90ABE ︒∠=，∴9030EBB CBA ︒︒'=-∠=∠，在t R DFC △和Rt BEC △中，DC BC DCF BCE DFC BEC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴()DFC BEC AAS △≌△，∵FC EC =，∵60ECB ︒∠=，∴30CFE CEF ︒∠=∠=，∴B CFE E B '∠∠=，∴EF BE =，假设=CE m，则BE ，=2BC m ，∴EF BE DB BC ==' 故答案为：30(2) 解：当0360α︒︒<<时，（1）中的结论仍然成立． 证明：如图，连接BD ，∵AB AD AB '==， ∴1(180)9022a a AB B ︒︒'-=-∠=，1180(120)3022a AB a D ︒︒︒⎡⎤=--=+⎣⎦'∠， ∴180180(90)(30)6022E a a B AB D AB B B ︒︒︒︒︒''=-∠-∠=---+='∠， ∴30EBB ︒'∠=， ∵11(180)3022CB ABC BAD D ︒︒==-=∠∠∠，∴C EB D B B =∠'∠，∴FB E B CBD FB B B B ''+∠=∠+∠'∠，即=B EBF B D '∠∠，∴cos BF DBF BD ∠==cos BE EBB BB '∠==' ∴BF BE BD BB ='， 又∵=B EBF B D '∠∠， ∴FBE DBB '△△∽，∴EF BE DB BB =='' (3)解：连接AC ，BD 交于点O ，∵AC BD ⊥，1602BAO BAD ︒=∠=∠，∴sin OB AB BAO =⋅∠∴BD =∴sin DE BE BD DBE ==⋅∠= 由（2）可知30EBB ︒'∠= ∴tan 2EB BE EBB ''=⋅∠=， 分两种情况：①如图，当点E 在线段DB '上时，。
专题02 填空压轴题-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编(上海专用)(解析版)
专题02 填空压轴题1．（2021•上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，2OP=，当正方形绕着点O旋转时，则点P 到正方形的最短距离d的取值范围为 ．d…【答案】21【详解】如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d PE=最大，OP过顶点A时，点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时d PA=最小，如图①：Q正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，\=，45AE1^，Ð=°，OE ABOAEOE\=，1Q，OP=2\==；d PE1如图②：Q正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，\=，451AE^，OAEÐ=°，OE AB\=OAQ，OP=2\==-；2d PAd \的取值范围为21d …．2．（2020•上海）在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 ．【答案】102033AO <<【详解】在矩形ABCD 中，90D Ð=°Q ，6AB =，8BC =，10AC \=，如图1，设O e 与AD 边相切于E ，连接OE ，则OE AD ^，//OE CD \，AOE ACD \D D ∽，\OE AO CD AC =，\2106AO =，103AO \=，如图2，设O e 与BC 边相切于F ，连接OF ，则OF BC ^，//OF AB \，COF CAB \D D ∽，\OC OF AC AB =，\2106OC =，103OC \=，203AO \=，\如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是102033AO <<3．（2019•上海）在ABC D 和△111A B C 中，已知190C C Ð=Ð=°，113AC A C ==，4BC =，112B C =，点D 、1D 分别在边AB 、11A B 上，且ACD D @△111C A D ，那么AD 的长是 ．【答案】53【详解】ACD D @Q △111C A D ，可以将△111C A D 与ACD D 重合，如图，11190ACB A C B Ð=Ð=°Q ，11//BC B C \，\11B C AD BD BC=，3AC =Q ，4BC =，5AB \==，\254AD AD =-，解得53AD =，AD \的长为534．（2018•上海）已知任一平面封闭图形，现在其外部存在一水平放置的矩形，使得矩形每条边都与该图形有至少一个交点，且构成该图形的所有点都在矩形内部或矩形边上，那么就称这个矩形为“该图形的矩形”，且这个矩形的水平长成为该图形的宽，铅直高称为该图形的高．如图，边长为1的菱形的一条边水平放置，已知“该菱形的矩形”的“高”是“宽”的23，则该“菱形的矩形”的“宽”为 ．【答案】1813【详解】在菱形上建立如图所示的矩形EAFC ，设AF x =，则23CF x =，在Rt CBF D 中，1CB =，1BF x =-，由勾股定理得：222BC BF CF =+，22221(1)()3x x =-+，解得：1813x =或0（舍)，则该“菱形的矩形”的“宽”是18135．（2021•普陀区二模）如图，正方形ABCD 中，4AB =，E 为边BC 的中点，点F 在AE 上，过点F 作MN AE ^，分别交边AB 、DC 于点M 、N ，联结FC ，如果FNC D 是以CN 为底边的等腰三角形，那么FC = ．【详解】延长AE ，DC 交于点A ¢，过点F 作FH CD ^于H ，ABCD Q 是正方形，4AB BC \==，//AB CD ，1A \Ð=Т．在ABE D 和△A CE ¢中，1A AEB A EC BE EC Ð=ТìïÐ=Тíï=î．ABE \D @△()A CE AAS ¢．4AB A C \=¢=．E Q 为边BC 的中点，122BE EC BC \===．AE \==sin 1BE AE \Ð==．sin A \Т=．AE MN ^Q ，90A FN \Т=°．290A\Т+Ð=°．cos 2sin A \Ð=Т=FN FC =Q ，FH CN ^，12NH CH CN \==．设NH x =，则2NC x =．42A N A C NC x \¢=¢+=+．在Rt FHN D 中，cos 2NH FN Ð==，FN \=．在Rt △A FN ¢中，cos 2FN A N Ð==¢\=43x \=．FC FN \===．6．（2021•嘉定区二模）在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =（如图），点E 是边AB 的中点，联结DE ．将DAE D 沿直线DE 翻折，点A 的对应点为A ¢，那么点A ¢到直线BC 的距离为 ．【答案】5425【详解】过A ¢作//FG BC 交AB 于F ，交CD 于G ，过A ¢作A H BC ¢^于H ，如图：Q 矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，E 是边AB 的中点90A \Ð=°，4AD BC ==，6CD AB ==，3AE =，DAE D Q 沿直线DE 翻折，点A 的对应点为A ¢，90DA E A \Т=Ð=°，4A D AD ¢==，3A E AE ¢==，又//FG BC ，90A DG DA G EA F \Т=°-Т=Т，而90EFA A GD Т=Т=°，EFA \D ¢∽△A GD ¢，\34EF FA EA A G DG A D ¢¢===¢¢，设3EF m =，3FA n ¢=，则4A G m ¢=，4DG n =，4FA A G BC ¢+¢==Q ，AE EF DG +=，\344334n m m n +=ìí+=î，解得2425n =，96425DG n \==，5425CG CD DG \=-=，5425A H \¢=7．（2021•闵行区二模）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在ABC D 中，AB AC =，4BC =，且ABC D 的面积为m ，如果ABC D 存在“最优覆盖菱形”为菱形BCMN ，那么m 的取值范围是 ．【答案】8m …【详解】ABC D Q 的面积为m ，ABC \D 的BC 边上的为高2m ，如图：当高取最小值时，ABC D 为等边三角形，点A 与M 或N 重合，如图：过A 作AD BC ^，垂足为DQ 等边三角形ABC ，4BC =，60ABC \Ð=°，4BC =，30BAD Ð=°．2BD \=，AD \==，\2m =，即m =如图：当高取取最大值时，菱形为正方形．\点A 在MN 的中点，\4,82m m ==即，8m \…8．（2021•青浦区二模）在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，4AB cm =，8AD cm =．Q 为直线BC 上一动点，如果以5cm 为半径的Q e 与矩形ABCD 的各边有4个公共点，那么线段OQ 长的取值范围是 ．