河北省廊坊市2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016年河北省廊坊市高一下学期数学期末试卷及答案解析
2015-2016学年河北省廊坊市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（4分）在等差数列{a n}中，若a2=6，a5=12，则公差d=（）A．1 B．2 C．3 D．42．（4分）若直线ax+y﹣1=0和直线2x+（a+1）y+1=0垂直，则实数a等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．3．（4分）圆（x﹣2）2+y2=4与圆（x+2）2+（y+3）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离4．（4分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣6 B．10 C．12 D．165．（4分）在等比数列{a n}中，若a3a6=9，a1a2a8=27，则a2的值为（）A．9 B．4 C．3 D．26．（4分）在△ABC中，已知sin（C﹣B）cosB+cos（C﹣B）sinB≥1，则△ABC 是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．直角三角形或钝角三角形7．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β8．（4分）直线（1+a2）x﹣y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，]B．[0，]C．[0，]∪（，] D．[，）9．（4分）如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（4分）下列命题中，正确命题的个数是（）①若a＞b，c＞d，则ac＞bd；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；④若a＞0，b＞0，则+≥；⑤y=sinx+，x∈（0，]的最小值是2．A．1 B．2 C．3 D．411．（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是全等的等腰直角三角形，则这个几何体外接球体积与该几何体的体积之比为（）A．πB．πC．πD．π12．（4分）设O是△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2﹣2b+c2=0，则的范围是（）A．B．C．D．二、填空题:本大题共4小题。
河北省秦皇岛市2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年河北省秦皇岛市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|8﹣2x＞0}，集合B={x|x=2n﹣1，n∈N*}，则A∩B等于（）A．{﹣1，1} B．{﹣1，3} C．{3，1，﹣1} D．{1，3}2．函数f（x）=的定义域为（）A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣1，1）3．下列函数是以π为周期的偶函数的是（）A．y=tanx B．y=sin（x+）C．y=sin（2x+）D．y=cos（2x+）4．设，是平面捏一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（）A．﹣与﹣B．2+3与﹣4﹣6C．+与﹣ D．﹣+与﹣5．已知y=（m2+m﹣5）x m是幂函数，且在第一象限是单调递减的，则m的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．36．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的一个周期的图象，如图所示，则f（x）的解析式为（）A．2sin（﹣）B．2sin（+）C．2sin（﹣）D．2sin（+）7．已知函数f（x）=，若f[f（）]=，则实数a等于（）A．16 B．9 C．4 D．18．若log3tanα=﹣1，则sin2α+cos2α等于（）A．B．1 C．D．29．知||=1，||=2，与的夹角为60°，=3+，=λ﹣，若⊥，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣10．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．11．若存在x∈（0，+∞），使不等式ax+3a﹣1＜e﹣x成立，则实数a的取值范围为（）A．{a|0＜a＜} B．{a|a＜} C．{a|a＜} D．{a|a＜}12．已知锐角α，β满足+＜2，设a=tanαtanβ，f（x）=log a x，则下列判断正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（sinβ）D．f （cosα）＜f（cosβ）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f（x）=（x2﹣4）lnx的零点个数为．14．已知角θ的终边上一点P（x，3）（x＜0）且cosθ=x，则x=．15．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正弦值是．16．在矩形ABCD中，点M在线段BC上，点N在线段CD上，且AB=4，AD=2，MN=，则•的最小值是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17．已知α是第三象限，且sinα=﹣，求的值．18．已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3．（1）求与的夹角的余弦值；（2）求|+|；（3）求在+方向上的投影．19．已知函数f（x）=2cos（x+）+2sinx．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若f（x）=，求cos（2x+）的值．20．已知函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）．（1）若a=3，f（）=﹣5，求x的值；（2）若f（3a﹣1）＞f（a），求实数a的取值范围．21．将函数f（x）=2cos（x+）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的两倍，再把得到的曲线图象向左平移个单位，最后得到函数g（x）的图象．（1）求函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，π]时，求函数g（x）的最大值与最小值；（3）求不等式﹣1≤g（x）≤的解集．22．已知0＜a＜1，且函数y=a x与y=log a x的图象的交点的横坐标为x0．（1）求sin2x0的取值范围；（2）是否存在实数t，当0＜x＜x0，不等式5ta x+（4﹣3t）log a x＞0恒成立？若存在，求t 的取值范围；若不存在，说明理由．2015-2016学年河北省秦皇岛市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|8﹣2x＞0}，集合B={x|x=2n﹣1，n∈N*}，则A∩B等于（）A．{﹣1，1} B．{﹣1，3} C．{3，1，﹣1} D．{1，3}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的值确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：x＜4，即A=（﹣∞，4），由B中x=2n﹣1，n∈N*，得到B={1，3，5，…}（从1开始的连续奇数），则A∩B={1，3}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数f（x）=的定义域为（）A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣1，1）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】选作题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】要使函数f（x）=有意义，则，解不等式组则答案可求．【解答】解：∵要使函数f（x）=有意义，则，解得x≥0且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为：[0，1）∪（1，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．3．下列函数是以π为周期的偶函数的是（）A．y=tanx B．y=sin（x+）C．y=sin（2x+）D．y=cos（2x+）【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】逐一判断各个选项中三角函数的周期性和奇偶性，从而得出结论．【解答】解：由于y=tanx的周期为π，且是奇函数，故不满足条件；由于y=sin（x+）=cosx的周期为2π，且是偶函数，故不满足条件；由于y=sin（2x+）=cos2x的周期为π，且是偶函数，故满足条件；由于y=cos（2x+）=sin2x的周期为π，且是奇函数，故不满足条件，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的周期性和奇偶性，属于基础题．4．设，是平面捏一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（）A．﹣与﹣B．2+3与﹣4﹣6C．+与﹣ D．﹣+与﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】利用向量可以作为基底的条件是，两个向量不共线，由此分别判定选项中的两个向量是否共线即可．【解答】解：因为只有两个不共线的两个向量才能作为平面向量的基底，对应选项A，B，D的两个向量都共线，故不能作为基底；故选：C．【点评】本题考查了平面向量的解答的概念；关键是判定向量是否共线．5．已知y=（m2+m﹣5）x m是幂函数，且在第一象限是单调递减的，则m的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义判断即可．【解答】解：由题意得：，解得：m=﹣3，故选：A．【点评】本题考察了幂函数的定义以及函数的单调性问题，是一道基础题．6．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的一个周期的图象，如图所示，则f（x）的解析式为（）A．2sin（﹣）B．2sin（+）C．2sin（﹣）D．2sin（+）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的一个周期的图象，可得A=2，=7+1=8，∴ω=．再根据五点法作图可得，•（﹣1）+φ=0，求得φ=，∴函数f（x）=2sin（x+），故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．已知函数f（x）=，若f[f（）]=，则实数a等于（）A．16 B．9 C．4 D．1【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由分段函数的性质先求出f（）=﹣，再由f[f（）]=，得到=，由此能求出a的值．【解答】解：∵f（x）=，∴f（）=cos（）=﹣sin=﹣，∵f[f（）]=，∴f[f（）]=f（﹣）==，解得a=9．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．8．若log3tanα=﹣1，则sin2α+cos2α等于（）A．B．1 C．D．2【考点】三角函数中的恒等变换应用；对数的运算性质．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】根据题意，由对数的运算性质可得tanα=3﹣1=，对sin2α+cos2α变形可得sin2α+cos2α=，将tanα=代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，log3tanα=﹣1，则tanα=3﹣1=，而sin2α+cos2α=2sinαcosα+cos2α==，又由tanα=，则sin2α+cos2α==；故选：C．【点评】本题考查三角函数的恒等变换，涉及对数的运用，关键是求出tanα的值．9．知||=1，||=2，与的夹角为60°，=3+，=λ﹣，若⊥，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题；转化思想．【分析】由题设条件⊥可得•=0，将=3+，=λ﹣代入，展开，再将||=1，||=2，与的夹角为60°代入，即可得到关于参数的方程，求出参数的值【解答】解：由题意⊥可得•=0，又=3+，=λ﹣∴3λ﹣+（λ﹣3）=0又||=1，||=2，与的夹角为60°∴3λ﹣4+λ﹣3=0∴λ=故选C【点评】本题考查平面向量的综合题，解答本题关键是熟练掌握向量垂直的条件，数量积的运算性质，数量积公式，本题属于向量的基本运算题，难度中等．10．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】应用题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】易知函数为奇函数，且f（）＞0，即可判断．【解答】解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，又当x=时，f（）=＞0，故只有C符合，故选：C．【点评】本题考查了函数图象的识别，一般根据函数的奇偶性，单调性，特殊值，属于基础题．11．若存在x∈（0，+∞），使不等式ax+3a﹣1＜e﹣x成立，则实数a的取值范围为（）A．{a|0＜a＜} B．{a|a＜} C．{a|a＜} D．{a|a＜}【考点】特称命题．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】通过讨论a的范围，结合函数的性质从而求出a的范围即可．【解答】解：若a≤0，当x∈（0，+∞）时，ax+3a﹣1＜0，而＞0，此时结论成立；若a＞0，由于f（x）=在（0，+∞）递减，则0＜f（x）＜1，又f（x）与y轴的交点为（0，1）且g（x）=ax+3a=1与y轴的交点为（0，3a﹣1），如果存在x∈（0，+∞），使不等式ax+3a﹣1＜e﹣x成立，则，解得：0＜a＜，综上：a＜．故选：B．【点评】本题考察了一次函数以及指数函数的性质，考察分类讨论和转化思想，是一道中档题．12．已知锐角α，β满足+＜2，设a=tanαtanβ，f（x）=log a x，则下列判断正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（sinβ）D．f （cosα）＜f（cosβ）【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】反证法的思想可得α+β＜，进而可得sinα＜cosβ，a＜1，由对数函数的单调性可得．【解答】解：若锐角α，β满足α+β≥，则α≥﹣β，∴sinα≥sin（﹣β）=cosβ，即≥1；同理可得≥1这与+＜2矛盾，故锐角α，β满足α+β＜，即α＜﹣β，∴sinα＜sin（﹣β）=cosβ，∴＜1且＜1，∴0＜a=tanαtanβ=•=•＜1，∴f（x）=log a x单调递减，∴f（sinα）＞f（cosβ）故选：A．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及反证法和函数的单调性，属中档题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f（x）=（x2﹣4）lnx的零点个数为2．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的定义解方程f（x）=0，先求函数的定义域．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），由f（x）=0得x2﹣4=0或lnx=0，即x=2或x=﹣2（舍）或x=1，故函数的零点个数为2个，故答案为：2【点评】本题主要考查函数零点的求解，根据函数零点的定义解方程f（x）=0是解决本题的关键．