第一章 第一讲 随机试验、样本空间 随机事件ppt
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《概率统计教学资料》第1-3随机试验、样本空间和随机事件及概率节
有一个事件发生时，“指示灯不亮”，即D发生.
故D A (BC )
_____________
或D A(B C) A (BC )
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25
例如 将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7 遍,观察正面出现的次数及频率.
123 4 5 6 7
试验 序号
n5
n 50
n 500
nH
23
例： 设有3个事件A, B, C ，试用事件的运算关系 表示以下事件:
(1) 只有A发生 ABC (2) 至少有一个发生 A B C
(3) 恰好有一个发生 ABC ABC ABC (4)三个都不发生 ABC
(5) 至少有一个不发生 A B C 或= ABC
最多有一件事发生
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4.事件的交（积）(A B,或AB)
“事件A,B都发生” 也是一个事件.
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5.事件的差（B-A）
B A {x | x B,且x A}
B发生且A不发生
B
A
差积转化公式 B A BA B AB (其中AB B)
6.事件的互不相容 若A与B不能同时发生，即AB=φ， A B
注： 1o 必然事件S与不可能事件互逆;
2o 互斥与互逆的关系;
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事件运算定律（4种）
(1)交换律
A B B A.
AB BA.
(2)结合律 (A B) C A (B C). (AB)C A(BC).
(3)分配律 A(B C) AB AC.
A (BC) (A B)(A C).
概率论 (Probability theory) ——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学。
《有限样本空间与随机事件》课件
典型例题
指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件：
（1）某地1月1日刮西北风； 随机事件
（2）当x是实数时, x 2 0; 必然事件
(3)手电筒的电池没电,灯泡发亮； 不可能事件 （4）一个电影院某天的上座率超过50%。随机事件
（5）如果a＞b，那么a一b＞0；必然事件 （6）从分别标有数字l，2，3，4，5的5张标签中任取 一张，得到4号签; 随机事件 （7）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；随机事件 （8）随机选取一个实数x，得|x|<0. 不可能事件
规律方法
(1)如何确定试验的样本空间？ 提示：确定试验的样本空间就是写出试验的所有可
能的结果，并写成Ω={ω1，ω2，…，ωn}的形式.
(2)写试验的样本空间要注意些什么？ 提示：要考虑周全，应想到试验的所有可能的结 果，避免发生遗漏和出现多余或者重复的结果.
典型例题
例1抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出 试验的样本空间。
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解析：
若记(x，y)表示一次试验中，第一次取出的是x球与第二次
取出的y球， 样本空间为Ω={(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黑)， (白，红)，(白，白)，(白，黄)，(白，黑)， (黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)，(黄，黑)， (黑，红)，(黑，白)，(黑，黄)，(黑，黑)}
规律方法
在写样本空间时，一般采用列举法写出，必须首先
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1.1-1.2随机试验、样本空间
确定性现象的特征
条件完全决定结果
2. 不确定性现象
即在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 即在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 实例1 实例 在相同条件下掷 一枚均匀的硬币， 一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 正反两面出现的情况
结果有可能出现正 结果有可能出现正 也可能出现反面 出现反面. 面也可能出现反面
试写出下列试验的样本空间
试验1 对同一目标射击 次，考虑击中的 对同一目标射击10次 试验 次数， 次数，则 样本空间S= 样本空间 试验2 朝阳区 朝阳区120急救台一昼夜接受到的 试验 急救台一昼夜接受到的 呼唤次数 样本空间S= 样本空间 试验3 任取一块手机电池， 试验 任取一块手机电池，测试其寿命 样本空间S= 样本空间
试验不同, 对应的样本空间也不同. 说明 1. 试验不同 对应的样本空间也不同 2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应 若试验目的不同 则对应 间也不同. 的样本空 间也不同
建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 所以在具体问题的研究 中 , 描述随机现象的第一步就是建立 样本空间.
二、随机事件的概念
1. 基本概念
的子集称 随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称 的随机事件, 简称事件. 为 E 的随机事件 简称事件 用大写字母表示：A,B,C等 用大写字母表示： 等 如：样本空间 S = { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }. A=“正面出现一次”={HTT,THT,TTH} B=“正面出现两次”={HHT,HTH,THH}
ABC
ABC
AB C
ABC
AU B UC AB U BC U AC
随机试验样本空间
A1 , A2 ,, An 的和事件
n
Ai .
i 1
A1 , A2 ,, An , 的和事件
Ai .
i 1
(3) 事件的交(积)
“事件A与事件B 同时发生”，这样的事件 称为A与B的积事件.
