上海市高考数学压轴卷试题 理(含解析)
2020-2021学年最新高考总复习数学高考冲刺压轴卷(理卷三)及答案解析
【命题立意】本题考查的是利用导数求函数的单调区间以及恒成立问题，考查了分类讨论思想．
【解析】由 ，得到 ，故选项A正确；
解得：q=-2，则 ，故选项C正确；
则 ，故选项B正确；
而 ，所以数值不能确定的是选项D．故选D
8．B
【命题立意】考查圆锥的性质，最值，中等题.
【解析】由题意，圆锥侧面展开图为如图的扇形，半径为3，圆心角为 ，
在 中，因为 ， ， ，由余弦定理得 .
9．
【命题立意】考查二项式定理，容易题.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
6．C
【命题立意】本题旨在考查双曲线的几何性质．
【解析】可用筛选法．双曲线的右焦点到左顶点的距离为a＋c，右焦点到渐近线 距离为b，所以有：a＋c＝2b，由 得 ，取a＝3，b＝4，则c＝5，满足a＋c＝2b．
故选：C
7．D
【命题立意】此题考查等比数列的性质，运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值．
由 ，则 ， ；
由 ， 不成立；
由 ，解得 或 ，满足条件，
2．B
【命题立意】考查复数的几何意义，复数的运算．容易题．
【解析】 ， 复数 为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 ．
3．B
【命题立意】本题考查了函数的单调性,要求熟练掌握常见函数的单调性．
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)高考压轴试题及答案解析
2018新课标1高考压轴卷理科数学一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的.1．已知随机变量ξ服从正态分布2N(0,)σ，(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤=A ．0.954B ．0.977C ．0.488D ．0.4772．对任意复数),(R y x yi x z ∈+=，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）.A y z z 2=- .B 222y x z += .C x z z 2≥- .D y x z +≤3.已知映射B A f →:,其中R B A ==，对应法则21||:x y x f =→，若对实数B k ∈，在集合A 中不存在元素x 使得k x f →:，则k 的取值范围是（ ） A ．0≤k B ．0>k C ．0≥k D ． 0<k 4.已知函数()()ϕ+=x sin x f 2，其中ϕ为实数，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤6πf x f 对x R ∈恒成立， 且 ()ππf f >⎪⎭⎫⎝⎛2，则()f x 的单调递增区间是 A ． ()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-63ππππ B ．()Z k k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，2πππ C ． ()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++326ππππ D ．()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ25．如图，已知圆22:(3)(3)4M x y -+-=，四边形 ABCD 为圆M 的内接正方形，E F 、分别为边AB AD 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME ⋅的取值范围是 （ ） A ．[62,62]-B ．[6,6]-C ．[32,32]-D ．[4,4]-6.在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为,a b .则方程22221x y a b +=表示焦点在x 32的椭圆的概率为BA .12B .1532C .1732D .31327、一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz 平面为投影面的正视图的面积为（ ） A ．3 B ．25 C ．2 D ．278、阅读程序框图，若输入m =4，n =6，，则输出a ，i 分别是（ ） A ．12,3a i == B ．12,4a i == C ．8,3a i ==D ．8,4a i ==yxEF D B CMOA9、设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为654321,,,,,a a a a a a ， 若对任意的)6,5,4,3,2(=ia i 总有)5,4,3,2,1(=<k i k a k ，满足,1||=-k i a a 则这样的排列共有（ ）A ．36B ．32C ．28D ．2010. 过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中13C C 、有一个共同的焦点，若1MF MN =，则曲线1C 的离心率为 A.5 B.51- C.51+ D.512+ 11、若实数a ，b ，c ，d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（B ） A ．2 B ．９ C ．８ D ．212．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 ,00 ,1)(x x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有5个不同实数解的充要条件是 （ ）A ．2-<b 且0>cB ．2->b 且0<cC ．2-<b 且0=cD ．2-≥b 且0=c 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知nx i x )(2-的展开式中第三项与第五项的系数之比为143-，其中12-=i ，则展开式中常数项是______________. 14.当x ，y 满足时，则t=x ﹣2y 的最小值是15.已知12,l l 是曲线1:C y x=的两条互相平行的切线，则1l 与2l 的距离的最大值为_____. 16．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋μAP ，则λ＋μ的最小值为___.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面， 1AB BC ==，12BB =，13BCC π∠=.（Ⅰ）求证：1C B ABC ⊥平面；（Ⅱ）设1CE CC λ= (01λ≤≤)，且平面1AB E 与1BB E 所成的锐二面角的大小为30︒，试求λ的值.19.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X ≥900 工期延 误天数Y2610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3 ,0.7 ,0.9.求： （Ⅰ）工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．20.如图所示，已知过一点(11)P -，作抛物线2y x =的两条切线，切点分别为A 、B ；过点P 的直线l 与抛物线2y x =和线段AB 分别相交于两点C 、D 和点Q ． （Ⅰ）求直线AB 的方程； （Ⅱ）试问：线段PC 、PQ 、PD 的长度的倒数是否构成等差数列？请加以证明．21.函数xx a x f ln )(+=，若曲线)(x f 在点))(,e f e （处的切线与直线02=+-e y x e 垂直（其中e 为自然对数的底数）.（1）若)(x f 在)1,(+m m 上存在极值，求实数m 的取值范围；（2）求证：当1>x 时，)1)(1(21)(1++>+-xx xe x e e x f . 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图所示,已知圆O 外有一点P ,作圆O 的切线PM ,M 为切点,过PM 的中点N ,作割线NAB ,交圆于A 、2y x = y x P lDB AO C QA 1C 1BAC B 1B 两点,连接PA 并延长,交圆O 于点C ,连接PB 交圆O于点D ,若BC MC =. （1）求证:△APM ∽△ABP ;（2）求证:四边形PMCD 是平行四边形.23. （本小题满分10分）选修4在极坐标系中，已知圆C 的圆心．，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 2t y t x （t 为参数），直线l 交圆C于A B 、两点，求弦长 ２４(本小题满分10分) 选修⑴ 已知,a b 都是正数，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+；⑵ 已知,,a b c 都是正数，求证：222222a b b c c a abc a b c++++≥.新课标1高考压轴卷理科数学答案一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.A2. D3. D4. C5. B6.B7. A8. B9. B 10. Ｄ 11. Ｃ 12Ｃ. 简答与提示：1.【知识点】正态曲线的性质的应用 【答案解析】A()()22122120.0230.954.P P ξξ-≤≤=->=-⨯=2答案：D5.【知识点】圆的方程；向量在几何中的应用；向量的运算.【答案解析】B 解析：解：因为圆M ：（x-3）2+（y-3）2=4，圆心的坐标（3，3）半径为2.()ME OF ME OM MF ME OM ME MF⋅=⋅+=⋅+⋅0ME MF ME MF ⊥∴⋅=()[]6cos 6,6ME OF ME OM OME π∴⋅=⋅=-∠∈-,所以B 正确.6依题意知，a > b ，e ＝<，即b > .如图所示故所求概率为P ＝1－－＝7试题分析：根据平行投影的知识可知:该四面体中以平面为投影面的正视图为一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，所以面积为3.9如果1不在前左边,则2必须在1的左边(1)23456的次序保存不变,变化1的位置(123456)(213456)(231456)(234156)(234516)(234561)(2)3456次序不变,1和2的次序为21(同时3必须在21的左边）(321456)(324156)(324516)(324561)(342156)(342516)(342561)(345216)(345261)(345621)(3)456次序不变(432156)(432516)(432561)(435216)(435261)(435621)(453216)(453261)(453621)(456321)(4)56次序不变(543216)(543261)(543621)(546321)(564321)(5)6在最左(654321)32种可能注：这题本身也有趣.注意到当只有一个数时,可能排列为1,即2的0次,记2^0当有两个数1和2时,排列为12,或21,为两种,2^1当123时,排列为4＝2^2当数字为4个时,排列为8=2^311.【答案解析】B 解析：解：∵实数a、b、c、d满足：（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，∴b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx-x2，且c-d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx-x2求导：y′（x）=3x-2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=3x -2x，解得：x=1或x=-32（舍），把x=1代入y=3lnx-x2，得：y=-1，即切点为（1，-1），切点到直线y=x+2的距离：1122++=22，∴（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8．故选：B．【思路点拨】由题设b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx-x2；c-d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-c）2+（b-d）2的最小值．13的展开式的通项公式为：，因为第三项与第五项的系数之比为，所以解得所以常数项为第9项，所以展开式中的常数项为14．根据题意，首先画可行域，再分析可得t为目标函数纵截距一半的相反数，最后画直线0=x﹣2y，平移直线过A（0，2）时t有最小值即可．解：画可行域如图，z为目标函数t=x﹣2y，可看成是直线t=x﹣2y的纵截距一半的相反数，画直线0=x﹣2y，平移直线过A（0，2）点时，t有最小值﹣4，故答案为：﹣4．15.【知识点】导数几何意义的应用。
2020年高考数学冲刺压轴卷理
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
x 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是
2t 2
(t 为参数)，以 O 为极点，x
y
2t4 2
轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为
－2cosAsinC，则△ABC 的面积是
3
1
33
11
A.
B.
C. 或
D. 或
4
2
42
42
x2
10.设双曲线 C：
a2
y2 b2
1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别是 F1，F2，过 F1 的直线交双曲线
C 的左支于 M，N 两点，若 MF2＝F1F2，且 2MF1＝NF1，则双曲线 C 的离心率是
(2)若数列{an}的公差不为 0，设 bn＝an＋ 3an ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn。
18.(本小题满分 12 分)
如图，在几何体 ABCDEF 中，平面 ADE⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，∠DAB＝60°，EA＝
ED＝AB＝2EF，EF//AB，M 为 BC 中点。
-3-
2
1
2
5
10
A.
B.
C.
D.