注意定义域的限制．通过求出根的方法求出零点的个数，也是求零点的一个重要方法14．已知角θ的终边上一点P（x，3）（x＜0）且cosθ=x，则x=﹣1．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值．【分析】由任意角三角函数定义得=，由x＜0，能求出结果．【解答】解：∵角θ的终边上一点P（x，3）（x＜0）且cosθ=x，∴=，由x＜0，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角三角函数定义的合理运用．15．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正弦值是．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由三角形内角和以及二倍角公式可得得cos，再由诱导公式可得．【解答】解：设等腰三角形顶角为A，则cosA=，由三角形的内角和可得底角B==﹣，由二倍角公式可得cosA=2cos2﹣1=，解方程可得cos=，由诱导公式可得sinB=sin（﹣）=cos=，故答案为：．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及二倍角公式和三角形的内角和以及诱导公式，属基础题．16．在矩形ABCD中，点M在线段BC上，点N在线段CD上，且AB=4，AD=2，MN=，则•的最小值是10．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】先以所在的直线为x轴，以所在的直线为x轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系，表示出两个向量的数量积，根据MN=，再由三角换元，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即要求得数量积的最小值．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为x轴，建立坐标系如图，∵AB=4，AD=2，∴A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），设M（4，b），N（c，2），由MN=，可得（b﹣2）2+（c﹣4）2=5，又•=2b+4c，可令b=2+cosθ，c=4+sinθ，即有2b+4c=20+2cosθ+4sinθ=20+10sin（θ+α），当sin（θ+α）=﹣1时，取得最小值，且为10，故答案为：10．【点评】本题考查向量的数量积的坐标运算，考查数形结合的思想方法，以及三角换元和正弦函数的值域的运用，属于中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17．已知α是第三象限，且sinα=﹣，求的值．【考点】三角函数的化简求值．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】由α是第三象限，且sinα=﹣，可得cosα=﹣．再利用诱导公式化简即可得出．【解答】解：∵α是第三象限，且sinα=﹣，∴cosα=﹣=﹣．==﹣=3．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了变形推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3．（1）求与的夹角的余弦值；（2）求|+|；（3）求在+方向上的投影．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）先求出•，再根据夹角公式即可求出；（2）根据模的计算方法即可求出；（3）根据投影的定义即可求出．【解答】解：（1）∵||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3，∴4||2﹣3||2﹣4•=3，∴•=﹣，∴cos＜•＞===﹣；（2）|+|===；（3）在+方向上的投影为===．【点评】本题考查了平面向量的数量积和夹角向量的模以及向量的投影的应用问题，是基础题目．19．已知函数f（x）=2cos（x+）+2sinx．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若f（x）=，求cos（2x+）的值．【考点】余弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）首先通过恒等变换函数变形成正弦型函数，进一步求出单调区间；（2）先求出sin（x+）=，再根据二倍角公式即可求出答案．【解答】解：（1）函数f（x）=2cos（x+）+2sinx=2（cosx﹣sinx）+2sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），由2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z；（2）∵f（x）=，∴2sin（x+）=，∴sin（x+）=，∴cos（2x+）=1﹣2sin2（x+）=1﹣=．【点评】本题考查三角函数关系式的恒等变换，二倍角公式，正弦型函数的单调区间的求法．20．已知函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）．（1）若a=3，f（）=﹣5，求x的值；（2）若f（3a﹣1）＞f（a），求实数a的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）由f（）=﹣5列出方程，根据对数得运算法则解出x；（2）根据a的不同范围讨论f（x）的单调性，利用函数的单调性列出不等式解出a．【解答】解：（1）f（）=log3（）=﹣5，∴=3﹣5，∴x===38．（2）①若a＞1，则f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴3a﹣1＞a＞0，解得a＞1．②若0＜a＜1，则f（x）在（0，+∞）上是减函数，∴0＜3a﹣1＜a，解得＜a＜，综上，a的取值范围是（，）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了对数得运算性质，对数函数的单调性及应用，属于基础题．21．将函数f（x）=2cos（x+）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的两倍，再把得到的曲线图象向左平移个单位，最后得到函数g（x）的图象．（1）求函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，π]时，求函数g（x）的最大值与最小值；（3）求不等式﹣1≤g（x）≤的解集．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=f（（x+））=2cos （+）．（2）由x∈[0，π]，可求+∈[，]，由余弦函数的图象可得cos（+）∈[﹣，]，从而得解．（3）由﹣1≤g（x）≤，可求cos（+），由余弦函数的图象和性质可得不等式解集．【解答】（本题满分为12分）解：（1）g（x）=f（（x+））=2cos（+）…4分（2）∵x∈[0，π]，∴+∈[，]，∴cos（+）∈[﹣，]，∴y∈[﹣，1]，函数g（x）的最大值为1，最小值为﹣…8分（3）∵﹣1≤g（x）≤，∴cos（+），∴+≤+2kπ，或+≤，k∈Z，∴4kπ﹣2π≤x≤4k或4kπ﹣≤x≤4k，k∈Z，∴x∈[4kπ﹣2π，4k]∪[4kπ﹣，4k]，k∈Z…12分【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，余弦函数的图象和性质，由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了计算能力和数形结合的能力，属于中档题．22．已知0＜a＜1，且函数y=a x与y=log a x的图象的交点的横坐标为x0．（1）求sin2x0的取值范围；（2）是否存在实数t，当0＜x＜x0，不等式5ta x+（4﹣3t）log a x＞0恒成立？若存在，求t 的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数图象判断x0的范围得出2x0的范围，再根据正弦函数的图象的对称性讨论sin2x0的最值；（2）当0＜x＜x0时，对数函数大于指数函数，将不等式移项后得5ta x＞（3t﹣4）log a x，故两系数前正后负，列不等式解出t的范围．【解答】解：（1）分别作函数y=a x及y=log a x的图象如图，设它们的交点为P（x0，y0），显然x0＜1，y0＜1，而y0=log a x0＜1=log a a，又0＜a＜1，∴x0＞a，即a＜x0＜1．∴2a＜2x0＜2．若π﹣2a≥2，即0＜a≤时，sin2a≤sin2x0≤1，若π﹣2a＜2，即＜a＜1时，sin2≤sin2x0≤1．（2）当0＜x＜x0时，log a x＞a x＞0，假设存在符合条件的t，使得5ta x+（4﹣3t）log a x＞0恒成立，则5ta x＞（3t﹣4）log a x恒成立，∴，解得0≤t≤．∴t的范围是[0，]．【点评】本题考查了对数函数的图象与性质，函数恒成立问题，属于中档题．2016年2月28日。
河北省廊坊市2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理
2015-2016学年河北省廊坊市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若命题p：∀x∈R，x2﹣3x+5＞0，则该命题的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+5≤0 B．∃x∈R，x2﹣3x+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5＜0 D．∀x∈R，x2﹣3x+5≤02．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B． C． D．3．某商场有A、B、C、D四类产品，A、B、C、D分别有40，10，30，20种，现从这抽取一个容量为20的样本，则抽取的B、D两类产品种数之和是（）A．4 B．5 C．6 D．7）2）C．（2，4）D．（1.5，4）5．“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或 D．27．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2 B．4 C．8 D．168．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则动点P（n，m）的轨迹是（）A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分9．一个圆内有一个内接等边三角形，一动点在圆内运动，则此点落在等边三角形内部的概率为（）A．B．C． D．10．在空间四边形ABCD中，，P在线段AD上，且DP=2PA，Q为BC的中点，则=（）A．B．C．D．11．在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，所有的棱长都相等，M为B′C′的中点，N为A′B′的中点，则AM与BN所成角的余弦值为（）A．B． C．D．12．设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知空间向量，若，则x=．14．连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为．15．已知f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1，应用秦九韶算法计算x=2时的值时，v2的值为．16．下列四个命题中：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；②统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且r越大相关性越强；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题为真命题；④双曲线与双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．5000辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示．问：（1）求汽车速度在[50，70）的频率；（2）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数．18．如图，ABCD为边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角为45°，G，H分别为AB，EC的中点．（1）求证：GH∥平面ADEF；（2）求二面角F﹣BD﹣E的大小．19．已知椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，且离心率为．（1）求椭圆方程；（2）过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程．20．某商家开展迎新春促销抽奖活动，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动．（1）若抽奖规则是从一个装有3个红球和4个白球的袋中又放回地抽取2个球，当两球同色时则中奖，求中奖的概率；（2）若小张计划在10：00～10：40之间赶到，小李计划在10：20～11：00之间赶到，求小张比小李提前到达的概率．21．已知抛物线y2=ax（a＞0），过动点P（m，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤a．（1）求m的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．22．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD1垂直于平面ABCD，且，M是线段AB的中点．（1）求证：BC⊥AD1；（2）设N是线段AC上的一个动点，问当的值为多少时，可使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为，并证明你的结论．2015-2016学年河北省廊坊市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若命题p：∀x∈R，x2﹣3x+5＞0，则该命题的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+5≤0 B．∃x∈R，x2﹣3x+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5＜0 D．∀x∈R，x2﹣3x+5≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈R，x2﹣3x+5≤0，故选：A．2．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【解答】解：∵抛物线，即x2=2y中，p=1，=，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，），故选：B．3．某商场有A、B、C、D四类产品，A、B、C、D分别有40，10，30，20种，现从这抽取一个容量为20的样本，则抽取的B、D两类产品种数之和是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】分层抽样方法．【分析】先计算分层抽样的抽样比，再求抽取的B、D两类产品种数之和即可．【解答】解：共有产品100种，抽取容量为20的样本，各抽取=，故抽取的B、D两类产品种数之和为（10+10）×=6．故选：C．）2）C．（2，4）D．（1.5，4）【考点】线性回归方程．【分析】由已知表格中的数据，我们根据平均数公式计算出变量x，y的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，可得结论．【解答】解：由表中数据可得：=（0+1+2+3+4）=2，=（1+3+4+5+7）=4，∵回归直线一定经过样本数据中心点，故选：C．5．