自对偶码的构造
关于由广义Hardmard矩阵构造的码
文章编号:100021735(2004)0320271203关于由广义Hardmard 矩阵构造的码杨 丽1, 董学东2, 张庆灵1(11东北大学理学院,辽宁沈阳 110004;21辽宁师范大学数学学院,辽宁大连 116029)Ξ摘 要:定义了一种广义Hadamard 矩阵,讨论了广义正规Hadamard 矩阵的一些特性,利用广义正规Hadamard 矩阵构造了一种码,它们是自对偶的双偶码.关键词:Hadamard 矩阵;自对偶双偶码;Hamming 距离中图分类号:O157.4 文献标识码:A文[1]讨论了由Hadamard 矩阵构造的码,这些码具有某种自对偶性.文[2]定义了一种更为广泛的群上的Hadamard 矩阵.本文定义了一种广义Hadamard 矩阵.我们讨论了广义正规Hadamard 矩阵的一种特性,并且利用广义正规Hadamard 矩阵构造了一种码.这些码是自对偶的双偶码.由此推广了文[1]中的一些结果.1 预备知识定义1[3] 一个以+1和-1为元素,且满足H ・H T =n ・I 的n 阶方阵H 称为Hadamard 矩阵.定义2[1] 形如N H n =-11 (1)1 (3)1的n 阶Hadamard 矩阵称为正规Hadamard 矩阵.定义3[3] 任取X =(x 1,x 2,…,x n ),Y =(y 1,y 2,…,y n )∈V n ,定义内积为<X ,Y >=∑n i =1x 1y i [n ,k ]⊥={Y ∈V n |<X ,Y >=0,ΠX ∈[n ,k ]}称为线性码[n ,k ]的对偶码.如果[n ,k ]<[n ,k ]⊥,则称[n ,k ]码为自正交的.如果[n ,k ]=[n ,k ]⊥,则称[n ,k ]码为自对偶的.2 广义Hadamard 矩阵定义4 设J 是分量为是1的矩阵,一个以+1和-1为元素,且满足H ・H ⊥=mI +(n -m )J 的n 阶方阵H 称为广义Hadamard 矩车,记为GH n .这里m ≤n ,m 称为GH n 的单位阶.定义5 形如GN H n =-11 (1)1 (3)1的广义Hadamard 矩阵称为广义正规Hadamard 矩阵.Ξ收稿日期:2004204201基金项目:国家自然科学基金资助项目(10171042)作者简介:杨丽(19782),女,辽宁沈阳人,东北大学博士研究生.董学东(19612),男,内蒙古赤峰人,辽宁师范大学教授,博士.第27卷第3期2004年9月 辽宁师范大学学报(自然科学版)Journal of Liaoning N ormal University (Natural Science Edition ) V ol.27 N o.3Sep. 2004注记 m =n 时,GH n 和GNH n 分别为Hadamard 矩阵和正规Hadamard 矩阵.定理1 广义Hadamard 矩阵GH n 的单位阶m ≡0(m od2),且GH n 的行向量之间的Hamming 距离为m/2.证 设ξi ,ξj 分别为GH n 的第i ,j 行向量.由GH n 的定义知<ξi ,ξi >=n ,<ξi ,ξj >=n -m (i ≠j ).设u =|{k |a ik ・a jk =1,1≤k ≤n}|,v =|{k |a ij ・a jk =-1,1≤k ≤n}|,则u +v =n 且u -v =n -m 1因此u =n -m/2v =m/2因此得m ≡0(m od2)且d (ξi ,ξj )=m/2(i ≠j ).例1 设m =4,n =8,则GH 8如下:GN H 8=-111111111-111111111-111111111-111111111-111111111-111111111-111111111-1定理2 广义正规Hadamard 矩阵的单位阶m ≡0(m od4),且除第一行外每行有n -m/2+1个1和m/2-1个-1.证 令v l (i )表示GN H n 的第i 个行向量ξi 的后n -1个分量中1的个数,v 2(i )表示GN H n 的第i 个行向量ξi 的后n -1个分量中-1的个数.由GN H n 的定义知v 1(1)=n -1,v 2(1)=0.因为<ξ1,ξi >=n -m ,(1<i ≤n )所以-1+v 1(i )-v 2(i )=n -m(1)又因为<ξi ,ξi >=n所以1+v 1(i )+v 2(i )=n (2)由(1),(2)得v 1(i )=n -m/2且v 2(i )=m/2-1,所以GN H n 除第一行外其余每行均有n -m/2+1个1和m/2-1个-1,再令μ1(i ,h )=|{j |s ij =s hj =1,2≤j ≤n}|μ2(i ,h )=|{j |s ij =1,s hj =-1,2≤j ≤n}|μ3(i ,h )=|{j |s ij =-1,s hj =1,2≤j ≤n}|μ4(i ,h )=|{j |s ij =s hj =-1,2≤j ≤n}|则有,μ1+μ2=v 1(i )=n -m/2(3)μ3+μ4=v 2(i )=m/2-1(4)μ1+μ3=v 1(h )=n -m/2(5)μ2+μ4=v 2(i )=m/2-1(6)注意到<ξi ,ξh >=1+μ1+μ4-μ2-μ3=n -m (7)其中2≤i ≤h ≤n.当2≤i <h ≤n 时,由(3),(4),(5),(6),(7)得μ1=n -3m/4,μ2=μ3=m/4,μ4=m/4-1.