【答案】2OQ <…【详解】临界情况，如图所示，1Q e 与CD 切于点C ，2Q e 与AB 切于点B ，当Q 在12Q Q 上移动时Q e 与AB 有一个交点，与AD 有2个交点，与CD 有1个交点，15CQ \=，113BQ BC CQ =-=，4AB =，15AQ \==，即A 在1Q e 上，同理，D 在2Q 上，临界条件下，圆与矩形存在三个交点，当OQ BC ^时，OQ 取最小值，2OQ =，当Q 在1Q 或Q 时，OQ 取最大值，12OQ OQ ===2OQ \<…．9．（2021•松江区二模）如图，已知Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，6AC =，8BC =．将ABC D 翻折，使点C 落在AB 边上的点D 处，折痕EF 交边AC 于点E ，交边BC 于点F ，如果//DE BC ，则线段EF 的长为 ．【详解】如图，由折叠可知，EC ED =，FC FD =，CEF DEF Ð=Ð，EF 是CD 的垂直平分线，//DE BC Q ，90ACB Ð=°，90AED ACB \Ð=Ð=°，45CEF DEF \Ð=Ð=°，90CED ECF EDF \Ð=Ð=Ð=°\四边形CEDF 是正方形，设CF x=，则6AE x=-，8BF x=-，由AED DFBD D∽得，AE EDDF FB=，即，68x xx x-=-，解得，247x=，在Rt CEFD中，EF=10．（2021•虹口区二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将BCMD沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C¢处，联结DC¢并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN DM=时，CM 的长为 ．【答案】2或8-【详解】如图1中，当BN DM=时，连接CC¢交BM于J．BN DM=Q，//BN DM，\四边形BNDM 是平行四边形，//BM DN \，BMC NDM \Ð=Ð，BMC DC M Т=Т，由折叠知，MC MC ¢=，BMC BMC Ð=Т，NDM DC M \Ð=Т，MC MD \¢=，122CM DM CD \===．如图2中，当BN DM =时，过点C ¢作C T CD ¢^于T ．CB CD =Q ，BN DM =，CN CM MC \==¢，在BCM D 和DCN D 中，CB CD BCM DCN CM CN =ìïÐ=Ðíï=î，()BCM DCN SAS \D @D ，CDN CBM \Ð=Ð，90CBM BCC Ð+Т=°Q ，90BCC C CD Т+Т=°，CBM C CD \Ð=Т，C CD DCN \Т=Ð，C D C C \¢=¢，C T CD ¢^Q ，2DT TC \==，//C T CN ¢Q，DC C N \¢=¢，12C T CN \¢=，设C T x ¢=，则2CN CM MC x ==¢=，TM =，22x \=，4x \=-，8CM \=-综上所述，CM 的值为2或8-．11．（2021•长宁区二模）如图，已知ABC D 中，90C Ð=°，6AB =，CD 是斜边AB 的中线．将ABC D 绕点A 旋转，点B 、点C 分别落在点B ¢、点C ¢处，且点B ¢在射线CD 上，边AC ¢与射线CD 交于点E ．如果3AE EC =¢，那么线段CE 的长是 ．【答案】72【详解】根据已知，作出的图形，如图所示：ABC D Q 中，90C Ð=°，6AB =，CD 是斜边AB 的中线．132AD CD DB AB \====，DAC ACD \Ð=Ð，根据旋转性质：B AE B CA Т=Т，\△B AE ¢∽△B CA ¢，\B A AE B E BC AC B A ¢¢==¢¢，\3AE E C =¢，\34AE AE AC AC ==¢，\6346B E BC ¢==¢，8B C \¢=，92B E ¢=，97822EC B C B E \=¢-¢=-=12．（2021•黄浦区二模）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ．将ABD D 沿对角线BD 翻折，点A 的对应点E 恰好位于边BC 上，且:3:2BE EC =，则C Ð的余切值是 ．【详解】如图，过点A 作AF BC ^于F ，DH BC ^于H ，//AF DH \，又//AD BC Q ，\四边形ADHF 是平行四边形，又AF BC ^Q ，\四边形ADHF 是矩形，AF DH \=，AD FH =，在Rt ABF D 和Rt DCH D 中，AB DC AF DH =ìí=î，Rt ABF Rt DCH(HL)\D @D ，BF CH \=，Q 将ABD D 沿对角线BD 翻折，AB BE \=，ABD DBC Ð=Ð，//AD BC Q ，ADB DBC ABD \Ð=Ð=Ð，AB AD \=，:3:2BE EC =Q ，\设3BE x =，2EC x =，3AB CD x AD FH \====，BF CH x \==，DH \==，C \Ð的余切值==13．（2021•杨浦区二模）如图，已知在ABCD 中，90C Ð=°，30B Ð=°，2AC =，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上一点，将BDE D 沿直线DE 翻折，点B 落在B ¢处，联结AB ¢，如果90AB D ¢Ð=°，那么线段AE 的长为 ．【答案】145或2【详解】在ABC D 中，90C Ð=°，30B Ð=°，2AC =，4AB \=，BC ==Q 点D 是边BC 的中点，BD CD \==，Q 将BDE D 沿直线DE 翻折，B D BD ¢\==，\点B ¢在以点D 为圆心，BD 为半径的圆上，如图，当点B ¢与点C 不重合时，过点E 作EH BC ^于H ，连接AD ，在Rt ACD D 和Rt △AB D ¢中，AD AD CD DB =ìí¢=î，Rt ACD Rt \D @△()AB D HL ¢，DAC DAB ¢\Ð=Ð，180BDB B DC B AC B DC ¢¢¢¢Ð+Ð=°=Ð+ÐQ ，B AC BDB ¢¢\Ð=Ð，Q 折叠，BDE EDB ¢\Ð=Ð，BDE DAC \Ð=Ð，tan tan DC HE DAC BDE AC DH \Ð=Ð===\设EH =，2DH x =，30B Ð=°Q ，3BH x \==，BE =BD ==Q ，x \=35EH \=，65BE =，145AE \=，当点B ¢与点C 重合时，90AB D ¢Ð=°，DE \是BC 的垂直平分线，//DE AC \，\1AE CD BE BD==，122AE BE AB \===，综上所述：145AE =或2．14．（2021•静安区二模）在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n 倍(n 为整数），那么我们称这个三角形为n 倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为 ．【答案】30°或20°或18°或36011°【详解】①设最小内角度数为n °，2倍角为2n °，3倍角为3n °，23180n n n \++=，30n \=；②设最小内角度数为n °，2倍角为2n °，3倍角为6n °，26180n n n \++=，20n \=．③设最小内角度数为n °，3倍角为3n °，2倍角为6n °，36180n n n \++=，18n \=．④设最小内角度数为2n °，其余两个角为3n °和6n °，236180n n n \++=，18011n \=，360211n \=．15．（2021•都江堰市模拟）如图，在ABC D 中，AD 是BC 边上的中线，60ADC Ð=°，3BC AD =．将ABD D 沿直线AD 翻折，点B 落在平面上的B ¢处，联结AB ¢交BC 于点E ，那么CE BE的值为 ．【答案】37【详解】过A 作AF BC ^于F ，过B ¢作B G BC ¢^于G ，如图：60ADC Ð=°Q ，120ADB \Ð=°，ABD D Q 沿直线AD 翻折，点B 落在平面上的B ¢处，120ADB \Т=°，60CDB Т=°，B D BD ¢=，3BC AD =Q ，AD 是BC 边上的中线，\设AD m =，则3BC m =，32BD B D m =¢=，Rt ADF D 中，1cos602DF AD m =×°=，sin 60AF AD =×°=，2BF BD DF m \=+=，CF BC BF m=-=Rt △B DG ¢中，3cos604DG B D m =¢×°=，sin 60B G B D ¢=¢×°=，14FG DG DF m \=-=，AF BC ^Q ，B G BC ¢^，//AF B G \¢，\23FE AF GE B G ===¢，14FE GE FG m +==Q ，110FE m \=，2110BE BF EF m \=+=，910CE CF EF m =-=，\931021710m CE BE m ==方法二：如图：AD Q 是BC 边上的中线，CD BD \=，Q 将ABD D 沿直线AD 翻折，点B 落在平面上的B ¢处，B D BD CD ¢\==，60ADC Ð=°Q ，120ADB ADB ¢\Ð=Ð=°，60CDB ¢\Ð=°，CDB ¢\D 是等边三角形，B C CD BD ¢\==，60B CD ¢Ð=°，60B CD ADC ¢\Ð=Ð=°，//AD B C ¢，\AD DE B C CE=¢，由3BC AD =，设2AD m =，则6BC m =，3B C CD BD m ¢===，\23DE AD CE B C ==¢，3955CE CD m \==，2655DE CD m ==，215BE BD DE m \=+=，\9352175m CE BE m ==16．