“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的方程进行判断即可．【解答】解：若x2sinα+y2cosα=1表示的曲线是椭圆，则满足sinα＞0，cosα＞0，且sinα≠cosα，即2kπ＜α＜2kπ+，且α≠2kπ+，k∈Z，则“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”必要不充分条件，故选：B6．已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由题意可得=2，即有b=2a，c==a，可得e==，故选：A．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】循环结构．【分析】根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S与n对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n即可．S与n对应变化如下表：故选C8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则动点P（n，m）的轨迹是（）A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分【考点】轨迹方程．【分析】由椭圆双曲线方程可求得焦点坐标，进而根据有相同的焦点，建立等式求得m和n 的关系即可．【解答】解：∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴9﹣n2=4+m2，即m2+n2=5（0＜n＜3）这是圆的一部分，故选：D．9．一个圆内有一个内接等边三角形，一动点在圆内运动，则此点落在等边三角形内部的概率为（）A．B．C． D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的面积进行计算即可．【解答】解：设圆的半径为R，则圆内接等边三角形的边长为R，则正三角形的面积S=×（R）2×=R2，圆的面积S=πR2，则点落在等边三角形内部的概率为P==，故选：B．10．在空间四边形ABCD中，，P在线段AD上，且DP=2PA，Q为BC的中点，则=（）A．B．C．D．【考点】空间向量的加减法．【分析】由于=，=﹣，=，即可得出．【解答】解：=，=﹣=﹣，==，∴=﹣++．11．在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，所有的棱长都相等，M为B′C′的中点，N为A′B′的中点，则AM与BN所成角的余弦值为（）A．B． C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AM与BN所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，设直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，所有的棱长都为2，则A（0，0，0），M（，，2），B（，1，0），N（，，2），=（），=（﹣，﹣，2），设AM与BN所成角为θ，则cosθ===．故选：B．12．设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），由和P（x0，y0）为椭圆上任意一点，列出方程组，能求出使得成立的P点的个数．【解答】解：设P（x0，y0），∵F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，∴F1（﹣4，0），F2（4，0），=（﹣4﹣x0，﹣y0），=（4﹣x0，﹣y0），∵，∴（﹣4﹣x0）（4﹣x0）+（﹣y0）2=﹣7，即=9，①又∵设P（x0，y0）为椭圆上任意一点，∴，②联立①②，得：或，∴使得成立的P点的个数为2个．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知空间向量，若，则x=4．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量垂直的性质求解．【解答】解：∵空间向量，，∴=﹣2（1﹣x）﹣x﹣2=0，解得x=4．故答案为：4．14．连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再用列举法求出出现朝上的点数之和等于8的基本事件个数，由此能求出出现朝上的点数之和等于8的概率．【解答】解：连续抛掷2颗骰子，基本事件总数n=6×6=36，出现朝上的点数之和等于8的基本事件有：（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4），共5个，∴出现朝上的点数之和等于8的概率为p=．故答案为：．15．已知f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1，应用秦九韶算法计算x=2时的值时，v2的值为8．【考点】秦九韶算法．【分析】由f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1=（（（x+1）x+2）x+4）x+1，即可得出．【解答】解：f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1=（（（x+1）x+2）x+4）x+1，∴x=2时，v0=1，v1=（2+1）×2=6，v2=6+2=8．故答案为：8．16．下列四个命题中：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；②统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且r越大相关性越强；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题为真命题；④双曲线与双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为①③④．【考点】复合命题的真假．【分析】根据复合命题判断①，根据线性关系判断②，根据对数函数函数性质判断③，根据双曲线的性质判断④．【解答】解：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题，故①正确；②用相关指数|r|来刻画回归效果，|r|越大，说明模型的拟合效果越好，故②错误；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题是：若lgx2≠0，则x≠1为真命题，故③正确；④双曲线中c2=13，双曲线中c2=13，有相同的焦点，故④正确；其中真命题的序号为：①③④，故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．5000辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示．问：（1）求汽车速度在[50，70）的频率；（2）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图分别求出[50，60）的频率和[60，70）的频率，由此能求出汽车速度在[50，70）的频率．（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知中位数落在[60，70）之间，由此能求出样本数据的中位数．【解答】解：（1）由频率分布直方图得[50，60）的频率为0.03×10=0.3，…[60，70）的频率为0.04×10=0.4，…∴汽车速度在[50，70）的频率为0.3+0.4=0.7．…（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知中位数落在[60，70）之间，0.1+0.3+（x﹣60）×0.04=0.5，…解得x=62.5，∴样本数据的中位数为62.5．…18．如图，ABCD为边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角为45°，G，H分别为AB，EC的中点．（1）求证：GH∥平面ADEF；（2）求二面角F﹣BD﹣E的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取DE的中点P，连接AP，PH，证明四边形AGHP为平行四边形，可得AP ∥GH，利用线面平行的判定定理证明：GH∥平面ADEF；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角F﹣BD﹣E的大小．【解答】（1）证明：取DE的中点P，连接AP，PH．∵PH为△EDC的中位线，∴PH∥DC且PH=DC．∵AG∥DC且AG=，∴四边形AGHP为平行四边形．∴AP∥GH，又∵AP⊄平面ADEF，GH⊂平面ADEF，∴GH∥平面ADEF…（2）解：如图建立空间直角坐标系，…由条件可知B（2，2，0），F（，0，1）．∵BE与平面ABCD所成角为45°，且DE⊥平面ABCD，∴DE=BD=2，∴E（0，0，2）∴=（，0，1），=（2，2，0）设平面FBD的法向量为=（x，y，z），则，∴取=（1，﹣1，﹣）…∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD．又∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC，∵DB∩DE=D，∴AC⊥平面BDE．∴=（﹣2，2，0）可作为面BDE的一个法向量∴cos＜，＞=…又∵二面角F﹣BD﹣E为锐二面角，∴其大小为45°．…19．已知椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，且离心率为．（1）求椭圆方程；（2）过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，令y=0，得焦点（2，0），再由离心率e==，能求出椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出l的方程．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，∴令y=0，得焦点（2，0），∴c=2，∵离心率e==，∴，解得a=4，∴b2=16﹣4=12，∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，∴由题意，x1+x2=6，y1+y2=2，，∴+=0，∴k l==﹣，∴l的方程为：y﹣1=﹣，即9x+4y﹣31=0．20．某商家开展迎新春促销抽奖活动，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动．（1）若抽奖规则是从一个装有3个红球和4个白球的袋中又放回地抽取2个球，当两球同色时则中奖，求中奖的概率；（2）若小张计划在10：00～10：40之间赶到，小李计划在10：20～11：00之间赶到，求小张比小李提前到达的概率．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据古典概型的概率公式进行计算即可．（2）根据几何概型的概率公式求出对应事件对应区域的面积进行计算即可．【解答】解：（1）从袋中7个球中的摸出2个，试验的结果共有7×7=49（种）…中奖的情况分为两种：（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为4×4=16；（ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为3×3=9．…所以，中奖这个事件包含的基本事件数为16+9=25．因此，中奖概率为．…（2）设小张和小李到达的时间分别为10点到11点之间的x，y分钟．用（x，y）表示每次试验的结果，则所有可能结果为Ω={（x，y）|0≤x≤4或0≤y≤60}；…记小张比小李提前到达为事件A，则事件A的可能结果为A={（x，y）|x＜y，0≤x≤4或0≤y≤60}；．…如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD．而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分．根据几何概型公式，得到P（A）===．所以，小张比小李提前到达的概率为．…21．已知抛物线y2=ax（a＞0），过动点P（m，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤a．（1）求m的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设出直线的方程与抛物线方程联立消去y，设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A，B，进而根据判别是对大于0，及x1+x2的和x1x2的表达式，求得AB的长度的表达式，根据|AB|的范围确定a的范围（2）求出线段AB的垂直平分线方程，得Q的坐标，进而表示出△NAB的面积，根据|AB|范围确定三角形面积的最大值．【解答】解：（1）设直线l的方程为y=x﹣m代入y2=ax，得y2﹣ay﹣am=0．设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），△=a2﹣4（﹣am）＞0，∴m＞﹣，y1+y2=a，y1y2=﹣am，|AB|=≤a，∴m，∴﹣＜m；（2）由（1）线段AB的中点坐标为（+m，），线段AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x﹣﹣m），令y=0，可得Q（m+a，0），Q到AB的距离d=，∴△QAB面积S=≤=，∴△QAB面积的最大值为．22．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD1垂直于平面ABCD，且，M是线段AB的中点．（1）求证：BC⊥AD1；（2）设N是线段AC上的一个动点，问当的值为多少时，可使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为，并证明你的结论．【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连接AC，推导出AC⊥BC，BC⊥CD1，从而BC⊥面ACD1，由此能证明BC ⊥AD1．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当=时，使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为．【解答】证明：（1）连接AC，在△ABC中，AB=2，AC=，BC=1，∵BC2+AC2=AB2，∴AC⊥BC，又∵CD1⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴BC⊥CD1，又AC∩CD1=C，AC⊂面ACD1，CD1⊂面ACD1，∴BC⊥面ACD1，∵AD1⊂面ACD1，∴BC⊥AD1．解：（2）当=时，使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为．证明如下：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD1为z轴，建立空间直角坐标系．C（0，0，0），A（），B（0，1，0），M（），D1（0，0，），由=，得C1（﹣，，），设N（a，0，0），（0＜a＜），设面的法向量=（x，y，z），则，即，取x=1，得=（1，，1），=（a，0，﹣），由题意|cos＜，＞|==，]解得a=或a=2（舍），∴当=时，使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为．2016年7月30日。
易错汇总2015-2016年河北省保定市高一上学期期末数学试卷和答案
的是（ ）
A．f （x）=
B． f（x）=ax C．f（ x） =loga（ ax） D．f（x）=x2﹣3ax+1
6．（5.00 分）已知函数 f（2x﹣1）=3x+a，且 f （3）=2，则 a 等于（ ） A．﹣ 3 B．1 C．﹣ 4 D．2 7．（ 5.00 分）在平行四边形 ABCD中，E 为 BC的中点， 设 =m +n ，则 m+n= （） A． B．1 C． D．2
①对于平面向量 ， ， ，若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ ；
