大学物理 第四章 刚体转动(二)

例题1 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的 两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图 所示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力 矩为Mτ。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度 和绳的张力。 解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 T1 T2 的作用，两边的张力不再 T 1 T 2 相等，设物体1这边绳的张 a 力为T1、 T1’(T1’= T1) ， a
2
0
T’
N’
h
对于物体，由质点动能定理，得
P’
1 1 2 2 mgh T ' h = mv mv0 2 2
T
P
由牛顿第三定律
T = T'
由于绳与圆盘之间无相对滑动，故有
h = R v = Rw
解上述方程，可得
m v= 2 gh M / 2 m
例题: 一根质量为m、长为 L的均匀细棒OA（如图 ），可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动 ，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖 直位置时其中点C和端点A的速度。 解 先对细棒OA所受的力作 一分析；重力 G 作用在棒 的中心点C，方向竖直向下 ；轴和棒之间没有摩擦力 ，轴对棒作用的支承力 N 垂直于棒和轴的接触面且 通过O点，在棒的下摆过程 中，此力的方向和大小是 随时改变的。
R
e
解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元 的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
M = rdmg = g rreddr = ge 0 d 0 r dr 2 3 = geR 3 2 2，代入得 因m=eR M = mgR 3
= m i ( y i 2 x i 2 )
= Jx Jy
例：求对薄圆盘的一条直径的转动惯量。 1 已知圆盘 J z = mR 2 2 z 解： J z = J x J y
m
1 Jx = J y = Jz 2 1 = mR 2 4
x
R
y
六、刚体定轴转动定律的应用
题目类型
已知两个物理量，求另一个： 1.已知J和M，求 2.已知J和 ，求M 3.已知M和 ，求J
d=L/2
O2 O2’
五、垂直轴定理
z
对于薄板刚体，若建立 坐标系Oxyz，其中z轴与薄板 垂直，Oxy平面在薄板内，则 薄板刚体对z 轴的转动惯量等 于对x 轴的转动惯量和对y 轴 的转动惯量之和 。
O x
ri xi y 源自文库 i m i
= m i ri 2 Jz
Jz = J x J y
a = r
从以上各式即可解得
a=
m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r
J m2 m1 2 r =
1 m2 m1 m 2 而 1 m1 2m2 m g M / r 2 g a = T1 = m1 1 m2 m1 m 2 1 m2 2m1 m g＋M / r 2 g－a = T2 = m1 1 m2 m1 m 2

2
1
1 2 1 2 Md = Jw 2 Jw1 2 2
定轴转动刚体的动能定理： 合外力矩做的功等于刚体转动动能的增量。
四、刚体的重力势能
Ep = mi ghi = m
i
m h
i i
i
m hc 为刚体质心的高度
g = mg hc
结论
刚体的重力势能，等于把刚体的全部 质量集中于质心时质心的势能。
3. 机械能守恒定律 只有保守内力做功
则 : E1 = E2 = 常量
例题：如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，可绕一 无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端悬挂质量 为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度的大小 为多少？设绳的质量忽略不计。
R
解：对于圆盘，根据转动动能定律
1 2 1 TR ＝ Jw Jw 2 2 1 J＝ MR2 2
力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理．
力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
一、力矩的功 力矩对空间的累积效应
F 在转动平面内
d dt : 刚体角位移为d d r O 质点元位移为 d r r 元功： A = F dr d = F dr cos ds = rd = Fds cos cos = sin = Fr cos d = Fr sin d = Md
a m2 m1 g M / r = = r m m 1 m r 2 1 2
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有
2m1m2 T1 = T2 = g m2 m1
m2 m1 a= g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测 量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、 r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a， 再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1 和m2 相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小， 这样就能角精确地测出a来。
1 因 J = ml 2 代入上式得 3
w=
3g l
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度 分别为
v A = lw = 3 gl l 1 vC = w = 3 gl 2 2
小 结
•刚体转动惯量的计算 •刚体定轴转动的转动定律的应用 •刚体定轴转动的功能关系
物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
m1 a m1 m2 G2 m2 G1
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以 顺时针方向旋转，Mτ的指向如图所示。可列出下列 方程
T1 G1 = m1a
G2 T2 = m2 a T2r T1r M = J
式中 是滑轮的角加速度，a 是物体的加速度。滑 轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
1 1 1
2
1
2
1
2
二、刚体的转动动能
1 m i : E ki = m i v i2 2 1 = m i ri 2w 2 2
w
ri
vi
M
m i
1 2 2 Ek = m i ri w i =1 2
1 1 2 2 = ( m i ri )w = Jw 2 2 i =1 2
3g w dw = 2l sin d 0 0 3g 解得： ω = (1 cos θ ) l

