小升初数学专项题-第二十一讲 容斥原理(包含与排除)通用版

第二十一讲 容斥原理（包含与排除）
【知识梳理】容斥原理（包含与排除原理）：
（用|A|表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3）
原理一（二量重叠）：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，
可以分成两步进行：
第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，
加在一起）；第二步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）
总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣
原理二（三量重叠）：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个
数，可以分三步进行：
第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣； 第二步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，
∣C∩A∣；第三步：再加上∣A∩B∩C∣。
即有以下公式：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C
∩A|+|A∩B∩C
【典例精讲1】实验小学三年级一班统计考试成绩，数学得90分上的有35人；
语文得90分以上的有31人；两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科
都在90分以上的有多少人？
思路分析：设A={数学成绩90分以上的学生}，B={语文成绩90分以上的学生}，
那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，∣A∣
=35，∣B∣=31，∣A∪B∣=38，现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A
∩B∣，由容斥原理即可解决。
解答：设A={数学成绩90分以上的学生}，B={语文成绩90分以上的学生}，
∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=35+31-38=28
答：两科都在90分以上的有28人.
小结：解决这类问题关键要弄清楚重叠部分是多少。
【举一反三】1. 六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,
既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有多少人？
2. 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状，把它放在桌面上，
覆盖面积有多少平方厘米？

3. 在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有多少个？
【典例精讲2】希望小学六年级的课外小组分为音乐、下象棋、书法三个小组，
参加音乐小组的有23人，参加下象棋小组的有27人，参加书法小组的有18人；
同时参加音乐、下象棋两个小组的有4人，同时参加音乐、书法小组的有7人，
同时参加下象棋、书法小组的有5人；三个小组都参加的有2人。问：这个年级
参加课外小组共有多少人？
思路分析：用原理二（三量重叠）解决。
解答：设A={音乐小组的同学}，B={下象棋小组的同学}，C={书法小组的同学}，
A∩B={音乐、下象棋小组的同学}，A∩C={参加音乐、书法小组的同学}，B∩C={参
加下象棋、书法小组的同学}，A∩B∩C={三个小组都参加的同学}
由题意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18
∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2
根据容斥原理二得：
∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣
=23+27+18-（4+5+7）+2=54（人）
小结：解决这类问题要清楚哪些是两类都做的，哪些是三类都做的。
【举一反三】4. 某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有
4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优
秀。这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：
求这个班的学生人数。
5. 在1～1000这1000个自然数中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多
少个？

答案及解析：
1.【解析】利用容斥原理求出至少会一种的人数，再用总人数减去这些人数就可
以了。
【答案】：所求人数=全班人数-(会骑车人数+会游泳人数-既会骑车又会游泳人
数)=46-(17+14-4)=19(人)
答：两样都不会的有19人 。
2.【解析】：两个长方形如图摆放时出现了重叠，重叠部分恰好是边长为2厘米
的正方形，如果利用两个4×2的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那
么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次
就可以了，所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分。
【答案】： 4×2×2－2×2=12（平方米）
答：覆盖面积有12平方厘米。
3.【解析】利用容斥原理计算出至少能被5或7整除的数的个数，再用总个数相
减即可。
【答案】：
能被5整除的数共有1000÷5=200（个）；

能被7整除的数共有1000÷7=142（个）„„6（个）；
同时能被5和7整除的数共有1000÷35=28（个）„„20（个）。
所以，能被5或7整除的数一共有（即重复了的共有）：200＋142—28=314（个）；
不能被5或7整除的数一共有1000—314=686（个）。
4.【解析】要把一项优秀的、两项或者三项优秀计算出来，最后再把都没有获得
优秀的加起来就可以了。
【答案】：只有篮球一项达到优秀的有15—6—5+2=6（人）；
只有游泳一项达到优秀的有18—6—6+2=8（人）；
只有短跑一项达到优秀的有17—6—5＋2=8（人）。
获得两项或者三项优秀的有6＋6+5—2×2=13（人）。
另有4人一项都没获优秀。
所以，这个班学生人数是13＋6＋8＋8＋4=39（人）。
5.【解析】：根据容斥原理分类解决即可。
【答案】：被2整除,即 两个两个地数有多少组,1000\2=500 （\表示除后取整
数部分）
被3整除的有333个，被5整除的有200个，被2和3同时整除的有166个，
被2和5同时整除的有100个，被3和5同时整除的有66个，被2、3和5同时
整除的有33个，以上条件中不重复的数有 500+333+200-166-100-66+33=734
（个），所以,不能被2、3、5任何一个数整除的个数为1000-734=266个。