人教版第二十一章一元二次方程知识点汇总归类总结题型汇总
人教版 21章 一元二次方程知识点总结
21章 一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
二、 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义。
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
人教版九年级数学上册21章 一元二次方程 知识点复习共41张
重点难点
重点:一元二次方程的解法及应用. 难点:灵活选用合适的方法解一元二次方程.
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知识链接
一元二次方程的发展史
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，早在公元 前2000年左右，古巴比伦人已经能解一些一元二次方程.在中 国，《九章算术》“勾股 章中就出现了一元二次方程问题.之 后的丢番图、欧几里得、赵爽、张遂、杨辉对一元二次方程 做出了巨大的贡献.公元12世纪，印度数学家婆什迦罗婆给出
合作探究
先独立完成导学案专题4，再同桌相互交流， 最后小组交流；
38
8
知识点一：一元二次方程及其解的含义
巩固练习
1.关于x的一元二次方程(m2+ 1)x2-2m(1-x)+1=0化成一般形式
是
,二次项系数是
,一次项系数是 ，
常数项是 .
2.关于x的方程(m2-4)x2-(m-2)x-1=0,
当m
时，它是一元二次方程;
当m
时，它是一元一次方程.
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知识点一：一元二次方程及其解的含义
先独立完成导学案专题1，再同桌相互交流， 最后小组交流；
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知识点二：一元二次方程的解法
知识回顾 我们学习的一元二次方程的解法有哪些？
直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法
直接开平方法解 一元二次方程
理论 依据
平方根的定义
x2=p(p≥0)
x= ± p .
转 化
思 (mx+n)2=p(p≥0) mx+n=± p . 想
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知识点三：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
巩固练习
3.若关于x的方程(a-6)x2- 8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点总结(含答案解析)(1)
一、选择题 1．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连
续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x，根据题意列方程为（ ）． A．40012900x B．
40021900x
C．24001900x D．
240040014001900xx
2．关于x的一元二次方程2230xaaxa的两个实数根互为倒数，则a的值为
（ ） A．-3 B．0 C．1 D．-3或0 3．已知一元二次方程2210xx＝的两个根分别是1x，2x，则2112xxx的值为
（ ）． A．-1 B．0 C．2 D．3
4．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程
220abxcxab
根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
5．方程55xxx的根为（ ）
A．15x，25x B．11x，
2
5x
C．0x D．
12
5xx
6．方程(2)2xxx的解是（ ）
A．2 B．2，1 C．1 D．2，
1
7．方程29180xx的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为
（ ） A．12 B．15 C．12或15 D．18
8．当分式2369xxx的值为0时，则x等于（ ）
A．3 B．0 C．3 D．-3 9．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确是（ ） A．(1)81xxx B．
2181xx
C．1(1)81xxx D．
(1)81xx
10．下列关于一元二次方程23210xx的根的情况判断正确的是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
第二十一章 一元二次方程知识点归纳及典型问题训练
第二十一章一元二次方程【考点1】一元二次方程1、一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.2、一元二次方程必须同时满足的三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.【例1】下列式子：①322-+x x ；②2152=+x x；③m t m t --=-412； ④)1(2)1(2+=+x x ；⑤02=++c bx ax ；⑥1222-=+x x x ；⑦0)1(22=++x a a ；110x -=是关于1m -且1m ≠ 1m - D】一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是)02+bx ax .其中ax 是一次项系数；c 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和0)． 移项、合并同类项”等步骤化为一般形式；（2）确定各项系数包括符号；（3）化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则0=b ，若没有出现常数项c ，则0=c .【考点3】一元二次方程的解（根）1、一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.2、判断一个数是不是一元二次方程的解的方法（代入检验法） 将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解.【例5】请你检验2x =-，3x =是否是方程(1)22x x x +=--的根．【例6】已知一元二次方程20ax bx c ++=，若0a b c ++=，则该方程一定有一个根 为( ) A ．0 B ．1 C ．1- D ．2，x （3）当0<p 时，因为对任意实数x ，都有02≥x ，所以方程p x =2无实数根.【例9】用直接开平方法解下列方程： （1）2160x -=； （2）23540x -=； （3）2(2)9x -=； （4）22(23)160y --=．点拨：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是常数的形式.