由μ1,μ2,μ3,μ4的定义知m ≡0(m od4)272 辽宁师范大学学报(自然科学版)第27卷3 由广义正规Hadamard 矩阵构造的码设GN H n 是一个n 阶广义正规Hadamard 矩阵,GN H n =(s ij )n ×n ,J n 是分量都是1的矩阵.令K n =(GN H n +J n )/2,则K n 是一个0,1矩阵.设G n =(I n K n ),则G n 是一个n ×2n 矩阵,设x 1,…,x n 为G n 的行向量,将x i 看作向量空间V 2n =F 2n 2中的向量,可以定义F 2上由x i 生成的V 2n 的子空间l (GN H n ).称G n 为码l (GN H n )的生成矩阵.定理3 当n ≡0(m od4)时,且m =4(m od8)时,l (GN H n )是自对偶的双偶线性[2n ,n ]码.证 因为x 1,…,x n 在F 2上线性无关,因此dim (l (GN H n ))=n ,如果x i =(e i y i ),则w (x i )=1+w (y i ),(1≤i ≤n ),令y ij 为y i 的分量,则y ij =1Ζs ij =1y ij =0Ζs ij =-1,(1≤i ,j ≤n ).所以由定理2得w (x 1)=1+n -1=n.w (x i )=1+1+v i (x i )=2+n -m/2(i ≠1).又<x i ,x h >=∑n j =1y ij y hj =μ1(i ,h )+1=n -3m/4+1(i ≠1),<x 1,x h >=v 1(h )=n -m/2.设n =4k ,m =8l +4(m ≤n ),则2+n -m/2=2+4k -4l -2=4(k -l ),所以w (x i )均可被4整除(1≤i ≤n ),而<x i ,x h >=4k -3(2l +1)+1=4k -2l -2(i ≠1),<x l ,x h >=n -m/2=4k -4l -2,所以Πx i ,x h <x i ,x h >=0(在F 2上正交),所以l (GNH n )Αl (GNH n )⊥,而dim l (GN H n )=dim l (GN H n )⊥=n ,所以l (GN H n )是自对偶的双偶线性[2n ,n ]码.例2 如GNH 8如上例,则由GN H 8构造的码的生成矩阵如下:G 8=10000000011111110100000010111111001000001101111100010000111011110000100011110111000001001111101100000010111111010000000111111110则GN H 8构造码的生成矩阵重量均为8,可被4整除且相互正交,l (GN H 8)是一个[n ,2n ]线性的自对偶、双偶码.参考文献:[1] OZEKIM.Hadamard Matrices and Doubly Even Self 2Dual Error 2C orrecting C odes[J ].Journal of C ombinatorial Theory ,1987,A44:2742287.[2] BROCKB W.Hermitian C ongruence and the Existence and C om pletion of G eneralized Hadamard Matrices[J ].Journal of C ombinatorialTheory ,1988,A49:2332261.[3] LINT J H.Introduction to C oding Theory[M].New Y ork :S pringer 2Verlag ,1982.On Codes Constructed from G eneralized H ardmard MatricesY ANG Li 1, DONG Xue 2dong 2, ZHANG Qing 2ling1(1.School of Sciences ,N ortheastern University ,Shenyang 110004,China ;2.School of M athematics ,Liaoning N ormal University ,Dalian 116029,China )Abstract :A kind of generalized Hardmard matrices is defined.Then s ome special properties of generalized normal Hardmard matrices are discussed.Finally linear codes are constructed by using generalized normal Hardmard matri 2ces.These codes are doubly even and self 2dual codes.K ey words :Hardmard matrix ;D oubly even self 2dual code ;Hamming distance 第3期杨 丽等: 关于由广义Hardmard 矩阵构造的码273 。
具有3-(12,2)型自同构的二元自对偶极值码
具有3-(12,2)型自同构的二元自对偶极值码
樊继秋;谢敬然;杨庆
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2008(46)5
【摘要】给出了构造码长为38的具有3-(12,2)型自同构的二元自对偶极值码生成矩阵算法, 并通过运行Visual C++程序, 首次得到了这样的极值码, 判定新构造码的重量计数子是W2.