②若函数 f（ x）=x2﹣2（1﹣a）x+3 在区间 [ 3，+∞）上单调递增，则实数 a 的取 值范围为 [ ﹣ 2， +∞）；
③若集合 A={ α| α＝ + ， k∈ Z} ，B={ β| β=kπ+ ，k∈Z} ，则 A=B．
④函数 y=2x 的图象与函数 y=x2 的图象有且仅有 2 个公共点．
8．（5.00 分）要得到函数
的图象可将 y=sin2x 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
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9．（5.00 分）函数 y= +x 的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（ 5.00 分）某同学在期末复习时得到了下面 4 个结论：
当 x＜0 时， y=﹣1+x．它的图象是一条过点（ 0，﹣ 1）的射线；
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对照选项， 故选： D．
10．（ 5.00 分）某同学在期末复习时得到了下面 4 个结论：
①对于平面向量 ， ， ，若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ ； ②若函数 f（ x）=x2﹣2（1﹣a）x+3 在区间 [ 3，+∞）上单调递增，则实数 a 的取 值范围为 [ ﹣ 2， +∞）； ③若集合 A={ α| α＝ + ， k∈ Z} ，B={ β| β=kπ+ ，k∈Z} ，则 A=B．
高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。
2015-2016年河北省唐山市高一上学期期末数学试卷带答案
14． （5.00 分）若 loga ＜1（a＞0 且 a≠1） ，则实数 a 的取值范围是 15． （5.00 分）△ABC 的三个顶点都在圆 O 上， 圆 O 的面积为 ． ，且|
16． （5.00 分）已知 ω＞0，在函数 y=sinωx 与 y=cosωx 的图象的交点中，距离最 短的两个交点间的距离为 ，则 ω 值为 ．
三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 17． （10.00 分）已知 sinα= （Ⅰ）求 cosα，tanβ； （Ⅱ）求 tan（α+β）的值． 18． （12.00 分）已知函数 f（x）=2（sin （Ⅰ）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当 x∈[﹣1，1]时，求函数 f（x）的值域． 19． （12.00 分）在 Rt△ABC 中，∠BCA=90°，P 为边 AB 上的一点， （Ⅰ）若 λ=3，试用 （Ⅱ）若| |=4，| ， 表示 • ； =﹣6，求 λ 的值． ． ）•cos ﹣1． ，cosβ= ，α∈（ ，π） ，β∈（﹣ ，0）
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8． （5.00 分）若 cos（ A． B．﹣ C．
）=（
）
9． （5.00 分）把函数 y=sin（4x+φ）图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵 坐标不变） ，再将图象上所有的点向右平 φ 的一个可能值为（ A． B． C． ） D． ）的部分 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则
） D． ．
【解答】解：sin660°=sin（720°﹣60°）=﹣sin60°=﹣ f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，|φ|＜ 图象如图所示，且 f（0）=f（ ） ，则（ ）
2015-2016学年河北省邢台市高一上学期期末数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015-2016学年河北省邢台市高一上学期期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：165分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、（2015秋•邢台期末）已知函数f （x ）=，则满足f[f （a ）]=3的实数a 的个数为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．162、（2015秋•邢台期末）已知映射f ：M→N ，其中集合M={（x ，y ）|xy=1，x ＞0}，且在映射f 的作用下，集合M 中的元素（x ，y ）都变换为（log 2x ，log 2y ），若集合N 中的元素都是集合M 中元素在映射f 下得到的，则集合N 是（ ） A ．{（x ，y ）|x+y=0} B ．{（x ，y ）|x+y=0，x ＞0} C ．{（x ，y ）|x+y=1} D ．{（x ，y ）|x+y=1，x ＞0}3、（2015秋•邢台期末）假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为0.4，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖两次都命中靶心的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，3，5，7表示命中靶心，1，4，6，8，9，0表示未命中靶心，再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35据此估计，该运动员两次投掷飞镖都正中靶心的概率为（ ） A ．0.16 B ．0.20 C ．0.35 D ．0.404、（2015秋•邢台期末）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人从1到840进行编号，求得间隔数k==20，即每20人抽取一个人，其中21号被抽到，则抽取的42人中，编号落入区间[421，720]的人数为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．155、（2015秋•邢台期末）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．lg97B ．lg98C ．lg99D ．26、（2015秋•邢台期末）已知a=0.85.2，b=0.85.5，c=5.20.1，则这三个数的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a7、（2015秋•邢台期末）函数f （x ）=2x ﹣x 2的零点所在的一个区间是（ ） A ．（﹣，0） B ．（，） C ．（，） D ．（4，+∞）8、（2015秋•邢台期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（ ）A ．至少有1个黑球与都是红球B ．至少有1个黑球与都是黑球C．至少有1个黑球与至少有1个红球D．恰有1个黑球与恰有2个黑球9、（2015秋•邢台期末）对变量x，y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，3，4，5），得表1；对变量u，v有观测数据（u i，v i）（i=1，2，3，4，5），得表2．由这两个表可以判断（）表1：x12345y2.93.33.64.45.1表2：u12345v2520211513A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关D ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关10、（2015秋•邢台期末）若函数f （x ）=ln （x ），则f （e ﹣2）等于（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣eD ．﹣2e11、（2015秋•邢台期末）某工厂的一个车间包装一种产品，在一定的时间内，从自动包装传送带上，每隔30min 抽一包产品，称其重量是否合格，记录抽查产品的重量的茎叶图如图所示（以重量的个位数为叶），则抽查产品重量的中位数和众数分别为（ ）A ．96，98B ．96，99C ．98，98D ．98，9912、（2015秋•邢台期末）设全集U={0，1，2，3，4}，∁U A={1，2}，B={1，3}，则A ∪B 等于（ ）A ．{2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，3，4}D ．{0，1，2，3，4}第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、（2015秋•邢台期末）已知函数f（x）=ln（x+）+ax7+bx3﹣4，其中a，b为常数，若f（﹣3）=4，则f（3）= ．14、（2015秋•邢台期末）已知一个样本x，1，y，5的平均数为2，方差为5，则xy= ．15、（2015秋•邢台期末）执行如图的程序，若输出的结果是2，则输入的x= ．16、（2015秋•邢台期末）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数x，则事件“3x﹣2≥0”发生的概率为．三、解答题（题型注释）17、（2015秋•邢台期末）已知函数f（x）=1+，g（x）=log2x．（1）设函数h（x）=g（x）﹣f（x），求函数h（x）在区间[2，4]上的值域；（2）定义min{p，q}表示p，q中较小者，设函数H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）．①求函数H（x）的单调区间及最值；②若关于x的方程H（x）=k有两个不同的实根，求实数k的取值范围．18、（2015秋•邢台期末）在一个不透明的袋中有5个形状、大小、质地均相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，5．（1）从袋中随机抽取两个小球；①用列举法写出全部基本事件；②求取出的两个小球编号之和不大于5的概率；（2）从袋中随机取一个小球记下它的编号m ，再将小球放入袋中，然后再从袋中随机取一个小球，记下它的编号n ，求函数f （x ）=x 2﹣2•x+m+1无零点的概率．19、（2015秋•邢台期末）中华龙鸟是生存于距今约1.4亿年的早白垩世现已灭绝的动物，在一次考古活动中，考古学家发现了中华龙鸟的化石标本共5个，考古学家检查了这5个标本股骨和肱骨的长度，得到如下表的数据：若由资料可知肱骨长度y 与股骨长度x 呈线性相关关系． （1）求y 与x 的线性回归方程y=x+（，精确到0.01）；（2）若某个中华龙鸟的化石只保留有股骨，现测得其长度为37cm ，根据（1）的结论推测该中华龙鸟的肱骨长度（精确到1cm ）．（参考公式和数据：b=，a=﹣，x i y i =19956，x=17486）20、（2015秋•邢台期末）已知函数f （x ）=b•a x （a ＞0且a≠1，b ∈R ）的图象经过点A （1，），B （3，2）． （1）试确定f （x ）的解析式；（2）记集合E={y|y=b x ﹣（）x +1，x ∈[﹣3，2]}，λ=（）0+8+，判断λ与E 关系．21、（2015秋•邢台期末）某地有2000名学生参加数学学业水平考试，现将成绩（满分：100分）汇总，得到如图所示的频率分布表．（1）请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；（2）将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率．22、（2015秋•邢台期末）已知一次函数y=f（x）满足f（x+1）=x+3a，且f（a）=3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+1在（0，2）上具有单调性，求实数λ的取值范围．参考答案1、C2、A3、B4、D5、C6、A7、B8、A9、A10、B11、C12、C13、﹣1214、﹣415、0或216、17、（1）[﹣2，0]；（2）①函数H（x）的单调递增区间为（0，4]，单调递减区间为[4，+∞），当x=4时，取最大值2，无最小值；②k∈（1，2）18、（1）①有以下10种取法：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45．②；（2）19、（1）y=1.23x﹣5.34；（2）40cm20、（1）f（x）=•2x=2x﹣2；（2）λ与E关系为λ∈E21、（1）见解析；（2）0.07522、（1）f（x）=x+2；（2）λ≤﹣6，或λ≥﹣2．【解析】1、试题分析：令f（a）=t，现在来求满足f（t）=3的t，容易判断f（t）为偶函数，所以可先求t≥0时的t，解出为t=1，或3．根据偶函数的对称性知，t＜0时，满足f（t）=3的解为﹣1，或﹣3，而接着就要判断以下几个方程：f（a）=1，f（a）=﹣1，f（a）=3，f（a）=﹣3解的个数，由于f（x）是偶函数，所以只需判断a≥0时以上几个方程解的个数即可，而a＜0时方程解的个数和a≥0时解的个数相同，最后即可得出满足f[f （a）]=3的实数a的个数．解：易知f（x）=﹣x2+4|x|为偶函数，令f（a）=t，则f[f（a）]=3变形为f（t）=3，t≥0时，f（t）=﹣t2+4t=3，解得t=1，或3；∵f（t）是偶函数；∴t＜0时，f（t）=3的解为，t=﹣1或﹣3；综上得，f（a）=±1，±3；当a≥0时，﹣a2+4a=1，方程有2解；﹣a2+4a=﹣1，方程有1解；﹣a2+4a=3，方程有2解；﹣a2+4a=﹣3，方程有1解．∴当a≥0时，方程f（a）=t有6解；∵f（x）是偶函数，∴a＜0时，f（a）=t也有6解；综上所述，满足f[f（a）]=3的实数a的个数为12．故选C．考点：分段函数的应用．2、试题分析：由题意可知N中元素的横纵坐标之和为0，以此确定N中元素的条件即可．解：∵xy=1，x＞0，∴log2x+log2y=log2xy=log21=0，由此排除C，D，由题意可知，N中的元素横坐标是任意实数，故选：A．考点：映射．3、试题分析：在20组随机数中，打出表示该运动员两次投掷飞镖都正中靶心的个数，据此估计，能求出该运动员两次投掷飞镖都正中靶心的概率．解：20组随机数中，表示该运动员两次投掷飞镖都正中靶心的有：25，73，75，35，共4个，∴据此估计，该运动员两次投掷飞镖都正中靶心的概率为：p==0.2．故选：B．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．4、试题分析：根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号421～720共300人中抽取的人数即可．解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．∴从编号421～720共300人中抽取=15人．故选：D．考点：系统抽样方法．5、试题分析：模拟执行程序框图，依次利用对数的运算性质计算每次循环得到的b的值，计算a的值，当a=100时不满足条件a＜100，退出循环，输出b的值为lg99．解：模拟执行程序框图，可得a=2，b=lg2，满足条件a＜100，b=lg2+lg=lg3，a=3满足条件a＜100，b=lg3+lg=lg4，a=4…满足条件a＜100，b=lg98+lg=lg99，a=100不满足条件a＜100，退出循环，输出b的值为lg99．故选：C．考点：程序框图．6、试题分析：分别考察指数函数y=0.8x以及y=5.2x，即可比较三个幂值的大小．解：∵指数函数y=0.8x在R上为单调减函数，∴0.85.5＜0.85.2＜1，∴b＜a＜1，∵c=5.20.1＞5.20=1∴b＜a＜c，故选：A．考点：指数函数的图象与性质．7、试题分析：将方程2x﹣x2=0的零点问题转化成函数y=x2与函数y=2x图象的交点问题，画出图象可得．解：∵f（x）=2x﹣x2，∴f（x）的零点问题转化为关于x的方程2x﹣x2=0，可化为2x=x2．分别画出函数y=x2和y=2x的图象，如图所示：由图可知，它们的交点情况是：恰有3个不同的交点．f（x）的最小零点在A点处，在区间（﹣1，﹣0.75）内，第二个零点是x=2，d在区间（，）内，第三个零点是x=4．故选：B．考点：函数零点的判定定理．8、试题分析：A是对立事件；B和不是互斥事件；D是互斥但不对立事件．