【考点5】配方法解一元二次方程1、把一般形式的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 左边配成一个含有未知数的完全【例10】用配方法解下列方程（1）2440x x +=+； （2）2210x x +-=； （3）22320x x -+=.点拨：用配方法解一元二次方程的步骤可灵活运用，如本例的（2）、（3）两小题，也可先将二次系数化为1，再移项、配方，结果也是一样的.【例11】当x 为何值时，代数式3822+-x x 有最小值，最小值是多少？点拨：（1）求多项式c b a c bx ax ,,2（++为常数，且）0≠a 的最值时，要先把多项式配方成p n x a ++2)(的形式.若1≠a ，需要提出二次项系数a ，对括号中的式子进行配方，配方时，括号内先加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方.若0>a ，则代数式c bx ax ++2有最小值；若0<a ，则代数式c bx ax ++2有最大值；（2）一元二a 的值.【考点6】一元二次方程根的判别式 1、一元二次方程根的判别式将)0(02≠=++a c bx ax 配方成22244)2aac b a b x -=+（后，可以看出，只有当042≥-ac b 时，方程才有实数根，这样ac b 42-的值就决定着一元二次方程根的情况.一般地，式子ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别工，通常用希腊字母“⊿”表示，即ac b 42-=∆. 2、判别式⊿与一元二次方程根的情况的关系⇔>∆0方程有两个不相等的实数根； ⇔=∆0方程有两个相等的实数根；c 与0程2x +求k 的取值范围．点拨：找出k 的所有限制条件，列出不等式组是关键.注意，明显的限制条件是方程有两个不相等的实数根，即0>∆，还有隐含的限制条件是原方程为一元二次方程，即021≠-k ，还有一次项系数-含有二次根式，所以k 的取值还必须使二次根式有意义，即01≥+k .只有所有的限制条件都考虑到了，才能求出完整的取值范围.由本题不难得到，参数是魔鬼，参数出现的所有地方，我们都要小心.【例18】已知a 、b 、c 为ABC ∆三边，且方程()()()()()()0x a x b x b x c x c x a --+--+--=有两个相等实数根，则ABC ∆为( )A ．两腰和底不等的等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形，(当∆（2）求出ac b 42-=∆的值； （3）根据求根公式求解. 【例20】用公式法解下列方程：（1）210x -+=； （2）2441108x x x +-=--；（3）264x +=； （4）212x =．【考点8】因式分解法解一元二次方程1、因式分解法通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2、用因式分解法解一元二次方程的理论依据如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0，即若0=ab ，则0=a 或0=b .3、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1）移项、合并同类项：将方程的右边化为0； （2）因式分解：将方程的左边化为两个一次式的乘积；（3）降次转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）一一求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是一元一次方程的解. 4、几种常见的用因式分解法求解的方程（1）形如02=+bx x 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为0)(=+b x x ，则0=x 或0=+b x ，即01=x ，b x -=2（即缺常数项的一元二次方程必有一根为0）；（2）形如022=-a x 的一元二次方程，将左边运用平方差公式因式分解为0))(=-+a x a x （，则0=+a x 或0=-a x ，即a x -=1，a x =2；（3）形如0222=+±a ax x 的一元二次方程，将左边运用完全平方公式因式分解为0)(2=±a x ，则①0=+a x ，即a x x -==21；②0=-a x ，即a x x ==21；（4）形如0)2=+++ab x b a x （的一元二次方程，将左边运用十字相乘法因式分解为0))(=++b x a x （，则0=+a x 或0=+b x ，即a x -=1，b x -=2.【例21】用因式分解法解下列方程：（1）20x x +=； （2）241210x -=； （3）3(21)42x x x +=+； （4）22(4)(52)x x -=-．【例22】用适当的方法解下列方程：（1）22(1)40x --=； （2）2410x x -+=； （3）229(1)5)(2x x =+-； （4）291210x x --=．点拨：根据一元二次方程的结构特征选择合适的解法，特殊结构，选用特殊解法；一般小题中的“实数”，隐含了0≥∆，不符合要求的要舍去.【例24】（1）解方程1x -=；（2）解方程3=.点拨：无理方程通常可以用平方法去根号转化为有理方程来解，因为在平方的过程中，扩大了未知数的取值范围，故最后要检验.【例25】解方程|32||3|2++-=+m m m 点拨：因为两数的绝对值相等，可得这两数相等或互为相反数，因此可以去掉绝对值符号，转化为常规的方程来解.在坐标系中，经常要用坐标来表示线段长，因此会出现含绝对212121221121（2）212212214)()x x x x x x -+=-（； （3）21221221214)()||x x x x x x x x -+=-=-（； （4）21212111x x x x x x +=+；（5）212122121222121122)(x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+； （6）2212121)())(k x x k x x k x k x +++=++（. 点拨：应用这几个代数式的变形进行求解时，不要忘记两个前提：（1）方程是一元二次方程；（2）方程有实数根，即0≥∆...【例29】已知关于x 的一元二次方程22210x mx m --+=的两根的平方和是4，求m 的值．点拨：利用韦达定理求出参数的值后，必须检验参数值是否满足0≥∆，否则可能会多解.检验的方法有两种，一种是直接将参数代入原方程，计算，∆另一种是由0≥∆得到参数的取值范围，比较后进行取舍.【例30】已知1x ，2x 是方程2350x x +-=的两个根，求以11x +和21x +为根的一个一元二次方程．点拨：先运用韦达定理，得出21x x +，21x x 的值，再分别求出新的两根之和与两根之积，最后写出新方程.本题考查韦达定理和它的逆定理.【例31】已知关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m +++-=． （1）若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且2212()21x x m -+=，求m 的值．点拨：本题为根的判别式和韦达定理的综合运用.第（2）问中，一定要结合（1）中求出的m 的取值范围进行取舍.