【总页数】3页(P870-872)
【作者】樊继秋;谢敬然;杨庆
【作者单位】东华理工大学,数学与信息科学学院,江西,抚州,344000;吉林大学,数学学院,长春,130012;吉林大学,数学研究所,长春,130012
【正文语种】中文
【中图分类】O157.4
【相关文献】
1.具有3阶自同构的二元自对偶码的一种分解性质 [J], 宋文兔
2.有19-(4,f)型自同构的二元自对偶码 [J], 王荣;王俊新
3.具有7-(8,0)型自同构的二元双偶极值码 [J], 王荣;王俊新
4.码长为38的二元自对偶极值码 [J], 杨庆
5.具有3-(12,2)型自同构的[38,19]二元自对偶码 [J], 宋文兔
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一类环上的码及其深度分布
一类环上的码及其深度分布
随着现代社会通信技术的不断进步,编码理论也在迅速发展壮大.1994
年,Hammons等人的研究表明,一些性能优异的非线性码可以作为有限环上的码在Gray映射下的像.他们的发现拓宽了线性码的研究领域,人们期待在有限环上构作出更多性质优良的码.近十年,随着有限链环上编码理论的日趋完善,人们开始关注有限非链环上码的研究.由于有限非链环结构的局限性,所以其上码的研究较为困难,目前关于它的研究成果还不是很多.自对偶码是一类特殊的线性码,它的构作方法多种多样,由于其自身良好的特性,一直是编码领域的研究热点.另一方面,码字深度是体现码字复杂性的一个重要指标,也是研究序列线性复杂度的重要工具,对于线性码的构造和分类具有重要作用.因而,自对偶码和码字深度的研究具有重要的理论意义.本文将研究一类有限非链环R=Fq+vFq+v2Fq(v3=v)上的码及其深度分布.首先,通过构造Gray映射和定义相关射影,将环R上的码与域Fq上的码建立联系,给出了环R上线性码以及自对偶码的一种构作方法,得到了域Fq上自对偶码和环R上自对偶码个数的关系式,并获得了环R上自对偶码存在的充要条件.其次,研究了环R上码字深度的性质以及计算码字深度的递归算法,证明了环R上线性码的深度谱(深度分布)问题可归结为域Fq上线性码深度谱(深度分布)问题.接着,讨论了域Fq上码字深度的一些性质.。
基于自对偶MDS码的P置换研究
基于自对偶MDS码的P置换研究
李强;李超
【期刊名称】《计算机工程与科学》
【年(卷),期】2006(028)001
【摘 要】P置换的设计是分组密码设计中的一个重要课题.一直以来,利用编码理论
中的MDS码可以设计出许多性质优良的P置换.本文讨论了线性码中的自对偶
MDS码,基于这种码,我们可以设计出性质比一般MDS码更好的P线性置换.文中
我们给出了一种基于自对偶的广义RS码的线性置换的构造方法.