2
2
2
2
7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为
A.2 B.3 C.4 D.5
8.从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字中，任取 3 个组成一个无重复数字的三位数，则这样的三
位数中偶数个数与奇数个数的比值为
(新高考Ⅰ卷)高考数学一题多解探寻圆锥曲线压轴破解之策与算法优化(含解析)
2022新高考Ⅰ卷21题解析几何压轴题解法探究2022新高考Ⅰ卷数学试题，据称是近20年来史上第二难高考数学试题(史上最难2003)．本文将对该卷21题解析几何压轴题，从不同的角度进行解析剖析．以期总结方法规律，优化思考方向，破解难点疑点，为广大的2023届高考师生提供有益的参考和帮助．【2022新高考1卷21题】已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．【答案】（1）1-（2）9方法一：直线双参+韦达法【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设直线PQ 的方程为y kx m =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ， 联立2212x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得222(21)4220k x kmx m -+++=2121222422,2121km m x x x x k k +∴+=-=--， 由121211022AP BP y y k k x x --+=+=--可得1221(1)(2)(1)(2)0y x y x --+--= 即1221(1)(2)(1)(2)0kx m x kx m x +--++--=展开整理得12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--= 即2222242(12)()4(1)02121m km k m k m k k +⋅+--⋅---=-- 即2(1)210m k k k +++-=，(1)(21)0k m k ++-=故1k =-或12m k =-当12m k =-时的方程为12y kx k =+-，其恒过定点(2,1)A ，与题意不符故直线PQ 的斜率1k =-.(2)不妨设0AP k >，其倾斜角为θ，由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan 2θ=± 因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为±tan θ= 因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==直线AP的方程为12)y x -=-，直线AP的方程为12)y x -=-，221212)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y得22316)2(120x x ++-+= 方程的两根为点,A P的横坐标，所以1623P x -+=，103P x -=221212)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y得22316)2(120x x -+++= 方程的两根为点,A Q的横坐标，所以2Q x +=，Q x =于是||2|1)P AP x =-=，||2|1)Q AQ x =-=而由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=.【点评】联立方程韦达定理，是解析几何压轴大题最流行的方法套路．本题引入直线PQ 的双参方程y kx m =+，参与计算变形，使得运算过程相对繁复，产生了较大的运算量．要想变形到(1)(21)0k m k ++-=这一步，没有过硬的计算能力是很难达到的．方法二：直线单参+设点求点【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，设直线AP 的倾斜角为θ，不妨设其斜率0k >，则直线AQ 的斜率为k -直线AP 的方程为1(2)y k x -=-，代入2212x y -=整理得点,A P 的横坐标为方程的两根，故2122(21)2221k x k -+=-，22122(21)14422121k k k x k k -+-+∴==--，2112241(2)121k k y k x k -+-=-+=-于是点P 坐标为2222442241(,)2121k k k kP k k -+-+---，用k -代换k 可得2222442241(,)2121k k k kQ k k ++----- 故22222222241241212114424422121PQ k k k k k k k k k k k k k ----+----==-++-+---(2)由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan θ= 因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为2±，故舍去tan 2θ=±因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==在,P Q的坐标中令k =P Q x x ==于是||2|1)P AP x =-=，||2|1)Q AQ x =-=而由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】直线过圆锥曲线上已知一点时，可尝试设点求点的套路求出另一点的坐标．本题引入直线AP 的单参方程1(2)y k x -=-，可直接求出点P 的坐标，用k -代换k 立即可得点Q 的坐标，从而顺利求得PQ 的斜率．本解法思路清晰自然，单参变形所产生的运算量适中，无需特殊方法技巧．方法三：点差法+整体代换【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121211,22AP BP y y k k x x --==--， 代入0AP BP k k +=化简整理得122112122240x y x y x x y y +----+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①点,,P Q A 在双曲线上，故221122222212122112x y x y ⎧-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎪⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎩②③④-②③整理得121212122()y y x x x x y y -+=-+即12122()PQ x x k y y +=+ 同理②-④,③-④可得121222,2(1)2(1)AP AQ x x k k y y ++==++ 代入0AP BP k k +=化简整理得122112122240x y x y x x y y ++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⑤①-⑤得12122()4()0x x y y +++=，所以12122()x x y y +=-+所以1PQ k =-.(2)不妨设0AP k >，其倾斜角为θ，由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan 2θ=± 因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为2±，故舍去tan 2θ=± 因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==由11111222(1)AP y x k x y -+===-+142(13x -=由22221222(1)AQ y x k x y -+===-+解得242(13x -=-故1||2|1)AP x =-=，2||2|1)AQ x =-=而由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】点差法在解决圆锥曲线上两点连线斜率有关问题时往往事半功倍．本题充分利用点差法及两点斜率公式，得到直线,AP AQ 斜率的两种表达形式进行整体变形，轻松求得直线PQ 的斜率．本解法运算简洁，思路清晰自然，求斜率事半功倍．方法四：齐次化【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 双曲线可化为22[(2)2][(1)1]12x y -+--+=即22(2)2(1)4[(2)(1)]0x y x y ---+---=设直线PQ 的方程为(2)(1)1a x b y -+-=联立22(2)2(1)4[(2)(1)]0(2)(1)1x y x y a x b y ⎧---+---=⎨-+-=⎩可得22(2)24[(2)(1)][(2)(1)]0x y x y a x b y --+----+-=即22(41)(2)4()(2)(1)(42)(1)0a x b a x y b y +-+----+-=两边同除2(2)x -整理得211(42)()4()(41)022y y b a b a x x --++--+=-- 其中12y x --表示直线AP 与BP 的斜率,AP AQ k k 由于4()024AP AQ a b k k b-+=-=+ 所以a b =，直线PQ 的斜率为1a k b =-=-. (2)不妨设直线AP 的斜率0AP k >，设其倾斜角为θ由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan 2θ=±因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为±tan θ=因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==直线AP 的方程为12)y x -=-，直线AP 的方程为12)y x -=-，221212)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y得22316)2(120x x ++-+= 方程的两根为点,A P的横坐标，所以1623P x -+=，103P x -=221212)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y得22316)2(120x x -+++= 方程的两根为点,A Q的横坐标，所以1623Q x ++=，103Q x +=于是||2|1)P AP x =-=，||2|1)Q AQ x =-=而由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】齐次化在解决圆锥曲线同构问题上往往有奇效．本题直线,AP AQ 的斜率具有相同的结构，即12y x --的形式，于是可考虑构造关于1y -与2x -的二次齐次方程．直接将直线PQ 的方程设为(2)(1)1a x b y -+-=，进行“１代换”，为齐次化带来了方便．本解法思路奇巧，运算简洁明了．但需要考生平时付出大量训练才能掌握此方法的精髓和技巧！ 方法五：坐标平移+齐次化【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 对坐标系进行平移，使坐标原点与点A 重合，在新坐标系下： 双曲线方程为22(2)(1)12x y ---=即2224()0x y x y -+-= 设直线PQ 的方程为1ax by +=联立2224()01x y x y ax by ⎧-+-=⎨+=⎩可得2224()()0x y x y ax by -+-+=即22(41)4()(42)0a x b a xy b y ++--+=两边同除2x 得2(42)()4()(41)0yy b a b a x x++--+= 其中y x表示直线AP 与BP 的斜率,AP AQ k k 由于平移不改变直线的斜率，故4()024AP AQ a b k k b -+=-=+ 所以a b =，直线PQ 的斜率为1-.(2)不妨设直线AP 的斜率0AP k >，设其倾斜角为θ由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan 2θ=± 因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为±tan θ= 因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==在新坐标系下，直线,AP BP的方程分别为,y y ==联立2224()0x y x y y ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩解得4(13P x =，于是|||1)P AP x ==联立2224()0x y x y y ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩解得4(13Q x =-，于是|||1)Q AQ x ==而由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】坐标平移后，在新坐标系下的齐次化过程更加直观自然．运算也变得简单明了了．方法六：参数方程法【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设直线AP ：112cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩，其中θ为AP 的倾斜角 则直线AQ ：222cos()1sin()x t y t πθπθ=+-⎧⎨=+-⎩，即222cos 1sin x t y t θθ=-⎧⎨=+⎩代入双曲线方程得 解得1222224cos 4sin 4cos 4sin ,cos 2sin cos 2sin t t θθθθθθθθ-++==-- 直线PQ 的斜率12121212sin 1cos y y t t k x x t t θθ--==⋅=--+ (2)不妨设直线AP 的斜率0AP k >，其倾斜角为θ由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan 2θ=± 因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为2±，故舍去tan 2θ=± 因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=可得sin θθ==于是12t t ==而由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠=所以121||||sin 29PAQ S t t PAQ ∆=∠=. 【点评】直线参数方程的介入，使问题转化为对两参数12,t t 的讨论，思路自然，运算量适中．新教材《选择性必修第一册》68P 探究与发现栏目，对直线的参数方程进行了简单的介绍．所以新高考使用直线参数方程解题是被允许的．此方法同样需要考生付出大量训练才能掌握精髓和技巧！方法七：点差法+分式合分比定理【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121211,22AP BP y y k k x x --==--， 点,,P Q A 在双曲线上，故221122222212122112x y x y ⎧-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎪⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎩②③④-②③整理得121212122()y y x x x x y y -+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+⑤ 同理②-④,③-④可得121222,2(1)2(1)AP AQ x x k k y y ++==++ 由0AP BP k k +=可得121212*********(1)2(1)AP y y x x k x x y y --++==-==---++ 由分式合分比定理可得12121212121212121442(2)2()AP y y y y x x x x k x x x x y y y y -+--++====+--++- 变形得1212121242(2)y y x x x x y y -+-=-++ 结合⑤得121212121212121212124(4)()12(2)2()2(2)2()y y x x x x x x x x x x y y y y y y y y -+-++--+====--+++++-+ 即1PQ k =-.(2)不妨设0AP k >，其倾斜角为θ，由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或而tan PAQ ∠=tan 2θ=±即22tan 1tan θθ=±-tan θ=或tan θ=因为双曲线2212x y -=渐近线斜率为2±，故舍去tan 2θ=± 因为tan 0θ>，故舍去tan θ=tan θ=故AP AQ k k ==由11111222(1)AP y x k x y -+===-+142(13x -=由22221222(1)AQ y x k x y -+===-+解得242(13x -=-故1||2|1)AP x =-=，2||2|1)AQ x =-=而由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=所以1||||sin 29PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】点差法在解决圆锥曲线上两点连线斜率有关问题时往往事半功倍．本题充分利用点差法及两点斜率公式，得到直线,AP AQ 斜率的两种表达形式，结合分式合分比定理进行整体变形，求得直线PQ 的斜率．本解法运算简洁，思路清晰自然，求斜率事半功倍．但要求考生对分式合分比定理有较深刻的认识并能较熟练的应用．【总结】解决解析几何压轴题的方法策略主要有三种：1、根与系数的关系法（主流方法）．设出动直线的方程：①y kx m =+，②x my n =+，③00()y y k x x -=-， ④{00cos sin x x t y y t αα=+=+（t 为参数），与圆锥曲线方程联立消元得到关于(x y t ）或参数的一元二次方程，得两根之和两根之积，同时兼顾0,0∆>∆=或的要求，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解．2、多变量多参数联动变换法．此种方法有别于方法1，不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线（直线）方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体变形整体代换而求解．如弦中点问题常用点差法处理．同构问题齐次化处理．此种方法对多变量多参数的代数式的驾驭能力及变换技巧是一种考验．3、设点求点法．方法1、2均采用了设而不求的策略．当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求出点的坐标进行求解，即设点求点法．如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐标可直接求出；再如动直线y kx =与椭圆22221x y a b+=的交点易求出． 以上七种解决方案中，本人最青睐的是方法三点差整体变形法，轻巧灵动四两拔千斤！其次是方法二设点求点法，思路清晰自然运算简单明了！。