（2021•金山区二模）如图，在矩形ABCD中，3AB=，4BC=，点E在对角线BD上，联结AE，作EF AE^交边BC于F，若3916BF=，那么BE= ．【答案】15 4【详解】方法一、如图，连接AF，过点E作EH BC^于H，3AB CD==Q，4AD BC==，5BD\===，3 AB= Q，3916 BF=，AF\===，90ABC AEFÐ=Ð=°Q，\点A，点B，点F，点E四点共圆，DBC EAF\Ð=Ð，sin sinDC EFDBC EAFBD AF\Ð=Ð==，\35=，EF\=，tanDC EHDBCBC BHÐ==Q，\34EHBH=，设3EH x =，4BH x =，222EF FH EH =+Q ，\228117399(425616x x ´=+-，34x \=或3100x =（不合题意舍去），94EH \=，3BH =，154BE \===，方法二、如图，过点E 作MN BC ^于N ，交AD 于M ，则四边形ABNM 是矩形，3AB MN \==，AM BN =，设BE x =，则35EN x =，45BN x =，439516FN x \=-，335ME x =-，易证AEM EFN D D ∽，\AM ME EN FN=，\4335534395516x x x x -=-，154x \=，154BE \=17．（2021•宝山区二模）如图，矩形ABCD 中，2AB =．5AD =，点E 是BC 边上一点，联结AE ，将AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 的对应点记为点F ，如果点F 在对角线BD 上，那么BF DF = ．【答案】2【详解】根据题意画出图形，过点F 作FG BC ^于点G ，由旋转可知：EA EF =，90AEF Ð=°，90AEB FEG \Ð+Ð=°，Q 四边形ABCD 是矩形，90ABE \Ð=°，2AB CD ==，5BC AD ==，90BAE AEB \Ð+Ð=°，BAE FEG \Ð=Ð，在ABE D 和EGF D 中，90BAE GEF ABE EGF AE FE Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，()ABE EGF AAS \D @D ，BE FG \=，2AB EG ==，设CG x =，则523BE BC CG EG x x =--=--=-，3FG BE x \==-，//FG DC Q ，BFG BDC \D D ∽，\BG FG BC DC =，\5352x x --=，解得53x =，53CG \=，510533BG BC CG \=-=-=，543333FG x =-==-=，//FG DC Q ，\103253BF BG DF CG ===．18．（2021•浦东新区二模）如图，矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 边上，2DE AE =、2BF CF =，将四边形ABFE 沿BF 所在直线翻折，点A 落在点A ¢处，点E 落在点E ¢处，如果EF CE ¢^，那么AB AD 的值为 ．【详解】如右图，作EF CE ^¢交于点H ，连接EE ¢，交BC 于点Q ，由题可知，90EQC FHC Ð=Ð=°，EFQ CFH Ð=ÐQ ，EFQ CFH \D D ∽，设AB 长为y ，AD 长为x，2DE AE =Q 、2BF CF =，\23DE x =，13QF FC x ==，\13x FH FQ HC EQ y==，90FHC QEC Ð=Ð=°Q ，C C Ð=Ð，FHC \D ∽△E QC ¢，\23FH QE y HC QC x ¢==，\1323x y y x =，\y x =\AB AD =．19．（2021•奉贤区三模）如图，已知在等边ABC D 中，4AB =，点P 在边BC 上，如果以线段PB 为半径的P e 与以边AC 为直径的O e 外切，那么P e 的半径长是 ．【答案】45【详解】如图，连接OP ，过点O 作OH BC ^于P，在等边ABC D 中，4AB =，4AC BC AB \===，60ACB Ð=°，Q 点O 是AC 的中点，2AO OC \==，Q 以线段PB 为半径的P e 与以边AC 为直径的O e 外切，2PO BP \=+，OH BC ^Q ，30COH \Ð=°，1HC \=，OH ，222OP OH PH =+Q ，22(2)3(41)BP BP \+=+--，45BP \=20．（2021•宝山区三模）在Rt ABC D 中，90C Ð=°，3AC =，以点A 为圆心，1为半径作A e ，将A e 绕着点C 顺时针旋转，设旋转角为(090)a a <<°，若A e 与直线BC 相切，则a Ð的余弦值为 ．【答案】13【详解】设将A e 绕着点C 顺时针旋转，点A 至点A ¢时，A ¢e 与直线BC 相切相切于点D ，连接A D ¢，则90A DC Т=°，1A D ¢=，由旋转的性质可知，3CA CA ¢==，1cos 3A D CA D A C ¢\Т==¢，//AC A D ¢Q ，CA D a \=Т，a \Ð的余弦值为1321．（2021•上海模拟）在ABC D 中，36BAC Ð=°，AB AC =，BF 平分ABC Ð交AC 于F ，取AB 中点E ，连接EF 交BC 延长线于D ，连接AD ，则AB BD = ．【详解】36BAC Ð=°Q ，AB AC =，180BAC ABC ACB Ð+Ð+Ð=°，1(180)722ABC ACB BAC \Ð=Ð=°-Ð=°，BF Q 平分ABC Ð交AC 于F ，36ABF \Ð=°，ABF BAC \Ð=Ð，FA FB \=，Q 点E 为AB 的中点，EF \垂直平分AB ，DA DB \=，72DAB ABD \Ð=Ð=°，(180)36ADB DAB ABD \Ð=°-Ð-Ð=а，BAC ADB \Ð=Ð，ABC ABD Ð=Ð，ABC DAB \D D ∽，\AB BC BD AB=，2AB BC BD \=×，36CAD DAB BAC Ð=Ð-Ð=°Q ，ADB CAD \Ð=Ð，CD AC AB \==，22()AB BC BC CD BC AB BC \=+=×+，220AB BC AB BC \-×-=，AB \==，\BC AB =，\AB BD =22．（2021•浦东新区模拟）已知，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，9AC =，12BC =，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且:3:4CD CE =．将CDE D 绕点D 顺时针旋转，当点C 落在线段DE 上的点F 处时，BF 恰好是ABC Ð的平分线，此时线段CD 的长是 ．【答案】6【详解】如图所示，设3CD x =，则4CE x =，124BE x =-，Q 34CD CA CE CB ==，90DCE ACB Ð=Ð=°，ACB DCE \D D ∽，DEC ABC \Ð=Ð，//AB DE \，ABF BFE \Ð=Ð，又BF Q 平分ABC Ð，ABF CBF \Ð=Ð，EBF EFB \Ð=Ð，124EF BE x \==-，由旋转可得3DF CD x ==，Rt DCE D Q 中，222CD CE DE +=，222(3)(4)(3124)x x x x \+=+-，解得12x =，23x =-（舍去），236CD \=´=23．（2021•浦东新区模拟）如图，已知在ABC D 中，AB AC =，BM 是腰AC 上的中线，且BM BC =，将BCM D 沿直线BM 翻折，点C 落在ABC D 所在平面内的点D 处，如果7BC =，那么AD = ．【答案】72【详解】BCM D Q 沿直线BM 翻折得到BMD D ，BCM BMC BMD BDM \Ð=Ð=Ð=Ð，7BD BM BC ===，又AB AC =Q ，BCM ABC BMC BMD BDM \Ð=Ð=Ð=Ð=Ð，BM Q 是腰AC 上的中线，CM AM \=，又DM CM =Q ，AM DM \=，ADM DAM \Ð=Ð，又Q 三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和，2DMC ADM DAM ADM \Ð=Ð+Ð=Ð，12ADM DMC DMB BCA Ð=Ð=Ð=ÐQ ，ADM BCA Ð=Ð，DAM ABC Ð=Ð，MAD ABC \D D ∽，又12MA AC =Q ，1722AD BC \==24．（2021•上海模拟）如图，已知等腰ABC D ，AD 是底边BC 上的高，:1:3AD DC =，将ADC D 绕着点D 旋转，得DEF D ，点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合，设AC 与DF 相交于点O ，则:AOF DOC S S D D = ．【答案】3245【详解】作DG AB ^于G ，AB AC =Q ，AD BC ^，90ADB ADC \Ð=Ð=°，BAD CAD Ð=Ð，B C Ð=Ð．设AD x =，则3BD x =，由勾股定理，得AB =，AC \=．\22AD BD AB GD =g g ，\32x x =g GD \=Q 1tan 3AD C DC ==Ð．1tan 3B \Ð=．90ADG GAD Ð+Ð=°Q ，90B GAD Ð+Ð=°，ADG B \Ð=Ð．1tan 3AG ADG GD \Ð==，\\．