2022年金太阳导学案高中数学必修1人教版a版
2022年人教A版高中数学选修1-1 1.3.1函数的单调性和导数 导学案
课题：1.3.1 函数的单调性和导数导学案一【学习目标】1.学问目标（1）正确理解利用导数推断函数的单调性的原理； （2）把握利用导数推断函数单调性的步骤。
2.力量目标：进一步培育同学严密的规律思维力量，加强观看分析从而解决问题的力量.3.情感态度价值观：通过经受观看分析从而解决问题过程，体会和感悟规律严密步步为营的数学思想方法.二、【重点难点】1.【重点】 利用导数符号推断一个函数在其定义区间内的单调性.2.【难点】 利用导数推断函数单调性的步骤 三、【学习新知】（A 级） 阅读课本4136P P -,自主探究下列问题：1.思考：（1）f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？回答：提示： f (x )＝x 3，在R 上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？ （2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数 ？若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )是什么函数？ （3）'()0f x <是f (x )在此区间上为减函数的什么条件？ 回答：2．利用导数确定函数的单调性的步骤是？3. 提出怀疑四、【合作探究】（B 级） 【活动一】：我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化状况，下面通过函数的图象规律来争辩。
争辩二次函数243=-+y x x 的图象；（1） 画出二次函数243=-+y x x 的图象，争辩它的单调性。
（2） 提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来争辩它的单调性的？ （3） 我们最近争辩的哪个学问（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？观看图像，能得到什么结论依据刚才观看的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？结论应用： 下面举例说明：例1、 求证：31y x =+在(,0)-∞上是增函数。
归纳步骤：1、 ；2、 ；3、 。
【活动二】：用导数求函数单调区间例2、 确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.小结：用导数求函数单调区间的步骤： （1） ； （2） ； （3） 变式练习：确定下列函数的单调区间 (1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3【活动三】：请同学们争辩总结并完成已知单调性求字母范围：（C 级）例3：已知函数21()2f x ax x =-，若()f x 在(0,1]x ∈上是增函数，求实数a 的取值范围.用两种方法解答并争辩： 1.哪种证明思路好？2. '()0f x ≥ （'()0f x ≤）是f (x )在此区间上为增函数（减函数）的什么条件随堂练习（C 级）1. 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>为增函数，则肯定有（ ） A ．240b ac -< B ．230b ac -< C ．240b ac -> D ．230b ac ->2. （2004全国）函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ） A ．3(,)22ππB ．(,2)ππC ．35(,)22ππD ．(2,3)ππ五、【达标自测】1．（A 级）2．函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,02．（A 级）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不行能正确的是（ ）3．（A 级）已知函数x x x f ln )(=，则（ ） A ．在),0(+∞上递增 B ．在),0(+∞上递减C ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递增D ．在⎪⎭⎫⎝⎛e 1,0上递减4．（A 级）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2sin = B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(5. （C 级）函数3()f x x x =-的增区间是 ，减区间是6. （C 级）已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 .7．（C 级）已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3)(23（1）当1-=a 时，求函数的单调区间。
2021_2022学年高中数学第1章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修2_2
1.3.2 函数的极值与导数学习目标核心素养1．了解极大值、极小值的概念．(难点) 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点、易混点)3．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点)1．通过极值点与极值概念的学习，表达了数学抽象的核心素养．2．借助函数极值的求法，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.1．极值点与极值(1)极小值点与极小值假设函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值假设函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．思考：导数为0的点一定是极值点吗？[提示] 不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0, 但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(xf′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如下图，那么函数f(x)( )A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点C [设y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点从左到右横坐标依次为x 1，x 2，x 3，x 4，那么f (x )在x ＝x 1，x ＝x 3处取得极大值，在x ＝x 2，x ＝x 4处取得极小值．]2．函数f (x )＝x 44－x 33的极值点为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．1D [∵f ′(x )＝x 3－x 2＝x 2(x －1)， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝1.又当x ＞1时f ′(x )＞0,0＜x ＜1时f ′(x )＜0， ∴1是f (x )的极小值点．又x ＜0时f ′(x )＜0，故x ＝0不是函数的极值点．]3．假设可导函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，那么f ′(1)＝________，1是函数f (x )的________值．0 极大 [由题意可知，当x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0， ∴f ′(1)＝0,1是函数f (x )的极大值．]4．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的极小值点为________． 2 [由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝2. 列表如下：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗求函数的极值点和极值【例1】 求以下函数的极值 (1)y ＝x 3－3x 2－9x ＋5； (2)y ＝x 3(x －5)2.[解] (1)∵y ′＝3x 2－6x －9，令y ′＝0，即3x 2－6x －9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)y ′ ＋ 0 － 0 ＋y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值，且f (3)＝－22. (2)y ′＝3x 2(x －5)2＋2x 3(x －5) ＝5x 2(x －3)(x －5)，令y ′＝0，即5x 2(x －3)(x －5)＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，x 3x 变化时，y ′与y 的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0,3) 3 (3,5) 5 (5，＋∞)y ′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋y ↗ 无极值 ↗ 极大值108 ↘ 极小值0 ↗x ＝3是y 的极大值点，y 极大值＝f (3)＝108； x ＝5是y 的极小值点，y 极小值＝f (5)＝0.