灰色预测模型GM

灰色预测模型GM (1,1)§1 预备知识平面上有数据序列()()(){}n n y x y x y x ,,,,,,2211 ，大致分布在一条直线上。

设回归直线为：b ax y +=，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误差平方和()∑=--=ni i i b ax y J 12最小。

J 是关于a , b 的二元函数。

由()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅--⋅=∂∂=-⋅--⋅=∂∂∑∑==0120211ni ii i ni i i i i b x a y b J x b x a y a J()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--⇒∑∑==00112ni i i n i i i i i b a y bx ax y x 则得使J 取极小的必要条件为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⋅∑∑∑∑∑=i iii n i i i y nb x a y x x b x a 12（*）()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22222i i i i i i i i i i i i i x x n y x x x y b x x n y x y x n a (1) 以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。

下面提一种观点，上述算法，本质上是用实际观测数据i x 、i y 去表示a 与b ，使得误差平方和J 取最小值，即从近似方程⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b b x x x a y y y n n 2121 中形式上解出a 与b 。

把上式写成矩阵方程。

令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y Y21，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴b a x x x Y n 11121x令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11121n x x x B ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a B Y 左乘T B 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a B B Y B T T注意到B T B 是二阶方阵，且其行列式不为零，故其逆阵(B T B )-1存在，所以上式左乘()1-B B T得[]Y B B B b a T T1-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛（2）可以具体验算按最小二乘法求得的结果（1）与（2）式完全相同，下面把两种算法统一一下：由最小二乘得结果：方程（*） ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⋅∑∑∑∑∑=i iii n i i i y nb x a y x x b x a 12方程组改写为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑n n i ii y y y x x x b a n xxx 21212111令：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11121n x x x B ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y Y 21，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a a ˆ （*）化为()Y B aB B T T =ˆ 所以()Y B B B aT T ⋅⋅=-1ˆ 以后，只要数据列(){}()n j y x j j ,,2,1, =大致成直线，既有近似表达式 n i bax y i i ,,2,1 =+=当令：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y Y 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11121n x x x B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a a ˆ 则有 aB Y ˆ= ()y B B B aT T ⋅⋅=-1ˆ（2）（2）式就是最小二乘结果，即按最小二乘法求出的回归直线b ax y +=的回归系数a 与b 。

推广：多元线性回归设有m 个变量m x x x ,,,21 ，每个自变量有n 个值，因变量y 有n 个值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=mnm n n n m m m m x b x b x b a y x b x b x b a y x b x b x b a y n 2211222212121212111121 （1）如n 个人，每人有m 个指标。

女生： 人： 1x （体重） 公斤2x （胸围） 厘米3x （呼吸差） 厘米 k y （肺活量）毫升 1 11x =35 21x =69 31x =0.71600 2 12x =40 22x =74 32x =2.5 2600 3 13x =40 23x =64 33x =2.0 2100414x =42 24x =74 34x =3 2650 515x =37 25x =72 35x =101 2400 616x =45 26x =68 36x =105 2200 717x =43 27x =78 37x =403 2750 818x =37 28x =66 38x =2 1600 919x =44 29x =70 39x =302 2750 1010x =42 20x =6530x =32500方程组（1）是n 个方程m 个数据⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m mn nnm m b b b a x x x x x x x x x Y21212221211211111 用X 表示增广矩阵：n 行，m +1列⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a X Y ˆ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b b 21ˆ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅b a X X Y X TT ˆ ()Y X X X b a T T ⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴-1ˆ 其中X X T 为()()11+⨯+m m 阶矩阵。

由此可解出：m b b b a ,,,,21注意：方程组中m b b b a ,,,,21 不知，意思是：如果线性关系成立m m x b x b x b a y ++++= 2211当m b b b a ,,,,21 为多少时，i y 到m m x b x b x b a ++++ 2211的距离之和为最小。

或说，当所有i y 到(m m x b x b x b a ++++ 2211)距离之和为最小时的m b b b a ,,,,21 就是我们要求的最佳系数。

§2 GM 模型前言为什么要讲GM (1,1)模型？80年代初，华中理工大学邓聚龙教授提出了灰色系统理论，先后发表过灰色控制、灰色预测、灰色决策、灰色系统理论等多部专著，较详细在阐述了灰色系统理论的产生、理论、方法与应用。

