初中数学九大几何模型
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初中数学九大几何模型
模型一：手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形
【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；
【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形
【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；
【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形
O
B C D
E
图 1
O
A
B
C
D E
图 2
O
A
B
C
D
E
图 1
O
A
B
C
D
E
图 2
【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB
【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=∠AOB ；③OE 平分∠AED
模型二：手拉手模型----旋转型相似（1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，
将△OCD 旋转至右图的位置
【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB→→→△OAC ∽△OBD ；②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA
（2）特殊情况
【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置
【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB→→→△OAC ∽△OBD ；②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ；③
===OA
OB
OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ；⑤连接AD 、BC ，必有22
22CD AB BC AD +=+；⑥BD AC 2
1
S △BCD ⨯=
O
A
B
C D
E
O
C
D E
图 1
图 2
O
B
C
D O
B
C
D
E
O
A
B C
D
E
O
A B
C
D
模型三：对角互补模型（1）全等型-90°
【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB
【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2
1
S S S =+=证明提示：
①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN
②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ；③2△OCD
△OCE OC 2
1
S S =-（2）全等型-120°
【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2
△OE
△OD △DE 4
3
OC S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；
②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
A
O
B
C
D
E 图 1
A O
B
C
D
E M N 图 2
A
O
B
C
D
E F
图 3
A O
B
C
D
E
M
N
图 4
A
O
B
C
E
F
A
O
B
C
E
F
F
（3）全等型-任意角ɑ
【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE ；【结论】：①OC 平分∠AOB ；②OD+OE=2OC·cosɑ；③α
cos αsin OC S S S 2△OCE △OCD △DCE ⋅⋅=+=模型四：角含半角模型90°（1）角含半角模型90°---1
【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF=45°；
【结论】：①EF=DF+BE ；②△CEF 的周长为正方形ABCD 周长的一半；也可以这样：
【条件】：①正方形ABCD ；②EF=DF+BE ；【结论】：①∠EAF=45°；
（2）角含半角模型90°---2
【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF-BE ；
A
O
B
E
D
C
A
B
C
D
E
F A
B C
D
F
G
（3）角含半角模型90°---3
【条件】：①Rt △ABC ；②∠DAE=45°；【结论】：222DE CE BD =+（如图1）
若∠DAE 旋转到△ABC 外部时，结论222DE CE BD =+仍然成立（如图2）
（4）角含半角模型90°
变形
A
B
C
D
E F A
B
C
D
E F A
B
C
D
E F
A
B D A
B
C
D E
F
A B
D
E
A
B
C
D
E
F
A
B
C D
G
H
F
E
A
B
C
D
G
H
F E