角度2 含参数的函数求极值【例2】 函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x(x ∈R )，当a ∈R 且a ≠23时，求函数的极值．思路探究：求f ′(x )＝0的根讨论f (x )的单调性―→求极值[解] f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2. 由a ≠23知，－2a ≠a －2.以下分两种情况讨论：假设a ＞23，那么－2a ＜ax 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2a )－2a (－2a ，a －2)a －2(a －2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e－2a；函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.假设a ＜23，那么－2a ＞a －2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，a －2)a －2(a －2，－2a )－2a (－2a ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2；函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )， 且f (－2a )＝3a e－2a.求可导函数f (x )的极值的步骤(1)求函数的定义域； (2)求函数的导数f ′(x )；(3)令f ′(x )＝0，求出全部的根x 0；(4)列表：方程的根x 0将整个定义域分成假设干个区间，把x ，f ′(x )，f (x )在每个区间内的变化情况列在一个表格内；(5)判断得结论：假设导数在x 0附近左正右负，那么在x 0处取得极大值；假设左负右正，那么取得极小值．1．假设函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，求函数f (x )的极值． [解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax.(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x )无极值． (2)当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝a .当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当x ＞a 时，f ′(x )＞0.∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，且f (a )＝a －ln a ，无极大值．综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值.由极值求参数的值或取值范围b ＝________.(2)函数f (x )＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x (x ∈R ，m 为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围．思路探究： (1)由f ′(1)＝0及f (1)＝10求a ，b ，注意检验极值的存在条件； (2)f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，等价于f ′(x )＝0在(1，＋∞)内有两个不等实根． (1)4，－11 [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＝9，2a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3.但由于当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3，不符合题意，应舍去．而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11时，经检验知符合题意，故a ，b 的值分别为4，－11.](2)[解] f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6. 因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，所以f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如下图．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋6)>0，f ′(1)＝1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1，解得mm 的取值范围是(3，＋∞)．函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.2．假设x ＝2是函数f (x )＝x (x －m )2的极大值点，求函数f (x )的极大值． [解] ∵f ′(x )＝(x －m )(3x －m )，且f ′(2)＝0， ∴(m －2)(m －6)＝0，即m ＝2或m ＝6. (1)当m ＝2时，f ′(x )＝(x －2)(3x －2)， 由f ′(x )＞0得x ＜23或x ＞2；由f ′(x )＜0得23＜x ＜2.∴x ＝2是f (x )的极小值点，不合题意，故m ＝2舍去． (2)当m ＝6时，f ′(x )＝(x －6)(3x －6)， 由f ′(x )＞0得x ＜2或x ＞6； 由f ′(x )＜0得2＜x ＜6.∴x ＝2是f (x )的极大值，∴f (2)＝2×(2－6)2＝32. 即函数f (x )的极大值为32.极值问题的综合应用1．如何画出函数f (x )＝2x 3－3x 2－36x ＋16的大致图象．[提示] f ′(x )＝6x 2－6x －36＝6(x 2－x －6)＝6(x －3)(x ＋2)． 由f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞3，∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)． 由f ′(x )＜0得－2＜x ＜3， ∴函数f (x )的递减区间是(－2,3)． 由得f (－2)＝60，f (3)＝－65，f (0)＝16.∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f (x )大致图象如下图(答案不唯一)． 2．当a 变化时，方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 有几解？[提示] 方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 解的个数问题可转化为函数y ＝a 与y ＝2x 3－3x 2－36x ＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：(1)当a ＞60或a ＜－65时， 方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 有且只有一解；(2)当a ＝60或a ＝－65时，方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 有两解； (3)当－65＜a ＜60时，方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 三解．【例4】 函数f (x )＝x 3－3x ＋a (a 为实数)，假设方程f (x )＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围．思路探究：求出函数的极值，要使f (x )＝0有三个不同实根，那么应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a 的取值范围．[解] 令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0.所以当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ； 当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－2＋a . 因为方程f (x )＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，如图．由应有⎩⎪⎨⎪⎧2＋a >0，－2＋a <0，解得－2<a <2，故实数a 的取值范围是(－2,2)．1．(改变条件)本例中，假设方程f (x )＝0恰有两个根，那么实数a 的值如何求解？ [解] 由例题，知函数的极大值f (－1)＝2＋a ，极小值f (1)＝－2＋a ， 假设f (x )＝0恰有两个根，那么有2＋a ＝0，或－2＋a ＝0， 所以a ＝－2或a ＝2.2．