压轴题07 统计与概率压轴题压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-理)
压轴题07统计与概率压轴题题型/考向一：计数原理与概率题型/考向二：随机变量及其分布列题型/考向三：统计与成对数据的统计分析一、计数原理与概率热点一排列与组合解决排列、组合问题的一般步骤(1)认真审题弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．热点二二项式定理1．求(a＋b)n的展开式中的特定项一般要应用通项公式T k＋1＝C k n a n－k b k(k＝0，1，2，…，n)．2．求两个因式积的特定项，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．3．求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法．4．求解系数和问题应用赋值法．热点三概率1．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 中包含的样本点数试验的样本点总数.2．条件概率公式设A ，B 为随机事件，且P (A )＞0，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.3．全概率公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )＞0，i ＝1，2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑ni ＝1P (A i )P (B |A i )．○热○点○题○型一计数原理与概率一、单选题1．现将甲乙丙丁四个人全部安排到A 市､B 市､C 市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到A 市工作的安排种数为（）A ．12B ．14C ．18D ．222．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（）A ．14B ．27C ．13D ．253．在()62x x y -+的展开式中，项7x y 的系数为（）A ．60B ．30C ．20D ．60-4．在)7311⎛⋅ ⎝的展开式中，含1x 的项的系数为（）A ．21B ．35C ．48D ．565．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．596．一袋中有大小相同的3个白球和4个红球，现从中任意取出3个球，记事件:A “3个球中至少有一个白球”，事件:B “3个球中至少有一个红球”，事件:C “3个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（）A ．事件A 与事件B 不为互斥事件B ．事件A 与事件C 不是相互独立事件C ．()3031P C A =D ．()()P AC P AB >7．某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为（）A ．14B ．15C ．16D ．188．第十四届“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”分别于2023年3月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量．某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动．某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，则党员甲被选中的概率为（）A ．12B ．1115C ．713D ．27二、多选题9．在9x⎛+ ⎝的展开式中，下列结论正确的是（）A ．第6项和第7项的二项式系数相等B ．奇数项的二项式系数和为256C ．常数项为84D ．有理项有2项10．已知()()()()()923901239252222x a a x a x a x a x -=+-+-+-++- ，则下列结论成立的是（）A ．20911a a a a ++++=LB ．3672a =C ．9012393a a a a a -+-+-= D ．123912398=++++ a a a a 11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A ．()25P B =B ．()1511P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A 、2A 、3A 两两互斥12．爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D 投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为34，则（）A ．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥B ．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为916C ．表演成功的环节个数的期望为3D ．在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为34二、随机变量及其分布列热点一分布列的性质及应用离散型随机变量X 的分布列为X x 1x 2…x i …x n Pp 1p 2…p i…p n则(1)p i ≥0，i ＝1，2，…，n .(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.(3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n .(4)D (X )＝∑ni ＝1[x i －E (X )]2p i .(5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X ).热点二随机变量的分布列1.二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n .E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ).2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }，E (X )＝n ·M N .热点三正态分布解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x ＝μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.○热○点○题○型二随机变量及其分布列一、单选题1．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布()2120,N σ，已(140)0.2P X >=，则[100,140]X ∈的学生人数为（）A ．5B ．10C ．20D ．302．在某个独立重复实验中，事件A ，B 相互独立，且在一次实验中，事件A 发生的概率为p ，事件B 发生的概率为1p -，其中()0,1p ∈．若进行n 次实验，记事件A 发生的次数为X ，事件B 发生的次数为Y ，事件AB 发生的次数为Z ，则下列说法正确的是（）A ．()()()1pE X p E Y =-B ．()()()1p D X pD Y -=C ．()()E Z D Y =D ．()()()2D Z D X D Y=⋅⎡⎤⎣⎦3．新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A 型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km ）情况，随机调查得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量2(13,)N ξσ ，若()12140.7P ξ<<=，则样本中耗电量不小于14kW h /100km ⋅的汽车大约有（）A ．180辆B ．360辆C ．600辆D ．840辆4．设()()221122~,~X N Y N μσμσ，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A ．对任意实数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥B ．对任意实数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤C ．()()21P Y P Y μμ≥≥≥D ．()()21P X P X σσ≤≤≤5．下列命题错误．．的是（）A ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B ．设()21N ξσ~，，且(0)0.2P ξ<=，则(12)0.2P ξ<<=C ．线性回归直线ˆˆˆybx a =+一定经过样本点的中心()，x y D ．随机变量()B n p ξ~，，若()()3020E D ξξ==，，则90n =6．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X 近似服从正态分布()272,8N ，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（）参考数据：()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．A ．455B ．2718C ．6346D ．95457．某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布()()24,0N σσ>，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（）A ．0.9B ．0.7C ．0.3D ．0.18．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．假设面包师的说法是真实的，记随机购买一个面包的质量为X ，若()2~,X N μσ，则买一个面包的质量大于900g 的概率为（）（附：①随机变量η服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827μσημσ-≤≤+=，(22)0.9545P μσημσ-≤≤+=，(33)0.9973P μσημσ-≤≤+=；）A ．0.84135B ．0.97225C ．0.97725D ．0.99865二、多选题9．已知随机变量X 服从二项分布29,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，随机变量21Y X =+，则下列说法正确的是（）A ．随机变量X 的数学期望()6E X =B ．512(2)93P X ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭C ．随机变量X 的方差()2D X =D ．随机变量Y 的方差()4D Y =10．随机变量()2,X N μσ 且()20.5P X ≤=，随机变量()3,Y B p ，若()()E Y E X =，则（）A ．2μ=B ．()22D x σ=C ．23p =D ．()36D Y =11．李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，则（）A ．P (X ＞32)＞P (Y ＞32)B ．P (X ≤36)＝P (Y ≤36)C ．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D ．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车12．假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为x g ，随机变量x 服从正态密度函数()2200(1000)x x ϕ--=，其中x ∈R ，则（）附：随机变量2(,)N ξμσ-，则()0.683P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=．A ．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g 的概率为0.15%B ．生产线乙的食盐质量()2~1000,100x N C ．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重D ．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g ，于是判断出该生产线出现异常是合理的三、解答题13．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选到．(1)求恰有1名甲班的候选人被选中的概率；(2)用X 表示选中的候选人中来自甲班的人数，求()3P X ≥；(3)求（2）中X 的分布列及数学期望．14．网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A 组和B 组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响·(1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；(2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X ，估计X 的数学期望()E X ；(3)从A 组和B 组中分别随机抽取2户家庭，记1ξ为A 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，2ξ为B 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差()1D ξ与()2D ξ的大小．（结论不要求证明）15．2022世界机器人大会在北京召开，来自各个领域的参展机器人给参观者带来了不同的高科技体验．现有A ，B 两种型号的小型家庭生活废品处理机器人，其工作程序依次分为三个步骤：分捡，归类，处理，每个步骤完成后进入下一步骤．若分捡步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为20分，若归类步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为30分，若处理步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为50分．若各步骤完成但效能没有达到95%，则该步骤得分为0分，在第三个步骤完成后，机器人停止工作．现已知A 款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率依次为45，35，13，B 款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率均为12，每款机器人完成每个步骤且效能是否达到95%及以上都相互独立．(1)求B 款机器人只有一个步骤的效能达到95%及以上的概率；(2)若准备在A ，B 两种型号的小型家庭生活废品处理机器人中选择一款机器人，从最后总得分的期望角度来分析，你会选择哪一种型号？三、统计与成对数据的统计分析热点一用样本估计总体1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数.(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数.(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.热点二回归分析求经验回归方程的步骤(1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略).(2)计算出x －，y －，∑n i ＝1x 2i ，∑n i ＝1x i y i 的值.(3)计算a ^，b ^.(4)写出经验回归方程.热点三独立性检验独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列2×2列联表；(2)根据公式χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），计算χ2的值；(3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断.χ2越大，对应假设事件H 0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H 0不成立的概率越大.○热○点○题○型三统计与成对数据的统计分析一、单选题1．已知一组数据1231,31,,31n x x x --- 的方差为1，则数据12,,,n x x x 的方差为（）A ．3B ．1C ．13D ．192．某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是（）A ．90B ．96C ．102D ．1203．某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A ．