大学课件 概率论与数理统计 第一章 随机事件与概率
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概率论与数理统计课件
P (B ) = P ( AB ) + P (A B )
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第一章 概率与随机事件
例 1 （续）
b P ( AB ) = 2 (a + b)
2
2
ab P (A B ) = 2 (a + b)
b ab b P( B) = + = 2 2 (a + b) (a + b) a + b
P ( AB ) 而， P (B A) = P ( A)
P ( A ) = P (B ) = P (C ) =
2
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1 P ( AB ) = P (BC ) = P ( AC ) = 4
第一章 概率与随机事件
1 P ( ABC ) = 4
由此可见
P ( AC ) = P ( A )P (C )
P (BC ) = P (B )P (C )
P ( AB ) = P ( A )P (B )
第一章 概率与随机事件
3) 若随机事件 A 与 B 相互独立，则 相互独立，
A 与 B、 A 与 B 、 A 与 B
也相互独立. 也相互独立 解：为方便起见，只证 为方便起见， 由于 相互独立.． A 与 B 相互独立
P A B = P (B − AB )
( )
注意到
P A B = P (B ) − P ( AB )
记 A={1，2，3，4}， B={4，5，6}， ， ， ， ， ， ， ， C={3，4，5} ， ， 1 则： P ( A ) = 2 , P (B ) = P (C ) = , 2 3
但
1 P ( ABC ) = = P ( A) P (B ) P (C ) 6 1 1 P ( AB ) = ≠ P ( A) P ( B ) = 6 3
概率论与数理统计(浙大版)第一章课件
然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科.
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
8
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机
试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
4
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
察出现的点数.
5
实例4 从一批含有正品
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
其结果可能为:
正品 、次品.
则 C A B AB 格”,Ｂ＝“直径合格”．
30
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
n
称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 积 事 件 ;
事件 A 发生 事件B 发生
实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格” 所以 A B
27
2.事件的相等
若两个事件 A 和B 相互包 含，则称这两个事件相等， 记为 A .B
A B A =B
A B且B A
A B
A 和 B 同时发生或者同时不发生
28
3.事件的和（并）
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
8
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机
试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
4
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
察出现的点数.
5
实例4 从一批含有正品
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
其结果可能为:
正品 、次品.
则 C A B AB 格”,Ｂ＝“直径合格”．
30
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
n
称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 积 事 件 ;
事件 A 发生 事件B 发生
实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格” 所以 A B
27
2.事件的相等
若两个事件 A 和B 相互包 含，则称这两个事件相等， 记为 A .B
A B A =B
A B且B A
A B
A 和 B 同时发生或者同时不发生
28
3.事件的和（并）
概率论与数理统计：第一章 随机事件与概率
A∩B={正正} 。 • A与B的差事件∶第一次正面第二次出现反面，表
示为 A-B={正反}.
• 如果一组事件中任意两个事件都互不相容， 那么称这组事件两两互不相容。
• （7）对立事件：事件Ω-A称为事件A的对立
事件（逆、余），记Ā.
A A A A
ĀA
• （8）运算定律：交换律、结合律、分配律、 对偶律。
• 在随机事件中，有的可以看成是由某 些事件复合而成的，而有些事件则不能分 解为其它事件的组合，这种不能分解成其 它事件组合的最简单的随机事件称为基本 事件。
• 一般地说，只含一个样本点的随机事 件称为基本事件。
• 每次试验中一定发生的事件称为必然事件.
由于Ω包含所有样本点，因此每次试验中 必定有Ω中的一个样本点出现，故Ω是必然 事件；
P（A）=m（A）/m（Ω）
这里m（·）分别表示长度、面积或体积。
例6，在半圆区域0≤y≤
2内ax随 机x2 地投入
一点，求该点与原点的连线与x轴的夹角不
超过 的概率 .