(改变条件)本例中，假设方程f (x )＝0有且只有一个实根，求实数a 的范围． [解] 由例题可知，要使方程f (x )＝0有且只有一个实根， 只需2＋a ＜0或－2＋a ＞0， 即a ＜－2或a ＞2.用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此根本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质，可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．1．函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的局部图象如下图，那么下面结论错误的选项是( )A．在(1,2)上函数f(x)为增函数B．在(3,4)上函数f(x)为减函数C．在(1,3)上函数f(x)有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点D[由图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，当2＜x＜4时，f′(x)＜0，当4＜x＜5时，f′(x)＞0，∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．] 2．函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，那么该函数的一个递增区间是( ) A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)B[∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0,24＋4a＋36＝0，a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.]3．设函数f(x)＝x e x，那么( )A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点D[令y′＝e x＋x·e x＝(1＋x)e x＝0，得xx＜－1时，y′＜0；当x＞－1时，yx＝－1时，y取得极小值．]4．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，那么实数a的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0，即a 2－a －2＞0，解得a ＞2或a ＜－1.](1)f (x )＝x 2－2ln x ；(2)y ＝x 3－22(x －1)2.[解] (1)∵f ′(x )＝2x －2x，且函数定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，∴当x ＝1时，函数有极小值，极小值为f (1)＝1.(2)∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y ′＝(x －2)2(x ＋1)2(x －1)3，令y ′＝0，得x 1＝－1，x 2＝2，∴当x 变化时，y ′，y 的变化情况如表：故当x ＝－1时，y 有极大值－8.。
2022-2021学年高中数学新课标人教a版必修1同步学案：3.1第3课时函数与方程的综合应用
函数与方程的综合应用 一、学习引领1.函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数()y f x =（x D ∈）我们称方程()0f x =的实数根x 也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数()()y f x g x =-的零点. 2.函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数()y f x =（x D ∈）的图像与x 轴交点的横坐标就是()0f x =的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y ＝f(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程()()y f x g x =-的图像与x 轴交点的横坐标. 3.推断一个函数是否有零点的方法：假如函数()y f x =在区间(,)a b 上图像是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 上至少有一个零点，即至少存在一个数(,)c a b ∈使得()0f c =，这个c 就是函数()y f x =的零点.对于我们学习的简洁函数，可以借助()y f x =图像推断解的个数，或者把()f x 写成()()g x h x -，然后借助()y g x =、()y h x =的图像的交点去推断函数()f x 的零点状况. 4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：二次函数2y ax bx c =++的零点，就是二次方程20ax bx c ++=的根，也是二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交点的横坐标. 5. 二分法：对于区间(,)a b 上的连续不断，且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 二、疑难解析1.关于函数()()y f x g x =-的零点，就是方程()()f x g x =的实数根，也就是()y f x =与函数()y g x =图像的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中机敏运用.2.假如二次函数2()y f x ax bx c ==++，在闭区间[m,n]上满足()()0f m f n ⋅<，那么方程20ax bx c ++=在区间（m,n ）上有唯一解，即存在唯一的1(,)x m n ∈，使1()0f x =，方程20ax bx c ++=另一解2(,)(,)x m n ∈-∞⋃+∞.3. 二次方程20ax bx c ++=的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程()f x ＝20ax bx c ++=的根都在区间(,)m n 时应满足：02()0()0b m n a f m f n ∆≥⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是 （1）取一个区间（,a b ）使()()0f a f b ⋅<（2）取区间的中点，02a bx +=（3）计算0()f x ，①若0()0f x =，则x 就是()0f x =的解，计算终止；②若0()()0f a f x ⋅<，则解位于区间（0,a x ）中，令110,a a b x ==；若0()()0f x f b ⋅<则解位于区间（0,x b）令101,a x b b==（4）取区间是（11,a b ）的中点，1112a b x +=重服其次步、第三骤直到第n 步，方程的解总位于区间（,n n a b ）内 （5）当,n na b 精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.三、典例导析1、函数方程中参数问题：例1、已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围. 思路导析：依据方程210mx x ++=，可创设函数2()1f x mx x =++，利用函数的性质求解。
2022-2021学年高中数学新课标人教a版必修1同步学案：1.3第1课时函数的单调性和最值
1.3第一课时 函数的单调性和最值（1）一、课前预备 1．课时目标(1)了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思；(2) 理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能依据函数的图象指出单调性、写出单调区间； (3) 把握运用函数的单调性定义解决一类具体问题；能运用函数的单调性定义证明简洁函数 的单调性。
2．基础预探 （1）在学校已经学习了函数图象的画法为 。
其步骤：第一步 ；其次步 ；第三步 。
(2) 从函数2x y =的图象可以看到其图像特点：图象在y 轴的右侧部分是 的，也就是说，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着 ，图象在y 轴的左侧部分是 的，也就是说， 当x 在区间（-∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着 。
（3）增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是 ；若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是 。
（4）若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的） ，这一区间叫做函数)(x f 的 .此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图象是的，减函数的图象是 的.（5）推断或证明单调性的步骤：①、 ；②、 ；③、 ；④、 ；⑤、 。
二、学习引领 1、增减函数单调性。