【总页数】4页(P131-134)
【作 者】李强;李超
【作者单位】国防科技大学理学院,湖南,长沙,410073;国防科技大学理学院,湖南,长
沙,410073;国防科技大学计算机学院,湖南,长沙,410073;东南大学移动通信国家重
点实验室,江苏,南京,210018
【正文语种】中 文
【中图分类】TP309.7
【相关文献】
1.基于三个自对偶码的S-链和量子码构造 [J], 贺筱军;郭罗斌;李瑞虎
2.环F2+vF2上的自对偶置换码 [J], 张光辉;
3.基于自对偶码的LDPC码构造 [J], 晁海洲;倪翔飞
4.基于广义Reed-Solomon码构造的两类量子MDS码 [J], 李建涛;王伟伟
5.基于常循环码构造的两类纠缠辅助量子MDS码 [J], 王伟伟;李建涛
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由广义Hadamard矩阵构造三元码
如 果 ≤ １ （ １ ≤ｉ ， ｊ ≤ｎ ） ， 则 由（ １ ） 式 可 以 导 出
Ｉ ｄ ｅ ｔ Ａ Ｉ ≤ｎ “ ， 即Ｉ ｄ ｅ ｔ Ａ Ｉ ≤ｎ ． 而Ｈ ａ ｄ ａ ｍ ａ ｒ ｄ 矩阵可使得 不 等式 的等号 成立 ，这 就是 Ｈａ ｄ ａ ｍａ ｒ ｄ矩 阵 的由来
『 ３ １
定义 １ ． １ 称 Ｈ 为 一 个 ｎ阶 Ｈ ａ ｄ ａ ｍａ ｒ ｄ矩 阵 ，
若 Ｈ为一个 （ １ ， 一 １ ） 矩阵 ， 即以 ± １ 为元素 的 ｎ × ｎ 矩阵 ， 且满足 Ｈ Ｈ Ｔ ＝ ｎ Ｉ 其中 Ｉ 为 ｎ阶单位矩阵．
定义 １ － ２ 称 Ｈ ａ ｄ ａ ｍ ａ ｒ ｄ矩 阵 为 规 范 的 ， 若 Ｈａ ｄ ａ ｍ ａ ｒ ｄ矩 阵 的第 一行 和第 一列 的元 素全 为 １ ． 命题 ２ ． １［ ９ １ Ｈ ａ ｄ ａ ｍａ ｒ ｄ矩 阵 的各 行相 互 正交 ， 各列 也相 互正 交 由定 义 １ ． １ 可知 Ｈ Ｔ ＿ ｎ Ｈ ～ ， 从 而有 Ｈ与 可交 换， 即Ｈ Ｔ Ｈ ＝ ＨＨ Ｔ ＝ ｎ Ｉ Ｈ ａ ｄ ａ ｍａ ｒ ｄ矩 阵各 行 相互 正 交 ，各列 也相互 正
中图分 类号 ： ０ ２ ３ ６ ． ２
１ 引 言
文献 标识 码 ： Ａ
文章 编号 ： １ ６ ７ ３ — ２ ６ ０ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ８ — ０ ０ １ ３ — ０ ２
ｎ １ 线性码 Ｃ为 自对偶码． 在第 ２ 节 中主要讨论了广
义的 Ｈ ａ ｄ ａ ｍａ ｒ ｄ矩 阵 的一 些 性 质 ． 在 第 ３节 中我们 给 出并 证 明 了本 文 的主要 结果 ．
第２ ９ 卷 第 ８期 （ 上）
２ ０ １ ３年 ８月
利用经典码构造大码长量子MDS码
利用经典码构造大码长量子MDS码李选海;卢慧敏【摘要】构造具有良好参数的量子码是量子纠错码研究的一个重要问题。
量子M DS码达到了量子Singleton界，参数达到最优。
已知的非平凡量子MDS码的码长较小，构造具有较大码长的非平凡量子M DS码是一个公开的热点问题。
改进了构造自对偶码的building‐up方法，通过这种改进的新的构造方法获得了关于欧氏内积或者 Hermitian内积的自正交码，反复迭代构造具有较大码长的量子M DS码，具体给出了针对2种参数的构造方法。
还讨论了迭代的技巧和方法，并给出了迭代的步骤和适当的初始码，反复迭代获得较好性质的量子码。
%Constructing quantum codes with good parameters is of great importance .Quantum MDS codes meet the Singleton bound ,whose parameters are optimal .However ,the known non‐trifle quantum MDS codes have small length .It is an open question attracting much attention to construct quantum MDS codes with lager length .In this paper ,we improve the building‐up methods for self‐dual codes .With the new methods for two kinds of parameters ,we get the self orthogonal codes with Euclidean or hermitian inner product ,and the quantum MDS codes with lager length are gained by iteration .We also discuss the iteration technique ,and gain the iteration steps and proper initial co des .