FDE D Q 是由CDA D 旋转得来的，FDE CDA \D @D ，DE DA \=．F C Ð=Ð．DG AB ^Q ，AG EG \=．2AE AG \=，AE \=．AF \=-=．AOF DOC Ð=ÐQ ，F C Ð=Ð，AFO DCO \D D ∽，22:()AOF DOCAF S S DC D D \==．3245=．25．（2021•合肥三模）如图，已知在中，，，点是边的中点，，将沿直线翻折，点落在点处，连接，那么线段的长为 ．【详解】如图所示：，点是边的中点，，ABC D 90C Ð=°2BC =D BC ABC CAD Ð=ÐACD AD C E BE BE 2BC =Q D BC 1BD CD \==，，，，，，，由折叠的性质得：，，，作于，则，，，，，又，，，即，；26．（2020•虹口区二模）如图，在Rt ABCD 中，90C Ð=°，6AC=，8BC =，点D 、E 分别是边BC 、AB 上一点，//DE AC ，BD =，把BDE D 绕着点B 旋转得到△BD E ¢¢（点D 、E 分别与点D ¢，E ¢对应），如果点A ，D ¢、E ¢在同一直线上，那么AE ¢的长为 ．ABC CAD Ð=ÐQ C C Ð=ÐABC DAC \D D ∽::AC CD BC AC \=2212AC BC CD \=´=´=AC \=AD \===1ED CD ==ADE ADC Ð=ÐBD ED \=DF BE ^F BF EF =BDF EDF Ð=Ð1180902BDF ADC \Ð+Ð=´°=°90ADC DAC Ð+Ð=°Q BDF DAC \Ð=Ð90DFB C Ð=Ð=°Q BDF DAC \D D ∽\BF BD CD AD =1BF =BF \=2BE BF \==【详解】如图1中，当点D ¢在线段AE ¢上时，在Rt ACB D 中，90ACB Ð=°Q ，6AC =，8BC =，10AB \===，//DE AC Q ，BDE BCA \D D ∽，\DE BD AC BC =，\6DE =，DE \=，90AD B Т=°Q ，AD \¢===，AE AD D E \¢=¢+¢¢==，如图2中，当E ¢在线段AD ¢上时，同法可得AE AD D E ¢=¢-¢¢==综上所述，满足条件的AE ¢．27．（2020•宝山区二模）如图，在ABC D 中，5AB AC ==，3tan 4B =，将ABC D 绕点B 逆时针旋转，得到△11A BC ，当点1C 在线段CA 延长线上时1ABC D 的面积为 ．【答案】46825【详解】如图，过点B 作BE CC ¢^于点E ，过点A 作AF BC ^于F ，3tan 4AF ABC BFÐ==Q ，\设3AF x =，4BF x =，22225AF BF AB +==Q ，1x \=，3AF \=，4BF =，5AB AC ==Q ，AF BC ^，28BC BF \==，1122ABC S BC AF AC BE D =´´=´´Q ，832455BE ´\==，325CE \===，Q 将ABC D 绕点B 逆时针旋转，8BC BC ¢\==，且BE CC ¢^，6425CC EC ¢\==，1ABC \D 的面积116424468(5)225525AC BE ¢=´´=´-´=28．（2020•徐汇区二模）如图，在平行四边形ABCD 中，3AD =，5AB =，4sin 5A =，将平行四边形ABCD 绕着点B 顺时针旋转(090)q q °<<°后，点A 的对应是点A ¢，联结A C ¢，如果A C BC ¢^，那么cos q 的值是 ．【答案】725【详解】如图，连接BD ，连接A D ¢，过点B 作BH AD ^于H ，过点A ¢作A E AB ¢^于E ，4sin 5BH A AB==Q ，4BH \=，3AH \===，3AD AH \==，\点D 与点H 重合，90ADB \Ð=°，Q 四边形ABCD 是平行四边形，3AD BC \==，//AD BC ，90ADB DBC \Ð=Ð=°，又A C BC ¢^Q ，//BD A C ¢\，Q 将平行四边形ABCD 绕着点B 顺时针旋转(090)q q °<<°，5A B AB ¢\==，A C BC ¢^Q ，4A C ¢\===，A C BD ¢\=，\四边形A CBD ¢是平行四边形，90DBC Ð=°Q ，3BC A D ¢==，\四边形A CBD ¢是矩形，90A DB ¢\Ð=°，180A DB ADB ¢\Ð+Ð=°，\点A ，点D ，点A ¢共线，1122A BA S AB A E AA BD ¢¢¢=´´=´´V Q ，245A E ¢\=，75BE \===，775cos 525BE A B q \===¢29．（2020•静安区二模）如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90A Ð=°，DC AD =，B Ð是锐角，5cot 12B =，17AB =．如果点E 在梯形的边上，CE 是梯形ABCD 的“等分周长线”，那么BCE D 的周长为 ．【答案】42【详解】作CH AB ^于H ，设5BH a =，5cot 12B =Q ，\512BH CH =，12CH a \=，//AB CD Q ，90D A \Ð=Ð=°，又CH AB ^，\四边形ADCH 为矩形，12AD CH a \==，CD AH =，DC AD =Q ，12AH CD a \==，由题意得，12517a a +=，解得，，，，在中，，四边形的周长，是梯形的“等分周长线”，点在上，，，由勾股定理得，，的周长30．（2020•杨浦区二模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，10AB =，15BC =，4tan 3A Ð=，点P 是边AD 上一点，联结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是 ．1a =12AD CD AH \===5BH =Rt CHBD 13BC ==\ABCD 1212171354=+++=CE Q ABCD \E AB 1713273AE \=+-=1239EH \=-=15EC ==BCE \D 14131542=++=【答案】6或10【详解】如图1中，当点Q落在CD上时，作BE AD^于E，QF AD^交AD的延长线于F．设PE x=．在Rt AEBD中，4tan3BEAAE==Q，10AB=，8BE\=，6AE=，Q将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，90BPQ\Ð=°，90EBP BPE BPE FPQ\Ð+Ð=Ð+Ð=°，EBP FPQ\Ð=Ð，PB PQ=Q，90PEB PFQÐ=Ð=°，()PBE QPF AAS\D@D，PE QF x\==，8EB PF==，1DF AE PE PF AD x\=++-=-，//CD ABQ，FDQ A\Ð=Ð，4 tan tan3FQFDQ ADF\Ð===，\413xx=-，4x\=，4PE\=，6410AP\=+=；如图2，当点Q落在AD上时，Q将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，90BPQ\Ð=°，90APB BPQ\Ð=Ð=°，在Rt APBD中，4tan3APABP==Q，10AB=，6AP\=；如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE AD^于E，PF BC^于F．则四边形BEPF是矩形．在Rt AEB D 中，4tan 3BE A AE ==Q ，10AB =，8BE \=，6AE =，8PF BE \==，BPQ D Q 是等腰直角三角形，PF BQ ^，8PF BF FQ \===，PB PQ \==，1615BQ ==>（不合题意舍去），综上所述，AP 的值是6或1031．（2020•金山区二模）如图，在中，，，，把绕点旋转得到△，其中点在线段上，那么的正切值等于 ．【答案】【详解】把绕点旋转得到△，点在线段上，ABC D 90C Ð=°3AC =4BC =ABC D C A B C ¢¢A ¢AB A B B ¢¢Ð724ABC D C A B C ¢¢A ¢AB，，，，，，，，，，，，，，，设，则，，解得，舍去），，，．32．（2020•嘉定区二模）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么，我们将这样的三ACA BCB ¢¢\Ð=ÐCA CA ¢=CB CB ¢=A CA A ¢\Ð=ÐCBB CB B ¢¢Ð=ÐA CBB ¢\Ð=ÐCAA CBB ¢¢\D D ∽\CA AA CB BB ¢=¢90C Ð=°Q 3AC =4BC =5AB \===90A CBA Ð+Ð=°90CBB CBA ¢\Ð+Ð=°90A BB ¢¢\Ð=°A B a ¢=5AA a ¢=-BB ¢=\34=7(55a a ==75A B ¢\=245BB ¢\==775tan 24245A B A B B BB ¢¢¢\Ð===¢a Ðb Ð2a b Ð=Ð角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为 ．