函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =，当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数，在R 上没有单调性。
有的函数没有单调性，如：y=2常数函数。
2、函数的单调区间⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵在区间上取值，应是该区间内任意的两个实数，忽视“需要任意取值”这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。
2022-2021学年高中数学新课标人教A版必修1同步学案：第一章整章测试 Word版含答案
第一章 整章测试 一、选择题. 1.已知集合{}1>=x x A ，{}21<<-=x x B ，则A B=（ ）.A{}21<<-x x B {}1->x x C {}11<<-x x D {}21<<x x2.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ） A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂3 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2 4．设f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7 5. 下列推断正确的是（ ）A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数；B ．函数1()(1)1x f x x x +=--是偶函数C ．函数2()1f x x x =+-是非奇非偶函数 D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数6．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )A ．y ＝3－xB ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x |7．下列集合不能用区间形式表示的是( )①A ＝{1,2,3,4}；②{x |x 是三角形}； ③{x |x >1，且x ∈Q }；④∅；⑤{x |x ≤0，或x ≥3}；⑥{x |2<x ≤5，x ∈N }． A ．①②③ B．③④⑤ C ．⑤⑥ D．①②③④⑥8．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≥2} B．{a |a ≤1} C ．{a |a ≥1} D．{a .|a ≤2}9.已知函数0,{|21,}()1,{|2,}x x x n n Z f x x x x n n Z ∈=+∈⎧=⎨∈=∈⎩， ()()3-f f 的值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D.1或1-10.设)(x f 的定义域为)2,2(-，则2()()2x f f x +的定义域为（ ）. A ．(4,0)(0,4)- B ．(4,1)(1,4)-- C ．(2,1)(1,2)-- D ．(4,2)(2,4)--11．函数f ：{1,2,3}→{1,2,3}满足f (f (x ))＝f (x )，则这样的函数个数共有( )A ．1个B ．4个C ．8个D ．10个12奇函数()f x 满足：①()f x 在(0,)+∞内单调递增；②(1)0f =；则不等式(1)()0x f x ->的解集为（ ） A. ),1()1,0()1,(+∞⋃⋃--∞ B. ),1()1,(+∞⋃--∞ C. )1,0( D. )1,(--∞. 二、填空题.13．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B ⊆A ，则实数m ＝ ．14．设R ,∈b a ,集合{},,,0,,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a 则a b 的值是 .15.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________. 16．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为，求f (x )的值域 ．三、解答题.17.已知集合A ＝{x | x 2－3x －11≤0}，B ＝{x | m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ⊇B 且B ≠ο/，求实数m 的取值范围。
金太阳固学案数学[5篇]
![金太阳固学案数学[5篇]](https://img.taocdn.com/s3/m/c7c94ef326fff705cd170a08.png)
金太阳固学案数学[5篇]以下是网友分享的关于金太阳固学案数学的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
金太阳固学案数学第一篇《金太阳导学案》2011-06-28 09:02《金太阳导学案》融汇名师的心智结晶、骨干教师的实践经验，充分演绎了高效课堂的导学模式。
学生用书分为3个单册:《预学案》、《导学案》(含《思学案》、)《固学案》，教师用书三合一。
核心思想以学带教，归还学生自主权。
编写理念渗透高校课堂思想，引领学案导学模式引导学生实现自主学习、合作学习、探究学习、反馈学习达成目标1学生学习自主化、掌握技能系统化、解题能力具体化、课程安排科学化、课程评价体系化丛书特点:1、围绕课程目标，紧扣教材，按课时设计学案;2、科学设计，“问题导学”;(1)紧密结合与学生学习、生活紧密相关的生活环境出发，紧扣世代脉搏设计问题;(2)在问题设计上依据学生认知特点，实现问题设计的层次化。
3、知识和习题设计面向全体学生(1)在知识设计上面向全体学生，但层次分明;(2)在评估检测的问题设计上，有深入浅，层次多样，面向全体学生提出不同要求。
4、重视学法，注重能力培养5、根据教学实际，合理设置图书结构，易于操作，方便师生学习(1)学案与教案分离;(2)学案与练案分离;(3)教师用书与学生用书页码相同。
金太阳固学案数学第二篇2金太阳数学测试卷(二)一、填空题。
1. 温家宝总理有一句名言:“多么小的问题乘以13亿，都会变得很大;多么大的经济总量除以13亿，都会变得很小。
”若每人每天节约一分钱，那么我国每年(365天)能节约________元(四舍五入到亿)。
2. 果园里有桃树、橘树、枣树若干棵，其中桃树占60%，橘树的扇形圆心角是54?，则枣树占_____%;若橘树有18棵，那么桃树有______棵。
3. A、B两地之间每隔36米竖一个电线杆，包括两端的两根电线杆在内，共61根电线杆。
现在要改为每隔48米竖一根电线杆，那么除了两端的两根电线杆外，A、B两地间还有____根电线杆可不必移动。
高中数学 1.2.2 函数的表示法导学案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案
1.2.2函数的表示法班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课前预习· 预习案【温馨寄语】你想获得优异成果的话，请谨慎地珍惜和支配自己的时间。
你爱惜你的生命，从不浪费时间，因为你知道：时间就是塑造生命的材料。
【学习目标】1．了解函数的三种表示法，会根据题目条件不同的表示法表示函数.2．会求简单函数的解析式及画简单函数的图象.3．理解分段函数的意义，并能简单应用.4．了解映射的概念及表示法.5．理解映射与函数的区别与联系.【学习重点】1．函数的三种表示方法2．分段函数的概念【学习难点】1．根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？2．分段函数的表示及其图象【自主学习】1．函数的三种表示法2．映射3．分段函数在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，函数有着不同的 .【预习评价】1．已知函数由下表给出，则1 2 3 42 3 4 1A.1B.2C.3D.42．已知反比例函数满足，的解析式为 .3．下列对应是从集合A到集合B映射的是①；②；③；④.A. ①②B.①③C.③④D.②④4．已知则 .5．已知在映射的作用下与对应，则在映射的作用下与对应.知识拓展· 探究案【合作探究】1．函数的表示法——列表法与图象法在一次国际比赛中某三名铅球运动员决赛的成绩如表(单位：m).第1次第2次第3次第4次第5次运动员甲20.61 21.31 20.47 20.78 21.36 运动员乙18.10 18.25 19.05 19.15 19.70 运动员丙19.77 19.33 20.17 20.54 19.75 平均成绩19.49 19.63 19.90 20.16 20.27 请根据上表探究下面的问题：(1).上表反映了4个函数关系，这些函数的自变量是什么？定义域是什么？(2).上述函数能用解析式表示吗？(3).若想分析三名运动员的成绩变化情况，采用哪种方法恰当？(4).在同一坐标系内画出上述函数的图象并完成下面的填空：①从图形中分析甲运动员的成绩 .②从图形中分析乙运动员的成绩 .2．根据下面的提示，完成下面的问题：(1)一次函数的解析式可设为；反比例函数可设为；二次函数的一般式可设为 .(2)设出解析式后，如何求解析式？3．若函数满足对任意有，此式子中的换为是否仍然成立？4．分段函数若某分段函数的解析式为，据其探究下列问题：(1)此分段函数由几部分组成，它表示几个函数？