【期刊名称】《辽宁师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】5页(P161-165)【关键词】量子MDS码;Singleton界;自正交【作者】李选海;卢慧敏【作者单位】海军大连舰艇学院基础部，辽宁大连 116018;海军大连舰艇学院基础部，辽宁大连 116018【正文语种】中文【中图分类】O236.2量子纠错码是克服相消干的重要手段，在量子信息处理过程中对抗环境和噪声的影响.与经典码的研究相似，量子纠错码研究的重要内容是构造具有良好参数的量子码.对于一般域上的经典码来说，在已有条件下使参数达到最优，一直以来都是人们研究的热点[1-2].这里将k位q维量子系统编码为n位q维量子系统，码距为d 的量子码，记为[[n,k,d]]q.它的参数满足量子Singleton界，即n≥k+2d-2.达到量子Singleton界的码，被称为量子极大距离可分码，或简称为量子MDS码.量子MDS码的参数达到最优，长久以来受到人们的广泛关注和研究[3-6].其中利用经典码构造量子码仍然是十分直接有效的方法，也产生大量的量子MDS码.利用经典码构造量子MDS码可通过Calderbank-Shor-Stean(CSS)方法或者由Heimitian码的方法构造，但是用于构造的经典码必须满足2个条件：(1)关于欧式内积或者关于Hermitian内积自正交；(2)是MDS码.这2点要求使量子MDS 码较比一般量子码的构造更困难.另外，目前已知的量子MDS码码长较小，这与构造量子码的基域Fq有关.但如何在码长界限范围内构造出码长更大，甚至长度超过q的量子码一直是人们关注的热点问题.本文将文献[7]中的building-up方法作以改进，构造出非对偶的自正交码，讨论了迭代步骤和初始码，从而通过适当的迭代构造具有较大码长的非平凡量子MDS码.记，对任意，称为a,b的欧氏内积.记,∀b∈C}.如果，那么对任意，称为a,b的Hermitian内积.记,∀b∈C}.如果C⊆C⊥(或C⊆C⊥h)，则称C关于欧氏内积(或Hermitian内积)自正交.定理1 (CSS构造方法)如果存在Fq上线性码C=[n,k]，满足C⊆C⊥，则存在量子码[[n,n-2k,d]]q，其中，d=w(C⊥\C).定理2 (Hermitian码构造方法)如果存在Fq2上线性码C=[n,k]，满足C⊆C⊥h，则存在量子码[[n,n-2k,d]]q，其中，d=w(C⊥h\C).对于量子MDS码[[n,k,d]]q，如果k≤1或者k≥n-1，则称量子码是平凡的，否则称为非平凡的.由于经典MDS码的码长具有一定的限制条件，量子MDS码的码长也满足一定的存在范围.定理3[8] 量子MDS码[[n,k,d]]q满足(1)当码是平凡的，n可以是任意长度；(2)当码是非平凡的，4≤n≤q2+d-2≤2q2-2.根据定理3，非平凡量子MDS码码长上界为2q2-2，而对于已知的量子码来说，码长都比较小，这个界限过于宽松.实际上，这个界限似乎可以被缩紧到q2+2.人们关注于较大码长的量子MDS码的构造，具体地说有这样一个公开的热点问题：构造码长q≤n≤q2-1的量子码.令q为素数的方幂，且q≡1(mod 4).改进文献[7]中命题2.1和3.1的构造方法构造量子MDS码.定理4 因为q≡1(mod 4)，所以存在c∈Fq，使得c2=-1.如果存在Fq上长为n维数为k关于欧氏内积自正交的线性码C0，其生成矩阵为G0=(ri)(1≤i≤k)，令满足(x,x)=-1，令yi=(x,ri)，那么以定理5 记Fq2中本原q2-1次单位根为ζ，令，易知其满足c·cq=-1.如果存在Fq2上长为n维数为k关于Hermitian内积自正交的线性码C0，其生成矩阵为G0=(ri)(1≤i≤k)，令满足(x,x)=-1，令，那么以定理6 若Fq(或Fq2)上关于欧氏(或Heimitian)内积自正交的线性码C0=[n,k]利用构造方法1得到的自正交码C=[n+2,k+1]是MDS码，则存在量子MDS码[[n+2,n-2k,k+2]]q.证这里只证明C为Hermitian内积自正交的情况，欧氏内积自正交的情况类似可得.令H为C的校验矩阵，因为C是Fq2上的码，所以C⊥h以为生成矩阵.因为C 的最小距离为n-k+2，所以H任意n-k+1列均线性无关.如果Hq中存在n-k+1列线性相关，记为，即存在不全为0的c1,c2,…,cn-k+1∈Fq2使说明1 可反复应用定理4或定理5，直到得到满意码长的量子MDS码.