灰色预测法GM(1,1)总结
Matlab+灰色预测模型模型GM(1,1)
GM(1,1)灰色预测模型IntroductionInitial给定原始序列：x(0) =(x(0)(1), x(0)(2), x(0)(3)…, x(0)(n))Step 1一次AGO(1-AGO)生成序列，以弱化原始序列的随机性和波动性：x(1) =(x(1)(1), x(1)(2), x(1)(3)…, x(1)(n)) Matlab Programclearsyms a b;c=[a b]';fid=fopen('.\Grey Model\test.txt');x0=fscanf(fid,'%f');x0=x0';fclose(fid);x1=cumsum(x0); %原始数据累加n=length(x0);for i=1:(n-1)z(i)=(x1(i)+x1(i+1))/2; %生成累加矩阵end%计算待定参数的值Y=x0;Y(1)=[];Y=Y';B=[-z;ones(1,n-1)];B=B';c=inv(B'*B)*B'*Y;c=c';a=c(1);b=c(2);%预测后续数据%预测之后10个时间单位的数据xx1=[];xx1(1)=x0(1);for i=2:(n+10)xx1(i)=(x0(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a; endxx0=[];xx0(1)=x0(1);Step 2(1) dx (1)dt+ax (1)(t )=u ，式中a, u 为待定系数。
灰微分方程模型为：x (0)(k )+az (1)(k )=u ，z 为背景值z (1)(k )=1/2(x (1)(k )+x (1)(k −1))(2) 构造矩阵B 和数据向量Y nY n =Ba ̂Y n =[ x (0)(2)x (0)(3)⋮x (0)(n )] , B =[ −1/2(x (1)(1)+x (1)(2)),−1/2(x (1)(2)+x (1)(3)),⋮−1/2(x (1)(n −1)+x (1)(n )), 1 1 ⋮ 1]a ̂=(au)=(B T B)−1B T Y nStep 3模型响应函数x ̂(1)(k +1)=(x (0)(1)−u a )e −ak +u ax ̂(0)(k +1)=x ̂(1)(k +1)−x ̂(1)(k )Step 4检验和判断GM(1,1)模型的精度 (1) 残差检验for i=2:(n+10)xx0(i)=xx1(i)-xx1(i-1); end%关联度检验 for i=1:ne(i)=abs(x0(i)-xx0(i)); endmmax=max(e); for i=1:nee(i)=0.5*mmax/(e(i)+0.5*mmax); endr=sum(ee)/n; %后验差检验x0bar=sum(x0)/n; s1=0; for i=1:ns1=s1+(x0(i)-x0bar)^2; ends1=sqrt(s1/n); s2=0;ebar=sum(e)/n; for i=1:ns2=s2+(e(i)-ebar)^2; ends2=sqrt(s2/n); C=s2/s1; p=0;for i=1:nif abs(e(i)-ebar)<0.6745*s1绝对误差：ε(k)=|x(0)(k)−x̂(0)(k)|相对误差：Φ(k)=ε(k)x(0)(k)(2) 关联度检验分辨率β一般取0.5，此时若关联度大于0.6则认为模型可接受(3) 后验差检验和小误差概率原始序列标准差：S1=√∑[x(0)(i)−x̅(0)]2n绝对误差序列标准差：S2=√∑[ε(i)−ε̅]2n计算方差比：C=S2S1小误差概率：P=P{|ε(i)−ε̅|<0.6745S1}p=p+1;endendp=p/n;Cpif p>0.95&C<0.35disp('预测精度好');else if p>0.8&C<0.5disp('预测合格');else if p>0.7&C<0.65disp('预测勉强合格'); elsedisp('预测不合格'); endendend%原始数据与预测数据进行比较t1=1:n;t2=1:(n+10);xx0plot(t1,x0,'o',t2,xx0)。
GM(1_1)模型,灰色预测
小额贷款远程智能预警系统 人数预测算法的设计一、灰色系统的引入：灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述. 灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。
目前，灰色系统已经成为社会、经济、科教、技术等很多领域进行预测、决策、评估、规划、控制、系统分析和建模的重要方法之一。
特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析，具有独特的功效。
灰色模型的优点（一） 不需要大量的样本。
（二） 样本不需要有规律性分布。
（三） 计算工作量小。
（四） 定量分析结果与定性分析结果不会不一致。
（五） 可用于近期、短期，和中长期预测。
（六） 灰色预测精准度高。
二、GM （1,1）模型（grey model 一阶一个变量的灰微分方程模型）灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。
灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。
同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。
因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。
