高一数学集合间的基本关系的知识点

高一数学集合间的基本关系的知识点

1.1.2集合间的基本关系

1.Venn图

在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.

比如，中国的直辖市组成的集合为A，用Venn图表示如图所示.

【例1】试用Venn图表示集合A={x|x2-16=0}.

解：集合A是方程x2-16=0的解集，解方程x2-16=0，得x1=4，x2=-4，所以A={-4,4}，用Venn图表示如图所示.

对Venn图的理解Venn图表示集合直观、明确，封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等，没有限制.

2.子集

定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素

都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A

为集合B的子集.记法

与读法记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”).图示或示例具有北京市东城区户口的人组成集合M，具有北京市户口的

人组成集合P，由于任意一个具有北京市东城区户口的人都具有北

京市户口，所以有MP.结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA.

(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC.对子集的理解

(1)“AB”的含义：若xA就能推出xB.

(2)集合A是集合B的子集不能理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.

(3)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此时记作AB或BA.

(4)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，

如{0}N，而不能写成{0}N;“”只能用于元素与集合之间，如0N，

而不能写成0N.

【例2-1】已知集合M={0,1}，集合N={0,2,1-m}，若MN，则实

数m=__________.

解析：由题意知MN，又集合M={0,1}，因此1N，即1-m=1.故

m=0.

答案：0

【例2-2】已知集合M={xZ|-1≤x<3}，N={x|x=|y|，yM}，试判

断集合M，N的关系.

解：∵xZ，且-1≤x<3，

∴x的可能取值为-1,0,1,2.

∴M={-1,0,1,2}.

又∵yM，

∴|y|分别是0,1,2.

∴N={0,1,2}.

∴NM.

3.集合相等

如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A与集合B相等，记作A=B.用Venn图表示如图所示.

对集合相等的理解(1)A=BAB，且BA，这是证明两个集合相等的

重要依据;

(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的

元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合

相等;

(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合

相等的意义所在;

(4)集合中的关系与实数中的结论类比

实数集合a≤b包含两层含义：a=b，或a

A.P={1,4,7}，Q={1,4,6}

B.P={x|2x+2=0}，Q={-1}

C.3P,3Q

D.PQ

解析：对于A项，7P，而7Q，故P≠Q;对于B项，

P={x|2x+2=0}={-1}=Q;对于C项，由3P,3Q，不能确定PQ，QP是否

同时成立;对于D项，仅由PQ无法确定P与Q是否相等.

答案：B

【例3-2】设集合A={x，y}，B={0，x2}，若A=B，求实数x，y

的值.

解：由集合相等的定义，得或

(1)由得x=0，y=0，不满足集合中元素的互异性，故舍去;

(2)由得x=0，y=0或x=1，y=0，由(1)知x=0，y=0应舍去，x=1，y=0符合集合中元素的互异性.

综上，可得x=1，y=0.

4.真子集

定义如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合

B的真子集.记法记作AB(或BA).图示结论(1)AB且BC，则AC;

(2)AB且A≠B，则AB.对真子集的理解(1)若集合A是集合B的

子集，则集合A中所有元素都属于集合B，并且集合B中至少有一

个元素不属于集合A;

(2)子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集为前

提的.若集合A不是集合B的子集，则集合A一定不是集合B的真子集;

(3)与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的

真子集.

【例4】已知集合P={2012,2013}，Q={2011,2012，2013，2014}，则有()

A.P=Q

B.QP

C.PQ

D.QP

解析：很明显，集合P中的元素都属于集合Q，则PQ，但是

2014Q,2014P，所以PQ.

答案：C

5.空集

定义我们把不含任何元素的集合，叫做空集.记法规定空集是任

何集合的子集，即A特性(1)空集只有一个子集，即它本身，

(2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，则A{0}与的区别

{0}与

的区别{0}是含有一个元素的集合是不含任何元素的集合，因此{0}，注意不能写成={0}，{0}【例5-1】下列集合为空集的是()

A.{0}

B.{1}

C.{x|x<0}

D.{x|1+x2=0}

解析：很明显{0}和{1}都不是空集;因为{x|x<0}是全体负数组成的集合，所以{x|x<0}也不是空集;集合{x|1+x2=0}是一元二次方程

1+x2=0的解集，但是方程1+x2=0无实数解，所以{x|1+x2=0}=.

答案：D