【例32】已知关于x 的一元二次方程22410x x m ++-=有两个非零实数根． （1）求m 的取值范围；（2）两个非零实数根能否同时为正数或负数？若能，请求出相应m 的取值范围；若不能，请说明理由．【例33】关于x 的一元二次方程25(5)0x kx k -+-=的两个根1x ，2x 异号，且满足1227x x +=，求k 的值．点拨：上面两个例题，都涉及到两根的符号问题.若⎪⎩⎪⎨⎧>=≥-=∆，，004212a cx x ac b 则两根同号，且当021>-=+a b x x 时，两根同为正数；当021<-=+a bx x 时，两根同为负数.反之，也成立； 若021<=a c x x （此时隐含了042>-=∆ac b ），则两根一正一负（异号），且当x x 当x2x ，求k 从而去掉绝对值符号，【考点11】面积问题与一元二次方程【例35】如图所示，要建一个面积为2130m 的仓库，仓库有一边靠墙（墙长16)m ，并在与墙平行的一边开一道宽1m 的门，现有能围成32m 的木板，求仓库的长与宽？点拨：由于仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道m 1宽的门，所以本题的等量关系是：①1322+=+⨯长宽；②130=⨯宽长.同时，本题还要注意“墙长16m ”这一隐含条件对方程解的限制.【例36】如图所示，要建一个面积为2150m 的长方形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为am ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m ，求养鸡场的长与宽．点拨：对方程的解进行取舍时，不要因忽视对实际情况的分析而造成错解.【例37】如图，小区计划在一个长为40cm ，宽为26m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为2144m ，求路的宽度．点拨：本题草坪的面积可以用矩形面积减去三条路的面积来表示，也可以通过平移的方法化零为整来表示.注意对方程解的检验，要满足解的实际意义.【考点12】增长率问题与一元二次方程【例38】某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．81【例41】某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是()A．2+=B．2(1)31x++=C．(1)31131x x+=D．1231x x++=x x 点拨：本题类似于传播问题，也可以画表帮助理解.【例43】某商店将进价为8 元的商品按每件10 元出售，每天可销售200 件，现商家采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨0.5 元，其销量就会减少10 件，那么要使利润为640 元，需将售价定为多少？点拨：注意销售问题中的几个公式：=-利润⨯=；进价利润率进价售价%100%100⨯-=⨯=进价进价售价进价利润利润率；利润率）（进价售价+⨯=1；总销售量单件利润总成本总售价总利润⨯=-=.解方程得到两解后，要养成检验的习惯，看解是否符合实际生活意义，看是否符合题目的条件.【考点15】动态几何问题与一元二次方程【例44】如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC cm =，4BC cm =，一动点P 从点C 出发沿着CB 方向以1/cm s 的速度运动，另一动点Q 从A 出发沿着AC 边以2/cm s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为()t s ．（1）若PCQ ∆的面积是ABC ∆面积的14，求t 的值？ （2）PCQ ∆的面积能否为ABC ∆面积的一半？若能，求出t 的值；若不能，说明理由． 点拨：动点问题，要能熟练地表示动点运动的路程，从而表示出其它的相关线段长，再根据题意列出方程即可.“能否”型问题，判断的标准是对应的方程有没有实数根.【例45】如图， 已知A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，16AB cm =，6AD cm =，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发， 点P 以3/cm s 的速度向点B 移动， 一直到点B 为止， 点Q 以2/cm s 的速度向点D 移动 ． 设移动时间为()t s ，问（1） 当t 为何值时，P 、Q 两点间的距离是10cm ？ （2） 当t 为何值时，PAB △为等腰三角形？点拨：在表示涉及两个动点信息的线段长时，由于P 、Q 两动点相对的位置关系发生变化，因此表示方法有所变化，为了简化问题，我们通常可以画出其中的一种情况，在这种情况下表达出这条动线段的长，再在此基础上加上绝对值符号即可表示出所有的情况，而不需要再画图重新研究.这就是绝对值的妙用.本题PQ为“斜线段”，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来表示.【考点16】坐标系中的存在性问题与一元二次方程【例46】如图，B、C两点是等腰ABC的两个顶点，在平面直角坐标系中的坐标为C，第三个顶点A在坐标系的x轴上，求点A的坐标．B，(4,0)(0,3)点拨：等腰三角形的存在性问题，可以先将三边的平方利用勾股定理分别表示出来，再根据三边两两相等分别列方程求解即可.【例47】如图，点A坐标为（1，1），点B坐标为（5，2）.点P在x轴上，且PAB△为直角三角形.求点P的坐标.点拨：直角三角形的存在性问题，可以先将三边的平方利用勾股定理分别表示出来，再根据勾股定理，利用斜边不同分别列方程求解即可.。
(完整版)21章一元二次方程重难点、易考点汇总,推荐文档
3.下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( ) 1
A．x2＋x2＝0
B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1
4.下列方程中，无论取何值，总是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
D．3x2－2xy－5y2＝0
A. ax 2 bx c 0
B. ax 2 1 x 2 x
5.下列方程中是一元二次方程的有（
2.关于x的一 元二次方程（a2—1）x2+x—2=0是一元二次方程，则a满足（ ）
A. a≠1
B. a≠—1
C. a≠±1
D.为任意实数
3.当 k
时，关于 x 的方程 kx 2 2x x 2 3 是一元二次方程。
4 关于x的方程(m 1)x m 1 3x 6,当m ___ 时，该方程是一元二次方程
．
6、一元二次方程 ax2 bx c 0 ，若 x=1 是它的一个根，则 a+b+c=
,若 a－b+c=０，则方程必有
一根是 。
7.已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 的系数满足 a c b ，则此方程必有一根为
21 章一元二次方程重点、易考点
一、一元二次方程的概念
1．只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方
