矩阵论向量范数

第六讲

主要内容：向量范数，重要例子，等价范数

第四章 范数理论及其应用

4.1 向量范数及其性质

定义 4.1 设是数域上的线性空间，

满足

(1) 则称是上的一个范数。

例1 是上的一个范数.

问题: 你能想象该范数的重要意义吗?

定义4.2设是数域上的线性空间，是

上的一个范数，若，则

称时，按范数收敛到，记为

。

例2 ，对定义

(2) 是一个范数。

例3 ，对定义

(3) 是一个范数。

例4 ，对定义

(4)

是一个范数。

例5 ，对定义

(5)

是一个范数。

例6 ，对，定义

(6)

是一个范数。

Minkowski不等式

(7) Holder不等式，

(8)

例7 ，对，及正

定矩阵定义

(9)

是一个范数。

证明：练习。

例8 一个区域，，

定义

(10) 则是一个范数。

有限维空间上的范数的等价

定义 4.3 是空间上的两个范数，

若存在使得，则

称范数比强；若存在使得

，则称范数

与等价。

性质1 若范数比强，则

若范数与等价，则

性质2 范数与等价，则范数与

等价。

性质3 是空间上的三个范数，

若与等价，与等价，则与

等价。

定理4.1.1 设是一个有限维空间，则上的

任意两个范数都是等价的。

证明：取的一组基，则对

，，定义

则是上的一个范数（练习）。

对上任意范数，令

由

知是一个连续函数，记

则对，，所以

从而，所以范数

与范数等价。

最后，由性质3知道上的任意两个范

数都是等价的。

推论 上的任意两个范数引导的收敛性都

相同，都等价于按坐标收敛。

练习 对，有

Fun Note

闵科夫斯基 MINKOWSKI,Hermann 1864.6.22—1909.1.12

德国数学家。生于俄国的阿列克萨塔斯〔Alexotas，今在苏联考纳斯(Каунас)〕，卒于格丁根。8岁时随全家迁回德国，曾在柏林大学学习。后入柯尼斯堡(Konigsberg)大学，在那里与数学家希尔伯特结为挚友。1885年获数学博士学位。经过短期服役后，相继在波恩，柯尼斯堡(1895)、苏黎世(1896)、和格丁根(1903)等地大学任数学教授。在格丁根时与希尔伯特一起领导过数学讨论班。1881年，巴黎科学院悬赏征求下述问题的解：将一个数表成五个平方数的和。年仅17岁

的闵科夫斯基提交出大大超过原问题结果的论文，给出了更一般的答案。终于在1883年与当时英国著名的数学家亨利·史密斯同获这项数学大奖。从此，闵科夫斯基与数论结下不解之缘，在代数数论，特别是有理系数的二次型理论方面做出了突出贡献。他创用几何方法去研究数论，其目的是用几何图形来表达有理数的代数猜想，结果常常使证明变得更加简洁。1896年他出版了有关的系统论著《数的几何》(Geometrieder Zahlen)，将数论中型的理论提升到一个新的高度。闵科夫斯基应用几何方法对连分数理论和n维空间的凸性理论作了探索，他还由对应几何原理引进空间距离的新定义，为本世纪20年代建立赋范空间铺平了道路。闵科夫斯基的另一贡献是与著名物理学家爱因斯坦同时奠定 了相对论的基础。他曾在1908年的科学年会上提出若干有关电动力学的新结果。他的演讲以《空间和时间》(Raum und Zeit，1907)为主题，引进了极为简单的数学空一时观。根据这种思想，某些现象可以用简单的数学方式表出，使三维几何学变成了四维物理学。他的工作为相对论提供了数学工具。1909年，闵科夫斯基因急性阑尾炎引起的并发症早逝于格丁根。

赫尔德 HOLDER,Otto Ludwig 1859.12.22—1937.8.29

德国数学家。生于斯图加特(Stuttgart)，卒于莱比锡。1877年入柏林大学学习，1882年获博士学位。1884年任格丁根大学讲师，不久成为蒂宾根大学副教授。1894年受聘为柯尼斯堡大学教授。1899年任莱比锡大学教授，并被选为科学院院长，巴伐利亚(Bavaria)科学院通讯院士(1927)。赫尔德在数学分析、函数论、级数论、群论、几何学、数学基础等方面作出了重要贡献。他提出了后来以其名字命名的体积密度连续性条件，提出了以算术方法求和的法则。给外尔斯特拉斯定理——解析函数可任意接近其本性奇点邻域中的每一个值——提供了第一个完整的证明。研究了其幂级数在收敛圆周上的点发散的解析函数。论证了它们在收敛圆周上点的极限值是可以计算出来的。考察了不必连续或不必有界的函数的傅立叶级数的收敛性。首先将傅立叶系数定义为非正常积分的新形式。作出了在数学分析中有广泛应用的赫尔德不等式，包含了施瓦尔兹不等式对一般指数推广的情形。研究了正规链理论，得出了在群论中有重要意义的若尔当一赫尔德序列和若尔当—赫尔德定理。考察了单群理论，探讨了商群和正规子群所构成的群的结构。在几何学和数学基础方面，有《几何学中的观点和思想》(Anschauungen und Denken inder Geometrie，1900)《数学方法》( Die mathematische Methode，1924)等著作。赫尔德也很注意研究与物理学密切相关的数学问题，例如，他论证了哈密顿变分原理对于非完整运动(nonholonomic mo‐tion)同样是有效的。