解：从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，在A中：至少有1个黑球与都是红球，不能同时发生，也不能同时不发生，故A是对立事件；在B中，至少有1个黑球与都是黑球，能够同时发生，故B不是互斥事件，更不是对立事件；在C中，至少有1个黑球与至少有1个红球，能够同时发生，故C不是互斥事件，更不是对立事件；在D中，恰有1个黑球与恰有2个黑球，不能同时发生，但能同时不发生，故D是互斥但不对立事件．故选：A．考点：互斥事件与对立事件．9、试题分析：由图标直接看出，随着x的增大，对应的y值增大，随着u的增大，v 减小，由此可知两组变量的相关性．解：由图表可知，随着x的增大，对应的y值增大，其散点图呈上升趋势，故x与y正相关；随着u的增大，v减小，其散点图呈下降趋势，故u与v负相关．故选：A．考点：相关系数．10、试题分析：将x=e﹣2代入函数的表达式求出即可．解：∵函数f（x）=ln（x），∴f（e﹣2）=ln（e﹣2）=﹣2，故选：B．考点：对数的运算性质；函数的值．11、试题分析：抽查产品重量分别为89，96，97，98，98，99，103，即可求出抽查产品重量的中位数和众数．解：抽查产品重量分别为89，96，97，98，98，99，103，∴抽查产品重量的中位数和众数分别为98，98，故选：C．考点：茎叶图．12、试题分析：根据全集U及A的补集确定出A，求出A与B的并集即可．解：∵全集U={0，1，2，3，4}，∁U A={1，2}，B={1，3}，∴A={0，3，4}，A∪B={0，1，3，4}，故选：C．考点：并集及其运算．13、试题分析：由f（﹣3）=ln（﹣3+）﹣37a﹣33b﹣4=4，得到[ln（3+）+37a+33b=﹣8，从而求出f（3）的值即可．解：∵函数f（x）=ln（x+）+ax7+bx3﹣4，其中a，b为常数，由f（﹣3）=4，得：则f（﹣3）=ln（﹣3+）﹣37a﹣33b﹣4=4，∴[ln（3+）+37a+33b=﹣8，∴f（3）=ln（3+））+37a+33b﹣4=﹣8﹣4=﹣12，故答案为：﹣12．考点：函数的值．14、试题分析：利用平均数和方差公式列出方程组，由此能求出xy的值．解：∵一个样本x，1，y，5的平均数为2，方差为5，∴，解得xy=﹣4．故答案为：﹣4．考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．15、试题分析：本题考查条件语句，先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x的正负，根据函数值求出自变量即可．解：根据条件语句可知程序的功能是计算y=，当x＜1时，2x+1=2，解得：x=0，当x≥1时，x2﹣x=2，解得：x=2或﹣1（舍去），故答案为：0或2．考点：伪代码；选择结构．16、试题分析：由题意可得概率为线段长度之比，计算可得．解：由题意可得总的线段长度为1﹣0=1，在其中满足3x﹣2≥0即x≥的线段长度为1﹣=，∴所求概率P=，故答案为：．考点：几何概型．17、试题分析：（1）根据函数f（x）=1+在[2，4]上为减函数，g（x）=log2x在[2，4]上为增函数，可得函数h（x）的单调性，进而求出最值，可得函数的值域；（2）结合函数f（x）=1+在（0，+∞）上为减函数，g（x）=log2x在（0，+∞）上为增函数，且当x=4时，f（x）=g（x），可得函数H（x）的解析式，进而得到答案．解：（1）∵函数f（x）=1+在[2，4]上为减函数，g（x）=log2x在[2，4]上为增函数，∴函数h（x）=g（x）﹣f（x）=log2x﹣1﹣在[2，4]上为增函数，当x=2时，函数取最小值﹣2，当x=4时，函数取最大值0，故函数h（x）在区间[2，4]上的值域为[﹣2，0]；（2）当x=4时，f（x）=g（x），由函数f（x）=1+在（0，+∞）上为减函数，g（x）=log2x在（0，+∞）上为增函数，故当x∈（0，4）时，g（x）＜f（x），当x∈（4，+∞）时，g（x）＞f（x），故H（x）=min{f（x），g（x）}=．故①求函数H（x）的单调递增区间为（0，4]，单调递减区间为[4，+∞），当x=4时，取最大值2，无最小值；②当x→+∞时，H（x）→1，故若关于x的方程H（x）=k有两个不同的实根，则k∈（1，2）考点：分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．18、试题分析：（1）①从袋中随机抽取两个小球，利用列举法能求出全部基本事件．②取出的两个小球编号之和不大于5，利用列举法求出包含的基本事件个数，由此能求出取出的两个小球编号之和不大于5的概率．（2）从袋中随机取一个小球记下它的编号m，再将小球放入袋中，然后再从袋中随机取一个小球，记下它的编号n，利用列举法能求出函数f（x）=x2﹣2•x+m+1无零点的概率．解：（1）①从袋中随机抽取两个小球，有以下10种取法：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45．②取出的两个小球编号之和不大于5，包含的基本事件为：12，13，14，23，共4个，∴取出的两个小球编号之和不大于5的概率：p==．（2）从袋中随机取一个小球记下它的编号m，再将小球放入袋中，然后再从袋中随机取一个小球，记下它的编号n，基本事件总数为：5×5=25，∵函数f（x）=x2﹣2•x+m+1无零点，∴△=4n﹣1﹣4m﹣4=4（n﹣m）﹣5＜0，即n﹣m＜，∴条件的（m，n）有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），∴函数f（x）=x2﹣2•x+m+1无零点的概率p=．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．19、试题分析：（1）求出，代入回归系数公式解出，，得到回归方程；（2）把x=37代入回归方程求出y即为肱骨长度的估计值．解：（1）=（38+56+59+64+73）=58，=（41+63+70+72+84）=66，∴==1.23，=66﹣1.23×58=﹣5.34．∴y与x的线性回归方程是y=1.23x﹣5.34．（2）当x=37时，y=1.23×37﹣5.34≈40．∴此中华龙鸟的肱骨长度约为40cm．考点：线性回归方程．20、试题分析：（1）由图象经过点A（1，），B（3，2）可得ba=，ba3=2，联立解方程组可得；（2）令t=（）x，二次函数区间的最值求y=t2﹣t+1，t∈[，8]值域可得E，再由指数的运算化简可得λ，可得答案．解：（1）∵函数f（x）=b•a x（a＞0且a≠1，b∈R）的图象经过点A（1，），B（3，2），∴ba=，ba3=2，联立解得a=2，b=，故f（x）的解析式为f（x）=•2x=2x﹣2；（2）由（1）可得y=b x﹣（）x+1=（）x﹣（）x+1=[（）x]2﹣（）x+1，令t=（）x，由x∈[﹣3，2]可得t∈[，8]，故y=t2﹣t+1，t∈[，8]，由二次函数可知当t=时，y取最小值，当t=8时，y取最大值57，故E=[，57]，化简可得λ=（）0+8+=1+﹣=，故λ与E关系为λ∈E考点：函数解析式的求解及常用方法．21、试题分析：（1）根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，填写频率分布表，计算，补全频率分布直方图即可；（2）用分层抽样方法，该同学被抽中的概率是与每一个同学的几率相等，为．解：（1）完成题目中的频率分布表，如下；补全题目中的频率分布直方图，如下；（2）将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，他被抽中的概率为=0.075．考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．22、试题分析：（1）本题可以直接设一次函数的解析式，然后通过代入法，利用系数对应相等，建立方程组求解；（2）结合二次函数的图象和性质，构造不等式，解得实数λ的取值范围．解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），则f（x+1）=k（x+1）+b=kx+k+b=x+3a，故k=1，b=3a﹣1，又∵f（a）=3，即a+3a﹣1=3，解得：a=1，b=2，∴f（x）=x+2；（2）∵g（x）=x•（x+2）+λ（x+2）+1=x2+（λ+2）x+2λ+1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，若g（x）在（0，2）上具有单调性，则≤0，或≥2，解得：λ≤﹣6，或λ≥﹣2．考点：函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．。
河北省石家庄市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题(图片版)
石家庄市2015～2016学年度第一学期期末考试试卷高一数学（答案）一、选择题：二、 1-5CBCCD 6-10ADCCB 11C12【普通高中】D 【示范高中】C 二、填空题：1345-15．【普通高中】3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【示范高中】13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题：17．解：（I ）因为{|29}A x x =≤<，所以{|29}U C A x x x =<≥或， 所以(){}6,9U C A B x x x =≤≥或； —————4分（II ）因为A C ⊆，所以2279a a <⎧⎨+≥⎩， —————6分解得：12a ≤<， —————8分即：[)1,2a ∈—————10分18．解：因为∥a b ，所以cos 2sin αα= ——————3分即得：1tan 2α=——————6分所以：sin cos 122sin 2cos tan 2cos cos 25cos sin 1cos 3sin 13tan 313cos cos 2αααααααααααααα++++====-----⨯ —————12分 19．解：（I ）因为BD 为AC 边上的中线，所以1=2CD CA又因为=-CA BA BC =-a b —————2分所以：()11112222BD BC CD BC CA =+=+=+-=b a b a +b ， ——————6分（II ）因为3,4,60AB BC B ==∠=，所以=3,=4,,60<>=a b a b ， ——————8分()()()()222222221111122224441379121644BD BD ︒⎛⎫===+=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭=++=a +b a b a a b +b a a b cos60+b所以372BD =,即中线BD 2—————12分 20. 解：()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数． ——————2分证明如下：设1x ，2x 是(0,)+∞上的任意两个实数，且12x x <，则：12()()11f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎝⎝==——————8分因为：120x x <<，所以： 120x x -<0>—————10分所以：12()()0f x f x -<，即：12()()f x f x <所以()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数．——————12分21．解：（I ）22ππ()2sin 2112sin 244f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=--+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 22sin 222sin 223x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ——————3分令222232k x k πππππ-≤-≤+得：522266k x k ππππ-≤≤+，即：51212k x k ππππ-≤≤+， 所以函数()f x 的单调增区间为：()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. ——————6分 （II ）不等式()10f x m -+<在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立⇔()1f x m <-在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 所以只需求函数()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值即可. ——————8分 下面求()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值： 因为62x ππ≤≤，所以20233x ππ≤-≤， 所以当232x ππ-=，即512x π=时：max ()2f x = ——————10分 所以max1()2m f x ->=，解得：3m >，所以()3,m ∈+∞. ——————12分22． 解：（I ）()[]2222222log log log 2log ,1,4f x x a x x a x x =-⋅=-⋅∈，令2log t x =,则：()()2222y h t t a t t a a ==-⋅=--，又因为[]1,4x ∈，所以[]2log 0,2t x =∈—————2分(1)当0a <时：()min 00y h == (2)当02a ≤<时：()2min y h a a ==-(3)当2a ≥时：()min 244y h a ==- ——————5分 所以：()20,0,0244,2a g a a a a a <⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩——————6分（II ）(1) 当02n m ≤<<时，()2g a a =-在[]n m ，上是减函数，又因为值域为[],m n --，所以有：()()g n ng m m⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，即22n n m m ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，即实数,m n 是方程2x x -=-的根，又02n m ≤<<，解得：1m n =⎧⎨=⎩. ——————8分(2) 当02,2n m ≤<≥时，()g a 在[]n m ，上是减函数，又因为值域为[],m n --，所以有：244n n m m⎧-=-⎨-=-⎩，解得0n =或1n =，而423m =<，与2m ≥矛盾，故舍去. —————10分 (3) 当2m n >≥时，()g a 在[]n m ，上是减函数，又因为值域为[],m n --，所以有： 4444n n m m-=-⎧⎨-=-⎩,解得：423m n ==<，这与2m n >≥矛盾，故也舍去. 综上：存在1,0m n ==同时满足条件①②. ——————12分。
河北省邯郸市2015-2016学年高一上期末数学试题(有答案)AwwMUH