程．
2．一元二次方程的一般形式是________________．
二、一元二次方程的解法
1．解一元二次方程的基本思想是
，
主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.
2．配方法：通过配方把一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为
九年级数学上册第二十一章一元二次方程重点知识归纳(带答案)
九年级数学上册第二十一章一元二次方程重点知识归纳单选题1、某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（）A．(20+x)(100−2x)=1800B．(20+x)(100−2x)=18000.5×2)=1800D．x[100−2(x−20)]=1800C．x(100−x−200.5答案：C分析：根据销售额=售价乘以销售量列方程,求解即可;×2）kg，依题意得：解：设销售单价应为x元/kg,则销售量为（100−x−200.5依题意得：x(100−x−20×2)=18000.5故选:C小提示：此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程2、有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为800cm2．设切去的正方形的边长为x cm，可列方程为（）A．4x2=800B．50×30−4x2=800C．(50−x)(30−x)=800D．(50−2x)(30−2x)=800答案：D分析：根据题意求得底面的长为(50−2x)，宽为(30−2x)，即可求解．设切去的正方形的边长为x cm，则底面的长为(50−2x)，宽为(30−2x)，则(50−2x)(30−2x)=800故选：D小提示：本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．3、如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3B．4C．4.8D．5答案：D分析：观察图形可知阴影部分小长方形的长为(x+40−2x2)cm，再根据去除阴影部分的面积为950cm2，列一元二次方程求解即可．解：由图可得出，40×30−2x2−2x⋅(x+40−2x2)=950整理，得，x2+20x−125=0解得，x1=5,x2=−25（不合题意，舍去）．故选：D．小提示：本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．4、已知一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1，x2，则1x1+1x2的值为（）A．2B．-1C．−12D．-2答案：D分析：根据一元二次方程的根与系数的关系先求出x1+x2，x1·x2的值，再代入所求的式子中计算即可．解：根据根与系数的关系得，x1+x2=4，x1·x2=-2∴1x1+1x2=x1+x2x1•x2=4−2=-2．故选D ．小提示：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记公式是解题的关键．5、用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（）A．(x+1)2=3B．(x+1)2=6C．(x−1)2=3D．(x−1)2=6答案：C分析：方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．解：x2-2x=2，x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．故选：C．小提示：本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．6、已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（）A．4或5B．3C．√41D．3或√41答案：D分析：先利用因式分解法解得x1=4，x2=5，然后分类讨论：当两直角边分别为4和5或斜边为5，再利用勾股定理计算出第三边．解：解方程x2−9x+20=0得x1=4，x2=5，当两直角边分别为4和5，则第三边的长=√42+52=√41，当斜边为5，第三边的长=√52−42=3，所以此三角形的第三边长为3或√41．故选：D ．小提示：本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 7、一元二次方程x 2−25=0的解为（ ）A ．x 1=x 2=5B ．x 1=5，x 2=−5C ．x 1=x 2=−5D ．x 1=x 2=25 答案：B分析：先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可． 解：x 2−25=0， 移项得：x 2=25，开平方得：x 1=5，x 2=﹣5， 故选B ．小提示：本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法． 8、关于x 的方程x （x ﹣5）＝3（x ﹣5）的根是( ) A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．x 1＝﹣5；x 2＝3D ．x 1＝5；x 2＝3 答案：D分析：利用因式分解法求解可得． 解：∵x （x ﹣5）﹣3（x ﹣5）＝0，∴（x ﹣5）（x ﹣3）＝0，则x ﹣5＝0或x ﹣3＝0， 解得x ＝5或x ＝3， 故选：D ．小提示：本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．9、用配方法解一元二次方程3x 2+6x −1=0时，将它化为(x +a )2=b 的形式，则a +b 的值为（ ） A ．103B ．73C ．2D ．43 答案：B分析：将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．解：∵3x2+6x−1=0，∴3x2+6x=1，x2+2x=13，则x2+2x+1=13+1，即(x+1)2=43，∴a=1，b=43，∴a+b=73．故选：B．小提示：本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．10、下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2−x+14=0B．x2+2x+4=0C．x2-x+2=0D．x2-2x=0答案：D分析：逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论．A.此方程判别式Δ=(−1)2−4×1×14=0，方程有两个相等的实数根，不符合题意;B.此方程判别式Δ=22−4×1×4=−12<0,方程没有实数根，不符合题意;C.此方程判别式Δ=(−1)2−4×1×2=−7<0，方程没有实数根，不符合题意;D .此方程判别式Δ=(−2)2−4×1×0=4>0，方程有两个不相等的实数根，符合题意;所以答案是： D.小提示：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．