在80年代中后期到90年代初，举行了十数次国际、国内有关灰色系统理论的研讨会，在全国形成一股灰色系统理论研究与应用热潮。

邓聚龙先生因灰色系统理论方面的供献，获得国家科技进步一等奖。

什么叫灰？用邓先生自己的话来讲：“完全已知的系统称作白系统；完全未知的系统称作黑系统或黑箱；部分已知、部分未知的系统称作灰色系统。

”在此，已知或未知到什么程度没有具体说明。

所以，“灰”的内涵不是很清楚。

举个例子讲，已知某量的真值x 在闭区间[a , b ]上，不可能落在[a , b ]之外，但具体落到区间[a , b ]的什么位置则是完全不知道的。

那么，这个量称作灰量，可具体表示为[a , b ]，称其为区间灰数。

显然，区间灰数是客观实际中存在的，除了知道真值x 在[a , b ]上，而不在[a , b ]之外，不再有任何已知信息，这就是灰量的最基本原型。

由于灰色系统理论从一开始就没有建立在严格的集合论基础之上，使之缺乏必要的数学支撑，这大大限制了灰色系统理论和应用的发展。

虽然灰色系统理论在控制、预测、决策等领域有着广泛的应用；但就其精华而言，还在于GM (1,1)模型。

即便是现在，在特定情况下，GM (1, 1)还有用，还在被应用，并且预测效果很好。

其使用限制条件是：原始数据单调，预测背景呈现稳定发展趋势；其优势是：适用于原始观测数据较少的预测问题，由于数据量很小，无法应用概率统计方法寻找统计规律，而GM (1, 1)模型恰恰弥补了这个空白，由于GM (1, 1)算法简单易行，预测精度相对较高，所以在一些特定问题中，GM (1, 1)仍然是决策者乐于选择的预测模型。

上面讲到的背景稳定的发展趋势是指下述情况：如化工设备的腐蚀量，随着使用时间的推移腐蚀不断增加，呈现出稳定的发展趋势，并且腐蚀量的测量通常比较困难(如停产才能测量)，所以实际观测数据较少。

这类问题很适合GM (1, 1)模型预测。

§3 GM (1, 1)预备知识3.1回忆一阶线性常系数微分方程u ax dtdx=+ (1)其解为：a u e a u x x at +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-)0((2)其中a ，u 为给定的常数。

~一阶线性常系数微分方程(1)的解(2)是指数型曲线，如下图所示at e x -=图象 ()at e a u x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0图象 ()a u e a u x x at +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-0图象3.2在预备知识中，讲述了最小二乘法：若数据点)(i i y x ，n i ,,2,1 =近似落在一条直线上，设这条直线为y ＝ax +b ，a , b 为参数。

理想的直线要求：每个数据点)(i i y x ，n i ,,2,1 =，到该直线的距离平方和最小――即最小二乘。

用最小二乘法求出参数a 与b ，这相当于形式上的解线性方程组：b ax y i i += n i ,,2,1 = (3)当令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y y 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11121n x x x B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a a ˆ 则（3）化为aB Y ˆ=，()a B B Y B T T ˆ= ()Y B B B aT T ⋅=∴-1ˆ（4）由此求出a b a ˆ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛，可得回归直线 b ax y +=（5）上述形式上的求解结果，本质上是用最小二乘法求解回归参数的过程，故有下面结论。

结论：一组数据点（n 个），且近似线性关系b ax y i i +≈则下述表达式可求出回归系数a 与b 。

()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n TT y y y Y x x x B Y B B B b a 21211111，：ttt上述形式上的计算，本质是使点),(i i y x 到直线y ＝ax ＋b 的距离平方和最小，即是最小二乘法得来的结果。

§4 GM (1，1)模型G 表示Grey (灰)，M 表示Model (模型)，前一个“1”表示一阶，后一个“1”表示一个变量，GM (1, 1)则是一阶，一个变量的微分方程模型。

给定等时间间隔的数据列，且设数据列单调：{}),n ( ),2( ),1()(,n 21x x x k x k ⋯⋯=，k 表示时刻，k x k x ＝)(表示t ＝k 时刻某量的观测值，不妨设1+<k k x x ，1,,2,1-=n k ，将数据列记成：{}0n030201)0(,,x x x x x ⋯⋯= )0(x 表示原始数据序列。