(2)根据有关的提示填空，明确分段函数具有的性质.①由分段函数的概念知，此函数的定义域为 .②若给定，则当时，；当时，.5．映射的判断(1)观察上面的四组对应，思考下面的问题：①四组对应中，集合A中元素在集合B中是否都有元素与之对应？②对应(1)与其余三组对应有何不同？③四组对应中哪些能构成从集合到集合的映射？(2)从这几组对应中，你能发现映射有什么特点？【教师点拨】1．求函数解析式的三个关注点(1)换元法求函数的解析式时，要注意换元后自变量的取值范围.(2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题.(3)函数式中若含有自变量的对称形式，如：与或可通过构造对称方程求解.2．对解析法的说明利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，并不是所有的函数都可以用解析式表示，同时利用解析法表示函数要注明函数的定义域.3．对列表法与图像法的说明(1)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性.(2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点.4．映射的四个特征(1)确定性：集合、集合与对应关系是确定的一个整体.(2)非空性：集合、集合都必须是非空集合.(3)方向性：从集合到集合的映射与从集合到集合的映射是不同的映射.(4)多样性：映射的对应方式可以是多对一，也可以是一对一.5．处理分段函数的求值和作图象时的两个注意点(1)分段函数求值要先找准自变量所在区间及所对应的解析式，然后求值.(2)分段函数的图象是由几段曲线构成，作图时要注意衔接点的虚实.【交流展示】1．已知,则A. B. C. D.2．已知,求.3．作出函数的图象,并说明该函数的图象与的图象之间的关系. 4．某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元,经试销调查发现,销售量(件)与销售单价(元)之间的关系可近似看作一次函数,其图象如图所示,求此函数的解析式.5．设则的值为A.10B.11C.12D.136．若函数则 . 7．已知集合，集合，按照下列对应法则能构成集合到集合的映射的是A. B.D.C.8．下列各个对应中，构成映射的是A. B. C. D.【学习小结】1．判断一个对应是否为映射的两点主要依据(1)任意性：集合中每一个元素，在集合中是否都有元素与之对应.(2)唯一性：集合中任一元素在集合中是否都有唯一的元素与之对应.2．分段函数图象的特点及画法(1)特点：分段函数的图象可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几条线段.(2)画法：画分段函数的图象要分段画，当函数式中含有绝对值符号时，首先要根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后再画图象.3．分段函数求函数值的步骤及注意点(1)步骤：①确定要求值的自变量属于哪一段区间；②代入该段的解析式求值，直到求出值为止.(2)注意点：当出现的形式时，应从内到外依次求值.4．列表法表示函数的使用范围及生活中的实例(1)适用范围：列表法主要适用于自变量个数较少，且为有限个，并且自变量的取值为孤立的实数，同时当变量间的关系无规律时，也常采用列表法表示两变量之间的关系.(2)生活中的实例：生活中经常见到的银行利率表、列车时间表、国民生产总值表等都是采用列表法.5．图象平移变换的一般原则(1)左右平移：的图象的图象.(2)上下平移：的图象的图象. 6．作函数图象的三个步骤7．求函数解析式的常见类型及解法(1)已知类型：函数类型已知，一般用待定系数法，但对于二次函数问题要注意一般式：，顶点式：，两根式：的选择.(2)已知型：解答已知求型问题可采用配凑法，也可采用换元法.(3)函数方程问题，需建立关于的方程组，若函数方程中同时出现，则一般用代之；若同时出现，一般用代替，构造另一个方程. 提醒：求函数解析式时要严格考虑函数的定义域.【当堂检测】1．设函数若，则实数A.-4或-2B.-4或2C.一2或4D.-2或22．在给定映射即的条件下，与中元素对应的中元素是A. B.或C. D.或3．函数的图象为A. B.C. D.4．判断下面的对应是否为集合到集合的映射(1).对应关系.(2)，对应关系. 5．已知，若到的映射满足，求满足的所有映射.1.2.2函数的表示法详细答案课前预习· 预习案【自主学习】1．数学表达式图象表格2．非空非空对应关系f任意一个唯一确定f:A→B 3．对应关系【预习评价】1．C2．3．C4．25．(7，12)知识拓展· 探究案【合作探究】1．(1)自变量为投掷的次数；定义域为{1，2，3，4，5}.(2)不能，因为自变量依次取值时，函数值的变化趋势不确定.(3)采用图象法较好，因为图象比较直观形象.(4)在同一坐标系内画出函数的图象如下，①高于平均成绩②低于平均成绩，但成绩每次都有提升2．(1)y＝kx＋b，k≠0，k≠0y＝ax2＋bx＋c，a≠0(2)①可将已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组；②解方程或方程组，求出待定系数的值；③将所求待定系数的值代回到原式，即得函数的解析式.3．因为对任意的x≠0有，而，所以将上式中的x换为仍然成立.4．(1)此分段函数由两部分组成，它表示一个函数.(2)①Ｄ1∪D2②f(x0) g(x0)5．(1)①对于四组对应，集合A中的任何一个元素，按照某种对应关系，在集合B中都有元素和它对应.②对应(1)中A中的元素在B中的对应元素不唯一，而对应(2)(3)(4)中A中的任何一个元素，通过对应关系，在B中都有唯一的元素和它对应.③根据映射的概念，(2)(3)(4)组的对应可以构成从集合A到集合B的映射.(2)(1)映射可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多.(2)集合B中可以有多余的元素，但集合A中不能有多余的元素.【交流展示】1．A2．设,则,t≠1.则.所以f(x)＝x2－x＋1(x≠1).3．,作图过程：将的图象沿x轴向右平移1个单位,得到函数的图象,再将函数的图象向上平移2个单位,即可得到函数的图象,如图.4．由图象知,当x＝600时,y＝400；当x＝700时,y＝300,代入y＝kx＋b(k≠0)中,得解得所以y＝－x＋1000(500≤x≤800).5．B6．27．B8．D【当堂检测】1．B2．B3．C4．(1)集合A中元素6在对应关系f作用下为3，而3∉B，故对应关系f不是集合A到集合B的映射.(2)在对应关系f作用下，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f是集合A到集合B的映射.5．将式子f(a)－f(b)＝f(c)改为f(a)＝f(b)＋f(c)，由0＋0＝0，－1＋0＝－1，0＋(－1)＝－1，1＋0＝1，0＋1＝1，－1＋1＝0，1＋(－1)＝0知，满足条件的映射有：。
2022年高中数学新人教版A版精品教案《1.3.2 函数的极值与导数》
函数的极值与导数〔第一课时〕一、教学目标1、知识与技能1 结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的条件；2 理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值；3 掌握求可导函数的极值的步骤2、过程与方法经历函数极值点的探究过程，总结用导数研究函数极值的方法3、情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识，进一步体验导数的作用。
二、教学重点、难点重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及利用导数求可导函数的极值的步骤难点：对极大、极小值概念的理解三、教学过程设计〔一〕课前准备合作预习1．通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？函数在某个区间为可导函数，假设在这个区间上是增函数；假设在这个区间上是减函数2．用“导数法〞求单调区间的步骤：①求函数定义域；②求出函数的导函数；③解不等式，求得其解集，再根据解集写出函数单调递增区间；解不等式，求得其解集，再根据解集写出函数单调递减区间注：单调区间不能以并集出现设计意图：回忆函数的单调性与导数的关系，同时也为本节课的学习做好铺垫3如图表示高台跳水运发动的高度随时间变化的函数的图像, 时，高台跳水运发动距水面的高度最大问题1 函数在处的导数是多少？问题2 函数在此点附近的图像有什么特点？导数符号有什么变化规律？问题3 函数在点处的函数值与点附近的函数值有什么关系设计意图：用高台跳水的例子，与上节课形成照应，引导学生提出和思考新的问题，开展学生的数学应用意识〔二〕预习反应〔三〕合作探究新知探究一：极值的定义1、观察函数的图像问题：〔1〕函数在点的处函数值与它们附近所以各点处的函数值有什么关系〔2〕函数在点的导数值是多少〔3〕在点附近, 的导数的符号有什么规律形成定义：函数在点的函数值在比它在点附近其他点的函数值都小，，且在点附近的左侧，右侧，把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值函数在点的函数值在比它在点附近其他点的函数值都大，，且在点附近的左侧，右侧，把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值探究二、极值概念的理解2、观察图二，答复以下问题：问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点为极大值点，哪些是极小值点？问题2：极大值一定大于极小值吗？问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？问题4：区间的端点能成为极值点吗？【关于极值概念的几点说明】1极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;2极值点是自变量的值,极值指的是函数值;3函数的极大小值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;4函数的极值点一定在区间的内部,区间的端点不能成为极值点设计意图：通过对图二的观察使学生经历感知，观察发现、归纳类比的思维过程，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法。