2015-2016学年河北省邯郸市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（）A．{2}B．{1，2}C．{1，3}D．{1，2，3}2．已知直线l的方程为y=x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°3．函数f（x）=﹣的定义域是（）A．[﹣3，1] B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）4．函数y=f（x）的图象与直线x=1的公共点数目是（）A．1 B．0 C．0或1 D．1或25．底面边长为2的正四棱锥V﹣ABCD中，侧棱长为，则二面角V﹣AB﹣C的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°6．a=log2，b=log，c=（）0.3（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c7．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β8．函数y=e|lnx|的图象大致为（）A．B．C．D．9．圆台的上下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图对应扇形的圆心角为180°，那么圆台的表面积是（）A．5πB．7πC．9πD．11π10．下列函数中，与y=的奇偶性和单调性都相同的是（）A．f（x）=x﹣1B．f（x）=x C．f（x）=x2D．f（x）=x311．如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A．16 B．12 C．9 D．812．定义域为R的偶函数f（x）满足：对任意x∈R都有f（2﹣x）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x ﹣1，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围为（）A．（0，） B．（，1）C．（0，）D．（，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1与BD所成的角是．14．已知函数f（x）=，则f（）+f（﹣2）的值为．15．已知集合A={x|mx2+2x﹣1=0}，若集合A中只有一个元素，则实数m的值为．16．已知三棱锥S﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若AC=AB=1，SC=2，∠BAC=120°，则球D的表面积为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知点A（2，1），B（﹣2，3），C（0，﹣3）．（1）若BC的中点为D，求直线AD的方程；（2）求△ABC的面积．18．如图AB是圆O的直径，点C是圆O上不同于A，B的一点，点V是圆O所在平面外一点．（Ⅰ）若点E是AC的中点，求证：OE∥平面VBC；（Ⅱ）若V A=VB=VC=AB，求直线VC与平面ABC所成角．19．已知直线l1：2x﹣y=0和直线l2：3x﹣y﹣1=0，它们的交点为A，分别求满足下列条件的直线方程．（Ⅰ）若直线m过点A且与直线3x+y﹣2=0平行，求直线m的方程；（Ⅱ）若点A关于直线x﹣y+2=0的对称点为点A′，直线n经过A′且与直线m垂直，求直线n的方程．20．如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，若CB=CD=CF=a．（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面AED；（Ⅱ）求三棱锥A﹣CDF的体积．21．某企业生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？22．已知函数f（x）=3x，x∈[﹣1，1]，函数g（x）=[f（x）]2﹣2af（x）+3．（Ⅰ）当a=0时，求函数g（x）的值域；（Ⅱ）若函数g（x）的最小值为h（a），求h（a）的表达式；（Ⅲ）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年河北省邯郸市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（）A．{2}B．{1，2}C．{1，3}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】直接利用集合的交集的求法求解即可．【解答】解：集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B={1，3}．故选：C．2．已知直线l的方程为y=x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【考点】直线的倾斜角．【分析】利用直线的倾斜角与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．∵直线的斜截式方程是y=x+1，∴tanθ=，∴θ=60°．故选：C．3．函数f（x）=﹣的定义域是（）A．[﹣3，1] B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由x2+2x﹣3＞0，得（x﹣1）（x+3）＞0，即x＜﹣3或x＞1．∴函数f（x）=﹣的定义域是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故选：D．4．函数y=f（x）的图象与直线x=1的公共点数目是（）A．1 B．0 C．0或1 D．1或2【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】根据函数的定义，对于每一个自变量的值，有且只有一个元素与它对应，需要针对于函数在x=1处有没有定义，若有则有一个交点，若没有，则没有交点，综合可得答案．【解答】解：若函数在x=1处有意义，在函数y=f（x）的图象与直线x=1的公共点数目是1，若函数在x=1处无意义，在两者没有交点，∴有可能没有交点，如果有交点，那么仅有一个．故选C．5．底面边长为2的正四棱锥V﹣ABCD中，侧棱长为，则二面角V﹣AB﹣C的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】二面角的平面角及求法．【分析】过V作平面ABC的垂线VO，交平面ABC于O点，过O作OE⊥AB，交AB于E，连结VE，则∠VEO是二面角V﹣AB﹣C的平面角，由此能求出二面角V﹣AB﹣C的度数．【解答】解：过V作平面ABC的垂线VO，交平面ABC于O点，过O作OE⊥AB，交AB于E，连结VE，由三垂线定理的逆定理得∠VEO是二面角V﹣AB﹣C的平面角，∵底面边长为2的正四棱锥V﹣ABCD中，侧棱长为，∴OE=AE=BE=1，VE==2，∴cos=，∴∠VEO=60°，∴二面角V﹣AB﹣C的度数为60°．故选：B．6．a=log2，b=log，c=（）0.3（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log2＜0，b=log=1，0＜c=（）0.3＜1，∴a＜c＜b．故选：B．7．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】对于A、由面面平行的判定定理，得A是假命题对于B、由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面，则所得平面与α、β都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论．对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可．【解答】解：对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n 所成的角为90°，故命题B正确．对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正确；对于D，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．故选B．8．函数y=e|lnx|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据复合函数的单调性即可判断．【解答】解：因为t=|lnx|=，当0＜x＜1时，函数y=|lnx|为减函数，当x≤1时，函数y=|lnx|为增函数，又因为y=e x为增函数，所以y=e|lnx|在（0，1）上为减函数，在[1，+∞）为增函数，故选：A．9．圆台的上下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图对应扇形的圆心角为180°，那么圆台的表面积是（）A．5πB．7πC．9πD．11π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】作出圆台侧面展开图，根据圆台的结构特征求出圆台的母线长，代入面积公式计算．【解答】解：作出圆台侧面展开图如图所示，则πOA=2π×1，πOB=2π×2，∴OA=2，OB=4，∴圆台的母线l=AB=2．∴圆台的表面积S=π×12+π×22+π×1×2+π×2×2=11π．故选：D．10．下列函数中，与y=的奇偶性和单调性都相同的是（）A．f（x）=x﹣1B．f（x）=x C．f（x）=x2D．f（x）=x3【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】先判断出y=x的奇偶性和单调性，再根据指数函数、二次函数、幂函数的奇偶性和单调性，依次判断出个选项中函数的奇偶性和单调性，可得答案．【解答】解：函数y=是奇函数，且在R上是单调递增函数，A、f（x）=x﹣1是奇函数，且在R上不是单调递增函数，故A不正确；B、f（x）=不是奇函数，故B不正确；C、f（x）=x2是偶函数，故C不正确；D、f（x）=x3，则x∈R，又f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x），所以此函数是奇函数，y=x3在R上是增函数，故D 正确，故选D．11．如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A．16 B．12 C．9 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据四棱锥的三视图，得出该四棱锥底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据四棱锥的三视图，得；该四棱锥是如图所示的直四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为4；所以，该四棱锥的体积为V=S•h=×（2+4）×4×4=16．底面积故选：A．12．定义域为R的偶函数f（x）满足：对任意x∈R都有f（2﹣x）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x ﹣1，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围为（）A．（0，） B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由f（2﹣x）=f（x）得出函数的周期，由y=f（x）﹣log a（x+1）=0得到f（x）=log a（x+1），利用函数的周期性和偶函数的性质，分别作出函数y=f（x）和y=log a（x+1）的图象，利用图象确定a的取值范围．【解答】解：对任意x∈R都有f（2﹣x）=f（x）∴f（x）的周期是2，且当x∈[0，1]时，f（x）=x﹣1，∴x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x﹣1，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，即f（x）和y=log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，画出函数图象，如图示：由图象得：＞﹣1，解得；0＜a＜，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1与BD所成的角是60°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】通过平移直线作出异面直线AD1与BD所成的角，在三角形中即可求得．【解答】解：如图，连结BC1、BD和DC1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．故答案为60°．14．已知函数f（x）=，则f（）+f（﹣2）的值为﹣．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2．f（﹣2）=2﹣2=．则f（）+f（﹣2）=﹣2+=﹣．故答案为：．15．已知集合A={x|mx2+2x﹣1=0}，若集合A中只有一个元素，则实数m的值为0或﹣1．【考点】集合的表示法．【分析】当m=0时，经检验满足条件；当m≠0时，由判别式△=4+4m=0，解得m的值，由此得出结论．【解答】解：当m=0时，显然满足集合{x|mx2+2x﹣1=0}有且只有一个元素，当m≠0时，由集合{x|mx2+2x﹣1=0}有且只有一个元素，可得判别式△=4+4m=0，解得m=﹣1，∴实数m的值为0或﹣1．故答案为：0或﹣1．16．已知三棱锥S﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若AC=AB=1，SC=2，∠BAC=120°，则球D的表面积为8π．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AB=1，AC=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆直径2r==2，∴r=1，∵SC⊥面ABC，SC=2，三角形OSC为等腰三角形，∴该三棱锥的外接球的半径R=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=8π．故答案为：8π．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知点A（2，1），B（﹣2，3），C（0，﹣3）．（1）若BC的中点为D，求直线AD的方程；（2）求△ABC的面积．【考点】中点坐标公式；点到直线的距离公式．【分析】（1）利用中点坐标公式、两点式即可得出．（2）利用两点之间的距离公式可得|BC|，再利用点到直线的距离公式可得A（2，1）到直线BC的距离d，利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵B（﹣2，3），C（0，﹣3），∴D（﹣1，0），∴直线AD的方程为．整理得：x﹣3y+1=0．（2）∵B（﹣2，3），C（0，﹣3），∴，又直线BC的方程为3x+y+3=0，则A（2，1）到直线BC的距离为．∴△ABC的面积为．18．如图AB是圆O的直径，点C是圆O上不同于A，B的一点，点V是圆O所在平面外一点．（Ⅰ）若点E是AC的中点，求证：OE∥平面VBC；（Ⅱ）若V A=VB=VC=AB，求直线VC与平面ABC所成角．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由三角形中位线定理得OE∥BC，由此能证明OE∥平面VBC．（Ⅱ）连接OC，推导出∠VCO为直线VC与平面ABC所成角，由此能求出直线VC与平面ABC所成角．【解答】证明：（Ⅰ）在△ABC中，∵O、E分为AB、AC中点，∴OE∥BC，…又∵OE⊄平面VBC，BC⊂平面VBC，∴OE∥平面VBC…解：（Ⅱ）连接OC，∵O为AB的中点，且V A=VB，∴VO⊥AB，…又∵VB=VC、OB=OC，∴△VOB≌△VOC，∴VO⊥OC，∴VO⊥平面ABC，…∴∠VCO为直线VC与平面ABC所成角，…∵VC=AB=2OC，∴∠VCO=60°．∴直线VC与平面ABC所成角为60°…19．已知直线l1：2x﹣y=0和直线l2：3x﹣y﹣1=0，它们的交点为A，分别求满足下列条件的直线方程．（Ⅰ）若直线m过点A且与直线3x+y﹣2=0平行，求直线m的方程；（Ⅱ）若点A关于直线x﹣y+2=0的对称点为点A′，直线n经过A′且与直线m垂直，求直线n的方程．【考点】待定系数法求直线方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）求出交点A的坐标，代入所求方程即可；（2）求出A′坐标，求出直线n的斜率，从而求出直线n的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意联立直线方程，解得A（1，2）…又因为直线3x+y﹣2=0的斜率为﹣3，则直线m的方程为3x+y﹣5=0…（Ⅱ）设A′（m，n），则，解得，即A′（0，3）…又因为与直线3x+y﹣5=0垂直的直线n的斜率为，则所求直线方程为，得直线n的方程为x﹣3y+9=0．20．如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，若CB=CD=CF=a．（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面AED；（Ⅱ）求三棱锥A﹣CDF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（I ）根据等腰三角形和等腰梯形性质可得∠ADB=90°，又BD ⊥AE ，得出BD ⊥平面ADE ，故而平面BDE ⊥平面AED ；（II ）V A ﹣CDF =V F ﹣ACD ．