频率分布直方图中a 的值为0.004B ．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C ．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D ．估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为1504．如图，一组数据123910,,,,,x x x x x ⋅⋅⋅，的平均数为5，方差为21s ，去除9x ，10x 这两个数据后，平均数为x ，方差为22s ，则（）A ．5x >，2212s s >B ．5x <，2212s s <C ．5x =，2212s s <D ．5x =，2212s s >5．某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业，根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确是（）A ．若2a =，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差B ．若4a =，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数C ．若5a =，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差D ．若6a =，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数6．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（）A ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为12,x x 和2212,s s ，且已知12x x =，则总体方差()2221212s s s =+B ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1C ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()151P X P X -+= ，则2μ=D ．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n ，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则67m n +=7．若数据1x ，2x ，…，10x 的平均数为2，方差为3，则下列说法错误的是（）A ．数据141x +，241x +，…，1041x +的平均数为9B ．10120i i x ==∑C ．数据13x ，23x ，…，103x 的方差为D ．102170i i x ==∑8．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d vβ=D ．1d =，22d v β=二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．数据5，7，8，11，10，15，20的中位数为11B ．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为18.5C ．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数能构成直角三角形三边长的概率为0.1D ．设随机事件A 和B ，已知0.8)PA =（，0.6|PB A =（），(|)0.1P B A =，则()0.5P B =10．为了加强学生对党的二十大精神的学习，某大学开展了形式灵活的学习活动．随后组织该校大一学生参加二十大知识测试（满分：100分），随机抽取200名学生的测试成绩，这200名学生的成绩都在区间[]60,100内，将其分成5组：[)60,68，[)68,76，[)76,84，[)84,92，[]92,100，得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，视频率为概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则（）A．该校学生测试成绩不低于76分的学生比例估计为76%B．该校学生测试成绩的中位数估计值为80C．该校学生测试成绩的平均数大于学生测试成绩的众数D．从该校学生中随机抽取2人，则这2人的成绩不低于84分的概率估计值为0.1611．随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从2022年到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则（）A．估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的80%B．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的26.25%C．估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半D．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多12．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（）A．营业收入增速的中位数为9.1%B．营业收入增速极差为13.6%C．利润总额增速越来越小D．利润总额增速的平均数大于6%三、解答题13．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及0.05a =的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p ；（ii ）以（i ）中确定的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n 个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X ．试验后统计数据显示，当X =99时，P （X ）取最大值，求参加人体接种试验的人数n ．参考公式：22()()()()()n ad bc x a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）20()P x k ≥0.500.400.250.150.1000.0500.0250k 0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.02414．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号i12345678910平均值根部横截面积ix 0.040.060.040.080.080.05a bc 0.070.06材积量iy 0.250.410.220.540.530.340.350.390.430.440.39其中a ，b ，c 为等差数列，并计算得：610.146i i i x y ==∑0.044≈，0.303≈．(1)求b 的值；(2)若选取前6个样本号对应数据，判断这种树木的根部横截面积与材积量是否具有很强的线性相关性，并求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程（若0.250.75r ≤≤，则认为两个变量的线性相关性一般；若0.75r>，则认为两个变量的线性相关性很强）；附：相关系数niix ynx yr -=∑回归直线y bx a =+$$$中，1221niii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑ ，a y bx =-$$．(3)根据回归直线方程估计a ，c 的值（精确到0.01）．。
KS5U2022新课标Ⅰ高考压轴卷 数学(理)
KS5U2022新课标Ⅰ高考压轴卷 理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
留意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否全都。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必需用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1已知集合M ＝{1，2，3，4}，则集合P ＝{x|x ∈M ，且2x ∉M}的子集的个数为( ) A ．8 B ．4 C ．3 D ．2 2. 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z ⋅=A. 13iB. 13i -C. 1312i +D. 1213i +3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法( ) A.10 B.16 C.20 D.244.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ） A.2-B.3-C.2D.35.过椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．6.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为( ) A ．1.2 B ．1.6 C ．1.8 D ．2.47. 按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =( )C. 49D. 518.函数sin(2)3y x π=-与2cos(2)3y x π=+的图象关于直线x a =对称，则a 可能是( ) A. 24πB. 12πC. 8πD. 1124π9已知函数())220162016log 120162x x f x x x -=++-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ）A 、1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B 、1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C 、()0,+∞D 、(),0-∞10 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0，x ＋y≥0，x≤2，若目标函数z ＝－mx ＋y 的最大值为－2m ＋10，最小值为－2m －2，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2，1]B ．[－1，3]C ．[－1，2]D ．[2，3]11. .过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆221:(4)4C x y ++=和圆2:C22(4)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ,则22||||PM PN -的最小值为( )把a 的右数第i 位数字赋给t是 否开头 输入6?i >1i i =+输出b结束 0b =1i =12i b b t -=+⋅A. 10B. 13C. 16D. 1912. 已知函数()=-x af x x e 存在单调递减区间，且()=y f x 的图象在0=x 处的切线l 与曲线xy e =相切，符合状况的切线l ( )（A ）有3条 （B ）有2条 （C ） 有1条 （D ）不存在第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22题—24题为选考题，考生依据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)13.已知sin 0a xdx π=⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的开放式中3x -的系数为 ． 14. F 1，F 2分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且11()2OB OA OF =+， 21()2OC OA OF =+则||||OB OC +＝ .15过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度____________.16.设数列{a n }是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b ∈[0，1），f n （x ）=b 总有两个不同的根，则{a n }的通项公式为 _________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2023年全国统一高考数学试卷(上海卷)(含答案与解析)
2023年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷考生注意：1.本试卷共5页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分，3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分）1.不等式21x 的解集为.2.若 2,3a r ， 1,2b r ，则a br r .3.已知n S 为等比数列 n a 的前n 项和，且13a ，2q ，则6S .4.已知tan 3 ，则tan 2.5.若函数 2,01,0x x f x x ，则 f x 的值域为.6.已知复数1z i （其中i 为虚数单位），则1iz .7.已知圆2240x y y m 的面积为 ，则m.8.在ABC △中，角A 、B 、C 所对的三边长分别为a 、b 、c ，若4a ，5b ，6c ，则sin A.9.国内生产总值（GDP ）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP 稳步增长，第一季度和第四季度的GDP 分别为231亿元和242亿元，且四个季度GDP 的中位数与平均数相等，则该市2020年GDP 总额为亿元.10.已知1001002100012100120232023x x a a x a x a x ，其中012100,,,,a a a a R L ，若0,100k 且k N ，则当0k a 时，k 的最大值为.11.某公园欲修建一段斜坡，假设斜坡底端在水平地面上且坡面笔直，斜坡顶端距水平地面的高度为4米，斜坡与水平地面的夹角为 .已知游客从坡底沿着斜坡每向上走1米，消耗的体力为1.025cos （），若要使游客从斜坡底端走到斜坡顶端所消耗的体力最少，则.12.已知空间中存在三点A 、B 、C ，且1AB AC BC .若从空间中再任取不同的两点（不计顺序），使得这两点与A 、B 、C 三点恰好能构成一个正四棱锥，则不同的取法共有种.二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知集合 1,2P ， 2,3Q ，若M x x P x Q 且，则M （）A. 1；B. 2；C. 1,2；D. 1,2,3.14.如图，是某校随机抽取50名学生的身高与体重的散点图，则下列说法正确的是（）A.身高越高，体重越重；B.身高越高，体重越轻；C.身高与体重成正相关；D.身高与体重成负相关.15.设0a ，函数sin y x 在 ,2a a 上的最小值a S ，在 2,3a a 上的最小值为a t ，当a 变化时，则下列选项不可能的是（）A.0,0a a S t B.0,0a a S t C.0,0a a S t D.0,0a a S t 16.在平面上，若曲线 具有如下性质：存在点M ，使得对于任意点P ，都有Q 使得1PM QM ，则称这条曲线为“自相关曲线”，关于以下两个结论，正确的判断是（）①所有椭圆都为“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”A.①成立，②成立； B.①成立，②不成立；C.①不成立，②成立；D.①不成立，②不成立.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D 中，AB CD ∥,AB AD ,2AB ,3AD ,4DC .（1）求证：111A B DCC D 直线∥；（2）若直四棱柱1111ABCD A B C D 的体积为36，求二面角1A BD A 的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 231x a x cf x x a，其中,a c R .（1）当0a 时，求 f x 的定义域，并判断是否存在实数c ，使得f x （）是奇函数；（2）若函数 f x 的图象过点 1,3，且与x 轴的负半轴有两个焦点，求实数c 的值和实数a 的取值范围.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）第二十届上海国际汽车工业展览会于2023年4月18日在上海国家会展中心举行.某汽车企业准备了25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A 为小明取到的模型为红色外观，事件B 为小明取到的模型有米色内饰.求P B （）与P B A （），并据此判断事件A 和事件B 是否独立；（2）为了回馈客户，该汽车企业举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型.根据活动规则，现作出如下假设：该公司举行了一个抽奖活动，并规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这25个汽车模型中抽取两个，现有如下假设：假设1：抽取所得的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰均为异色、只有外观或只有内饰同色；假设2：根据三种结果的可能性大小，概率越小的结果可获得的奖项越高；假设3：奖金额为一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元.请你帮该汽车企业分析假设1中的三种结果分别对应什么奖项.设奖金额为X 元，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望.20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知抛物线24y x ：，A 为第一象限内曲线 上的点，设A 的纵坐标是a .