【详解】若等腰三角形的三个内角、，，，，，解得，此“倍角三角形”为等腰直角三角形，；若等腰三角形的三个内角、，，，，，解得，如图，，，作的平分线，则，，，，，即，，，，，即，整理得，解得，即，a Ðb Ðb Ð2180a b Ð+Ð=°Q 2a b Ð=Ð4180b \Ð=°45b =°\\a Ða Ðb Ð2180a b Ð+Ð=°Q 2a b Ð=Ð5180b \Ð=°36b =°72B C Ð=Ð=°36A Ð=°ABC ÐBD 36ABD CBD Ð=Ð=°DA DB \=72BDC A ABD Ð=Ð+Ð=°Q BDC C \Ð=ÐBD BC \=DA DB CB ==CBD A Ð=ÐQ BCD ACB Ð=ÐBDC ACB \D D ∽::BC AC CD BC \=:():BC AC AC BC BC =-220AC AC BC BC --=g AC =AC BC =33．（2020•浦东新区二模）在中，，，，是边上一点，沿直线翻折，点落在点处，如果，那么的长为 ．【答案】【详解】如图所示，过作于，中，，，，，，由折叠可得，，，，，，，，设，则，，，，解得，，Rt ABC D 90ACB Ð=°60BAC Ð=°BC =D BC AD ABD D B E 45ABE Ð=°BD 2-D DF AB ^F Rt ABC D Q 90ACB Ð=°60BAC Ð=°BC =2AB \=30ABC Ð=°AB AE =BAD EAD Ð=Ð45ABE AEB \Ð=Ð=°90BAE \Ð=°1452BAD BAE \Ð=Ð=°45ADF DAF \Ð=Ð=°AF DF \=DF AF x ==BF =2BD x =AB AF BF =+Q 2x \=+1x =22BD x \==-故答案为：．34．（2020•奉贤区二模）如图，在中，，，是斜边上的中线，如果将沿所在直线翻折，点落在点处，联结，那么的度数是 度．【答案】125【详解】如图所示，是斜边上的中线，，，，由折叠可得，，，，，又中，，35．（2020•青浦区二模）小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三2-Rt ABC D 90ACB Ð=°35B Ð=°CD AB BCD D CD B E AE CAEÐCD Q AB CD BD AD \==35BCD B \Ð=Ð=°110BDC \Ð=°110CDE CDB Ð=Ð=°DE DB AD ==3601102140BDE \Ð=°-°´=°1702DAE BDE \Ð=Ð=°Rt ABC D Q 903555BAC Ð=°-°=°5570125CAE \Ð=°+°=°角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线、分别是两个不相似的和的相似分割线，、分别与斜边、交于点、，如果与相似，，，，，那么 ．【答案】2【详解】，，，由勾股定理得：，，，已知，设，则，，，，，，，，，，，，又，，解得：，CG DH Rt ABC D Rt DEF D CG DH AB EF G H BCG D DFH D 3AC =5AB =4DE =8DF =AG =Rt ABC D Q 3AC =5AB =\4BC =BCG DFH D D Q ∽\BG BC DH DF =8DF =AG x =5BG x =-\548x DH -=102DH x \=-BCG DFH D D Q ∽B FDH \Ð=ÐBGC CHF Ð=ÐAGC DHE \Ð=Ð90A B Ð+Ð=°Q 90EDH FDH Ð+Ð=°A EDH \Ð=ÐAGC DHE \D ∽\AG AC DH DE=4DE =\31024x x =-3x =经检验，是原方程的解，且符合题意．．3x =3AG \=。
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专题03 填空压轴题之几何求值1．（2021•深圳）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 上的点，将CDE ∆沿DE 折叠，得到FDE ∆，连接BF ，CF ，90BFC ∠=︒，若//EF AB ，43AB =，10EF =，则AE 的长为 ．【答案】1043-【详解】如图，延长ED 交FC 于G ，延长BA ，DE 交于点M ，将CDE ∆沿DE 折叠，得到FDE ∆，EF EC ∴=，DF DC =，FED CED ∠=∠，EG CF ∴⊥，又90BFC ∠=︒，//BF EG ∴，//AB EF ，∴四边形BFEM 是平行四边形，10BM EF ∴==，1043AM BM AB ∴=-=-，//AB EF ，M FED∴∠=∠，M CED AEM∴∠=∠=∠，1043 AE AM∴==-2．（2020•深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O ，90ABC DAC∠=∠=︒，1tan2ACB∠=，43BOOD=，则ABDCBDSS∆∆=．【答案】332【详解】如图，过点D作//DM BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，//DM BC，ABC ANM∴∆∆∽，OBC ODM∆∆∽，∴1tan2AB ANACBBC NM==∠=，43BC OBDM OD==，又90ABC DAC∠=∠=︒，90BAC NAD∴∠+∠=︒，90BAC BCA∠+∠=︒，NAD BCA∴∠=∠，ABC DAN∴∆∆∽，∴12AB DNBC NA==，设4BC a=，由43BC OBDM OD==得，3DM a=，2AB a∴=，35DN a=，65AN a=，616255NB AB AN a a a∴=+=+=，∴22313521323225ABDBCDaAB DNSS BC NB a∆∆⋅===⋅．3．（2019•深圳）如图，在正方形ABCD 中，1BE =，将BC 沿CE 翻折，使B 点对应点刚好落在对角线AC 上，将AD 沿AF 翻折，使D 点对应点刚好落在对角线AC 上，求EF = ．【答案】6 【详解】如图，作FM AB ⊥于点M ．四边形ABCD 是正方形，45BAC CAD ∴∠=∠=︒．将BC 沿CE 翻折，B 点对应点刚好落在对角线AC 上的点X ，1EX EB AX ∴===，90EXC B ∠=∠=︒，222AE AX EX ∴=+=．将AD 沿AF 翻折，使D 点对应点刚好落在对角线AC 上的点Y ，1AM DF YF ∴===，∴正方形的边长21AB FM ==+，21EM =-，2222(21)(21)6EF EM FM ∴=+=-++=．4．（2018•深圳）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，AD 、BE 相交于点F ，且4AF =，2EF =，则AC = ．【答案】8105 【详解】如图，过点E 作EG AD ⊥于G ，连接CF ， AD ，BE 是分别是BAC ∠和ABC ∠的平分线， CAD BAD ∴∠=∠，CBE ABE ∠=∠，90ACB ∠=︒，2()90BAD ABE ∴∠+∠=︒，45BAD ABE ∴∠+∠=︒，45EFG BAD ABE ∴∠=∠+∠=︒，在Rt EFG ∆中，2EF =，1FG EG ∴==，4AF =，3AG AF FG ∴=-=，根据勾股定理得，2210AE AG EG =+=，AD 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，CF ∴是ACB ∠的平分线，45ACF AFE ∴∠=︒=∠，CAF FAE ∠=∠，AEF AFC ∴∆∆∽，∴AE AF AF AC=， 216810510AF AC AE ∴===5．（2017•深圳）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，Rt MPN ∆，90MPN ∠=︒，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当2PE PF =时，AP = ．【答案】3【详解】如图作PQ AB ⊥于Q ，PR BC ⊥于R ．90PQB QBR BRP ∠=∠=∠=︒，∴四边形PQBR 是矩形，90QPR MPN ∴∠=︒=∠，QPE RPF ∴∠=∠，QPE RPF ∴∆∆∽， ∴2PQ PE PR PF ==， 22PQ PR BQ ∴==，//PQ BC ，::::3:4:5AQ QP AP AB BC AC ∴==，设4PQ x =，则3AQ x =，5AP x =，2BQ x =， 233x x ∴+=，35x ∴=， 53AP x ∴==．6．（2021•深圳模拟）如图，在四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交CD 于点E ，且AB AE =，12CBA D BAD ∠=∠+∠，过点E 作EG AB ⊥，垂足为G ．延长BC 和AE 交于点F ，若:2:1BF ED =，2EG =，三角形ABF 的面积为7，则AD = ．