填空题11、“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．答案：x1=0,x2=−1,x3=1分析：先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.解：∵x3−x=0,∴x(x+1)(x−1)=0,则x=0或x+1=0或x−1=0,解得：x 1=0,x 2=−1,x 3=1. 所以答案是：x 1=0,x 2=−1,x 3=1.小提示：本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.12、在解一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0时，小明看错了系数p ，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q ，解得方程的根为4和﹣2，则p ＝________，q ＝________． 答案： ﹣2 ﹣3分析：由小明看错了系数p 知常数项q 无误，根据所得两根之积可得q 的值；由小红看错了系数q 知一次项系数p 无误，根据所得两根之和可得p 和q 的值． 解：∵小明看错了系数p ，解得方程的根为1和−3， ∴q =1×(﹣3)=﹣3，∵小红看错了系数q ，解得方程的根为4和−2， ∴−p =4−2=2， ∴p =−2，所以答案是：﹣2；﹣3．小提示：本题主要考查根与系数的关系，x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝﹣ba，x 1•x 2＝ca ，解题关键熟记根与系数的关系．13、从前有一人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽43m ，竖着比城门高23m ，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿杆，这个人试了试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？设竹竿的长为x m ，请列出符合条件的方程______（要求化为一般式）． 答案：x 2−4x +209=0分析：用竹竿表示出门框的边长，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程即可． 解：设竹竿的长为x 米．由题意得： (x −23)2+(x −43)2=x 2 ， 化简得：x 2−4x +209=0所以答案是：x2−4x+20=09小提示：本题考查一元二次方程的应用，得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．14、方程3x2−8x+1=0的一次项系数是______．答案：-8分析：根据一元二次方程的一般形式解答．解：方程3x2−8x+1=0的一次项是−8x，其系数是−8．故答案是：−8．小提示：本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．15、已知一元二次方程x2−14x+48=0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．答案：20分析：求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案．解：x2−14x+48=(x−6)(x−8)=0，则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的边长为√32+42=5，故菱形的周长为5×4=20，故答案为20小提示：本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键．解答题16、解方程：(1)(x+8)2=36；(2)x(5x+4)-(4+5x)=0；(3)x2+3=3(x+1)；(4)2x2-x-6=0．答案：(1)x1=-2,x2=-14(2)x1=1,x2=-45(3)x1=0,x2=3(4)x1=2,x2=-32分析：（1）利用直接开平方法求解；（2）利用因式分解法进行计算即可；（3）整理后，利用因式分解法求解即可；（4）利用公式法求解．（1）解：(x+8)2=36，∴x+8=±6，解得：x1=-2,x2=-14；（2）解：x(5x+4)-(4+5x)=0(x-1)(5x+4)=0，∴x-1=0,5x+4=0，；解得：x1=1,x2=-45（3）解：x2+3=3(x+1)∴x2-3x=0，即x(x-3)=0，∴x=0,x-3=0，解得：x1=0,x2=3；（4）解：2x2-x-6=0，∵a=2,b=-1,c=-6，∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×2×(-6)=49，∴x=1±√492×2=1±74，解得：x1=2,x2=-32．小提示：本题考查了解一元二次方程——因式分解法和公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．17、阅读下面内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为12n（n－3）．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程12n（n－3）＝20．解得n＝8或n＝－5（舍去），∴这个n边形是八边形．根据以上内容，问：(1)若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数；(2)小明说：“我求得一个n边形共有10条对角线”，你认为小明同学的说法正确吗？为什么？答案：(1)6(2)错误，理由见解析分析：（1）利用题中给出的对角线条数公式即可求解；（2）利用题中给出的对角线条数公式列出一元二次方程，求解方程的根，根据方程是否有正整数解来判断即可．（1）设这个多边形的边数是n，则12n（n－3）＝9，解得n＝6或n＝－3（舍去）．∴这个多边形的边数是6；（2）小明同学的说法是不正确的，理由如下：由题可得12n（n－3）＝10，解得n＝3±√892，∴符合方程的正整数n不存在，∴n边形不可能有10条对角线，故小明的说法不正确．小提示：本题主要考查了一元二次方程的应用，通过方程是否有正整数解来判断是否存在有10条对角线的多边形是解答本题的关键．18、已知x1，x2是一元二次方程x2−2x+k+2=0的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k−2成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．答案：（1）k≤−1；（2）k=−√6分析：（1）根据方程的系数结合Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合1x1+1x2=k−2，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴Δ=(−2)2−4(k+2)⩾0解得k≤−1；（2）由一元二次方程根与系数关系，x1+x2=2,x1x2=k+2∵1x1+1x2=k−2，∴x1+x2x1x2=2k+2=k−2即(k+2)(k−2)=2，解得k=±√6．又由（1）知：k≤−1，∴k=−√6．小提示：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合1x1+1x2=k−2，找出关于k的方程．。