（1）若点A 到抛物线 的准线距离为3，求a 的值；（2）若4a ，点B 在x 轴上，且AB 的中点在抛物线 上，求点B 的坐标和坐标原点O 到直线AB 的距离；（3）已知直线:3l x ，P 是第一象限内曲线 上异于点A 的点，直线PA 交l 于点Q ，且P 在直线上的投影为点 H .若对于任意点P ，4HQ 恒成立，求a 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数 ln f x x ，过点11,a f a 作曲线 y f x 的切线交y 轴于点 20,a ，再过点22,a f a 作曲线 y f x 的切线交y 轴于 30,a ，若30a则停止.以此类推，得到数列 n a .（1）若正整数2m ，证明：1ln 1m m a a ；（2）若正整数2m ，试比较m a 与12m a 大小；（3）若正整数3k ,是否存在k 使得12,,,k a a a L 依次成等差数列？若存在，求出k 的所有取值；若不存在，请说明理由.【参考答案】1.【答案】|13x x 【解析】绝对值不等式的解法由21x 得121x ,即13x ,故不等式21x 的解集是13xx .2.【答案】4【解析】平面向量数量积的坐标运算21324a b .3.【答案】189【解析】等比数列的前n 项和66631232118912S.4.【答案】34【解析】22tan 3tan21tan 4.5.【答案】1, 【解析】当0x 时, 2xf x 单调递增, 1f x ；当0x 时, 1f x .故 f x 的值域为 1, .6.【解析】∵1z i ，∴ 111112i z i i i i ，∴12i z i 7.【答案】-3【解析】由2240x y y m 得22(2)4x y m ,故半径r ∴ 4m ,解得3m .8.【答案】74【解析】由余弦定理得222222564453cos 22562564b c a A bc ，∴sin 4A.9.【答案】946【解析】依题意,将2020年四个季度的GDP 数据分别记为1234,,,a a a a ,则1232a ,4241a ，四个季度GDP 数据的中位数为 2312a a ,平均数为 123414a a a a ,则2312341124a a a a a a ,∴2314473a a a a ，故该市2020年的GDP 总额为 1234142946a a a a a a （亿元）.10.【答案】49【解析】k x 的系数为1001002100100100C 2023C 2023(1)C 202312023(1),0,1,2,,100k k k k k k k k kk a k ,要使0k a ,则k 必为奇数,且100220231k ,∴10020k 即50k ，∴k 的最大值为49.11.【答案】9arctan40（或40arccos 41或9arcsin 41）【解析】解法一：易求斜坡的长度为40sin 2,则从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能41.025cos sin T,即sin 4cos 4.1T4.1 ,其中锐角 满足4tan T,（提示:辅助角公式）4.1,得0.9T ,当且仅当2时取等号,此时,40tan 9，9tan 40 ，9arctan 40 .解法二：仿上得 4.14cos sin T,设tan 2t ,则2sin2sin 1cos 22sin cos 2sin cos 222,结合22sin cos 1 ,可得22sin 1t t ,221cos 1i t,则222411414.14cos 0.18.10.18.10.9sin 2222t t t t T t t t,当且仅当20.18.1t ,即19t时取等号,此时229tan 140t t ，9arctan 40.解法三：仿上得 4.14cos sin T ,则 2224sin 4.14cos cos 441cos sin sin T,令0T ,得40cos 41 ,40arccos 41,当40cos 41 ,即400,arccos 41时,'0T ,当40cos 41,即40arccos ,412时,0T ,故当T 最小时,40arccos41.12.【答案】9【解析】由题意得ABC 为正三角形,根据正四棱雉的定义知,正四棱锥的底面是正方形,顶点在底面的射影是正方形的中心,故所给正ABC 的任意一条边可以为底面正方形的一条边或对角线,将ABC 的一条边作为底面正方形的一条边,若将BC 作为底面正方形的一条边,可在ABC 的左侧取不同的两点,E F ,使得这两点与,,A B C 构成正四棱雉A BCEF ,在ABC 的右侧取不同的两点,E F ,使得这两点与,,A B C 构成正四棱雉A BCE F ,如图1,同样,,AB AC 也可作为底面正方形的一条边,所以方案数为326 ；将ABC 的一条边作为底面正方形的对角线时,若将BC 作为底而正方形的对角线,可构造一个正四棱锥,如图2,同样,AB AC 也可作为底面正方形的对角线,所以方案数为3.故不同的取法有639 （种）.13.【答案】A【解析】由{}M xx P x Q ∣且知, 1M .故选A .14.【答案】C【解析】由题图可知,各数据分布呈线性,且从左向右看,呈现上升趋势,故身高与体重成正相关.故选C.15.【答案】D【解析】取8a ,则sin y x 在区间,84 上的最小值sin 08s ,在区间3,48上的最小值sin04t,选项A 可能成立；取38a ,则sin y x 在区间3384，上的最小值3sin04s ,在区间39,48上的最小值9sinsin 088t,选项C 可能成立；取98a,则sin y x 在区间9984，上的最小值10s ,在区间927,48上的最小值273sinsin 088,选项B 可能成立.故选D.16.【答案】B【解析】对于命题①,设椭圆2222:1(0)x y C a b a b的长轴为AB ,在AB 的延长线上能找到一点M ,使1MA MB .（注:设MB t ,则2MA t a ， 21t t a ，2210t at （*）,2Δ440a 恒成立,且易知方程（*）的两根异号,t 一定存在,即M 存在）不妨设 00,0M x x a ,则0maxPMa x ,0minPMx a即 00,PM x a x a ,易知QM 也在此范围内,不妨让PM 取最大值,QM 取最小值,假设1PM QM 成立,则 001x a x a ,得0x故存在M使假设成立,当0x PM 由0x a 逐渐减小为0x a ,则一定有 00,QM x a x a ,使得1PM QM ,故存在点M ,使得对于任意的点P C ,都有Q C 使得1PM QM ,∴椭圆C 是“自相关曲线”.由椭圆的性质知所有椭圆都是“自相关曲线”,故①为真命题.对于命题②,由题意,点P 的位置不固定且双曲线不封闭,PM 可取无穷大.如果M 在双曲线上,则会存在P 和M 重合的情况,不符合题意,故M 不在双曲线上.假设存在点M ,使得对于任意的ΓP ,都有ΓQ 使得1PM QM ,若PM 取无穷大,则0QM ,∵ΓQ ，ΓM ，∴QM 不会趋近于0,故假设不成立,不存在是“自相关曲线”的双曲线,故②为假命题.故选B.17.【答案】解:（1）解法一∵//AB DC ，11AB DCC D 平面平面，11CD DCC D 平面,∴11//AB DCC D 平面.∵11//AA DD ，111AA DCC D 平面，111DD DCC D 平面,∴111//AA DCC D 平面.又1AB AA A ，∴1111//ABB A DCC D 平面平面.又111A B ABB A 平面，∴111//A B DCC D 平面.解法二：如图a ,取CD 的中点E ,连接BE ,1D E ，则2DE ，∵//AB DC ,2AB ，AB DE P ,四边形ABED 为平行四边形,∴BE AD P.又11AD A D P,∴11BE A D P, 四边形11A D EB 为平行四边形,∴11//A B D E ,又111D E DCC D 平面，111A B DCC D 平面,∴111//A B DCC D 平面.（2）由题, 124392ABCD S梯形,又直四棱柱1111ABCD A B C D 的体积为36,∴1936AA ，∴14AA .（8分）解法一：如图b,过A 作AH BD 于H ,连接1A H .∵1AA ABCD 平面，BD ABCD 平面,∴1AA BD .AH BD ,1AA AH A ，1BD AA H 平面,∴1A H BD .1A HA 为二面角1A BD A 的平面角.在Rt ABD V 中,AB AD 2AB ，3AD ,可得613AH ，在1Rt A AH V 中,114213tan 6313AA A IIA AH ,∴1213arctan 3A HA ，即二面角1A BD A 的大小为213arctan3.（14分）解法二：由题,以D 为坐标原点,分别以1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u r 的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图c 所示的空间直角坐标系,则 0,0,0D ， 3,2,0B ，13,0,4A ∴ 3,2,0DB u u u r ， 13,0,4DA u u u r .（9分）显然平面ABD 的一个法向量为 0,0,1n .(10分）设平面1A BD 的法向量为 ,,m x y z ,则320340x y x z ,不妨取 4,6,3 m .设 为n与m的夹角, 为二面角1A BD A的平面角,由题意知 为锐角,则cos cos61,因此arccos61,二面角1A BD A的大小为arccos61.18.解：（1）当0a 时,2x x cf xx,（2分）∴ 12f c, 1f c显然11f f,（4分）当0a 时,f x不可能为奇函数,当0a 时,不存在c,使得f x为奇函数.（6分）（2）由题意得131131a cfa,∴3233a c a,1c,（8分）∴2311x a xf xx a.f xQ的图象与x䌷负半轴有两个不同交点,关于x的方程23110x a x有两个不同负实数根12,x x,且1x a,2x a，（10分）∴122122310311010Δ(31)40x x aa a ax xa,（易错警示:转化时应特别注意前后条件的等价性）（12分）得13a 且12a ,实数a的取值范围为111,,322.（14分）19.解:（1）由题意得,231255P B,（2分）822255P A , 225P AB ，则 2125255P AB P B A P A ∣.∵ P AB P A P B ，∴事件A 和事件B 独立.（2）记外观与内饰均同色为事件1A ,外观与内饰都异色为事件2A ,仅外观或仅内饰同色为事件3A ,则 22228122312259849300150C C C C P A C , 1111832122225C C C C 484C 30025P A ,（8分） 1111111182123812233225C C C C C C C C 15477C 300150P A ,(9分）∵ 213P A P A P A ,一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色,二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色,三等奖为两个汽车模型仅外观或内饰同色.（10分）X的分布列如表:7749415030060027115015025E X （14分）20.解:（1）由题意,Γ的准线方程为1x ,2,4a A a，则2134a ,得28a .（3分）又0a，∴a （2）由题意知, 4,4A ,设 ,0B b ,则AB 中点的坐标为4,22b,代入24y x ,得 424b ∴2b ,点B 的坐标为 2,0 .（6分）则直线AB 的斜率为 402423, 直线AB 的方程为 223y x ,即2340x y . 坐标原点O 到直线AB13 .（10分）（3）由题意知,2,4a A a,设 2000,04y P y y ,则 03,H y ,直线AP 的斜率02200444AP a y k y a a y 直线AP 的方程为2044a y x a a y,∴204343,a Q a a y（12分）∴222000000001212124a a ay ay y HQ y y a y a y a y 恒成立, 22200000121322444y y a y y y 即 200120,,4a y y a a 恒成立.当2a 吋,由0y a 得02y ,则 201224a y恒成立；当20a ,即2a 时, 201224a y 恒成立.综上,a 的取值范围是 ,2 .（16分）21.解:（1）由题得, 1f x x,当正整数2m 时,曲线 y f x 在点 11,m m a f a 处的切线方程为1111m m m yf a x a a ,即 1111ln m m m y a x a a .又此切线交y 轴于点 0,m a ,∴1ln 1,m m a a ∴1ln 1m m a a .（2）当正整数2m 时, 111112ln 12ln 1m m m m m m a a a a a a .ln 1,g x x x 令则 111xg x x x ,当01x 时, 0g x ， g x 单调递增,当1x 时, 0g x ， g x 单调递减,∴ 10g x g ，则11ln 10m n a a ,即 120m m a a ,∴12m m a a .（3）假设存在正整数3k ,使得12,,,k a a a 依次成等差数列,设其公差为d ,则111ln 12t s t t d a a a a t k 令 ln 1h x x x ,则 11h x x ,当01x 时, 0h x ， h x 单调递增,当1x 吋, 0,h x h x 单调递减,∴ max ()12h x h ，即 2h x ，此时2d ,当0x 时, h x ,当x 时, h x ,因此直线y d 与 h x 的图象最多有两个交点,即最多三项成等差数列,(15分）故存在3k ,使得123,,a a a 成等差数列.下面证明3k 时,123,,a a a 成等在数列,即1322a a a .由（1）知,21ln 1a a ,32ln 1a a ，则211e a a ，∴3122e ln 12a a a （16分）记函数 1e ln 12x H x x x ,则 11e 2x H x x,易知 0H x 在 0, 恒成立,∴ H x 在 0, 单调递增.易得 0.10H , 10H ， H x 在 0.1,1上有唯一零点2a .故假设成立,存在3k ,使得123,,a a a 成等差数列.。
2024年上海市高考数学试卷及解析
2024年上海市高考数学试卷一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分). 1.设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{2,4}A =,则A =____________.2.已知0(),(3)1,0x f x f x >==⎪⎩_____________. 3.已知2,230x R x x ∈--<的解集为____________4.已知3(),f x x a x R =+∈,若()f x 是奇函数,则a =_____________.5.已知,(2,5),(6,),//k R a b k a b ∈==,则k 的值为_____________.6.在(1)n x +的二项展开式中,若各项系数和为32,则2x 项的系数为______.7.已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9,那么P 到x 轴的距离为_______.8.某校举办科学竞技比赛,有A B C 、、三种题库,A 题库有5000道题,B 题库有4000道题,C 题库有3000道题.小申已完成所有题,他A 题库的正确率是0.92,B 题库的正确率是0.86,C 题库的正确率是0.72,他从所有题中随机选一题,正确率是________.9.已知虚数z ,其实部为1,Im 0,z ≠且2()z m m R z+=∈,则实数m 为________. 10.设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两数之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值是____________.11.海面上有两个灯塔O T 、和两艘货船A B 、,其中货船A 在O 正东方向,B 在O 的正北方向,观测知O 到A B 、距离相等,16.5o BTO ∠=,37ATO ︒∠=,则BOT ∠=__________.(精确到0.1度)12.无穷等比数列{}n a 首项10,1a q >>,记集合121{|,[,][,]}n n n I x y x y a a a a +=-∈,若对任意正整数,n n I 都是闭区间,则q 的取值范围是__________.二、选择题(本大题共4题,满分18分,13-14题每题4分,第15-16题每题5分). 13.人们通过统计沿海地区的气候温度和海水表层温度的数据,研究发现两者息息相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是(,,,,) A.气候温度高,海水表层温度就高 B.气候温度高,海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势 14.下列函数()f x 的最小正周期是2π的是(,,,,) A.()sin cos f x x x =+B.()sin cos f x x x =C.22()sin cos f x x x =+D.22()sin cos f x x x =-15.定义一个集合Ω,集合中的元素是空间内的点集,任取123,,P P P ∈Ω,存在不全为0的实数123,,λλλ,使得1231230.OP OP OP λλλ++=已知(1,0,0)∈Ω,则(0,0,1)∉Ω的充分条件是(,,,,)A.(0,0,0)∈ΩB.(-1,0,0)∈ΩC.(0,1,0∈Ω)D.(0,0,-1)∈Ω16.定义集合000{|(,),()()}M x x x f x f x =∀∈-∞<,若[1,1]M =-的所有()f x 中,下列成立的是(,,,,) A.存在()y f x =是偶函数B.存在()y f x =在2x =处取最大值C.存在()y f x =是严格增函数D.存在()y f x =在1x =-处取到极小值三、解答题(本大题共5题,第17-19题每题14分,第20,21题每题18分,共78分) 17.如图:正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心.