【答案】72 【详解】解法一： 如图，过A 作AM BF ⊥于M ，作AN CD ⊥于N ，过E 作EH AD ⊥于H ，90AMB ANE ∴∠=∠=︒，AE 平分BAD ∠交CD 于点E ，12BAE DAE BAD ∴∠=∠=∠， 12CEA DAE ADE BAD ADE ∠=∠+∠=∠+∠， 12CBA D BAD ∠=∠+∠， CEA CBA ∴∠=∠，AED ABM ∴∠=∠，AB AE =，()ABM AEN AAS ∴∆≅∆，AM AN ∴=，12ABF S BF AM ∆=⋅，12AED S DE AN ∆=⋅，且2BF ED =， 2ABF AED S S ∆∆∴=， 7ABF S ∆=，72AED S ∆∴=， AE 平分BAD ∠，EG AB ⊥，EH AD ⊥，2EH EG ∴==，1722AED S AD EH ∆∴=⋅=， 72AD ∴=； 解法二：过D 作DM AE ⊥于M ，过F 作FN AB ⊥，交AB 的延长线于N ， AE 平分BAD ∠交CD 于点E ，12BAE DAE BAD ∴∠=∠=∠， 12CEA DAE ADE BAD ADE ∠=∠+∠=∠+∠， 12CBA D BAD ∠=∠+∠， CEA CBA ∴∠=∠，AED FBN ∴∠=∠，90DME FNB ∠=∠=︒，DME FNB ∴∆∆∽，∴12ED DM BF FN ==， 2FN DM ∴=，112722ABF S AB FN AE DM ∆=⋅=⋅=， 7AE DM ∴⋅=，BAE DAE ∠=∠，90AGE AMD ∠=∠=︒，AGE AMD ∴∆∆∽，∴EG AE DM AD =， ∴2AE DM AD=，722DM AE AD ⋅∴==．7．（2021•龙岩模拟）将含30︒角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接AE 、BD ，则AE BD = ．【答案】3【详解】EDC ∆与ACB ∆为两个直角三角形，且30DEC BAC ∠=∠=︒，90ACB ECD ∠=∠=︒， ACB DCA ECD DCA ∴∠+∠=∠+∠，DCB ECA ∴∠=∠，在Rt ACB ∆中，tan tan30BC CAB AC∠==︒， 在Rt ECD ∆中，tan tan30DC CED EC ∠==︒， ∴BC DC AC EC=， ∴在ECA ∆与DCB ∆中，DC BC EC AC=， DCB ECA ∠=∠，ECA DCB ∴∆∆∽，∴AE AC BD BC=，在Rt ACB ∆中，tan tan 603AC ABC BC =∠=︒= 8．（2021•南山区一模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BE ，AF 分别是ABC ∠，CAB ∠平分线，BE ，AF 交于点O ，OM AB ⊥，10AB =，8AC =，则OM = ．【答案】2【详解】过O 作OG AC ⊥于G ，OH BC ⊥于H ，连接OC ，AF 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，OG OH OM ∴==，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，221086BC ∴=-=11112222ABC S AC BC AB OM AC OG BC OH ∆∴=⋅=⨯⋅+⋅+⋅， ∴11118610862222OM OG OH ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， 2OM ∴=9．（2021•深圳模拟）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，62AB =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若3BF DG =，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为 ．【答案】4或2【详解】如图，过点B 作BT BF ⊥交ED 的延长线于T ，过点B 作BH DT ⊥于H ．DG BF ⊥，BT BF ⊥，//DG BT ∴，AD DB =，AE EC =，//DE BC ∴，∴四边形DGBT 是平行四边形，BG DT ∴=，DG BT =，45BDH ABC ∠=∠=︒， 32AD DB ==， 3BH DH ∴==， 90TBF BHF ∠=∠=︒，90TBH FBH ∴∠+∠=︒，90FBH F ∠+∠=︒，TBH F ∴∠=∠，1tan tan 3BT DG F TBH BF BF ∴∠=∠===， ∴13TH BH =， 1TH ∴=，134DT TH DH ∴=+=+=，4BG ∴=．当点F 在ED 的延长线上时，同法可得312DT BG ==-=．10．（2021•福田区二模）如图，点M 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，过点M 作DM CM ⊥，交AC 于点D ，若2AD =，5BC =，则CD = ．【答案】29【详解】延长CM，使CM MN=，连接AN，点M是Rt ABC∆斜边AB的中点，AM BM∴=，在AMN∆和BMC∆中，AM BMAMN BMCMN CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AMN BMC SAS∴∆≅∆，5BC AN∴==，NAM B∠=∠，//AN BC∴，90BCA∠=︒，90NAD∴∠=︒，22225229DN AN AD∴=+=+=，DM CM⊥，CM MN=，29CD DN∴==．11．（2021•深圳模拟）如图，在Rt ABC∆中，90BAC∠=︒，D为BC的中点，过点D作DE DF⊥，交BA的延长线于点E，交AC的延长线于点F．若72CF=，4AC=，2AB=．则AE=．【答案】10【详解】延长FD 至G ，使GD FD =，连接BG ，如图所示： D 为BC 的中点，BD CD ∴=，在BDG ∆和CDF ∆中，BD CD BDG CDF GD FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDG CDF SAS ∴∆≅∆，72BG CF ∴==，G F ∠=∠， //BG CF ∴， BGH AFH ∴∆∆∽， ∴77271542GH BH BG FH AH AF ====+， ∴411DH FD =，15152211AH AB ==， 90BAC ∠=︒，152AF AC CF =+=， 221515755()()21122HF ∴=+=， 41051511DH FH ∴==， DE DF ⊥，90EDH BAC ∴∠=︒=∠，90E EHD F EHD ∴∠+∠=∠+∠=︒，E F ∴∠=∠，DHE AHF ∴∆∆∽，∴HE DH HF AH=，即10511157551122HE=，解得：12511HE=，12515101111AE HE AH∴=-=-=；12．（2021•宝安区二模）如图，在等腰Rt ABC∆中，90B∠=︒，BA BC=，D为BC上一点，且3BD=，E为AD上一点，连接CE，45CED∠=︒，2CE AE=，则CE的长为．【答案】1855【详解】过A作AN CE⊥的延长线于N，过C作CM AD⊥交AD延长线于M，2CE AE=，∴设AE a=，则2CE a=，3445∠=∠=︒，AN NE ∴=，45ECM ∠=︒，90B ∠=︒，BA BC =，45ACD ∴∠=︒，12∴∠=∠，AEN ∴∆，CEM ∆都是等腰直角三角形， 2CE a =，AE a =， CM EM a ∴==，22AN NE a ==， 12∠=∠，CDM CAN ∴∆∆∽，∴CM CD CN AC=， 22NE a =，2CE a =， 322NC a ∴=， 222213255222AC AN NC a a a a ∴=+=+==， ∴3252aCD a a =，103CD a ∴=， 1033BC a ∴=+， 在Rt ABC ∆中，45BAC ∠=︒，sin BC BAC AC∴∠=， sin45BC AC ∴=︒⋅，即1023532a a +=⨯， 9105a ∴=， 9101852255CE a ∴==⨯=． 13．（2021•宝安区期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 是BC 边上两点，连接AD ，以AD 为腰作等腰直角ADF ∆，90ADF ∠=︒，作FE BC ⊥于点E ，FE CE =，若2BD =，5CE =，则CDF S ∆=． 【答案】30 【详解】过点A 作AH BC ⊥于H ，90AHD ∴∠=︒，FE BC ⊥，90DEF ∴∠=︒，ADF ∆是等腰直角ADF ∆，AD DF ∴=，90ADF ADH EDF ∠=∠+∠=︒，90ADH DAH ∴∠+∠=︒，EDF DAH ∴∠=∠，在ADH ∆和DFE ∆中，DAH EDF AHD DEF AD FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADH DFE AAS ∴∆≅∆，5CE =，5DH EF ∴==，7BH CH ∴==（三线合一）， ∴12CDF S DC EF ∆=⨯⨯11252=⨯⨯30=．14．（2021•罗湖区期末）如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒，点D 是BC上的一点，AC DC=，AB AE⊥，且AE AB=，连接DE交AC的延长线于点F，32ACCF=，则BDCD=．【答案】43【详解】在DC上截取CG CF=，连接AG，32ACCF=，设3AC x=，2CF x=，AC DC=，3CD x∴=，CG CF=，2CG x∴=，90ACB∠=︒，在Rt ACG∆和Rt DCF∆中，AC CDACD DCFCG CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACG DCF SAS∴∆≅∆，CAG CDF∴∠=∠，90AGB CAG∠=∠+︒，90EFA CDF∠=︒+∠，AGB EFA∴∠=∠，AB AE⊥，90EAB∴∠=︒，90ACD∠=︒，AC CD=，45CAD∴∠=︒，45EAF BAD ∴∠+∠=︒，45ADC ABC BAD ∠=︒=∠+∠，EAF ABC ∴∠=∠，在EAF ∆和ABG ∆中，EAF ABC EFA AGB AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAF ABG AAS ∴∆≅∆，5BG AF x ∴==，32GD x x x =-=，4BD x ∴=， ∴43BDCD =15．