(人教版)武汉九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点总结(答案解析)
一、选择题1．方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠±lB ．m≥-l 且m≠1C ．m≥-lD ．m ＞-1且m≠1 2．用配方法转化方程2210xx +-=时，结果正确的是（ ） A ．2(1)2x += B ．2(1)2x -= C ．2(2)3x += D ．2(1)3x += 3．下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．2670x x ++=B ．25260x x --=C ．22270x x -=D ．2220x x -+-=4．方程2240x x --=经过配方后，其结果正确的是（ ）A ．()215x -=B ．()217x -=C ．()214x -=D ．()215x += 5．下列方程属于一元二次方程的是（ ）A ．222-=x x xB ．215x x +=C ．220++=ax bx cD ．223x x += 6．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．210x +=B ．220x -=C ．21x y +=D ．211x x+= 7．若用配方法解方程24121x x +=，通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数，则下面变形恰当的是（ ）A ．2221212412122x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22241212112x x ++=+C ．2412919x x ++=+D ．241212112x x ++=+8．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边长，则关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有且只有一个实数根D ．没有实数根 9．若关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜－2B ．a ＞－2C ．－2＜a ＜0D ．－2≤a ＜0 10．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（ ）A ．15%B ．40%C ．25%D ．20%11．下列关于一元二次方程23210x x ++=的根的情况判断正确的是（ ）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个不相等的实数根12．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．x 2+65x-350=0B ．x 2+130x-1400=0C ．x 2-130x-1400=0D ．x 2-65x-350=0 13．《代数学》中记载，形如2833x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，得到大正方形的面积为331649+=，则该方程的正数解为743-=．”小聪按此方法解关于x 的方程2100x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．A ．6B ．3532-C ．532-D ．535- 14．方程23x x =的解为（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =- 15．如图，BD 为矩形ABCD 的对角线，将△BCD 沿BD 翻折得到BC D '△，BC '与边AD 交于点E ．若AB ＝x 1，BC ＝2x 2，DE ＝3，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣4x+m ＝0的两个实根，则m 的值是（ ）A ．165B ．125C ．3D ．2二、填空题16．已知方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，则方程2(3)2(3)30x x +++-=的解是_____．17．方程220x x +-=的两个根分别为,m n ，则11m n+的值为_________． 18．已知0x =是关于x 的一元二次方程()()22213340m x m x m m -+++-=的一个根，则m =__________．19．一元二次方程x 2-10x+25＝2（x ﹣5）的解为____________．20．若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则c 的值可以是_________________．(写出一个即可)21．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b+的值为______． 22．已知关于x 的一元二次方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是______．23．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛．24．若方程()22110a x ax -+-=的一个根为1x =，则a =_______．25．为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是48元，降价后的价格是30元，若平均每次降价的百分率均为x ，可列方程．为____________．26．当x=______时，−4x 2−4x+1有最大值． 三、解答题27．商店销售某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售200件；售价每增加2元，销售量将减少20件．如果这种商品全部销售完，该商店可盈利2250元，那么该商品每件售价多少元？28．按要求的方法解方程，否则不得分．（1）2450x x -=+（配方法）（2）22730x x -+=（公式法）（3）(1)(2)24x x x ++=+（因式分解法）29．解方程：（1）23620x x -+=（2）222(3)9x x -=-30．若关于x 的一元二次方程x 2-6x +m +1=0的两根是x 1，x 2，且x 12+x 22=24，求m 的值．。
新版新人教版九年级数学上册第21章一元二次方程小结与复习课件
多少？ （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于 每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，
销售价应当为多少元？
解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如
下：设公司每天的销售价为x元.