4
0
2a
例7(书上例1.9) ． 在单位圆O的一条直径 MN上随机地取一点Q，试求过Q且与MN垂 直的弦的长度超过1的概率。
例8(书上例1.10) ． 甲、乙两艘轮船都要 在某个泊位停靠6h，假定它们在一昼夜时
出来，问该女士的说
法是否可信？
牛奶
• 解：假设该女士的说法不可信，即该女士纯粹是
猜测，则每次试验的两个可能结果：茶＋牛奶或 牛奶＋茶是等可能的．
• Ａ＝｛该女士在１０次试验中都正确的辨别出 来｝，则
•
p（Ａ）=1/210=0.0009766
• 这是一个小概率事件．
• 概率论中“实际推断原理”:一个小概率事件在 一次试验中实际上是不会发生的．
示为 A-B={正反}.
• 如果一组事件中任意两个事件都互不相容， 那么称这组事件两两互不相容。
• （7）对立事件：事件Ω-A称为事件A的对立
事件（逆、余），记Ā.
A A A A
ĀA
• （8）运算定律：交换律、结合律、分配律、 对偶律。
• 在随机事件中，有的可以看成是由某 些事件复合而成的，而有些事件则不能分 解为其它事件的组合，这种不能分解成其 它事件组合的最简单的随机事件称为基本 事件。
• 一般地说，只含一个样本点的随机事 件称为基本事件。
• 每次试验中一定发生的事件称为必然事件.
由于Ω包含所有样本点，因此每次试验中 必定有Ω中的一个样本点出现，故Ω是必然 事件；
P（A）=m（A）/m（Ω）
这里m（·）分别表示长度、面积或体积。
例6，在半圆区域0≤y≤
2内ax随 机x2 地投入
一点，求该点与原点的连线与x轴的夹角不
超过 的概率 .
4
0
2a
例7(书上例1.9) ． 在单位圆O的一条直径 MN上随机地取一点Q，试求过Q且与MN垂 直的弦的长度超过1的概率。
例8(书上例1.10) ． 甲、乙两艘轮船都要 在某个泊位停靠6h，假定它们在一昼夜时
出来，问该女士的说
法是否可信？
牛奶
• 解：假设该女士的说法不可信，即该女士纯粹是
猜测，则每次试验的两个可能结果：茶＋牛奶或 牛奶＋茶是等可能的．
• Ａ＝｛该女士在１０次试验中都正确的辨别出 来｝，则
•
p（Ａ）=1/210=0.0009766
• 这是一个小概率事件．
• 概率论中“实际推断原理”:一个小概率事件在 一次试验中实际上是不会发生的．
概率论与数理统计课件(共199张PPT)
P(An|A1A2…An-1).
33
例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
34
(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分
定:义 若 B 1,B 2, ,B n一组事 : 件
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法：
先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算
P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法：
在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其 中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取 后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2
B
A S
(1) AB
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称 为 A与B的 和 事 . 件
即AB,中 至 少 有 一 ,称个 为 A与 发 B的生,和 记AB.
可 列 个A1事 , A2,件 的 和 事 件 记 Ak. 为
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，
即事件A与B同时发A生. A B 可简记为AB.
i1
1i jn
P(A i A j Ak )
1i jkn
(1)n1 P(A1 A 2 A n ).
27
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列事 件的概率:
( 1 ) P ( A B ) (; P ( 2 A B ) ( ) ; P ( 3 A B ) ) (; ( 4 A B )
33
例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
34
(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分
定:义 若 B 1,B 2, ,B n一组事 : 件
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法：
先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算
P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法：
在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其 中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取 后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2
B
A S
(1) AB
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称 为 A与B的 和 事 . 件
即AB,中 至 少 有 一 ,称个 为 A与 发 B的生,和 记AB.
可 列 个A1事 , A2,件 的 和 事 件 记 Ak. 为
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，
即事件A与B同时发A生. A B 可简记为AB.
i1
1i jn
P(A i A j Ak )
1i jkn
(1)n1 P(A1 A 2 A n ).