新教材2022版人教A版数学选择性必修第一册学案：3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质(含解析)
3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质素养目标·定方向课程标准学法解读1．掌握椭圆的简单几何性质．2．了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响．1．依据椭圆的方程研究椭圆的几何性质．(数学抽象)2．依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究其几何性质．(数学运算)3．能综合利用椭圆的几何性质解决相关的问题．(数学运算、逻辑推理)必备知识·探新知知识点椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0) 范围__－a≤x≤a，－b≤y≤b____－b≤x≤b，－a≤y≤a__顶点__A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)____A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)__轴长短轴长＝__2b__，长轴长＝__2a__焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：__x轴、y轴__对称中心：__原点__离心率e＝ca∈__(0,1)__提示：e＝ca，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．关键能力·攻重难题型探究题型一椭圆的主要几何量典例1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[分析]由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的方程；②研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质．[解析]把已知方程化成标准方程x216＋y29＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝ca ＝74，两个焦点坐标分别是(－7，0)、(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)、(4,0)、(0，－3)、(0,3)．[规律方法]1．由椭圆方程讨论其几何性质的步骤：(1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上．(2)由标准形式求a、b、c，写出其几何性质．2．椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置；(2)椭圆的范围决定椭圆的大小；(3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度；(4)对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图时应先确定这些点．【对点训练】❶求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．[解析] 将方程变形为y 225＋x 216＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3，故椭圆的长轴和短轴的长分别为2a ＝10,2b ＝8，离心率e ＝c a ＝35，焦点坐标F 1(0，－3)，F 2(0,3)，顶点坐标为A 1(0，－5)，A 2(0,5)，B 1(－4,0)，B 2(4,0)．题型二 由椭圆的几何性质求标准方程典例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8．[分析] 1．求椭圆的标准方程要先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再用待定系数法确定a 、b 、c ．2．(1)中由离心率e ＝ca ，及a 2＝b 2＋c 2可知椭圆的标准方程中只有一个待定系数，再由过点(3,0)可求之．(2)设短轴端点为A ，F 为一个焦点，由条件知△OAF 为等腰直角三角形，于是a 、b 、c 可求之．[解析] (1)若焦点在x 轴上，则a ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3． ∴椭圆的方程为x 29＋y 23＝1．若焦点在y 轴上，则b ＝3， ∵e ＝c a＝1－b 2a2＝1－9a 2＝63， 解得a 2＝27．∴椭圆的方程为y 227＋x 29＝1．综上可知椭圆方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1．(2)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)， 且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， ∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32， 故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1．[规律方法] 1．已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；(2)确立关于a 、b 、c 的方程(组)，求出参数a 、b 、c ；(3)写出标准方程．2．注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．【对点训练】❷ 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( C )A ．x 2144＋y 2128＝1或x 2128＋y 2144＝1B ．x 26＋y 24＝1C ．x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1D ．x 24＋y 26＝1或x 26＋y 24＝1[解析] 由条件知a ＝6，e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，故选C ．题型三 求椭圆的离心率的值(或范围)典例3 (1)如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，则椭圆的离心率为( A )A ．53B ．23C ．13D ．45(2)椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△F AB 的外接圆圆心P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为( A )A ．⎝⎛⎭⎫22，1B ．⎝⎛⎭⎫12，1C ．⎝⎛⎭⎫0，22 D ．⎝⎛⎭⎫0，12 [解析] (1)法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则M ⎝⎛⎭⎫c ，23b ． 代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1．所以c 2a 2＝59．所以c a ＝53，即e ＝53．法二：设椭圆方程为12＋12＝1(a ＞b ＞0)，∵x M ＝c 代入椭圆方程得y M ＝b 2a (M 点在x 轴上方)，∴b 2a ＝23b ，∴b a ＝23， ∴e ＝c a＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53．(2)由题意知F (－c,0)，A (0，b )，B (1,0)，设△F AB 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋M ＝0，将F (－c ，0)，A (0，b )，B (1,0)分别代入外接圆的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧c 2－cD ＋M ＝0，b 2＋bE ＋M ＝0，1＋D ＋M ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝c －1，E ＝c －b2b，M ＝－c .