(1)选定Fq(Fq2)上关于欧氏(Hermitian)内积的自正交码C0=[n,k,d]满足2k<n-1(此条件比自正交条件更强以获得非平凡量子MDS码)，其生成矩阵为G0；(2)选取适当的c满足c2=-1，在计算机上搜索，使其满足(x,x)=-1((x,x)h=-1)，计算yi=(x,ri)(yi=(x,ri)h)(i=1,…,n)，根据定理4(定理5)构造矩阵G；(3)搜索以G为生成矩阵的码C的最小距离d，若d=n-k+2，则C是MDS码，完成搜索.否则，回到步骤(2)，重新选取x；(4)根据定理1(定理2)，利用C构造量子码[[n,n-2k,k+2]]q；(5)比较n+1是否大于q，若n+1<q，回到步骤(1)，令C0=C,G0=G，重复上述步骤，可得到更大码长的非平凡量子MDS码.说明2 根据文献[7]命题2.2、命题3.2，对于q≡1(mod 4)任何关于欧氏内积或Heimitian内积的自正交码，都必然可由相应的定理5或定理6，通过选取适合的初始码C和x来构造获得.因此，对于以CSS方法和Hermitian码方法构造稳定子码而言，只要存在相应码长的量子MDS码，一定可由构造方法1来获得.例1 文献[9]构造了大量Fq2上关于Hermitian内积自正交码的生成矩阵，这里以2种情况为例，利用构造方法1构造量子MDS码.情况1 当6≤n≤q2-2，且n≡0(mod 2)，设n-4=2k1，存在b∈Fq，使得2k1+2b≠0，存在δ,γ,μ,ε,ω∈Fq2，使得情况2 当n=q2+2，设n=2k1+9，存在b∈Fq，使得2k1+4+4b≠0，令说明3 在情况2中，由文献[9]中引理3.3.8和定理3.3.1知，以A3,n为生成矩阵的码已经能够构造量子码[[n,n-6,4]]q，且n=q2+2>q是理想中的非平凡量子MDS码.文献[9]中构造方法虽然也可以通过增大n值，逐渐使构造所需的量子码，但是这种方法构造的均为[[n,n-6,4]]q参数模式的量子码，且每改变一次n值，生成矩阵的参数δ,γ,μ,ε,ω需要重新计算，比较复杂.如果使用构造方法1，计算一个相对较小的n值的情况，逐次迭代就可获得关于不同码长的量子MDS码，且是非平凡的.然而在反复迭代的过程中，发现将MDS码反复迭代次数过多，就只能得到近似MDS码(参数为[n,k,n-k]，见文献[7]中例4.7，n=2开始，迭代5次后，变为近似MDS码).基于以上原因，可以选择一个合适码长n，用文献[9]方法构造生成矩阵A3,n，然后利用构造方法1，做适当次迭代，构造理想长度的非平凡量子MDS码.令q为素数方幂，且q≡3(mod 4).改进文献[7]中方法构造量子MDS码.定理7 当q≡3(mod 4)，存在α,β∈Fq*，使α2+β2+1=0.如果存在Fq上长为n 维数为k关于欧氏内积自正交的线性码C0，其生成矩阵为G0=(ri)(1≤i≤k)，令，满足(x,x)=-1,yi=(x,ri)，那么以定理8 若对Fq上关于欧氏内积自正交码C0=[n,k]利用构造方法2得到自正交码C=[n+3,k+1]是MDS码，则存在量子码[[n+3,n-2k+1,k+3]]q.构造方法2针对欧氏内积，其步骤类似构造方法1，这里不再赘述.例2 文献[10]中讨论了duadic码的正交性：Fq上even-like的duadic码[n,(n-1)/2]是关于欧氏内积自正交的充分必要条件是μ-1给出了一个splitting(文献[10]中定理6.4.1).将这种自正交的duadic码作为C0，利用构造方法2，可搜索量子MDS码.以特殊的duadic码——二次剩余码为例说明.根据文献[10]中练习368，当码长n为素数满足n≡-1(mod 12)或n≡5(mod 12)，且t是偶数时，F3t上的even-like二次剩余码均是自正交的.此时如果令C0=[n,(n-1)/2]，利用构造方法2搜索x，得到的自正交码C=[n+3,(n+1)/2]是MDS码，则存在量子码[[n,2,(n+5)/2]]3t，这是非平凡的量子MDS码，且具有较强的纠错能力.针对量子MDS码的热点问题，给出了2种在域Fq上构造码长超过q的非平凡量子MDS码的方法，给出了具体的构造步骤，讨论了迭代技巧和可能的用于迭代的初始码，此种方法可以反复迭代增加码长达到需要.。
由Hadamard矩阵构造的码
由Hadamard矩阵构造的码
孙琳
【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(032)003
【摘要】由Hadamard矩阵构造的码称为Hadamard码.文章根据Hadamard
矩阵,用不同的方法构造出新的0,1矩阵,以此为生成矩阵生成了一类特殊的码;研究它的一些性质,证明了二元码C(2n-2, n-1)是自正交码的充分必要条件是
n≡4(mod8),以及二元码C(2n-2, n-1)是自正交码的充分必要条件是二元码C(2n-2, n-1)是自对偶码.