（2020•崇州市模拟）如果点P 是ABC ∆内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫ABC ∆的费马点．已经证明：在三个内角均小于120︒的ABC ∆中，当120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒时，P 就是ABC ∆的费马点．若点P 是腰长为2的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD PE PF ++= ．【答案】31+【详解】如图：过点D 作DM EF ⊥于点M ，在BDE ∆内部过E 、F 分别作30MEP MFP ∠=∠=︒，则120EPF FPD EPD ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点， 在等腰Rt DEF ∆中，2DE DF ==，DM EF ⊥，22EF DE ∴==1EM DM ∴==， 故cos30EM PE ︒=， 解得：233PE =，则33PM =， 故313DP =-，同法可得233PF = 则233213133PD PE PF ++=⨯+-=+．16．（2021•深圳模拟）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，45BC =，D 为边AB 上一动点(B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 ．【答案】8【详解】过点C 作CG BA ⊥于点G ，作EH AB ⊥于点H ，作AM BC ⊥于点M ． 5AB AC ==，45BC =，25BM CM ∴==，易证AMB CGB ∆∆∽，∴BM AB GB CB=， 即25545GB = 8GB ∴=，设BD x =，则8DG x =-，易证()EDH DCG AAS ∆≅∆，8EH DG x ∴==-，2111(8)(4)8222BDE S BD EH x x x ∆∴==-=--+， 当4x =时，BDE ∆面积的最大值为8．17．（2021•光明区二模）如图，扇形OPQ 可以绕着正六边形ABCDEF 的中心O 旋转，若120POQ ∠=︒，OP 等于正六边形ABCDEF 边心距的2倍，2AB =，则阴影部分的面积为 ．【答案】423π-【详解】连接OE ，OD ，OC ．设EF 交OP 于T ，CD 交OQ 于J ．120POQ EOC ∠=∠=︒，EOT COJ ∴∠=∠，OE OJ =，60OET OCJ ∠=∠=︒，()EOT COJ ASA ∴∆≅∆，2322234OTEDJ OEDC S S ∴==⨯⨯=五边形四边形， 2120(23)23423360OPQ OTEDJ S S S ππ⋅⋅∴=-=-=-阴扇形五边形 18．（2021•深圳二模）如图Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为．【答案】12 5【详解】90BAC∠=︒，3AB=，4AC=，225BC AC AB∴=+=，四边形APCQ是平行四边形，PO QO∴=，CO AO=，PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP'，ACB P CO∠=∠'，90CP O CAB∠'=∠=︒，CAB∴∆∽△CP O'，∴CO OP BC AB'=，∴253OP' =，65 OP∴'=，∴则PQ的最小值为1225 OP'=，方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，OC AB BC OP'=，求得OP'，而其他部分的步骤共用．19．（2020•九龙坡区校级月考）如图，Rt ABC∆中，AB BC⊥，6AB=，4BC=，点D是ABC∆内一个动点，且满足DAB DBC∠=∠，当线段CD取最小值时，记BCDα∠=，线段AB 上一动点E绕着点D顺时针旋转得到点F，且满足EDFα∠=，则AF的最小值 ．【答案】125 【详解】AB BC ⊥，6AB =、4BC =， 90DBC ABD ∴∠+∠=︒，DAB DBC ∠=∠，设DAB DBC β∠=∠=，90DAB ABD ∴∠+∠=︒，90ADB ∴∠=︒，∴点D 在以AB 为直径的圆上，设圆心为O ，半径为132AB =，则当O 、D 、C 三点共线时CD 最小，3OD OB OA ∴===，225OC OB BC ∴=+=，将DA 绕点D 逆时针旋转α，得到DG ，连接GE ，DG DA ∴=，GDA EDF α∠=∠=，GDE ADF ∴∠=∠，DE DF =，()GDE ADF SAS ∴∆≅∆，GE AF ∴=，∴当GE AB ⊥时，GE 最小，即AF 最小，过点D 作DM AB ⊥于M ，过点G 作GH DM ⊥，交DM 的延长线于点H ，//DM BC ∴，四边形GHME 为矩形．OMD OBC ∴∆∆∽，GE HM =，∴DM OM OD BC OB OC ==， ∴3435DM OM ==， 125DM ∴=，95OM =， 924355AM OM OA ∴=+=+=， DAB DBC β∠=∠=，OA OD =，ODA OAD β∴∠=∠=，2BOC ODA OAD β∴∠=∠+∠=．在Rt OBC ∆中，90OCB BOC ∠=︒-∠，902αβ∴=︒-，90MAD MDA ∠+∠=︒，90GDH βα∴++∠=︒，GDH DAM β∴∠==∠，90DHG AMD ∠=∠=︒，AD DG =，()GDH DAM AAS ∴∆≅∆．245DH AM ∴==， 125HM DH DM ∴=-=，即AF 的最小值为125． 20．（2021•南山区二模）矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 为BC 的中点，沿AE 将AEB ∆翻折得到AFE ∆，sin FCE ∠= ．【答案】45【详解】如图，过E 作EH CF ⊥于H ，由折叠的性质得：BE EF =，BEA FEA ∠=∠，点E 是BC 的中点，3CE BE ∴==，3EF CE ∴==，FEH CEH ∴∠=∠，90AEB CEH ∴∠+∠=︒，在矩形ABCD 中，90B ∠=︒，90BAE BEA ∴∠+∠=︒，BAE CEH ∴∠=∠，B EHC ∠=∠，ABE EHC ∴∆∆∽， ∴AB AE EH CE =， 22435AE =+=，125EH ∴=， 4sin 5EH ECF CE ∴∠==． 21．（2021•龙岗区二模）如图，已知在菱形ABCD ，9BC =，60ABC ∠=︒，点E 在BC 上，且6BE =，将ABE ∆沿AE 折叠得到△AB E '，其中B E '交CD 于点F ，则CF = ．【答案】95【详解】过点A 作AG BC ⊥交BC 于G ，取HG 使HG GE =，过H 作HM AE ⊥于H ，过F 作FN BC ⊥交BC 延长线于N ，四边形ABCD 是菱形，在Rt ABG ∆中，60B ∠=︒， 3sin sin 602AG B AB ∴=︒==， 39322AG AB ∴==， 1cos cos602BG B AB =︒==， 1922BG AB ∴==， 6BE =，922()2(6)32HE GE BE BG ∴==-=⨯-=， 在Rt AGE ∆中，222439633744AE AG GE =+=+==， 1122AHE S HE AG AE HM ∆=⨯⨯=⨯⨯， ∴131337222HM ⨯⨯=⨯⨯， 解得，92114HM =， HG GE =，AG HE ⊥，AHE ∴∆是等腰三角形，AH AE ∴=，AHE HEA ∠=∠，在Rt AHM ∆中，222229211064739763()1419614AM AH HM AE HM =-=-=-==， //AB CD ，60FCN B ∴∠=∠=︒，∴tan 603FN CN=︒=， 折叠，AEB HEA ∴∠'=∠，在Rt AHE ∆中，1801802HAE HEA AHE HEA ∠=︒-∠-∠=︒-∠，又1801802FEN HEA AEB HEA ∠=︒-∠-∠'=︒-∠，设CN x =，3FN x =， tan tan FN HM FEC HAM EN AM ∠=∠==，∴921314339714x x =+， ∴333313x x =+， 910x ∴=， 9931010CN FN ∴==， 22189105CF CN FN ∴=+==． 22．（2021•深圳模拟）如图，矩形ABCD 中，13AE AD =，将ABE ∆沿BE 折叠后得到GBE ∆，延长BG 交CD 于F 点，若3CF FD ==，则BC 的长为 ．【答案】66【详解】延长BF 交AD 的延长线于点H ，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，//AD BC ，90A BCF ∠=∠=︒， H CBF ∴∠=∠，在BCF ∆和HDF ∆中，CBF H BCF DFH CF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCF HDF AAS ∴∆≅∆，将ABE ∆沿BE 折叠后得到GBE ∆，90A BGE ∴∠=∠=︒，AE EG =，90EGH ∴∠=︒， 13AE AD =， ∴设AE EG x ==，则3AD BC DH x ===， 2ED x ∴=，5EH ED DH x ∴=+=， 在Rt EGH ∆中，1sin 55EG x H EH x ∠===， 1sin 5CF CBF BF ∴∠==， ∴315BF =， 15BF ∴=，222215366BC BF CF ∴=-=-=23．