(1)若5,AP AD ==求POA ∆绕PO 旋转一周形成几何体的体积. (2)若,AP AD E =为棱PD 的中点,求直线BD 与平面AEC 所成角的大小.18.若()log (0,1).a f x x a a =>≠(1)()y f x =过(4,2),求(22)()f x f x -<的解集;(2)存在x 使得(1)f x +,()f ax ,(2)f x +成等差数列,求a 的取值范围.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？附22():,()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++其中n a b c d=+++2,( 3.841)0.05Pχ≥≈20.双曲线22122:1,(0),,yx b A AbΓ-=>为左右顶点,过点(2,0)M-的直线l交双曲线Γ于,P Q两点.(1)若2e =时,求b 的值(2)若点P 在第一象限,2b MA P =∆为等腰三角形时,求点P 的坐标. (3)过点Q 作OQ 延长线交Γ于点R ,若121A R A R ⋅=,求b 取值范围.21.已知D 是R 的非空子集,()y f x =是定义在R 的函数.对于点(,)M a b ,,令22()()(())s x x a f x b =-+-,若对于00(,())P x f x ,满足()s x 在0x x =处取得最小值,则称P 是M 的f 最近点.(1)对于1(),(0,)f x D x ==+∞,求证:对于点(0,0)M ,存在点M 的f 最近点;(2)对于(),x f x e D R ==,(1,0)M ,若()y f x =上一点P 满足MP 垂直于()y f x =在点P 处的切线,则P 是否是M 的f 最近点？(3),D R =()y f x =是可导的,()y g x =在定义域R 上函数值恒正,已知,t R ∈12(1,()()),(1,()())M t f t g t M t f t g t --++,.若对任意的t R ∈,都存在点P ,满足P 是1M 的f 最近点,也是2M 的f 最近点,试求()y f x =的单调性.2024年上海市高考数学试卷解析一、填空题.1.【答案】{1,3,5}A =2.3.【答案】(-1,3)【解析】223(1)(3)0(1,3)x x x x x --=+-<⇒∈- 4.【答案】0a =【解析】(0)00f a =⇒= 5.【答案】15【解析】//25615a b k k ⇒=⨯⇒= 6.【答案】10【解析】2325n n =⇒=3510C ∴=7.【答案】【解析】198P P x x +=⇒=244832P P P y x y ==⨯=⇒=±所以P 到x 轴的距离为8.【答案】0.85 【解析】5430.920.860.830.85121212⨯+⨯+⨯=9.【答案】2 【解析】设z a bi =+222(1)111(1)(1)bi z bi bi z bi bi bi -+=++=++++-222222211111bi b bi b i b b b -⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭所以22011bb b b-=⇒=±+ 所以2m = 10.【答案】329【解析】A 中的奇数至多1个A 中的偶数,对于三个数码若个位为0,则有9872⨯=个若个位为2,4,6,8,则有488256⨯⨯=,故A 中最多有329个元素. 11.【答案】7.8o【解析】设BOT α∠=,则90AOT α︒∠=-,53A α︒∠=+OT OT OA OB =sin sin sin(53)sin(16.5)sin sin sin 37sin16.5A B ATO BTO αα︒︒︒︒++∴=⇒=∠∠ sin cos53cos sin 53sin cos16.5cos sin16.5cos53sin16.5o o o oo oαααα++⇒= sin cos tan53sin cot16.5cos o o a a a a ⇒+=+ 7.8o a ⇒≈12.【答案】[2,)+∞【解析】由题意,不妨设x y >,若,x y 均在[]12,a a ,则有x y -[]210,a a ∈-,者,x y 均在[]1,n n a a +,,则有x y -[]10,n n a a +∈-若,x y 分别在两个区间则211[,]n n x y a a a a +-∈--,又因为1q >,总有ln 是闭区间,则21n n n a a a a +-≤-恒成立即可,化简得1(2)0n q q q --+≥,所以有2q ≥恒成立 二、选择题. 13.【答案】C【解析】随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势,相关系数为正数 所以选C 14.【答案】A【解析】A.()cos sin ,24f x x x x T ππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,正确B.(f )sin x =cos x 1sin 2x =2,x T π=错误C.2()sin x f x =2cos x +1=,错误;D.22()sin cos cos 2,,f x x x T π=-=-=错误; 所以选A 15.【答案】C【解析】若(0,1,0)-∈Ω,假设(0,0,1)∈Ω取()()()1231,0,0,0, 1,0,0,0,1,P P P -则1122330OP OP OP λλλ++=1230λλλ∴===矛盾！(∴0,0,1)∉Ω所以选C. 16.【答案】B【解析】1M -∈1x ∴<-时,()(1)f x f <- 1x ∴=-不是极小值点,排除D假设()f x 严格递增,则M R =,矛盾！排除C 任取12,x x ,使得1211x x -≤<≤2x M ∈12()()f x f x ∴<() f x ∴在[]1,1-严格递增,排除A所以选B. 三、解答题17.【答案】(1)12;π(2)4π 【解析】(1)因为P ABCD -是正四棱锥,所以底面ABCD 是正方形,且OP ⊥底面ABCD ,因为AD =,所以3AO OD OB OC ====因为5AP =,所以4PO ==所以POA ∆绕OP 旋转一周形成的几何体是以3为底面半径,4为高的圆锥所以211341233V Sh ππ==⨯⨯=.(2)如图建立空间直角坐标系因为AP AD =,,由题知P ABCD -是正四棱锥,所以该四梭锥各核长相等,设AB =则AO OD OB OC a ====,PO a ==则可得(0,0,0),(0,0,),(0,,0),(,0,0),(0,,0),(,0,0),,0,22aa O P a A a B a C a D a E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故(2,0,0),(0,2,0),,,22aa BD a AC a AE a ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭设111(,,)n x y z =为平面AEC 的法向量,则1111200022a y n AC a ax a y z n AE ⋅=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅+⋅+⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩,,令11x =,,则110,1y z ==-,,所以(1,01)n =-则cos ,22n BD n BD n BDa ⋅-===-⋅ 设直线BD 与面AEC 所成角为θ,因为sin 2cos ,,0,22n BD πθθ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦,所以.4πθ=18.【答案】(1)(1,2);(2)1a >(1)由()y f x =过(4,2)可得log 42a =,得:242a a =⇒=±, 0a >, 2a ∴=因为2()log f x x =在()0,+∞上是严格增函数()()2202212f x f x x x x -<⇒<-<⇒<<,所以解集为()1,2(2)因为(1)f x +,()f ax ,(2)f x +成等差数列,所以(1)(2)2()f x f x f ax +++=即log (1)log (2)2log ()a a a x x ax +++=有解,化简可得2log (1)(2)log ()a a x x ax ++=得2(1)(2)()x x ax ++=且1020000,1x x x ax a a +>⎧⎪+>⎪⇒>⎨>⎪⎪>≠⎩,则22(1)(2)x x a x ++=在(0,)+∞上有解,又222(1)(2)231311248x x x x x x ++⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭,,故在(0,)+∞上22(1)(2)31,20148x x x ++⎛⎫>+-= ⎪⎝⎭ 即211a a >⇒<-或1,0a a >>,所以 1.a >19.【答案】(1)12500人;(2)0.9h;(3)学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2两小时有关【解析】(1)580人中体育银炼时长不小于1小时人数占比423113740272558058P +++++==该地区29000名初中学生中体育锻炼时长不小于1小时的人数约为 29000×251250058=人(2)该地区初中学生锻炼平均时长约为:10.50.511 1.5 1.52513444147421373405802222[()()()()+++⨯++⨯++⨯++⨯++2 2.5271270.91229()]+⨯+=≈ (3)①提出原假设0:H 成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关.②确定显著性水平20.05,( 3.841)0.05P αχ=≥≈③()()()()()225804530817750 3.976 3.84145501773084517750308χ⨯⨯-⨯=≈>+⨯+⨯+⨯+④否定原假设,即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.20.【答案】(1)b =(2,P ;(3)10(0,3)3,3b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】(1)因为22222,2, 4.1,4c c e a c a a=∴∴=∴===因为222a b c +=,所以23b =,所以b =负含). (2)因为2MA P ∆为等腰三角形①若2MA 为底,则点P 在直线12x =-时,与P 在第一象限矛盾,故合去②若2A P 为底,则2MP MA =,与2MP MA >矛盾,故舍去. ③若MP 为底,则22,MA PA =设00(,),P x y 000,0.x y >>3=,即2200(1)9x y -+=,又因为220182y x -= 得22008(1)(1)93x x -+-⨯=,得200116320x x --=,得002,x y ==,即(2,P(3)由1(1,0)A -,设1122(,),(,)P x y Q x y ,则22(,)R x y --,设直线1:2()l x my m b=->联立212222222222212222142()1(1)430,311b m x my m y y b b m b m y b my b y b x y y b b m ⎧⎧=->+=⎪⎪-⎪⎪⎪⎪∴--+=⎨⎨⎪⎪⎪⎪-=⋅=⎪⎪-⎩∴⎩ 122211(1,),(1,)A R x y A P x y =-+-=-,又由121A R A P ⋅=,得2112(1)(1)1x x y y -+--= 即2112(1)(1)1x x y y --+=-,即2112(3)(3)1my my y y --+=-化简后可得到21212(1)3()100m y y m y y +-++=再由韦达定理得2222223(1)1210(1)0b m m b b m +-+-=,化简:2223100b m b +-=所以221010033,b m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦222210103311b b b b ≠+=+ 得23,b ≠,10(0,3)3,3b ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦21.【解析】(l)证明:222211()(0)(0)2s x x x w w =-+-=+≥=,当且仅当221x w =即1x =时取到最小值,所以 对于点(0,0)M 存在点(1,1)P 使得P 是M 在()f x 的最近点(2)设(P 00,xx e ),显然01x ≠00002200000()(),()11011x x x x x MPMP e e f x e f x e k f x k e x x x '''=⇒==∴⋅==-∴+-=-- 设22()1()210x x h x e x h x e '=+-⇒=+>,,则显然()h x 在R 严格增,且0(0)00h x =⇒=(0,1)P ∴()S x =22(1)()2x x e S x '-+⇒=(1)x -222x e +=2(1)x e x +- ()2S x '=(21)00x e x x +->⇒> 2()2(1)00x S x e x x '=⋅+-<⇒<()S x ∴在(,0]-∞递减,[0,)+∞递增0x ∴=是()S x 的最小值点P ∴是M 关于f 的最近点(3)设21()(1)(S x x t =-++()f x -2()()),f t g t +2()(S x =21)(x t --+(f )(x f -)(t g -2))t设(,())t t P x f x由题知,t x 是12(),()S x S x 的最小值点,故()()()()()()()()()2221111t t t S t S x g t x t f x f t g t ≥⇒+≥-++-+()()()()()()2222211()()()t t t S t S x g t x t f x f t g t ≥⇒+≥-++--两式相加得()()22222(1(()))21(()())()t t g t x t f x f t g t ⎦+-++-⎡⎤⎣≥ ()()()()220t t x t f x f t ∴-+-≤⇒t x t =()()1()212()()()()S x x t f x f t g t f x ''=-++-+2()2(1)2(S x x t '=--+()f x -()())f t g t -()f x 't x 是12(),()S x S x 的最小值点12,(),()S x S x 的定义域为R t x ∴是12(),()S x S x 的极小值点121()()01()()0()0()S x S x g t f t f t g t ''''∴==∴+=∴=-< ()f x ∴在R 上严格递减.。
全国甲2022年高考数学压轴卷理(含答案)
（全国甲）2022年高考数学压轴卷 理一．选择题（本题共12个小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A ＝{x|2x ﹣8＜2﹣3x}，B ＝{x|x 2﹣4x+3＜0}，则A∪B＝（ ） A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（﹣∞，3）D ．（1，3）2.设复数z 满足（1+i ）z ＝4i ，则|z|＝（ ） A ．22 B ．2C ．2D ．223.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝21xB ．y ＝2﹣xC ．y ＝x 21logD ．y ＝x1 4.刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当π取3.1416时可得cos89︒的近似值为（ ） A. 0.00873B. 0.01745C. 0.02618D. 0.034915.已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A.33B.43C. 2D.836.某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的结果是（ ）A. 32B.16 C. 2512D. 137607.我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7，在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（） A.356B.328C.17D.158.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为 A. 1B. 2C. 4D. 59.在()()51231x x -+的展开式中，含3x 项的系数为（ ）A. －80B. －40C. 40D. 12010.已知实数x ，y 满足约束条件402400x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则z ＝l y x -的最小值为（ ）A ．43B ．45C ．2D ．311.已知双曲线5422y x -＝1的右焦点为F ，点M 在双曲线上且在第一象限，若线段MF 的中点在以原点O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线MF 的斜率是（ ） A ．35-B ．7115-C ．7115 D ．3512.已知函数()()()22210,0xax x x f x e ax e x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),e +∞B. ()2e ,+∞C. ()20,eD. ()0,e第II 卷（非选择题）二．填空题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当10x -<<时，()3xf x =，则()3log 2f =______．14.在新高考改革中，学生可从物理、历史、化学、生物、政治、地理、技术7科中任选3科参加高考，现有甲、乙两名学生先从物理、历史2科中任选1科，再从化学、生物、政治、地理、技术5科中任选2科，则甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有 种．15.已知点O （0，0），A （1，2），B （m ，0）（m ＞0），则cos ＜OA ，OB ＞＝ ，若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则m ＝ ． 