故外接圆的方程为x 2＋y 2＋(c －1)x ＋c －b 2b y －c ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋c －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋c －b 22b 2＝1＋b 24b 2，故m ＝－c ＋12，n ＝b 2－c 2b ，由m ＋n ＜0可得－c ＋12＋b 2－c 2b ＜0，即1－c ＋b －c b ＜0⇒b －c ＋b －c b ＜0，所以b －c ＜0，即b 2＜c 2⇒e 2＞12，所以22＜e ＜1．[规律方法] 求椭圆离心率及取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c ，可直接利用e ＝ca 求解；若已知a ，b 或b ，c ，可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．求离心率的范围时，应根据题意建立a ，c 的不等式，结合e ∈(0,1)确定离心率的范围．【对点训练】❸ (1)已知椭圆的焦距不小于短轴长，求椭圆的离心率的取值范围； (2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆一个交点的横坐标恰为c ，求椭圆的离心率．[解析] (1)依题意可得2c ≥2b ，即c ≥b ， 所以c 2≥b 2，从而c 2≥a 2－c 2， 即2c 2≥a 2，e 2＝c 2a 2≥12，所以e ≥22． 又因为0＜e ＜1，所以椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫22，1 ．(2)如图所示，设直线y ＝2x 与椭圆的一个交点为P ，则点P 横坐标为c ，连接PF 1，PF 2，则|PF 1|＝2c ． 因为△PF 1F 2为直角三角形，|F 1F 2|＝2c ， 所以|PF 2|＝22c ．根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即2c ＋22c ＝2a ，所以(2＋1)c＝a，故e＝ca＝12＋1＝2－1．易错警示典例4椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝32，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程．[错解]设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a＝32，4a2＋9b2＝1，a2＝b2＋c2，解得b2＝10，a2＝40．所以所求椭圆的标准方程为x240＋y210＝1．[辨析]上述解法没有讨论焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在x轴上．[正解]当焦点在x轴上时，解法同上，所求椭圆的标准方程为x240＋y210＝1．当焦点在y轴上时，设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a＝32，9a2＋4b2＝1，c2＝a2－b2，解得b2＝254，a2＝25．故所求椭圆的标准方程为y225＋4x225＝1．综上，所求椭圆的标准方程为x240＋y210＝1或y225＋4x225＝1．。
新教材2022版人教A版数学选择性必修第一册学案：3.2.1 双曲线及其标准方程(含解析)
3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程素养目标·定方向课程标准学法解读1．了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程．2．掌握双曲线的定义，标准方程及几何图形．1．结合教材实例掌握双曲线的定义．(数学抽象)2．掌握双曲线的标准方程、几何图形，会用待定系数法求双曲线的标准方程．(数学运算)3．通过双曲线概念的引入和双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力．(数学运算、逻辑推理)必备知识·探新知知识点1 双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的__绝对值__等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}．3．焦点：两个__定点F1，F2__．4．焦距：__两焦点间__的距离，表示为|F1F2|．思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a＜|F1F2|，则点M的轨迹是什么？提示：(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．知识点2 双曲线标准方程焦点位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 __x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)__ __y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)__ 焦点 __(－c,0)，(c,0)____(0，－c )，(0，c )__a ，b ，c 的关系 c 2＝__a 2＋b 2__关键能力·攻重难题型探究题型一 双曲线定义的应用典例1 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离． (2)若点P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积． [分析] (1)直接利用定义求解．(2)在△F 1PF 2中利用余弦定理求|PF 1|·|PF 2|． [解析] (1)设|MF 1|＝16，根据双曲线的定义知||MF 2|－16|＝6， 即|MF 2|－16＝±6．解得|MF 2|＝10或|MF 2|＝22．(2)由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5．由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝163．[规律方法] 求双曲线中的焦点三角形△PF 1F 2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值；④利用公式S ＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)利用公式S ＝12×|F 1F 2|×|y P |求得面积．(3)若双曲线中焦点三角形的顶角∠F 1PF 2＝θ，则面积S ＝b 2tan θ2．这一结论适用于选择或填空题．【对点训练】❶ 已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P使得∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．[解析] 在双曲线的方程中，a ＝3，b ＝4，则c ＝5． 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m ＞0，n ＞0)． 由双曲线的定义可知，|m －n |＝2a ＝6，两边平方，得m 2＋n 2－2mn ＝36．又∵∠F 1PF 2＝90°， ∴由勾股定理，得m 2＋n 2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝100． ∴mn ＝32，∴S △F 1PF 2＝12mn ＝16．题型二 求双曲线的标准方程典例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎫1，－4103；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(3)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5且焦点在坐标轴上． [分析] (1)结合a 的值设出标准方程的两种形式，将点A 的坐标代入求解．(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．[解析] (1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2b 2＝1(b ＞0)，把点A 的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9．故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1． (2)方法1：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20．① ∵双曲线经过点(32，2)，∴18a 2－4b 2＝1．②由①②得a 2＝12，b 2＝8，∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1． 方法2：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4＜λ＜16)．∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1．(3)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1，AB ＜0．∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧9A ＋22516B ＝1，2569A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－116，B ＝19.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1．[规律方法] 1．求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a 2，b 2的值．2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)来求解．【对点训练】❷ 求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22)． [解析] (1)由已知得，c ＝5,2a ＝8，即a ＝4． ∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9． ∵焦点在x 轴上，∴所求的双曲线标准方程是x 216－y 29＝1．(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝1，24m ＋8n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝18，n ＝－14，∴双曲线方程为x 28－y 24＝1．题型三 利用双曲线的标准方程求参数方程典例3 给出曲线方程x 24＋k ＋y 21－k＝1．(1)若该方程表示双曲线，求实数k 的取值范围；(2)若该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数k 的取值范围． [分析] 根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解．[解析] (1)将所给方程化为x 24＋k －y 2k －1＝1，若该方程表示双曲线，则有(4＋k )(k －1)＞0，解得k ＞1或k ＜－4，故实数k 的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．(2)将所给方程化为y 21－k －x 2－4－k＝1，若该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＞0，－4－k ＞0，解得k ＜－4，故实数k 的取值范围是(－∞，－4)． [规律方法] 方程表示双曲线的条件及参数范围求法(1)对于方程x 2m ＋y 2n ＝1，当mn ＜0时表示双曲线，进一步，当m ＞0，n ＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m ＜0，n ＞0时表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)对于方程x 2m －y 2n ＝1，当mn ＞0时表示双曲线，且当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＜0，n ＜0时表示焦点在y 轴上的双曲线．(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．【对点训练】❸ 求满足下列条件的参数的值． (1)已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值； (2)椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，求a 的值．[解析] (1)若焦点在x 轴上，则方程可化为 x 2k 2－y 2k ＝1， 所以k2＋k ＝32，即k ＝6；若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k2＝1，所以－k ＋⎝⎛⎭⎫－k2＝32，即k ＝－6． 综上所述，k 的值为6或－6．(2)由双曲线方程知焦点在x 轴上且c 2＝a ＋2(a ＞0)． 由椭圆方程，知c 2＝4－a 2， 所以a ＋2＝4－a 2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)． 因此a 的值为1．题型四 双曲线的实际应用典例4 相距2 000 m 的两个哨所A 、B ，听到远处传来的炮弹爆炸声．已知当时的声速是330 m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到时间迟4 s ，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．[分析] 爆炸点与哨所A 、B 的“距离差”等于声速乘以两哨所听到爆炸声的“时间差”，且爆炸点距B 哨所较近．[解析] 设爆炸点为P ，由已知可得|P A |－|PB |＝330×4＝1 320＞0．因为|AB |＝2 000＞1 320，所以点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的靠近B 处的那一支上． 建立如图平面直角坐标系，使A 、B 两点在x 轴上，线段AB 的中点为坐标原点．由2a ＝1 320,2c ＝2 000得，a ＝660，c ＝1 000，b 2＝c 2－a 2＝564 400． 因此，点P 所在曲线的方程是 x 2435 600－y 2564 400＝1(x ＞0)．[规律方法] 解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．【对点训练】❹ 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km 处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km 处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？[解析]设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，又易知k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)， ∴直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)，① 又|PB |－|P A |＝4＜6＝|AB |，∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且a ＝2，c ＝3， ∴双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)，②联立①②，得P 点坐标为(8,53)， ∴k P A ＝538－3＝3，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°．易错警示典例5 已知双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，求k 的值．[错解] 将双曲线方程化为标准方程x 21k －y 28k ＝1．因为焦点在y 轴上，所以a 2＝8k ，b 2＝1k ，所以c ＝a 2－b 2＝8k －1k ＝3，即7k ＝9，所以k ＝79． [辨析] 上述解法有两处错误：一是a 2、b 2确定错误，应该是a 2＝－8k ，b 2＝－1k ；二是a 、b 、c 的关系式用错了．在双曲线中应为c 2＝a 2＋b 2．[正解] 将双曲线方程化为kx 2－k 8y 2＝1，即x 21k －y 28k＝1．因为一个焦点是(0,3)，所以焦点在y 轴上，所以c ＝3，a 2＝－8k ，b 2＝－1k ，所以a 2＋b 2＝－8k －1k ＝－9k ＝c 2＝9．所以k ＝－1．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2022年金太阳导学案高中数学必修1人教版a版
一、数论
1、数论包括有关整数的表示和某些关于整数的数学定理，主要是数论的基本定理。
数论的重要内容有：
（1）有关整数的进制和反标记的问题；
（2）关于有限域的结构定理；
（3）埃拉托色尼定理和欧拉理论；
（4）原根和同余式；
（5）素数和合数的基本概念；
（6）求解方程和因子法；
（7）因式分解的方法；
（8）模运算的基本知识；
（9）拓展运算；
（10）中国剩余定理；
（11）其他相关问题。
二、坐标几何
1、坐标几何解决的是几何概念的空间表示问题和空间几何问题的数学化表达问题，以满足任意计算机图形学程序、仿真程序与图形交互录入软件需求。
坐标几何主要内容有：
（1）三角坐标系；
（2）极坐标系；
（3）直角坐标系；
（4）平面上的伸缩简图；
（5）空间的位置表示法；
（6）直线和平面的方程；
（7）平面上的仿射变换；
（8）三角测量；
（9）向量与矩阵；
（10）二维和三维空间几何；
（11）微分几何；
（12）其他相关问题。
三、初等函数
1、初等函数是以指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数以及其组合而形成的函数家族，它们构成了高中数学的基础。
初等函数的重要内容有：
（1）指数函数的定义及其特征；
（2）对数函数的定义及其特征；
（3）三角函数的定义及特征；
（4）反三角函数的定义及特征；
（5）三角函数的组合和变换；
（6）关于三角函数的算术和图形；
（7）复指数和复对数；
（8）实数和复数的三角函数；
（9）三角坐标系；
（10）其他组合函数；（11）其他相关问题。