27
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列事 件的概率:
( 1 ) P ( A B ) (; P ( 2 A B ) ( ) ; P ( 3 A B ) ) (; ( 4 A B )
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-随机事件与概率
AB
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有
公共样本点构成的集合。
n
▲ 称 I Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,L An 的积事件 k 1
I
k 1
Ak
为可列个事件
A1
,
A2
,L
L
的积事件
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A B 记作： A B x x A且x B
2
0.4
18 0.36
4
0.8
27 0.54
247 0.494
251 0.502 26波2 动0最.52小4
258 0.516
概率统计
从上述数据可得:
(1) 频率有随机波动性
即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同.
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
解： S1 ｛正面，反面｝
S2 0,1, 2, 3,
概率统计
S3 1, 2, 3, S4 0,1, 2, 3, ,10
S5 1, 2, 3,4,5,6
注
E3 ：射手射击一个目标， 直到射中为止，观 察 其射击的次数
E4：从一批产品中抽取十 件，观察其次品数。
E5：抛一颗骰子，观察其 出现的点数。
义上提供了一个理
H
想试验的模型：
(H,T)： H (T,H): T (T,T)： T
T
在每次试验中必
有一个样本点出
H
现且仅有一个样
本点出现 .
T
概率统计
例4．若试验 E是测试某灯泡的寿命. 试写出该试验 E 的样本空间. 解：因为该试验的样本点是一非负数，
海南大学《概率论与数理统计》课件-第一二三四章
x2 f ( x)d x;
x1
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续,则有 F( x) f ( x).
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{ X a} 0.
10、 均匀分布 定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
例如某无f些线( x元电) 件元 或件0b,设的1 a备寿, 的命其a寿,电它命x,力服设从b,备指的数寿分命布,. 则称动物X 的在寿区命间等(a都,b)服区从间指上数服分从布均. 匀分布, 记为 X ~ U(a,b).
代表事件 A 在试验中发生的概率，它与试验总
数
n 有关。若
lim
n
npn
0
则
lim
n
Cnk
pnk
1 pn
nk
k
k！e
8、 连续型随机变量及其概率密度
设X为 随 机 变 量，F ( x)为X 的 分 布 函 数,若 存 在 非 负 函 数f ( x),使 对 于 任 意 实 数x 有
x
F ( x) f (t)d t,
第一章 随机事件及其概率
1 了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，重 点掌握随机事件的关系和运算。 2 理解概率和条件概率的概念，掌握概率的基本性 质，能利用古典概型和几何概型计算一些事件的 概率。 3 掌握概率的加法公式、条件概率公式、乘法公式、 全概率公式和贝叶斯公式计算过事件的概率的方 法 4 理解事件独立性的概念，会利用事件独立性进行 事件概率计算。 5 理解独立重复试验的概率，掌握利用伯努利概型 计算过事件概率的方法。
(3) F () lim F ( x) 0, F () lim F( x) 1;
x
x
同济大学《概率论与数理统计》PPT课件