单件利润 销售量（件） 每星期利润（元）
解得 x1=1.8 (舍去）, x2=0.2=20%. 答：平均每次下调的百分率是20%.
例8 为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我 市某单位准备将院内一个长为30m,宽为20m的长方形空 地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平 行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示， 要是种植花草的面积为532m2,，那么小道的宽度应为多 少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为 平行四边形）
考点讲练
考点一 一元二次方程的定义
例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程， 则m的取A值范围是（ ）
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二 次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
适用的方程类型 (x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤：
mA. 4
第21章 一元二次方程知识点总结 2023—2024学年人教版数学九年级上册
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点一 一元二次方程的定义1. 定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程2. 一元二次方程必须同时满足以下三个条件:①是整式方程 ; ②只含有一个未知数 ; ③未知数的最高次数是2. 注意：分母位置不能有未知数 例：判断下了哪些是一元二次方程051)1(2=-+xx 073)2(2=+-xy x 41)3(2=-+x x 032)4(3=+-m m 0522)5(2=-x 4)6(2=-bx ax 知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是 )0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 是二次项，a 是二次项系数;bx 是一次项，b 是一次项系数;c 是常数项知识点三 一元二次方程的解(根)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
例如=x -3和x=2都是一元二次方程0652=+-x x 的解(根). 温馨提示:（1）一元二次方程可以无解，但是有解就一定有两个;（2）在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，若0=++c b a ，则1=x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根;若0=+-c b a ，则1-=x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根注意:判断一个数值是不是一元二次方程解的方法:将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解;反之，它就不是一元二次方程的解.21.2 解一元二次方程21.1.2 配方法知识点一 直接开平方法解一元二次方程利用平方根的定义直接开平方来求一元二次方程的解的方法就做直接开平方法 一般地，对于方程为常数）p p x (2=为常数）p p x (2=根据平方根的意义，方程根的情况当时0>p 两个不相等的实数根p x p x =-=21,当时0=p 两个相等的实数根 021==x x 当时0<p方程无实数根可以利用直接开平方法解一元二次方程的类型 （1）)0(2≥=p p x p x p x =-=21,（2））0(2≥=p p ax 先系数化为1 ，ap x a p x -==21, （3）())0(2≥=+p p a x 整体开平方后将a 移项，a p x a p x --=-=21,（4）())0(2≥=+p p b ax 整体开平方，再将b 移项，最后系数化为 1abp x a b p x --=-=21, 温馨提示:(1)采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，直接开平方法只适用于部分一元二次方程，它适用的方程是能转化为以上类型的方程,(2)利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当0≥p 时，方程才有解，并且要注意开方的结果取“正、负”两种情况。
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第二十一章 一元二次方程
（知识点汇总+归类总结+题型汇总）
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一、一元二次方程的概念
1．只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫
做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是________________．
二、一元二次方程的解法
1．解一元二次方程的基本思想是，
主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.
2．配方法：通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为
x＋
b
2a
2
＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．
3．公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当b2－4ac≥0时，x＝____________.
4．用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__________．
三、一元二次方程根的判别式
1．一元二次方程根的判别式是__________．
2．(1)b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________实数根；
(2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________实数根；
(3)b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__________实数根．
四*、一元二次方程根与系数的关系
1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．
2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__________，
x1x2＝__________.
