中考专题二次函数的综合练习教案

二次函数的综合练习课

教学目标

(一)培养学生灵活掌握和运用二次函数知识的能力；

(二)提高分析问题和解决问题的能力．

教学重点和难点

重点：使学生初步会把二次函数概念和性质综合在一起灵活运用；熟悉数与形的相互联系，相辅相成．

难点：善于选择恰当的解法；善于把问题与函数的有关性质联系起来．

教学过程设计

(一)复习

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标是____．

2．函数y＝2x2-12x＋1的最小值是多少？这时的x值是多少？(y＝2(x-3)2-17≥-17．所以x ＝3时， y有最小值-17)

(二)新课

上几节课，我们已学习了二次函数的性质和五个主要问题，那就是：

1．y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标公式．

2．y＝ax2＋bx＋c图象的画法．

3．用待定系数法求二次函数的解析式．

4．图象法解ax2＋bx＋c＞0的几何意义．

5．有关二次函数的最大值、最小值问题．

本节课是要解决这些主要问题综合在一起的题目，要求同学们善于把二次函数的知识灵活运用．

(1)把它配方成y＝a(x＋h)2＋k形式；

(2)写出它的开口方向、顶点M的坐标、对称轴方程和最值；

(3)求出图象与y轴、x轴的交点坐标；

(4)作出函数图象；

(5)x取什么值时y＞0，y＜0；

(6)设图象交x轴于A，B两点，求△AMB面积．

(2)开口向下．顶点坐标是M(2，3)．对称轴是x＝2．x＝2时，y最大值＝3；

(4)图象见图17；

例2 k取什么值时，对于任意实数x，二次不等式(4-k)x2-3x＋k＋4＞0都成立．分析：当k≠4时(4-k)x2-3x＋k＋4是x的二次函数．

设y＝(4-k)x2-3x＋k＋4，题目的意思是问：k取什么值时，当x取任意实数时，y＞0，转化为图象关系，是问k取什么值时，图象上点的横坐标取任何实数时，点的纵坐标都是正值，也就是说，图象都在x轴上方．

我们从上面这四个图可见，图18和图21，都不符合要求，因为图象上点的纵坐标不全是正值，而图20的图象上各点纵坐标全是负值也不符合要求，只有图19符合要求．

怎样把这个图象的几何条件转化为数量关系(式子)，然后计算出k值呢？因为这个图是开口向上，并且顶点的纵坐标是正值．所以列式为

例3 已知图22是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．

(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2-4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a-b＋c．

分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．

解：

(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；

(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在x轴上方，即c＞0；

(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b ＋c＞0；

(7)因为图象上的点的横坐标为(-1)时，点的纵坐标为负值，即a(-1)2＋b(-1)＋c＜0，故a —b＋c＜0．

例4 利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象回答以下各问：

(1)二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的几何意义是什么？

(2)在什么样的几何条件下，二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？

(3)在什么样的几何条件下，二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？

(4)在什么样的几何条件下，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？

分析：本题是二次方程图象解法、二次方程根的判别式性质与二次函数图象紧密联系、数与形相互呼应的典型之一．

解：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0，函数式就变成二次方程ax2＋bx＋c＝0．解这个一元二次方程，也就是要找出使二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y＝0的x值．从图形上看，方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标；

(2)方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根的几何意义是：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的公共点，如图23或图24．

①，②的结论与二次方程根的判别式性质完全一致；

(3)方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等实数根的几何意义是：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴只有一个公共点．如图25，图26．

＝0．③③式的结论与二次方程根的判别式性质完全一致；

(4)方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根的几何意义是：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点．如图27，图28．

即b2-4ac＜0．⑤

④，⑤的结论与二次方程根的判别式性质完全一致．

例5 方程2x2-4mx＋(5m2-9m-12)＝0的两个实数根为x1，x2．问：当m取什

分析：x1，x2是实数，必须满足根的判别式△≥0，即(-4m)2-8(5m2-9m-12)≥0．化简，得m2-3m-4≤0．

我们可用图象法来求这个不等式的解．设y＝m2-3m-4．令y＝0，得m1＝-1，m2＝4，又因为二次项系数1＞0，所以开口向上，草图是图29．所以不等式m2-3m-4≤0的解是-1≤m≤4．①

由根与系数关系，有

请同学们注意，能不能由②式就下结论：

这是因为还要结合①式的条件-1≤m≤4．

于是本题转化为“自变量在规定范围内求函数的最大值、最小值”，而此前的求函数最大值、最小值是自变量在整个实数范围内．

③这个图是示意图，没有按比例尺寸画)

图30中的一段实线，是抛物线的自变量m在-1到4时这一段的弧．这段弧的最高点为(4，32)，最低点为(-1，2)．