GM （1,1）的具体模型计算式设非负原始序列()()(){}n x x x X )0()0()0()0(,...,2,1=对)0(X作一次累加()()∑==ki i x k x1)0()1( ;k=1,2,…,n得到生成数列为()()(){}n x x x X )1()1()1()1(,...,2,1=于是()k x)0(的GM （1,1）白化微分方程为u ax dtdx =+)1()1( (1—1)其中a,u 为待定参数，将上式离散化，即得()()()()u k x az k x =+++∆11)1()1()1(（1—2）其中()()1)1()1(+∆k x 为)1(x在（k+1）时刻的累减生成序列，()()()[]()[])1()()1(11)0()1()1()()0()1()0()1()1(+=-+=∆-+∆=+∆k x k x k x k x k x k x r（1—3）()()1)1(+k x z 为在（k+1）时刻的背景值（即该时刻对应的x 的取值）()()()()()k x k x k x z )1()1()1(1211++=+ （1—4）将（1—3）和（1—4）带入（1—2）得()()()()u k x k x a k x +++-=+]121[1)1()1()0( （1—5）将（1—5）式展开得()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡u a n x n x x x x x n x x x 1:11121:32212121:32)1()1()1()1()1()1()0()0()0( （1—6）令()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x Y )0()0()0(:32，()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=1:11121:32212121)1()1()1()1()1()1(n x n x x x x x B ，[]Tu a =Φ 为待辨识参数向量，则（1—6）可以写成Φ=B Y （1—7）参数向量Φ可用最小二乘法求取，即[]()Y B B B u a T T T 1ˆ,ˆˆ-==Φ（1—8）把求取的参数带入（2—16）式，并求出其离散解为()()a u e a u x k xk a ˆˆˆˆ11ˆ)1()1(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+- （1—9）还原到原始数据得()()()()()ka a e a u x e k x k x k x ˆ)1(ˆ)1()1()0(ˆˆ11ˆ1ˆ1ˆ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+=+ （1—10）（1—9）、（1—10）式称为GM （1,1）模型的时间相应函数模型，它是GM （1,1）模型灰色预测的具体计算公式。
灰色预测GM(1,1)模型在环境空气质量变化趋势预测中的应用
123智能环保NO.10 2020智能城市 INTELLIGENT CITY 灰色预测GM（1，1） 模型在环境空气质量变化趋势预测中的应用许发明1 李优良2 （1.中央民族大学，北京 100081；2.湖南泸溪县环境监测站，湖南 泸溪 416100）摘 要：利用灰色系统理论，以泸溪县环境空气自动监测数据为样本，构建GM（1，1）预测模型，分析预测该县“十四五”期间的环境空气质量变化趋势。
预测结果显示，该县未来5年环境空气质量将持续好转。
关键词：灰色模型；环境空气质量；趋势预测空气清新评估指标作为美丽中国建设评估指标体系的五类指标之一，包含细颗粒物（PM2.5）浓度、可吸入颗粒物（PM10）浓度、城市空气质量优良天数比例 3 个指标。
因此聚焦美丽中国建设评估指标，开展细颗粒物浓度、可吸入颗粒物浓度变化趋势预测，对于科学确定泸溪县“十四五”期间这两项控制目标值具有很好的参考意义。
泸溪县环境空气自动监测站2013年建站，2016年具备六参数全自动24 h监测能力，从当前有限数据，要开展该县“十四五”大气环境质量趋势预测，必须选择适当的预测方法，通过构建数理统计模型开展预测。
灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论[1]。
灰色预测是对灰色系统所做的预测，灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工具[2]。
因此，尝试采用灰色系统理论来开展环境质量趋势预测工作[3]。
1 影响空气质量优良天数比例的因子识别为筛分出影响泸溪县环境空气质量的主要污染因子，我们对2016~2019年空气质量监测中的首要污染物，最大单项污染物和最大单项指数污染因子进行了分析与判别。
（1） 环境空气中首要污染物占比统计分析。
通过数据统计，发现各年中细颗粒物（PM2.5）、可吸入颗粒物（PM10）和臭氧（O3）3个因子为我县的首要污染物，它们所引起的污染天数共149 d，其中细颗粒物作为首要污染物的天数最多，为112 d，占总天数的75.17%；臭氧作为首要污染物的天数居第2位，为23 d，占总天数的15.44%；可吸入颗粒物作为首要污染物的天数为14 d，占总天数的9.39%。
灰色预测模型
灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。
二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。
一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。
软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。
(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。
我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。
一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。
灰色预测模型GM(1_1)及其应用
灰色预测模型GM(1,1)的应用一、问题背景：蠕变是材料在高温下的一个重要性能。