记作 A B 或 AB. AB由既包含在A中又包
含在B中的样本点构成.
A1 , A2 ,, An 的积事件 ——
二、预备知识
1.集合与元素，全集，空集. 2.集合运算及其运算性质.
三、分析问题
(一) 样本空间与随机事件 对于随机试验,人们感兴趣的是试验结 果, 即每次随机试验后所发生的结果. 将随机试验的每一个可能的结果称为随 机试验的一个样本点,通常记作ω. 将随机试验E的所有样本点组成的集合 叫做试验E的样本空间,通常用字母S表示.由 一个样本点ω组成的单点集{ω}做基本事 件.
(3)对某工厂的产品进行检查,如连续查出2个次品或检 查4个产品后就停止检查,记录检查结果.
解：S1 {10, 11, 12, }
S2 {( x, y, z ) x 0, y 0, z 0, x y z 1 }
S 3 {00, 0100, 0101, 0110, 0111 ; 100, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 }
(6)对立事件(逆事件)
AB , A B S
——A与B互相对立
每次试验，A，B中有
且只有一个发生.
称B为A的对立事件(or逆事件)，记为
注意 “A与B 互相对立”与“A与B 互 斥”是不同的概念.
B A.
(7) 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An 两两互斥 ,且 S
大学应用统计学经典课件 ——随机事件
= 0.08 + 0.72 + 0.93 + 0.6 + 0.5
= 2.83
p
0.5
1
2
3
45
2.83
练习3 [产品的平均产值]
一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品五种， 相应的概率分别为0.7，0.1，0.1，0.06及0.04，若其 产值（单位：元）分别为6，5.4，5，4，0，求产品 的平均产值．
解 产品产值 是一个随机变量，其分布列为
6
5.4
5
4
0
P 0.7
0.1
0.1 0.06 0.04
所以
E ( ) 6 0 . 7 5 . 4 0 . 1 5 0 . 1 4 0 . 0 6 0 0 . 0 4
5.48
练习4
设 的分布列为
－2 －1
0
1
P 1/4 1/8
不是概率， 是频率。
为何连续随机 变量在数轴上 取任意点的概
率为0?
分布函数是X的某 个区间对密度函 数的积分。
注意：密度函数 f(x) 和 分 布 函 数 F(x0)的区别。
2
对比离散随机 变量的均匀分 布。
即 数 学 期 望 位 于 区 间 ( a ,b ) 的 中 点
均匀分布的数学期望与方差的推导:
概率
对比课本P105
数学期望就 是均值。
与算术加权平 均值比较，为 何没有N了 （P75）
试计算掷骰子 点数的数学期 望（均值）。
练习1
设 的分布列为
2
34
5
6
7
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
求 的数学期望．
2
概率论第一章概率论的基本概念第1节随机试验,样本空间、随机事件,频率与概率
A B
S
A
BA
S
事件A和B不能同时发生 。
事件A和B必有一个发生 ， 且仅有一个发生，A的对立
注:基本事件是两两互不相容的 。 事件记为 A，A S A 。
返回主目2录1
第一章 概率论的基本概念
随机事件的运算规律
幂等律: A A A, A A A
交换律: A B B A, A B B A
下列条件：
概率是随机事件发生大小的可能
10 0 P( A) ; 非负性 性的数字表征，是事件的“函数”！
20 P(S ) 1 ; 规范性
30 若A1, A2 , 是两两互不相容事件 ,则 可列可加性
P( A1 A2 ) P( A1) P( A2) 返回主目2录9
第一章 概率论的基本概念
f n ( A1 A2 Ak) f n ( A1) f n ( A2) f n ( Ak)
返回主目2录6
第一章 概率论的基本概念
2 ） 频率的稳定性 n=500时(硬币正面朝上的次数)
nA 251 249 256 253 251 246 244 fn(A) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488
A B S
A B S
事件A发生必然导致事件B发 生，也可说A是B的子事件。
返回主目1录6
第一章 概率论的基本概念
20 和事件 A B
推广：n个事件的和
A1发生或A2发生或 An发生
A
B A1, A2, , An至少有一个发生
S
称为 A1, A2 , , An 的和。记为：
n
A1 A2 An或 Ak
产生的结果)；
•必然事件 : 样本空间 S 本身(随机试验中必然发生的事件)； •不可能事件 : 空集(在随机试验中不可能发生的事件)。
概率论与数理统计第一讲随机试验、样本空间、随机事件、随机事件的概率
n
R n(A)=
fA n
25
随机事件一个极其重要的特征： 频 率 稳 定 性
抛掷钱币试验记录
试验者
抛币次数n
“正面向上”次 数
De Morgan 2084
1061
频率 0.518
Bufen