例题3 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗 糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令 圆盘最初以角速度 w0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋 转，问它经过多少时间才停止转动？
w
d r dr
m,l F N θ
1 mgl sin = J 2
式中
O
mg
1 2 J = ml 3
3g sin 得 = 2l
由角加速度的定义
dω dω dω dθ =ω = = dθ dt dθ dt 3g sin θdθ 有 ωdω = 2l
对上式积分，利用初始条件，
w
m,l O
FN
θ
mg
解题步骤
1.确定研究对象； 2.受力分析； 3.选择参考系与坐标系； 4.列运动方程； 5.解方程； 6.必要时进行讨论。
注意以下几点：
1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的； 2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角 速度的正负； 3. 系统中有转动和平动， 转动物体——转动定律 平动物体——牛顿定律
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刚体的转动
4-2 4-3 转动定律(下) 定轴转动的功能关系
复 习
dw M = Jα= J dt
α
转动惯量是转动
（1） M 一定，J 惯性大小的量度；
（2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正； （3）J 和质量分布有关； （4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。
定轴转动刚体的机械能：
E机械
1 2 = mghc Jw 2
五、一般体系 体系中包含做定轴转动的刚体 和平动的物体 1. 动能定理
M m2 m1
A外 A内 = ( Ek平2 Ek转2 ) ( Ek平1 Ek转1 )
2. 功能原理 A外 A非保内 = E2 E1 E = Ek平 Ek转 Ep
例2 一长为 l 、质量 为 m 匀质细杆竖直放置， m,l 其下端与一固定铰链O相 θ 接，并可绕其转动．由于 mg O 此竖直放置的细杆处于非 稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细 杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时 的角加速度和角速度．
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN 作用，由转动定律得
F
定义：力矩的功 dA = Md 对转动物体，力做的功力矩的功
1 2 : A = dA = M d
1
2
说明 （1）若M为恒力矩 A = M ( 2 1 ) （2）合外力矩的功 2 2 A = Md = ( M 1 M 2 L M n )d = M 1d M 2d L M nd = A1 A2 L An dA d = M = Mw 力矩的功率 P= dt dt
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
4－2 转动定律 (下)
四、平行轴定理
质量为m 的刚体， 如果对其质心轴的转动 惯量为 J C ，则对任一与 该轴平行，相距为 d 的 转轴的转动惯量
d
C
m
O
J O = J C md
2
JO = J C md
说明 转动动能是转动时各个质元动能之和， 而不是一种新能量。
n
n
三、定轴转动动能定理
dw d = Jw dw dA = Md = Jb d = J dt 1 2 : w2 2 1 1 2 = Jw 2 Jw 12 A = M d = w Jw dw 1 1 2 2
刚体内力做功之和为零： 内 = 0 A
O

A
A
G
w
在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通过 O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则是 变力矩，大小等于mg(L/2) cos ，棒转过一极小 的角位移d 时，重力矩所作的元功是
在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力 矩所作的功是
l dA = mg cosd 2
2


yc
J＝J c md 2d m y
J＝J C＋md
2
→
my = 0 = m
J = J c md
2
圆盘对P 轴的转动惯量
P
R
O
m
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
1 2 2 J P = mR mR 2
1 2 J c = mL 12
O1
O1’
L 2 1 2 J = J c m( ) = mL 2 3
R 2 2
根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度.
2 1 2 dw mgR = J = mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
2 1 0 t g 0 dt = R w 0 dw 3 2
由此求得
3 R t= w0 4 g
§4.3 定轴转动中的功能关系
l l A = dA = 02 mg cosd = mg 2 2
应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可 用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角 速度w0＝0，下摆到竖直位置时的角速度为w ，按 力矩的功和转动动能增量的关系式得
由此得
l 1 2 mg = Jw 2 2 mgl w= J
证明：
OP 2＝x 2 y 2
O' P2＝x2 y＋d
P对Z轴的转动惯量
2
2
m O' P 2 = m x 2 y＋d = m x 2 y 2＋d 2 2 yd
2
= m OP 2＋d 2 2 yd






J＝ m O' P 2 = m OP 2＋d 2 2 yd ＝ m OP 2 m d 2 m 2 yd