处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。
高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。
为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。
过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。
而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。
如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。
二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。
在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕变断裂时间见下表。
数 列 序 数 K1 2 3 4 5载荷应力（kg/mm 2） 37 36 35 34 33 断裂时间（)(100)0(K X ⨯小时）2.38 2.80 4.25 6.85 11.30 一次累加数列)()1(K X 2.38 5.18 9.43 16.28 27.581、建立GM （1,1）模型（1）数据处理：将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素。
即根据断裂时间数列)()0(k X 由∑==kn n X k X 1)0()1()()(得到 )()1(k X 。
（2）建立矩阵B,y:根据⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B 得到 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=19.2118.12130.7178.3B根据 T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( =，得到 T N Y ]3.11,85.6,25.4,80.2[=（3）求出逆矩阵1()T BB - （4）作最小二乘估计，求参数u a ,N T T Y B B B u a 1)(ˆ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=α 可得，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=97.05.0ˆα a = -0.5, u=0.97(5)建立时间响应函数，计算拟合值把a 和u 分别代入au e a u X t X at +-=+-))1(()1(ˆ)0()1(可得到解为2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+t e t X， 取t 为应力序数k 时，即得到时间响应方程为：2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+k e k X即可得到生成累加数列),2,1()1(ˆ)1( =+k k X 。
灰色预测GM(1,1)
南昌市民用汽车保有量灰色GM(1,1)模型预测灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
灰色模型适合于小样本情况的预测，当然对于大样本数据，灰色模型也可以做，并且数据个数的选择有很大的灵活性。
原始序列X (0)：表1 南昌市民用汽车保有量年份 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 南昌市民用汽车保有量(万辆)24.410926.730730.387836.380741.016143.7348.41615763.1第一步：构造累加生成序列X (1)； 第二步：计算系数值；通过灰色关联分析软件GM 进行灰色模型拟合求解，得到：α= -0.101624 ， μ=25.290111 ， 平均相对误差为4.685749%第三步：得出时间响应预测函数模型为：()()858996.248269896.2731101624.01-=+⋅k e k X第四步：进行灰色关联度检验。
真实值：{24.4109,26.7307,30.3878,36.3807,41.0161,43.7300,48.4100,61.0000,57.0000,63.1000} 预测值：{24.4109,29.2310,32.3578,35.8190,39.6504,43.8917,48.5867,53.7839,59.5371,65.9056}计算得到关联系数为： {1，0.906683，0.444273，0.416579，0.82377，0.357133，0.715694，0.843178，0.333333，0.770986} 于是灰色关联度：r=0.661163关联度r=0.661163满足分辨率ρ=0.5时的检验准则r>0.60，关联性检验通过。
基于灰色gm(1,1)模型的民航飞行员需求预测
飞行员需求曲线是一条波浪式前进的曲线。由
于对中国民航飞行员需求产生影响的因素具有
灰色性，并且灰色系统在对民航飞行员需求进
行预测时，无需考虑影响民航飞行员需求的因
素，只需从民航飞行员需求自身的时间序列数
据中寻找有用信息和其内在的运行规律，因此
采用灰色系统理论预测更加符合民航飞行员需
求的客观状况。
1.1 数据生成
（2）
k
∑ ( ) 其= 中 x(1) (k)
= x k (0) (i)
1, 2,, n
。
i =1
1.2 用微分方程拟合数据序列得到预测的
累加值
建立一阶单变量的民航飞行员需求微分方 程预测模型 GM(1,1)，其具体形式为：
dx(1) + ax(1) = u dt
（3）
在公式（3）中 a、u 为待识别的灰色参数。
(1)
(k
))
1
（7）