4040
2048
0.5069
Pearson
12000
6019
0.5016
Pearson
24000
12012
0.5005
12
7。 A U B S且A I B
B A
A与B互为对立事件（或互逆事件）
B A
互斥与互逆的区别？
13
2.事件运算定律
1交换律 : A B B A , AB BA; 2结合律 :A B C A B C ,
ABC ABC ; 3 分配律 : A BC AC BC ,
试验样本空间由如下 四？个样本点组成：
S={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}
5
如果试验是将一枚硬币抛掷三次，观察 正面出现的次数，则该试验样本空间如何组 成？
如果试验是将一枚硬币抛掷三次，观察 正反面出现的情况，则该试验样本空间如何 组成？
如果试验是测试某灯泡的寿命，则该试 验样本空间如何描述？
18
3. A、B、C中至少有一个发生
恰有1个发生
ABC 或
恰有2个发生
AB C ABC ABC A B C A B C A BC ABC
4. A、B、C都发生
ABC
3个都发生
19
5. A、B、C中至少有两个发生
A B B C AC 或
A BC AB C ABC ABC
R n(A)=
fA n
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随机事件一个极其重要的特征： 频 率 稳 定 性
抛掷钱币试验记录
试验者
抛币次数n
“正面向上”次 数
De Morgan 2084
1061
频率 0.518
Bufen
4040
2048
0.5069
Pearson
12000
6019
0.5016
Pearson
24000
12012
0.5005
12
7。 A U B S且A I B
B A
A与B互为对立事件（或互逆事件）
B A
互斥与互逆的区别？
13
2.事件运算定律
1交换律 : A B B A , AB BA; 2结合律 :A B C A B C ,
ABC ABC ; 3 分配律 : A BC AC BC ,
试验样本空间由如下 四？个样本点组成：
S={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}
5
如果试验是将一枚硬币抛掷三次，观察 正面出现的次数，则该试验样本空间如何组 成？
如果试验是将一枚硬币抛掷三次，观察 正反面出现的情况，则该试验样本空间如何 组成？
如果试验是测试某灯泡的寿命，则该试 验样本空间如何描述？
18
3. A、B、C中至少有一个发生
恰有1个发生
ABC 或
恰有2个发生
AB C ABC ABC A B C A B C A BC ABC
4. A、B、C都发生
ABC
3个都发生
19
5. A、B、C中至少有两个发生
A B B C AC 或
A BC AB C ABC ABC
1.1(随机试验与样本空间)
在公理化的基础上，现代概率论不仅在理论上取 得了一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就，其 应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震 预报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、经济 研究、金融和管理等领域．
第1章 概率论基础
1.1 随机试验与样本空间
1.1.1 随机试验
客观世界中存在着两类现象: 必然现象 随机现象
概括许多内容大不相同的实际问题.
例如 只包含两个样本点的样本空间
Ω {H, T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排
队的模型等.
1.1.2 样本空间
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
在一定条件下必然出现的现象，
称为必然现象；
实例: “太阳从东边升起” “水从高处向低处流” “同性电荷互斥”
1.1.1 随机试验
必然现象的特征
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
1827 ） 、 高 斯 （ Gauss, 德 ,1777-1855 ） 和 泊 松
（Poisson,法,1781-1840）等一批数学家对概率论作 了奠基性的贡献．
【概率论简史】
1812年，拉普拉斯所著《概率的分析理论》实现了
从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的
新时期．
19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中 心课题，是概率论的又一次飞跃，为后来数理统计的 产生和应用奠定了基础．契比谢夫（Chebyhev，俄， 1821-1894）对此做出了重要贡献．他建立了关于独立
第1章 概率论基础
1.1 随机试验与样本空间
1.1.1 随机试验
客观世界中存在着两类现象: 必然现象 随机现象
概括许多内容大不相同的实际问题.