【总页数】3页(P446-448)
【作者】孙琳
【作者单位】合肥工业大学,数学系,安徽,合肥,230009
【正文语种】中文
【中图分类】O157.4
【相关文献】
1.一种基于超立方体图的Hadamard矩阵构造法 [J], 王岚;王敏峯
2.一种基于RS码的测量矩阵构造方法 [J], 倪加明;胡欢
3.用循环矩阵构造HADAMARD矩阵 [J], 赵杰
4.由广义Hadamard矩阵构造三元码 [J], 姜灏
5.基于Hadamard矩阵构造部分重复码 [J], 王静;孙伟;何亚锦;沈克勤;张鑫楠;刘
向阳
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码长为3(q2-1)的对偶包含BCH码及量子码的构造
（ １ ． Ｓｃ ｈｏ ｏ １ ｏ ｆ Ｅ１ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｉ ｎｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏｎ， Ｎｏ ｒ ｔ ｈ ｗｅ ｓ ｔ Ｐｏ ｌ ｙ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎｉ ｃ ａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ， Ｘｉ ａ ｎ ７１ ０ ０ ７ ２，Ｃｈｉ ｎ ａ； ２． Ｓｃ ｉ ｅ ｎｃ ｅ Ｃｏｌ ｌ ｅ ｇｅ，Ａｉ ｒ Ｆｏ ｒ ｃ ｅ Ｅｎ ｇｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ Ｕｎｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ，Ｘｉ ａ ｎ ７１ ０ ０ ５１，Ｃｈｉ ｎ ａ ）
一
３ （ ｑ 一 １）ａ ｒ ｅ ｄ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍｉ ｎｅ ｄ，ａ ｎｄ ａ ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ ｏｆ ＮＳ ａ ｎ ｄ ＮＮＳ ＢＣＨ ｃ ｏ ｄ ｅ ｓ ａ ｒ ｅ ｃ ｏｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｅ ｄ ａ ｎ ｄ ｔ ｈｅ ｉ ｒ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｓ
第 １ ６卷 第 ２ 期
２ ０ １ ５年 ４月
空
军
工
程
大
学
学
报（ 自然 科 学 版 ）
Ｖ ｏ１ ． １ ６ Ｎ Ｏ． ２
Ａ ｐｒ ． ２ ０１ ５
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ａ Ｉ Ｒ Ｆ Ｏ Ｒ Ｃ Ｅ Ｅ Ｎ Ｇ Ｉ Ｎ Ｅ Ｅ Ｒ Ｉ Ｎ Ｇ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ（ Ｎ Ａ Ｔ Ｕ Ｒ ＡＬ Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ Ｎ Ｃ Ｅ Ｅ Ｄ Ｉ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ ）
摘 要 利用分 圆陪集刻 划 ｑ 。 一 元Ｂ Ｃ Ｈ 码 包含 其 Ｈｅ ｒ ｍｉ ｔ ｉ ａ ｎ对 偶码 的条件 ， 分别 在 ｑ ＝３ ｌ ＋１和 ｑ
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。