由式 (5)~ 式 (7) 求得 a ，u ，得微分方程 (4) 的解。
1.3 预测值还原
灰色 GM(1,1) 的预测结果需要对预测累加
值进行还原处理，即对 (4) 式得到的模型计算
值进行如下的累减：
Ù
Ù
Ù
x(0) (k) = x(1) (k) - x(1) (k - 1)
（8）
公式 (3) 表示单变量 x 对时间 t 的一阶微分方
程是连续的。考虑民航飞行员需求的实际情况，
其离散形式为：
xˆ(1) (k ) = (x(0) (1) - u )e- a(k- 1) + u
a
a
（4）
∧
公式 (4) 中的 a 和 u 是由参数列 α 确定的
灰色系统预测GM(1,m)
灰色GM （1,1）模型及其原理1灰色GM （1,1）模型的构建GM （1,1）模型是将离散的随机数经过依次累加成算子，削弱其随机性，得到较有规律的生成数，然后建立微分方程、解方程进而建立模型。
设所要预测的某项指标的原始数据序列为：()()()()()()()()(){}n X X X X X 00000,,3,2,1 =对原始数据序列作一次累加生成处理，获得新的数据序列： ()()()()()()(){}n X X X X1111,,2,1 = 式中：()()()()∑==i k k X i X 101 n i 3,2,1=经过累加处理，新生成的数据序列与原始的数据序列相比，具有平稳性增强而波动性减弱的特点。
对生成数列建立GM （1，1）白化形式的微式方程[4]：()()()u aX dt t dX =+11式中：a 称为发展系数，u 称为内控发展灰数。
利用最小二乘法拟合求得估计参数：()n TT X B BB u a 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 式中：()()()()[]()()()()[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-=1121121211111n X n X X X B()()()()()()[]n X X X X n 000,,3,2 =将B 带入公式，最终确定GM （1,1）预测模型()()()()a e a X t X at μμ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∧∧100 n t 2,1,0= 将值代入离散模型公式求()()t X ∧1，预测的累加值还原为预测值：()()()()()()1110--=∧∧∧t X t X t X2模型精度的检验2.1残差检验计算残差()()t 0ε及其相对残差()()t q 0，即：()()()()()()1000--=∧t x t x t ε，()()()()()()%100000⨯=t x t t q ε n t ,,2,1 =相对残差()0q 越小，表示模型精度越高。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
灰色预测模型
一、灰色预测的概念
1.灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
灰色系统是介
于白色系统和黑色系统之间的一种系统。
灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。
2.灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测,对既含有已知信息
又含有不确定信息的系统进行的预测,也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。
尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的,但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列,然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测.
二、灰色预测的类型
1.灰色时间序列预测;即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色
预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间.
2.畸变预测;即通过灰色模型预测异常值出现的时刻,预测异常值什么时候出现
在特定时区内。
3.系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预
测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
4.拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点,
并以该定值为框架构成时点数列,然后建立模型预测该定值所发生的时点
三、GM（1，1)模型的建立
1.数据处理
为了弱化原始时间序列的随机性,在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
i.设是所要预测的某项指标的原始数据，计算数列的级比。
如果绝大部分的
级比都落在可容覆盖区间内，则可以建立GM(1,1）模型且可以进行灰色预测。
否则，对数据做适当的预处理。
方法目前主要有数据开n方、数据取对数、数据平滑。
预处理的数据平滑设计为三点平滑,具体可以按照下式处理
ii.预处理后对数据作一次累加生成处理，即:将原始序列的第一个数据作为生成
列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，
其和作为生成列的第二个数据。
按此规则进行下去,便可得到生成列。
根据,得到一个新的数列
这个新的数列与原始数列相比，其随机性程度大大弱化，平稳性大大增加。
2.新数列的变化趋势近似地用下面的微分方程描述。
其中:a称为发展灰数；u称为内生控制灰数.
3.模型求解.
