人教新课标版数学高二-《学案导学》选修2-2练习1.4数学归纳法(二)

§4 数学归纳法(二)

一、基础过关

1． 用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)

2

(n ∈N *)，验证n ＝1时，左

边应取的项是

( )

A ．1

B ．1＋2

C ．1＋2＋3

D ．1＋2＋3＋4

2． 用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始

值n 0应取

( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

3． 已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2

时，f (2k ＋

1)比f (2k )多的项数是

( )

A ．2k

－1

项

B ．2k

＋1

项

C ．2k 项

D ．以上都不对

4． 用数学归纳法证明不等式

1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n >11

24(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n

＝k ＋1时，下列说法正确的是

( )

A ．增加了一项1

2(k ＋1)

B ．增加了两项12k ＋1和1

2(k ＋1)

C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项1

k ＋1

D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1

k ＋1

5． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，

S 4后，可猜想S n 的表达式为________________． 二、能力提升

6． 用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n

＝k ＋1时的情况，只需展开

( ) A ．(k ＋3)3

B ．(k ＋2)3

C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3

7．k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为() A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1

C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2

8．对于不等式n2＋n≤n＋1 (n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．

②假设n＝k (n∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)

＝k2＋3k＋2

A．过程全部正确

B．n＝1验证不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

9．用数学归纳法证明1

22＋1

32＋…＋

1

(n＋1)2

>

1

2－

1

n＋2

.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k

＋1时，应推证的目标不等式是_______．10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．

11．求证：

1

n＋1

＋

1

n＋2

＋…＋

1

3n>

5

6(n≥2，n∈N

*)．

12．已知数列{a n}中，a1＝－2

3，其前n项和S n满足a n＝S n＋

1

S n＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，

S4，猜想S n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

三、探究与拓展

13．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．

答案

1．D 2.C 3.C 4.C 5.S n ＝2n

n ＋1 6．A 7.A 8.D

9.

122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3

10．证明 (1)当n ＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，62k －1＋1能被7整除． 那么当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1＝62k －1＋2＋1 ＝36(62k －1＋1)－35.

∵62k －1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命题成立．

11．证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>5

6

，不等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立， 即

1

k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56.

则当n ＝k ＋1时，

1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋

13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1

3k

＋(13k ＋1

＋13k ＋2

＋

13k ＋3

－

1

k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(3×13k ＋3－1k ＋1

)＝5

6

， 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．

由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立． 12．解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1

S n

＋2.

∴S n ＝－1

S n －1＋2(n ≥2)．

则有：S 1＝a 1＝－2

3

，