【解答】证明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，∵∠DAB=60°，∴∠CDA=∠DCB=120°又∵CB=CD ，∴∠CDB=30°，∴∠ADB=90°，即BD ⊥AD ．又∵AE ⊥BD ，AE ⊂平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，AD ∩AE=A ，∴BD ⊥平面AED ，又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面AED ．（Ⅱ）∵CB=CD=AD=a ，∠ADC=120°，∴S △ADC ==，∵FC ⊥平面ABCD ，且CF=a ，∴， ∴三棱锥A ﹣CDF 的体积为．21．某企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）（1）分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数的模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出两个函数解析式．（2）将企业获利表示成对产品B 投资x 的函数；令，将函数转化为二次函数，求出对称轴，求出函数的最值．【解答】解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为f （x ）万元，B 产品的利润为g （x ）万元， 由题意知f （x ）=k 1x ，，…由图可知f （2）=1，，g （4）=4，k 2=2… 从而，…（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入（10﹣x ）万元，设企业利润为y 万元．则，…令，则，…当t=2时，y max=7，此时x=10﹣4=6（万元）所以当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，企业获得最大利润为7万元…22．已知函数f（x）=3x，x∈[﹣1，1]，函数g（x）=[f（x）]2﹣2af（x）+3．（Ⅰ）当a=0时，求函数g（x）的值域；（Ⅱ）若函数g（x）的最小值为h（a），求h（a）的表达式；（Ⅲ）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．【考点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=0时，即可求出g（x）的值域；（Ⅱ）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=3x，x∈[﹣1，1]，∴，设t=3x，，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=0时，φ（t）=t2+3，，∴φ（t）∈[，12]，∴函数g（x）的值域是：[，12]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=；当时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故，（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵m＞n＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，∴，两式相减得6（m﹣n）=（m﹣n）•（m+n），又∵m＞n＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与m＞n＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．2016年7月31日。
【精品】2015-2016年河北省廊坊市高二上学期数学期末试卷(文科)与答案
2015-2016学年河北省廊坊市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）若命题p：∀x∈R，x2﹣3x+5＞0，则该命题的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+5≤0B．∃x∈R，x2﹣3x+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5＜0D．∀x∈R，x2﹣3x+5≤02．（5分）一个年级有20个班，每个班同学从1～50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为18的学生留下进行交流，这里运用的是（）A．分层抽样B．抽签法C．随机数表法D．系统抽样法3．（5分）抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．4．（5分）根据如下样本数据得到的回归直线方程必过点（）x01234y13457A．（2，2）B．（1.5，2）C．（2，4）D．（1.5，4）5．（5分）“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．27．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2B．4C．8D．168．（5分）已知函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+2x﹣1，则f（1）的值为（）A．﹣1B．0C．1D．29．（5分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则动点P（n，m）的轨迹是（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分10．（5分）一个圆内有一个内接等边三角形，一动点在圆内运动，则此点落在等边三角形内部的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）函数f（x）=（2a﹣1）lnx﹣x在（0，1）上为增函数，则实数a的取值范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a≥1D．0＜a≤1 12．（5分）设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线方程为．14．（5分）连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为．15．（5分）已知f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1，应用秦九韶算法计算x=2时的值时，v2的值为．16．（5分）下列四个命题中：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；②统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且r越大相关性越强；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题为真命题；④双曲线与双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）5000辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示．问：（1）求汽车速度在[50，70）的频率；（2）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数．18．（12分）已知函数f（x）=mx3﹣3x2+n﹣2（m≠0）．（1）若f（x）在x=1处取得极小值1，求实数m，n的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在x∈[﹣1，2]的最大值．19．（12分）已知椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，且离心率为．（1）求椭圆方程；（2）过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程．20．（12分）某商家开展迎新春促销抽奖活动，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动．（1）若抽奖规则是从一个装有3个红球和4个白球的袋中又放回地抽取2个球，当两球同色时则中奖，求中奖的概率；（2）若小张计划在10：00～10：40之间赶到，小李计划在10：20～11：00之间赶到，求小张比小李提前到达的概率．21．（12分）已知函数．（1）试判断f（x）在定义域内的单调性；（2）若f（x）在区间[1，e2]上的最小值为2，求实数a的值．22．（12分）已知抛物线y2=ax（a＞0），过动点P（m，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤a．（1）求m的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．2015-2016学年河北省廊坊市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）若命题p：∀x∈R，x2﹣3x+5＞0，则该命题的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+5≤0B．∃x∈R，x2﹣3x+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5＜0D．∀x∈R，x2﹣3x+5≤0【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈R，x2﹣3x+5≤0，故选：A．2．（5分）一个年级有20个班，每个班同学从1～50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为18的学生留下进行交流，这里运用的是（）A．分层抽样B．抽签法C．随机数表法D．系统抽样法【解答】解：每个班同学以1﹣50排学号，要求每班学号为18的同学留下来交流，数据之间的间距差相同，都为50，所以根据系统抽样的定义可知，这里采用的是系统抽样的方法．故选：D．3．（5分）抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．【解答】解：∵抛物线，即x2=2y中，p=1，=，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，），故选：B．4．（5分）根据如下样本数据得到的回归直线方程必过点（）A．（2，2）B．（1.5，2）C．（2，4）D．（1.5，4）【解答】解：由表中数据可得：=（0+1+2+3+4）=2，=（1+3+4+5+7）=4，∵回归直线一定经过样本数据中心点，故选：C．5．（5分）“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若x2sinα+y2cosα=1表示的曲线是椭圆，则满足sinα＞0，cosα＞0，且sinα≠cosα，即2kπ＜α＜2kπ+，且α≠2kπ+，k∈Z，则“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”必要不充分条件，故选：B．6．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．2【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由题意可得=2，即有b=2a，c==a，可得e==，故选：A．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：．由框图可知，程序运行时，数值S与n对应变化如下表：故S=2时，输出n=8．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+2x﹣1，则f（1）的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣2f′（1）x+2．则f′（1）=1﹣2f′（1）+2．得f′（1）=1，则f（x）=lnx﹣x2+2x﹣1，则f（1）=ln1﹣1+2﹣1=0，故选：B．9．（5分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则动点P（n，m）的轨迹是（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分【解答】解：∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴9﹣n2=4+m2，即m2+n2=5（0＜n＜3）这是圆的一部分，故选：D．10．（5分）一个圆内有一个内接等边三角形，一动点在圆内运动，则此点落在等边三角形内部的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆的半径为R，则圆内接等边三角形的边长为R，则正三角形的面积S=×（R）2×=R2，圆的面积S=πR2，则点落在等边三角形内部的概率为P==，故选：B．11．（5分）函数f（x）=（2a﹣1）lnx﹣x在（0，1）上为增函数，则实数a的取值范围是（）A．a＜1B．a≤1C．a≥1D．0＜a≤1【解答】解：∵f（x）=（2a﹣1）lnx﹣x，f′（x）=﹣1=，若f（x）在（0，1）上为增函数，则（2a﹣1）﹣x≥0在x∈（0，1）恒成立，即a≥=1，故选：C．12．（5分）设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设P（x0，y0），∵F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，∴F1（﹣4，0），F2（4，0），=（﹣4﹣x0，﹣y0），=（4﹣x0，﹣y0），∵，∴（﹣4﹣x0）（4﹣x0）+（﹣y0）2=﹣7，即=9，①又∵设P（x0，y0）为椭圆上任意一点，∴，②联立①②，得：或，∴使得成立的P点的个数为2个．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．【解答】解：由f（x）=xlnx，得，∴f′（1）=ln1+1=1，即曲线f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1），整理得：x﹣y﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣1=0．14．（5分）连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为．【解答】解：连续抛掷2颗骰子，基本事件总数n=6×6=36，出现朝上的点数之和等于8的基本事件有：（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4），共5个，∴出现朝上的点数之和等于8的概率为p=．故答案为：．15．（5分）已知f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1，应用秦九韶算法计算x=2时的值时，v2的值为8．【解答】解：f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1=（（（x+1）x+2）x+4）x+1，∴x=2时，v0=1，v1=（2+1）×2=6，v2=6+2=8．故答案为：8．16．（5分）下列四个命题中：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；②统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且r越大相关性越强；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题为真命题；④双曲线与双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为①③④．