16.数列{a n }是首项10a ≠，公差为d 的等差数列，其前n 和为S n ，存在非零实数t ，对任意*n N ∈有(1)n n nS a n t a =+-⋅恒成立，则t 的值为__________．三、解答题（本题共5个小题,第17-21题没题12分,解答题应写出必要的文字说明或证明过程或演算步骤）17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA ）＝c ． （1）求C ；（2）若c ＝7，△ABC 的面积为233，求△ABC 的周长． 18.已知数列{a n }的前n 项和为S n 且S n ＝2n 2+n ，n∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n +3，n∈N *． （Ⅰ）求a n 和b n 的通项公式； （Ⅱ）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．19.如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E 为棱PD 的中点，PF PC λ=（λ为常数，且01λ<<）．（1）若直线BF∥平面ACE ，求实数λ的值； （2）当14λ=时，求二面角C −AE −F 的大小．20.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a >，0b >）的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，且椭圆C过点P （2，1）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点A ，B 是椭圆C 上异于点P 的两个不同的点，直线PA 与PB 的斜率均存在，分别记为1k ，2k ，且1212k k ⋅=-，当坐标原点O 到直线AB 的距离最大时，求直线AB 的方程．21.已知函数f （x ）＝22+-+x a x •e x（a≥0）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当b∈[0，1）时，设函数g （x ）＝2)1(x x b e x +-（x ＞0）有最小值h （b ），求h （b ）的最大值．选考题:共10分,请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝θ2sin 314+，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1．若正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（1，6π）．（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+|PC|2的取值范围． 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝|x ﹣1|．（1）求不等式f （x ）+f （2x ）≤4的解集M ；（2）记集合M 中的最大元素为m ，若不等式f 2（mx ）+f （ax ）≤m 在[1，+∞）上有解，求实数a 的取值范围．参考答案1.【答案】 C【解析】解：∵2x﹣8＜2﹣3x ，∴x＜2，∴A＝（﹣∞，2）， ∵x 2﹣4x+3＜0，∴1＜x ＜3，∴B＝（1，3）， ∴A∪B＝（﹣∞，3）． 故选：C ． 2.【答案】D【解析】解：由（1+i ）z ＝4i ， 得z ＝＝＝2+2i ， 则|z|＝＝2．故选：D ． 3. 【答案】A【解析】解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数． 故选：A ． 4.【答案】B【解析】根据cos89sin1︒=，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解.【详解】因为()cos89cos 901sin1︒=-=，所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为1︒， 所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，即2136011sin112π⨯⨯⨯⨯≈，所以 3.1416sin10.01745180180π≈≈≈， 故选：B5.【答案】B【解析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据椎体的体积公式以及三视图中的数据可求该几何体的体积. 【详解】复原后的几何体为如图所示的三棱锥，其底面为等腰三角形， 该三角形的底边长为2，高为2，棱锥的高为2，故体积为114222323⨯⨯⨯⨯=（）. 故选：B ． 6.【答案】C【解析】由题意，S 、S 初始值分别为1，0．当k 为小于5的正整数时，用1S k+的值代替S ，1k +代替k ，进入下一步运算．由此列出如下表格S 0 1 112+ 11123++ 1111234+++输出S值k 1 2 34 5因此，最后输出的123412S =+++=故选：C ． 7.【答案】D【解析】写出大于3且不超过20的素数，分别计算出随机选取2个不同的数的所有情况和恰好是一组孪生素数的情况，再利用古典概型公式代入求解.【详解】大于3且不超过20的素数为：5，7，11，13，17，19，共6个，随机选取2个不同的数，共有65152⨯=个情况，恰好是一组孪生素数的情况为：5和7，11和13，17和19，共3个，所以概率为31155P ==. 故选：D8.【答案】A【解析】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.9.【答案】C【解析】针对()512x -部分，通项为155(2)(2)r r r r rr T C x C x +=-=-，∴()()51231x x -+中3x项为2?33?335512840C x C x x -=，故选：C10.【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），z＝的几何意义为可行域内的动点与定点P连线的斜率，由图可知，，可知z＝的最小值为．故选：B．11.【答案】A【解析】解：如图所示，设线段MF的中点为H，连接OH，设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|＝|MF|＝（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．设∠HFO＝α，在△OHF 中，tanα＝＝，∴直线MF 的斜率是﹣．故选：A ． 12.【答案】B 分析：【解析】解答：当0x =时，()201e f =--，∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时，由()0f x =，得221x a x -=，设()221x h x x -=，()()3210x h x x-'=<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，且()0h x <.所以0x <时无零点当0x >时，()0f x =等价于2x e e a x +=，令()2x e e g x x +=，()22x x xe e e g x x--'=， 得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2min (2)g x g e ==，()2g x e ≥.因为()f x 有2个零点，所以2a e >. 故选：B.13.【答案】12-【解析】】因为3log 2(0,1)∈，所以3log 2(1,0)-∈-由()f x 为奇函数得：()()31log 233311log 2log 2log 322f f f ⎛⎫=--=-=-=- ⎪⎝⎭． 故答案为：12-14.【答案】180【解析】】根据题意，按物理、历史2科中有或没有相同学科分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论： ①物理、历史2科中有相同学科．则有C ＝60种选法； ②物理、历史2科中没有相同学科．则有C＝120种选法．所以甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有60+120＝180种； 故答案为：180．15.【答案】，5解：根据题意，点O （0，0），A （1，2），B （m ，0）， 则＝（1，2），＝（m ，0），则||＝，||＝m ，•＝m ，故cos ＜，＞＝＝， 若B 是以OA 为边的矩形的顶点，而与不垂直，则必有⊥，又由＝（m ﹣1，﹣2），则有•＝（m ﹣1）+2×（﹣2）＝0，解可得m ＝5，故答案为：，5．16.【答案】1或12【解析】当1n =时，()1n n n S a n t a =+-⋅恒成立，当2n ≥时： 当数列的公差0d =时，()1n n n S a n t a =+-⋅即()1111na a n t a =+-⋅， 据此可得()()1111n a n t a -=-⋅⋅，则1t =，当数列的公差0d ≠时，由题意有：()1n n n S a n t a =+-⋅，()1112n n n S a n t a ---=+-⋅， 两式作差可得：()()1112n n n n n a a a n ta n ta --=-+---，整理可得：()()()1111n n n n t a a t a ---⋅⋅-=-，即：()111n ta n d t-=-⋅-，① 则1n ta n d t=⋅-，② ②-①整理可得：11n n ta a d d t--==-恒成立， 由于0d ≠，故11tt =-，据此可得：12t =， 综上可得：t 的值为1或12. 17.【答案】【解析】解：（1）由已知2cosC （acosB+bcosA ）＝c ， 正弦定理得：2cosC （sinAcosB+cosAsinB ）＝sinC ， 即2cosC•sinC＝sinC ， ∵0＜C ＜π，sinC≠0， ∴cosC＝， ∴C＝．（2）由c ＝，C ＝，△ABC 的面积为＝absin＝，∴ab＝6，又由余弦定理c 2＝b 2+a 2﹣2abcosC ，可得：7＝b 2+a 2﹣ab ＝（a+b ）2﹣3ab ＝（a+b ）2﹣18， 可得：（a+b ）2＝25，解得：a+b ＝5， ∴△AB C 的周长a+b+c ＝5+．18.【答案】【解析】解：（Ⅰ）数列{a n }的前n 项和为S n 且S n ＝2n 2+n ，n∈N *， 则：a n ＝S n ﹣S n ﹣1（n≥2）， ＝2n 2+n ﹣2（n ﹣1）2﹣（n ﹣1） ＝4n ﹣1，当n ＝1时，a 1＝3符合通项公式， 所以：a n ＝4n ﹣1．由于：数列{b n }满足a n ＝4log 2b n +3，n∈N *．则：4n ﹣1＝4log 2b n +3， 所以：，（Ⅱ）由（Ⅰ）得：设c n ＝，则：T n ＝c 1+c 2+…+c n ＝3•20+7•21+…+（4n ﹣1）2n ﹣1①②①﹣②得：﹣（4n ﹣1）2n ﹣1，整理得：．19.【答案】 （1）12λ= （2）2π 【解析】（1）因为PA ⊥底面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥． 由题意可知，AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()002P ,,，()0,2,1E ， 所以()2,2,0AC =，()0,2,1AE =，()2,0,2BP =-，()2,2,2PC =-， 则()2,2,2PF PC λλλλ==-，所以()22,2,22BF BP PF λλλ=+=--． 设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =．由00AC m AE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得：220,20.x y y z +=⎧⎨+=⎩不妨令1x =，得()1,1,2m =-．因为BF ∥平面ACE ，所以222440BF m λλλ⋅=--+-=，解得12λ=．（2）由（1）知()0,0,2AP =，()2,2,2PF λλλ=-，()0,2,1AE =，平面ACE 的一个法向量为()1,1,2m =-，所以()1132,2,22,,222AF AP PF λλλ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭．设平面AEF 的一个法向量为()000,,n x y z =．由0,0,AE n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得0000020,1130.222y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩令01y =，得()5,1,2n =-， 所以cos ,0m nm n m n ⋅==.所以m n ⊥，所以二面角C AE F --的大小为2π．20.【答案】（1）22182x y +=（2）6350x y --=【解析】（1）由题意可得22242,411,a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩解方程组可求出2,a b ，从而可求出椭圆方程， （2）①当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入椭圆方程中消去y ，利用根与系数的关系，然后由1212k k ⋅=-列方程可求出213k t +=-，则直线AB 的方程为213k y kx +=-，从而可得其过定点，②当直线AB 的斜率不存在时，设()00,A x y ，则()00,B x y -，由1212k k ⋅=-可求出,A B 两点的坐标，从而可求出直线AB 过的定点，进而可求出直线方程 【详解】（1）由题意，知222411,a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=．（2）①当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，()11,A x y ，()22,B x y ．联立2248,,x y y kx t ⎧+=⎨=+⎩得()222418480k x ktx t +++-=．由韦达定理，得12221228,4148,41kt x x k t x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以122221222,418.41t y y k t k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为()()()()()22221212121222212121211411241122224416164421424y y y y t k y y t t k t kk k x x x x x x t kt k t k t k -++------+--⋅=⋅====---++++-+++-12=-，所以3210t k ++=，即213k t +=-，所以直线AB 的方程为213k y kx +=-，即(32)(31)0x k y --+=，由320310x y -=⎧⎨+=⎩，得2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故直线AB 恒过点21,33M ⎛⎫-⎪⎝⎭． ②当直线AB 的斜率不存在时，设()00,A x y ，则()00,B x y -，所以()()20000122000011121224222y y y x k k x x x x ----+⋅=⋅===-----，解得023x =，所以此时直线AB 也过点21,33M ⎛⎫-⎪⎝⎭．因为点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部， 所以当直线AB 垂直于OM 时，坐标原点O 到直线AB 的距离最大， 此时直线AB 的方程为6350x y --=．21.【答案】【解析】解：（1）函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）， 且f′（x ）＝e x[+]＝e x•，令x 2+ax+a ＝0，则△＝a 2﹣4a ， ①当0≤a≤4时，△≤0，x 2+ax+a≥0，即f′（x ）≥0且不恒为零，故f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）， ②当a ＞4时，△＞0，方程x 2+ax+a ＝0的两根为x 1＝，x 2＝，由于x 1﹣（﹣2）＝＜0，x 2﹣（﹣2）＝＞0，（或令φ（x ）＝x 2+ax+a ，φ（﹣2）＝4﹣a ＜0） 故x 1＜﹣2＜x 2，因此当x∈（﹣∞，x 1）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x∈（x 1，﹣2）时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x∈（﹣2，x 2）时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x ∈（x 2，+∞）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增，综上，当0≤a≤4时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）； 当a ＞4时，f （x ）在（﹣∞，）单调递增，在（，﹣2）单调递减，在（﹣2，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由g′（x ）＝＝，设k（x）＝e x+b（x＞0），由（1）知，a＝0时，f（x）＝e x在（0，+∞）单调递增，故k（x）在区间（0，+∞）单调递增，由于k（2）＝b≥0，k（0）＝﹣1+b＜0，故在（0，2]上存在唯一x0，使k（x0）＝0，﹣b＝，又当x∈（0，x0）时，k（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，k（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单调递增，故x∈（0，+∞）时，h（b）＝g（x0）＝＝＝，x0∈（0，2]，又设m（x）＝，x∈（0，2]，故m′（x）＝＝＞0，所以m（x）在（0，2]上单调递增，故m（x）≤m（2）＝，即h（b）的最大值为．22.【答案】【解析】解：（1）点A的极坐标为（1，），根据转换为直角坐标为（），点B的极坐标为（1，），根据转换为直角坐标为（），点C的极坐标为（），根据转换为直角坐标为（），点D的极坐标为（1，），根据转换为直角坐标为（），（2）曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，根据转换为直角坐标方程为，设P（2cosθ，sinθ），则|PA|2+|PC|2＝．23.【答案】【解析】解：（1）由题意可知，f（x）+f（2x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|≤4，当x≥1时，原不等式可化为3x﹣2≤4，解答x≤2，所以1≤x≤2；当＜x＜1时，原不等式可化为1﹣x+2x1≤4，解得x≤4，所以＜x＜1；当x≤时，原不等式可化为1﹣x+1﹣2x≤4，解得x≥﹣，所以﹣≤x≤．综上，不等式的解集M＝{x|﹣≤x≤2}．（2）由题意，m＝2，在不等式等价为|2x﹣1|2+|ax﹣1|≤2，因为x≥1，所以|ax﹣1|≤2﹣（4x2﹣4x+1）＝﹣4x2+4x+1，所以4x2﹣4x﹣1≤ax﹣1≤﹣4x2+4x+1，要使不等式在[1，+∞）上有解，则（4x﹣4）min≤a≤，所以0≤a≤2，即实数a的取值范围是[0，2]．。
