实验数据的直线拟合

实验数据的直线拟合

设某一实验中，可控制的物理量取n x x x ,...,,21值时，对应的物理量依次取n y y y ,...,,21值。我们假定对i x 值的观测是准确的，而误差都出现在i

y 的观测上。如果从()i i y x ,中任取两组

实验数据就得出一条直线，那么这条直线的误差有可能很大。直线拟合的任务就是用数学分析的方法从这些观测到的数据中求出一个误差最小的最佳经验公式b mx y +=。按这一最佳经验公式作出的图线虽不一定能通过每一个实验点，但是它以最接近这些实验点的方式平滑地穿过它们。很明显，对应于每一个i x 值，观测值

i y 和最佳经验式的y 值之间存在一偏

差δ，我们称它为观测值i

y 的偏差，即

)(b mx y y y i i i --=-=δ （),...,3,2,1n i =

椐最小二乘法原理，()∑-=

2

y y

s i

最小，得到

()()[]∑+-=

2

,b mx

y b m s i

i

最小，所以根据最小条件：

()[]∑

=---=∂∂0

2i i i x b mx y m s

()∑=---=∂∂0

2b mx y b

s i i

()∑∑∑=--02i i

i

i

x b x

m x y

∑∑=--0nb x m y

i i

解得：

()()

xx

xy i

i

i

i

i i l l x x n y x y x n m =

--=

∑∑∑∑∑22

∑∑-=-=

x

m y n x m n y

b i i

式中()∑∑∑-

=

i

i

i i

xy

y x n

y x

l 1

()∑∑-

=

221

i

i

xx x n

x

l

()∑

∑-

=

221

i

i

yy y n

y l

为了检验线性拟合的好坏，定义相关系数r

yy

xx xy l l l r ∙=

斜率m 的标准差为

m n r s m ∙--=

2

1

1

2

截距的标准差为：

m b s x

s ∙=

2