注意：（1）222121212()2xxxxxx
（2）22121212()()4xxxxxx；
2
121212
()4xxxxxx
五、实际问题与一元二次方程
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)__________；(6)检验；(7)
写出答案．
一元二次方程的定义：
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A．x2＋1x2＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0
2.下列方程中，无论取何值，总是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.02cbxax B.xxax221
C.0)1()1(222xaxa D.0312axx
3.关于x的一元二次方程（a2—1）x2+x—2=0是一元二次方程，则a满足（ ）
A. a≠1 B. a≠—1 C. a≠±1 D.为任意实数
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4.一元二次方程12)3)(31(2xxx化为一般形式为：，
二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。
5.关于x的方程023)1()1(2mxmxm,当m时为一元一次方程；
当m时为一元二次方程。
6.关于x的方程0232mxx的一个根为-1，则方程的另一个根为______，m______。。
7.已知m是方程2250xx的一个根，则22mm______________。
8.关于x的一元二次方程22(1)10axxa的一个根是0，则a的值为（ ）
A. 1B.1C.1或1D.0
解一元二次方程：
1.选用合适的方法解下列方程
)4(5)4(2xxxx4)1(222)21()3(xx
31022xx
32x＝2x； x（3x－1）＝3－x； 4（x－2）2－（3x－1）2＝0；
（2x－1）2-2（2x－1）＋1＝0； 32x32x＝0．； x（2x+3）=4x+6
2.配方法解方程x2—4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A．2(2)2x B．2(2)2x C．2(2)2xD．2(2)6x
3.解方程（5x—1）2=3（5x—1）的适当方法是（ ）
A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
4.等腰三角形的底和腰分别是方程2680xx的两个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D． 不能确定
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5.若方程02cbxax)0(a中，cba,,满足0cba和0cba，则方程的根是（ ）
A. 1，0 B.-1，0 C.1，-1 D.无法确定
6.关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
7. 用配方法解方程2420xx,则下列配方正确的是( )
A.2(2)2x B.2(2)2x C.2(2)2x D.2(2)6x
8. x2+3x+=（x+）2 ；x2—+2=（x）2 22_____________23xxx
9.若8)2)((baba，则ba=
10.当n_________时，方程nnxx72的一个根是2
11. 代数式522xx的最小值是__________
12.请写出一个以2和4为根的一元二次方程_______________________
13.如果x2－2(m+1)x + m2+ 5=0是一个完全平方公式，则m.
14.当m为时，关于x的方程(x－p)2+m=0有实数解.
一元二次方程解决实际问题：
【增长率（降低率）】总结：增长率问题：起始值a，终止值b，变化率x
上升a（1+x）2=b a（1+x）n=b
下降a（1—x）2=b a（1—x）n=b
1.某商品连续两次降价10%以后的售价为a元，则该商品的原价为元。
2.某小区准备在两幢楼房之间开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽10米，设长方形绿
地的宽为x米，则可列方程为___________
3.某同学存入300元的活期储蓄，存满三个月时取出（利息按单利息计算），共得本息和为302.16元，
则活期储蓄的月利率为（ ）
A、0.24%； B、0.24； C、0.72； D、0.82。
4.县化肥厂第一季度增产a吨化肥，以后每季度比上一季度增产x，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）
A．2)1(xa B．2%)1(xa C．2%)1(x D．
2
%)(xaa
5.某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．2002(1%)a=148 B．2002(1%)a=148
C．200(12%)a=148 D．2002(1%)a=148
6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人.
A．12 B．10 C．9 D．8
7.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后,由每盒200
元下调至128元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少?
8.某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份 平均每月
增长的百分率是多少?
【利润问题】解决利润问题常用的关系有：①利润=售价—进价；
②利润率=利润／进价×100％=（售价—进价）／进价×100％ ；
③售价=进价（1+利润率）；④总利润=单个利润×销售量=总收入—总支出。
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1.某商场人员在销售中发现“宝乐”牌童装每天可销售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”儿
童节，商场决定采取降价措施，扩大销售量，增加利润，减少库存。市场调查发现，如果童装每降价1
元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天在销售这种童装的上盈利1200元，那么每件童装应降
价多少元？
2.将进价为40元的商品按照50元出售时，每月能卖500个，已知该商品煤涨价1元，其每月销售量就
减少10个，为了每个月获8000元利润，售价应定在多少元？进货量为多少？
3.某玩具店采购员第一次用去100元采购了“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时，发现批发价
格上涨了0.5元／件，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的均价为2.8元，则
第二次采购玩具多少件？
【面积问题】
1.学校课外生物小组的试验园地是长35米，宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三
条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽。（精确到0.1米）