全国卷Ⅰ2021年高考数学压轴卷理含解析
（全国卷Ⅰ）2021年高考数学压轴卷 理（含解析）第I 卷（选择题）一.选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．已知集合{}02A x x =≤≤，集合{}lg 0B x x =>，则A B =（ ）A ．(](),12,-∞+∞B ．()(),01,2-∞C ．[)1,2D ．(]1,22．复数z 满足()3,z i i i i +=-+为虚数单位，则z 等于（ ） A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --3．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值是30，则输出的n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．6D ．74．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．38π B ．4π C ．712π D ．724π 5．已知||2a =，1b ||=，且a 与b 的夹角为3π，则()a b b +⋅=（ ） A 31B ．1C ．2D ．36．等差数列{}n a 前n 项和为n S ， 281112a a a ++=，则13S =（ ） A ．32B ．42C ．52D ．627．设,m n 是空间中两条不同的直线，,,αβγ是空间中三个不同的平面，给出下列四个命题： （1）若,//m n αα⊥，则m n ⊥； （2）若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥； （3）若//,//m n αα，则//m n ； （4）,αββγ⊥⊥，则//αβ. 其中正确命题的序号是（ ） A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）8．将甲､乙等4名交警随机分配到两个不同路口疏导交通，每个路口两人，则甲和乙不在同一路口的概率为（ ） A ．12B ．13C ．23D ．149．已知实数,x y 满足101010kx y k x y -+-⎧⎪-≤⎨⎪+⎩，若2z x y =+的最大值为8，则k 的值为（ ）A ．32B ．72C ．1D ．310．P 为双曲线()2222100x y a b a b-=>>，左支上一点，1F ，2F ，为其左右焦点，若221PF PF 的最小值为10a ，则双曲线的离心率为（ ） A．4+B．4C．4D ．411．已知函数131,(1)()ln(1),(1)x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若24()()2()3F x f x af x =-+的零点个数为4，则实数a 取值范围为（ ） A．54](,)63+∞ B ．5](2,)6+∞ C ．5[,2)6D ．4(,)3+∞12．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=，则39121239S S S S a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．1013 B ．1022C ．2036D ．2037第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则ab=______. 14．已知A(1,1)m +-，()22,B m m +，若直线AB 与斜率为2的直线平行，则m 的值为____________ 15．数式11111+++⋅⋅⋅中省略号“···”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t ，则11t t+=，则210t t --=，取正值得t =.用类似方法可得1212+++⋅⋅⋅=__________.16．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为_____.三、解答题（共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地17-21为必做题，每个试题都必须作答.第22、23题为选做题，考生按要求作答） (一).必做题17．已知ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2cos 2a C c b +=. （1）求角A 的大小；（2）若ABC 的面积为3，若ABC 的周长为6，求三角形的边长a .18．如图1，在直角ABC 中，90ABC ∠=︒，23AC =，3AB =，D ，E 分别为AC ，BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示.（1）求证：AE CD ⊥；（2）求平面AEF 与平面ADC 所成二面角的正弦值.19．宁夏西海固地区，在1972年被联合国粮食开发署确定为最不适宜人类生存的地区之一.为改善这一地区人民生活的贫困状态，上世纪90年代，党中央和自治区政府决定开始吊庄移民，将西海固地区的人口成批地迁移到更加适合生活的地区.为了帮助移民人口尽快脱贫，党中央作出推进东西部对口协作的战略部署，其中确定福建对口帮扶宁夏，在福建人民的帮助下，原西海固人民实现了快速脱贫，下表是对2016年以来近5年某移民村庄100位移民的年人均收入的统计： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x1 2 3 4 5 人均年收入y （千元）1.32.85.78.913.8现要建立y 关于x 的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一(1)ˆˆˆybx a =+；模型二(2)2ˆˆˆycx d =+，即使画出y 关于x 的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的方程为ˆ 3.1 2.8yx =-. （1）请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数点后一位）；（2）用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为521ˆ) 3.7i i i y y=-=∑（.附：参考数据：51522 150.525i iiiit y t yt t==-≈-∑∑，其中2i it x=，1,2,3,4,5i=.参考公式：对于一组数据()11,u v，()22,u v，…，(),n nu v，其回归直线ˆˆˆv a uβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221ˆni iiniiu v nuvu nuβ==-=-∑∑，ˆˆa v uβ=-.20．已知焦点在x轴上的椭圆C：222210)x ya ba b+=>>（，短轴长为23，椭圆左顶点到左焦点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P，点A是椭圆的右顶点，直线l与椭圆C交于不同的两点,E F，,E F两点都在x轴上方，且APE OPF∠=∠．证明直线l过定点，并求出该定点坐标．21．已知函数()()24,(,),0f x x x alnx a R a f x'=-+∈≠为函数()f x的导函数．（1）求函数()f x的单调区间﹔（2）若存在实数12,x x，且12x x<使得()()12f x f x''==，求证∶()24f x>-．(二) 选考题: 共10分。
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2014年上海高考数学押题卷（理）考生注意：1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 函数)-3(log 1)(2.0x x x f +=的定义域为_____________已知F 是抛物线x y 42=的焦点，B A ,在抛物线上，M （3,2）为线段AB 的中点，则OAB ∆的面积为_____________已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x x f 1292)(23+-=，则不等式)1(|)(|f x f ≥ 的解集是_____________已知数列{}n a 其前n 项和为n S ，且222++=n n S n *()n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为_____________零向量b a ,满足]32,2(|2|2||2||∈-==b a b a ，且,则,a b r r夹角的取值范围是_____________在7)xa x +（的展开式中含有27x - ，则2a =_____________ 已知复数4-,,2211121≥⋅+=-=z z z z ib z i a z 的共轭复数。
若是，则b 的取值范围是_____________ 已知=-=+>-=θθθαααcos sin ,1)2tan(,02sin 542cos 则且，_____________ 红、黄、蓝三色灯泡分别有3、2、2支，把它们挂成一排，要求红色灯泡不能全部相邻，则看到的不同效果有_____________个。
已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f （其中R ∈x ，0>ω，πϕπ<<-)的部分图象如图所示。
如果对函数g(x)的图像进行如下变化:横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，也可得到f(x)函数的图像，则函数g(x)的解析式是_____________在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为______________ 若)2*,()3(≥∈+n N n x a n n 是展开式中2x 项的系数，则)333(3322lim n nn a a a +++∞→Λ=_____________ 若点),(y x P 在曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθcos 54sin 51y x （θ为参数，θ∈R ）上，则y x 2+的取值范围是_____________已知F 1、F 2是双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线abxy =对称,,则该双曲线的离心为_____________ 选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. “0<<b a ”是ba 11>的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 若函数()f x 的导函数在区间(),a b 上的图像关于直线2a bx +=对称， 则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是 （ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且m α∥P（C ）m n P 且n β⊥ （D ）m n ⊥且αβP 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 4·b 6的最大值是（ ）A ．10B ．100C ．200D ．400解答题（本大题共有5下题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. （本题满分12分）如图，平面ABB 1A 1为圆柱OO 1的轴截面，点C 为上的点， 点M 为BC 中点．（I ）求证：B 1M ∥平面O 1AC ；（II ）若AB ＝AA 1，∠CAB=30°，求二面角C-AO 1 -B 的余弦值．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. 已知函数)2(22ln )2()(2≤++++-=a a x a x a x x f 其中 （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f 在错误!未找到引用源。
上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分.在数列}b {},a {n n 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，， 成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此归纳出的通项公式，并证明你的结论；}b {},a {n n （Ⅱ）证明：.125b a 1b a 1b a 1b a 122n n 332211<++++++++Λ（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.在平面直角坐标系xOy 中．已知(0,M ，平面上一动点P 满足|PM|+|PN|=4记动点P 的轨迹为D ．（I ）求轨迹D 的方程，（Ⅱ）设过点E （0．1）且不垂直于坐标轴的直线111:l y k x b =+与轨迹D 相交于A ，B 两点，若在y 轴上存在一点Q ，使得直QA ，QB 关于y 轴对称．求出点Q 的坐标；（Ⅲ）是否存在不过点E （0，1）且不垂直于坐标轴的直线l ，它与轨迹D 及圆22:(1)9E x y +-= 从左到右依次交于C ，D ，F ，G 四点，且满足ED EC EG EF -=-u u u r u u u r u u u r u u u r？若存在，求出当△OCG 的面积S 取得最小值时k 2的值；若小存在，请说明理由．2014年上海高考数学押题卷（理） 填空题（2,3）2. 223. }1x ,25x ,25-x |{x ±=≥≤或或 ⎩⎨⎧≥+==2,121,5n n n a n 5. ]323ππ，（ 6. 1]11[，-8. 253±9. 180 )324sin(2π+x 11. (53，73)12. 1813． )211,21(14．5选择题15. A 16. D 17. C 18. B 解答题（1）证明省略.（2）17512． （1）上单调递减。
，在上单调递增，在时，当上单调递增。
在时，当上单调递减。
，在上单调递增在时，当上单调递增。
，在上单调递减在时，当)12(,)1(),2,0()(20),0()(2)2(,)2,0()(20)1(,)1,0()(0aa x f a x f a aa x f a x f a ∞+<<+∞=∞+<<∞+≤（2） ]2,0(}1{)2ln 2,(⋃-⋃--∞． （1）x 2 = －210； （2）tan α＝2． （1）2233446912162025a b a b a b ======，，，，， ;证明省略.（2）证明省略.（1）.1422=+x y（Ⅱ） Q(0,4). （Ⅲ）存在满足题意的直线；4579772-=k .============================= 详细解析见下 填空题 【答案】 （2,3）【解析】 )3,2(1-301log 0)-3(log 2.02.0∈<<∴=>x x x 解得Θ【答案】 22 【解析】22)(21)12(2)12(2.451,1,22224,4),,(),,(2121212121222121221=-⋅⋅=∴+=--=︒-====--⋅+==∆y y OF S y y F x y AB k k x x y y y y x y x y y x B y x A OAB 。
，得利用抛物线的定义可解，且倾斜角为焦点经过方程为直线，即。
两式相减整理得：则设【答案】 }1x ,25x ,25-x |{x ±=≥≤或或 【解析】}1x ,25x ,25-x |{x )1(|)(|.25,10)52()1(),()1()1(4)2(5)1().2,1(),2()1,0(),0()()2,1(0)(),2)(1(612186)(2122±=≥≤≥===--=<==+∞+∞∈<'--=+-='或或上的解集是在所以，即整理得。
令，，减区间是，上的增区间是在所以解得令R f x f x x x x x f f f f f x f x x f x x x x x f【答案】 ⎩⎨⎧≥+==2,121,5n n n a n【解析】⎩⎨⎧≥+==∴+=+-+--++=-=>==∴++=-2,121,512]2)1(2)1[(2215,22221112n n n a n n n n n S S a n S a n n S n n n n n 时，。
当Θ 【答案】 ]323ππ，（【解析】].323),2121[cos ]12,4(cos 8-444-4],12,4()2(]32,2(|2|222ππθθθ，（即∈-∈∈+=+∈-∴∈-Θ。
【答案】 1【解析】 在1,1,7,17)()(217277=-==-=∴-=-a a a C r x xa x C r rrΘ的展开式中含有27x -【答案】 ]11[，-【解析】]1,1[,2-2-02,4-24-)2(2))(2(22111-∈≥∴=+≥-∴≥++-=++=⋅b b b a ab i b a ab i b i a z z z z 解得的共轭复数。