随机事件 D=“出现的点数超过 6”= ，即一定不会发生的不可能事件。
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
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• 他得意的说：当然有关系了，不是说同时有两颗炸弹的可能性很小吗 ？我现在自带一颗，如果飞机上另外再有一颗的话，这飞机上就同时 有两颗炸弹，而我们知道这几乎是不可能的，所以我可以放心的去坐 飞机了。
Monty Hall problem
• 你面前有三扇关闭的门（1、2、3），其中一个门后面有一辆 轿车，另两个门后面是山羊。
注意：基本事件是相对的，不是绝对的。
例： 在下列试验中，试用集合表示下列事件。 1)、投掷一颗匀质正六面体的骰子，出现偶数点的事件。 解：{出现偶数点}={2，4，6}。
{出现偶数点}是一个复合事件。它可分解为更简单的事件， {出现偶数点} ={出现２点}∪{出现４点}∪{出现６点} 但上述三事件不能再分解为更简单的事件，是基本事件。
Ai∩Aj= Ø，1≤i＜j≤n
Ω
B
A
4、事件的对立
所谓事件Ａ与事件Ｂ为对立事件，就是指Ａ与Ｂ不同时 发生，但必发生一个。
“ problem of points”的赌博问题。 • 1654年，帕斯卡[Pascal]的朋友， 一位赌金保管人向帕斯卡提出了后来人 们所知道的“ 德•美尔”问题，帕斯卡与 朋友费尔马书信交流，成为概率论的实 质性出发点。
概率的起源
• “ 德•美尔”问题：实力相当的两个赌徒甲和乙，每人各押 32个金币的赌注，先赢得对方三次的人获得这64个金币。赌 博进行了一段时间，甲赢了对方两次，乙赢了一次，如果这 时赌博被迫中断，那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？
甲分 1 64个，乙分 1 64个
2
2
甲分 2 64个，乙分 1 64个
3
3
甲分 3 64个，乙分 1 64个
4
4
概率论与数理统计是研究随机现象的统 计规律的专门学科。
概率论：对随机现象有基本认知的前提 下，进行演绎推理；
数理统计：试图通过实验来认知随机现 象。处理问题的思路往往来自概率论的 有关结果。
概率论与数理统计
坐飞机的故事
• 据说有个人很怕坐飞机，说是飞机上有恐怖分子放炸弹。他说他问过 专家，每架飞机上有炸弹的可能性是百万分之一。百万分之一虽然很 小，但还没小到可以忽略不计的程度，所以他从不坐飞机。
• 可是有一天有朋友看到他在飞机场，感到很奇怪，就问他，你不是说 飞机上有炸弹吗？他说我又问过专家，每架飞机上有一颗炸弹的可能 性是百万分之一，有两颗炸弹的可能性是百万的平方分之一，也就是 说只有万亿分之一，这已经小到可以忽略不计了。朋友说这数字没错 ，但两颗炸弹与你坐不坐飞机有什么关系？
2)、从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命。
{灯泡寿命大于100小时}的事件。
解:{灯泡寿命大于100小时}＝｛Ｔ∣Ｔ＞100｝
一、事件的关系
1、事件的包含
如果事件A发生，事件B一定发生。则称事件B包含事件
A。记为：A B
显然：A
Ω
例如：B＝{出现偶数点}， A＝{出现４点}
BA 文氏图
条件概率与独立性
随机现象与随机试验
试验１：在相同的条件下，投掷一枚匀质的硬币。观察哪 一面向上。 试验２：在相同条件下，投掷一颗匀质正六面体的骰子。 观察所出现的点数 试验３：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命 这些试验具有如下特点：
1）试验可以在相同的条件下重复进行
2）试验可能出现的所有结果种类已知
次试验中事件A发生。 否则，当试验结果ω∈事件A时，称这次试验中
事件A不发生。
两种特殊的随机事件：
必然事件：样本空间在每次试验中均会发生，故称 为必然事件。 不可能事件：空集Ø在每次试验中均不会发生，故 称为不可能事件。
基本事件：只含单个样本点的集合称为基本事件或 简单事件。
也可这样定义：
不能再分解的事件称为简单事件或称为基本事件。 由基本事件组合而成的事件称为复合事件。
2、事件的相等