【解答】解：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题，故①正确；②用相关指数|r|来刻画回归效果，|r|越大，说明模型的拟合效果越好，故②错误；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题是：若lgx2≠0，则x≠1为真命题，故③正确；④双曲线中c2=13，双曲线中c2=13，有相同的焦点，故④正确；其中真命题的序号为：①③④，故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）5000辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示．问：（1）求汽车速度在[50，70）的频率；（2）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数．【解答】解：（1）由频率分布直方图得[50，60）的频率为0.03×10=0.3，…（1分）[60，70）的频率为0.04×10=0.4，…（2分）∴汽车速度在[50，70）的频率为0.3+0.4=0.7．…（4分）（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知中位数落在[60，70）之间，0.1+0.3+（x﹣60）×0.04=0.5，…（8分）解得x=62.5，∴样本数据的中位数为62.5．…（10分）18．（12分）已知函数f（x）=mx3﹣3x2+n﹣2（m≠0）．（1）若f（x）在x=1处取得极小值1，求实数m，n的值；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在x∈[﹣1，2]的最大值．【解答】解：函数f（x）的定义域是R，f′（x）=3mx（x﹣），（1）∵f（x）在x=1处取得极小值，∴，即，解得：，经检验符合题意；（2）由（1）得：f′（x）=6x（x﹣1），x∈（﹣1，0）∪（1，2）时，f′（x）＞0，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0），（1，2）递增，在（0，1）递减，∴f（x）max=max{f（0），f（2）}，而f（0）=2，f（2）=6，∴f（x）max=f（2）=6．19．（12分）已知椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，且离心率为．（1）求椭圆方程；（2）过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，∴令y=0，得焦点（2，0），∴c=2，∵离心率e==，∴，解得a=4，∴b2=16﹣4=12，∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，∴由题意，x1+x2=6，y1+y2=2，，∴+=0，∴k l==﹣，∴l的方程为：y﹣1=﹣，即9x+4y﹣31=0．20．（12分）某商家开展迎新春促销抽奖活动，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动．（1）若抽奖规则是从一个装有3个红球和4个白球的袋中又放回地抽取2个球，当两球同色时则中奖，求中奖的概率；（2）若小张计划在10：00～10：40之间赶到，小李计划在10：20～11：00之间赶到，求小张比小李提前到达的概率．【解答】解：（1）从袋中7个球中的摸出2个，试验的结果共有7×7=49（种）…（1分）中奖的情况分为两种：（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为4×4=16；（ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为3×3=9．…（3分）所以，中奖这个事件包含的基本事件数为16+9=25．因此，中奖概率为．…（5分）（2）设小张和小李到达的时间分别为10点到11点之间的x，y分钟．用（x，y）表示每次试验的结果，则所有可能结果为Ω={（x，y）|0≤x≤4或0≤y≤60}；…（7分）记小张比小李提前到达为事件A，则事件A的可能结果为A={（x，y）|x＜y，0≤x≤4或0≤y≤60}；．…（9分）如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD．而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分．根据几何概型公式，得到P（A）===．所以，小张比小李提前到达的概率为．…（12分）21．（12分）已知函数．（1）试判断f（x）在定义域内的单调性；（2）若f（x）在区间[1，e2]上的最小值为2，求实数a的值．【解答】解：由已知得f（x）得的定义域是（0，+∞），f′（x）=，（1）∵a＞0，∴﹣a＜0，当x∈（0，a）时，f（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f（x）＞0，∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（2）由（1）得：①0＜a≤1时，f（x）在在[1，e2]递增，∴f（x）min=f（1）==2，得a=2（舍），②当1＜a＜e2时，f（x）在（1，a）递减，在（a，e2）递增，∴f（x）min=f（a）=lna+=2，解得：a=，③当a≥e2时，f（x）在[1，e2]递减，∴f（x）min=f（e2）=2+=2，无解，综上：a=．22．（12分）已知抛物线y2=ax（a＞0），过动点P（m，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤a．（1）求m的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．【解答】解：（1）设直线l的方程为y=x﹣m代入y2=ax，得y2﹣ay﹣am=0．设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），△=a2﹣4（﹣am）＞0，∴m＞﹣，y1+y2=a，y1y2=﹣am，|AB|=≤a，∴m，∴﹣＜m ；（2）由（1）线段AB 的中点坐标为（+m ，），线段AB 的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x﹣﹣m ），令y=0，可得Q （m +a ，0）， Q 到AB 的距离d=，∴△QAB 面积S=≤=，∴△QAB 面积的最大值为．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f(p)f(q)()2bfa-xx<O-=f(p)f(q)()2bfa-x。
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第1页（共18页） 2015-2016学年河北省廊坊市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．全集U={0，﹣1，﹣2，﹣3}，M={0，﹣1，﹣3}，N={0，﹣3}，则（∁UM）∪N=（ ） A．∅ B．{﹣2} C．{﹣1，﹣3} D．{0，﹣2，﹣3}
2．已知α是第二象限角，其终边上一点，且，则sinα=（ ） A． B． C． D．
3．下列函数中与函数y=x相等的函数是（ ） A． B．y= C． D．y=log22x
4．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，记，，则向量=（ ）
A． B． C． D． 5．已知sinα﹣cosα=﹣，则tanα+的值为（ ） A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
6．已知m=0.95.1，n=5.10.9，p=log0.95.1，则这三个数的大小关系是（ ） A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m
7．下列函数中，是偶函数又在区间（0，+∞）上递增的函数为（ ） A．y=2|x| B．y=|log2x| C．y=x3 D．y=x﹣2
8．已知满足：，则（ ） A． B． C．3 D．2
9．方程2x=2﹣x的根所在区间是（ ） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 第2页（共18页）
10．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（ ） A． B． C． D．2
11．若，且函数，则f（x）
是（ ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为π的偶函数
12．给出下列四个命题： ①函数的一个对称中心坐标是；
②函数y=a（3﹣x）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（3，2）； ③函数f（x）=ln（2x﹣x2）的单调减区间是[1，+∞）；
④若函数f（x）的定义域（﹣1，1），则函数f（x+1）的定义域是（﹣2，0），
其中正确的命题个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（4）= ．
14．若α，β都是锐角，且cosα=，sin（α一β）=，则cosβ= ． 15．奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，若f（2）=0，则不等式f（x）＜0的解集是 ．
16．已知函数在R上单调，则实数a的取值范围
是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知cosα=且tanα＞0． （1）求tanα的值； 第3页（共18页）
（2）求的值． 18．已知集合． （Ⅰ）若时，求A∩B； （Ⅱ）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
19．设函数y=f（x）是定义在上（0，+∞）的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），． （1）求f（1）； （2）若存在实数m，使得f（m）=1，求m的值； （3）若f（x﹣2）＞1+f（x），求x的取值范围．
20．已知函数f（x）=log2（a为常数）是奇函数． （Ⅰ）求a的值与函数 f（x）的定义域； （Ⅱ）若当x∈（1，+∞） 时，f（x）+log2（x﹣1）＞m恒成立．求实数m的取值范围．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，
，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图． （Ⅰ）求∠OCM的余弦值；
（Ⅱ）是都存在实数λ，使，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，
若将y=f（x）的图象向右平移个单位，所得函数g（x）为奇函数． （1）求函数f（x）的解析式及单调增区间； （2）设函数，求函数y的最小值φ（m）． 第4页（共18页） 第5页（共18页）
2015-2016学年河北省廊坊市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．全集U={0，﹣1，﹣2，﹣3}，M={0，﹣1，﹣3}，N={0，﹣3}，则（∁UM）∪N=（ ） A．∅ B．{﹣2} C．{﹣1，﹣3} D．{0，﹣2，﹣3} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】对应思想；定义法；集合． 【分析】根据补集的定义求出∁UM，再计算（∁UM）∪N． 【解答】解：全集U={0，﹣1，﹣2，﹣3}，M={0，﹣1，﹣3}， ∴∁UM={﹣2}，
又N={0，﹣3}， ∴（∁UM）∪N={0，﹣2，﹣3}．
故选：D． 【点评】本题考查了补集与并集的应用问题，是基础题目．
2．已知α是第二象限角，其终边上一点，且，则sinα=（ ） A． B． C． D． 【考点】任意角的三角函数的定义． 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值． 【分析】由题意结合任意角的三角函数的定义求得x值，进一步求出P到原点的距离，再由正弦函数的定义得答案． 【解答】解：∵α是第二象限角，且其终边上一点， 则x＜0，
|OP|=，
∴cosα=， 又， ∴，
解得：x=﹣． ∴|OP|=，
则sinα=． 第6页（共18页）
故选：C． 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的象限符号，是基础的计算题．
3．下列函数中与函数y=x相等的函数是（ ） A． B．y= C． D．y=log22x 【考点】判断两个函数是否为同一函数． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】判断函数相等，先求出每个函数的定义域，然后判断与y=x的定义域是否相同，然后再判断解析式是否相同或可以化成相同的情况，即对应关系是否相同y=|x|． 【解答】解：函数y=x的定义域为R，对应关系为y=x．
对于A，函数y=的定义域为[0，+∞），故与y=x不是相同函数，故A错误； 对于B，函数解析式可化为y=|x|，所以对应关系不同，故B错误； 对于C．定义域为（0，+∞），故C错误；
对于D，易知函数，该函数的定义域为R，所以该函数与y=x相同． 故选D． 【点评】本题考查了函数相等的概念，主要是从定义域、对应关系两个方面来考虑．
4．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，记，，则向量=（ ）
A． B． C． D． 【考点】向量加减混合运算及其几何意义． 【专题】平面向量及应用．
【分析】由D是△ABC的边AB上的中点，可得．在△BCD中，利用向量的三角形法则可得，代入即可． 【解答】解：∵D是△ABC的边AB上的中点，∴．
在△BCD中，由向量的三角形法则可得=． 故选B． 【点评】熟练掌握向量共线定理和向量的三角形法则是解题的关键．
5．已知sinα﹣cosα=﹣，则tanα+的值为（ ） A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 第7页（共18页）
【专题】计算题；三角函数的求值． 【分析】先平方，可得sin2α=﹣，再切化弦tanα+=，可得结论．
【解答】解：∵sinα﹣cosα=﹣， ∴两边平方可得1﹣2sinαcosα=， ∴sin2α=﹣，
∴tanα+==﹣8， 故选：C． 【点评】本题考查同角三角函数关系，考查学生的计算能力，比较基础．
6．已知m=0.95.1，n=5.10.9，p=log0.95.1，则这三个数的大小关系是（ ） A．m＜n＜p B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m 【考点】对数值大小的比较；指数函数的单调性与特殊点． 【专题】计算题． 【分析】可从三个数的范围上比较大小 【解答】解：设函数f（x）=0.9x，g（x）=5.1x，h（x）=log0.9x 则f（x）单调递减，g（x）单调递增，h（x）单调递减 ∴0＜f（5.1）=0.95.1＜0.90=1，即0＜m＜1 g（0.9）=5.10.9＞5.10=1，即n＞1 h（5.1）=log0.95.1＜log0.91=0，即p＜0 ∴p＜m＜n 故选C 【点评】本题考查对数值比较大小，可先从范围上比较大小，当从范围上不能比较大小时，可借助函数的单调性数形结合比较大小．属简单题
7．下列函数中，是偶函数又在区间（0，+∞）上递增的函数为（ ） A．y=2|x| B．y=|log2x| C．y=x3 D．y=x﹣2 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】根据指数函数的单调性，减函数的定义，偶函数定义域的特点，以及奇函数和偶函数的定义便可判断出每个选项的正误，从而找出正确选项． 【解答】解：A．y=2|x|为偶函数，且x＞0时，y=2|x|=2x为增函数； 即该函数在（0，+∞）上递增，∴该选项正确； B．y=|logx|的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，不是偶函数，∴该选项错误； C．y=x3为奇函数，∴该选项错误； D．若x∈（0，+∞），x增大时，x﹣2减小，即y减小； ∴y=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，∴该选项错误．
故选：A．