令,为待估参数向量，，
，
于是模型可表示为
通过最小二乘法得到：
求解微分方程，即可得灰色预测的离散时间响应函数：
,
为所得的累加的预测值，将预测值还原即为：
注：若数据经过预处理，则还需经过相应变换才能得到实际预测值。
4、模型检验
灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。
1)残差检验
分别求出预测值、绝对误差值和相对误差值,计算出平均相对误差判断精度是否理想。
2)
i.定义关联系数
其中：①为第个点与的绝对误差；
②称为分辨率，0〈<1，一般取=0。
5；
③对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始
化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据.
ii.定义关联度，称为与的关联度
根据上述方法算出与原始序列的关联系数，然后计算出关联度,根据经验，当=0。
5时，关联度大于0。
6便满足检验标准。
3)后验差检验
计算原始序列标准差和绝对误差序列的标准差分别为:
，
计算方差比，小误差概率,令，，则
检验指标和与灰色预测精度检验等级标准如下表所示：
XXX表
检验指标优良中差
〉0。
9 〉0。
8 〉0。
7 ≤0.7
〈0。
35 <0.5 〈0。
65 0。
65
四、残差模型修正
若用原始经济时间序列建立的GM（1，1)模型检验不合格或精度不理想时,要对建立的GM（1，1)模型进行残差修正或提高模型的预测精度。
修正的方法是建立GM（1,1）的残差模型。
设其中，—为的残差序列。
若存在k0，满足
1.
2。
，则称为可建模残差尾段，仍记为
设为可建模残差尾段，其一次累加序列的GM(1,1)模型的时间响应式为
则残差尾段的模拟序列为
其中
➢若用修正则称修正后的时间响应式
为残差修正GM（1，1)模型，简称残差GM(1，1）。
其中残差修正值的符号应与残差尾段的符号保持一致。
➢若则相应的残差修正时间响应式
称为累减还原式的残差修正模型.
取定k后，按此模型，可对k>k0的模拟值进行休整，修正后的精度如下表：
残差修正GM（1,1）模型的模拟精度得到了明显提高。
若对残差精度仍不满意，就只有考虑采用其它模型或对原始数据序列进行适当取舍。
再用P和C检验预测效果。
五、GM（1，1)模型的适用范围
灰色GM（1,1）模型评价推广
( 1）灰色GM（1，1)模型优点
灰色GM（1，1)预测模型在计算过程中主要以矩阵为主，它与MATLAB 的结合解决了它在计算中的问题。
由MATLAB编制的灰色预测程序简单实用，容易操作，预测精度较高.
( 2）灰色GM（1,1)模型的缺点
该模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论对我国人口发展进行预测的方法，因此它对历史数据有很强的依赖性，而且GM(1,1）的模型没有考虑各个因素之间的联系. 因此, 误差偏大，尤其是对中长期预测, 例如对中国人口总数变化情况做长期预测时, 误差偏大，脱离实际. 下面我们来讨论GM(1,1)模型的适用范围。
GM(1,1)模型的白化微分方程:
其中为发展系数，
可以证明，当GM(1，1）的发展系数时，GM（1，1)模型无意义。
因此,是GM(1，1)发展系数a的禁区。
在此区间，GM(1，1)模型失去意义。
一般地，当时，GM（1，1）模型有意义。
但是，随着a的不同取值，预测效果也不同。
通过数值分析，有如下结论：
(1)当时，GM（1,1)的1步预测精度在98%以上，2步和5步预测精度都在97%以上，可用于中长期预测;
（2）当时,GM(1,1）的1步和2步预测精度都在90%以上，10步预测精度也高于80%，可用于短期预测,中长期预测慎用；
（3）当时，GM(1，1)用作短期预测应十分慎重;
（4）当时，GM（1,1)的1步预测精度已低于70％，应采用残差修正模型；（5)当时，不宜采用GM(1,1)模型.
如果要考虑到多因素的联系和影响, 此时我们不妨建立GM( 1，n）模型. GM( 1，N）模型能模拟系统发展的动态过程, 不但吸收了传统的灰色模型的建立，而且建立了多中改进的灰色模型, 提高了预测精度。
论文小结处：与传统的数理统计模型相比，该模型在…预测方面具有明显优点：①无需典型的概率分布；②减少时间序列的随机性;③小样本即可计算；④计算简便。
用灰色理论预测…理论可靠，方法较简单.对原始数据系列长度要求不高，即使在系列较短的情况下也能取得令人满意的预报结果，弥补了其他方法无
法进行短期系列观测资料的…的预测.本文建立的模型经拟合精度检验（P= ，C=）,模型判为…，预测精度高，能达到预测要求.。