例如 只包含两个样本点的样本空间
Ω {H, T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排
队的模型等.
1.1.2 样本空间
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
在一定条件下必然出现的现象，
称为必然现象；
实例: “太阳从东边升起” “水从高处向低处流” “同性电荷互斥”
1.1.1 随机试验
必然现象的特征
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
1827 ） 、 高 斯 （ Gauss, 德 ,1777-1855 ） 和 泊 松
（Poisson,法,1781-1840）等一批数学家对概率论作 了奠基性的贡献．
【概率论简史】
1812年，拉普拉斯所著《概率的分析理论》实现了
从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的
新时期．
19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中 心课题，是概率论的又一次飞跃，为后来数理统计的 产生和应用奠定了基础．契比谢夫（Chebyhev，俄， 1821-1894）对此做出了重要贡献．他建立了关于独立
1.2 样本空间、随机事件
S
A=B，则称事件 相等。 若 A ⊂ B 且 B ⊃ A ，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。
2°事件 A U B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }称为事件 A 与 B 的 ° 中至少有一个发生。 和事件，它指的是事件 A 与事件 B 中至少有一个发生。 事件，它指的是事件
如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机试验来研究的 研究方法？数学方法？ 研究方法？数学方法？ 将E的结果数量化！---用集合：S={e}，A，B… 的结果数量化！---用集合：S={e}， 用集合 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数） 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数）… 概率论研究的主线？ 概率论研究的主线？ 1、事件表示：---利用事件间关系、运算表示较复 事件表示：---利用事件间关系、 利用事件间关系 杂事件… 杂事件 计算事件的概率：----利用概率的定义 性质、 利用概率的定义、 2、计算事件的概率：----利用概率的定义、性质、 概率运算公式… 概率运算公式
2. 几点说明
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 基本事件
S 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生，称为 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生， 必然发生 必然事件; 必然事件; 空集∅ 作为 S 的一个子集，在每次试验中都不会发生，称 的一个子集，在每次试验中都不会发生， 都不会发生 为不可能事件 不可能事件. 事件
子集
事件间关系。。。 随机事件→事件间关系。。。 事件间关系
集合→ 集合→集合间关系运算
定义于集合的函数： 定义于集合的函数：函数
概率论 样本空间、随机事件
S4 ={1,2,3,4,5,6}； S5 ={0,1,2…}； S6 ={t | t≥0} t为灯泡寿命； S7 ={(x,y)|T0≤x≤y≤T1},这里x表示最低温度，y 表示最高温度，并设这一地区的温度不会小 于T0，也不会大于T1。 S8 ={(x,y)|x2+y2≤100}, 注意：样本空间的元素是由试验的目的所确 定的。例如，在E2和E3种同是将一枚硬币连 抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空 间也不一样。
反之，当且仅当“接点a未闭合”与“接点 b、c都未闭合”二事件中至少有一事件发 生时，指示灯不亮；所以有
．
这个等式也可以由等式 D= A（B∪C） 利用De Morgan对偶律得到．事实上，我 们有
例7 设A，B，C，D是四个事件，用A，B，C， D的运算关系表示下列事件。 （1）A1：“A，B，C，D中仅有A发生” （2）A2：“A，B，C，D中恰有一个发生” （3）A3：“A，B，C，D中至少有一个发生” （4）A4：“A，B，C，D中至少有两个发生” （5）A5：“A，B，C，D中至多有一个发生” （6）A6：“A，B，C，D中至多有两个发生” （7）A7：“A，B，C，D都不发生” （8）A8：“A，B，C，D不都发生” （9）A9：“A，B，C，D中至多一个发生，但D 不发生” （10）A10：“A，B，C，D中至多一个不发生”
7. 事件的对立
AB , A B
— A 与B 互相对立 A 每次试验 A、 B中 有且只有一个发生 称B 为A的对立事件 (or 逆事件)， 记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
B A
运算律
事件 运算 对应 集合 运算
吸收律