如果事件A与事件B互相包含，即 A B且B A。
则称事件A等于事件B。记为：A＝B
3、事件的互斥
如事件A与事件B不能互斥或互不相容的。
记为：A∩B＝Ø
如事件A1，A2,…，An任意两个都互斥，则称这些 事件是两两互斥的,简称互斥。即有
样本空间与随机事件
样本空间：随机试验所有可能结果的集合称为样本 空间。常用Ω表示。 样本点：样本空间的元素称为样本点，常用ω表示。
试验１：投掷一枚匀质的硬币，观察哪一面向上。规 定带有国徽图案的是正面。
Ω＝{正面，反面}
试验２：投掷一颗匀质正六面体的骰子，观察所出现的 点数。
Ω＝{1，2，3，4，5，6}
试验３：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用 寿命
Ω＝[0，+∞)={x∈R∣0≤x< +∞}
试验1和试验2的样本空间只含有有限个元素，称为 有限样本空间。
试验3的样本空间含有的元素是无限的，称为无限样 本空间。
随机事件：样本空间的某些子集称为随机事件，简
称事件。常用A、B、C等表示。 在一次试验中，当试验结果ω∈事件A时，称这
3）在未试验之前，不知道下次试验出现的结果，但试 验结果必是所有可能结果中的某一个
具有这些特点的试验称为随机试验。
说明：
1)从随机试验中观察到的现象称为随机现象。 2)随机试验今后简称为试验。
3)在随机试验的重复实施中呈现出的不变性质，
称为统计规律性。 概率论的研究对象就是随机现象的统计规律性
每一个可能结果出现的可能性的大小是确定的。
• 主持人让你任选一扇你认为后面是轿车的门，假设你选择1号 门。
• 你选择1号门之后，主持人打开了一扇有山羊的门，假设这是3 号门。
• 这时，主持人给你一个机会：你可以改选2号门，也可以坚持 原来的选择1号门。
• 请问：你是否改选2号门？说明原因。
Monty Hall problem
概率的起源
• 概率的历史源于中世纪的赌博问题。 • 意大利修道士帕奇利在1487年出版的书中介绍了被称为
用确定的数学研究非确定的现象。
以确定的数学为工具：排列组合，高等 数学（单变量微积分，多变量微积分）， 线性代数；
研究非确定的现象：例如天气预报，数 理金融，控制论，质量检测与管理，寿 险精算，甚至赌博，有着非常大的应用 价值。
广泛应用于日常生活和工业生产
第一章 随机事件与概率
随机现象与随机事件 概率的定义
Monty Hall problem
• 你面前有三扇关闭的门（1、2、3），其中一个门后面有一辆 轿车，另两个门后面是山羊。
注意：基本事件是相对的，不是绝对的。
例： 在下列试验中，试用集合表示下列事件。 1)、投掷一颗匀质正六面体的骰子，出现偶数点的事件。 解：{出现偶数点}={2，4，6}。
{出现偶数点}是一个复合事件。它可分解为更简单的事件， {出现偶数点} ={出现２点}∪{出现４点}∪{出现６点} 但上述三事件不能再分解为更简单的事件，是基本事件。
Ai∩Aj= Ø，1≤i＜j≤n
Ω
B
A
4、事件的对立
所谓事件Ａ与事件Ｂ为对立事件，就是指Ａ与Ｂ不同时 发生，但必发生一个。
“ problem of points”的赌博问题。 • 1654年，帕斯卡[Pascal]的朋友， 一位赌金保管人向帕斯卡提出了后来人 们所知道的“ 德•美尔”问题，帕斯卡与 朋友费尔马书信交流，成为概率论的实 质性出发点。
概率的起源
• “ 德•美尔”问题：实力相当的两个赌徒甲和乙，每人各押 32个金币的赌注，先赢得对方三次的人获得这64个金币。赌 博进行了一段时间，甲赢了对方两次，乙赢了一次，如果这 时赌博被迫中断，那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？
甲分 1 64个，乙分 1 64个
2
2
甲分 2 64个，乙分 1 64个
3
3
甲分 3 64个，乙分 1 64个
4
4
概率论与数理统计是研究随机现象的统 计规律的专门学科。
概率论：对随机现象有基本认知的前提 下，进行演绎推理；
数理统计：试图通过实验来认知随机现 象。处理问题的思路往往来自概率论的 有关结果。
概率论与数理统计
坐飞机的故事