（2021•葫芦岛二模）如图，在矩形ABCD 中，15AB =，8AD =，E 为AB 边上一点，将BEC ∆沿CE 翻折，点B 落在点F 处，当AEF ∆为直角三角形时，AE = ．【答案】7或515【详解】①如图，若90AEF ∠=︒，90B BCD AEF ∠=∠=︒=∠，∴四边形BCFE 是矩形，将BEC ∆沿着CE 翻折，∴四边形BCFE 是正方形，8BE BC AD ∴===，1587AE AB BE ∴=-=-=；②如图，若90AFE ∠=︒，将BEC ∆沿着CE 翻折，8CB CF ∴==，90B EFC ∠=∠=︒，BE EF =， 180AFE EFC ∠+∠=︒，∴点A ，点F ，点C 三点共线， 222215817AC AB BC ∴=+=+=，9AF AC CF ∴=-=，222AE AF EF =+，2281(15)AE AE ∴=+-，515AE ∴=， ③若90EAF ∠=︒，158CD CF BC =>==，∴点F 不可能落在直线AD 上，∴不存在90EAF ∠=︒，综上所述：7AE =或515． 24．（2020•青羊区校级期末）如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，P 是边AD 上一点，将ABP ∆沿着直线BP 翻折得到△A BP '．当8AP =时，A D '= ．如图2，连接A C '，当2AP =时，此时△A BC '的面积为 ．【答案】217；60017 【详解】如图1，当8AP =时，由折叠知AB AP =，APB BPA '∠=∠，ABP A BP '∠=∠，90A BA P '∠=∠=︒， ∴四边形ABA P '是正方形，8A P '∴=，2PD =，222282217A D A P PD ''∴=+=+=．如图2，当2AP =时，过点A '作//MN AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ，∴四边形ABNM 为矩形，8AB MN ∴==，AM BN =，90AMN BNM ∠=∠=︒， 设A M x '=，则8A N x '=-，设BN y =，则2PM y =-， 在Rt PMA '∆中，222PM A M PA ''+=，222(2)2y x ∴-+=①，在Rt BNA '∆中，222BN A N A B ''+=，222(8)8y x ∴+-=②，由①②可得，4y x =，把4y x =代入①得，222(42)2x x -+=， 解得，1617x =， 1612081717A N '∴=-=， 1112060010221717A BC S BC A N ''∴=⨯⨯=⨯⨯=． 25．（2021•坪山区二模）如图，在ABC ∆和ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，60C E ∠=∠=︒，点D 在BC 边上，AC 与DE 相交于点F ，3DF CF =，则AD BD= ．【答案】3【详解】连接EC ，如图，90BAC DAE ∠=∠=︒，60ACB AED ∠=∠=︒， AED ACB ∴∆∆∽，∴AE AD AC AB=， 即AE AC AD AB=， 90BAC DAE ∠=∠=︒，BAC CAD DAE CAD ∴∠-∠=∠-∠，EAC DAB ∴∠=∠，EAC DAB ∴∆∆∽，∴AD BD AE EC=，ACE ABD ADE ∠=∠=∠， 在Rt EAD ∆中，60AED ∠=︒，∴3AD AE=，∴3BD EC =， ∴33EC BD=，EFCAFD ∠=∠，ECF ADF ∠=∠， EFC AFD ∴∆∆∽，∴3AD DF EC CF==， ∴3333AD AD EC BD EC BD =⋅=⨯= 26．（2021•深圳模拟）如图所示的网格是正方形网格，则BAC DAE ∠-∠= ︒（点A ，B ，C ，D ，E 是网格线交点）．【答案】45【详解】如图，连接CG 、AG ，由勾股定理得：2222125AC AG ==+=，2221310CG =+=， 222AC AG CG ∴+=，90CAG ∴∠=︒，CAG ∴∆是等腰直角三角形，45ACG ∴∠=︒，//CF AB ，ACF BAC ∴∠=∠，在CFG ∆和ADE ∆中，90CF AD CFG ADE FG DE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()CFG ADE SAS∴∆≅∆，FCG DAE∴∠=∠，45BAC DAE ACF FCG ACG∴∠-∠=∠-∠=∠=︒27．（2021•深圳模拟）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将ADE∆沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若4AD=，则图中阴影部分的面积为．【答案】23 9【详解】连接OG，QG，将ADE∆沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，4AD DF∴==，2BF CF==，矩形ABCD中，90DCF∠=︒，30FDC∴∠=︒，60DFC∴∠=︒，O与CD相切于点G，OG CD∴⊥，BC CD⊥，//OG BC∴，DOG DFC∴∆∆∽，∴DO OG DF FC=，设OG OF x==，则442x x-=，解得：43x =，即O 的半径是43． 连接OQ ，作OH FQ ⊥， 60DFC ∠=︒，OF OQ =， OFQ ∴∆为等边三角形；同理OGQ ∆为等边三角形； 60GOQ FOQ ∴∠=∠=︒，32323OH OQ ==， 3232333QH ∴=⨯=， 23CQ ∴= 四边形OHCG 为矩形，233OH CG ∴==， 232311222339CGQ S S CQ CG ∆∴==⨯⨯=⨯⨯=阴影． 28．（2020•扬州）如图，在ABCD 中，60B ∠=︒，10AB =，8BC =，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED 并延长至点F ，使得14DF DE =，以EC 、EF 为邻边构造EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值为 ．【答案】93【详解】作CH AB ⊥于点H ，在ABCD 中，60B ∠=︒，8BC =，43CH ∴=，四边形ECGF 是平行四边形，//EF CG ∴，EOD GOC ∴∆∆∽，∴EO DO ED GO OC GC==，14DF DE =， ∴45DE EF =， ∴45ED GC =， ∴45EO GO =， ∴当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值，当EO CD ⊥时，EO 取得最小值，CH EO ∴=，43EO ∴=，53GO ∴=，EG ∴的最小值是9329．（2021•锡山区一模）如图，在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，4BC =，点E 为边AB上的一个动点，连接ED 并延长至点F ，使得13DF DE =，以EC 、EF 为邻边构造平行四边形EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值为 ．【答案】1433【详解】作CH AB ⊥于点H ，在ABCD 中，60B ∠=︒，4BC =，23CH ∴=，四边形ECGF 是平行四边形，//EF CG ∴，EOD GOC ∴∆∆∽， ∴EO DO ED GO CO GC ==， 13DF DE =， ∴34DE EF =， ∴34ED GC =， ∴34EO GO =， ∴当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值，当EO CD ⊥时，EO 取得最小值，CH EO ∴=，23EO ∴=，833GO ∴=， EG ∴的最小值是814233333+=30．（2021•龙岗区校级一模）如图，在矩形ABCD 中，5AC =，AE 平分DAC ∠交CD 于E ，CF 平分ACD ∠交AE 于点F ，且:1:2EF AF =，则CF = ．【答案】10【详解】作FG AC ⊥于点G ，作FM CD ⊥于点M ，作FN AD ⊥于点N ， CF 平分ACD ∠交AE 于点F ，且:1:2EF AF =，:1:2CE CA ∴=，5AC =， 52CE ∴=， AE 平分DAC ∠，CF 平分ACD ∠， FG FM FN ∴==， FM CD ⊥，AD CD ⊥，:1:2EF AF =， EMF EDA ∴∆∆∽，∴13MF EF DA EA ==， 设FM x =，则3AD x =，同理可得，ANF AED ∆∆∽，则32DE x =， 5322CD x ∴=+， 90D ∠=︒，3AD x =，5AC =， 22253()(3)522x x ∴++=， 解得11x =，253x =-（舍去）， 1FM ∴=，5311322CM =+⨯-=， 又90CMF ∠=︒，221310CF ∴=+=，故答案为：10．。