• 据说有个人很怕坐飞机，说是飞机上有恐怖分子放炸弹。他说他问过 专家，每架飞机上有炸弹的可能性是百万分之一。百万分之一虽然很 小，但还没小到可以忽略不计的程度，所以他从不坐飞机。
• 可是有一天有朋友看到他在飞机场，感到很奇怪，就问他，你不是说 飞机上有炸弹吗？他说我又问过专家，每架飞机上有一颗炸弹的可能 性是百万分之一，有两颗炸弹的可能性是百万的平方分之一，也就是 说只有万亿分之一，这已经小到可以忽略不计了。朋友说这数字没错 ，但两颗炸弹与你坐不坐飞机有什么关系？
2)、从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命。
{灯泡寿命大于100小时}的事件。
解:{灯泡寿命大于100小时}＝｛Ｔ∣Ｔ＞100｝
一、事件的关系
1、事件的包含
如果事件A发生，事件B一定发生。则称事件B包含事件
A。记为：A B
显然：A
Ω
例如：B＝{出现偶数点}， A＝{出现４点}
BA 文氏图
条件概率与独立性
随机现象与随机试验
试验１：在相同的条件下，投掷一枚匀质的硬币。观察哪 一面向上。 试验２：在相同条件下，投掷一颗匀质正六面体的骰子。 观察所出现的点数 试验３：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命 这些试验具有如下特点：
1）试验可以在相同的条件下重复进行
2）试验可能出现的所有结果种类已知
次试验中事件A发生。 否则，当试验结果ω∈事件A时，称这次试验中
事件A不发生。
两种特殊的随机事件：
必然事件：样本空间在每次试验中均会发生，故称 为必然事件。 不可能事件：空集Ø在每次试验中均不会发生，故 称为不可能事件。
基本事件：只含单个样本点的集合称为基本事件或 简单事件。
也可这样定义：
不能再分解的事件称为简单事件或称为基本事件。 由基本事件组合而成的事件称为复合事件。
2、事件的相等
如果事件A与事件B互相包含，即 A B且B A。
则称事件A等于事件B。记为：A＝B
3、事件的互斥
如事件A与事件B不能互斥或互不相容的。
记为：A∩B＝Ø
如事件A1，A2,…，An任意两个都互斥，则称这些 事件是两两互斥的,简称互斥。即有
样本空间与随机事件
样本空间：随机试验所有可能结果的集合称为样本 空间。常用Ω表示。 样本点：样本空间的元素称为样本点，常用ω表示。
试验１：投掷一枚匀质的硬币，观察哪一面向上。规 定带有国徽图案的是正面。
Ω＝{正面，反面}
试验２：投掷一颗匀质正六面体的骰子，观察所出现的 点数。
Ω＝{1，2，3，4，5，6}
试验３：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用 寿命
Ω＝[0，+∞)={x∈R∣0≤x< +∞}
试验1和试验2的样本空间只含有有限个元素，称为 有限样本空间。
试验3的样本空间含有的元素是无限的，称为无限样 本空间。
随机事件：样本空间的某些子集称为随机事件，简
称事件。常用A、B、C等表示。 在一次试验中，当试验结果ω∈事件A时，称这
3）在未试验之前，不知道下次试验出现的结果，但试 验结果必是所有可能结果中的某一个
具有这些特点的试验称为随机试验。
说明：
1)从随机试验中观察到的现象称为随机现象。 2)随机试验今后简称为试验。
3)在随机试验的重复实施中呈现出的不变性质，
称为统计规律性。 概率论的研究对象就是随机现象的统计规律性
每一个可能结果出现的可能性的大小是确定的。
• 主持人让你任选一扇你认为后面是轿车的门，假设你选择1号 门。
• 你选择1号门之后，主持人打开了一扇有山羊的门，假设这是3 号门。
• 这时，主持人给你一个机会：你可以改选2号门，也可以坚持 原来的选择1号门。
• 请问：你是否改选2号门？说明原因。
Monty Hall problem
概率的起源
• 概率的历史源于中世纪的赌博问题。 • 意大利修道士帕奇利在1487年出版的书中介绍了被称为
用确定的数学研究非确定的现象。
以确定的数学为工具：排列组合，高等 数学（单变量微积分，多变量微积分）， 线性代数；
研究非确定的现象：例如天气预报，数 理金融，控制论，质量检测与管理，寿 险精算，甚至赌博，有着非常大的应用 价值。
广泛应用于日常生活和工业生产
第一章 随机事件与概率
随机现象与随机事件 概率的定义